Problemas de Matemática medieval para jovens

Detalhe de uma ilustração iluminada no fólio 89r do Saltério de Ormesby do século XIII ou XIV (Biblioteca Bodleian MS Douce 366) mostrando um homem perto de um barco em um rio, com alguns repolhos pendurados em um pedaço de pau no ombro e segurando um lobo e uma cabra na coleira, entre 1250 e 1330. Autor desconhecido.

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As Propositiones ad Acuendos Juvenes, de Alcuíno de York - Tradução, Frederico J. A. Lopes. Revista Brasileira de História da Matemática - Vol. 17 nº 33 - pág. 73-90. Publicação Oficial da Sociedade Brasileira de História da Matemática. RBHM, Vol. 17, nº 33, p. 73-90, 2017. ISSN 1519-955X, disponível no LINK.

AS PROPOSITIONES AD ACUENDOS JUVENES,

DE ALCUÍNO DE YORK – TRADUÇÃO

Frederico J. A. Lopes

Universidade Federal de Mato Grosso – UFMT - Brasil

(aceito para publicação em novembro de 2017)

Resumo

Esta é uma tradução das Propositiones ad Acuendos Juvenes, atribuídas a Alcuíno de York (730-804), consideradas em conjunto como o mais antigo livro de matemática recreativa escrito em latim.

Palavras-chave: Matemática medieval, Matemática recreativa, Alcuíno de York

[THE ALCUIN OF YORK’S PROPOSITIONES AD ACUENDOS JUVENES – TRANSLATION]

Abstract

This is a translation of the most ancient extant work of recreational mathematics written in Latin, the Propositiones ad Acuendos Juvenes, ascribed to Alcuin of York (730-804).

Keywords: Medieval mathematics, Recreational mathematics, Alcuin of York

1. Introdução

Esta é uma tradução do mais antigo texto de matemática recreativa escrito em latim, as Propositiones ad Acuendos Juvenes (Proposições para aguçar [o espírito dos] jovens), de autoria atribuída a Alcuíno de York (738-804).

Alcuíno de York é conhecido na história da filosofia e da educação como o responsável pela grande reforma das escolas medievais promovida por Carlos Magno (747-814), rei dos Francos, e pela consolidação, no sistema educacional da época, da forma de educação baseada no trívio (gramática, retórica e dialética) e do quadrívio (aritmética, geometria, astronomia e música), herança da antiguidade greco-latina.

As Propositiones consistem em 53 problemas de matemática e lógica recreativas, muitos dos quais têm longa tradição na história da matemática, de origem egípcia, árabe e europeia. Podem ser divididos em pequenos grupos de problemas muito semelhantes entre si, o que sugere que a tarefa de Alcuíno foi quase certamente a de simples compilador. Todos, sem exceção, permitem interpretações e comentários variados, além de fornecerem um rico panorama da vida medieval no século VIII.

Os problemas foram traduzidos a partir do texto em latim estabelecido por Menso Folkerts (1978), uma interpolação de treze manuscritos medievais, e pode ser considerado como texto final das Propositiones.

No fim de alguns problemas, acrescentamos notas breves, marcadas como Notas do Tradutor (N.T.), para esclarecer questões de medida e algumas outras. As partes entre colchetes foram inseridas por Folkerts no texto latino.

2. A tradução

COMEÇAM AS PROPOSIÇÕES PARA AGUÇAR OS JOVENS

1 PROPOSIÇÃO DA LESMA

Uma lesma foi convidada por uma sanguessuga para jantar a uma légua de distância. Mas por dia ela não pôde andar mais do que uma polegada. Diga, quem quiser, quantos dias a lesma andou para esse jantar?

SOLUÇÃO

Em uma légua há 1.500 passos, 7.500 pés, 90.000 polegadas. Quantas polegadas, tantos dias, o que faz 246 anos e 210 dias.

N.T.: Modernamente, uma polegada tem 2,54 cm, o que nos daria uma légua com 2.286 m.

No entanto, existiram diversas medidas de légua no passado, variando entre 2 e 7 km. É preciso notar, logo de início, que toda a questão das medidas utilizadas no tempo de Alcuíno é controversa, e estudiosos produzem conversões diferentes para as mesmas unidades. As equivalências que provemos servem apenas para dar, ao leitor moderno, uma noção dos comprimentos, pesos e volumes envolvidos nos problemas.

2. PROPOSIÇÃO DO HOMEM ANDANDO NA ESTRADA

Um homem andando pela estrada avistou outros homens se aproximando, e lhes disse: Queria que fôsseis outro tanto quanto sois, e metade da metade, e novamente metade dessa metade; e assim, juntos comigo, seríeis 100. Diga, quem quer, quantos foram os homens vistos primeiro por ele?

SOLUÇÃO

Os que primeiro foram vistos por ele foram 36. Outro tanto são 72. Metade da metade são 18, e metade deste número são 9. Diga portanto assim: 72 e 18 fazem 90. Adicione 9 e são 99. Adicione o que fala, e tereis 100.

3. PROPOSIÇÃO DOS DOIS CAMINHANTES

Dois homens andando por uma estrada, ao ver cegonhas, disseram entre si: Quantas são? Conferindo os números, disseram: Se fossem outras tantas e três vezes tantas e metade do terço, somados dois, 100 seriam. Diga, quem pode, quantas foram aquelas primeiro vistas por eles?

SOLUÇÃO

28 e 28 e um terço assim são 84, e metade do terço são 14. São ao todo 98. Somados dois, 100 aparecem.

4. PROPOSIÇÃO DO HOMEM E DOS CAVALOS PASTANDO NO CAMPO

Um homem, vendo cavalos pastando em um campo, disse: oxalá fôsseis meus, e fôsseis outro tanto, e metade da metade: certamente me gabaria de ter 100 cavalos. Descubra, quem quer, quantos cavalos pastando aquele homem viu primeiro.

SOLUÇÃO

40 eram os cavalos que pastavam. Outro tanto são 80. Metade da metade disso, ou seja, 20, se adicionado, são 100.

5. PROPOSIÇÃO DO COMPRADOR COM 100 DENÁRIOS

Disse um comprador: Desejo, com 100 denários, comprar 100 porcos; mas tal que varrões sejam comprados por 10 denários, e porcas por 5 denários, e 2 leitões por 1 denário. Diga, quem entende, quantos varrões, quantas porcas e quantos leitões devem ser, de maneira que de nenhum dos dois o número não seja mais nem menos?

SOLUÇÃO

Faça 9 porcas e 1 varrão em 55 denários, e 80 leitões em 40. Eis 90 porcos. Com os restantes 5 denários, faça 10 leitões, e terás um número 100 em ambos.

N.T.: Um denário, que deu origem à palavra dinheiro, era uma pequena moeda de prata usada na Roma antiga e durante toda a Idade Média. Em termos de comparação, um denário, que continha 10 asses, comprava 8 quilos de pão.

6. PROPOSIÇÃO DOS DOIS NEGOCIADORES QUE TINHAM 100 SÓLIDOS COMUNS

Havia dois negociadores que tinham 100 sólidos em comum, com os quais comprariam porcos. Então, com cada 2 sólidos compraram 5 porcos, desejando engordá-los e novamente vendê-los e lucrar em sólidos. Como tinham visto que não havia tempo para engordar os porcos, e como não poderiam alimentá-los no inverno, tentaram vendê-los, se pudessem, com lucro. Mas não puderam, porque não era possível vendê-los por mais do que haviam sido comprados, isto é, dois sólidos para cada 5 porcos. Quando perceberam isso, disseram entre si: vamos dividi-los. Dividindo-os e vendendo-os como compraram, lucraram. Diga, quem consegue, quantos porcos havia no começo, e os divida e venda e lucre, como não se pôde fazer com a venda de todos ao mesmo tempo.

SOLUÇÃO

No começo havia 250 porcos, que foram comprados com 100 sólidos, como dito acima, com cada 2 sólidos 5 porcos, pois se fizeres 50 vezes 5 ou 5 vezes 50, contarás 250. Estes divididos, um tomou 125, e o outro a mesma quantia. Um vendeu os piores, cada 3 por 1 sólido, e o outro, os melhores, cada 2 por 1 sólido. Então acontece que aquele que vendeu os piores conseguiu 40 sólidos com 120 porcos, e aquele que vendeu os melhores conseguiu 60 sólidos, pois foram vendidos cada 30 dos inferiores por 10 sólidos, e cada 20 dos melhores por 10 sólidos. E restaram, para cada um, 5 porcos, com os quais puderam lucrar 4 sólidos e 2 denários.

N.T.: Um sólido ou um soldo, que deu origem à palavra portuguesa soldado, era uma moeda com cerca de 4,5 g de ouro, utilizada entre os séculos III e IX na Europa. O problema seguinte mostra como era, à época de Alcuíno, realizada a conversão entre as diversas medidas monetárias.

7. PROPOSIÇÃO DO PRATO QUE PESA 30 LIBRAS

Há um prato que pesa 30 libras, ou 90 sólidos, composto de ouro, prata, oricalco e estanho. O quanto tem de outro, tem três vezes de prata; o quanto de prata, três vezes o tanto de oricalco; o quanto de oricalco, três vezes o tanto de estanho. Diga, quem pode, quanto de cada espécie [o disco] pesa.

SOLUÇÃO

O ouro pesa 9 onças. A prata pesa 3 vezes 9 onças, isto é, duas libras e 3 onças. O oricalco pesa 3 vezes duas libras e 3 vezes 3 onças, isto é, 6 libras e 9 onças. O estanho pesa 3 vezes 6 libras e 3 vezes 9 onças, isto é, 20 libras e 3 onças. Nove onças e 2 libras com 3 onças e 6 libras com 9 onças e 20 libras com 3 onças juntas fazem 30 libras. Em sólidos, ocorre de outra maneira. O ouro pesa 15 sólidos [de prata]. A prata 3 vezes 15, isto é, 45. O oricalco 3 vezes 45, isto é, 135. O estanho 3 vezes 135, isto é 405. Junte 405 e 135 e 45 e 15 e encontrarás 600 sólidos, que são 90 libras.

8. PROPOSIÇÃO DA CUBA

Há uma cuba que é enchida com 100 metretas, com 3 módios cada, através de 3 canos. Do número de módios, uma terça e uma sexta parte correm pelo primeiro cano; pelo segundo, apenas uma terça parte; pelo terceiro, só uma sexta [parte]. Diga, quem deseja, quantos sextários correram através de cada cano.

SOLUÇÃO

Pelo primeiro cano correram 3600 sextários; pelo segundo, 2400; pelo terceiro, 1200.

