Texto retirado dos Prefácios e Introdução do livro A arte de resolver problemas, de George Polya, Tradução Heitor Lisboa de Araújo, Editora Interciência, 2006.
Prefácio à Primeira Tiragem
Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios, experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca na mente e no caráter.
Um professor de Matemática tem, assim, uma grande oportunidade. Se ele preenche o tempo que lhe é concedido a exercitar seus alunos em operações rotineiras, aniquila o interesse e tolhe o desenvolvimento intelectual dos estudantes, desperdiçando, dessa maneira, a sua oportunidade. Mas se ele desafia a curiosidade dos alunos, apresentando-lhes problemas compatíveis com os conhecimentos destes e auxiliando-os por meio de indagações estimulantes, poderá incutir-lhes o gosto pelo raciocínio independente e proporcionar-lhes certos meios para alcançar este objetivo.
Um estudante cujo curso inclui Matemática tem, também, uma oportunidade única, que ficará evidentemente perdida se ele considerar esta matéria como uma disciplina com que precisa obter tantos créditos e a qual deverá esquecer, o mais rápido possível, assim que passar pelas provas finais. A oportunidade pode ser desperdiçada até mesmo se o estudante tiver algum talento natural para a Matemática, pois ele, como todos os outros, precisa descobrir seus talentos e seus gostos: ninguém poderá saber se gosta de torta de maçã se nunca a houver provado. É possível, porém, que chegue a perceber que um problema de Matemática pode ser tão divertido quanto um jogo de palavras cruzadas, ou que o intenso trabalho mental pode ser um exercício tão agradável quanto uma animada partida de tênis. Tendo experimentado prazer no estudo da Matemática, ele não a esquecerá facilmente e haverá, então, uma boa probabilidade de que ela se torne alguma coisa mais: um hobby, um instrumento profissional, a própria profissão ou uma grande ambição.
O autor recorda-se do seu tempo de estudante, um aluno um pouco ambicioso, ávido por compreender alguma coisa de Matemática e de Física. Ele assistia às aulas, lia livros, tentava assimilar as resoluções e os fatos que lhe eram apresentados, mas havia uma questão que o perturbava repetidamente: "Sim, a resolução parece que funciona, que está certa, mas como seria possível inventar, eu próprio, essas coisas?" Hoje o autor ensina Matemática numa universidade. Pensa, ou espera, que alguns dos seus alunos mais interessados façam perguntas semelhantes e procura satisfazer a curiosidade deles. Na tentativa de compreender, não só como se resolve este ou aquele problema, mas também as motivações e procedimentos da resolução, e procurando explicar a outros essas motivações e esses procedimentos, ele foi afinal levado a escrever o presente livro. O autor tem a esperança de que este venha a ser útil a professores que desejem desenvolver nos seus alunos a capacidade de resolver problemas e a estudantes que realmente queiram desenvolver a sua própria capacidade.
Muito embora este livro dedique atenção especial às necessidades de alunos e professores, ele deverá interessar a qualquer um que se preocupe com os meios e as maneiras da invenção e da descoberta. É possível que este interesse seja mais difundido do que se presume, sem maior reflexão. O espaço dedicado pelos jornais e revistas populares a palavras cruzadas e a outros enigmas parece revelar que as pessoas passam algum tempo resolvendo problemas sem aplicação prática. Por trás do desejo de resolver este ou aquele problema que não resulta em nenhuma vantagem material, pode haver uma curiosidade mais profunda, um desejo de compreender os meios e as maneiras, as motivações e os procedimentos da resolução.
As páginas seguintes foram escritas de forma um pouco concisa, mas tão simples quanto possível, e fundamentam-se num longo e sério estudo dos métodos de resolução. Este tipo de estudo, chamado Heurística por alguns autores, não está em moda nos dias que correm, mas tem um longo passado e, talvez, algum futuro.
Pelo estudo dos métodos de resolução de problemas, percebemos um novo aspecto da Matemática. Sim, porque ela tem dois aspectos: é a rigorosa ciência de Euclides, mas é também uma outra coisa. A Matemática, apresentada da maneira euclidiana, revela-se uma ciência dedutiva, sistemática, mas a Matemática em desenvolvimento apresenta-se como uma ciência indutiva, experimental. Ambos os aspectos são tão antigos quanto a própria ciência. Mas o segundo aspecto é novo sob um certo ponto de vista: a Matemática in statu nascendi, no processo de ser inventada, jamais foi apresentada exatamente desta maneira aos estudantes, aos professores ou ao grande público.
A Heurística tem múltiplas conexões; matemáticos, lógicos, psicólogos, educadores e até filósofos reivindicam partes deste estudo para os seus domínios particulares. O autor, bem ciente da possibilidade de crítica de certos setores e perfeitamente cônscio de suas limitações, tem uma reivindicação a fazer: ele tem alguma experiência na resolução de problemas e no ensino da Matemática em diversos níveis.
O assunto é tratado pelo autor com maior profundidade num livro mais extenso que está em fase de conclusão.
Universidade Stanford, 1 de agosto de 1944
Prefácio à Sétima Tiragem
Tenho o prazer de comunicar que consegui agora cumprir, pelo menos em parte, uma promessa feita no prefácio à primeira tiragem: os dois volumes que, sob os títulos Induction and Analogy in Mathematics e Patterns of Plausible Inference, constituem a minha recente obra Mathematics and Plausible Reasoning, continuam a linha de raciocínio iniciada neste livro.
Zurich, 30 de agosto de 1954
Prefácio à Segunda Edição
À presente segunda edição é acrescentada, além de pequenas melhorias, uma nova quarta parte, sob o título "Problemas, Indicações, Soluções".
Quando esta edição estava sendo preparada para impressão, apareceu um estudo (Educational Testing Service, Princeton, N. J. cf. Time, 18 de junho de 1956) que parece ter formulado algumas observações muito pertinentes - elas não constituem novidade para as pessoas que sabem das coisas, mas já era tempo de apresentá-las ao grande público: "... a Matemática tem a duvidosa honra de ser a matéria menos apreciada do curso... Os futuros professores passam pelas escolas elementares a aprender a detestar a Matemática... Depois, voltam à escola elementar para ensinar uma nova geração a detestá-la".
Tenho a esperança de que a presente edição, destinada a uma difusão mais ampla, convença alguns de seus leitores de que a Matemática, além de indispensável aos profissionais da Engenharia e ao conhecimento científico, pode ser divertida e também descortinar um panorama de atividade mental no mais alto nível.
Zurich, 30 de junho de 1956
Introdução
As considerações que seguem giram em torno da lista de indagações e sugestões que, sob o título "Como Resolver um Problema", encontram-se nas duas páginas anteriores. Qualquer uma destas questões, quando citada no texto, aparecerá impressa em itálico. A lista por elas constituída será mencionada simplesmente como "a lista" ou "a nossa lista".
As páginas seguintes discutirão o objetivo da lista, ilustrarão o seu emprego prático com o auxílio de exemplos e explicarão os seus fundamentos básicos e as respectivas operações mentais. A título de explicação preliminar, pode-se indagar: se, utilizando-as adequadamente, apresentar tais questões a si próprio ajudará a resolver o seu problema; se, utilizando-as adequadamente, dirigir as mesmas questões a um de seus alunos, ajudá-lo-á a resolver o problema que lhe é proposto.
O livro está dividido em quatro partes.
O título da primeira parte é "Em Aula". Contém vinte seções, cada uma delas designada pelo seu número em negrito, como, por exemplo, "seção 7". As seções 1 a 5 explanam, em termos gerais, o "Objetivo" de nossa lista. As seções 6 a 10 descrevem o que são as "Divisões Principais, Questões Principais" da lista e discutem um primeiro exemplo prático. As seções 18, 19 e 20 acrescentam "Outros Exemplos".
O título da segunda parte, muito curta, é "Como Resolver um Problema". É apresentada em forma de diálogo, no qual um aluno algo idealizado responde as perguntas de um professor, também algo idealizado.
A terceira parte, a mais extensa, constitui um "Pequeno Dicionário de Heurística". Será mencionada simplesmente como o "Dicionário". Compreende sessenta e sete artigos, dispostos em ordem alfabética. Por exemplo, o significado da palavra HEURÍSTICA (assim, em MAIÚSCULAS) está exposto num artigo com este título, encontrado à página 86. Toda referência feita no texto a um dos artigos do Dicionário estará impressa em MAIÚSCULAS. Certos parágrafos de alguns artigos são mais técnicos e, por isto, aparecem entre colchetes. Alguns dos artigos estão intimamente ligados à primeira parte, à qual eles acrescentam alguns exemplos e comentários mais específicos. Outros artigos vão além do objetivo da primeira parte e explicam os seus fundamentos. Há um artigo-chave sobre HEURÍSTICA MODERNA, que descreve a conexão existente entre os principais artigos e o plano em que se baseia o Dicionário, além de conter instruções para a procura de informações relativas a pontos específicos da lista. É preciso frisar que há um plano básico e uma certa unidade no Dicionário, porque os seus artigos aparentam uma grande variedade. Há alguns artigos mais longos dedicados à discussão sistemática, embora condensada, de alguns temas mais gerais. Certos artigos contêm comentários mais específicos e outros tratam de remissões, dados históricos, citações, aforismas ou, até mesmo, anedotas.
O Dicionário não deverá ser lido muito depressa, pois o texto está muitas vezes condensado e é, aqui e ali, um pouco sutil. O leitor poderá recorrer ao Dicionário para obter informação sobre temas gerais. Se o assunto procurado surgir da experiência com seus próprios problemas ou dos de seus alunos, a leitura terá muito maior probabilidade de ser proveitosa.
A quarta parte é intitulada "Problemas, Indicações, Soluções". Nela são propostos alguns problemas ao leitor mais interessado. Cada "problema" é seguido (a uma distância apropriada) por uma "indicação" que pode revelar o caminho para chegar ao resultado, que está explicado na "solução".
Mencionamos, repetidamente, o "aluno" ou o "estudante", e o "professor" e a eles voltamos muitas e muitas vezes. É bom observar que o "estudante" tanto poderá ser um aluno de curso secundário ou superior como qualquer pessoa que esteja estudando Matemática. Da mesma maneira, o "professor" poderá ser secundário ou universitário, ou qualquer pessoa interessada na técnica do ensino da Matemática. O autor encara a situação umas vezes sob o ponto de vista do aluno e outras, do professor (o último caso é preponderante na primeira parte). No entanto, na maior parte das vezes, o ponto de vista é o de alguém que não é nem professor nem aluno, mas deseja resolver o problema que se lhe apresenta.
Como Resolver Um Problema
COMPREENSÃO DO PROBLEMA
Primeiro
Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condicionante?
É preciso compreender o problema.
É possível satisfazer a condicionante? A condicionante é suficiente para deter- minar a incógnita? Ou é insuficiente? Ou redundante? Ou contraditória?
Trace uma figura. Adote uma notação adequada.
Separe as diversas partes da condicionante. É possível anotá-las?
ESTABELECIMENTO DE UM PLANO
Segundo
Já o viu antes? Ou já viu o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeira mente diferente?
Encontre a conexão entre os dados e a incógnita.
É possível que seja obrigado a considerar problemas auxiliares se não puder encontrar uma conexão imediata,
É preciso chegar afinal a um plano para a resolução.
Conhece um problema correlato?
Conhece um problema que lhe poderia ser útil?
Considere a incógnita! E procure pensar num problema conhecido que tenha a mesma incógnita ou outra semelhante.
Eis um problema correlato e já antes resolvido. É possível utilizá-lo? É possível utilizar o seu resultado? É possível utilizar o seu método?
Deve-se introduzir algum elemento auxiliar para tornar possível a sua utilização?
É possível reformular o problema? É possível reformulá-lo ainda de outra maneira? Volte às definições.
Se não puder resolver o problema proposto, procure antes resolver algum problema correlato. É possível imaginar um problema correlato mais acessível? Um problema mais genérico? Um problema mais específico? Um problema análogo? É possível resolver uma parte do problema? Mantenha apenas uma parte da condicionante, deixe a outra de lado; até que ponto fica assim determinada a incógnita? Como pode ela variar? É possível obter dos dados alguma coisa de útil? É possível pensar em outros dados apropriados para determinar a incógnita? É possível variar a incógnita, ou os dados, ou todos eles, se necessário, de tal maneira que fiquem mais próximos entre si?
Utilizou todos os dados? Utilizou toda a condicionante? Levou em conta todas as noções essenciais implicadas no problema?
EXECUÇÃO DO PLANO
Terceiro
Ao executar o seu plano de resolução, verifique cada passo.
Execute o seu plano.
É possível verificar claramente que o passo está correto? É possível demonstrar que ele está correto?
RETROSPECTO
Quarto
É possível verificar o resultado? É possível verificar o argumento?
Examine a solução obtida.
É possível chegar ao resultado por um caminho diferente? É possível perceber isto num relance?
É possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro problema?
Alunos de uma escola francesa, no início do século XX.
No quadro de ardósia: “O povo que possui as melhores escolas
é o primeiro entre todos os povos; se o não é hoje, sê-lo-á
amanhã. Buigny-los-Gamaches, Somme. Dezembro”
RECEBA NOSSAS ATUALIZAÇÕES
DIGITE SEU EMAIL:
Verifique sua inscrição no email recebido.
