Matemática Medieval, por Cassiodoro

Entronado, Cassiodoro apresenta seu livro. Inicial iluminada “C” (séc. XII).
Vault Case Manuscript 8, Institutiones, folio 1r.
A Idade Média nunca se esqueceu do autor das Instituições. 

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O texto abaixo é retirado do livro de Institutiones: introdução às letras divinas e seculares, de Flávio Magno Aurélio Cassiodoro, publicado pelas Edições Kírion, 2018.

***

Movamo-nos agora aos princípios da matemática.

Da matemática

A matemática, que podemos chamar de doutrinal (teorética), é a ciência que considera a quantidade abstrata. E quantidade abstrata é a que tratamos apenas com a razão, separando-a intelectualmente da matéria ou de outros acidentes. Por exemplo, as noções de par e ímpar, e similares.

Divisão da matemática: aritmética; música; geometria; astronomia.

A aritmética é a disciplina da quantidade numerável considerada em si mesma. A música é a disciplina que fala dos números em relação aos sons. A geometria é a disciplina da magnitude imóvel e das figuras. A astronomia é a disciplina que versa sobre o curso dos astros no céu. Ela investiga todas as formas e percorre as configurações das estrelas em relação a si mesmas e à Terra. Nós as indicamos um pouco mais amplamente no lugar apropriado para que o valor dos assuntos mencionados seja convenientemente demonstrado.

Discutamos o termo disciplinas (ciências). Como foi dito, disciplinas são aquelas que escapam das armadilhas da opinião e por isso recebem esse nome; elas seguem inexoravelmente as suas regras. Não podem ser estendidas ou diminuídas, nem modificadas por quaisquer variáveis, mas conservam com uma firmeza inabalável suas regras permanentes em seu próprio poder. Quando as consideramos em uma longa meditação, elas aguçam nossa inteligência, varrem para fora dela a poeira da ignorância e, se tivermos um espírito são, nos conduzem, com a ajuda do Senhor, à contemplação especulativa. Mas devemos saber que Josefo, o mais douto dos hebreus, diz, no capítulo nono de seu primeiro livro Das antigüidades que Abraão transmitiu primeiro a aritmética e a astronomia aos Egípcios, que, recebendo dele as sementes, desenvolveram mais profundamente as demais disciplinas para seu próprio uso — como fazem os homens de gênio muito perspicaz. Os Santos Padres nos recomendam — e com razão — o estudo dessas ciências. Pois elas afastam em grande parte nosso apetite das coisas carnais e nos fazem desejar o que só podemos ver com a alma, mediante auxílio do Senhor. É hora, portanto, de falarmos breve e individualmente sobre elas.

Capítulo IV 

Aritmética

Os escritores das letras seculares estabeleceram a aritmética como a primeira entre as disciplinas matemáticas, porque a música, a geometria e a astronomia, que a seguem, precisam dela para explicar suas noções. Por exemplo, exigem conhecimentos de aritmética a noção de número simples ou duplo em música, a de triângulo e quadrado (e outros similares) em geometria, o cálculo das posições móveis dos corpos celestes em astronomia. Mas a aritmética não precisa nem da música, nem da geometria, nem da astronomia. Por isso, para elas é fonte e mãe. Pitágoras a louvou tanto a ponto de declarar que tudo foi criado por Deus sob número e medida, dizendo que algumas coisas foram formadas em movimento e outras em repouso, de modo que nenhuma, além das mencionadas, recebesse substância. Creio que esse princípio está certo, e eu o tomo, como muitos filósofos, da frase do profeta que diz: “Deus dispôs todas as coisas em medida, número e peso”.

A aritmética consiste na quantidade distinta, que gera as espécies de números, que não estão ligados por nenhum limite comum. Não há nenhum limite comum que associe os números 5 e 10; ou 6 e 4; ou 7 e 3. É chamada de aritmética porque os números constituem seu domínio. E número é um conjunto formado por unidades, como 3, 5, 10, 20 etc. O propósito da aritmética é nos ensinar a natureza do número abstrato e seus acidentes. Por exemplo, paridade, imparidade etc.

O número é dividido em:

Par é o número que pode ser dividido em duas partes iguais [1], como 2, 4, 6, 8, 10 etc. Ímpar é o número que não pode ser dividido de modo algum em duas partes iguais [2], como 3, 5, 7, 9, 11 etc. Igualmente par é o número cuja divisão pode se dar em duas partes iguais até um. Por exemplo, 54 é dividido em 32, 32 em 16, 16 em 8, 8 em 4, 4 em 2, 2 em 1. Igualmente ímpar é o número que pode ser dividido somente em duas partes iguais, como 10 em 5, 14 em 7, 18 em 9, e similares. Desigualmente par é o número que pode receber mais de uma divisão segundo a igualdade das partes, mas sem chegar a um. Por exemplo, 24 em 2x12, 12 em 2x6, e 6 em 2x3. E não se pode prosseguir mais adiante. O número ímpar primo e simples é o número que só pode ser dividido por um [3]. Por exemplo 3, 5, 7, 11, 13, 17, e similares. O número ímpar secundário e composto é o que pode ser dividido não só por um, mas por outro número além de um. Por exemplo, 9, 15, 21, e similares. Ímpar intermediário é o número que sob certo aspecto é simples e não-composto, e sob outro, é secundário e composto. Por exemplo, 9, se comparado com 25, é primo e não-composto, porque não compartilha com ele nenhum número a não ser 25. Mas se for comparado com o número 15, é secundário porque tem 3 como divisor comum.

Segunda divisão de números pares e ímpares; o número é:

Supérfluo é o número que deriva de pares. Como é par, ele parece possuir partes supérfluas de quantidade. Como a metade de 12 é 6, a sexta parte é 2; a quarta parte é 3; a terceira é 4; a décima segunda é 1. Somadas essas quantidades, tem-se 16.

O número insuficiente também deriva de pares. Ele possui uma soma inferior das partes de sua quantidade. Como 8, cuja metade é 4, cujo quarto é 2, e cujo oitavo é 1. Essas partes, somadas, valem 7.

O número perfeito também deriva de pares. E como é par, suas partes somadas equivalem ao seu próprio valor. Como 6, cuja metade é 3, cujo terço é 2 e cujo sexto é 1. Somadas as partes, elas formam o próprio número 6.

Terceira divisão dos números.

Os números são ou:

O número per se é o que não possui nenhuma relação com outros. Como 3, 4, 5, 6 e outros similares.

O número relativo é o que se compara com outros. Por exemplo, se comparamos 4 com 2, 6 com 3, 8 com 4, 10 com 5, os chamamos dobro ou múltiplo. Se comparamos 3 com 1, 6 com 2, 9 com 3, os chamamos de triplo etc.

Os números iguais são os que são iguais segundo a quantidade. Por exemplo, 2 e 2, 3 e 3, 10 e 10, 100 e 100 etc.

Os números desiguais são os que, comparados entre si, demonstram desigualdade. Como 3 e 2, 4 e 3, 5 e 4, 10 e 6.

Em geral, quando o maior for assim comparado ao menor, ou o menor ao maior, chama-se desigual.

Número maior é o que contém em si o menor, com o qual é comparado, e unidades adicionais. Por exemplo, 5 vale mais do que 3 porque o contém em si e mais duas unidades.

Número menor [4] é aquele contido pelo maior, com o qual é comparado, junto com outra unidade adicional. Por exemplo, 5 é menor do que 3, porque, junto com duas unidades, encontra-se contido nele.