N.T.: Uma metreta, no sistema ático fixado por Sólon (c. 638 - c. 558 a.C.), valia 38,88 litros, mas esse valor variou entre 30 e 40 litros durante a história. Uma metreta era dividida em 3 módios, cada módio era dividido em 4 côngios, e cada côngio era dividido em 6 sextários. Assim, uma metreta era dividida em 72 sextários. A cuba referida no problema seria uma cisterna com uma capacidade entre 3000 e 4000 litros.

9. PROPOSIÇÃO DO MANTO

Tenho um manto que tem 100 cúbitos de comprimento e 80 de largura. Desejo com pedaços dele fazer mantos menores, tais que cada pedaço tenha 5 cúbitos de comprimento e 4 cúbitos de largura. Diga, eu te peço, ó sábio, quantos mantos menores podem ser feitos com ele.

SOLUÇÃO

De 400, a octogésima parte é 5, e a centésima é 4. Portanto, se fizeres 80 vezes 5 ou 100 vezes 4, sempre encontrarás 400. Tantos serão os mantos.

N.T.: um cúbito é equivalente à medida que vai do cotovelo até a ponta do dedo médio, medindo cerca de 50 cm.

10. PROPOSIÇÃO DO LINHO

Tenho uma peça de linho com 60 cúbitos de comprimento, 40 cúbitos de largura. Quero dela fazer pedaços, tais que cada pedaço tenha 6 cúbitos de comprimento e 4 de largura, e baste para fazer uma túnica. Diga, quem quer, quantas túnicas a partir dela podem ser feitas.

SOLUÇÃO

A décima parte de 60 são 6, a décima de 40 são 4. Portanto, se tiveres ou um décimo de 60 ou um décimo de 40, encontrarás 100 pedaços com 6 cúbitos de comprimento e 4 cúbitos de largura.

11. PROPOSIÇÃO DOS DOIS HOMENS QUE SE CASAM UM COM A IRMÃ DO OUTRO

Se dois homens se casarem, por sua vez, um com a irmã do outro, diga, por favor, que parentesco seus filhos terão entre si?

11a PROPOSIÇÃO DOS DOIS HOMENS SE CASANDO UM COM A MÃE DO OUTRO

Se de maneira semelhante dois homens se casarem um com mãe do outro, por qual parentesco seus filhos são ligados?

11b PROPOSIÇÃO DO PAI E DO FILHO E DA VIÚVA E SUA FILHA

Se uma [mulher] abandonada ou viúva e sua filha se casam com pai e filho, mas tal que o filho tome a mãe e o pai a filha, diga, por favor, por qual parentesco se ligam os filhos por eles gerados.

N.T.: Folkerts não provê as respostas, que considera inautênticas.

12. PROPOSIÇÃO DE UM PAI DE FAMÍLIA E SEUS TRÊS FILHOS

Um pai de família, morrendo, deixou de herança a seus três filhos 30 ampolas de vidro, das quais 10 estavam cheias de óleo, outras 10 pela metade, e as restantes 10 vazias. Divida, quem pode, o óleo e as ampolas, de tal maneira que cada um de seus 3 filhos receba igualmente tanto de vidro quanto de óleo.

SOLUÇÃO

Há, portanto, 3 filhos e 30 ampolas. Das ampolas, porém, 10 estão cheias, 10 pela metade e 10 vazias. Faça 3 vezes 10 e serão 30. A cada filho cabe uma porção de 10 ampolas. Mas divida pela terça parte, isto é, dê ao primeiro filho 10 ampolas pela metade, depois dê ao segundo 5 cheias e 5 vazias, e o mesmo ao terceiro, e a divisão será igual para os três filhos tanto em óleo quanto em vidro.

13. PROPOSIÇÃO DO REI E DE SEU EXÉRCITO

Um rei ordenou a um criado seu que reunisse de 30 vilas um exército, mas de tal modo que de cada uma das vilas convocasse tantos homens quantos os que lá chegassem. À primeira vila ele veio só, à segunda com outro, já à terceira vieram 4. Diga, quem pode, quantos homens foram convocados destas 30 vilas.

SOLUÇÃO

Portanto, na primeira vila foram 2, na segunda 4, na terceira 8, na quarta 16, na quinta 32, na sexta 64, na sétima 128, na oitava 256, na nona 512, na décima 1024, na décima primeira 2048, na décima segunda 4096, na décima terceira 8192, na décima quarta 16.384, na décima quinta 32.768, na décima sexta 65.536, na décima sétima 131.072, na décima oitava 262.144, na décima nona 524.288, na vigésima 1.048.576, na vigésima primeira 2.097.152, na vigésima segunda 4.194.304, na vigésima terceira 8.388.608, na vigésima quarta 16.777.216, na vigésima quinta, 33.554.432, na vigésima sexta 67.108.864, na vigésima sétima 134.217.728, na vigésima oitava 268.435.456, na vigésima nona 536.870.912, na trigésima 1.073.741.824.

14. PROPOSIÇÃO DO BOI

Um boi que ara todo dia deixa quantas pegadas no último rego?

SOLUÇÃO

O boi não deixa absolutamente nenhuma pegada no último rego, pois ele precede o arado e este arado o segue. Pois quantas pegadas o boi à frente faça na terra não tratada, tantas o arado que o segue desmancha. Por isso não se encontra nenhuma pegada do boi no último rego.

15. PROPOSIÇÃO DO HOMEM

Pergunto a ti, que me digas, quantos regos tenha feito um homem em seu campo quando de cada lado do campo tiver feito três voltas.

SOLUÇÃO

A partir de um lado do campo 3 (voltas), de outro 3 (voltas), que fazem 7 regos.

16. PROPOSIÇÃO DOS DOIS HOMENS QUE CONDUZIAM BOIS

Dois homens conduziam bois por uma estrada, e um deles disse ao outro: Dá-me 2 bois e terei tantos bois quanto tens. Mas o outro disse: Dá-me tu 2 bois e terei o dobro do que tens. Diga, quem quiser, quantos bois cada um deles tinha.

SOLUÇÃO

Primeiro, o que pediu 2 tinha 4 bois. E aquele a quem foi pedido tinha 8. Daí este deu 2 ao que lhe pediu, e cada um teve 6. Daí o que primeiro recebeu, devolveu dois àquele que lhe tinha dado, que tinha 6, e este teve 8, que é o dobro de 4, e ao primeiro restaram 4, que é a metade de 8.

17. PROPOSIÇÃO DOS TRÊS IRMÃOS QUE TINHAM, CADA UM, UMA IRMÃ

Havia 3 irmãos que tinham, cada um, uma irmã, e deviam atravessar um rio. Mas havia em cada um deles desejo pela irmã de seu próximo. Chegando ao rio, encontraram apenas um pequeno bote, no qual não poderiam atravessar mais do que 2 deles. Diga, quem pode, como atravessaram o rio, de maneira que nenhuma das irmãs tenha sido maculada.

SOLUÇÃO

Primeiro de todos, eu e minha irmã entraríamos no barco e remaríamos para o outro lado. Atravessado o rio, tiraria minha irmã do barco e traria de volta o barco à margem. E então entrariam as irmãs dos dois homens, a saber, daqueles que ficaram na praia. Chegadas essas mulheres do outro lado, minha irmã, que primeiro havia atravessado, entraria e traria o barco de volta para mim. Ela saindo, os dois irmãos entrariam e iriam para o outro lado. E então um deles, junto com sua irmã, entrados no barco, remaria até nós. E eu e aquele que havia remado, tendo deixado minha irmã na praia, iríamos para o outro lado. E depois de chegados à outra praia, aquela uma das mulheres levaria o barco de volta e, com a minha irmã junto a si, viria de volta até nós. E aquele, cuja irmã ficara do outro lado, entraria no barco e a traria do outro lado consigo. E estaria completo o transporte, sem nenhuma mulher maculada.

18. PROPOSIÇÃO DO LOBO, DA CABRA E DO MOLHO DE COUVE

Um homem devia levar para o outro lado do rio um lobo, uma cabra e um molho de couve, mas não pôde outro barco encontrar senão um que podia levar apenas dois deles. E lhe foi dito, que chegassem ilesas do outro lado todas essas coisas. Diga, quem pode, como ele pôde transferi-los ilesos para o outro lado.

SOLUÇÃO

De fato, com um movimento semelhante, levaria primeiro a cabra e deixaria para trás o lobo e a couve. E então viria e levaria o lobo para o outro lado. Deixando lá o lobo, voltaria com a cabra no barco. Deixando a cabra fora, transportaria a couve para o outro lado, e novamente remaria de volta e, tomada a cabra, a levaria para o outro lado. Assim fazendo será o transporte salubre e sem dilacerações.

19. PROPOSIÇÃO DO HOMEM E DA MULHER QUE PESAVAM [A CARGA DE] UMA CARROÇA

Um homem e uma mulher, cada um dos quais tinha o peso [da carga] de uma carroça cheia, com dois filhos que pesavam juntos [a carga de] uma carroça, deviam atravessar um rio. Encontraram um barco que não podia levar mais do que um peso [de uma carga] de uma carroça. Faça com que sejam transferidos, quem pensa que pode, sem que o barco afunde.

SOLUÇÃO

Também na mesma ordem, como acima: primeiro entrariam as duas crianças e atravessariam o rio, e uma delas traria o barco de volta. Então a mãe, entrada no barco, atravessaria. E daí o filho dela traria de volta o barco. Feita a travessia de volta, ambos os irmãos, entrados no barco, atravessariam para o outro lado, e novamente um deles traria de volta o barco para o pai. Trazido o barco, o filho ficaria de fora e o pai atravessaria, e de novo o filho, que atravessara anteriormente, entraria no barco e o levaria de volta até o outro irmão, e ambos entrariam e atravessariam o rio. Remando com tal engenho, será completa a travessia, talvez sem naufrágio.

20. PROPOSIÇÃO DOS OURIÇOS

Um ouriço macho e uma fêmea, que tinham dois filhos que pesavam uma libra, desejavam atravessar um rio.

SOLUÇÃO

De maneira semelhante, como acima, primeiro atravessariam os dois filhos, e um deles traria o barco de volta. Embarcado nele o pai, ele atravessaria para o outro lado, e aquele filho que atravessara primeiro com o irmão levaria o barco de volta à margem. Novamente entrando no barco o irmão dele, iriam ambos para o outro lado. Saindo um deles, o outro levaria de volta o barco para a mãe, no qual ela entraria e iria para o outro lado. Saindo do barco a mãe, o seu filho, que atravessara antes com o irmão, entraria no barco e o levaria de volta ao irmão do outro lado. Ingressos ambos no barco, iriam para o outro lado, e o transporte estaria completo, sem receito de nenhum naufrágio.

