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Apresentamos uma lista dos principais conteúdos de Matemática atualmente do Ensino Médio, para aqueles que querem começar ou revisar seus estudos na Matemática Básica. Caso queira algo mais básico ainda, segue mais abaixo os conteúdos de Matemática do Ensino Fundamental também. Todo esse material encontra-se no Manual Compacto de Matemática: Teoria e Prática, publicado pela Editora Rideel, edição de 2010. O link desses manuais em pdf encontra-se AQUI. 

SUMÁRIO

Capítulo 1
Função do 1º grau ........................................ 11
1. Função do 1° grau ............................................ 11
2. Gráfico da função do 1º grau ........................ 14
3. Raiz ou zero da função do 1º grau .............. 17
4. Estudo de sinal da função do 1º grau.......... 20
5. Inequação do 1º grau ...................................... 21
6. Inequações produto e quociente.................. 22
Teste seu saber ..................................................... 26

Capítulo 2
Função do 2º grau ....................................... 29
1. Raízes da função do 2º grau .......................... 30
2. Gráfico da função do 2º grau ........................ 33
3. Vértice da parábola – máximos e mínimos da função. 37
4. Conjunto-imagem ............................................ 38
5. Estudo do sinal da função do 2º grau ......... 42
6. Inequações do 2º grau .................................... 44
7. Inequações produto e quociente.................. 46
Teste seu saber ..................................................... 50

Capítulo 3
Função modular .......................................... 54
1. Módulo de um número real .......................... 54
2. Gráfico da função modular ........................... 57
3. Equações modulares ....................................... 59
4. Inequações modulares ................................... 61
Teste seu saber ...................................................... 64

Capítulo 4
Função exponencial .................................... 68
1. Equação exponencial ...................................... 69
2. Gráficos da função exponencial ................... 72
3. Inequação exponencial ................................... 76
Teste seu saber ...................................................... 84

Capítulo 5
Função logarítmica .................................... 87
1. Logaritmo ......................................................... 87
2. Propriedades decorrentes da definição .... 89
3. Logaritmo decimal – característica e mantissa. 92
4. Propriedades operatórias dos logaritmos . 93
5. Mudança de base ............................................. 95
6. Função logarítmica ......................................... 97
7. Equações logarítmicas .................................. 100
8. Inequações logarítmicas ............................... 103
Teste seu saber ..................................................... 108

Capítulo 6
Funções circulares – trigonometria .........111
1. Triângulo retângulo ...................................... 111
2. Razões trigonométricas ................................ 112
3. Teorema de Pitágoras .................................... 115
4. Ângulos notáveis ............................................. 117
5. Relações trigonométricas ............................. 119
6. Circunferência ................................................ 123
7. Comprimento da circunferência ............... 123
8. Arco de circunferência ................................. 125
9. Ciclo trigonométrico ..................................... 128
10. Arcos côngruos ............................................. 129
11. Seno ................................................................. 133
12. Cosseno ............................................................136
13. Relação fundamental da trigonometria.139
14. Tangente .........................................................141
15. Cotangente, secante e cossecante ........... 143
16. Relações derivadas ..................................... 144
17. Equações e inequações trigonométricas. 146
18. Transformações trigonométricas ........... 153
19. Funções trigonométricas ........................... 155
Teste seu saber .................................................... 160

Capítulo 7
Sequências e progressões ......................... 165
1. Lei de formação .............................................. 165
2. Progressões aritméticas ............................... 167
3. Fórmula do termo geral da P.A. ................. 171
4. Soma dos termos da P.A. finita .................. 173
5. Progressões geométricas (P.G.) .................. 176
6. Fórmula do termo geral da P.G. ................. 179
7. Soma dos termos da P.G. finita ................... 181
8. Soma dos termos da P.G. infinita ............... 182
Teste seu saber .................................................... 186

Capítulo 8
Matrizes e determinantes ........................ 190
1. Definição .......................................................... 190
2. Tipo ou ordem de uma matriz .................... 191
3. Representação genérica de uma matriz .. 191
4. Igualdade de matrizes .................................. 193
5. Operações com matrizes .............................. 194
6. Casos particulares .......................................... 200
7. Determinantes ................................................ 203
Teste seu saber .................................................... 215

Capítulo 9
Sistemas lineares ...................................... 218
1. Definição .......................................................... 218
2. Equação linear ............................................... 219

3. Solução de uma equação linear ................ 219
4. Representação genérica de um sistema linea. 222
5. Representação de um sistema linear por meio de matrizes . 223
6. Sistema normal .............................................. 225
7. Regra de Cramer ........................................... 225
8. Classificação de um sistema linear .......... 227
Teste seu saber .................................................. 232

Capítulo 10
Análise combinatória e binômio de Newton.. 235
1. Princípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo . 235
2. Fatorial ............................................................ 240
3. Tipos de agrupamento ................................ 243
4. Permutações simples ................................... 244
5. Arranjos simples .......................................... 245
6. Combinações simples .................................. 247
7. Agrupamentos com repetição ................... 250
8. Números binomiais...................................... 254
9. Números binomiais complementares ..... 255
10. Números binomiais consecutivos .......... 257
11. Propriedade dos números binomiais consecutivos (Relação de Stiffel) .................. 258
12. Triângulo de Tartaglia-Pascal ................... 259
13. Binômio de Newton .................................... 260
14. Fórmula do termo geral ............................. 262
Teste seu saber .................................................... 265

Capítulo 11
Probabilidade e estatística ...................... 267
1. Definição ......................................................... 267
2. Elementos da teoria das probabilidades. 267
3. Experimento composto ............................... 269
4. Probabilidade de um evento ..................... 270
5. Probabilidade da união de eventos ......................................... 273
6. Probabilidade de um evento complementar ........................... 274
7. Probabilidade condicional ...................................................... 275
8. Probabilidade da intersecção de eventos ................................ 277
9. Lei binominal das probabilidades ........................................... 279
10. Estatística .............................................................................. 280
11. Medidas de tendência central ................................................ 282
Teste seu saber ............................................................................ 284

Capítulo 12
Matemática financeira .......................................... 288
1. Porcentagem ........................................................................ 288
2. Lucro e prejuízo ................................................................... 290
3. Descontos e acréscimos ....................................................... 292
4. Acréscimos e descontos sucessivos ..................................... 294
5. Juro ...................................................................................... 298
6. Unidade de tempo ................................................................ 298
7. Montante .............................................................................. 299
8. Juro simples ......................................................................... 299
9. Juro composto ...................................................................... 303
10. Aplicação ou capital à taxa variável .................................. 304
11. Inflação .............................................................................. 305
Teste seu saber ......................................................................... 307