Tempo de leitura: 22 minutos.
Texto disponível no LINK, original em inglês link.
Os Objetivos da Educação Matemática, por George Polya (cerca de 1969)
O ensaio que se segue é uma transcrição ligeiramente editada inédita, de uma palestra em vídeo que o professor Polya apresentou em serviço da educação matemática para estudantes PPS no final de 1960. — TC O’Brien – O’Brien TC
PARTE 1
Quero falar com você sobre o ensino de matemática na escola primária. Na verdade minha palestra consistirá de duas partes. Na primeira parte, irei falar sobre os objetivos do ensino de matemática na escola primária. E na segunda parte, como ensiná-lo.
Devo confessar que estou falando essas coisas como um outsider. Eu sempre fui interessado em ensinar, mas a maioria do meu tempo, cerca de meio século, eu ensinei na universidade ou em universidades diferentes. E nos últimos quinze anos, eu estava preocupado principalmente com o ensino no nível médio. Assim, eu estou falando com você como um outsider, mas você pode encontrar um ou dois pontos em que eu estou dizendo que pode ser útil na sua profissão.
Qual é o objetivo do ensino de matemática na escola primária? É melhor considerar a questão mais geral: Qual é o objetivo das escolas? E a melhor pergunta é: O que as pessoas geralmente pensam que é o objetivo das escolas? Seu vizinho Sr. Smith tem um filho Jimmy. He is against Jimmy being a dropout. Ele é contra Jimmy sendo um abandono. Ele diz que se Jimmy cai fora da escola, ele nunca vai conseguir um emprego certo. Então, o objetivo da escola de acordo com Smith e todos os Mr. Smiths, outro no público em geral, é se preparar para um trabalho, para preparar as crianças para ganhar a vida. É a mesma coisa. A comunidade, o país, o estado e a cidade que todos querem as pessoas para ganhar a vida e pagar impostos e não vive da assistência pública. Assim, a comunidade também quer a escola para preparar os jovens para ter um emprego.
Se os pais pensam um pouco mais longe, e com a comunidade pensa um pouco mais distante, o objetivo é um pouco alterado. Pais razoáveis, um razoável Mr. Smith, que quer que seu filho Jimmy deva ter um trabalho para o qual ele está bem equipado. Vai ganhar mais e se sentir mais feliz. Este é também o objetivo da comunidade – que têm empregos de um lado e as pessoas do outro lado têm que atribuir a pessoas tais empregos que eles são os melhores totalmente equipados que produzem a maior saída. Ou melhor ainda, que a soma total da felicidade deve ser uma máxima. O que a escola pode fazer para isso? O ponto é que quando a criança chega à escola, você não sabe ainda o trabalho que virá depois, e você não sabe em que trabalho que ela está bem equipada, ela é a melhor equipada. Devemos preparar os jovens para que eles possam escolher entre todas as tarefas possíveis. Eles devem ter uma visão de todo o mundo ao seu redor para reconhecer que os trabalhos estarão bem equipados. Você pode expressá-lo de muitas maneiras. Eu gosto da seguinte expressão: as escolas devem desenvolver todos os recursos interiores da criança.
Temos, portanto, dois tipos de objetivos nas escolas. Temos objetivos e pontaria boa. As escolas devem acabar com os adultos de empregabilidade – adultos que podem preencher um emprego. Mas o maior objetivo é desenvolver todos os recursos da criança em crescimento, a fim de que ela possa preencher o cargo para o qual ela é a melhor equipada. Assim, o objetivo maior, posso exprimi-lo assim, é desenvolver todos os recursos internos da criança.
E sobre o ensino da matemática? Matemática nas escolas primárias tem uma boa pontaria estreita e isso é muito claro nas escolas primárias. Um adulto que é totalmente analfabeto não é empregável numa sociedade moderna. Todo mundo deve ser capaz de ler e escrever e fazer um pouco de aritmética, e talvez um pouco mais. Portanto, a boa pontaria estreita da escola primária é ensinar as habilidades aritméticas – adição, subtração, multiplicação, divisão, e talvez um pouco mais, assim como para ensinar frações, porcentagens, taxas, e talvez até um pouco mais. Todo mundo deve ter uma idéia de como medir comprimentos, áreas, volumes. Esta é uma boa pontaria estreita das escolas primárias – para transmitir esse conhecimento – e não devemos esquecê-lo.
Queremos desenvolver todos os recursos da criança em crescimento. E a parte que a matemática desempenha é principalmente sobre o pensamento. A matemática é uma boa escola de pensamento. Mas o que está pensando? O pensamento que você pode aprender em matemática, por exemplo, para lidar com abstrações. A matemática é sobre números. Numbers are an abstraction. Os números são uma abstração. Quando resolver um problema prático, então a partir deste problema prático que deve fazer primeiro um problema abstrato. Matemática se aplica diretamente às abstrações. Alguns matemáticos devem possibilitar à criança, pelo menos, para lidar com abstrações, para lidar com estruturas abstratas. Não é uma má palavra.
Mas acho que há um ponto que é ainda mais importante. Matemática, você vê, não é um esporte de espectador. Para entender a matemática significa ser capaz de fazer matemática. E o que significa fazer matemática? Em primeiro lugar, isso significa ser capaz de resolver problemas matemáticos. Para os objetivos maiores em relação à qual estou falando agora são algumas táticas gerais dos problemas. Para ter a atitude certa para os problemas e ser capaz de atacar todos os tipos de problemas, não só problemas muito simples, que podem ser resolvidos com as habilidades da escola primária, mas os mais complicados problemas de engenharia, física e assim por diante, que serão desenvolvidos no colégio. Mas as fundações devem ser iniciadas na escola primária. E então eu acho que um ponto essencial na escola primária é introduzir as crianças para as táticas de resolução de problemas. Não é para resolver este ou aquele tipo de problema, não apenas de fazer divisões longas ou qualquer coisa assim, mas para desenvolver uma atitude geral para a solução de problemas.
PARTE II
Ensinar não é uma ciência, é uma arte. Se o ensino fosse uma ciência, haveria uma melhor maneira de ensinar e de toda a gente teria de ensinar assim. Como o ensino não é uma ciência, existe uma grande latitude e mais possibilidades para as diferenças pessoais. Em um antigo manual britânico havia a seguinte frase: “Seja qual for o assunto, o que o professor realmente ensina é ele mesmo.” Assim, pois, quando eu estou dizendo a você para ensinar de modo mais ou menos, leve-o no espírito certo. Tome-se como muito de meus conselhos como ele se encaixa pessoalmente. Vocês devem ensinar a si mesmo.
Existem tantas boas maneiras de ensinar, pois há bons professores. Mas deixe-me dizer-lhe que a minha idéia de ensinar é talvez o primeiro ponto, que é amplamente aceito, é que o ensino deve ser ativo, ou melhor, a aprendizagem ativa. Essa é a melhor expressão.
Você não pode aprender apenas lendo. Você não pode aprender apenas ouvindo as palestras. Você não pode aprender só de olhar para os filmes. Você deve adicionar a partir da ação de sua própria mente, a fim de aprender alguma coisa. Você pode chamar esse método socrático desde que Sócrates expressou dois mil anos atrás. Ele disse que a idéia deve ser carregada na conta do aluno e o professor deve apenas agir como uma parteira. A idéia deve fazer nascer no aluno o espírito naturalmente e a parteira não deve interferir muito, muito cedo. Mas se o trabalho de parto é muito longo, a parteira deve intervir. Este é um princípio muito antigo e não é um nome moderno para ele – método de descoberta. O aluno aprende por sua própria ação. A ação mais importante da aprendizagem é descobrir por si mesmo. Esta será a parte mais importante no ensino de tal forma que o que você descobrir por si próprio vai durar mais e será melhor compreendida.
Existem outros princípios de ensino. Se você não gosta da palavra princípios, as regras de uso das palavras ou do polegar. Aprendizado deve ser ativo. Outro também foi afirmado muitas vezes por todos os famosos grandes educadores – por Sócrates, Platão, Comenius, Montessori – e isso é que existem certas prioridades. Por exemplo, as coisas vêm antes de palavras e assim por diante. Isso tem sido afirmado muitas vezes em muitas formas, mas deixe-me citar Kant, que disse: “Todas as cognições humanas começam com intuições, procedem, portanto, de concepções, e terminam em idéias”. Deixe-me traduzir esta palavra em termos mais simples. Eu diria, “A aprendizagem começa com a ação e percepção, procede, portanto, as palavras e conceitos, e deve terminar em bons hábitos mentais”.
Este é o objetivo geral do ensino da matemática – desenvolver em cada aluno o máximo possível do mental bons hábitos de combater qualquer tipo de problema.
Você deve desenvolver a personalidade integral do aluno e o ensino da matemática devem especialmente desenvolver o pensamento. O ensino da Matemática poderia desenvolver também a clareza e poder de permanência. Poderia também desenvolver o caráter, em certa medida, mas mais importante é o desenvolvimento do pensamento.
Meu ponto de vista é que a parte mais importante de pensar que é desenvolvido em matemática é a atitude certa na resolução de problemas, no tratamento de problemas. Nós temos problemas na vida cotidiana. Temos problemas na ciência. Temos problemas na política. Temos problemas em todos os lugares. A atitude do direito de pensar é talvez um pouco diferente de um domínio para outro, mas temos apenas uma cabeça, e, portanto, é natural que, finalmente, deve haver apenas um método para combater todos os tipos de problemas. Minha opinião pessoal é que o ponto principal no ensino da matemática é desenvolver as táticas de resolução de problemas.
Os dois princípios de aprendizagem ativa – a prioridade de ação e percepção – são tidos em conta por quase todas as direções no ensino de matemática que são comuns hoje em dia e ter alguma influência.
Mas talvez o melhor desenvolvido na última hora foi na Grã-Bretanha. Existe uma fundação chamada Nuffield Foundation, que propaga a idéia de uma aprendizagem ativa e a prioridade de ação e percepção na aprendizagem. É alegadamente um provérbio chinês que diz: “Eu ouço e esqueço. Vejo e me lembro. Faço e compreendo”.
Portanto, “Eu ouço e esqueço.” Que você acabou de ouvir você esquece rapidamente. Um bom conselho é rapidamente esquecido. O que você vê com seus próprios olhos é recordado melhor, mas você realmente entende quando você faz isso com suas próprias mãos. Portanto, o lema é “Eu ouço e esqueço. Vejo e lembro-me. Eu faço e compreendo”.
Portanto, as escolas, especialmente as escolas primárias, hoje estão em uma evolução. Uma fração considerável, de dez a vinte por cento, já tem o novo método de ensino que pode ser caracterizado da seguinte forma em comparação com o antigo método de ensino. O método antigo é autoritário e professor. O novo método é permissivo e centrado no aluno. Nos tempos antigos o professor estava no centro da classe, ou na frente da classe. Todo mundo olhava para ele e ele falava. Hoje os estudantes indivíduos devem estar no centro da classe, e eles devem ser autorizados a fazer o que boa idéia vem à sua mente. Eles devem ser autorizados a praticá-la em sua própria maneira, cada um por si ou em pequenos grupos. Se um aluno tem uma boa idéia em discussão em classe, em seguida, o professor muda os planos e entra na boa idéia e agora a classe segue essa idéia.
Devo dizer-lhe um nome. Esta é a pessoa que é particularmente ativa neste sentido e que é muito inteligente, muito boa. Ela é uma talentosa professora particular que fica no com grande entusiasmo e talento para isso permissiva e centrada no aluno de ensino.
Em tal permissivo e centrado no aluno uma classe, cada grupo de miúdos fazem outra coisa. Jogam (vamos apenas dizer que eles pensam que eles jogam, mas realmente eles aprendem). O professor dá-lhes mais diversos materiais. A aula consiste em o professor dar às crianças diversos materiais. Eles brincam e desenvolvem suas próprias idéias em jogo. Por exemplo, um dos materiais é de papel quadrado. E uma boa oferta de cubos, os cubos de uma polegada e meia de várias dezenas deles, talvez até uma centena. Então as crianças brincam com isso. É a atividade docente – ensino pela ação e percepção.
Deixe-me dar um exemplo desta atividade. A classe discute pequenos retângulos. Deve vir – esse é o ponto principal – a partir de ação e percepção. Deve vir de coisas que os miúdos têm visto com freqüência suficiente e tocou. Então todo mundo tem visto uma sala, e as paredes de um quarto ordinário são retângulos, retângulos ou quase. Assim você aprenderá o que é um retângulo. O piso da sala comum é um retângulo. E toda a parede é um retângulo. O teto é um retângulo. Um dos objetivos do ensino bom, então, é entender o comprimento e a área. Então você medir o comprimento dos retângulos e vem com a idéia do perímetro dos retângulos. Então, você lida com a área do retângulo. Você constrói o retângulo de casas iguais, de praças da unidade, e vir para a noção de área. Enfim, estamos agora em uma classe que está pouco familiarizada com a área e o perímetro de retângulos. Na mesma folha de papel, desenhar retângulos, com o mesmo perímetro – um perímetro de vinte anos. Acontece que há nove retângulos tais.