21. PROPOSIÇÃO DO CAMPO E DAS OVELHAS

Há um campo com 200 pés de comprimento e 100 pés de largura. Desejo nele colocar ovelhas, mas de tal maneira que cada uma das ovelhas tenha 5 pés de comprimento e 4 de largura. Diga, por favor, quem puder, quantas ovelhas podem ser lá colocadas.

SOLUÇÃO

O campo tem 200 pés de comprimento e 100 pés de largura. Tome um quinto de 200, que faz 40, e depois divida 100 por 4. A quarta parte de 100 são 25. Portanto, feitos ou 40 vezes 25, ou 25 vezes 40, fazem 1000. Portanto, tantas ovelhas assim podem lá ser colocadas.

N.T.: um pé tem 12 polegadas, o que equivale a 30,48 cm.

22. PROPOSIÇÃO DO CAMPO FASTIGIOSO

Há um campo fastigioso (irregular) que tem em um lado 100 pérticas, e em outro lado 100 pérticas, e na frente 50, e no meio 60 pérticas, e na outra frente 50 pérticas. Diga, quem pode, quantos aripenos deve encerrar.

SOLUÇÃO

a. O comprimento deste campo é 100 pérticas, e a largura de uma e outra frente 50 pérticas, e na metade há 60. Junte o número de cada uma das frentes com o da metade, e são 160. Deses, tome a terça parte, ou seja, 53, e multiplica por 100, fazendo 5.300. Divida em 12 partes iguais, e serão encontrados 441. Novamente divida em 12 partes, e aparecerão 37. Tanto é o número de aripenos.

b. Junte os dois comprimentos, dá 200. Tome a metade de 200, dá 100. E junte 50 e 60 e 50, dá 160. E tome a terça parte de 160, dá 53. E faça 100 vezes 53, dá 5.300. Divida 5.300 pela duodécima parte, isto é, faça disso duas vezes 12. Por exemplo: de 5.300 faça a duodécima parte, o que dá 441. De novo de 441, faça a duodécima parte, e dá 37. Tanto é o número de aripenos.

N.T.: um aripeno é equivalente a aproximadamente 1.262 metros quadrados.

23. PROPOSIÇÃO DO CAMPO QUADRANGULAR

Há um campo quadrangular que tem em um lado 30 pérticas, e em outro 32 pérticas, e na frente 34 pérticas, e na outra frente 32 pérticas. Diga, quem pode, quantos aripenos devem nele haver.

SOLUÇÃO

Dois comprimentos desse campo fazem 62. Faça a metade de 52, e são 31. E duas larguras desse campo juntas fazem 66. E faça a metade de 66, e são 33. E faça 31 vezes 33, e serão 1020. Divida pela duodécima parte duas vezes, como acima, isto é, de 1020 tome a duodécima, e são 85, e novamente 85 divida por 12, e são 7. Há portanto nesse campo 7 aripenos.

N.T.: uma pértica era uma vara de 3 a 5 metros com que se mediam as terras dadas aos soldados romanos. Um quadrado com 144 pérticas quadradas era equivalente a um aripeno. Se consideramos o aripeno como a medida de 1.262 m2, uma pértica quadrada teria cerca de 8,76 m².

24. PROPOSIÇÃO DO CAMPO TRIANGULAR

Há um campo triangular que tem em um lado 30 pérticas, e no outro 30 pérticas, e na frente 18 pérticas. Diga, quem pode, quantos aripenos ele deve abarcar.

SOLUÇÃO

Junte os dois comprimentos desse campo, e serão 60. Faça a metade de 60, e serão 30, e porque na frente há 18 pérticas, faça a metade de 18, e serão 9. E faça 9 vezes 30, o que dá 270. Divida por duas vezes 12, ou seja, divida 270 pela duodécima parte, o que dá 22 e meio. E divida novamente 22 e meio pela duodécima parte: dá um aripeno e 10 pérticas e meia.

25. PROPOSIÇÃO DO CAMPO REDONDO

Há um campo redondo que tem 400 pérticas de giro (comprimento). Diga quantos aripenos deve ter.

SOLUÇÃO

a. A quarta parte desse campo, que inclui 400 pérticas, consiste em 100. Se por isso mesmo multiplicares, isto é, se fizeres 100 vezes, serão 10.000. Deves dividi-los em 12 partes. E assim a duodécima parte de 10.000 é 883, que se dividires de novo por 12, encontrarás 69. Assim são tantos aripenos que o campo inclui.

b. Faça portanto a quarta parte de 400, e são 100. E novamente de 400 faça a terça parte, que fazem 133. Encontre também a metade de 100, que são 50. E novamente faça a metade de 133, que são 66. E faça 50 vezes 66, que são 3151. Dividas isso pela duodécima parte, e serão 280. Novamente divida 280 pela duodécima parte, e serão 24. E faça 4 vezes 24, e serão 96. Há no todo 96 aripenos.

26. PROPOSIÇÃO DO CAMPO E DA CORRIDA DO CÃO E DA FUGA DA LEBRE

Há um campo que tem 150 pés de comprimento. Em um extremo estava um cão, e em outro estava uma lebre. E se pôs em movimento o cão atrás dela, a saber, da lebre, depois que começou a correr. Mas enquanto aquele cão percorria 9 pés com um salto, a lebre avançava 7. Diga, quem quiser, quantos pés ou quantos saltos o cão deu perseguindo ou a lebre fugindo até que ela tenha sido pega.

SOLUÇÃO

O comprimento do dito campo era de 150 pés. Tome a metade de 150, que são 75. E o cão fazia em um salto 9 pés. Como 75 vezes 9 fazem 675, tantos foram os pés que o cão percorreu perseguindo a lebre, até que ele a pegou com seu dente tenaz. Mas porque a lebre fazia 7 pés em um salto, faça os mesmos 75 vezes 7: dá 205. Tantos foram os pés que fugindo a lebre deu enquanto era perseguida.

27. PROPOSIÇÃO DA CIDADE QUADRANGULAR

Há uma cidade quadrangular que tem em um lado 1100 pés, e do outro lado 1000 pés, e 600 pés na frente, e na outra frente 600 pés. Quero lá pôr casas tais que tenha cada casa 40 pés de comprimento e 30 pés de largura. Diga, quem conseguir, quantas casas devem lá caber.

SOLUÇÃO

Se forem os dois comprimentos desta cidade juntos, serão 2100. Se maneira semelhante, se os dois lados forem juntos, serão 1200. Portanto faça a metade de 1200, e serão 600, e novamente faça a metade de 2100, e serão 1050. E porque cada casa tem 40 pés de comprimento e 30 pés de largura, faça a quadragésima parte de 1050, e serão 26. E novamente tome a trigésima de 600, e serão 20. Portanto, 20 vezes 26 fazem 520. Tantas são as casas que cabem lá.

28. PROPOSIÇÃO DA CIDADE TRIANGULAR

Há uma cidade triangular que tem 100 pés em um lado, e em outro lado 100 pés, e na frente 90 pés. Desejo pois lá construir casas, mas de tal maneira que cada uma das casas tenha 20 pés de comprimento e 10 pés de largura. Diga, quem pode, quantas casas devem caber lá.

SOLUÇÃO

Dois lados desta cidade juntos fazem 200, e faça a metade de 200, que dá 100. Mas porque a frente tem 90 pés, faça a metade de 90, que dá 45. E porque o comprimento de cada uma das casas tem 20 pés e a largura de cada tem 10 pés, assim em 100 são 5 vezes 20, e 4 vezes 10 em 40. Faça portanto 5 vezes 4, que dá 20. Dessa maneira, tantas são as casas que cabem na cidade.

29. PROPOSIÇÃO DA CIDADE REDONDA

Há uma cidade redonda que tem 8000 pés de circuito (comprimento). Diga, quem pode, quantas casas deve conter, de maneira tal que cada casa tenha 30 pés de comprimento e 20 pés de largura.

SOLUÇÃO

a. No âmbito desta cidade contam-se 8000 pés, que são divididos na proporção sesquiáltera [3:2] em 4800 e 3200. Mas trata-se de alocar comprimento das casas naquele e da largura nestes. Assim subtraia de cada uma das somas a metade, e restam do maior 2400, e do menor 1600. Divida então estes 1600 por 20 e encontrarás 80 vintenas, e de novo a maior soma, isto é, 2400, em 30 divididos são enumerados 80 vezes 30. Faça 80 vezes 80, e são 6400. Desse modo são tantas as casas, segundo a proposição acima, que podem ser construídas.

b. O âmbito desta cidade perfaz 8000 pés. Faça então a quarta parte de 8000, e são 2000. Novamente faça a terça parte de 8000, e são 2666. E faça a metade de 2000, e são 1000, e de novo tome a metade de 2666, e são 1333. Então tome a trigésima parte de 1333, (são 44, e novamente tome a vigésima parte de 1000, que é 50. Faça 50 vezes 44), e serão 2200. Daí faça quatro vezes 2200, e serão 8800. Esta é a soma das casas.

30. PROPOSIÇÃO DA BASÍLICA

Há uma basílica que tem 240 pés de comprimento e 120 pés de largura. Cada ladrilho de seu chão tem 23 polegadas de comprimento, isto é, um pé e 11 polegadas, e de largura 12 polegadas, ou seja, um pé. Diga, quem quiser, quantos ladrilhos devem cobri-la.

SOLUÇÃO

a. 126 ladrilhos cobrem 240 pés de comprimento, e 120 ladrilhos 120 pés de largura, porque cada ladrilhos mede um pé de largura. Multiplique assim 120 vezes 126, e a soma vai a 15.120. Assim são, portanto, tantos ladrilhos que podem cobrir o pavimento da basílica.

b. Se fizeres 12 vezes 240, serão 2880. E porque cada ladrilho tem 15 polegadas de comprimento, tome a décima quinta parte de 2880, ou 192. Novamente faça 12 vezes 120, e serão 1440. E porque 8 polegadas tem cada ladrilho de largura, tome a oitava parte de 1440, ou 180. Faça, por fim, 180 vezes 192, e serão 34560. São tantos os ladrilhos que enchem a basílica.

31. PROPOSIÇÃO DA ADEGA

Há uma adega que tem 50 pés de comprimento e 64 pés de largura. Diga, quem pode, quantas cubas deve lá caber, mas de tal modo que cada uma das cubas tenha 7 pés de comprimento, e de lado, isto é, no meio, tem 4 pés, e uma entrada (da adega) tem 4 pés.