Capítulo 13
Números complexos .............................................. 310
1. Definição ............................................................................... 310
2. Conjunto dos números complexos ........................................ 310
3. O número complexo .............................................................. 311
4. Casos especiais ...................................................................... 311
5. As potências de i .................................................................... 315
6. Igualdade de números complexos .......................................... 317
7. Conjugado de um número complexo ..................................... 318
8. Operações com números complexos ...................................... 318
9. Equações do 1º e 2º graus em C ............................................. 321
10. Representação gráfica – plano de Argand-Gauss ................. 323
11. Módulo de um número complexo ........................................ 324
12. Argumento de um número complexo ................................... 326
13. Forma trigonométrica ou polar dos números complexos ..... 327
Teste seu saber ............................................................................ 330

Capítulo 14
Polinômios e equações polinomiais ........................... 333
1. Função polinomial ................................................................. 333
2. Grau do polinômio ................................................................. 335
3. Princípio de identidade de polinômios ................................... 336
4. Polinômio identicamente nulo ................................................ 337
5. Valor numérico de um polinômio ........................................... 337
6. Operações com polinômios .................................................... 340
7. Método de Descartes .............................................................. 344
8. Equações polinomiais ............................................................. 348
9. Teorema fundamental da álgebra ............................................ 349
10. Teorema da decomposição .................................................... 349
11. Multiplicidade de uma raiz .................................................... 351
12. Teorema das raízes complexas ............................................... 352
13. Relações de Girard ................................................................. 355
Teste seu saber .............................................................................. 357

Capítulo 15
Geometria analítica ................................................. 362
1. Introdução ............................................................................. 362
2. Sistema de coordenadas sobre uma reta ................................ 362
3. Distância entre dois pontos na reta real ................................. 363
4. Coordenadas cartesianas......................................................... 363
5. Distância entre dois pontos de um plano ............................... 366
6. Ponto médio de um segmento ................................................ 368
7. Baricentro ............................................................................... 369
8. Condição de alinhamento de três pontos ................................ 371
9. Inclinação de uma reta ............................................................ 373
10. Coeficiente angular de uma reta ........................................... 374
11. Equação da reta ..................................................................... 377
12. Determinando a equação da reta ........................................... 377
13. Equação reduzida da reta ...................................................... 380
14. Equação segmentária da reta.................................................. 382
15. Equação geral da reta ............................................................ 384
16. Posições relativas de duas retas ............................................. 386
17. Intersecção de retas ................................................................ 389
18. Condição de perpendicularismo.............................................. 390
19. Distância entre um ponto e uma reta ...................................... 392
20. Definição de circunferência .................................................... 394
21. Equação reduzida da circunferência ....................................... 394
22. Definição de elipse ................................................................. 398
23. Equações da elipse .................................................................. 398
Teste seu saber .............................................................................. 402

Respostas dos exercícios ............................................ 406
Tabela trigonométrica ............................................... 425
Tabela de logaritmos decimais ................................. 427
Bibliografia ................................................................ 430
Siglas de vestibulares ................................................ 431

SUMÁRIO

Capítulo 1
O que são números? E numerais? .......................... 11
Número e numeral são a mesma coisa? ............................... 11
O sistema de numeração romano ........................................ 12
O sistema de numeração decimal ....................................... 14
Conjunto dos números naturais ........................................... 15
Comparando números naturais ............................................ 17
Teste seu saber .................................................................... 18

Capítulo 2
Conjuntos e sua linguagem ..................................... 21
Representação dos conjuntos .............................................. 21
Tipos de conjunto ................................................................ 23
Operações com conjuntos ................................................... 27
Teste seu saber ................................................................... 30

Capítulo 3
Operações no conjunto dos números naturais ........ 32
A adição de números naturais .............................................. 32
A subtração de números naturais ......................................... 35
A multiplicação de números naturais ................................... 37
A divisão de números naturais ............................................. 40
A potenciação com números naturais .................................. 43
A radiciação de números naturais ........................................ 48
Resolução de expressões aritméticas ................................... 49
Teste seu saber .................................................................... 52

Capítulo 4
O divisor de um número ........................................... 56
Critérios de divisibilidade ..................................................... 57
Os números primos e compostos.......................................... 61
Máximo divisor comum: o mdc ............................................ 66
Mínimo múltiplo comum: o mmc ......................................... 69
Teste seu saber ...................................................................... 72

Capítulo 5
Os números fracionários ........................................... 74
A ideia da fração .................................................................. 74
Operações com frações ....................................................... 85
Propriedades das frações ..................................................... 88
Resolução de expressões numéricas .................................... 89
Problemas com frações ........................................................ 92
Teste seu saber .................................................................... 95

Capítulo 6
Os números decimais ................................................. 98
A ideia de número decimal .................................................. 98
Teste seu saber ................................................................ 109

Capítulo 7
Sistema de medidas ................................................... 112
Introdução .......................................................................... 112
Unidades de superfície ...................................................... 115
Unidades de volume .......................................................... 121
Unidades de massa ............................................................ 126
Teste seu saber ................................................................ 129

Capítulo 8
Os números inteiros ................................................... 132
A ideia dos números inteiros ............................................. 132
Números racionais relativos ............................................... 143
Teste seu saber .................................................................. 148

Capítulo 9
Equações e inequações do 1o grau ........................... 151
Problemas do cotidiano ..................................................... 151
Resolvendo problemas com uma variável .......................... 157
Inequações do 1o grau ....................................................... 161
Sistemas de equações simultâneas do 1o grau .................. 166
Teste seu saber ................................................................. 171

Capítulo 10
Razão e proporção ..................................................... 173
A ideia de razão ................................................................. 173
Proporções ......................................................................... 177
Média aritmética ................................................................ 183
Divisão proporcional .......................................................... 186
Regras de três .................................................................... 193
Porcentagem ...................................................................... 199
Juro simples ....................................................................... 202
Teste seu saber .................................................................. 206

Capítulo 11
Cálculos algébricos .................................................... 209
Considerações preliminares ............................................... 209
Tradução em linguagem matemática ................................. 210
Expressões algébricas ........................................................ 210
Polinômios ......................................................................... 214
Produtos notáveis .............................................................. 223
Teste seu saber ................................................................. 230

Capítulo 12
Fatoração algébrica ................................................... 233
Casos de fatoração de expressões algébricas ................... 233
Máximo divisor comum entre expressões
algébricas (mdc) ................................................................. 245
Mínimo múltiplo comum entre expressões
algébricas (mmc) ................................................................ 247
Teste seu saber ................................................................... 249

Capítulo 13
Frações algébricas ..................................................... 251
O que é uma fração algébrica? .............................................. 251
Operações com frações algébricas ....................................... 255
Teste seu saber ..................................................................... 262

Capítulo 14
O conjunto dos números reais .................................. 265
Introdução ................................................................................ 265
Equações do 2o grau com uma única variável ...................... 270
Equações redutíveis a equações de 2o grau ......................... 283
Equações irracionais ............................................................... 285
Sistemas simples do 2o grau .................................................. 289
Resolvendo problemas a partir de sistemas de 2o grau ...... 291
Teste seu saber ................................................................... 294

Capítulo 15
Funções: qual seu significado e aplicações?............. 297
Introdução ............................................................................... 297
Relação x função ...................................................................... 297
O plano cartesiano .................................................................. 300
Função do primeiro grau ........................................................ 303
Função do segundo grau ....................................................... 310
Teste seu saber .................................................................... 322