Número múltiplo é o que contém em si o número menor, duas, três, quatro, ou múltiplas vezes. Por exemplo, comparado a 1, 2 contém-lhe o dobro; 3, o triplo; 4, o quádruplo etc.

Número sub-múltiplo, por outro lado, é aquele contido no múltiplo, com o qual é comparado, duas, três, quatro ou múltiplas vezes. Por exemplo, 1 é contido duas vezes em 2, três vezes em 3, quatro vezes em 4, cinco vezes em 5 e assim por diante.

Número super-particular é superior por conter dentro de si o inferior e uma unidade dele. Por exemplo, se comparamos 3 e 2, três contém dois e mais uma unidade, que é a metade de dois. Se comparamos 4 e 3, quatro contém três e mais uma unidade, que é um terço de três. Se comparamos 5 e 4, cinco contém quatro e mais uma unidade, que é um quarto de quatro. E assim por diante.

Sub-super-particular é o número menor que é contido no maior acrescido de uma parte sua: a metade, a terça parte, ou a quarta, ou a quinta. Por exemplo: 2 em relação a 3, 3 em relação a 4, 4 em relação a 5 etc.

Super-partiente é o número que contém em si todo o número inferior, e além dele, suas outras duas unidades, ou três, ou quatro, ou cinco, ou mais unidades. Por exemplo, 5 em relação a 3: cinco contém em si o número três, e além dele, suas outras duas unidades. 7 em relação a 4: sete contém quatro e mais três unidades dele.

Sub-super-partiente é aquele número contido no número super-partiente com algumas outras unidades suas (duas, três ou mais), como, por exemplo, 3 está contido em 5 mais outras duas unidades suas. 4 em 7, mais três unidades; 5 em 9, mais quatro unidades.

Múltiplo super-particular é o número que, comparado a um número inferior, o contém várias vezes e mais uma unidade. Por exemplo, comparemos 5 a 2. 5 contém o dobro de 2 e mais uma unidade. 9 contém em si o dobro de 4, mais uma unidade.

Sub-múltiplo super-particular é o número que, comparado a um maior, é por ele contido, junto com uma unidade, várias vezes. Por exemplo, comparemos 2 a 5. 2 é contido duas vezes por 5 e mais uma unidade sua.

Múltiplo super-partiente é o que, comparado a um número inferior, o contém várias vezes e mais outras unidades. Por exemplo, 8 contém dois terços de 3, e mais outras duas unidades. 14 contém o dobro de 6 e mais duas unidades. 16 contém o dobro de 7 e mais duas unidades. 19 contém o dobro de 8 e mais três unidades dele.

Sub-múltiplo super-partiente é o número que, comparado ao maior, é por ele contido, junto com outras unidades suas, várias vezes. Por exemplo, 3 está contido duas vezes em 8 com mais duas unidades. 4 está contido três vezes em 15 com outras três unidades suas.

Segue-se a quarta divisão dos números: discretos; e contíguos: lineares, planos, sólidos.

O número discreto é o que está contido em outro por unidades distintas, por exemplo, 3 está contido em 4, 5 em 6, etc.

Contíguo é o número contido em outro por unidades conjuntas. Por exemplo, o número 3, entendido em sua magnitude, é chamado número contíguo linear, plano ou sólido. Assim como os números 4 e 5.

Linear é o número que, começando a partir de um, se escreve linearmente até o infinito; por isso, as linhas são designadas com a letra alpha, que, em grego, significa um: aaa…

Plano é o número considerado não só segundo seu comprimento, mas também por sua largura, como o número triangular, o número quadrado, o número retangular, o número pentagonal, o número circular e outros números planos.

Número triangular     Número quadrado     Número pentagonal

Número circular é o que, multiplicado de maneira similar, volta sempre ao ponto de partida. Por exemplo: 5x5=25… Assim se dá com o seis: 6x6=36, 6x36=216.

Sólido é o número considerado segundo seu comprimento, largura e altura, como o são as pirâmides, que se erguem em forma de chamas, ou cubos, que são como os dados, ou as esferas, que possuem, de todos os lados, a mesma circularidade.

Esférico é o número que, multiplicado por um número circular, começa e volta a si mesmo. Por exemplo, 5x5=25. Se esse número circular for multiplicado por si mesmo, formará uma esfera: 5x25=125.

Tratai desses assuntos com um espírito solícito, lembrai-vos de que essa disciplina é colocada na frente das outras, uma vez que — como foi dito acima — não precisa de nenhuma outra. As demais, a seguir, como demonstra sua própria natureza, precisam da aritmética para existir. Nicômaco expôs a aritmética cuidadosamente entre os gregos. Ele foi traduzido ao latim, primeiro por Apuléio de Madaura e depois por Boécio, para que os romanos o lessem e relessem. Se os utilizamos, à medida que nos é lícito, as lições se derramam num raciocínio evidentemente muito lúcido. Foi-nos dado também viver em grande parte sob a égide dessa disciplina. Sempre que por meio dela aprendemos as horas, computamos o curso dos meses, reconhecemos o período do ano que se repete. Somos ensinados pelos números a não ser enganados. Retira do século o cômputo e a cega ignorância abraçará a tudo e a todos. Nem pode diferir dos outros animais aquele que não entende o resultado do cálculo. Trata-se de uma disciplina tão gloriosa quanto necessária à nossa vida. Por meio dela, averiguamos os nossos recursos e, sopesados os cômputos, as nossas despesas. O número é aquilo que dispõe todas as coisas. Por meio dele, aprendemos o que devemos fazer primeiro e o que fazer depois.

E se examinares minuciosamente a causa de tão grande fato, nem por isso os milagres do Senhor se tornam alheios à força do número. O número um diz respeito a Deus, como se lê no Pentateuco: “Ouve, ó Israel, o Senhor nosso Deus é o único Senhor” [5]. O número dois está relacionado aos Testamentos, como está dito em Reis: “E pôs no Oráculo dois querubins de pau de oliveiras, do tamanho de dez côvados” [6]. Por fim, o fruto suavíssimo de toda nossa esperança foi depositado na Santa Trindade, não porque esteja a serviço do número, mas porque mostra pelo poder de sua majestade a utilidade dele. Entendemos, certamente, que há a unidade na essência da Divindade, e a Trindade nas pessoas. Lê-se na epístola de João: “E três são os que dão testemunho na terra: o Espírito, a água e o sangue” [7]. Quanto aos quatro Evangelhos, também se lê em Ezequiel: “E no meio deste mesmo fogo se via a semelhança de quatro animais” [8]. Sabemos que o número cinco refere-se aos cinco livros de Moisés, como diz o Apóstolo: “Mas eu antes quero falar na Igreja cinco palavras da minha inteligência” [9]. No sexto dia, Deus criou o homem à sua imagem e semelhança. Com efeito, nós cremos que o próprio Espírito Santo é septiforme. O número descobre-se necessário para que as concepções mais sublimes e poderosas sejam compreendidas.

[...]

Capítulo VI

Geometria

Voltemo-nos agora à geometria, que é a descrição especulativa das formas e a prova visível de que dispõem os filósofos. Estes, para tecer loas a ela, afirmam que Júpiter usa os métodos da geometria em seus próprios trabalhos. Não sei se a geometria é louvada ou repreendida, quando eles afirmam, falsamente, que Júpiter realiza no céu o que eles retratam em poeira envernizada. Se for aplicada ao Criador e Senhor onipotente, talvez essa frase possa corresponder à verdade. Na realidade, é a Santa Trindade — se é lícito dizer — que geometriza quando concede diversas espécies e formas às criaturas que fez com que existissem até hoje; quando distribui as rotas das estrelas com seu venerável poder, faz correr linearmente tudo o que se move e institui o que é fixo e certo em seu devido lugar. Tudo o que é bem arranjado e acabado pode ser atribuído às qualidades dessa disciplina.