SOLUÇÃO

a. Em um cento há 14 setes, e em 64 cabem 16 quatros, dos quais 4 devem ser subtraídos para a entrada, que corre ao longo dessa adega. Portanto, porque em 60 há 15 quatros e em um cento 14 setes, faça 15 vezes 14, e serão 210. Tantas assim são as cubas, segundo a grandeza prescrita, que podem estar contidas na adega.

b. Se fizeres 6 vezes 7, serão 42, e isso são 6 filas de cubas. E para que venhas pela entrada, que tem 3 pés, faça 7 vezes 3, o que dá 21. Portanto, junte 42 e 21, e serão 63. E a saída tem seis filas de cubas. Daí tome a quarta parte de 100, e serão 25, isto é, sempre em uma fila há 25 cubas. e porque há 6 filas de cubas, 6 vezes 25 fazem 150. Este é o número de cubas.

32. PROPOSIÇÃO DE UM PAI DE FAMÍLIA DISTRIBUINDO VÍVERES

Um pai de família tinha uma família de 20 pessoas. Ele mandou dar a elas 20 módios de víveres, mas de tal modo que os homens recebessem 3 módios, as mulheres 2 e as crianças meio módio. Diga, quem pode, quantos homens ou quantas mulheres ou quantas crianças devem haver.

SOLUÇÃO

Faça uma vez 3, e são 3, isto é, um homem recebe 3 módios. De maneira semelhante, 5 vezes 2, isto é, 5 mulheres receberam 10 módios. E faça 7 vezes 2, se são, isto é 14 crianças receberam 7 módios Junte portanto 1 e 5 e 14 e serão 20. Esses são os 20 da família. E daí junte 3 e 7 e 10, e serão 20. Este são os 20 módios. São portanto ao mesmo tempo 20 na família e 20 módios.

N.T.: um módio variava entre 12,5 e 14 litros de grãos. Um módio era a quantidade de grãos produzida em um alqueire de terra, cerca de 24.000 m².

33. OUTRA PROPOSIÇÃO

Certo pai de família tinha uma família de 30, aos quais mandou dar 30 módios de víveres. Mas mandou de tal modo que os homens recebam 3 módios, e as mulheres 2, e as crianças meio módio. Resolva, quem pode, quantos homens ou quantas mulheres ou quantas crianças havia.

SOLUÇÃO

Se fizeres 3 vezes 3, serão 9. E se fizeres 5 vezes 2, serão 10. E daí faça 22 vezes a metade, e serão 11: isto é, 3 homens receberam 9 módios, e 5 mulheres receberam 10, e 22 crianças receberam 11 módios. Juntos esses 3 e 5 e 22 fazem uma família de 30. E novamente 9 e 11 e 10 juntos fazem 30 módios. Quanto são ao mesmo tempo uma família de 30 e 30 módios.

33a AINDA OUTRA PROPOSIÇÃO

Certo pai de família tinha uma família de 90, e ordenou que lhes fossem dados 90 módios de víveres. Também ordenou que cada homem receba 3 módios, e as mulheres 2 e cada criança meio médio. Diga, quem pensa que sabe, quantos homens ou quantas mulheres ou quantas crianças havia.

SOLUÇÃO

Faça 6 vezes 3, e são 18, e faça 20 vezes 2, e são 40. E faça 64 metades, o que são 32. Isto é, os homens receberam 18 módios, 20 mulheres receberam 40 módios e 64 crianças receberam 32 módios. Juntos todos, isto é, 6 e 20 e 64, fazem 90 famílias. E novamente junte 18 e 40 e 32, e são 90, que fazem 90 módios. Esses juntos fazem 90 famílias e 90 módios.

34. AINDA OUTRA PROPOSIÇÃO

Um pai de família tinha uma família de 100, aos quais prescreveu que fossem dados 100 módios de víveres, mas de tal maneira que os homens recebessem 3 módios, as mulheres 2 e cada criança meio módio. Diga, portanto, quem puder, quantos homens, quantas mulheres ou quantas crianças havia.

SOLUÇÃO

Onze vezes 3 fazem 33, e 15 duas vezes fazem 30. E faça 74 metades, que são 37: isto é, 11 homens receberam 33 módios, e 15 mulheres receberam 30, e 74 crianças receberam 37. Esses juntos, isto é 11 e 15 e 74, fazem 100, que são uma família de 100. De maneira semelhante, junte 33 e 30 e 37, e são 100, que são 100 módios. Portanto, com esses juntos tens uma família de 100 e 100 módios.

35. PROPOSIÇÃO DO ÓBITO DE UM PAI DE FAMÍLIA

Um pai de família, ao morrer, deixou crianças, e em seu benefício 960 sólidos, e uma esposa grávida. Ele ordenou que se lhe nascesse um filho, este receberia 3 quartos de toda a massa, isto é, 9 onças, e a mãe receberia um quarto, isto é, 3 onças. Mas se lhe nascesse uma filha, ela receberia 7 onças, e a mãe receberia 5 onças. Aconteceu, porém, que nasceram gêmeos, isto é, um menino e uma menina. Resolva, quem pode, quanto recebeu a mãe ou quanto o filho ou quanto a filha.

SOLUÇÃO

Junte portanto 9 e 3, e serão 12. Pois 12 onças fazem uma libra. E em seguida junte da mesma maneira 7 e 5, e farão novamente 12. E duas vezes 12 fazem 24. E 24 onças fazem duas libras, isto é, 40 sólidos. Divida portanto pela vigésima quarta parte 960 sólidos: a vigésima quarta parte deles fazem 40. E então faça, porque faz três quartas partes, 40 em uma nona parte. Daí 9 vezes 40 recebe o filho, isto é, 18 libras, que fazem 360 sólidos. E porque a mãe recebe a terça parte do filho e a quinta da filha, 3 e 5 fazem 8. E assim faça, como é dito, 40 em uma oitava parte. Portanto 8 vezes 40 recebe a mãe, isto é, 16 libras, que fazem 320 sólidos. E então faça, como é dito, 7 onças, 40 em 7 partes. Depois faça 7 vezes 40, e são 14 libras, que fazem 240 sólidos. Isto é o que a filha recebe. Junte portanto 360 e 320 e 280, e são 960 sólidos e 48 libras.

36. PROPOSIÇÃO DA SAUDAÇÃO DE UM VELHO A UM MENINO

Um velho saudou um menino, e a ele disse: Viva, filho, viva, disse, o quanto viveste, e ainda tanto, e 3 vezes o tanto, e adicione Deus a ti um de meus anos e completarás 100 anos. Resolva, quem pode, quantos anos então esse menino tinha.

SOLUÇÃO

Sobre aquele de quem se disse: viva o quanto viveste, vivera 8 anos e 3 meses. E outro tanto fazem 16 anos e 6 meses, e outro tanto fazem 33 anos, que multiplicados por 3 fazem 99 anos. Adicionado um com esses, e são 100.

37. PROPOSIÇÃO DE UM HOMEM QUE QUERIA CONSTRUIR UMA CASA

Um homem, desejando construir uma casa, contratou 6 trabalhadores, dos quais 5 eram mestres e 1 era discípulo. E ficou acordado entre o que desejava construir e os trabalhadores que seriam dados em paga 25 denários a cada dia de trabalho, mas de tal maneira que o discípulo receberia metade do que cada um dos mestres receberia. Diga, quem pode quanto cada um deles a cada dia recebeu.

SOLUÇÃO

Tome primeiro 22 denários e divida-os em 6 partes. Assim, dê a cada um dos mestres, que são 5, 4 denários. Pois 5 vezes 4 são 20. Os 2 que sobraram, que são metade de 4, tome e dê ao discípulo. E sobram ainda 3 denários, que distribua assim: faça de cada denário 11 partes. 3 vezes 11 perfazem 33. Tome aquelas 30 partes e divida-as entre os 5 mestres. 5 vezes 6 são 30. Dê a cada mestre 6 partes. Tome as 3 partes, que sobraram de 30, que é metade de um 6, e dê ao discípulo.

38. PROPOSIÇÃO DE UM COMPRADOR DE 100 ANIMAIS

Quis um homem comprar 100 animais diversos com 100 sólidos, de tal maneira que 1 cavalo fosse comprado por 3 sólidos, 1 boi por 1 sólido, e 24 ovelhas por 1 sólido. Diga, quem pode, quantos cavalos ou quantos bois ou quantas ovelhas havia.

SOLUÇÃO

Faça 3 vezes 23, se são 69. E faça duas vezes 24, e são 48. São, portanto, 23 cavalos e 69 sólidos, e 48 ovelhas e 2 sólidos, e 29 bois em 29 sólidos. Junte, portanto, 23 e 48 e 29, e são 100 animais. E então junte 69 e 2 e 29 e são 100 sólidos. São, portanto, juntos 100 animais e 100 sólidos.

39. PROPOSIÇÃO DE UM CERTO COMPRADOR NO ORIENTE

Um homem quis com 100 sólidos comprar 100 animais no Oriente. Ordenou a um servo seu que comprasse camelos por 5 sólidos, asnos por 1 sólido, e 20 ovelhas por 1 sólido. Diga, quem quer, quantos camelos ou asnos ou ovelhas houve no negócio de 100 sólidos.

SOLUÇÃO

Se fizeres 10 vezes 9 e 5, serão 95, isto é, 19 camelos são comprados por 95 sólidos. Adicione a esses 1, isto é, com um sólido um asno, e são 96. E depois faça 20 vezes 4, e são 80, isto é, com 4 sólidos 80 ovelhas. Junte, portanto, 19 e 1 e 80, e são 100. Estes são os 100 animais. E depois junte 95 e 1 e 4, se são 100 sólidos. Juntos, portanto, fazem 100 animais e 100 sólidos.

40. PROPOSIÇÃO DO HOMEM E DAS OVELHAS NO MONTE

Um homem viu, de um monte, ovelhas pastando, e disse: oxalá tivesse tanto (de ovelhas) e outro tanto e metade da metade, e desta metade outra metade, e eu mesmo juntamente com essas, seria o centésimo a entrar em minha casa. Resolva, quem pode, quantas ovelhas ele viu lá pastando.

SOLUÇÃO

Quando disse, portanto: teria um tanto, 36 ovelhas foram primeiro vistas por ele. E outro tanto fazem 72, e metade dessa metade, a saber, de 36, são 18. E novamente tomada metade desta segunda metade, isto é, de 18, são 9. Junte portanto 36 e 36, e são 72. Adicione a esses 18, e são 90. E some 9 com 90, e são 99. E o próprio homem a elas adicionado seria o centésimo.

41. PROPOSIÇÃO DO CHIQUEIRO E DA PORCA

Um pai de família construiu um chiqueiro quadrangular novo, no qual pôs uma porca, que pariu 7 porquinhas no meio do chiqueiro, que juntamente com a mãe, que era a oitava, pariram cada uma 7 em cada ângulo. E ela novamente com todos os gerados pariu 7 no meio do chiqueiro. Diga, quem deseja, quantos porcos havia junto com a mãe.