Capítulo 16
Geometria ................................................................... 325
Introdução ................................................................................ 325
Linhas planas ........................................................................... 329
Ângulos .................................................................................... 331
Retas perpendiculares ............................................................ 332
Medida de um ângulo plano .................................................. 333
Operações algébricas com ângulos ...................................... 334
Classificação dos ângulos ....................................................... 336
Linha poligonal ........................................................................ 342
Estudo dos triângulos ............................................................. 347
Congruência de triângulos ..................................................... 355
Perpendicularismo ................................................................... 358
Paralelismo ............................................................................... 358
Ângulos formados por duas retas paralelas
cortadas por uma transversal ................................................. 359
Relações de congruência entre os ângulos formados
por duas retas paralelas e uma transversal ........................... 360
Soma dos ângulos internos de um polígono convexo
de n lados (Si) ........................................................................... 364
Soma dos ângulos externos de um polígono convexo
de n lados (Se) .......................................................................... 365
Quadriláteros convexos .......................................................... 367
Paralelogramo .......................................................................... 367
Trapézio .................................................................................... 370
Linhas proporcionais nos triângulos ...................................... 373
Relações métricas no triângulo retângulo ............................. 375
Teste seu saber ........................................................... 381

Capítulo 17
Trigonometria ............................................................ 384
Medida dos ângulos e dos arcos ........................................... 384
Funções trigonométricas ........................................................ 387
Funções trigonométricas no triângulo retângulo ................. 389
Determinações de valores das funções trigonométricas dos
ângulos de 30º, 45º e 60º ........................................................ 391
Relações métricas em triângulos que não são retângulos .. 398
Teste seu saber .................................................................. 403

Capítulo 18
Circunferência ........................................................... 408
Círculo....................................................................................... 409
Posições relativas de uma reta e uma circunferência .............. 411
Propriedade fundamental da tangente e da normal a uma
circunferência ........................................................................... 411
Posições relativas de duas circunferências ............................ 411
Correspondência entre arcos e ângulos – medidas ................ 412
Relações métricas no círculo .................................................. 414
Potência de um ponto com relação a uma circunferência ... 416
Polígonos regulares ................................................................. 418
Teste seu saber ...................................................................... 425

Respostas dos exercícios ........................................... 428

Bibliografia ................................................................ 455

***

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Educar na Verdade e nas virtudes

Menino escrevendo com sua irmã, 1875, Albert Anker

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Tempo de leitura: 14 minutos.

Educar na Verdade: quando as virtudes superam a ciência, Por Claudio Titericz. disponível no LINK.

A ciência é valiosa, mas limitada. Só o intelecto humano, aliado às virtudes, pode alcançar a verdade — e a educação deve formar para isso. 

Gostaria de refletir sobre o entendimento do que seja ciência e como se relaciona com a educação. Faço isto porque, várias vezes, tenho ouvido em meios de comunicação que a verdade deve ser científica para ser considerada. Isto parece dar uma autoridade especial à ciência ou pesquisas científicas como se fossem a última palavra em conhecimento da realidade humana.

Entretanto, ao meditar o sexto livro escrito por Santo Tomás de Aquino, quando este realizou o comentário ao livro de Aristóteles intitulado “Ética a Nicômaco”, verificamos que o entendimento filosófico sobre o que seja a ciência não é corretamente compreendido. Vejamos o que diz o santo doutor católico.

A alma humana tem uma parte dita racional, a qual pode ser racional por essência ou por participação. Ainda, a parte por essência divide-se em científica e raciocinativa. Esta parte, que é dita por essência, necessita para seu desenvolvimento de virtudes intelectuais, enquanto a participativa exige um aperfeiçoamento por meio das virtudes morais.

A divisão da parte por essência dirige-se para a especulação do necessário, por isto chama-se “científica”, enquanto para especular os contingentes, se faz necessário a raciocinativa.

Devemos entender que para tomarmos uma decisão racional, o ser humano elege dependendo do seu intelecto e do seu hábito moral, fato que aperfeiçoa a força apetitiva, dando-lhe condições de utilidade, de deleitação e a busca do bem honesto. Podemos dizer que sem uma especulação científica e raciocinativa não se tem certeza de uma decisão ou julgamento.

Isto está de acordo com tudo o que já escrevi aqui em outros artigos. O ser humano tem uma alma com uma inteligência e uma vontade própria, sendo que esta última é cega, necessitando do esclarecimento da primeira. Esta busca da verdade, própria da inteligência, é o âmago do que estamos falando, enquanto a vontade sempre busca o bem para si e para os seus.

Existem, em suma, duas grandes obras próprias do homem: o conhecimento da verdade e a ação. Ambas as atividades se completam e exigem do intelecto o do conhecimento da verdade que só pode vir da prática ou raciocinativa, e da especulativa ou científica.

Nos atentarmos às considerações sobre a parte da alma racional por essência, uma vez que está diretamente ligada ao tema que desenvolvo aqui, ou seja, o chamado "conhecimento científico". Outras reflexões sobre os demais aspectos deixaremos para artigos futuros.

Para aperfeiçoar esta parte do intelecto são buscadas as virtudes intelectuais. São várias e as principais são: a ciência, a arte, a prudência, o intelecto e a sabedoria. Vamos entender cada uma delas.

As Virtudes Intelectuais e o alcance da Verdade

A ciência só o é do que seja eterno e nunca do contingente. Isto significa que os entes contingentes são incertos, podem ser ou não ser, enquanto os entes eternos, os quais são também chamados necessários, nunca poderão deixar de ser, nunca serão corrompidos e não se geram e é para estes que se volta a ciência. Ela é demonstrável e ensinável.

Aristóteles diz ser um sinal da ciência o poder ensinar e o modo de obter este ensinamento pode ser por indução ou por dedução. Neste primeiro modo se parte do particular para o universal e o segundo modo, também dito silogismo, parte-se do universal para o singular.

Já a arte é um fazer, mas não qualquer fazer, mas um fazer com o uso da razão. Nunca haverá arte sem uma razão e não há ação realizada com razão que não seja arte. Aqui fica claro que é um hábito voltado para os entes contingentes, pois uma arte pode ser realizada ou não, trata-se de coisas artificiais onde o fim é a própria arte realizada.

Também no campo dos contingentes, a prudência é aconselhar-se sobre o que vem a ser o bem útil, com o fim de produzir uma vida humana boa. É um hábito ativo com verdadeira razão, não acerca do factível, que são exteriores ao homem, mas acerca dos bens e dos males do próprio homem. A prudência não visa o fim no objeto construído, mas no próprio realizador, enfim o bem da ação está no próprio agente, está nos bens do homem.

O intelecto, na visão aristotélica, não é a própria potência intelectiva, mas sim um hábito voltado para os primeiros princípios, os quais por serem os primeiros são indemonstráveis. É necessário que exista no ser humano esta percepção de que existe um princípio de raciocínio, sem o que não podemos pensar coisa alguma.