Geometria significa, em latim, medida da terra, pois se conta que o Egito — como alguns afirmam — foi primeiramente dividido entre os devidos senhores e proprietários segundo as diversas formas desta ciência. Os professores de geometria eram antes chamados de medidores. Mas Varrão, o mais profundo escritor latino, assim descreve a causa pela qual esse nome passou a existir: diz que primeiro as dimensões das terras, com limites bem definidos, providenciaram os benefícios da paz aos povos nômades e discordantes; depois, o círculo do ano inteiro foi dividido conforme o número de meses, e então os próprios meses, que são assim chamados por medir o ano; instigados por essa descoberta, alguns estudiosos começaram, em seguida, a investigar a distância entre a Lua e a Terra, entre o Sol e a Lua e a distância até o vértice do céu; Varrão menciona ainda que os geômetras alcançaram o que buscavam; ora, relata que a dimensão de toda a Terra foi circunscrita numa medida provável; e, por isso, aconteceu que a própria ciência recebesse o nome (geometria) que preserva por longos séculos. É por isso que Censorino, no livro que endereçou a Quinto Celério, descreveu, movido pelo desejo de conhecimento, os próprios espaços do céu e a órbita da Terra segundo o número de estádios [10] Se alguém desejar examiná-lo, descobrirá numa breve leitura muitos mistérios dos filósofos.

A geometria é, em verdade, a ciência da extensão imóvel e das formas. Ela divide-se em: plano; extensão numerável; extensão racional e irracional; figuras sólidas.

Figuras planas são as que contém comprimento e largura. Extensão numerável é a que pode ser dividida com os números da aritmética. Extensões racionais são aquelas cuja medida podemos saber, irracionais aquelas cuja medida não é considerada conhecida. Figuras sólidas são as que possuem comprimento, largura e altura.

Tratamos de toda a disciplina da geometria nestas partes e subdivisões, e com essa exposição concluímos as numerosas formas presentes na terra ou no céu. Houve bons escritores nesse campo entre os gregos, como Euclides, Apolônio, Arquimedes e outros. Desses autores, Boécio, homem magnífico, publicou a versão latina de Euclides. Se Euclides for relido com diligência e cuidado, aquilo que foi explicado nas mencionadas subdivisões torna-se conhecido pela clareza de uma inteligência comprovada.

Notas:

[1] Isto é, em dois números inteiros iguais.

[2] Isto é, em dois números inteiros.

[3] E, é claro, por ele mesmo.

[4] A seguinte definição foi omitida ou perdida. Ela é uma reconstituição a partir da anterior.

[5] Dt 6, 4.

[6] 1Rs 6, 23.

[7] 1Jo 5, 8.

[8] Ez 1, 5.

[9] 1Cor 14, 19.

[10] Medida grega que correspondia a 185 metros.

Obs.: As duas últimas figuras foram retiradas do mesmo Tratado de Aritmética, de Cassiodoro, contido na Coleção de Artes Liberais: Volume 9.

***

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Deus, Matemática e Dostoievski

Tempo de leitura: 9 minutos.

Apresentamos um trecho do livro Irmãos Karamazov, de Fiódor Dostoiévski, retirado do cap. III do Livro V. Contextualizando: em um restaurante, Ivã e seu irmão Aliócha estão conversando sobre diversos assuntos. 

***

Ivã: —  [...] Nós outros, fedelhos, temos como tarefa resolver as questões eternas, eis nosso fim. Agora, toda a jovem Rússia só faz dissertar sobre essas questões primordiais, ao passo que os velhos se limitam às questões práticas. Por que me olhaste durante três meses com um ar ansioso, senão para me perguntar: "Tens fé ou não tens?" Eis o que exprimiam os teus olhares, Alieksiéi Fiódorovitch; não é verdade?

Aliócha: — Pode muito bem ser — concedeu Aliócha, sorrindo. — Mas não estás zombando de mim neste momento, meu irmão?

— Zombando de ti? Não haveria de querer causar pesar a meu jovem irmão, que me olhou durante três meses com tanta ansiedade. Aliócha, olha-me de frente: sou um menino igual a ti, com a diferença de que és noviço. Como procede a juventude russa, pelo menos uma parte? Vai para um botequim de ar viciado, tal como este, por exemplo, e instala-se num canto. Esses rapazes não se conhecem e ficarão quarenta anos sem tornar a encontrar-se. Que discutem eles naqueles breves minutos? Apenas questões essenciais: se Deus existe, se a alma é imortal. Os que não crêem em Deus discorrem sobre o socialismo, a anarquia, sobre a renovação da humanidade; ora, essas questões são as mesmas, mas encaradas sob outra face. E boa parte da juventude russa, a mais original, hipnotiza-se com essas questões. Não é verdade?

— Sim, para os verdadeiros russos, as questões da existência, de Deus, da imortalidade da alma, ou, como dizes, as mesmas encaradas sob outra face, são primordiais, e tanto melhor assim — disse Aliócha, olhando seu irmão, com um sorriso escrutador.

— Aliócha, ser russo não é sempre uma prova de inteligência. Não há nada de mais tolo que as ocupações atuais da juventude russa. No entanto, há um adolescente russo a quem amo bastante.

— Como expuseste bem tudo isso! — disse Aliócha, rindo.

— Pois bem, dize-me por onde começar. Pela existência de Deus?

— Como queiras, podes mesmo começar pela "outra face". Proclamaste ontem que Deus não existia. — Aliócha olhou seu irmão com um olhar penetrante.

— Disse isso ontem em casa do velho, expressamente para irritar-te. Vi teus olhos faiscarem. Mas agora estou disposto a entreter-me seriamente contigo. Desejo entender-me contigo, Aliócha, porque não tenho amigo e quero ter um. Imagina que admito talvez Deus — disse Ivã, rindo. — Não esperavas por isto, hein?

— Sem dúvida, se não brincas neste momento.