SOLUÇÃO

Assim, no primeiro parto, que foi feito no meio do chiqueiro, foram 7 porquinhas, e a mãe delas era a oitava. Oito vezes 8 fazem 64. Tantos foram as porquinhas juntas com suas mães no primeiro ângulo. E então 64 vezes 8 são 512. Tantas foram as porquinhas com suas mães no segundo ângulo. Novamente 512 vezes 8 fazem 4096. Tantos foram com suas mães no terceiro ângulo. Se multiplicares estes 8 vezes serão 32.768. Tantos foram com suas mães no quarto ângulo. Multiplica também 8 vezes e são 262.144. Tantos assim nasceram, porque no meio do chiqueiro um novo parto fizeram.

42. PROPOSIÇÃO DA ESCADA DE 100 DEGRAUS

Há uma escada que tem 100 degraus. No primeiro degrau pousava uma pomba, no segundo duas, no terceiro 3, no quarto 4, no quinto 5. E assim em todos os degraus até o centésimo. Diga, quem pode, quantas pombas havia no total.

SOLUÇÃO

Contarás assim: do primeiro degrau, no qual uma só pousava, tome ela e junte às 99 que estão no nonagésimo nono degrau, e serão 100. E assim o segundo com o nonagésimo oitavo, e encontrarás igualmente 100. Assim junte com cada um dos degraus superiores outro dos degraus inferiores, nessa ordem, e encontrarás sempre em cada dois degraus 100. Mas o quinquagésimo degrau está só e absoluto, e não tem par. De modo semelhante, o centésimo ficará só. Portanto, junte todos e encontrarás 5050 pombas.

43. PROPOSIÇÃO DOS PORCOS

Um homem tinha 300 porcos e ordenou que todos os porcos deveriam ser mortos em números ímpares em 3 dias. O mesmo também se fossem 30. Diga então, quem pode, quantos porcos em número ímpar de 300 ou de 30 devem ser mortos em 3 dias.

SOLUÇÃO

Eis uma fábula que não pode ser resolvida por ninguém, que 300 ou 30 porcos em 3 dias sejam mortos em número ímpar. Esta fábula existe apenas para exercitar meninos.

44. PROPOSIÇÃO DA SAUDAÇÃO DO MENINO AO PAI

Um menino saudou o pai: Ave, pai, ele disse. E o pai a ele: Salve, filho. Vivas, o quanto viveste. Estes anos duplicados tripliques, e tome um de meus anos e tereis 100 anos. Diga, quem pode, quantos anos tinha o menino naquele tempo.

SOLUÇÃO

O menino tinha 14 nos e 6 meses. Esses dobrados juntos com os meses e são 33 anos. Estes triplicados são 99. Somado um ano do pai, aparecem 100.

45. PROPOSIÇÃO DA POMBA

Uma pomba pousada em uma árvore viu outras voando e lhes disse: Oxalá fôsseis outro tanto e um terceiro tanto. Então comigo juntas seríeis 100. Diga, quem pode, quantas pombas havia voando primeiro.

SOLUÇÃO

Eram 33 as pombas que foram avistadas voando primeiro. Juntas com outro tanto são 66, e com um terceiro tanto são 99. Adicione a que estava pousada e serão 100.

46. PROPOSIÇÃO DA BOLSA ENCONTRADA PELO HOMEM

Um homem, andando pela estrada, encontrou uma sacola com dois talentos. Outros que também a viram, lhe disseram: Irmão, dê-nos uma parte de seu achado. O homem, fazendo um sinal com a cabeça, não quis dar nada a eles. E eles avançaram e lhe roubaram a sacola, e cada um tomou para si 50 sólidos. E o homem, quando viu que não poderia resistir, esticou a mão e roubou 50 sólidos. Diga, quem deseja, quantos homens havia.

SOLUÇÃO

Em cada talento tem 75 libras. E uma libra tem 72 sólidos de ouro. 75 vezes 72 fazem 5400, e esse número duplicado dá 10.800. Em 10.800 existem cinquenta 216. Tantos são, portanto, os homens que havia.

N.T.: um talento continha entre 26 e 60 kg de ouro. Era chamado, quando próximo de 26

kg, de talento leve, e quando próximo de 60 kg, de talento pesado.

47. PROPOSIÇÃO DO BISPO QUE MANDOU DIVIDIR 12 PÃES ENTRE O CLERO

Um bispo ordenou que 12 pães fossem divididos entre o clero. E prescreveu que cada um dos presbíteros recebesse 2 pães, os diáconos metade e o leitor uma quarta parte. Mas que seja feita de tal maneira [a divisão] que de clérigos e pães seja um só número. Diga, quem pode, quantos presbíteros ou quantos diáconos ou quantos leitores devem haver.

SOLUÇÃO

Cinco vezes 2 são 10, isto é, 5 presbíteros receberam 10 pães, e o diácono uma metade de um pão, e entre os leitores 6 tiveram um pão e meio. Junte 5 e 1 e 6 de uma vez e são 12. Novamente, junte 10 e metade de um, e um e meio, e são 12. Estes são 12 pães, que uma vez juntos são 12 homens e 12 pães. O mesmo, portanto, é o número de clérigos e pães.

48. PROPOSIÇÃO DO HOMEM QUE VIU ESTUDANTES

Um homem viu estudantes e lhes disse: Quantos sois na escola? Um deles respondeu dizendo: Não quero lhe dizer isso. Conte-nos em dobro e multiplique por 3. Então divida em 4 partes. À quarta parte desse número, se me adicionar, obterá um centenário. Diga, quem pode, quantos havia, que antes foram vistos andando pela estrada.

SOLUÇÃO

Duas vezes 33 são 66. Tantos eram, que antes foram visto andando. Esse número multiplicado por 2 dá 132. Multiplique por 3 e são 396. A quarta parte desse é 99. Adicione o menino que respondeu e encontrarás 100.

49. PROPOSIÇÃO DOS CARPINTEIROS

Cada um de 7 carpinteiros fez 7 rodas. Diga, quem quiser, quantas carroças construíram.

SOLUÇÃO

Faça 7 vezes 7 e são 49. Tantas rodas fizeram. E 12 vezes 4 dão 40 e 8. Sobre 40 e 8 rodas 12 carroças foram construídas, e uma roda sobra.

50. OUTRA PROPOSIÇÃO

Peço que diga, quem consegue, quantos sextários cabem em 100 metros de vinho, e também quantos meros há nos mesmos 100 metros.

SOLUÇÃO

Em um metro cabem 48 sextários. Faça 100 vezes 48, e são 4.800. São tantos os sextários. De maneira semelhante, um metro também tem 288 meros. Faça 100 vezes 288 e são 28.800. São tantos os meros.

51. PROPOSIÇÃO DO VINHO NOS VASOS DISTRIBUÍDO POR UM PAI DE FAMÍLIA

Um pai de família, ao morrer, distribuiu 4 vasos de vinho a seus 4 filhos. No primeiro vaso havia 40 módios, no segundo 30, no terceiro 20 e no quarto 10. Chamando o dispenseiro de sua casa, disse: Divida estes quatro vasos com vinho dentro entre os meus 4 filhos, mas de tal maneira que a cada um deles caiba igual porção tanto de vinho quanto de vasos. Diga, quem entende, como se deve dividir de maneira que todos possam receber iguais quantidades de cada.

SOLUÇÃO

Com efeito, no primeiro vaso havia 40 módios, no segundo 30, no terceiro 20 e no quarto 10. Junte portanto 40 e 30 e 20 e 10, e são 100. Então divida essa centena pela quarta parte. E a quarta parte da centena é 25, número que dobrado dá 50. É devida a cada filho uma porção de 25, e 50 entre dois. No primeiro [vaso] há 40 módios e no quarto 10. Estes juntos fazem 50. Isto darás a dois filhos. De modo semelhante, junte 30 e 20 módios, que havia no segundo e no terceiro vaso, e são 50, e isto darás, como acima, a dois filhos, e cada um terá 25 módios, e, assim fazendo, a divisão dos filhos será igual tanto de vinho quanto de vasos.

52. PROPOSIÇÃO DO HOMEM PAI DE FAMÍLIA

a. Um pai de família ordenou que 90 módios de grãos fossem transportados de uma casa sua à outra que ficava a 30 léguas de distância. Mas de maneira tal que um só camelo levaria todos os grãos em 3 viagens, levando em cada viagem 30 módios. E o camelo comia um módio a cada légua. Diga, quem quiser, quantos módios restaram.

b. Um pai de família tinha uma casa há 30 léguas de distância da outra, e tinha um camelo que devia em três viagens de uma casa a outra levar 90 módios de mantimentos, e em cada légua o camelo comia sempre 1 módio. Diga, quem puder, quantos módios restaram.

SOLUÇÃO

Na primeira viagem o camelo levou 30 módios em 20 léguas e comeu em cada légua um módio, isto é, comeu 20 módios, e sobraram 10. Na segunda viagem, de maneira semelhante, levou 30 módios, e deles comeu 20, e restaram 10. E na terceira viagem fez o mesmo: levou 30 módios e deles comeu 20, e sobraram 10. Daqueles que sobraram, foram 30 módios e 10 léguas de caminho. Aqueles 30 levou em uma quarta viagem à casa, e desses comeu 10, e restaram de toda aquela soma só 20 módios.

53. PROPOSIÇÃO DO PADRE DE UM MONASTÉRIO DE 12 MONGES

Um padre de um monastério vivia com 12 monges. Chamando o dispenseiro de seu monastério, deu a ele 204 ovos e ordenou que desse a cada um deles uma igual porção. Mas mandou que a 5 presbíteros fossem dados 85 ovos, e a 4 diáconos 68, e a 3 leitores 51. Diga, por favor, quem pode, quantos ovos a cada um deles chegou, de tal maneira que em nenhum [número] sobre ou falte, mas todos, como acima dissemos, receba igual porção.

SOLUÇÃO

Divida, portanto, 204 pela décima segunda parte. Dessas, uma décima segunda parte se resolve em 17, porque se fizeres ou 12 vezes 17 ou 17 vezes 12 encontrarás 204. Dessa forma, o número 85 se desfaz em 5 partes de 17, e 68 em quatro partes, e 51 em três partes. Junte portanto 5 e 4 e 3 e são 12. Estes são os 12 homens. De novo, junte 85 e 68 e 51, e são 204. Estes são os 204 ovos. Chega, portanto a cada um deles, uma décima segunda parte de 17 ovos.

Bibliografia

YORK, Alcuíno de. Propositiones Alcuini Doctoris Caroli Magni Imperatoris ad Acuendos Juvenes, in J.-P. MIGNE. Patrologiae Cursus Completus: Patrologiae Latinae. Tomo 101, colunas 1143-1160. Paris: 1863.