Por último, vemos que a sabedoria é uma virtude intelectual por excelência. Por este hábito o ser humano tem a visão clara da causa final, determinando, portanto, diante do início de qualquer processo, o resultado a que vai se atingir com as ações planejadas, caso sejam realizadas. A sabedoria enxerga os princípios, aponta os erros e identifica a linha de causalidade, demonstrando com certeza os resultados.

Ciência, indução e o risco das Verdades Provisórias

Depois de apresentar estas principais virtudes intelectuais, acredito poder aprofundar meu ponto de vista sobre o que seja a ciência e de como está sendo utilizada indevidamente.

Bem, a ciência é um hábito demonstrativo e que se utiliza do conhecimento adquirido para, a partir deste, evoluir para novas conclusões. São dois os modos de realizar a intelecção na ciência, como já abordei acima, a indução e a dedução.

A dedução nos conduz sempre a uma verdade inquestionável. Vou dar um exemplo: o todo é maior que as partes. Outro exemplo característico da filosofia é o silogismo categórico, onde eu digo: todo homem é mortal, eu sou um homem, portanto, eu sou mortal.

Podemos verificar a certeza e a correção lógica, fatos que não afrontam o raciocínio intelectual de forma alguma e a conclusão será uma verdade e, como tal, não pode ser contestada, seja no ontem, no hoje ou no amanhã, seja aqui neste mundo ou em qualquer outro planeta. A verdade é eterna.

Agora, na indução, os princípios universais do que se busca não são conhecidos e parte-se do particular, do singular, para o universal. Neste caso, os resultados por vezes se aproximam de uma verdade, sem nunca garantir totalmente esta verdade. Assim, quase sempre os resultados de uma indução são expressos em probabilidades.

Algum leitor poderia perguntar se este método não traz certeza, por que o realizar? Responderia que, infelizmente, não temos condições de buscar respostas para todos os questionamentos que a humanidade procura utilizando a dedução, neste caso resta-nos a indução. Vejamos alguns exemplos.

Diante da pergunta: como surgiu a Terra? Como não temos informações para deduzir a resposta, partimos para a indução, ou seja, verificamos os resultados que nos aparecem e inferimos as suas causas.

Neste caso, é formulado uma teoria, a qual diz ter ocorrido uma grande expansão há 14,5 bilhões de anos e de lá ocorreu um movimento até que há 4,5 bilhões de anos surge a nossa Terra. Outra teoria é sobre como a humanidade surgiu após estes 4,5 bilhões de anos. E mais uma teoria se forma.

Vejam, não é possível ter a certeza, apenas probabilidades e se montam modelos que subsistem até que surgem novas observações e experiências que levam a aperfeiçoamento ou mudanças completas da teoria vigente. Poderia citar o embate entre Einstein e Newton como um exemplo de mudança de teoria e de modelo científico.

Acredito poder demonstrar que é aqui, no raciocínio indutivo, que se encaixa a ciência. Quando é impossível ter conclusões certeiras nos temas onde não há possibilidade da dedução, é aqui que podemos utilizar nossa capacidade intelectual na avaliação de experiências e verificar a relação causal nestes testes, verificando probabilidades de resultados. Também aqui é onde a sabedoria será mais necessária, quando se interpretam resultados muitas vezes anômalos.

Desta forma, quando nos apropriamos de resultados experimentais realizados em órgãos sérios, tais como uma universidade por exemplo, pode nos dar uma ideia de probabilidade, mas nunca a certeza do resultado. Pode por vezes ser apresentado sob um verniz acadêmico uma informação que no fundo não passa de uma probabilidade, nunca uma verdade.

Não podemos esquecer que a verdade não é a narrativa. Fica claro que muitas pessoas e meios de comunicação dizem a mesma coisa, não significa que esta informação seja correta.

Muitas vezes é apenas um modelo adotado até que as ciências experimentais tragam mais teste e mais dados no raciocínio indutivo e possibilita que se monte um modelo, ou se altere um anterior. Quando nos deparamos com a verdade, esta nunca muda, me parece óbvio.

Com esta rápida reflexão, podemos concluir que a educação e o ensino têm papeis fundamentais em todo este processo que envolve a ciência.

"É na formação da inteligência que se deve voltar a educação para enfrentar estes desafios indutivos que acompanham a sociedade moderna"

Verificamos que o foco educacional deve ser o desenvolvimento das virtudes e que aqui apenas falamos das intelectuais.

O ser humano otimamente educado buscará realizar ações, para isto deverá saber uma arte, a qual está fundada em uma ciência, deverá realizar esta arte com prudência e sabedoria, utilizando plenamente o seu intelecto. A tecnologia em si é ignorante sem uma inteligência que a direcione para o bem.

Identificar vários órgãos nacionais e internacionais que se arvoram em resultados acadêmicos, os quais são sempre indutivos, para aplicarem recursos com a finalidade de obter resultados financeiros, independentemente das consequências negativas, por vezes óbvias.

A ciência parte sempre de algo conhecido, tal qual a mente humana, mas não tem como saber a priori os resultados, e aí realiza testes e experiências buscando sequências lógicas para formular teorias. Quanto mais testes, mais perto de resultados satisfatórios, entretanto, nunca se atingirá a certeza, ou seja, a verdade do que se explora.

Por fim, os métodos experimentais não têm a capacidade de apontar as causas, tão somente a inteligência humana pode fazer isto. A verdade está no intelecto, não fora dele. Também gostaria de deixar claro que suspeitas e opiniões não são virtudes intelectuais, mesmo partindo de personalidades daquela área de estudos.

Os verdadeiros cientistas são humildes o suficiente para dizer que não sabem e estão buscando o conhecimento e aquilo que já sabem serão aprimorados pelos seus seguidores. A ciência é um excelente auxiliar para a natureza humana, mas não é uma formuladora de verdades.

***

Claudio Titericz, coronel reformado do Exército, é bacharel, mestre e doutor em Ciências Militares e bacharel em Teologia; estudante permanente de Filosofia da Educação e ex-integrante do Ministério da Educação e é um dos fundadores do Instituto de Biopolítica Zenith, autor do livro “O Problema da Educação Brasileira”.

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Leia mais em O declínio da escola tradicional

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A Matemática e a Arte

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Tempo de leitura: 10 minutos.

A Arte e a Matemática, por A.O.I. Disponível no LINK.

O número cria ordem, a ordem contém ritmo, o ritmo engendra harmonia, e a harmonia está prenhe de beleza. O ritmo plasmado pelo número é uma ordenação determinada dos tempos.

O Nascimento de Vênus, por Sandro Botticelli, 1482.
A posição no espaço dos personagens é submetida à regra do retângulo
de ouro. As dimensões da obra (172,5 cm X 278,05 cm) correspondem
exatamente ao formato de um retângulo de ouro.