— Vamos lá! Foi ontem, em casa do stáriets [*], que se podia achar que eu estava brincando. Sabes, meu caro, que havia um velho pecador no século XVIII que disse: "Si Dieu riexistait pas, il foudrait Vinventer"? [21] E, com efeito, foi o homem quem inventou Deus. E o que é espantoso não é que Deus exista realmente, mas que essa idéia da necessidade de Deus tenha vindo ao espírito de um animal feroz e mau como o homem, tão santa, comovente e sábia é ela, tanta honra faz ao homem. Quanto a mim, renunciei desde muito tempo a perguntar a mim mesmo se foi Deus quem criou o homem, ou o homem quem criou Deus. Bem entendido, não passarei em revista todos os axiomas que os adolescentes russos deduziram das hipóteses européias, porque o que na Europa é uma hipótese torna-se logo um axioma para os ditos. adolescentes, e não somente para eles mas para seus professores, que muitas vezes se lhes assemelham. De modo que afasto todas as hipóteses: qual é, com efeito, nosso desígnio? Meu desígnio é explicar-te o mais rapidamente possível a essência de meu ser, minha fé e minhas esperanças. Assim, declaro admitir Deus, pura e simplesmente. É preciso notar, no entanto, que, se Deus existe, se criou verdadeiramente a terra, fê-la, como se sabe, segundo a geometria de Euclides, e não deu ao espírito humano senão a noção das três dimensões do espaço. Entretanto, encontraram-se, encontram-se ainda geômetras e filósofos, mesmo eminentes, para duvidar de que todo o universo e até mesmo todos os mundos tenham sido criados somente de acordo com os princípios de Euclides. Ousam mesmo supor que duas paralelas que, de acordo com as leis de Euclides, jamais se poderão encontrar na terra, possam encontrar-se, em alguma parte, no infinito. Decidi, sendo incapaz de compreender mesmo isto, não procurar compreender Deus. Confesso humildemente minha incapacidade em resolver tais questões; tenho essencialmente o espírito de Euclides: terrestre. De que serve querer resolver o que não é deste mundo? E aconselho-te a jamais quebrar a cabeça a respeito, meu amigo Aliócha, sobretudo a respeito de Deus: existe ele ou não? Essas questões estão fora do alcance dum espírito que só tem a noção das três dimensões. Assim, admito Deus, não só voluntariamente, mas ainda sua sabedoria, seu fim que nos escapa; creio na ordem, no sentido da vida, na harmonia eterna, na qual se pretende que nos fundiremos um dia: creio no Verbo para o qual propende o Universo que está em Deus e que é ele próprio Deus, até o infinito. Estou no bom caminho? Imagina que, em definitivo, esse mundo de Deus, eu não o aceito e, embora saiba que ele existe, não o admito. Não é Deus que repilo, nota bem, mas a criação; eis o que me recuso admitir. Explico-me: estou convencido, como uma criança, de que o sofrimento desaparecerá, que a comédia revoltante das contradições humanas se esvanecerá como uma lamentável miragem, como a manifestação vil da impotência mesquinha, como um átomo do espírito de Euclides; que no fim do drama, quando aparecer a harmonia eterna, uma revelação se produzirá, preciosa a ponto de enternecer todos os corações, de acalmar todas as indignações, de resgatar todos os crimes e o sangue vertido; de sorte que se poderá não só perdoar, mas justificar tudo quanto se passou sobre a terra. Que tudo isso se realize, seja, mas não o admito e não quero admiti-lo. Que as paralelas se encontrem sob meus olhos, verei e direi que se encontraram; e no entanto não o admitirei. Eis o essencial, Aliócha, eis minha tese. Comecei expressamente nossa conversa duma maneira que não podia ser mais idiota, mas levei-a até minha confissão, porque é o que esperas. Não era a questão de Deus que te interessava, mas a vida espiritual de teu irmão querido. Tenho dito.

Ivã acabou sua longa tirada com uma emoção singular, inesperada.

— Mas porque começaste de "uma maneira que não podia ser mais idiota"? — perguntou Aliócha, olhando com ar pensativo.

— Em primeiro lugar, por cor local: as conversas dos russos sobre esse tema travam-se sempre idiotamente. Em seguida, a idiotice aproxima do fim e da clareza. É concisa e não faz astúcia, o espírito usa de atalhos e escapa-se. O espírito é desleal, mas há honestidade na idiotice. Quanto mais idiotamente confessar o desespero que me acabrunha, tanto melhor valerá isto para mim.

— Explicar-me-ás por que "não admites o mundo"?

— Decerto, não é um segredo e ia fazer isso mesmo. Meu irmãozinho, não tenho a intenção de perverter-te, nem de abalar tua fé. Sou eu antes que quereria curar-me ao teu contato — disse Ivã com o sorriso duma criança. Aliócha jamais o vira sorrir assim.

Notas:

[*] Stáriets Zósima: Monge idoso e pobre, respeitado pela sua bondade e sabedoria.

[21] "Se Deus não existisse, precisaríamos inventá-lo" Citação da Epístola ao Autor dos "Três Impostores", de Voltaire.

***

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Apresentamos uma lista dos principais conteúdos de Matemática atualmente do Ensino Médio, para aqueles que querem começar ou revisar seus estudos na Matemática Básica. Caso queira algo mais básico ainda, segue mais abaixo os conteúdos de Matemática do Ensino Fundamental também. Todo esse material encontra-se no Manual Compacto de Matemática: Teoria e Prática, publicado pela Editora Rideel, edição de 2010. O link desses manuais em pdf encontra-se AQUI. 

SUMÁRIO

Capítulo 1
Função do 1º grau ....................................... 11
1. Função do 1° grau ............................................ 11
2. Gráfico da função do 1º grau ........................ 14
3. Raiz ou zero da função do 1º grau .............. 17
4. Estudo de sinal da função do 1º grau.......... 20
5. Inequação do 1º grau ...................................... 21
6. Inequações produto e quociente.................. 22
Teste seu saber ..................................................... 26

Capítulo 2
Função do 2º grau ....................................... 29
1. Raízes da função do 2º grau .......................... 30
2. Gráfico da função do 2º grau ........................ 33
3. Vértice da parábola – máximos e mínimos da função. 37
4. Conjunto-imagem ............................................ 38
5. Estudo do sinal da função do 2º grau ......... 42
6. Inequações do 2º grau .................................... 44
7. Inequações produto e quociente.................. 46
Teste seu saber ..................................................... 50

Capítulo 3
Função modular .......................................... 54
1. Módulo de um número real .......................... 54
2. Gráfico da função modular ........................... 57
3. Equações modulares ....................................... 59
4. Inequações modulares ................................... 61
Teste seu saber ...................................................... 64

Capítulo 4
Função exponencial .................................... 68
1. Equação exponencial ...................................... 69
2. Gráficos da função exponencial ................... 72
3. Inequação exponencial ................................... 76
Teste seu saber ...................................................... 84

Capítulo 5
Função logarítmica .................................... 87
1. Logaritmo ......................................................... 87
2. Propriedades decorrentes da definição .... 89
3. Logaritmo decimal – característica e mantissa. 92
4. Propriedades operatórias dos logaritmos . 93
5. Mudança de base ............................................. 95
6. Função logarítmica ......................................... 97
7. Equações logarítmicas .................................. 100
8. Inequações logarítmicas ............................... 103
Teste seu saber ..................................................... 108

Capítulo 6
Funções circulares – trigonometria .........111
1. Triângulo retângulo ...................................... 111
2. Razões trigonométricas ................................ 112
3. Teorema de Pitágoras .................................... 115
4. Ângulos notáveis ............................................. 117
5. Relações trigonométricas ............................. 119
6. Circunferência ................................................ 123
7. Comprimento da circunferência ............... 123
8. Arco de circunferência ................................. 125
9. Ciclo trigonométrico ..................................... 128
10. Arcos côngruos ............................................. 129
11. Seno ................................................................. 133
12. Cosseno ............................................................136
13. Relação fundamental da trigonometria.139
14. Tangente .........................................................141
15. Cotangente, secante e cossecante ........... 143
16. Relações derivadas ..................................... 144
17. Equações e inequações trigonométricas. 146
18. Transformações trigonométricas ........... 153
19. Funções trigonométricas ........................... 155
Teste seu saber .................................................... 160

Capítulo 7
Sequências e progressões ......................... 165
1. Lei de formação .............................................. 165
2. Progressões aritméticas ............................... 167
3. Fórmula do termo geral da P.A. ................. 171
4. Soma dos termos da P.A. finita .................. 173
5. Progressões geométricas (P.G.) .................. 176
6. Fórmula do termo geral da P.G. ................. 179
7. Soma dos termos da P.G. finita ................... 181
8. Soma dos termos da P.G. infinita ............... 182
Teste seu saber .................................................... 186

Capítulo 8
Matrizes e determinantes ........................ 190
1. Definição .......................................................... 190
2. Tipo ou ordem de uma matriz .................... 191
3. Representação genérica de uma matriz .. 191
4. Igualdade de matrizes .................................. 193
5. Operações com matrizes .............................. 194
6. Casos particulares .......................................... 200
7. Determinantes ................................................ 203
Teste seu saber .................................................... 215