FOLKERTS, Menso. Die älteste mathematische Aufgabensammlung in lateinischer Sprache: Die Alkuin zugeschriebenen PROPOSITIONES AD ACUENDOS IUVENES. Wien: Springer-Verlag, 1978.

NIERMEYER, J.F. Mediae Latinitatis Lexicon. Leiden: E. J. Brill, s.d.

REALE, Giovanni, e ANTISERI, Dario. História da Filosofia. Vol. I. São Paulo: Paulinas, 1990.

Frederico José Andries Lopes

Departamento de Matemática – UFMT – Cuiabá - Brasil

E-mail: fredlopespro@gmail.com

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Leia mais em Alcuíno de York: difusor do Trivium e Quadrivum

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Os Elementos de Euclides e S. Alberto Magno

Santo Alberto Magno, em Santa Maria dell'Anima, Roma

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Alberto Magno e a recepção arabo-latina de Euclides - Albert the Great and the Arabic-Latin reception of Euclid, por Marco Aurélio Oliveira da Silva - Universidade Federal da Bahia – UFBA - silva.marco@ufba.br. Publicado na revista Doispontos:, Curitiba, São Carlos, volume 18, número 1, p. 133-143, maio de 2021. ISSN 2179-7412. DOI: 10.5380/dp.v18i1.78557. Disponível no LINK.

Resumo: O século XIII de Alberto Magno é um período no qual começa a circular mais intensamente a recepção das traduções completas dos Elementos de Euclides, que foram feitas por Adelardo de Bath, Roberto de Chester e João de Tinemue, além da tradução de Gerard de Cremona ao comentário feito pelo matemático árabe Al-Nayrizi ao geômetra alexandrino. O objetivo deste artigo é apresentar como Alberto incorpora as traduções arabo-latinas de Euclides com a visão latina da prática geométrica.

Palavras-chave: Alberto Magno, filosofia da geometria, Euclides, filosofia medieval, matemática medieval, Elementos de Euclides.

Abstract: In Albert the Great’s 13th century, a larger circulation of the complete Arabic-Latin translations of Euclid’s Elements made by Adelard of Bath, Robert Chester and John of Tinemue begins and joins Gerald of Cremona’s translation of Al-Nayrizi’s Commentary on Euclid’s Elements. The aim of this paper is to present how Albert the Great deals with the combination of these two traditions, i.e., the Arabic-Latin Euclid’s translations, and the Latin medieval geometrical practice.

Keywords: Albert the Great, philosophy of geometry, Euclid, medieval philosophy, medieval mathematics, Euclid’s Elements.

***

É conhecida a crítica de Alberto ao platonismo com relação aos objetos matemáticos, que se baseia na doutrina da abstração do universal a partir dos indivíduos sensíveis [1] . Contudo, esta teoria deve ser vista em perspectiva, posto que fica a depender da chamada metafísica do fluxo, doutrina fundamental para a explicação do movimento natural na física de Alberto [2]. Há um consenso na literatura secundária de que a origem desta discussão metafisica está em Avicena [3]. Contudo, a doutrina do fluxo costuma ser restrita à recepção da doutrina da emanação aviceniana [4]  e à recepção do Liber de Causis, que Alberto tomava como uma obra aristotélica. Apenas na geração seguinte, de Tomás de Aquino, saber-se-á que o opúsculo é uma compilação árabe a partir da doutrina teológica de Proclo.

Em Alberto, esta doutrina está exposta de modo mais detalhado no comentário ao terceiro livro da Física [5]. Contudo, pode-se observar que a importância da teoria do fluxo não está restrita, como seria de se esperar, à física e à metafísica em Alberto. Dado que era lugar-comum no mundo medieval latino que o movimento seria assunto estrito da física, caberia à matemática, nessa perspectiva, contentar-se com a consideração de entidades abstratas e imóveis.

Todavia, a geração de Alberto Magno e de Roger Bacon teve uma grande influência do matemático persa de língua árabe Al-Nayrizi [6], conhecido como Anatitius entre os latinos, que permitiria conectar a doutrina do fluxo com a prática matemática. Embora ambos autores, Alberto Magno e Roger Bacon, tivessem comentado os Elementos de Euclides, influenciados por Al-Nayrizi, apenas Alberto demonstra ao longo de sua obra filosófica uma visão distinta da natureza da prática matemática.

A literatura sobre a filosofia da matemática de Alberto se ocupa principalmente de esclarecer quem seriam os autores por trás da alcunha albertista error platonis. Em um importante artigo, Weisheipl atribui a crítica de Alberto escudada por tal alcunha a Roberto Grosseteste, Roger Bacon e Roberto Kilwardby [7].

Contudo, a descoberta, atribuição de autoria e edição do Comentário de Alberto Magno aos Elementos de Euclides permitem lançar uma nova luz a esta investigação. Assim, a doutrina do fluxo, investigada tão detidamente por Alain de Libera [8], deveria ser estendida de modo a explicar a teoria matemática de Alberto. Al-Nayrizi, por sua vez, no que é seguido por Alberto, define geneticamente os objetos matemáticos a partir da noção inicial de fluxo do ponto. Deste modo, do ponto de vista da filosofia da prática matemática, a possibilidade do uso de definições genéticas matemáticas dependentes do movimento e do fluxo não tem sido objeto de consideração atenta pelos intérpretes da crítica de Alberto ao error platonis.

Alain de Libera se dedicou a analisar detalhadamente a metafísica do fluxo de Alberto Magno [9], conectando esta discussão com a recepção do tratado do Liber de Causis, de conteúdo neoplatônico, mas que Alberto tomava como aristotélico. A doutrina da emanação ali presente era emprestada para explicar o fluxo da forma no movimento substancial de geração. Contudo, uma razão adicional para se observar a recepção do comentário de Al-Nayrizi aos Elementos de Euclides consiste em tentar mapear o percurso que leva Alberto Magno a usar teses compatíveis com o neoplatonismo em filosofia da matemática, como, por exemplo, a discussão sobre o papel da imaginação no contexto da prática geométrica.

Embora acuse contemporâneos de platonismo, do próprio Platão, Alberto teve acesso no máximo a uma seção da tradução do Timeu feita por Calcídio [10]. Além disso, as principais fontes neoplatônicas de Alberto são Dionísio Pseudo-Aeropagita e o próprio Liber de Causis, as quais jogam um papel fundamental no desenvolvimento de seu pensamento [11]. No caso do Liber de Causis, Alberto o toma como obra aristotélica, embora seja um texto com uma inclinação platonizante [12].

Contudo, pode-se observar em Alberto uma inclinação pela ciência em geral e pelas ciências matemáticas em particular. Por exemplo, há claramente a influência marcante no seu pensamento do Almagesto de Ptolomeu [13], pois tinha uma preocupação constante não só pela geometria, mas também pela astronomia e pela perspectiva [14], que eram estudadas na Idade Média como ciências matemáticas. Com efeito, provavelmente Alberto escreveu um comentário ao Almagesto, como se pode observar em catálogos medievais [15]. Infelizmente, não há manuscrito conhecido com a transmissão deste trabalho.

No caso específico do comentário a Euclides, Alberto o escreveu antes de comentar a Metafísica [16]. Contudo, mesmo ao comentar Aristóteles, pode-se observar uma preocupação constante em relacionar os eventuais exemplos matemáticos utilizados pelo Estagirita com discussões correspondentes da obra euclidiana [17].

A recepção de Euclides:

A recepção dos Elementos de Euclides é um capítulo à parte na história da geometria. A principal fonte para a história da Geometria pré-euclidiana é Proclo, em seu Comentário aos Elementos. Ocorre que Proclo viveu no Vº século de nossa era, tendo nascido cerca de 700 anos após a morte de Aristóteles. Deste modo, torna-se compreensível a confusão latina entre o Euclides de Alexandria, autor dos Elementos, e o Euclides de Megara, discípulo de Sócrates. Os relatos sobre a vida de Euclides de Alexandria são deveras exíguos, mormente baseando-se em uma referência a um encontro com o Faraó Ptolomeu II descrito no segundo prólogo ao Comentário de Proclo a Euclides [18], de onde surge a datação. Ora, esse texto de Proclo só seria vertido ao latim em 1533, na célebre edição dos Elementos de Simon Grynaeus19. Digno de nota é também Simplício, que floresceu no início do século VI de nossa era, tendo também feito um comentário aos Elementos, infelizmente perdido.

Por sua vez, a tradição intelectual de língua árabe encontra nos textos que circulavam no Império Bizantino sua fonte principal de transmissão da filosofia e da ciência gregas para a língua do profeta Muhammad. Por exemplo, Alexandre de Afrodísias é um autor destacado e influente tanto em Avicena quanto em Averróis, para citar os dois filósofos de língua árabe mais conhecidos.

No ponto específico da recepção de Euclides, deve-se destacar o trabalho de Al-Nayrizi, que viria a ser conhecido entre os latinos medievais como Anaritius. Tendo vivido entre a segunda metade do século IX de nossa era e o começo do século X, deve-se a Al-Nayrizi o importante Comentário aos X primeiros livros dos Elementos de Euclides. Aqui, destacamos dois pontos. Em primeiro lugar, diferentemente de Proclo, ele não se limita ao comentário ao primeiro livro. Em segundo lugar, é comum em Al-Nayrizi a referência a Simplício, que na edição latina tem o nome corrompido para Sambelichius [20]. Aparentemente, não há referência a Proclo, o que permite a conjectura de que Al-Nayrizi poderia ter tido o trabalho perdido de Simplício como sua fonte original.

O principal ponto a destacar nesta recepção árabe de Euclides é a valorização da teoria do fluxo, que Proclo, em sua crítica neoplatônica a Aristóteles, houve por bem rejeitar [21]. Na teoria do fluxo matemático em geometria, seria por meio do fluxo do ponto que seriam construídas as linhas; do fluxo da linha, a superfície; e do fluxo da superfície, o sólido. Assim, observamos no mundo árabe um desenvolvimento paralelo da recepção de Euclides distinto do que se pode depreender do mundo latino, com a exceção de Alberto Magno, no século XIII.

Por fim, no mundo medieval de língua latina, podemos observar dois momentos, cujo fator de inflexão seria justamente a recepção da filosofia e da ciência árabes a partir da reconquista cristã da Península Ibérica no século XII, então sob domínio árabe.