A realidade é um número — afirmava Pitágoras de Samos — e Euclides considerava a matemática mais como uma arte do que como uma ciência. Proclo expressa no seu Comentário a Euclides: “Ali onde há número, há beleza”, e esta frase poderia inverter-se dizendo que onde há beleza, há número. “O número vive na arte”, afirmava Santo Agostinho, e no seu Tratado da Música inclui os números e o ritmo como princípios estéticos e cosmológicos. São Tomás de Aquino compreendeu que entre a beleza e a matemática existia uma relação direta, válida tanto para a beleza natural como para a obra de arte realizada pelo homem. Leibniz escreveu: “A música é um exercício de aritmética secreta; quem se entrega a ela ignora que está a operar com números.” “A arte é a expressão mais elevada de uma aritmética interior e inconsciente.”

O número cria ordem, a ordem contém ritmo, o ritmo engendra harmonia, e a harmonia está prenhe de beleza. O ritmo plasmado pelo número é uma ordenação determinada dos tempos.

Platão, no Timeu, fala-nos do sincronismo dos ritmos da “Alma Individual” e da “Alma Universal”. Quando esta alma está bem harmonizada, quando entre o ritmo do homem (microcosmo) e o ritmo do Universo (macrocosmo) existe proporção, harmonia e concórdia, a beleza resplandece. Para Platão, a Beleza é o esplendor da Verdade.

A Natureza é, sem dúvida, uma manifestação de ritmos harmônicos. O homem, no seu anseio de eternidade, cria — como um fazedor de ritmos — um espelho de Deus: a Natureza criada por Deus. E quando o homem cria a beleza na sua face epidérmica, aparente (a forma), a chamada “natura naturata” (segundo Aristóteles, no século XVII) identifica-se com a “natura naturans”, o Ser absoluto. Por isso, quando o homem, com esse sentido imitativo ontológico, transcende as barreiras limitantes do não-ser e, numa atitude de verticalidade, capta o Absoluto, eterniza-se.

Fig. 1: Pitágoras.

Pitágoras situava a felicidade suprema (eudaimonia da alma) na contemplação da harmonia dos números.

Para os pitagóricos, toda a Natureza estava ordenada conforme o número. Estes celebravam juntos, no falanstério principal, o sétimo e o quinquagésimo dia. Essa escolha era motivada pelo carácter sempre virgem do número sete, pois este não podia ser produto nem primo indivisível; porque, se é possível dividir um círculo em doze ou em seis partes, não é possível — como demonstra a geometria — dividi-lo em sete. Desde o século XIX, Gauss, no início dos anos 1800, estudou o número sete na sucessão euclidiana rigorosa em sete partes iguais. Isso levou à “virgindade” do número sete, não numerosa, nos tons atômicos lógicos dos Padres da Igreja.

Ele encontra também, para os pitagóricos, o mais santo e natural dos números, porque equivale à soma de $9 + 16 + 25$ (soma resultante dos quadrados construídos sobre o “triângulo mágico”, também chamado triângulo de Pitágoras, de relação 3-4-5) e ao produto da pentade e da década (5 x 10 = 50), que representam, respetivamente, o microcosmo (o homem) e o macrocosmo (o Universo).

Fig. 2: O Homem Vitruviano.

Estudo da proporcionalidade de um corpo humano (Leonardo da Vinci, cerca de 1500, Veneza, Gallerie dell’Accademia).

Inscrito em um quadrado (conforme Platão, símbolo do elemento terra) e em um círculo (símbolo do cosmos como todo), torna-se um símbolo da correspondência matemática entre microcosmo e macrocosmo.

O Número de Ouro (Divina Proporção ou Secção Áurea) rege o jogo das proporções do triângulo pentagonal ou decagonal e também o mágico triângulo sagrado 3-4-5. A Proporção Áurea é a expressão geométrica do Número de Ouro aritmético. A Proporção Áurea e o Número de Ouro são constantes tangíveis, a nível matemático, da Proporção Divina.

O curioso é que podem ser realizadas aritmeticamente e geometricamente, mas não podem ser captadas nem apreendidas pela razão; daí que o número Phi seja denominado incomensurável na aritmética, e a razão deva contentar-se apenas em compreender que não pode compreendê-lo. Por isso, é um número ou relação presente que o homem capta intuitivamente na sua ação de Ser, quando, como microcosmo, opera em harmonia com o macrocosmo, o Universo.

No século XIII, Leonardo da Pisa — conhecido geralmente como Fibonacci — tentou resolver o problema da proliferação dos coelhos e observou, com assombro, que estes se reproduziam de acordo com a seguinte progressão: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … etc. Tomando a relação a partir do número 34 e do seu antecessor, estabeleceu-se uma constante de 1,618…, que não é outra senão o Número de Ouro. Fibonacci também observou que esta série se encontrava nas plantas e em todo o reino animal.

Fig. 3: O número de ouro é a constante obtida a partir da proporção áurea.

Leonardo Da Vinci, Luca Pacioli, Piero Della Francesca, León Battista Alberti estudaram com paixão o Número de Ouro durante o Renascimento. Dürer viajou especialmente até Bolonha para se iniciar nos mistérios da Seção Áurea, e escreveu num dos seus textos que “o comovia menos ver reinos desconhecidos do que conhecer as suas teorias”. Em Veneza esteve em contato com Frei Luca Pacioli. O seu quadro mágico e enigmático “A Melancolia” nasceu nessa época, e o seu talento viria a nutrir a ciência da arte na Alemanha. Na realidade, o último a celebrar o misticismo e as virtudes mágicas do Número de Ouro foi Kepler.

Estes notáveis homens compreenderam que a Criação traz implícito um ritmo no tempo e uma ordenação no espaço. Que tudo possui uma ordem, uma harmonia, uma simetria que lhe é própria, traçada pelo “Grande Geômetra” ou “Arquiteto Divino”, Deus. Que os corpos da Natureza, quando estão em ressonância com essa “grande harmonia”, estão de acordo com o “grande traçado”, com o “grande plano”, e operam num crescimento harmonioso.

Essa harmonia percebe-se desde o infinitamente pequeno — os átomos (microcosmos) — até o infinitamente grande — o Universo (macrocosmos). O homem está colocado entre o infinitamente pequeno e o infinitamente grande, mas tem um dilema a resolver que se chama “livre-arbítrio”; e pode, portanto, agir de acordo com o “grande plano”, realizando ações belas, estando em harmonia, unindo-se e obedecendo ao imperativo categórico do seu Ser, ou pode não estar em concordância e agir de forma antiestética, obedecendo ao seu não-Ser. É neste conflito que o homem se desfaz.

O homem capta a beleza no seu agir ético no mundo, e o resultado desse agir ético — configurado por ações belas — serão objetos belos, estéticos, obras de arte que refletirão o esplendor da Verdade.

Neste século, homens de talento como Möesel, Theodoro Cook, Jay Hambidge, Hans Kayser e Matila Ghyka, entre outros, retomaram o estudo do Número de Ouro. Isso levou o célebre empirista lógico inglês Bertrand Russell a escrever, provavelmente muito a contragosto, em 27 de setembro de 1924, na revista The Nation: “Talvez o mais estranho da ciência moderna seja o seu regresso ao pitagorismo.”