Há muitas coisas para observar – ação e percepção. Algumas das crianças serão atingidas pela observação de que todos os cantos desses retângulos estão em uma linha reta. Então eles vão perceber que um desses retângulos tem lados iguais e você pode fazer muitas perguntas sobre isso. Um dos pontos interessantes é que o professor não deve fazer a pergunta, mas as crianças devem fazer as perguntas. Todos têm o mesmo perímetro. Será que eles têm a mesma área? Qual deles tem a maior área?
Aqui é outra atividade com retângulos? Novamente tomar papéis quadrados e cortar retângulos diferentes com as mesmas áreas, digamos área de 24 unidades quadradas. Sobrepõem-los no mesmo papel. Agora, os cantos opostos de um canto em que se sobrepõem não estão em uma linha reta. Existe algum tipo engraçado de linha curva.
Crianças com uma imaginação se juntam a estas para fazer linhas curvas. Então isso é uma outra consideração. Este é um exemplo de uma atividade com retângulos onde as crianças têm a sua própria escolha. Eles fazem suas próprias observações e o professor apenas ajuda um pouco agora e depois, com algumas dicas. Se as crianças não têm idéias de todos, em seguida, bem instruído o professor, que é usada para este aluno de ensino centrado, pode dar uma boa dica.
Talvez um ponto que Miss Biggs e da Fundação Nuffield não enfatizam suficientemente é a regra de adivinhação. Adivinhar nos vem naturalmente. Todo mundo tenta adivinhar e não tem de ser ensinado. O que tem de ser ensinado é razoável supor. E, especialmente, o que tem de ser ensinada é a de não acreditar os seus palpites, mas para testá-los. E as atividade os alunos irão começar muito melhor se você iniciá-los por adivinhar.
Aqui está um exemplo. Uma atividade é medir o comprimento e a largura da sala de aula. Agora, para algumas crianças pode ser “furada” se elas já fizeram isso com um antigo professor. Você pode começar com um pouco mais de atenção se você começar com um palpite. Você pode dizer: “Parece-me que esta sala de aula é o dobro do tempo que é grande. É mesmo?” Eu espero que algumas das crianças irão dizer: “Não, é mais do que duas vezes.” Outros dirão: “Não, ele é mais curto.” Muito poucos dirão: “Exatamente.” Depois de ter adivinhado, que fará a medição com mais interesse muito, porque todo mundo está interessado se o seu palpite virá verdadeiro ou não. Este é um caso muito especial em táticas de resolução de problemas. Se você for mais longe, você vai notar que adivinhando desempenha um papel importante. A solução para um problema, naturalmente, começa sempre com um palpite – nem sempre com um bom palpite. Ao contrário, geralmente o palpite é nunca completamente bom. É apenas um pouco fora do centro e da arte de resolver problemas consiste em grande parte, para corrigir os seus palpites.
Eu lhe dei as minhas idéias sobre como você deve ensinar matemática. Não são as idéias de uma aprendizagem ativa, a prioridade de ação e percepção, e pela atividade de ensino das crianças para iniciá-los, deixando-os adivinhar. Espero que num desses pontos encontra-se a simpatia com alguns de vocês. Obrigado.
***
Esta palestra gravada foi transcrita por Thomas C. O’Brien, só possível graças ao técnico meticuloso trabalho de John Ruiz e Steve Berkemeier. Ele apareceu pela primeira vez o comunicador, a revista do Conselho de Matemática da Califórnia . Parte I apareceu em setembro de 2001, e Parte II apareceu em Dezembro de 2001.
Apresentamos o Capítulo 6 do livro A crise dos fundamentos da matemática: uma abordagem histórico-filosófica, de Jacintho Del Vecchio Junior, Editora Novas Edições Acadêmicas, 2017.
6 Uma metafísica para a matemática
“Existe uma realidade mais sutil que
percorre a vida dos entes matemáticos,
que é algo distinto da lógica.”
Henri Poincaré
6.1A retomada de uma questão antiga
Hoje em dia, o termo metafísica soa quase que pejorativo. Pesa sobre ele um ranço de uma filosofia prolixa e ultrapassada, de alcance e validade questionáveis. Contudo, um debate dessa natureza foi travado nas entrelinhas da questão relativa à solução dos paradoxos da teoria dos conjuntos pelos autores que a ela se dedicaram, algo muito importante e interessante, pois não há como olvidar que as posições assumidas quanto a questão da natureza dos entes matemáticos encontram uma ressonância evidente nos critérios definidos para a validade dos argumentos apresentados no debate acerca dos fundamentos da matemática. Quine chega a afirmar que os três pontos de vista acerca dos entes universais (realismo, conceptualismo e nominalismo) ressurgem na filosofia da matemática do século XX, sob os nomes de logicismo, intuicionismo e formalismo.
Quine não se refere a uma semelhança acidental. Trata-se de um ressurgimento de teses que fomentaram grande parte do que houve de melhor na filosofia medieval. Nesse sentido, é muito pertinente fazer uma breve referência ao modo como a chamada questão dos universais foi tratada na Idade Média para que possamos compreender seu inesperado renascimento no século XX, no campo da matemática. De um modo grosseiro, podemos dizer que Russell defende um realismo inspirado na concepção platônica, Hilbert parte de um ponto de vista próximo ao do nominalismo (deixando em segundo plano a significação dos símbolos matemáticos), enquanto Poincaré e Brouwer alinham-se a uma leitura conceitualista, ao definir os objetos matemáticos exclusivamente como produtos mentais.
Essa problemática permeia todos os posicionamentos dos autores envolvidos na solução dos paradoxos, de modo que é possível perceber que um debate mais profundo que simplesmente a descoberta de uma solução para os paradoxos da teoria dos conjuntos estava sendo travado, a saber, a problemática que remete à verdadeira natureza dos entes matemáticos. A abordagem deste tema já se mostra problemática até mesmo no momento de sua formulação; afinal, ao nos referirmos a uma suposta natureza subjacente a entes matemáticos, parece óbvio que estamos adotando uma alguma espécie de perspectiva realista; afinal, o que está em discussão e o que deve ser o cerne do presente capítulo é justamente a abordagem do problema que se apresenta: tomemos como exemplo um número qualquer (o número ‘$9$'), ou ainda uma operação elementar da matemática (como ‘$1+1=2$'). Perante esse conjunto de símbolos gráficos que o leitor “percebe” (‘$9$', ‘$1+1=2$'), existem ao menos três posições que podemos adotar, sem considerar posições intermediárias:
-considerá-los apenas, respectivamente, um símbolo e um conjunto de símbolos aos quais atribuímos ou não determinados significados, destituindo-os de qualquer realidade para além daquilo “que está no papel”;
-atribuir-lhes a tarefa de representar objetivamente ideias concebidas pelo intelecto humano; ou
-constituírem as representações de seres ou essências que existem em si, independentemente de qualquer atividade mental.
As três respostas acima representam, respectivamente, o cerne das concepções formalista/nominalista, intuicionista/conceptualista e logicista/realista. Dependendo de como respondamos a essa questão, a aceitabilidade de determinadas provas e questões da matemática muda de figura, devido à mudança das exigências implícitas para a justificação das asserções. Nesse contexto é que os autores do período adotam premissas que se contradizem mutuamente, de modo que as disputas relativas aos paradoxos da teoria dos conjuntos e a consideração e avaliação das soluções propostas estão diretamente condicionadas aos princípios por eles adotados. Se tal problema não pode ser propriamente denominado como uma metafísica da matemática (pois isso sugeriria como ponto de partida a aceitação de um realismo), certamente cabe-lhe a forma de uma discussão sobre a possibilidade e a viabilidade dessa metafísica, que reverbera nos problemas abordados nos capítulos anteriores.
O interesse pela questão, aliás, é diretamente proporcional às dificuldades que ela enseja. Afinal, sabemos que a tradição filosófica ocidental deve muito de sua riqueza à tentativa de solução daquilo que podemos denominar o problema da objetividade do conhecimento, trazido à baila como maior ênfase a partir da filosofia moderna. Poderíamos sintetizá-lo da seguinte maneira: há que se apontar de que modo se processa a relação existente entre o sujeito e o objeto do conhecimento (partindo do pressuposto de que essa distinção e a delimitação entre essas duas instâncias é possível). Quanto ao objeto do conhecimento, há uma escolha da qual não podemos nos furtar: ou consideramo-lo como um conjunto de ideias ou com uma realidade exterior. Os problemas relativos a essa escolha e as consequências que dela decorrem constituem a espinha dorsal dos notáveis debates entre racionalistas versus empiristas, idealistas versus realistas, bem como entre as várias ramificações dessas posições filosóficas.
Mas a adoção de uma dessas opções em detrimento de sua concorrente envolve, de modo geral, escolhas difíceis. Com a sustentação da tese da existência de um mundo exterior, apresentam-se duas alternativas quanto à natureza do conhecimento que podemos construir acerca dele: primeiro, arcar com a dificuldade quanto à explicação da possibilidade de estabelecer conhecimento direto e legítimo em relação a algo que nos é exterior; segundo, aceitar de bom grado a precariedade do fenômeno enquanto representação do mundo, que não estabelece nenhuma garantia de identidade em relação a esse mundo exterior. Em contrapartida, defender um idealismo radical que simplesmente nega qualquer possibilidade de contato com uma realidade que está além da consciência parece implicar num solipsismo (isto é, em uma postura que aceita a existência só do ser pensante no mundo) que não parece sustentável. Se tais questões são intrincadas quando ainda existe um mundo exterior (ou um fenômeno) a observar, que dirá ao nos depararmos com uma metafísica dos números, que sequer nos aparecem aos olhos carnais, mas apenas aos do espírito, seja lá o que isso de fato signifique?
Todavia, existem razões que tornam evidente que, mais do que divagações metafísicas ou sutilezas filosóficas, essas concepções acerca da natureza dos entes matemáticos determinaram a forma como os autores envolvidos na polêmica abordaram os problemas acerca dos paradoxos da teoria dos conjuntos, assim como o julgamento que cada um deles estabelecia no que tange à pertinência das soluções sugeridas. Por esse motivo, deve-se atribuir relevância a este problema, e, mais especificamente, aos diferentes nuances que ele assume quando da consideração das diretrizes conceituais das escolas que dominaram a cena do pensamento na matemática e na lógica desde o início do século. Assim, resumiremos o grande leque de posturas possíveis em duas grandes linhas que nos interessam mais diretamente:
▪O realismo ou platonismo matemático, cuja tese central é a de que números (assim como conjuntos, funções, operações matemáticas) consistem em algo que possui uma existência própria e independente; e
▪O antirrealismo, que concebe os objetos matemáticos como criações do intelecto humano, sejam eles nomes (conforme sustenta o nominalismo), sejam conceitos (do ponto de vista do conceptualismo).
Apesar do debate acerca dos universais existir já desde a Antiguidade (e dos objetos matemáticos já estarem inseridos, de alguma maneira, no contexto da metafísica clássica), podemos considerar que o renascimento do interesse e da importância do problema é devido, em grande parte, ao clamor do intuicionismo e do semi-intuicionismo.
Do semi-intuicionismo decorre a não aceitação de determinadas construções matemáticas. No que diz respeito à questão dos paradoxos, Poincaré atribui, como veremos, o diagnóstico dos problemas à crença, por parte dos cantorianos, no infinito atual, e na possibilidade de expressá-lo matematicamente. O intuicionismo, por sua vez, coloca em evidência que o compromisso ontológico deve resultar em consequências práticas, uma vez que, por exemplo, a aceitabilidade da validade irrestrita do princípio do terceiro-excluído na matemática decorre de uma determinada concepção metafísica e, sua negação, ao contrário, da recusa dessa concepção. Nesse contexto, as contribuições de Poincaré e Brouwer devolvem a importância do posicionamento metafísico, ao tornar claras as consequências da aceitação ou da negação de uma doutrina referente às existências independentes dos seres matemáticos. Em termos gerais, o problema que se apresenta é o seguinte: a concepção realista em ontologia é interpretada como aquela que preserva a legitimidade da matemática ortodoxa, enquanto a idealista (ou antirrealista), aquela que exige, em princípio, sua reformulação ou restrição em níveis relevantes; a filosofia subjacente à matemática deixa de ser um fator sem consequências para a teoria propriamente dita para protagonizar a polêmica sobre a própria concepção da disciplina.
Destarte, temos um par bem definido: no ambiente teórico que s seguiu aos paradoxos, a defesa da viabilidade (da verdade, da pertinência) da matemática clássica reclama uma postura realista, enquanto a negação de um fundamento ontológico subjacente através da tese de que os objetos matemáticos são criações do espírito (sejam eles conceitos ou nomes), depois de Brouwer, leva naturalmente à não aceitação da totalidade da matemática clássica. Vejamos alguns dos argumentos envolvidos nessa questão mais detidamente.