Capítulo 9
Sistemas lineares ...................................... 218
1. Definição .......................................................... 218
2. Equação linear ............................................... 219

3. Solução de uma equação linear ................ 219
4. Representação genérica de um sistema linea. 222
5. Representação de um sistema linear por meio de matrizes . 223
6. Sistema normal .............................................. 225
7. Regra de Cramer ........................................... 225
8. Classificação de um sistema linear .......... 227
Teste seu saber .................................................. 232

Capítulo 10
Análise combinatória e binômio de Newton.. 235
1. Princípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo . 235
2. Fatorial ............................................................ 240
3. Tipos de agrupamento ................................ 243
4. Permutações simples ................................... 244
5. Arranjos simples .......................................... 245
6. Combinações simples .................................. 247
7. Agrupamentos com repetição ................... 250
8. Números binomiais...................................... 254
9. Números binomiais complementares ..... 255
10. Números binomiais consecutivos .......... 257
11. Propriedade dos números binomiais consecutivos (Relação de Stiffel) .................. 258
12. Triângulo de Tartaglia-Pascal ................... 259
13. Binômio de Newton .................................... 260
14. Fórmula do termo geral ............................. 262
Teste seu saber .................................................... 265

Capítulo 11
Probabilidade e estatística ...................... 267
1. Definição ......................................................... 267
2. Elementos da teoria das probabilidades. 267
3. Experimento composto ............................... 269
4. Probabilidade de um evento ..................... 270
5. Probabilidade da união de eventos ......... 273
6. Probabilidade de um evento complementar. 274
7. Probabilidade condicional .......................... 275
8. Probabilidade da intersecção de eventos. 277
9. Lei binominal das probabilidades ............ 279
10. Estatística ....................................................... 280
11. Medidas de tendência central .................. 282
Teste seu saber .................................................... 284

Capítulo 12
Matemática financeira .......................... 288
1. Porcentagem ............................................... 288
2. Lucro e prejuízo ......................................... 290
3. Descontos e acréscimos ............................ 292
4. Acréscimos e descontos sucessivos ........ 294
5. Juro ................................................................. 298
6. Unidade de tempo ...................................... 298
7. Montante ...................................................... 299
8. Juro simples ................................................. 299
9. Juro composto ............................................. 303
10. Aplicação ou capital à taxa variável ... 304
11. Inflação ....................................................... 305
Teste seu saber ................................................ 307

Capítulo 13
Números complexos ................................. 310
1. Definição .......................................................... 310
2. Conjunto dos números complexos ............ 310
3. O número complexo ...................................... 311
4. Casos especiais ................................................ 311
5. As potências de i ............................................. 315
6. Igualdade de números complexos ............. 317
7. Conjugado de um número complexo ....... 318
8. Operações com números complexos ........ 318
9. Equações do 1º e 2º graus em C .................. 321
10. Representação gráfica – plano de Argand-Gauss. 323
11. Módulo de um número complexo ........... 324
12. Argumento de um número complexo .... 326
13. Forma trigonométrica ou polar dos números complexos. 327
Teste seu saber .................................................... 330

Capítulo 14
Polinômios e equações polinomiais ........ 333
1. Função polinomial ........................................ 333
2. Grau do polinômio ........................................ 335
3. Princípio de identidade de polinômios ... 336
4. Polinômio identicamente nulo .................. 337
5. Valor numérico de um polinômio ............ 337
6. Operações com polinômios ........................ 340
7. Método de Descartes .................................... 344
8. Equações polinomiais ................................. 348
9. Teorema fundamental da álgebra ........... 349
10. Teorema da decomposição ...................... 349
11. Multiplicidade de uma raiz ..................... 351
12. Teorema das raízes complexas .............. 352
13. Relações de Girard .................................... 355
Teste seu saber ................................................. 357

Capítulo 15
Geometria analítica .................................. 362
1. Introdução ....................................................... 362
2. Sistema de coordenadas sobre uma reta. 362
3. Distância entre dois pontos na reta real. 363
4. Coordenadas cartesianas............................. 363
5. Distância entre dois pontos de um plano. 366
6. Ponto médio de um segmento .................... 368
7. Baricentro ........................................................ 369
8. Condição de alinhamento de três pontos. 371
9. Inclinação de uma reta ................................ 373
10. Coeficiente angular de uma reta ............. 374
11. Equação da reta ........................................... 377
12. Determinando a equação da reta ........... 377
13. Equação reduzida da reta ......................... 380
14. Equação segmentária da reta.................... 382
15. Equação geral da reta ................................. 384
16. Posições relativas de duas retas ............... 386
17. Intersecção de retas .................................... 389
18. Condição de perpendicularismo ............. 390
19. Distância entre um ponto e uma reta .... 392
20. Definição de circunferência ..................... 394
21. Equação reduzida da circunferência ..... 394
22. Definição de elipse ...................................... 398
23. Equações da elipse ...................................... 398
Teste seu saber ................................................... 402

Respostas dos exercícios ......................... 406
Tabela trigonométrica ............................. 425
Tabela de logaritmos decimais ............... 427
Bibliografia ............................................... 430
Siglas de vestibulares .............................. 431

SUMÁRIO

Capítulo 1
O que são números? E numerais? ............. 11
Número e numeral são a mesma coisa? ........ 11
O sistema de numeração romano ................... 12
O sistema de numeração decimal ................... 14
Conjunto dos números naturais ...................... 15
Comparando números naturais ...................... 17
Teste seu saber ..................................................... 18

Capítulo 2
Conjuntos e sua linguagem ........................ 21
Representação dos conjuntos ........................... 21
Tipos de conjunto ................................................ 23
Operações com conjuntos ................................. 27
Teste seu saber ..................................................... 30

Capítulo 3
Operações no conjunto dos números naturais. 32
A adição de números naturais ......................... 32
A subtração de números naturais ................... 35
A multiplicação de números naturais ............ 37
A divisão de números naturais ........................ 40
A potenciação com números naturais ........... 43
A radiciação de números naturais .................. 48
Resolução de expressões aritméticas ............. 49
Teste seu saber ..................................................... 52

Capítulo 4
O divisor de um número ............................ 56
Critérios de divisibilidade ................................. 57
Os números primos e compostos..................... 61
Máximo divisor comum: o mdc ....................... 66
Mínimo múltiplo comum: o mmc ................... 69
Teste seu saber ..................................................... 72

Capítulo 5
Os números fracionários ........................... 74
A ideia da fração .................................................. 74
Operações com frações ...................................... 85
Propriedades das frações .................................. 88
Resolução de expressões numéricas .............. 89
Problemas com frações ...................................... 92
Teste seu saber ..................................................... 95

Capítulo 6
Os números decimais ................................. 98
A ideia de número decimal ............................... 98
Teste seu saber ................................................... 109

Capítulo 7
Sistema de medidas ................................. 112
Introdução .......................................................... 112
Unidades de superfície .................................... 115
Unidades de volume ........................................ 121
Unidades de massa ........................................... 126
Teste seu saber ................................................... 129

Capítulo 8
Os números inteiros ................................. 132
A ideia dos números inteiros ......................... 132
Números racionais relativos .......................... 143
Teste seu saber ................................................... 148

Capítulo 9
Equações e inequações do 1o grau .......... 151
Problemas do cotidiano ................................... 151
Resolvendo problemas com uma variável. 157
Inequações do 1o grau ..................................... 161
Sistemas de equações simultâneas do 1o grau. 166
Teste seu saber .................................................... 171