É de esperar que assim seja — e que a austera claridade da tocha trazida do Egito por Pitágoras, portadora do divino Platão, ilumine a Humanidade, para que esta possa contemplar a beleza mística do Número Puro e a Harmonia Celeste da Música das Esferas. 

Texto publicado originalmente na Revista Tot, Buenos Aires, Abril 1972

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Leia mais em A Matemática leva a Deus: Euclides, Hilbert e o futuro da Matemática

Leia mais em Número de ouro, coelhos e Fibonacci

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Lista de livros sobre a Educação verdadeira - parte 5

Rose e Bertha Gugger, por Albert Anker, 1883.

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Continuando com nossas tradicionais listas de livros sobre Educação, já chegamos à quinta parte. Essas listas tem sido um sucesso de acessos. Muito Obrigado. O critério destas listas continua sendo o mesmo: livros sobre educação sem influências ideológicas e que estivessem preocupados em explanar sobre uma verdadeira educação. Novamente muitos desses livros foram publicados pela primeira vez ou republicados recentemente no Brasil. Obviamente esta lista complementa e amplia as listas anteriores. 

As listas anteriores estão abaixo: 

Lista de livros sobre a Educação verdadeira - parte 1

Lista de livros sobre a Educação verdadeira - parte 2

Lista de livros sobre a Educação verdadeira - parte 3

Lista de livros sobre a Educação verdadeira - parte 4

A Tradição Das Artes Liberais. Kevin Clark e Ravi Scott Jain, Edições Kírion, 2021.

Sinopse: Este livro é sobre uma educação completa nas “artes liberais”, as disciplinas fundamentais que os estudantes terão como base pelo resto de sua vida acadêmica, independentemente das disciplinas especializadas que venham a estudar no futuro, na faculdade e na pós-graduação. Acima de tudo, são disciplinas que precisamos conhecer para a vida, para uma vida que seja livre e não servil (donde o termo educação liberal). É uma educação da pessoa integral. Baseia-se na tradição consagrada da educação liberal inventada pelas maiores mentes da história. É o melhor do antigo e o melhor do novo. ― Peter Kreeft 

Todo educador, acadêmico ou leitor interessado na renovação da educação clássica hoje não pode dar-se ao luxo de ignorar este livro sucinto. A tradição das artes liberais, talvez mais do que qualquer outro livro no século XXI, nos diz o que foi a educação clássica e o que ela pode ser hoje nas nossas escolas e na educação domiciliar. ― Christopher Perrin 

A tradição das artes liberais é um grande presente para as mães adeptas da educação domiciliar. Escrito com beleza, tem cada página agraciada pelo encanto da verdade. Um antídoto para a minha própria educação progressista, este livro reordenou os meus pensamentos e prioridades. Trata-se de um convite irresistível para voltarmos à humanidade, à plenitude e ao maravilhamento. ― Lesli Richards

A Beleza na Palavra: As bases da educação repensadas. Stratford Caldecott, Edições Kírion, 2024.

Sinopse: Stratford Caldecott fala àqueles pais e professores que pretendem tomar de volta para si a responsabilidade sobre a educação, seja tirando seus filhos das escolas para educá-los em casa, seja, especialmente, fundando novas escolas, que tenham na base os seus princípios, os seus valores, que tenham respeito pela fé e, como objetivo último, a sabedoria. Para isso, é necessário compreender as premissas que tornam possível uma verdadeira educação e, sobretudo, compreender a essência da educação clássica, para saber como aplicá-la, como atualizá-la eficazmente em nossa situação concreta de hoje, e não apenas reproduzir esquemas engessados. Investigando suas bases filosóficas e teológicas, Caldecott brinda-nos aqui com uma interpretação renovada das três artes do Trivium, as artes da Palavra ― gramática, dialética e retórica ―, que ele apresenta como as três atividades humanas (e divinas) de “recordar”, “pensar” e “falar”.

“Essa é uma educação firmada na realidade ― a realidade do mundo e das pessoas. A criança, pela memória, percebe a realidade; mais velha, pelo pensamento, explora mais realidades; já jovem, pela fala, ela compartilha as realidades com os outros, em uma comunidade. É uma educação em que a luz atravessa o coração e a inteligência. Depois de uma longa jornada nas profundezas da monotonia e do desânimo, é como se esse sábio e alegre homem finalmente nos chamasse para subir e ver com ele, outra vez, as estrelas.”

― Anthony Esolen

A educação segundo Aristóteles. Traduzidos e editados por John Burnet. Edições Kírion, 2023.

Sinopse: Este volume é composto por trechos extraídos da Ética a Nicômaco e da Política de Aristóteles, editados e traduzidos pelo grande helenista escocês John Burnet, que os emoldura, além disso, com uma esclarecedora introdução e com riquíssimas notas de rodapé. Seu objetivo é revelar, com toda precisão, o que é a educação segundo Aristóteles, e que lugar ela tem no contexto geral de sua filosofia, com base em suas próprias concepções. Para tal, ele expõe a teoria das causas, e os conceitos de ação, virtude e felicidade; explana qual é, para o filósofo, o bem do homem, e o que é exatamente a ciência política. Como admirável professor, Burnet nos conduz de tal modo que, quando nos entregamos à leitura dos textos mesmos, o que antes pareceria árido deixa transparecer facilmente todo o seu sentido.

Emburrecimento Programado: O Currículo Oculto Da Escolarização Obrigatória. John Taylor Gatto, Edições Kírion, 2019

 

Sinopse: O debate atual sobre termos um currículo nacional é uma farsa. Já temos um currículo oculto cujo objetivo é emburrecer, e nenhuma mudança nos conteúdos pode reverter seus efeitos macabros. As escolas ensinam exatamente o que pretendem, e o fazem muito bem: elas são um mecanismo de engenharia social. Está na hora de encararmos o fato de que a escola obrigatória é nociva para as crianças e que fazer remendos não resolverá o problema. A culpa não é dos professores ruins ou da falta de investimento: injetar mais dinheiro ou mais gente nessa instituição doente fará apenas com que ela fique ainda mais doente. Se queremos mudar o que está rapidamente se transformando num desastre de ignorância, temos de compreender que a instituição escolar serve para “escolarizar”, mas não para “educar”, e que “educar” e “escolarizar” são termos mutuamente excludentes. É urgente ignorarmos as vozes autorizadas da televisão e da mídia e recuperarmos as premissas fundamentais de uma verdadeira educação.

Armas De Instrução Em Massa.  John Taylor Gatto, Edições Kírion, 2021.