6.2O realismo e os entes matemáticos
A perspectiva realista, em sua formulação preliminar, sustenta a tese de que objetos matemáticos existem, e não como simples ideias, não como símbolos representados por sinais gráficos; eles existem como realidades dadas, mas, curiosamente, como entidades que estão para além de nossa possibilidade de apreensão: são intangíveis e atemporais. Fato é que, considerando a filosofia matemática contemporânea, nota-se um afastamento em relação às teses metafísicas concernentes aos objetos matemáticos, em nome de uma tentativa de restringir o problema no âmbito da consideração relativa ao valor objetivo das proposições matemáticas. Nesse momento, ela passa, portanto, a ter uma distância tênue em relação ao antirrealismo – uma vez que, a partir de então, o problema da existência dos entes matemáticos é transformado na questão relativa ao valor de verdade dos postulados que compõem um sistema – e, por isso, sequer podem ser denominados muito propriamente com realistas, no sentido tradicional da palavra. Mas essas tendências são posteriores ao período que temos em foco, motivo pelo qual a abordagem do realismo nesta obra privilegiará a questão propriamente metafísica.
Nossa melhor inspiração para a concepção realista vem dos pitagóricos. Segundo eles, números existem; mais que isso, eles são a realidade última de todas as coisas. Isso fica evidenciado pelas razões e proporções que estão em tudo, em todas as partes, e se o mundo é matemático em sua essência, cabe-nos descobri-lo por intermédio da ciência dos números.
Os pitagóricos procuraram estabelecer uma espécie de dedução do mundo a partir dos números e da dicotomia existente entre unidade e pluralidade, questão esta suscitada pela investigação de Parmênides e da escola eleata [1]. Mais do que uma existência real, a concepção em tela arca, de bom grado, com o peso de procurar identificar na música, na perfeição dos objetos geométricos e, mais, na pluralidade do mundo, manifestações dos números. Com isso, mesclado ao contexto místico-religioso no qual a doutrina pitagórica estava inserida, surge uma das mais inusitadas formulações do período pré-socrático. A unidade de todas as coisas, o grande princípio buscado pela via racional através da filosofia nascente, encontra nos objetos matemáticos um locus privilegiado. A realidade passava a ser uma das possíveis formas de expressão dos números.
No mesmo diapasão, se o pitagorismo é a melhor inspiração, é com base em uma concepção centrada no platonismo que podemos considerar que o realismo matemático encontra uma expressão lapidar, ao aceitar deliberadamente noções que não encontram aporte nem na intuição, nem na experiência. Se comparada às formulações dos pré-socráticos, a obra de Platão traz à tona uma posição madura e ousada no que diz respeito à concepção da realidade e da verdade, o que esbarra na consideração da natureza dos entes matemáticos e da maneira pela qual podemos conhecê-los [2]; por esse motivo, o platonismo torna-se uma referência necessária a ser seguida ou combatida, pois o realismo matemático pode ser considerado, mutatis mutandis, como um desdobramento da doutrina platônica das Formas. Encontramos referências importantes no que diz respeito ao tratamento dispensado ao problema dos universais especificamente nos seus diálogos da maturidade, pois com o passar do tempo, Platão vai paulatinamente distanciando-se da posição, por assim dizer, aporética de Sócrates, muito evidente em seus primeiros diálogos. Em suas obras mais tardias, o filósofo apresenta uma doutrina comprometida com a explicação da realidade, tomando por base uma argumentação que não é de todo dissociada da forma típica da demonstração matemática.
Ao tratar da natureza das Formas, uma questão que se impõe é a de como se torna possível estabelecer essa identidade, essa correspondência pretendida entre uma Forma perene e os seus casos particulares, concretos, observáveis. O trabalho do filósofo é a arte de identificar a realidade não imediata, ao transcender da aparência do concreto à totalidade e perfeição da Forma; o descortinar dessa relação permite a efetiva compreensão da verdade, processo esse onde a Teoria Platônica da Reminiscência tem um papel fundamental [3]. Esses temas são recorrentes em Platão, dada sua importância ontológica e epistemológica.
A alegoria da caverna é certamente a passagem mais conhecida da obra de Platão, que tem dentre suas finalidades a apresentação dessa teoria de modo simples e metafórico. Na concepção de Platão, as verdadeiras Formas, que existem em si e têm realidade própria, mantêm uma estreita relação com a origem dos seres individuais, nos quais essas Formas se reproduzem, ainda que de maneira precária; o argumento relativo à preexistência da alma funciona como forma de intermediação entre o particular (físico) e o transcendente (a verdadeira realidade), porque o ato de contemplar a verdade não é senão um esforço de recordar o previamente conhecido, antes do retorno da alma ao mundo físico e de sua prisão nos grilhões da caverna que constituem o corpo material. O reconhecimento da beleza em várias coisas tão distintas entre si (uma paisagem, uma obra de arte, um corpo feminino, uma música, etc.) decorre de sua natureza comum em relação à Ideia (ou Forma) original da beleza. Essa é a articulação básica que dá sustentação ao realismo platônico, fundada na ideia de naturezas comuns participadas necessárias para explicar ontologicamente a co-especificidade dos indivíduos.
Dessa maneira, em Platão, o conhecimento das Formas caracteriza-se por uma evidência intelectual, com o ato de olhar “com os olhos do espírito”. A metáfora é bem empregada, pois é praticamente como se o testemunho da razão se realizasse por um processo análogo ao da visão sensorial: o intelecto contempla a realidade, pois há uma realidade em si que a razão pode efetivamente apreender (que não se resume a ideias criadas pela mente humana ou a experiências sensoriais), e da qual fazem parte os entes matemáticos. Há, portanto, uma referência direta e real à qual o matemático pode aspirar; em termos da metafísica clássica, há um ser a ser conhecido. Todo o trabalho do sábio é o de traduzir, tão perfeitamente quanto possível, a realidade eterna, perene e perfeita das Formas.
Não obstante as várias possibilidades de interpretação abertas pelos textos platônicos, na República (509-11) encontra-se uma indicação que nos permite considerar que os números e as formas geométricas podem ser compreendidos como as Formas platônicas, ou, no mínimo, constituintes do mundo dos seres que refletem as verdadeiras Formas. São, todavia, uma “classe” diferenciada de Formas que, ao contrário das outras, têm a peculiaridade de existir em quantidade (e não como uma essência única, como é o caso do Belo, por exemplo) [4]. Essa outra concepção de Forma representada pelos números está mais associada ao mundo ideal que ao sensível e, por isso, não estabelece por si só qualquer relação de direito com o mundo da aparência. Esse fato explica como o vínculo que surge entre o realismo matemático e a matematização dos fenômenos físicos encontra maior proximidade na concepção aristotélica que para Platão: por pertencerem ao mundo das Formas, não há motivo de considerar qualquer laço mais forte entre a perfeição dos objetos matemáticos e a realidade observável.
Vários autores contemporâneos também sustentam um realismo de cunho platônico, dentre os quais Russell e Gödel são bons exemplos. Russell apresenta, em um texto de 1911, intitulado O Realismo Analítico, a maneira como ele concebe a articulação entre matemática e a ontologia a ela subjacente. O nome atribuído ao artigo é justamente o de seu posicionamento teórico. Defender uma concepção realista e analítica significa, segundo Russell, sustentar ao mesmo tempo a crença na existência de entidades não mentais (o que o torna realista) e, associado a esse compromisso ontológico, um outro que não deixa também de ser metodológico: o autor denomina sua filosofia como analítica ao postular que tudo que é complexo é derivado do simples. Ao explicitar o que entende por “simples”, Russell atribui ao conceito dois sentidos: “simples” pode ser atribuído tanto a conceitos universais quanto a dados sensoriais. Essa ideia guarda uma relação íntima com o conceito de infinito leibniziano, além de estar em consonância com o chamado axioma da compreensão, importante tanto na teoria dos tipos lógicos quanto na teoria axiomática de Zermelo-Fraenkel. Note-se, porém, que apesar da importância capital dos conceitos e definições na matemática, eles são mais ou menos aceitáveis de acordo com sua suposta adequação, sua provável similaridade em relação às formas perenes. Nesse sentido é que as verdades matemáticas existem per se, são universais e externas em relação a nossa consciência [5].
A justificação dessa posição de Russell é fundamentada, em parte, pela insuficiência dos sistemas que lhe são concorrentes, quando opõe o realismo tanto à tese empirista quanto à idealista. Segundo ele, o idealismo, ao fundamentar toda a existência na consciência, exige uma regressão infinita (pois a própria existência da consciência também é dada na consciência), o que não é, de fato, aceitável. O problema do empirismo, por sua vez, é que seu princípio (“tudo é conhecido pelos sentidos”) não pode ser conhecido pelos sentidos, no que acaba por inviabilizar a tese em suas bases. A conclusão a que se chega é a de que nem idealismo nem empirismo são capazes de fundamentar devidamente a matemática, donde se conclui, portanto, que o realismo é a melhor maneira de realizar essa tarefa [6]. Note-se, entretanto, a forma falaciosa da construção dos argumentos: Russell ataca versões radicais, quase caricatas, do empirismo e do idealismo, posições essas que, sem dúvida, são mais facilmente objetáveis, o que lhe permite mui facilmente tirá-los do contexto para a sustentação do realismo como “a alternativa viável”. A sua estratégia é, portanto, trasladar o problema de uma instância a outra: como as posições sustentadas pelo idealismo e empirismo têm o foco nas condições de conhecimento e, portanto, no sujeito cognoscente, o ato de problematizar suas soluções lança-o, de modo pretensamente legítimo, a uma instância que diz respeito ao objeto, e só a ele. Assim, o autor entende o conhecimento viabilizado pela “nossa” matemática como uma tentativa de aproximação por parte do intelecto que procura apreender as existências matemáticas, que lhe são estranhas e perenes, de modo que todos os paradoxos e problemas da matemática não constituem mais que os momentos imperfeitos das teorias; há uma realidade a descobrir, e uma ciência – de caráter aproximativo, é verdade - a conceber.
Kurt Gödel também comunga de pressupostos semelhantes, ao sustentar um realismo pouco modesto, reivindicando a legitimidade de conhecer os objetos matemáticos de maneira análoga àquela através da qual conhecemos os objetos reais:
Nós temos uma espécie de percepção também em relação aos objetos da teoria dos conjuntos, quando vemos que os axiomas mostram-se para nós como verdadeiros. Não vejo nenhuma razão pela qual deveríamos ter menos confiança nesse tipo de percepção, ou seja, na intuição matemática, que na percepção sensorial, que nos leva a construir teorias físicas e esperar que as futuras percepções sensoriais concordem com elas... (GÖDEL, 1947, p. 484).
Os próprios resultados fomentados pelos teoremas da incompletude, que abordaremos mais adiante, podem ser tomados como uma decorrência natural desse estado de coisas, considerando que o próprio Gödel afirmava que sua concepção realista foi um fator importante tanto na descoberta da completude da lógica de primeira ordem quanto da incompletude da aritmética. A matemática, por se tratar, em sua totalidade, de algo que transcende a razão humana, pode evidentemente incluir questões para as quais nós não tenhamos respostas, o que a prova de Gödel retrata bem. Essa é, por assim dizer, uma decorrência direta da amplitude, riqueza e suposta inesgotabilidade da matemática.
Via de regra, as consequências do teorema da incompletude são interpretadas como resultados nocivos à matemática, tanto por supostamente destruírem as pretensões de Hilbert no que tange ao programa que leva seu nome, quanto por apontar um limite à pretensão ingênua de perfeição da disciplina. Esse aspecto negativo, que acaba por restringir a matemática a um sistema conceitual dentro do qual é necessário escolher entre a completude e a consistência, é visto pelo próprio Gödel de uma maneira bem diferente. Naquilo que assume a forma de uma limitação, o seu articulador ali enxerga também um sintoma: a matemática, em sua totalidade, não é passível de ser expressa em um sistema simbólico pronto e fechado, o que talvez seja, aos seus olhos, uma consequência natural do fato de que os objetos matemáticos existem assim como os objetos concretos. Em ambos os casos, a linguagem deve ser moldada e procurar uma identidade com a realidade exterior. Existe, dessa forma, uma diferença notável entre, de um lado, a realidade dos objetos matemáticos, esse conjunto de formas perfeitas e perenes, e, de outro, a “nossa matemática”, que consiste em um esforço de chegar tão perto quanto possível do seu modelo ideal.
Há uma série de argumentos que minam as posições realistas, sejam eles de ordem metafísica, lógica ou epistemológica. Aqui trataremos apenas de dois deles. O primeiro é o chamado argumento de indispensabilidade de Quine, que, dada sua ampla aceitação mesmo entre nominalistas, é a pedra de salvação do realismo e o problema a ser superado por uma leitura contrária a essa posição. Ele consiste no seguinte argumento: o ato de asseverar entidades teóricas em nossas melhores teorias (e, dentre elas, certamente estão os entes matemáticos) reivindica a aceitação da existência real de tais entidades. Em outros termos, as teses epistêmicas clamam por uma fundamentação ontológica, se é que as teorias remetem a algo de real.
Outro argumento a favor do realismo é quase que um apelo ao senso comum, e não se desvencilha, em sua essência, do argumento de indispensabilidade. É preciso reconhecer que, se a matemática desempenha um papel efetivo nas teorias explicativas da realidade, deve haver uma instância de contato entre esses dois polos; daí a necessidade de postular uma identidade entre a ontologia da matemática e a realidade “em si”, o que se traduz pelo compromisso ontológico decorrente da matemática standard.