Sabe-se que Boécio teria traduzido os Elementos de Euclides, contudo, este trabalho também está perdido. E é possível que já estivesse perdido no século XIII. Todavia, circulavam traduções a ele atribuídas. A Patrologia Latina (v. 64) de Migne atribui a Boécio duas traduções, uma do primeiro e outra do segundo livro dos Elementos. Com relação ao primeiro livro, a tradução é provavelmente do século X [22]. Portanto, trata-se de um texto que expressava a prática matemática anterior à chegada da influência intelectual árabe ao Ocidente latino.

A atribuição a Boécio não pode ser ignorada, pois a própria ideia da matemática como independente do movimento remonta às discussões de Boécio sobre as três ciências especulativas. Portanto, a ideia de um fluxo para construir objetos matemáticos soaria totalmente estranha dentro de um contexto boeciano. Apenas para ilustrar, observemos o modo pelo qual a tradução de Pseudo-Boécio verte o famoso teorema I.1 de Euclides [23]:

PSEUDO-BOÉCIO:

Tomando esta tradução como ponto de partida para a análise das traduções do Euclides árabe, podemos observar o seguinte. Em primeiro lugar, apesar do enunciado do problema e do uso do diagrama, Pseudo-Boécio não traduz a construção e a demonstração da prova. Pode-se aduzir que isso seria tarefa do estudante de geometria. Contudo, do ponto de vista da prática matemática, Pseudo-Boécio não necessita fazer qualquer referência ao movimento, seja na definição – que Euclides já não usa de modo genético –, seja na demonstração, que aqui não é vertida ao latim.

Em contrapartida, no século XII, com a reconquista da Península Ibérica, ocorre um movimento intenso de tradução de obras filosóficas e científicas ao latim. Com Euclides não é diferente. Neste contexto, ocorrem três traduções dos Elementos, respetivamente por Adelardo de Bath, Roberto de Chester e João de Tinemue. Anteriormente, as três traduções eram atribuídas a Adelardo, daí serem conhecidos respectivamente por Adelardo I, II e III. Além de traduções a Ptolomeu e Al-Kwarizimi, ressaltamos aqui a tradução ao Comentário de Al-Nayrizi aos Elementos, realizada por Gerard de Cremona.

Vejamos como as três traduções arabo-latinas vertem o mesmo problema em Elementos I.1:

ADELARDO I (ADELARDO DE BATH)	ADELARDO II (ROBERTO DE CHESTER)	ADELARDO III ( JOÃO DE TINEMUE)
I.1 Agora, deve-se demonstrar de que modo faremos uma superfície triangular com lados iguais sobre uma linha reta de quantidade determinada. Seja a linha determinada ab. Construa-se um círculo gdb, com centro em a e ocupando o espaço que está entre a e b. Ademais, construa-se um outro círculo gah, com centro em b, ocupando o espaço entre a e b. Além disso, partam do ponto g, sobre o corte dos círculos, duas linhas retas ao ponto a e ao ponto b. Sejam elas ga e gb. Digo, então, que produzimos um triângulo com os lados iguais sobre a linha determinada ab [24].	I.1 Colocar um triângulo equilátero sobre uma linha reta dada. A partir de duas extremidades da linha dada, usando a própria linha, trace com o compasso dois círculos que se cortem. E a partir da própria secção comum dos círculos, até as duas extremidades da linha proposta, trace linhas. Em seguida, portanto, a partir da descrição do círculo produza o argumento [25].	I.1 Colocar um triângulo equilátero sobre uma linha reta dada. (…) Tracemos o círculo com o espaço ab de acordo com o segundo postulado. Assim, fixo o pé imóvel do compasso em b, com o pé móvel em a, tracemos um segundo círculo seguindo o mesmo espaço de acordo com o centro b, tocando o [círculo] anterior em d e em c, tendo consequentemente construído a ypotenusis [figura?] a partir de ab para a secção c [26].

Atualmente, estamos acostumados a pensar em Euclides como a edição canônica de Heiberg. Contudo, a própria transmissão de Euclides, tanto textual quanto diagramática, não permite uma visão restritiva do texto dos Elementos.

No caso das traduções arabo-latinas, podemos observar o seguinte. Em primeiro lugar, a construção diagramática é totalmente divergente. A tradução de Roberto de Chester nem sequer utiliza índices para marcar as secções dos círculos. A tradução de Adelardo I apresenta um diagrama parecido com editado por Heiberg, com índice apenas na secção superior dos círculos. Por fim, a tradução de João de Tinemue apresenta índices para ambas as secções.

Com relação à prova, a tradução de João de Tinemue faz referência ao “pé móvel do compasso”, introduzindo tanto o instrumento quanto a noção de movimento na prova matemática. Eis algo que destoa completamente da prática matemática medieval latina, na qual o ideal de Boécio de que a matemática é separada do movimento era seguido de um modo geral.

A prova traduzida por Roberto de Chester também tem um tom construtivo, expondo a necessidade de traçar o círculo com o compasso. Pelo fato de não possuir índices, a prova é mais sincopada, diferindo da tradução de João de Tinemue, apenas indicando que é preciso traçar círculos que se cortem para daí construir o triângulo equilátero.

Por fim, a tradução de Aldeardo I não menciona explicitamente nem o compasso nem o movimento, apenas determinando a necessidade de construir dois círculos (gdb & gah) e de construir as duas linhas retas a partir do ponto oriundo da secção dos círculos até os extremos da linha reta dada.

Contudo, é interessante observar como essas diversas traduções de Euclides vão se interpolando na transmissão textual, como pode ser observado na recepção por Alberto Magno. Na primeira metade do século XIII, ocorre a recepção das novas traduções de Euclides particularmente em Alberto e em Roger Bacon, ambos tendo produzido comentários aos Elementos [27].

Alberto é um autor que apresenta um interesse especial para a filosofia da prática matemática, pois produziu tanto um comentário aos Elementos de Euclides quanto aos Analyticos Posteriores de Aristóteles [28]. Entretanto, observemos o comentário de Alberto ao mesmo problema dos Elementos de Euclides.

ALBERTO MAGNO – Euclides I.1

I. 1 Sobre uma linha reta dada, construir um triângulo equilátero.

Seja a linha reta AB. Ademais, através do terceiro postulado, coloco o pé imóvel do compasso em A e traço um círculo de acordo com a quantidade AB. Então, através do mesmo postulado, coloco o pé imóvel do compasso em B e, com a quantidade da mesma linha, traço outro círculo. Seja C o ponto de intersecção entre os círculos. Então, através do primeiro postulado, conecto A com C e do mesmo modo B com C. Digo então que o triângulo ABC é equilátero

(…)

Isso pode ser transformado em silogismo assim: todo triângulo retilíneo com os lados iguais a linhas que partem do mesmo centro da mesma circunferência é equilátero. Ora, o triângulo ABC foi constituído sobre a linha AB que tem etc.; logo, é equilátero. A seguir, vês a figura [29]

Portanto, Alberto, em seu comentário a Euclides, é claramente influenciado pelas traduções arabo-latinas, podendo-se observar o seguinte:

1) os diagramas apresentados por Alberto possuem índices dos pontos, que podem ser acompanhados paralelamente com a demonstração. Nesse aspecto, Alberto está de acordo com a tradução de Adelardo I e João de Tinemue [30];

2) o enunciado do problema em Alberto é semelhante ao de Pseudo-Boécio:

Alberto: supra datam rectam lineam aequilaterum triangulum constituere,

Ps-Boécio: supra datam rectam lineam terminatam triangulum aequilaterum constituere;

3) o diagrama apresentado é semelhante ao de João de Tinemue, pois, além de apresentar índices, como Pseudo-Boécio e Adelardo, apresenta índices para as duas secções dos círculos, tanto na parte superior – como viria a ser estabelecido da edição do texto grego por Heiberg – quanto na parte inferior;

4) destoando da prática latina medieval, Alberto faz referência à “perna móvel do compasso” [31] durante a demonstração, seguindo João de Tinemue. Além de incomum no período medieval, a referência a uma perna móvel do compasso contraria a visão comum boeciana de que a matemática seria independente do movimento;

5) a construção de um silogismo como metateorema, na qual a demonstração da prova I.1 funcionaria como premissa maior. Vale ressaltar que, ao longo do Comentário aos quatro primeiros livros de Euclides [32], não ocorrem recorrentemente outras reconstruções silogísticas. Pode-se conjecturar que Alberto, neste contexto, apresenta a reconstrução silogística de Elementos I.1 como um exemplo que poderia ser seguido ao longo do comentário.

Conclusão:

Alberto Magno é um autor diferenciado no que concerne à sua discussão sobre a natureza da geometria. Seu espírito enciclopédico e de conciliação de diversas teorias o levou a conciliar as diversas versões de Euclides que circulavam em sua época. Além da recepção do comentário dos Elementos pelo matemático Al-Nayrizi, a tradução de Adelardo III (João de Tinemue) o levou a incorporar a referência ao compasso e ao movimento no interior da demonstração geométrica. A visão pré-árabe no mundo latino excluía qualquer papel ao movimento em matemática. Alberto, por sua vez, além da perspectiva do filósofo, apresenta a própria visão do matemático, que necessita da régua e do compasso, movimentando-os decerto, para exercer a sua própria ciência.

Referências bibliográficas:

ALBERTUS MAGNUS. Liber Posteriorum Analyticorum. (B. Alberti Magni Opera Omnia, ed. Borgnet, v. II), Paris: Vivès, 1890.

ALBERTUS MAGNUS. De Caelo et Mundo, edited by Paul Hossfeld (Alberti Magni Opera Omnia, ed. Colon. V), Münster i. Westfalen: Aschendorff, 1971.

ALBERTUS MAGNUS. Physica, edited by Paul Hossfeld (Alberti Magni Opera Omnia, ed. Colon. XXVII), Münster i. Westfalen: Aschendorff, 1993.

ALBERTUS MAGNUS. Super Euclidem, edited by Paul Tummers (Alberti Magni Opera Omnia, ed. Colon. XXXIX), Münster i. Westfalen: Aschendorff, 2014.

ANARITIUS; TUMMERS, P.M.J.E. The Latin translation of Anaritius’ Commentary on Euclid’s elements of geometry, books I-IV. Nijmegen: Ingenium Publ., 1994.

ANZULEWICZ, Henryk. Plato and Platonic/Neoplatonic sources in Albert. In: I. Resnick (ed.) A companion to Albert the Great. Theology, Philosophy and the Sciences. Leiden-Boston: Brill, 595-601, 2013.

BUSARD, H. L. L. (ed.). The first Latin translation of Euclid’s Elements commonly ascribed to Adelard of Bath: books I-VIII and books X. 36-XV. 2 (Vol. 64). Pontifical Inst of Medieval studies, 1983.

BUSARD, H. L.L. Ein mittelalterlicher Euklid-Kommentar, der Roger Bacon zugeschrieben werden kann. Archives Internationales d’Histoire des Sciences, v. 24, p. 199-218, 1974.