Sinopse: Será que precisamos mesmo da escola? Não me refiro à educação, mas à instrução institucional: seis aulas por dia, cinco dias por semana, nove meses por ano ― por doze anos. Essa rotina extenuante é realmente necessária? É considerável o número de homens notáveis ― artistas, empresários, escritores e eruditos ― que não passaram por esses torturantes anos e se deram muito bem. Alguém os ensinou, é claro, mas eles não são produtos de um sistema escolar, e nenhum deles jamais “se formou”. Nós fomos instruídos a pensar que “sucesso” é sinônimo de “escolaridade”, mas isso não é historicamente verdadeiro, nem no sentido intelectual, nem financeiro. Se realmente quiséssemos, seria fácil ajudar as crianças a adquirirem uma educação em vez de apenas receberem uma instrução em massa. Mas os professores, como funcionários da escola, estão presos em estruturas ainda mais rígidas do que aquelas que impõem às crianças. De quem é a culpa, então? E se não houver um “problema” com as nossas escolas? E se elas são como são, não porque estão fazendo algo errado, mas por estarem acertando?

Etymologiae: De Isidoro de Sevilha, Traduzido por Ariel Placidino Silva, Editora Uiclap 2023.

Sinopse: A monumental Etymologiae de Isidorus Hispalenses, na íntegra e em volume único. Em colunas paralelas dispondo o texto original e sua tradução, a obra é uma edição bilíngue apresentada como a única em língua portuguesa. | “Isidoro de Sevilha, salientando-se como enciclopedista, teólogo e historiador, escreveu A Etymologiae, qual durante séculos, foi tida por uma das mais valiosas obras de referência. A póstumo, esse notável acervo de conhecimento tornou-se uma coleção obrigatória nas bibliotecas medievais, e suas etimologias se transmitiram até o fim do século XIV. “ ― Ariel P. S.

Isidoro de Sevilha, em lat. Isidorus Hispalenses, doutor da Igreja, nasceu em Cartagena c, 560 e morreu em Sevilha em 636. Sucessor de seu irmão Leandro como arcebispo de Sevilha 600). Presidiu em 633 um concilio em Toledo. Salientando-se como enciclopedista, teólogo e historiador, reuniu em Etymologiae notável acervo dos conhecimentos de seu tempo, o que as tornou durante séculos, uma das mais valiosas obras de referência. Além de autor de vários tratados, nos campos da linguística, da ciência natural, da história e da cosmologia, foi o organizador da Igreja da Espanha e combateu os visigodos arianos. Proclamado doutor da Igreja em 1722, é festejado a 4 de abril. 

Etymologiae (Etimologias) é uma enciclopédia em vinte volumes. Segundo Isidoro, a natureza primitiva e a essência das coisas se reconhecem pela etimologia dos nomes que as designam. A enciclopédia de Isidoro era obrigatória nas bibliotecas medievais, e suas etimologias se transmitiram até o fim do século XIV. Essa obra monumental abrangia desde a gramática, a retórica, e a dialética, passando pelas línguas, pelos povos, Estados, famílias, a agricultura, a horticultura a marinha, o vestuário, as artes domésticas, os instrumentos, até os membros da Igreja, os anjos e Deus.” Encyclopaedia Brtinannica do Brasil [Mirador] ― Filosofia Patrística (35.-1).

Fundamentos e Fins da Educação. Francisco Ruiz Sánches. Editora Verbo Encarnado, 2025.

Sinopse: um livro essencial que denuncia ideologias totalitárias na educação e apresenta uma filosofia realista baseada em Santo Tomás de Aquino.

Reflexão perene para pais e educadores que buscam verdade, objetividade e transcendência no ensino.

Fundamentos e Fins da Educação

Este livro, justamente por conter uma filosofia realista sobre o homem e a educação, conserva seu valor perene numa época de enorme confusão. Uma época em que, em muitos lugares, o Estado moderno se erige autoritário, impondo um pensamento único sobre educação, até mesmo negando aos pais esse direito sobre os filhos. Manifestação esta do totalitarismo marxista na educação – fortemente denunciado neste livro – tendo seu auge na segunda metade do século passado, e que hoje, subjacente, procura se impor disfarçado com outros nomes que nada mais são do que desdobramentos do mesmo marxismo, tais como o feminismo radical, o transumanismo ou a famigerada “teoria de gênero” ou gender.

O valor perene do pensamento contido neste livro reside no fato de se fundamentar na filosofia do ser, tendo Santo Tomás de Aquino como seu principal guia, cuja eleição como mestre lhe confere precisamente um caráter objetivo, universal e transcendente. Porque o pensamento de Santo Tomás esteve sempre no horizonte da verdade universal, objetiva e transcendente.

Educação Católica. Mario Casotti, Editora Verbo Encarnado, 2022

Sinopse: Neste livro, Mário Casotti vai na contramão da corrente relativista em voga na educação de hoje em dia. Em Educação Católica, o autor parte do princípio de que a fé representa um aspecto essencial do homem e não somente uma relação de confiança, pois inclui realmente a aceitação das verdades reveladas por Deus. Agora, se a educação é uma atividade que visa a formação do ser humano na Verdade, todo sistema pedagógico que exclua a fé e as verdades reveladas será, por definição, incompleto. 

Mestre e Aluno. Mário Casotti, Editora Verbo Encarnado, 2025.

Sinopse: análise profunda da educação moderna, denunciando ideologias totalitárias e defendendo a liberdade dos pais.

Baseado na filosofia de Santo Tomás de Aquino, oferece uma visão objetiva e universal para formar mentes e corações em busca da verdade.

Mestre e Aluno

Mário Casotti é, sem dúvidas, um dos maiores representantes da pedagogia contemporânea italiana. Seu grande mérito foi o de reconduzir a arte pedagógica aos fundamentos ontológicos, antropológicos e gnosiológicos da filosofia perene de Santo Tomás de Aquino. Transcorridos, porém, quase 50 anos de sua morte, seu fecundo pensamento e sua vasta obra caíram em um quase que total esquecimento. Parece que a boa semente terminou sufocada pelos pedregulhos e pelos espinhos do mundo impregnado de tantas ideologias que descendem, de um modo ou de outro, do materialismo e do idealismo.

Essa semente, contudo, não morreu. Ela permanece dormente aguardando uma terra fértil para poder dar seus frutos. Deus permite o mal, dispondo em sua providência que dele redunde um bem muito maior. Os estragos que o pensamento moderno e pós-moderno causaram parecem ter sido também a ocasião para um renovado interesse no pensamento do Doutor Angélico que estamos presenciando nos últimos anos. Um renascimento das cinzas que tem mostrado inclusive aqui, na Terra de Santa Cruz, um ímpeto notável.

Escritos Pedagógicos, de São João Bosco. Editora Verbo Encarnado, 2025.

Sinopse: Os escritos pedagógicos de São João Bosco constituem um tesouro inestimável para a Igreja e para o mundo da educação. Neles, o Santo não apenas deixou um método educativo, como também um espírito, uma forma de entender a vida e a missão de guiar os jovens para o bem, a verdade e a beleza. Sua obra transcende o tempo e continua a iluminar o caminho de todos aqueles que se dedicam à nobre missão de educar.