A referência externa a uma realidade objetiva comum seria, grosso modo, o motivo da legítima e evidentemente bem-sucedida aplicação da matemática à realidade exterior: se há uma espécie de compatibilidade entre relações matemáticas e grande parte de nossas teorias relativas às ciências naturais (ou, em outros termos, se a matemática é aplicável e, em alguns casos, indissociável das nossas melhores teorias físicas), deve haver uma espécie de origem compartilhada, pois não é possível considerar que essa semelhança, que tende à identidade, seja somente o produto de um feliz acaso.
Apesar da força e da pertinência desses argumentos em favor do realismo, as dificuldades inerentes a essa corrente também são muito evidentes. Dentre elas, dois problemas epistemológicos mais centrais são os seguintes: primeiro, o desafio de compreender como se dá a apreensão desse tipo de entidades pelo intelecto e, em segundo lugar, como essas entidades podem ser consideradas objeto de saber científico. A não ser que, seguindo Gödel, concordemos que a evidência intelectual é base satisfatória e suficiente para essa aproximação (o que, em si, é uma tese controversa), a única alternativa que nos resta é a de um contato precário, de procurar compreender uma essência intangível através do que a ciência nos ensina (que consiste exatamente na contraparte do argumento de indispensabilidade). Para além disso, não há solução plausível nesse horizonte que suporte um ataque mais incisivo do antirrealismo.
6.3O antirrealismo: nomes e definições
O antirrealismo engloba tanto o conceptualismo quanto o nominalismo, uma vez que, no que diz respeito à questão ontológica, ambas as correntes podem ser identificadas quanto ao seu “espírito”, sua inspiração original: o antirrealista subordina a existência dos objetos matemáticos à nossa capacidade de concebê-los. Se nosso foco estivesse centrado nas questões relativas à lógica matemática, a distinção entre nominalismo e conceptualismo seria mais importante. Todavia, do ponto de vista ontológico-epistemológico, a distinção entre eles não precisa ser considerada em detalhe.
Logo, para o antirrealista, não há que se falar em existências independentes de entes matemáticos: a existência do objeto matemático radica em sua concepção, seja em nível meramente linguístico, seja em um nível conceitual a ele associado; em ambos os casos, o que o caracteriza é o fato de que sua realidade está diretamente associada ao exercício do intelecto. A profusão de caminhos que se desdobram a partir daí é extensa: é possível, através dessa perspectiva, conceber os entes matemáticos como nomes, conceitos, meras ficções, mas sempre denegando a eles qualquer existência fora do âmbito do pensamento, e respondendo apenas às exigências impostas por nosso intelecto e linguagem.
Como em tantos outros temas, o pensamento de Aristóteles no que diz respeito à realidade dos entes matemáticos opõe-se ao de Platão, e também constitui uma referência historicamente importante. Sua posição em relação às essências da matemática é explicitada na Metafísica, quando ele aborda especificamente a natureza do número. Sob certo ponto de vista, podemos dizer que Aristóteles considera a quantidade, expressa através dos números, como uma categoria anterior à própria substância, pois faz uma distinção entre a primazia que os objetos matemáticos apresentam no que diz respeito a sua definição, mas não à sua “substancialidade”. Resumidamente, a posição de Aristóteles articula-se em um quadro onde qualquer referência aos universais depende de suas instâncias particulares, individuais, donde decorre que os universais não existem atualmente, mas apenas enquanto abstrações derivadas dos entes concretos.
Assim, apesar de também tratar-se de uma teoria de cunho realista, a doutrina aristotélica exige a participação dos universais nos seres particulares para que possam subsistir. Note-se, portanto, que há um entrelaçamento que exige um esforço de compreensão maior que a simplicidade testemunhada na teoria platônica das Formas; esse esforço de compreender algumas passagens dúbias do Filósofo em relação à natureza dos universais [7] rende quase dois mil anos de intensos debates. Mas é possível dizer grosseiramente que a solução de Aristóteles quanto ao problema dos universais afasta-se da teoria platônica ao concebê-los como existentes apenas potencialmente, enquanto concede exclusivamente aos seres particulares realidade atual.
Aristóteles condena a ideia de substâncias universais dotadas de existência independente na atualidade [8], e, de maneira análoga, ao considerar a natureza das proposições, nega qualquer realidade aos universais separados de grupos de substâncias particulares [9]. É preciso, todavia, atentar para o fato de que a primeira formulação (que trata das substâncias) é metafísica; a segunda (que remete a proposições), linguística; mas em se tratando de realidades universais, só há que se falar, no máximo, em uma espécie de potencialidade, e não mais que isso. Cabe ainda ressaltar que, em Aristóteles, o devir, a potencialidade, alinha-se ao que ainda não é, e, portanto, ao não-ser, de modo que não podemos propriamente conferir qualquer tipo de realidade factual aos universais.
Como já indicamos brevemente, em parte devido ao laconismo de Aristóteles, o problema concernente à natureza dos universais é objeto recorrente de estudo de um extremo a outro da Idade Média, mas certamente os escritos de Pedro Abelardo, datados do século XII, consistem em referências valiosas para essa questão. O autor, ao adotar uma postura nominalista, atribui aos universais um status quid non est res. Segundo ele:
O significado dos universais (...) é sempre formado por meio da abstração. Quando eu ouço dizer homem, brancura ou branco, eu não me lembro pela força do nome de todas as naturezas ou propriedades que existem nas realidades substanciais, mas pela palavra home tenho apenas a concepção, embora confusa, não distinta, de animal e de racional mortal. (...) Com efeito, os significados das coisas individuais formam-se por meio de abstração quando, por exemplo, se diz: esta substância, este corpo, este animal, este homem, es brancura, este branco. (ABELARDO, 1973, p. 243).
A concepção de Abelardo de atribuir aos universais uma realidade precária, derivada de conceitos, encontra-se inserida em um período que testemunhou a criação de dois termos que identificavam posições distintas acerca do problema dos universais: reales e nominales, que retratam tendências divergentes em relação a como conceber a origem dos universais, mas que apresenta nuances importantes, caso estivesse em nosso escopo a discussão precisa dessas noções. Um problema acessório que exemplifica essa dificuldade, e que consiste em um verdadeiro emaranhado conceitual, é o conjunto de sutilezas que distinguem as teses aventadas pelos nominales dos nominalistae, traço de diferenças que podem existir mesmo entre leituras de inspiração antirrealista.
Os realistas do século XII, por sua vez, têm como pressuposto básico a ideia de que os gêneros são coisas, de maneira que pretensamente existe uma realidade concreta, palpável, a ser atribuída a eles, a exemplo da concepção absoluta dos gêneros que encontramos nas formas perfeitas de Platão. Há, portanto, uma consequência imediata desse posicionamento: o comprometimento com a tese de que há algo que antecede as existências dos seres particulares. Daí a necessidade de reconhecer que o indivíduo está em uma relação direta de predicação com seu respectivo gênero e espécie. Segundo eles, coisas predicam de coisas. As teses nominalistas do mesmo período, por sua vez, podem ser entendidas como uma contraposição direta às teses realistas: gêneros e espécies não têm, em absoluto, qualquer existência concreta; são, ao contrário, simplesmente nomes atribuídos genericamente a coisas particulares. Por esse motivo, não há que se conceber qualquer realidade que não aos seres particulares e, consequentemente, a predicação legítima não é de coisas para coisas; para o nominalista, nomes predicam de nomes, e essa solução deve responder ao estatuto a ser atribuído aos universais.
O conceptualismo [10], por sua vez, ganha força no século XIII, a partir dos averroístas latinos e da consequente recuperação do corpus aristotélico que eles propiciam à Europa, com Siger de Brabant, cujas posições foram retomadas mais tarde de maneira primorosa por Guilherme de Ockham. Essa parece ser uma doutrina mais próxima da formulação contida na Metafísica de Aristóteles quanto aos universais, ao sustentar que “o universal enquanto universal não é substância”. Estes são conceitos delineados pelo espírito, e sua existência resume-se a isso. Enquanto uma criação intelectual talhada para a compreensão do mundo empírico, o universal segundo os conceitualistas adota uma existência própria, separada dos particulares, mas que também está além de um simples nome. A relação de participação e separação que o realista concebe como algo que deve ser atribuído às próprias coisas, o conceptualista coloca entre aspas: é a ação do intelecto que pode encontrar nos particulares gêneros comuns, participações e singularidades.
Ao aplicar um conceito a um conjunto de coisas, parece evidente que o mecanismo através do qual essas operações se processam é, acima de tudo, o da abstração. Desse modo, os universais só existem quando se apresentam como objetos mentais. Segundo Spade (2002, p. 147), o que Ockham e os nominalistas do século XIV em geral fazem, em certo sentido, é adotar a noção dos realistas de uma entidade universal, e alocar sua “realidade” na mente, o que a transforma em um conceito universal, não no sentido metafísico da palavra, mas enquanto termo da linguagem mental; um conceito universal é universal no sentido de “que pode ser predicado de muitos”. Por isso, o único tipo de ‘universais’ que Ockham permitirá são termos universais (conceitos gerais na mente, termos falados ou escritos). Não há, portanto, naturezas comuns, universais, na realidade.
A doutrina kantiana é outra forte referência para o antirrealismo. Em Kant, toda a origem do conhecimento em geral, e da matemática em particular, resume-se a juízos, não havendo qualquer recurso a uma realidade externa propriamente dita, mas à maneira como os objetos externos afetam nossa sensibilidade. A bem conhecida distinção entre a coisa-em-si incognoscível e o fenômeno que é objeto de conhecimento já exclui a possibilidade de qualquer recurso direto à exterioridade, uma vez que nossas experiências sensíveis estão determinadas pelas formas de sensibilidade do sujeito cognoscente. Desse modo, todo o conhecimento constitui-se por uma reunião de conceito e intuição sensível, pois, segundo Kant, “o conceito sem a intuição é vazio; a intuição sem o conceito é cega”, e não tem outro locus senão o intelecto. Portanto, até mesmo no
caso em que o “sensível” entra em cena, ele está subordinado, determinado, dirigido pela ação do intelecto, através de suas formas de sensibilidade, que caracterizam sua estrutura peculiar, conforme a bem conhecida teoria elaborada na Estética transcendental da Crítica da razão pura. O conhecimento humano assume assim um caráter ideal, a partir do que os binômios análise[11]/síntese [12], e a priori/a posteriori vêm especificar o conteúdo e a origem desses juízos [13]. No caso específico da matemática, todo o conhecimento é reduzido a juízos sintéticos a priori, mas com um tratamento bastante distinto entre os objetos da aritmética e os da geometria. Aqui, abordaremos apenas as linhas mestras da perspectiva kantiana na matemática.
A argumentação que delineia a matemática como um conhecimento sintético e a priori é descrita com maior propriedade no texto dos Prolegômenos a toda Metafísica Futura que propriamente na Estética transcendental. Ali, a estrutura conceitual empregada por Kant aparece com clareza: o fato de a matemática ser constituída por juízos dessa natureza tem uma relação direta com a origem ideal do conhecimento sintético a priori, e com a subordinação às formas de sensibilidade, espaço e tempo: no tempo, encontramos a base essencial da aritmética; no espaço, a da geometria.
A forma a priori da intuição de espaço é anterior a toda experiência sensível e, assessoriamente, condição necessária da representação dos objetos sensíveis [14]. O espaço deixa de ser o lugar dos objetos concretos para tornar-se uma forma através da qual nossa sensibilidade articula nossas experiências; por isso, a geometria, fundada diretamente na intuição pura de espaço, encerra nossa perspectiva em relação ao mundo sensível. Destarte, a geometria, enquanto ciência que descreve as propriedades desse espaço, não pode ser derivada de simples conceitos, mas requer necessariamente uma intuição que permita a síntese dos conceitos que a ela remetem. Há, portanto, um fundamento mais sólido que o mero acúmulo de experiências individuais, uma base para o estudo das formas geométricas e sua posição no espaço que transcende o meramente empírico. O exemplo em relação a uma geometria diferente da tridimensional é oportuno: segundo Kant, apesar de um conjunto de asserções acerca de um espaço quadridimensional não apresentar necessariamente contradições lógicas, ele contradiz a estrutura estabelecida como forma de experiência a priori, a nossa forma peculiar de representar o espaço [15].
Do mesmo modo que o espaço, o tempo é uma forma pura de sensibilidade, condição prévia e a priori para as representações e fundamento de todas as intuições sensíveis, tendo, portanto, um alcance maior que o da intuição intelectual de espaço. Ao tempo, Kant reserva o status de condição formal e a priori de todos os fenômenos. O próprio conceito de número, por sua vez, é uma decorrência da intuição de adição sucessiva de unidades de tempo; à intuição de “momento”, concebida como unidade de tempo, associa-se o conceito de número. A série dos naturais e as operações fundamentais da aritmética são assim compreendidas como criações conceituais que representam desdobramentos naturais da intuição originária de tempo.
A questão da construtibilidade na concepção matemática kantiana sugere uma temática interessante. Segundo Kant, na matemática nós obtemos conclusões tanto do que é dado pelo conceito quanto do que é dado pela “construção” do conceito. Uma vez que nós os estamos construindo (por exemplo, pontos, linhas, figuras geométricas), somos guiados em nossas provas por intuição e pela síntese da imaginação; assim, nossas inferências são sintéticas. Mas uma vez que a intuição que nos guia não é empírica, a síntese refere-se a uma “imagem” a priori, e nossas inferências ou juízos decorrentes desse processo são sintéticos a priori, motivo pelo qual a análise conceitual por si só é inadequada à matemática como um todo, mas na geometria especialmente.