Capítulo 10
Razão e proporção .................................... 173
A ideia de razão .................................................. 173
Proporções ........................................................... 177
Média aritmética ............................................... 183
Divisão proporcional ....................................... 186
Regras de três ..................................................... 193
Porcentagem ....................................................... 199
Juro simples ......................................................... 202
Teste seu saber .................................................... 206

Capítulo 11
Cálculos algébricos .................................... 209
Considerações preliminares ............................ 209
Tradução em linguagem matemática ........... 210
Expressões algébricas ....................................... 210
Polinômios ........................................................... 214
Produtos notáveis .............................................. 223
Teste seu saber ................................................... 230

Capítulo 12
Fatoração algébrica .................................. 233
Casos de fatoração de expressões algébricas. 233
Máximo divisor comum entre expressões algébricas (mdc) ............................................... 245
Mínimo múltiplo comum entre expressões algébricas (mmc) ............................................... 247
Teste seu saber ................................................... 249

Capítulo 13
Frações algébricas ..................................... 251
O que é uma fração algébrica? ....................... 251
Operações com frações algébricas ................. 255
Teste seu saber .................................................... 262

Capítulo 14
O conjunto dos números reais .................. 265
Introdução ............................................................ 265
Equações do 2o grau com uma única variável. 270
Equações redutíveis a equações de 2o grau. 283
Equações irracionais ......................................... 285
Sistemas simples do 2o grau ........................... 289
Resolvendo problemas a partir de sistemas de 2o grau ................................................................... 291
Teste seu saber .................................................... 294

Capítulo 15
Funções: qual seu significado e aplicações?.. 297
Introdução ........................................................... 297
Relação x função ................................................ 297
O plano cartesiano ............................................. 300
Função do primeiro grau ................................. 303
Função do segundo grau .................................. 310
Teste seu saber .................................................... 322

Capítulo 16
Geometria .................................................. 325
Introdução ........................................................... 325
Linhas planas ...................................................... 329
Ângulos ................................................................. 331
Retas perpendiculares ...................................... 332
Medida de um ângulo plano ........................... 333
Operações algébricas com ângulos ............... 334
Classificação dos ângulos ................................ 336
Linha poligonal .................................................. 342
Estudo dos triângulos ....................................... 347
Congruência de triângulos .............................. 355
Perpendicularismo ............................................ 358
Paralelismo .......................................................... 358
Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal ........................ 359
Relações de congruência entre os ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversal. 360
Soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados (Si) ..................................... 364
Soma dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados (Se) ..................................... 365
Quadriláteros convexos .................................... 367
Paralelogramo ..................................................... 367
Trapézio ................................................................ 370
Linhas proporcionais nos triângulos ............ 373
Relações métricas no triângulo retângulo ... 375
Teste seu saber .................................................... 381

Capítulo 17
Trigonometria ........................................... 384
Medida dos ângulos e dos arcos .................... 384
Funções trigonométricas ................................. 387
Funções trigonométricas no triângulo retângulo. 389
Determinações de valores das funções trigonométricas dos ângulos de 30º, 45º e 60°. 391
Relações métricas em triângulos que não são retângulos. 398
Teste seu saber .................................................. 403

Capítulo 18
Circunferência .......................................... 408
Círculo................................................................... 409
Posições relativas de uma reta e uma circunferência. 411
Propriedade fundamental da tangente e da normal a uma circunferência ......................... 411
Posições relativas de duas circunferências. 411
Correspondência entre arcos e ângulos – medidas. 412
Relações métricas no círculo .......................... 414
Potência de um ponto com relação a uma circunferência. 416
Polígonos regulares ........................................... 418
Teste seu saber ................................................... 425

Respostas dos exercícios ......................... 428

Bibliografia ................................................ 455

***

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Educar na Verdade e nas virtudes

Menino escrevendo com sua irmã, 1875, Albert Anker

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Tempo de leitura: 14 minutos.

Educar na Verdade: quando as virtudes superam a ciência, Por Claudio Titericz. disponível no LINK.

A ciência é valiosa, mas limitada. Só o intelecto humano, aliado às virtudes, pode alcançar a verdade — e a educação deve formar para isso. 

Gostaria de refletir sobre o entendimento do que seja ciência e como se relaciona com a educação. Faço isto porque, várias vezes, tenho ouvido em meios de comunicação que a verdade deve ser científica para ser considerada. Isto parece dar uma autoridade especial à ciência ou pesquisas científicas como se fossem a última palavra em conhecimento da realidade humana.

Entretanto, ao meditar o sexto livro escrito por Santo Tomás de Aquino, quando este realizou o comentário ao livro de Aristóteles intitulado “Ética a Nicômaco”, verificamos que o entendimento filosófico sobre o que seja a ciência não é corretamente compreendido. Vejamos o que diz o santo doutor católico.

A alma humana tem uma parte dita racional, a qual pode ser racional por essência ou por participação. Ainda, a parte por essência divide-se em científica e raciocinativa. Esta parte, que é dita por essência, necessita para seu desenvolvimento de virtudes intelectuais, enquanto a participativa exige um aperfeiçoamento por meio das virtudes morais.

A divisão da parte por essência dirige-se para a especulação do necessário, por isto chama-se “científica”, enquanto para especular os contingentes, se faz necessário a raciocinativa.

Devemos entender que para tomarmos uma decisão racional, o ser humano elege dependendo do seu intelecto e do seu hábito moral, fato que aperfeiçoa a força apetitiva, dando-lhe condições de utilidade, de deleitação e a busca do bem honesto. Podemos dizer que sem uma especulação científica e raciocinativa não se tem certeza de uma decisão ou julgamento.

Isto está de acordo com tudo o que já escrevi aqui em outros artigos. O ser humano tem uma alma com uma inteligência e uma vontade própria, sendo que esta última é cega, necessitando do esclarecimento da primeira. Esta busca da verdade, própria da inteligência, é o âmago do que estamos falando, enquanto a vontade sempre busca o bem para si e para os seus.

Existem, em suma, duas grandes obras próprias do homem: o conhecimento da verdade e a ação. Ambas as atividades se completam e exigem do intelecto o do conhecimento da verdade que só pode vir da prática ou raciocinativa, e da especulativa ou científica.

Nos atentarmos às considerações sobre a parte da alma racional por essência, uma vez que está diretamente ligada ao tema que desenvolvo aqui, ou seja, o chamado "conhecimento científico". Outras reflexões sobre os demais aspectos deixaremos para artigos futuros.

Para aperfeiçoar esta parte do intelecto são buscadas as virtudes intelectuais. São várias e as principais são: a ciência, a arte, a prudência, o intelecto e a sabedoria. Vamos entender cada uma delas.

As Virtudes Intelectuais e o alcance da Verdade

A ciência só o é do que seja eterno e nunca do contingente. Isto significa que os entes contingentes são incertos, podem ser ou não ser, enquanto os entes eternos, os quais são também chamados necessários, nunca poderão deixar de ser, nunca serão corrompidos e não se geram e é para estes que se volta a ciência. Ela é demonstrável e ensinável.

Aristóteles diz ser um sinal da ciência o poder ensinar e o modo de obter este ensinamento pode ser por indução ou por dedução. Neste primeiro modo se parte do particular para o universal e o segundo modo, também dito silogismo, parte-se do universal para o singular.

Já a arte é um fazer, mas não qualquer fazer, mas um fazer com o uso da razão. Nunca haverá arte sem uma razão e não há ação realizada com razão que não seja arte. Aqui fica claro que é um hábito voltado para os entes contingentes, pois uma arte pode ser realizada ou não, trata-se de coisas artificiais onde o fim é a própria arte realizada.