Dom Bosco acreditava firmemente que a educação deveria ser integral, formando não apenas o corpo e a mente, como também o coração e a alma. Como afirma São João Paulo II, “a tarefa primária e essencial da cultura em geral, e mesmo de cada cultura em particular, é a educação, que consiste em fazer com que o homem seja cada vez mais homem, que possa ‘ser’ mais e não apenas ‘ter’ mais” (Carta Iuvenum Patris, n. 1). Para Dom Bosco, o homem formado e maduro é o cidadão que tem fé, aquele que coloca no centro de sua vida o ideal do novo homem proclamado por Jesus Cristo, e que testemunhe sem respeito humano, suas convicções religiosas.

Educação, Cultura e Maturidade. Miguel Ángel Fuentes, Editora Verbo Encarnado, 2022.

Sinopse: A Educação Pede Socorro. O Brasil nunca precisou tanto de obras que tratassem do tema educação como agora. Todos os anos, bilhões de reais investidos nesta área são jogados no lixo por causa da falta de uma verdadeira educação.

Os alunos saem dos centros educacionais reféns de um analfabetismo funcional e dos delírios de uma mente ideologizada. Nenhum dos sistemas educacionais em vigor propõe uma formação integral do ser humano.

Neste livro você aprenderá os princípios de uma verdadeira educação católica.

Educação, Cultura e Maturidade, de Pe. Miguel Ángel Fuentes, IVE

Além de tratar da educação e da maturidade, em Educação, Cultura e Maturidade, o Pe. Miguel Ángel Fuentes pretende explicar as raízes históricas e pedagógicas do problema da educação contemporânea e propor sua solução: o retorno à boa e sã filosofia, iluminada pela teologia.

Um bom método de estudo que desenvolva a integridade da pessoa humana é a chave para fazer com que o homem se reencontre consigo mesmo e, sobretudo, com Deus.

A imaginação educada. Northrop Frye, Editora Sétimo Selo, 2024.

Sinopse: Nenhuma sociedade humana é tão primitiva que não tenha alguma espécie de literatura. No entanto, é muito comum pensar no estudo literário como um métier elegante. Afinal de contas, o que é a literatura? De que adianta e como ensiná-la? Qual é seu valor social, político e religioso? Ajuda ela a pensar com mais clareza, a perceber com mais sensibilidade ou a viver melhor? Qual é o lugar da imaginação no processo de aprendizagem? E mais importante: é possível educar a imaginação? São estas e outras perguntas a que Northrop Frye, um dos influentes críticos literários do século XX, procura responder. Mais do que dicas pontuais, o leitor encontrará neste livro uma concepção abrangente de educação, de literatura e de mundo, capaz de orientar um processo pedagógico desde o início.

Educação Católica e Homeschooling. Kimberly Hahn e Mary Hasson, Editora Ecclesiae, 2021.

Sinopse: Unido a teoria e a prática, o secular e o sagrado, este livro compreende desde o planejamento e o conteúdo do ensino domiciliar, com sugestões de métodos e materiais, até a formação espiritual das crianças no seio da família. As autoras explicam os benefícios e objetivos do homeschooling, além de responderem aos principais questionamentos sobre ele. Elaborada por duas mães educadoras de comprovada experiência, a obra é um guia de como os pais podem edificar seu lar de modo que seus filhos estabeleçam um relacionamento pessoal com Deus, em primeiro lugar, e recebam a melhor formação humana e intelectual possível.

Educação Católica: guia para pais e educadores. John D. Redden e Francis A. Ryan, Editora Minha Biblioteca Católica, 2026. [Este livro foi publicado pela Livraria Agir Editora em 1973 sob o título de Filosofia da Educação].

Sinopse: Educação Católica Educação Católica: guia para pais e educadores | Filosofia da educação católica. Livro de John D. Redden e Francis A. Ryan sobre os fundamentos da educação católica. Indicado para pais e educadores interessados na formação segundo a tradição da Igreja.

Educação Católica: guia para pais e educadores, de John D. Redden e Francis A. Ryan, é uma obra clássica que apresenta com clareza e profundidade os fundamentos da educação inspirada na tradição católica. Baseado na filosofia escolástica e na compreensão integral do ser humano, o livro mostra como a formação cristã deve abranger corpo, inteligência, vontade e vida espiritual, orientando o educando para sua finalidade última em Deus.

Ao longo de suas páginas, os autores explicam por que a educação não pode ser reduzida a técnicas pedagógicas ou a teorias modernas passageiras. Para eles, toda educação depende de uma visão verdadeira do homem e da realidade. A partir dessa perspectiva, a obra apresenta os princípios permanentes da filosofia católica da educação e analisa criticamente correntes modernas que reduzem o homem a dimensões apenas biológicas, sociais ou econômicas.

Os autores também demonstram que a educação católica busca formar o homem integral, desenvolvendo harmoniosamente todas as suas capacidades. Por isso, a verdadeira educação não se limita à instrução intelectual: ela envolve também a formação moral, espiritual e cultural, preparando o indivíduo para viver a verdade, praticar a virtude e contribuir para o bem comum.

Trata-se, portanto, de um livro especialmente valioso para pais e educadores que desejam compreender a missão formativa da educação à luz da fé católica e da tradição filosófica cristã.

Quem foram John D. Redden e Francis A. Ryan

John D. Redden (1903–1959) e Francis A. Ryan (1887–1955) foram educadores e pensadores católicos dedicados ao estudo da filosofia da educação. Atuaram na formação de professores e na reflexão pedagógica no meio acadêmico ligado à tradição católica nos Estados Unidos.

Seus estudos buscaram integrar a tradição filosófica clássica — especialmente a herança aristotélico-tomista — com os desafios educacionais da sociedade moderna. A obra tornou-se uma referência importante para escolas, universidades e programas de formação docente interessados em compreender a educação à luz da tradição cristã.

A Mente Bem Treinada: Um Guia Para Educação Clássica Em Casa. Susan Wise Bauer e Jessie Wise, Editora Klasiká Liber, 2021.

Sinopse: Após quarenta anos de experiência em educação, Jessie e Susan Wise chegaram a uma simples conclusão: se você deseja que seu filho tenha uma educação excelente, precisa assumir o comando pessoalmente. Você não tem de reformar o sistema escolar inteiro, nem deve se preocupar com o falatório sobre a complexidade da formação de um professor. Tudo o que você tem de fazer é ensinar seu próprio filho. Esqueça tudo o que ouviu sobre a necessidade absoluta das salas de aula e sobre psicopedagogia: essas coisas são necessárias para um professor que tem de encarar uma turma de trinta crianças em ebulição ou de vinte adolescentes desligados, mas a sua tarefa é inteiramente diferente. Tudo que você precisa para ensinar seu filho em casa é dedicação, algum conhecimento básico sobre como as crianças aprendem, uma boa orientação nas habilidades específicas de cada matéria e uma grande quantidade de livros. “A mente bem treinada” oferece tudo isso a você ― exceto a dedicação. Eis um manual completo de educação clássica, que o ajudará a ensinar seus filhos a ler, escrever, calcular, pensar e entender.

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