Todavia, se na geometria temos o desenrolar desse processo, quando nos referimos à aritmética, não se pode falar de uma construção de objetos em sentido estrito. O emprego do termo é metafórico, pois remete a um tipo de imaginação espacial encontrada apenas nas formas da geometria. Assim, não é sem esforço que podemos identificar a semelhança da possibilidade de traçar uma linha com a possibilidade de conceber um objeto matemático com determinadas propriedades e reconhecer que a elaboração da segunda concepção, de algum modo, segue a primeira. Em suma, a natureza do conhecimento matemático está diretamente calcada na construção de conceitos com base em intuições, mas essas construções são individuais, ainda que a elas atribua-se validade geral; a existência dos objetos matemáticos decorre, dessa maneira, de sua efetiva construção.
A construtibilidade dos objetos matemáticos é uma noção levada ao extremo por Brouwer, dentro do contexto da reformulação da matemática pretendida pelo intuicionismo. As bases de um construtivismo estrito levam, como vimos no capítulo anterior, à reelaboração da matemática que se mostra muitíssimo mais ousada que os modelos kantiano e se intuicionista. Sua exigência no que concerne ao princípio do terceiro- excluído traz à tona uma questão que, podemos considerar, impulsiona o debate ontológico: como já exposto, até Brouwer, a adoção de uma perspectiva realista ou o antirrealista não impunha consequências importantes à teoria matemática, pois o posicionamento ontológico soava muito mais como inspiração que como critério para a teoria matemática.
Contudo, o trabalho de Brouwer pareceu indicar que o ato de sustentar a matemática clássica implicava, de alguma maneira, no comprometimento com uma doutrina de cunho realista, pelo tipo de referência permitida para as definições em jogo enquanto que, por outro lado, uma postura antirrealista tinha como consequência natural a restrição dos objetos matemáticos à sua efetiva construção mental, rejeitando, por conseguinte, parte considerável da matemática standard. Note-se que há nesse argumento uma inversão, e que ela não é casual: a matemática clássica tende a levar ao realismo; o antirrealismo, por sua vez, deságua mais naturalmente na matemática construtivista. Nesses dois pares, o realismo pode ser visto como consequência, e o antirrealismo, por sua vez, como causa da aceitabilidade de premissas de construção da teoria. O que se percebe a partir daí é que o antirrealismo, em suas manifestações mais importantes, assume um cunho reformista da matemática clássica, na tentativa de moldá-la de acordo com seus padrões. Assim, a pergunta a ser formulada ao revisionismo característico do antirrealismo pós-brouweriano refere-se à pertinência da reconstrução da matemática clássica - malgrado sua aplicabilidade e poder explicativo quando bem associada às teorias físicas - com o único propósito de objetar teses de cunho realista.
Há autores que, nas discussões contemporâneas, enveredam-se por esse caminho sem maiores melindres, justificando sua atitude em uma necessidade de alinhar o “produto final” à nossa “capacidade produtiva”: partindo da premissa de que a matemática é apenas um conjunto de definições, nomes ou conceitos, a adoção de uma perspectiva de natureza antirrealista, por abrir mão deliberadamente de qualquer conceito que não seja passível de uma construção precisa, compromete-se também com um rol mais restrito em termos do que é aceitável dentro do universo matemático.
Como exemplo dessa tendência revisionista na matemática, podemos citar, claro que com variações importantes, os trabalhos de Michael Dummett, Charles Chihara e Hartry Field, os autores mais destacados dessa linha. Em termos gerais, a argumentação de Dummett baseia-se em uma tentativa de efetuar uma interpretação semântica da matemática enquanto produto do intelecto humano, algo que se distancia do que há de essencial no pensamento de Brouwer, considerando que este dissocia a verdadeira matemática da linguagem que a expressa. Hartry Field, por sua vez, em seu Ciência sem Números lança-se a uma tentativa notável de restringir o alcance do argumento de indispensabilidade de Quine. Contra praticamente toda a tradição científica construída desde o século XVII, ele procura argumentar em favor de uma ciência qualitativa, que prescinda da aplicação de números e grandezas matemáticas, com o intuito de mostrar que essa relação entre a física e a matemática é possível e cômoda, mas não necessária. Chihara, por sua vez, é uma meia-exceção; também procurando dar uma resposta ao argumento de indispensabilidade, o autor aborda o problema partindo das construções lógicas associadas à matemática, quando apresenta uma lógica modal [16] que serve de sustentação à matemática através da qual os enunciados, centrados no conceito de possibilidade, não nos prendam a qualquer tipo de compromisso ontológico. Mas ainda que resolvido o problema relativo ao argumento de indispensabilidade no que tange ao compromisso ontológico que ele envolve, as soluções propostas ainda não foram capazes de responder satisfatoriamente como a matemática encontra uma aplicação tão precisa e direta nas ciências naturais, se ela é apenas um conjunto de conceitos que não guarda qualquer relação com a realidade. Trata-se, ainda, de um problema mal resolvido, de um debate não consumado.
6.4As consequências do posicionamento metafísico
O período da crise dos fundamentos da matemática pode ser considerado como um momento de releitura das bases da disciplina pela prodigalidade de temas e polêmicas que suscitou. Como um exemplo pontual, podemos citar que a adoção de uma postura realista ou antirrealista esteve no cerne de um debate ocorrido entre matemáticos franceses acerca do estatuto do axioma da escolha, que toma a forma de uma discussão em relação à natureza das definições empregadas na matemática. Pode-se dizer que essa polêmica em relação ao status do axioma da escolha revive o debate ontológico entre nominalistas e realistas do século XIV.
De um lado, Émile Borel, Henri Lebesgue e René-Louis Baire são matemáticos que adotam a postura de impor restrições à aceitação do axioma da escolha. O motivo desse posicionamento decorre do fato de que, como vimos anteriormente, o axioma da escolha, em sua simplicidade gritante, nada esclarece acerca de como efetuar aquilo que eles asseveram quando aplicado às séries transfinitas. Malgrado os enganos cometidos até mesmo no que tange à compreensão de noções fundamentais envolvidas no problema (quando, por exemplo, Borel não observa a incomensurabilidade entre séries infinitamente enumeráveis e séries transfinitas, o que o leva à formulação de exemplos mal colocados em relação à atribuição do axioma da escolha às séries transfinitas [17]), os argumentos desses autores giram ao redor do clamor pela perfeita construtibilidade e da exigência da efetiva possibilidade de veiculação de conteúdo por meio de uma definição. A posição desses matemáticos remete sempre à necessidade de ater-se a um universo discursivo-conceitual, quando Baire e Lebesgue exigem uma definição específica para os objetos tratados, posição tacitamente corroborada por Borel, parecendo evidente a filiação das escolhas na matemática como subordinadas às regras da linguagem que refletem, em última análise, as regras do pensar.
Jacques Hadamard, entretanto, posiciona-se sob um ponto de vista contrário a eles, procurando evidenciar a distinção entre a definição e a descrição de relações matemáticas. Com essa distinção preliminar, ele mostra que há, na busca por uma efetiva descrição, um esforço desnecessário: a descrição está diretamente ligada à determinação efetiva, enquanto o que realmente importa é a possibilidade de postular a existência da série, no caso específico do axioma da escolha. Segundo Hadamard, portanto, não há necessidade de uma correspondência entre, de um lado, os objetos e as provas matemáticas e, de outro, nossa capacidade de efetiva construção de suas teses que extrapole os limites da mera definição. A matemática não se limita àquilo que podemos efetivamente conceber, mas às grandezas e operações de seu tipo peculiar que somos capazes de definir, o que, obviamente, permite ampliar o rol dos objetos com os quais a matemática opera.
Essa perspectiva poderia conduzir-nos à sugestão de que é nos limites da não contradição que Hadamard encontra o critério para a existência dos objetos matemáticos, assim como sugerem Hilbert e Poincaré [18]: Contudo, o autor recusa-se a aceitar até mesmo os princípios da lógica como critérios aptos a determinar a existência de objetos matemáticos. Segundo Hadamard, a definição dos objetos matemáticos, assim como sua consistência, deriva de sua existência, motivo pelo qual, para ele, assim como para Frege, a preocupação de Hilbert quanto à consistência de sistemas matemáticos é secundária.
Hadamard professa um realismo tão convicto que chega a defender a possibilidade de demonstrar a existência de um ente matemático até mesmo sem defini-lo perfeitamente, ou seja, logicamente. A lógica, ou mais especificamente, o princípio de não contradição, é tomado por Hadamard como pertencendo aos domínios da psicologia, que subordina a existência a uma forma peculiar de operação de nossa mente, quando na verdade os objetos matemáticos transcendem esses limites estreitos. O advento dos paradoxos é explicado do ponto de vista da aplicação indevida da linguagem que descreve essas realidades, como, por exemplo, a dificuldade suscitada pela antinomia de Burali-Forti, quando a própria definição de conjunto é imprecisa: utiliza-se uma definição que supõe um conjunto em construção quando licitamente só podemos formar um conjunto com objetos previamente existentes.
Partindo dessa leitura original e instigante de Hadamard, torna-se claro que podemos considerar os debates relativos à concepção de infinito e à delimitação do papel do princípio de indução completa abordados no próximo capítulo como decorrências diretas das posições defendidas acerca da questão metafísica que subjaz às teorias matemáticas. É preciso reconhecer, portanto, que a questão metafísica (leia-se, a sustentação de uma metafísica subjacente à filosofia da matemática ou sua negação, nos termos da construção de objetos matemáticos pelo intelecto e/ou linguagem humanas) determina posicionamentos importantes para os fundamentos da matemática.
Notas:
[1] “O número é a essência própria das coisas. Os eleatas dizem: ‘Não há não ser, logo, tudo é uma unidade'. Os pitagóricos: ‘A própria unidade é o resultado de um ser e de um não ser, portanto há, em todo caso, não ser e, portanto, uma pluralidade'. À primeira vista, é uma especulação totalmente insólita. O ponto de partida me parece ser a apologia da ciência matemática contra o eleatismo. (...) A contribuição original dos pitagóricos é, pois, uma invenção extremamente importante: a significação do número e, portanto, a possibilidade de uma investigação exata em física” (NIETZSCHE, 1996, p. 62-3).
[2] “Há dois sentidos para o platonismo. (...) O mais conhecido e que encerra uma explicação menos plausível é o ‘platonismo ontológico', que é uma doutrina sobre a realidade de objetos matemáticos, que são de alguma forma independentes de nossa atividade matemática, de nossa consciência e acesso a eles. (...) A segunda explicação do platonismo, que é ao menos prima facie distinta da primeira, é a que se refere ao deslocamento do tema ontológico da existência de objetos matemáticos para o campo da objetividade da verdade matemática. Não está claro se esses dois ‘tipos’ de platonismo são ou não realmente independentes” (FOLINA, 1992, p. 146).
[3] No Mênon, Platão traz à cena um escravo que, devidamente conduzido pela argumentação característica da maiêutica socrática, efetua a dedução de um teorema de geometria, apesar de nunca tê-la estudado (PLATÃO, Mênon, 82-5). A preexistência do saber consiste no cerne da maiêutica: trazer à luz o que já conhecemos. Platão argumenta assim que se é possível deduzir um teorema, como o escravo o faz no Mênon, é porque sua alma já tem uma participação comum com as formas puras dos números e dos objetos geométricos; significa, em outros termos, que os objetos que compõem aquilo que denominamos aritmética e geometria possuem uma existência transcendente, que a alma preexistente conhece e procura recordar.
[4] Também no Fédon, as relações de grandeza e de quantidade desempenham função importante: com o intuito de sustentar sua teoria das Formas, Platão emprega, dentre outros aspectos, pares do tipo “maior/menor”, “grande/pequeno”, acabando por se referir a grandezas matemáticas e a relações básicas da geometria e da aritmética com a pretensão de sustentarem uma natureza imutável (PLATÃO, Fédon, 100-2).
[5] “A matemática pura pertence ao mundo da essência. O erro capital do idealismo consiste em querer encontrar para o mundo das essências um lugar dentro do mundo da existência, ou seja, dentro do espírito. Esse erro impossibilitou, até agora, uma filosofia satisfatória da matemática ou de outros conhecimentos a priori” (RUSSELL, 1911, p. 303).
[6] “A maioria das filosofias leva à conclusão de que as proposições matemáticas não podem ser completamente verdadeiras, e elas são mais ou menos contaminadas com a contradição ou a inexatidão. A filosofia que eu denomino como realismo analítico, em contraste, leva à conclusão de que não há nenhuma razão para duvidar da verdade absoluta das proposições matemáticas” (RUSSELL, 1911, p. 297).