Também no campo dos contingentes, a prudência é aconselhar-se sobre o que vem a ser o bem útil, com o fim de produzir uma vida humana boa. É um hábito ativo com verdadeira razão, não acerca do factível, que são exteriores ao homem, mas acerca dos bens e dos males do próprio homem. A prudência não visa o fim no objeto construído, mas no próprio realizador, enfim o bem da ação está no próprio agente, está nos bens do homem.

O intelecto, na visão aristotélica, não é a própria potência intelectiva, mas sim um hábito voltado para os primeiros princípios, os quais por serem os primeiros são indemonstráveis. É necessário que exista no ser humano esta percepção de que existe um princípio de raciocínio, sem o que não podemos pensar coisa alguma.

Por último, vemos que a sabedoria é uma virtude intelectual por excelência. Por este hábito o ser humano tem a visão clara da causa final, determinando, portanto, diante do início de qualquer processo, o resultado a que vai se atingir com as ações planejadas, caso sejam realizadas. A sabedoria enxerga os princípios, aponta os erros e identifica a linha de causalidade, demonstrando com certeza os resultados.

Ciência, indução e o risco das Verdades Provisórias

Depois de apresentar estas principais virtudes intelectuais, acredito poder aprofundar meu ponto de vista sobre o que seja a ciência e de como está sendo utilizada indevidamente.

Bem, a ciência é um hábito demonstrativo e que se utiliza do conhecimento adquirido para, a partir deste, evoluir para novas conclusões. São dois os modos de realizar a intelecção na ciência, como já abordei acima, a indução e a dedução.

A dedução nos conduz sempre a uma verdade inquestionável. Vou dar um exemplo: o todo é maior que as partes. Outro exemplo característico da filosofia é o silogismo categórico, onde eu digo: todo homem é mortal, eu sou um homem, portanto, eu sou mortal.

Podemos verificar a certeza e a correção lógica, fatos que não afrontam o raciocínio intelectual de forma alguma e a conclusão será uma verdade e, como tal, não pode ser contestada, seja no ontem, no hoje ou no amanhã, seja aqui neste mundo ou em qualquer outro planeta. A verdade é eterna.

Agora, na indução, os princípios universais do que se busca não são conhecidos e parte-se do particular, do singular, para o universal. Neste caso, os resultados por vezes se aproximam de uma verdade, sem nunca garantir totalmente esta verdade. Assim, quase sempre os resultados de uma indução são expressos em probabilidades.

Algum leitor poderia perguntar se este método não traz certeza, por que o realizar? Responderia que, infelizmente, não temos condições de buscar respostas para todos os questionamentos que a humanidade procura utilizando a dedução, neste caso resta-nos a indução. Vejamos alguns exemplos.

Diante da pergunta: como surgiu a Terra? Como não temos informações para deduzir a resposta, partimos para a indução, ou seja, verificamos os resultados que nos aparecem e inferimos as suas causas.

Neste caso, é formulado uma teoria, a qual diz ter ocorrido uma grande expansão há 14,5 bilhões de anos e de lá ocorreu um movimento até que há 4,5 bilhões de anos surge a nossa Terra. Outra teoria é sobre como a humanidade surgiu após estes 4,5 bilhões de anos. E mais uma teoria se forma.

Vejam, não é possível ter a certeza, apenas probabilidades e se montam modelos que subsistem até que surgem novas observações e experiências que levam a aperfeiçoamento ou mudanças completas da teoria vigente. Poderia citar o embate entre Einstein e Newton como um exemplo de mudança de teoria e de modelo científico.

Acredito poder demonstrar que é aqui, no raciocínio indutivo, que se encaixa a ciência. Quando é impossível ter conclusões certeiras nos temas onde não há possibilidade da dedução, é aqui que podemos utilizar nossa capacidade intelectual na avaliação de experiências e verificar a relação causal nestes testes, verificando probabilidades de resultados. Também aqui é onde a sabedoria será mais necessária, quando se interpretam resultados muitas vezes anômalos.

Desta forma, quando nos apropriamos de resultados experimentais realizados em órgãos sérios, tais como uma universidade por exemplo, pode nos dar uma ideia de probabilidade, mas nunca a certeza do resultado. Pode por vezes ser apresentado sob um verniz acadêmico uma informação que no fundo não passa de uma probabilidade, nunca uma verdade.

Não podemos esquecer que a verdade não é a narrativa. Fica claro que muitas pessoas e meios de comunicação dizem a mesma coisa, não significa que esta informação seja correta.

Muitas vezes é apenas um modelo adotado até que as ciências experimentais tragam mais teste e mais dados no raciocínio indutivo e possibilita que se monte um modelo, ou se altere um anterior. Quando nos deparamos com a verdade, esta nunca muda, me parece óbvio.

Com esta rápida reflexão, podemos concluir que a educação e o ensino têm papeis fundamentais em todo este processo que envolve a ciência.

"É na formação da inteligência que se deve voltar a educação para enfrentar estes desafios indutivos que acompanham a sociedade moderna"

Verificamos que o foco educacional deve ser o desenvolvimento das virtudes e que aqui apenas falamos das intelectuais.

O ser humano otimamente educado buscará realizar ações, para isto deverá saber uma arte, a qual está fundada em uma ciência, deverá realizar esta arte com prudência e sabedoria, utilizando plenamente o seu intelecto. A tecnologia em si é ignorante sem uma inteligência que a direcione para o bem.

Identificar vários órgãos nacionais e internacionais que se arvoram em resultados acadêmicos, os quais são sempre indutivos, para aplicarem recursos com a finalidade de obter resultados financeiros, independentemente das consequências negativas, por vezes óbvias.

A ciência parte sempre de algo conhecido, tal qual a mente humana, mas não tem como saber a priori os resultados, e aí realiza testes e experiências buscando sequências lógicas para formular teorias. Quanto mais testes, mais perto de resultados satisfatórios, entretanto, nunca se atingirá a certeza, ou seja, a verdade do que se explora.

Por fim, os métodos experimentais não têm a capacidade de apontar as causas, tão somente a inteligência humana pode fazer isto. A verdade está no intelecto, não fora dele. Também gostaria de deixar claro que suspeitas e opiniões não são virtudes intelectuais, mesmo partindo de personalidades daquela área de estudos.

Os verdadeiros cientistas são humildes o suficiente para dizer que não sabem e estão buscando o conhecimento e aquilo que já sabem serão aprimorados pelos seus seguidores. A ciência é um excelente auxiliar para a natureza humana, mas não é uma formuladora de verdades.

***

Claudio Titericz, coronel reformado do Exército, é bacharel, mestre e doutor em Ciências Militares e bacharel em Teologia; estudante permanente de Filosofia da Educação e ex-integrante do Ministério da Educação e é um dos fundadores do Instituto de Biopolítica Zenith, autor do livro “O Problema da Educação Brasileira”.

***

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A Arte e a Matemática, por A.O.I. Disponível no LINK.

O número cria ordem, a ordem contém ritmo, o ritmo engendra harmonia, e a harmonia está prenhe de beleza. O ritmo plasmado pelo número é uma ordenação determinada dos tempos.

O Nascimento de Vênus, por Sandro Botticelli, 1482.
A posição no espaço dos personagens é submetida à regra do retângulo
de ouro. As dimensões da obra (172,5 cm X 278,05 cm) correspondem
exatamente ao formato de um retângulo de ouro.