BUSARD, H. L.L., & FOLKERTS, M. (ed.) Robert of Chester’s Redaction of Euclid’s Elements, the so-called Adelard II Version (Vol. 2). Springer Science & Business Media, 1992.

BUSARD, Hubert LL. Über den lateinischen Euklid im Mittelalter. Arabic sciences and philosophy, v. 8, n. 1, p. 97-129, 1998.

BUSARD, H. L. L. (ed.) Johannes de Tinemue’s redaction of Euclid’s Elements, the so-called Adelard III version: Introduction sigla and descriptions of the manuscripts editorial remarks Euclides, Elementa (Vol. 45). Franz Steiner Verlag, 2001.

CRAEMER-RUEGENBERG, I. Albertus Magnus, Völlig überarbeitete, aktualisierte und mit Anmerkungen versehene Neuauflage der Originalausgabe. Hrsg. v. H. Anzulewicz (Dominikanische Quellen und Zeugnisse VII), Leipzig, 2005.

DE JESUS, D. L. S. Causalidade e matemática no início da Modernidade. Dois Pontos, v. 16, n. 3, p. 1-14, 2019.

ENDRISS, G. Albertus Magnus als interpret der aristotelischen Metaphysik: Inaugural-Dissertation. München: Wolf., 1886. (Tese de Doutorado.)

GEYER, Bernhard. Die mathematischen Schriften des Albertus Magnus. Angelicum, v. 35, n. 2, p. 159-175, 1958.

LERNOULD, A. (ed.) Études sur le Commentaire de Proclus au premier livre des Éléments d’Euclide. Villeneuve d’Ascq: Presses Univ. Septentrion, 2010.

LIBERA, A. Albert le Grand et le platonisme. De la doctrine des Idées à la théorie des trois états de l’universel. In: E. P. Bos & P. A. Meijer (eds.) On Proclus and His Influence in Medieval Philosophy. Leiden/New York/ Köln: Brill, 89-119, 1992.

LIBERA, A. Métaphysique et noétique: Albert le Grand. Paris: Vrin, 2005.

MAIER, A. Die Vorläufer Galileis im 14. Jahrhundert: Studien zur Naturphilosophie der Spätscholastik, 2nd ed. Rome: Edizioni di storia e letteratura, 1966.

MCCULLOUGH, E. J. St. Albert on Motion as Forma fluens and Fluxus formae. Albertus Magnus and the Sciences. Commemorative Essays, p. 129-153, 1980.

MIGNE, J-P. (ed.) Patrologia Latina (PL). Paris: Garnier, 1844-1864.

MORROW, G. R. (ed.) Proclus: A commentary on the first book of Euclid’s Elements. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1992.

SAITO, K. A preliminary study in the critical assessment of diagrams in Greek mathematical works. Sciamvs, v. 7, 81-144, 2006.

SILVA, M.A.O. Albert the Great on Mathematical Quantities. Revista Portuguesa de Filosofia, v. 73, n. 3/4, p. 1191-1202, 2017.

SILVA, M. A. O. Causalidade material na Filosofia da Matemática de Alberto Magno. Ideação (UEFS), v. 1, 82-105, 2018.

TORRIJOS-CASTRILLEJO, D. La metafísica de Platón según san Alberto Magno. 2015. In Oscar Mauricio Donato (ed.), En torno a Platón. Universidad Libre de Colombia. 17-64, 2015

TUMMERS, P.M.J.E. Albertus Magnus “View on the Angle with Special Emphasis on His Geometry and Metaphysics”. Vivarium, v. 22, n. 1, p. 35-62, 1984.

TWETTEN, D.; BALDNER, S.; SNYDER, S. C. Albert’s physics. In: I. Resnick (ed.) A companion to Albert the Great. Theology, Philosophy and the Sciences. Leiden-Boston: Brill, 173-219, 2013.

VINEL, N. La rhusis mathématique. De l’ancyen Pythagorisme à Proclus. In LERNOULD, A. (ed.) Études sur le Commentaire de Proclus au premier livre des Éléments d’Euclide. Presses Villeneuve d’Ascq: Univ. Septentrion, 111-124, 2010.

WEISHEIPL, J. A. Albertus Magnus and the Oxford Platonists. Proceedings of the American Catholic Philosophical Association, 32, 124-139, 1958.

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Recebido em 01 de julho de 2020. Aceito em 04 de março de 2021.

Notas: 

[1] Cf. ENDRISS, 1886, p. 85; cf. tb. TORRIJOS-CASTRILLEJO, 2015, p. 20.

[2] Cf. TWETTEN; BALDNER; SNYDER, 2013. p. 176.

[3] Cf. MCCULLOUGH, 1980; cf. tb. MAIER, 1966; cf. tb. LIBERA, 2005.

[4] Isso se observa particularmente no Sufficientia de Avicena. Cf. MCCULLOUGH, 1980, p. 132ff; cf. tb. MAIER, 1966.

[5]  Cf. III Physica, I-III; ed. Colon. XXVII, 1993, p. 146ff.

[6] A importância de Al-Nayrizi pode ser observada pelo fato de o seu comentário a Euclides ter sido editado na mesma época que a edição padrão de Heiberg aos Elementos no século XIX, quando a edição de Al-Nayrizi ficou a cargo de Curtze, que precisou basear-se em um mau manuscrito. Contudo, Tummers, de posse de manuscritos mais confiáveis, pôde fazer uma nova edição do comentário de Al-Nayrizi aos 4 primeiros livros de Euclides (cf. ANARITIUS; TUMMERS, 1994).

[7] Cf. WEISHEIPL, 1958.

[8] Cf. LIBERA, 2005, especialmente o capítulo IV.

[9] Cf. LIBERA, 2005, p. 143ff.

[10] Cf. CRAEMER-RUEGENBERG, 2005, p. 27; cf. tb. ANZULEWICZ, 2013; cf. tb. TORRIJOS-CASTRILLEJO, 2015, p.20.

[11] Cf. ANZULEWICZ, 2013, p.595-596.

[12] Sobre a confusão do Liber de Causis como sendo de Aristóteles apesar do platonismo do livro, cf. LIBERA, 1992.

[13] Cf. II De Caelo et Mundo, III.6 (ed. Colon. V, 1971, p. 153ff.).

[14] Cf. GEYER, 1958, p.162.

[15] Cf. GEYER, 1958, p. 163.

[16] Cf. GEYER, 1958, p.162.

[17] Por exemplo, confira a discussão apresentada em TUMMERS, 1984 com relação ao Comentário de Alberto à Metafísica de Aristóteles.

[18] Consoante a narrativa de Proclo, perguntado pelo Faraó se haveria um modo mais fácil de aprender sua ciência, Euclides teria dito não haver caminho real para a geometria. Cf. MORROW, 1992, p. 57.

[19] Cf. DE JESUS, 2019, p. 3.

[20] Cf. ANARITIUS; TUMMERS, 1994, p. 1.

[21] Para mais detalhes sobre a rejeição de Proclo à doutrina do fluxo em matemática, cf. VINEL, 2010.

[22] Para uma análise detalhada da edição de Migne, bem como de eventuais fragmentos da tradução original de Boécio, cf. BUSARD, 1998.

[23] Vale ressaltar também que esta tradução contida na edição de Migne (PL, 64, p. 1307) toma os Elementos como de Euclides de Megara.

[24] ed. BUSARD, 1983, p.33-34: “I.1 Nunc demonstrandum est quomodo superficiem triangulam equalium laterum super lineam rectam assignate quantitatis faciamus.

Sit linea assignata ab. Ponaturque centrum supra a occupando spacium quod est inter a et b circulo, supra quem gdb. Item ponatur supra centrum b occupando spacium inter a et b circulo alio, supra quem gah. Exeantque de puncto g supra quem incisio circulorum due linee recte ad punctum a et ad punctum b. Sintque ille ga et gb. Dico quia ecce fecimus triangulum equalium laterum supra lineam ab assignatam.”

[25] ed. BUSARD, 1992, p. 115: “I.1 Triangulum equilaterum super datam lineam rectam collocare.

A duobus terminis date linee ipsam lineam occupando cum circino duos circulos sese invicem secantes describe et ab ipsa communi seccione circulorum ad duos terminus linee proposite duas rectas lineas dirige. Deinde ergo ex circuli descripcione argumentum elice.”

[26] ed. BUSARD, 2001, p. 36: “I.1 Triangulum equilaterum supra datam lineam rectam collocare. (…)

Dispositio. Supposito itaque centro in a, circumferentia vero in b, designetur circulus secundum spatium ab iuxta secundam petitionem. Item fixo pede pigro circini in b, mobili vero in a, designetur et alius circulus secundum idem spatium circa b centrum secans priorem in d et in c, ypothenusis denique erectis ab ab in c sectionem.”

[27] O comentário de Roger Bacon aos Elementos era anteriormente atribuído a Adelardo de Bath. Cf. BUSARD, 1974.

[28] Sobre a discussão do papel da demonstração por causalidade formal em matemática, particularmente no século XIII, cf. SILVA, 2018.

[29] ed. TUMMERS (= ALBERTUS MAGNUS, ed. Col., XXXIX), 2014, p. 14: “I. 1 Supra datam rectam lineam aequilaterum triangulum constituere.

Sit enim data recta linea ab. Per secundam autem petitionem pono pedem circini immobilem in a et ad quantitate ab lineae circumducam circulum. Deinde per eandem posito immobili pede circini in b describam ad eiusdem lineae quantitatem alium circulum, sitque punctum c locus sectionis circulorum. Deinde per primam petitionem continuabo a cum c et similiter b cum c. Dico igitur quod abc est triangulus aequilaterus. (…)

Syllogizetur ergo sic: omnis triangulus rectilineus latera habens aequalia lineis egrendientibus ab eodem centro ad eandem circumferentiam est aequilaterus. Sed triangulus abc super datam lineam ab constitutus est habens etc., ergo est aequilaterus. Schema autem est ut vides.”

[30] Observe-se que os diagramas da edição grega padrão de Heiberg provêm do próprio editor e não de uma edição crítica dos manuscritos. Para uma proposta de edição dos diagramas de Euclides, cf. SAITO, 2006.

[31] Sou grato a Marco Panza, que me fez notar este aspecto do texto de Alberto, comum no período moderno, mas incomum no período medieval.

[32] Esses são os livros conhecidos, contidos no manuscrito Wienerkloster 80/45, editado por Tummers. Alberto teria escrito comentário aos dez primeiros livros dos Elementos de Euclides, paralelamente ao que fizera Al-Nayrizi; contudo, o restante da obra resta desconhecida.

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