[7] Um bom exemplo de como a obra de Aristóteles presta-se a interpretações dúbias é a Isagoge, o comentário de Porfírio ao livro das Categorias. Sua intenção, ao abordar aquilo que concerne aos gêneros e espécies, remete ao “problema de saber se são realidades subsistentes em si mesmas ou apenas simples concepções do espírito e, admitindo serem realidades substanciais, se são corpóreas ou incorpóreas, se, enfim, estão separadas ou se subsistentes apenas nas coisas sensíveis, e junto a elas” (PORFÍRIO, 1965, p. 19-20). Porfírio se coloca então em meio a um problema que esbarra todo o tempo em consequências que por vezes soam como lógicas, e outras vezes como ontológicas. Vide, por exemplo, o tratamento do gênero (PORFÍRIO, 1965, p. 37): trata-se de escolher entre defender a ideia de que existe um conceito aplicável a uma totalidade de coisas ou um atributo essencial, real, quiçá corpóreo, aplicável a essa mesma realidade. Quando Porfírio dirige seu comentário à categoria denominada “espécie” a dificuldade parece então ainda maior: “por sua participação à espécie, a multidão dos homens é apenas um só homem; ao contrário, pelos homens particulares, o homem único e comum torna- se múltiplo; o particular é sempre fator de divisão, e o que é comum, fator de similitude e de unificação” (PORFÍRIO, 1965, p. 65-6). Fato é que encontramos na Isagoge um comentário às Categorias que soa muito mais platônico que aristotélico, e que é um ponto decisivo para o problema dos universais, por funcionar como uma estrutura conceitual presente em todo o período medieval: “As teorias dos Reales do século XII aparecem como expansão doutrinária fixada através das fórmulas de Porfírio: a teoria realista da collectio discutida por Abelardo não é nada além da apresentação argumentativa da fórmula contida naIsagoge. No outro extremo da Idade Média, a teoria do homem comum, contraposta a Ockham por Gauthier Burley, não é nada além de um refinamento da noção porfiriana de ‘homem único e comum'” (LIBERA, 1966, p. 33).
[8] “Obviamente, portanto, a causa que consiste nas Formas (tomada no sentido de que algo mantém a existência das Formas, isto é, como algo separado dos individuais) é inútil, ao menos com vistas a um vir a ser e às substâncias; e as Formas não precisam, ao menos por esse motivo, consistirem em substâncias existentes por si mesmas” (ARISTÓTELES, 1033b). Vide também Aristóteles (991b).
[9] Essa leitura do problema é expressa nos Segundos Analíticos (ARISTÓTELES, 85a). Como vemos, a dificuldade da interpretação guarda uma relação estreita com a doutrina da substância em Aristóteles, exposta sobretudo nas Categorias, como já exposto na nota 7 do capítulo 3.
[10] É importante notar que alguns autores simplesmente veem no conceptualismo uma forma específica de nominalismo, como Spade, que toma Ockham, por exemplo, sob a alcunha de nominalista. Libera e Quine são dois autores que adotam a posição contrária. Vide Libera (1996), Quine (1953) e Spade (2002).
[11] Em termos gerais, o âmbito do analítico remete aos juízos de cunho lógico ou linguístico, algo que não exige uma extrapolação do próprio conceito, ao contrário do juízo sintético, cuja característica é exatamente essa. Um juízo analítico é, em termos gerais, aquele em que o predicado já se encontra descrito no próprio conceito do sujeito (como a definição de triângulo já implica em sua descrição). Nesses termos, há dois constituintes para a consideração dos juízos analíticos que não nos podem escapar: em primeiro lugar, seu determinismo lógico; em segundo lugar, a presença, ainda que incômoda, de constituintes psicológicos para sua determinação, uma vez que o juízo propriamente dito não pode escapar de seus constituintes psicológicos. Como ressalta Folina (1992, p. 3), a teoria da analiticidade, apesar de seu apelo psicológico, pode ser compreendida como uma teoria sobre o conteúdo de nossas expressões, bem como pode ser descoberta apenas pelo emprego da lógica e de definições.
[12] O juízo sintético, por sua vez, remete a uma ampliação do conceito em questão. Como Hume argutamente já tornara claro, nada há no conceito de luz que necessariamente estabeleça uma ligação com o conceito de calor. Essa relação imediata, ou melhor, aparentemente imediata, é produzida a partir de uma síntese entre esses dois conceitos, pois nada há no primeiro que torne necessário o segundo. Desse modo, delineia-se minimamente o que Kant entendia por juízo sintético. Todas as teorias físicas, ao transcenderem a mera explicitação de conceitos, implicam em juízos sintéticos, uma vez que a experiência sensível é a fonte primaz para a consideração da viabilidade dessa relação que se estabelece. Nesse contexto, o caráter apriorístico do juízo analítico nada tem de problemático, por encontrar-se restrito ao campo conceitual, lógico-linguístico. O juízo sintético a posteriori também não encontra maiores dificuldades para seu delineamento, uma vez que a extensão prometida pela síntese encontra na experiência sensível a fonte à qual recorrer.
[13] Segundo Folina (1992, p. 4), enquanto a distinção entre analiticidade e sinteticidade é linguística no que diz respeito ao conteúdo das proposições (ou juízos), a distinção entre a priori/a posteriori é epistemológica, e diz respeito a como chegamos a conhecer uma verdade e como podemos justificar nossas crenças e asserções. O problema se impõe ao considerarmos a natureza e a possibilidade dos juízos sintéticos a priori. A fantástica estrutura conceitual que compõe a Primeira Crítica é sabidamente uma resposta a essa questão formulada em poucas palavras.
[14] “O espaço é uma representação necessária, a priori, que fundamenta todas as intuições externas. Não se pode nunca ter uma representação de que não haja espaço, embora se possa perfeitamente pensar que não haja objeto algum no espaço. Consideramos, por conseguinte, o espaço a condição de possibilidade dos fenômenos, não uma determinação que dependa deles; é uma representação a priori, que funda necessariamente todos os fenômenos externos” (KANT, 1781, p. 64-5).
[15] Parece difícil sustentar a viabilidade da tese de Couturat que diz respeito à possibilidade de compreender a concepção de geometria kantiana como em perfeita harmonia em relação às geometrias não euclidianas, uma questão difícil e que mereceria um delineamento preciso. Apesar de Kant ser específico como no excerto acima, há realmente outras passagens que sugerem a possibilidade de não pensar em uma única estrutura geométrica possível, por exemplo, a partir do momento em que temos um modelo de geometria que denega os princípios de Euclides e que pode ser tomado como uma forma de receptividade dos objetos pelo sujeito (KANT, 1871, p. 69), mas é um tanto fantasioso sugerir que Kant efetivamente pensava em algo dessa natureza. Assim, a estratégia de Couturat traveste-se de uma tentativa de salvar in extremis a compatibilidade do pensamento de Kant com as geometrias não euclidianas, mas pouco tem realmente de sua inspiração original.
[16] A lógica modal é um sistema alternativo da lógica formal, que traz ao sistema o trato de modalidades, dentre as quais as mais comuns (relativas á lógica modal clássica) são a possibilidade e necessidade. Suas derivações mais conhecidas são a lógica temporal (cujo modal envolve o tempo), a lógica deôntica (com os modais deônticos da permissão, proibição, obrigação), a lógica doxástica (que envolve o modal da crença), a lógica epistêmica (com modais verdade e possibilidade), dentre outras.
[17] Émile Borel foi questionado relativamente a esse problema por Jacques Hadamard, em carta deste último que trata da crítica de Borel endereçada a Zermelo, por ocasião da propositura do axioma da escolha. Hadamard se expressa nos seguintes termos: “Eu não admito, por exemplo, a assimilação que o senhor estabelece entre o fato que serve como ponto de partida para Zermelo e o raciocínio que consistiria em enumerar os elementos de um conjunto um após outro, devendo essa enumeração prosseguir transfinitamente. Há, com efeito, uma diferença fundamental entre os dois casos: o raciocínio citado por último comporta uma série de escolhas sucessivas onde cada uma depende das precedentes; por isso sua aplicação transfinita é inadmissível. Eu não vejo qualquer analogia a estabelecer, do ponto de vista que nos ocupa, entre as escolhas em questão e aquelas de que fala Zermelo, que são independentes umas das outras” (HADAMARD apud BOREL, 1904, p. 150). O problema fundamental do desacordo entre Hadamard e Borel se explica devido ao primeiro pensar o infinito em ato, não sendo necessário, em absoluto, remeter a uma origem de “escolhas precedentes” para postular o infinito, o que é necessário para Borel, no sentido de “construir” conjuntos que tendem à infinitude, mas cujo caráter infinito não pode de fato se concretizar.
[18] “Toda definição implica em um axioma, pois ela afirma a existência do objeto definido. A definição não será então justificada, do ponto de vista exclusivamente lógico, a não ser quando restar demonstrado que ela não acarreta uma contradição, nem em relação a seus termos, nem em relação às verdades anteriormente admitidas” (POINCARÉ, 1908, p. 139).
Bibliografia do livro
Abelardo, P. “Lógica para principiantes”. In: Santo Anselmo de Cantuária – Pedro Abelardo. São Paulo: Abril Cultural, 1973. p. 209-49. (Os Pensadores, v. 7).
Agazzi, E. “La logique et le probleme de la rigueur”. In: Vuillemin, J. (Org.). Mérites et limites des methodes logiques en philosophie. Paris: Fondation Singer-Polignac/Librairie Philosophique J. Vrin, 1986. p. 17-47.
Albers, D., Alexanderson, G., e Reid, C., International Mathematical Congresses – an Illustrated History (1893-1986), Springer-Verlag Ed., Nova York, 1987.
Aristóteles. The works of Aristotle. 2 ed. Chicago: Encyclopaedia Britannica, 1994. (Great Books of Western World, v. 7).
Benacerraf, P. & Putnam, H.(Ed.).Philosophy of mathematics – selected readings. 2 ed. Cambridge: Cambridge University Press, 1983[1956].
Barker, S.Filosofia da matemática. Rio de Janeiro: Zahar, 1976.
Barot, E. “En quoi la crise des fondements des mathématiques est-elle terminée ?” In: Philosophia Scientiae. Paris : Kimé, 2005. p. 23-39. (v. 9).
Bolyai, J. “The science of absolute space”. In: Bonola, R. Non-euclidean geometry. New York: Dover Publications Inc., 1955 [1896]. p. 01-48.
Boniface, J. “Leopold Kronecker's conception of the foundations of mathematics”. In: Philosophia Scientiae. Paris : Kimé, 2005. p. 143-56. (cahier spécial).
Bonola, R.Non-euclidean geometry. New York: Dover Publications Inc., 1955.
Borel, É.Leçons sur la théorie des functions. 3 ed. Paris: Gauthier, 1928[1904].
Brouwer, L. “Formalism and intuitionism”. In: Benacerraf, P. & Putnam, H. (Ed.). Philosophy of mathematics – selected readings. 2 ed. Cambridge: Cambridge University Press, 1983[1912]. p. 77-89.
____. “Intuitionistic reflections on formalism”. In: Van Heijenoort, J. (Ed.). From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879-1931. Cambridge: Harvard University Press, 1967[1927.2]. p. 490-2.
____. “On the domains of definition of functions”. In: Van Heijenoort, J. (Ed.). From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879- 1931. Cambridge: Harvard University Press, 1967[1927.1]. p. 446-63.
____. “On the foundations of mathematics”. In: L. E. J. Brouwer collected works. Amsterdam: North Holland Publishing Company, 1975[1907]. p. 13-97.
____. “On the significance of the principle of excluded middle in mathematics, especially in function theory”. In: Van Heijenoort, J. (Ed.). From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879-1931. Cambridge: Harvard University Press, 1967[1923]. p. 334-45.
Calazans, A. “Um panfleto de Berkeley contra as práticas matemátic Newton e de Leibniz”. Scientiae Studia. São Paulo , v. 8, n. 4, dez. 2010, p. 623-632.
Cantor, G.Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers. New York: Dover Publications, 1915.
Carnap, R. “The logicist foundations of mathematics”. In: Benacerraf, P. & Putnam, H. (Ed.). Philosophy of mathematics – selected readings. 2 ed. Cambridge: Cambridge University Press, 1983[1931]. p. 41-51.
____. Sur la logique et la theorie de la science. 4 ed. Paris: Librairie J. Vrin, 1987[1942].
Couturat, L.Les principes des mathématiques. Paris : Albert Blanchard, 1980.
Curry, H. “Remarks on the definition and nature of mathematics”. In: Benacerraf, P. & Putnam, H. (Ed.). Philosophy of mathematics – selected readings. 2 ed. Cambridge: Cambridge University Press, 1983[1954], p. 202-6.
Da Costa, N.Ensaio sobre os fundamentos da lógica. São Paulo: Hucitec/Edusp, 1980.
____. Introdução aos fundamentos da matemática. São Paulo: Hucitec, 1977.
____. O Conhecimento Científico, Discurso Editorial, São Paulo, 1997.
Del Vecchio Junior, J. “A reformulação do conceito de predicatividade segundo Poincaré”. Scientiae studia. 2013, vol.11, n.2, p. 391-416 .
Detlefsen, M. “Formalism”. In: Shapiro, S. (Ed.). The Oxford handbook of philosophy of mathematics and logic. New York: Oxford University Press, 2005. p. 236-317.
Descartes, R. “Meditações metafísicas”. In: Descartes. São Paulo: Abril Cultural, 1973. p. 80-150. (Os Pensadores, v. 15).
____. “Règles pour la direction de l'esprit”. In: Oeuvres. Paris : F.G. Levrault, 1826, p. 199-330. (v. 11).
Dipert, R. “The history and kinds of logic”. In: Encyclopaedia britannica. 15 ed. Chicago : 1993. p. 268-81. (v. 23).