A realidade é um número — afirmava Pitágoras de Samos — e Euclides considerava a matemática mais como uma arte do que como uma ciência. Proclo expressa no seu Comentário a Euclides: “Ali onde há número, há beleza”, e esta frase poderia inverter-se dizendo que onde há beleza, há número. “O número vive na arte”, afirmava Santo Agostinho, e no seu Tratado da Música inclui os números e o ritmo como princípios estéticos e cosmológicos. São Tomás de Aquino compreendeu que entre a beleza e a matemática existia uma relação direta, válida tanto para a beleza natural como para a obra de arte realizada pelo homem. Leibniz escreveu: “A música é um exercício de aritmética secreta; quem se entrega a ela ignora que está a operar com números.” “A arte é a expressão mais elevada de uma aritmética interior e inconsciente.”

O número cria ordem, a ordem contém ritmo, o ritmo engendra harmonia, e a harmonia está prenhe de beleza. O ritmo plasmado pelo número é uma ordenação determinada dos tempos.

Platão, no Timeu, fala-nos do sincronismo dos ritmos da “Alma Individual” e da “Alma Universal”. Quando esta alma está bem harmonizada, quando entre o ritmo do homem (microcosmo) e o ritmo do Universo (macrocosmo) existe proporção, harmonia e concórdia, a beleza resplandece. Para Platão, a Beleza é o esplendor da Verdade.

A Natureza é, sem dúvida, uma manifestação de ritmos harmônicos. O homem, no seu anseio de eternidade, cria — como um fazedor de ritmos — um espelho de Deus: a Natureza criada por Deus. E quando o homem cria a beleza na sua face epidérmica, aparente (a forma), a chamada “natura naturata” (segundo Aristóteles, no século XVII) identifica-se com a “natura naturans”, o Ser absoluto. Por isso, quando o homem, com esse sentido imitativo ontológico, transcende as barreiras limitantes do não-ser e, numa atitude de verticalidade, capta o Absoluto, eterniza-se.

Fig. 1: Pitágoras.

Pitágoras situava a felicidade suprema (eudaimonia da alma) na contemplação da harmonia dos números.

Para os pitagóricos, toda a Natureza estava ordenada conforme o número. Estes celebravam juntos, no falanstério principal, o sétimo e o quinquagésimo dia. Essa escolha era motivada pelo carácter sempre virgem do número sete, pois este não podia ser produto nem primo indivisível; porque, se é possível dividir um círculo em doze ou em seis partes, não é possível — como demonstra a geometria — dividi-lo em sete. Desde o século XIX, Gauss, no início dos anos 1800, estudou o número sete na sucessão euclidiana rigorosa em sete partes iguais. Isso levou à “virgindade” do número sete, não numerosa, nos tons atômicos lógicos dos Padres da Igreja.

Ele encontra também, para os pitagóricos, o mais santo e natural dos números, porque equivale à soma de $9 + 16 + 25$ (soma resultante dos quadrados construídos sobre o “triângulo mágico”, também chamado triângulo de Pitágoras, de relação 3-4-5) e ao produto da pentade e da década (5 x 10 = 50), que representam, respetivamente, o microcosmo (o homem) e o macrocosmo (o Universo).

Fig. 2: O Homem Vitruviano.

Estudo da proporcionalidade de um corpo humano (Leonardo da Vinci, cerca de 1500, Veneza, Gallerie dell’Accademia).

Inscrito em um quadrado (conforme Platão, símbolo do elemento terra) e em um círculo (símbolo do cosmos como todo), torna-se um símbolo da correspondência matemática entre microcosmo e macrocosmo.

O Número de Ouro (Divina Proporção ou Secção Áurea) rege o jogo das proporções do triângulo pentagonal ou decagonal e também o mágico triângulo sagrado 3-4-5. A Proporção Áurea é a expressão geométrica do Número de Ouro aritmético. A Proporção Áurea e o Número de Ouro são constantes tangíveis, a nível matemático, da Proporção Divina.

O curioso é que podem ser realizadas aritmeticamente e geometricamente, mas não podem ser captadas nem apreendidas pela razão; daí que o número Phi seja denominado incomensurável na aritmética, e a razão deva contentar-se apenas em compreender que não pode compreendê-lo. Por isso, é um número ou relação presente que o homem capta intuitivamente na sua ação de Ser, quando, como microcosmo, opera em harmonia com o macrocosmo, o Universo.

No século XIII, Leonardo da Pisa — conhecido geralmente como Fibonacci — tentou resolver o problema da proliferação dos coelhos e observou, com assombro, que estes se reproduziam de acordo com a seguinte progressão: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … etc. Tomando a relação a partir do número 34 e do seu antecessor, estabeleceu-se uma constante de 1,618…, que não é outra senão o Número de Ouro. Fibonacci também observou que esta série se encontrava nas plantas e em todo o reino animal.

Fig. 3: O número de ouro é a constante obtida a partir da proporção áurea.

Leonardo Da Vinci, Luca Pacioli, Piero Della Francesca, León Battista Alberti estudaram com paixão o Número de Ouro durante o Renascimento. Dürer viajou especialmente até Bolonha para se iniciar nos mistérios da Seção Áurea, e escreveu num dos seus textos que “o comovia menos ver reinos desconhecidos do que conhecer as suas teorias”. Em Veneza esteve em contato com Frei Luca Pacioli. O seu quadro mágico e enigmático “A Melancolia” nasceu nessa época, e o seu talento viria a nutrir a ciência da arte na Alemanha. Na realidade, o último a celebrar o misticismo e as virtudes mágicas do Número de Ouro foi Kepler.

Estes notáveis homens compreenderam que a Criação traz implícito um ritmo no tempo e uma ordenação no espaço. Que tudo possui uma ordem, uma harmonia, uma simetria que lhe é própria, traçada pelo “Grande Geômetra” ou “Arquiteto Divino”, Deus. Que os corpos da Natureza, quando estão em ressonância com essa “grande harmonia”, estão de acordo com o “grande traçado”, com o “grande plano”, e operam num crescimento harmonioso.

Essa harmonia percebe-se desde o infinitamente pequeno — os átomos (microcosmos) — até o infinitamente grande — o Universo (macrocosmos). O homem está colocado entre o infinitamente pequeno e o infinitamente grande, mas tem um dilema a resolver que se chama “livre-arbítrio”; e pode, portanto, agir de acordo com o “grande plano”, realizando ações belas, estando em harmonia, unindo-se e obedecendo ao imperativo categórico do seu Ser, ou pode não estar em concordância e agir de forma antiestética, obedecendo ao seu não-Ser. É neste conflito que o homem se desfaz.

O homem capta a beleza no seu agir ético no mundo, e o resultado desse agir ético — configurado por ações belas — serão objetos belos, estéticos, obras de arte que refletirão o esplendor da Verdade.

Neste século, homens de talento como Möesel, Theodoro Cook, Jay Hambidge, Hans Kayser e Matila Ghyka, entre outros, retomaram o estudo do Número de Ouro. Isso levou o célebre empirista lógico inglês Bertrand Russell a escrever, provavelmente muito a contragosto, em 27 de setembro de 1924, na revista The Nation: “Talvez o mais estranho da ciência moderna seja o seu regresso ao pitagorismo.”

É de esperar que assim seja — e que a austera claridade da tocha trazida do Egito por Pitágoras, portadora do divino Platão, ilumine a Humanidade, para que esta possa contemplar a beleza mística do Número Puro e a Harmonia Celeste da Música das Esferas. 

Texto publicado originalmente na Revista Tot, Buenos Aires, Abril 1972

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