Euclides. “Elements”. In: Euclid, Archimedes, Nicomachus. 2 ed. Chicago: Encyclopaedia Britannica, 1994. p. 01-396. (Great Books of Western World, v. 10).
Folina, J.Poincaré and the philosophy of mathematics. London: Macmillan Press, 1992.
Frege, G. “Begriffsschrift, a formula language, modeled upon that of arithmetic, for pure thought”. In: Van Heijenoort, J. (Ed.). From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879-1931. Cambridge: Harvard University Press, 1967[1879]. p. 01-82.
Frege, G. “The concept of number”. In: Benacerraf, P. & Putnam, H. (Ed.). Philosophy of mathematics – selected readings. 2 ed. Cambridge: Cambridge University Press, 1983[1884]. p. 130-59.
Guerrerio, G. “Gödel, um tímido iconoclasta”. In: Scientific American Brasil. São Paulo: Duetto, 2006. p. 39-66. (nº 12).
Gödel, K. “On formally undecidable propositions of Principia mathematica and related systems”. In: Van Heijenoort, J. (Ed.). From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879-1931. Cambridge: Harvard University Press, 1967[1931]. p. 596-616.
Gödel, K. “The completeness of the axioms of the functional calculus of logic”. In: Van Heijenoort, J. (Ed.). From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879-1931. Cambridge: Harvard University Press, 1967[1930]. p. 582-91.
____. “What is Cantor's continuum problem?” In: Benacerraf, P. & Putnam, H. (Ed.). Philosophy of mathematics – selected readings. 2 ed. Cambridge: Cambridge University Press, 1983[1947], p. 470-85.
Grattan-Guiness, I.The search for mathematical roots, 1870-1940.New Jersey: Princeton University Press, 2000.
Heinzmann, G. (Ed.). Poincaré, Russell, Zermelo et Peano. Paris : Blanchard, 1986.
Henderson, L. “The Fourth Dimension and Non-Euclidean Geometry in Modern Art: Conclusion”. In: Leonardo, v. 17, nº. 3. (1984), p. 205-210.
Heyting, A. “The intuitionist foundations of mathematics”. In: Benacerraf, P. & Putnam, H. (Ed.). Philosophy of mathematics – selected readings. 2 ed. Cambridge: Cambridge University Press, 1983[1931], p. 52-60.
Hilbert, D.Mathematical problems - lecture delivered before the international congress of mathematicians at Paris in 1900, disponível em:
<http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/ problems.html>, acessado em 20/06/06.
____. “On the foundations of logic and arithmetic”.In: Van Heijenoort, J. (Ed.). From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879- 1931. Cambridge: Harvard University Press, 1967[1904]. p. 129-38.
____. “On the infinite”.In: Van Heijenoort, J. (Ed.). From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879-1931. Cambridge: Harvard University Press, 1967[1925]. p. 367-92.
____. The foundations of geometry. Illinois: The Open Court Publishing Company, 1950, disponível em: <http://www.gutenberg.org/files/17384/17384-pdf.pdf>, acessado em 22/09/2009.
Hilbert, D. “The foundations of mathematics”. In: Van Heijenoort, J. (Ed.). From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879- 1931. Cambridge: Harvard University Press, 1967[1927]. p. 464-79.
Hobsbawm, E.A Era do Capital. São Paulo: Paz e Terra, 1977.
Hume, D. “Investigação acerca do entendimento humano”. In: Hume. São Paulo: Nova Cultural, 1996[1748]. p. 17-154. (Os Pensadores).
Jourdain, P. “Introduction”. In: Cantor, G., Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers. New York: Dover Publications, 1915.p. 01- 82.
____. Prolegômenos a toda a metafísica futura. 3ed. Lisboa: Edições 70, 1990[1783].
Kline, M.Mathematical thought from ancient to modern times. New York: Oxford University Press, 1972.
Kneale, W. & Kneale, M.O desenvolvimento da lógica. 3 ed. Lisboa: Calouste Gulbenkian, 1991.
Kreisel, G. “Hilbert's programme”. In: Benacerraf, P. & Putnam, H. (Ed.). Philosophy of mathematics – selected readings. 2 ed. Cambridge: Cambridge University Press, 1983[1958]. p. 207-38.
Lalande, A.Vocabulário técnico e crítico da Filosofia. São Paulo : Martins Fontes, 1996.
Lauria, P.Cantor et le transfini – mathématique et ontologie. Paris: Harmattan, 2004.
Lecourt, D.Dictionaire d'histoire et philosophie des sciences. Paris : Presses Universitaires de France, 1999.
Libera, A.La querelle des universaux: de Platon à la fin du moyen age. Paris: Éditions du Seuil, 1996.
Lobatchewsky, N. “Geometrical researches on the theory of parallels”. In: Bonola, R. Non-euclidean geometry. New York: Dover Publications Inc., 1955. p. 1-45.
Mooij, J.La philosophie des mathématiques de Henri Poincaré. Paris : Gauthier-Villars, 1966.
Nagel, E. & Newmann, J.A prova de Gödel. São Paulo: Perspectiva, 1973.
Nietzsche, F. “O nascimento da filosofia na época trágica dos gregos”. In: Pré-Socráticos. São Paulo: Nova Cultural, 1996. p. 62-4. (Os Pensadores).
Paty, M. “Des fondements vers l'avant. Sur la rationalité des mathématiques et des sciences formalisées.”. In: Philosophia Scientiae. Paris : Kimé, 2005. p. 109-30. (n. 9).
Peano, G. “Aditione”. In: Heinzmann, G. (Ed.). Poincaré, Russell, Zermelo et Peano. Paris : Blanchard, 1986[1906]. p. 106-20.
____. “The principles of arithmetic, presented by a new method”. In: Van Heijenoort, J. (Ed.). From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879-1931. Cambridge: Harvard University Press, 1967[1889]. p. 83-97.
Peckhaus,V.“ProandcontraHilbert:Zermelo'ssettheories”. Philosophia scientiae. Paris: Kimé, 2005, p. 199-216.
Pinkus, A.Weierstrass and approximation theory, Haifa: 2000, disponível em:
<http://www. math.technion.ac.il~pinkuspaperswap.pdf.pdf>, acessado em 20/06/06.
Platão.The dialogues of Plato. 2 ed. Chicago: Encyclopaedia Britannica, 1994. (Great Books of Western World, v. 6).
Poincaré, H. “A propos de la logistique”. In: Heinzmann, G. (Ed.). Poincaré, Russell, Zermelo et Peano. Paris: Blanchard, 1986[1906.3]. p. 145-47.
____. Dernières pensées. Paris : Ernest Flammarion, 1913.
____. “La logique de l'infini”[1]. In: Heinzmann, G. (Ed.). Poincaré, Russell, Zermelo et Peano. Paris: Blanchard, 1986[1909.3]. p. 235-56.
____. “La logique de l'infini”[2]. In: Heinzmann, G. (Ed.). Poincaré, Russell, Zermelo et Peano. Paris: Blanchard, 1986 [1912], p. 305-16.
____. La science et l'hypothèse. Paris: Flammarion, 1968[1902].
Poincaré, H.La valeur de la science. Paris: Ernest Flammarion, 1923.
____. “Les mathématiques et la logique”[1]. In: Heinzmann, G. (Ed.). Poincaré, Russell, Zermelo et Peano. Paris: Blanchard, 1986[1905]. p. 11- 41.
____. “Les mathématiques et la logique”[2]. In: Heinzmann, G. (Ed.). Poincaré, Russell, Zermelo et Peano. Paris: Blanchard, 1986[1906.1]. p. 42-53.
____. “Les mathématiques et la logique”[3]. In: Heinzmann, G. (Ed.). Poincaré, Russell, Zermelo et Peano. Paris: Blanchard, 1986[1906.2]. p.79-104.
____. “Réflexions sur les deux notes precedentes”. In: Heinzmann, G. (Ed.). Poincaré, Russell, Zermelo et Peano. Paris: Blanchard, 1986[1909.1]. p. 224-9.
____. Science et méthode. Paris : Ernest Flammarion, 1920[1908].
____. „Über transfinite Zahlen“. In: Heinzmann, G. (Ed.). Poincaré, Russell, Zermelo et Peano. Paris: Blanchard, 1986[1909.2]. p. 231-4.
Porfírio. Isagoge – introdução às categorias de Aristóteles. São Paulo: Matese, 1965.
Quine, W. From a logical point of view. 1 ed. Massachusetts: Harvard University Press, 1953.
Raatikainen, P., “Gödel's Incompleteness Theorems”, In: Zalta, E. (Ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2015 Edition). Disponível em:
<https://plato.stanford.edu/archives/spr2015/entries/goedel- incompleteness/>, acessado em 19/10/2015.
Richard, J. “The principles of mathematics and the problem of sets”. In: Van Heijenoort, J. (Ed.). From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879-1931. Cambridge: Harvard University Press, 1967[1905]. p. 142-4.
Ross, D.Aristóteles. Lisboa: Dom Quixote, 1987[1923].
Russell, B.A filosofia de Leibniz. São Paulo: Biblioteca Universitária, 1968[1958].
Russell, B. “Introduction to mathematical philosophy”. In: Benacerraf, P. & Putnam, H. (Ed.). Philosophy of mathematics – selected readings. 2 ed. Cambridge: Cambridge University Press, 1983[1919]. p. 160-82.
____. “La théorie des types logiques”. In: Heinzmann, G. (Ed.). Poincaré, Russell, Zermelo et Peano. Paris: Blanchard, 1986[1910]. p. 257-95.
____. “Le réalisme analytique”. In: Heinzmann, G. (Ed.). Poincaré, Russell, Zermelo et Peano. Paris: Blanchard, 1986[1911]. p. 296-304.
____. “Les paradoxes de la logique”. In: Heinzmann, G. (Ed.). Poincaré, Russell, Zermelo et Peano. Paris: Blanchard, 1986[1906.2]. p. 121-144.
____. “Letter to Frege” In: Van Heijenoort, J. (Ed.). From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879-1931. Cambridge: Harvard University Press, 1967[1902]. p. 124-5.
____. Los principios de la matemática. Buenos Aires: Espasa-Calpe, 1948[1903].
____. “Mathematical logic as based on the theory of types”. In: Heinzmann, G. (Ed.). Poincaré, Russell, Zermelo et Peano. Paris: Blanchard, 1986[1908]. p. 200-23.
____. “Mathematicians and metaphysicians”. In: Sullivan, A. (Ed.). Logicism and the philosophy of language – selections from Frege and Russell. Toronto: Broadview Press, 2003. p. 221-34.
____. “On some difficulties in the theory of transfinite numbers and order types”. In: Heinzmann, G. (Ed.). Poincaré, Russell, Zermelo et Peano. Paris: Blanchard, 1986[1906.1]. p. 54-78.
____& Whitehead, A. Principia mathematica. 2 ed. Cambridge: Cambridge University Press, 1968.
Santos, L. “A essência da proposição e a essência do mundo”. In: Wittgenstein, L. Tractatus Logico-Philosophicus. São Paulo: Edusp, 1994. P. 11-112.
Schmid, A.Une philosophie de savant – Henri Poincaré et la logique mathématique. Paris : François Maspero, 1978.
Shapiro, S. (Ed.). The Oxford handbook of philosophy of mathematics and logic. New York: Oxford University Press, 2005.
Spade, P.Thoughts, words and things: an introduction to late medieval logicandsemantictheory,
Van Heijenoort, J. (Ed.). From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879-1931. Cambridge: Harvard University Press, 1967[1904].
Van Rootselaar, B. “Bernard Bolzano”. In: Biographical dictionary of mathematicians. New York: Charles Scribner's Sons, 1991. p. 299-305. (v. 1).
Van Stigt, W.Brouwer's intuitionism. Amsterdan: North-Holland, 1990.
Volkert, K.Die Krise der Anschauung. Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht, 1986.
Von Neumann, J., “The formalist foundations of mathematics”. In: Benacerraf, P. & Putnam, H. (Ed.). Philosophy of mathematics – selected readings. 2 ed. Cambridge: Cambridge University Press, 1983[1931], p. 61- 5.
Wilder, R.Introduction to the foundations of mathematics. 2 ed. Tokyo: John Wiley and Sons, 1965[1952].
Zermelo, E. „Neuer Beweis fur die Möglichkeit einer Wohlordnung“. In: Heinzmann, G. (Ed.). Poincaré, Russell, Zermelo et Peano. Paris: Blanchard, 1986[1907.2]. p. 157-78.
____. “Proof that every set can be well-ordered” In: Van Heijenoort, J. (Ed.). From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879-1931. Cambridge: Harvard University Press, 1967[1904]. p. 139-41.
____. “Sur les ensembles finis et le principe de l'induction compléte”. In: Heinzmann, G. (Ed.). Poincaré, Russell, Zermelo et Peano. Paris: Blanchard, 1986[1907.1]. p. 148-56.
____. „Untersuchungen über die Grundlagen der Megenlehre“. In: Heinzmann, G. (Ed.). Poincaré, Russell, Zermelo et Peano. Paris: Blanchard, 1986[1907.3]. p. 179-99.
