Os Elementos de Euclides e S. Alberto Magno

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Alberto Magno e a recepção arabo-latina de Euclides - Albert the Great and the Arabic-Latin reception of Euclid, por Marco Aurélio Oliveira da Silva - Universidade Federal da Bahia – UFBA - silva.marco@ufba.br. Publicado na revista Doispontos:, Curitiba, São Carlos, volume 18, número 1, p. 133-143, maio de 2021. ISSN 2179-7412. DOI: 10.5380/dp.v18i1.78557. Disponível no LINK.

Resumo: O século XIII de Alberto Magno é um período no qual começa a circular mais intensamente a recepção das traduções completas dos Elementos de Euclides, que foram feitas por Adelardo de Bath, Roberto de Chester e João de Tinemue, além da tradução de Gerard de Cremona ao comentário feito pelo matemático árabe Al-Nayrizi ao geômetra alexandrino. O objetivo deste artigo é apresentar como Alberto incorpora as traduções arabo-latinas de Euclides com a visão latina da prática geométrica.

Palavras-chave: Alberto Magno, filosofia da geometria, Euclides, filosofia medieval, matemática medieval, Elementos de Euclides.

Abstract: In Albert the Great’s 13th century, a larger circulation of the complete Arabic-Latin translations of Euclid’s Elements made by Adelard of Bath, Robert Chester and John of Tinemue begins and joins Gerald of Cremona’s translation of Al-Nayrizi’s Commentary on Euclid’s Elements. The aim of this paper is to present how Albert the Great deals with the combination of these two traditions, i.e., the Arabic-Latin Euclid’s translations, and the Latin medieval geometrical practice.

Keywords: Albert the Great, philosophy of geometry, Euclid, medieval philosophy, medieval mathematics, Euclid’s Elements.

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É conhecida a crítica de Alberto ao platonismo com relação aos objetos matemáticos, que se baseia na doutrina da abstração do universal a partir dos indivíduos sensíveis [1] . Contudo, esta teoria deve ser vista em perspectiva, posto que fica a depender da chamada metafísica do fluxo, doutrina fundamental para a explicação do movimento natural na física de Alberto [2]. Há um consenso na literatura secundária de que a origem desta discussão metafisica está em Avicena [3]. Contudo, a doutrina do fluxo costuma ser restrita à recepção da doutrina da emanação aviceniana [4]  e à recepção do Liber de Causis, que Alberto tomava como uma obra aristotélica. Apenas na geração seguinte, de Tomás de Aquino, saber-se-á que o opúsculo é uma compilação árabe a partir da doutrina teológica de Proclo.

Em Alberto, esta doutrina está exposta de modo mais detalhado no comentário ao terceiro livro da Física [5]. Contudo, pode-se observar que a importância da teoria do fluxo não está restrita, como seria de se esperar, à física e à metafísica em Alberto. Dado que era lugar-comum no mundo medieval latino que o movimento seria assunto estrito da física, caberia à matemática, nessa perspectiva, contentar-se com a consideração de entidades abstratas e imóveis.

Todavia, a geração de Alberto Magno e de Roger Bacon teve uma grande influência do matemático persa de língua árabe Al-Nayrizi [6], conhecido como Anatitius entre os latinos, que permitiria conectar a doutrina do fluxo com a prática matemática. Embora ambos autores, Alberto Magno e Roger Bacon, tivessem comentado os Elementos de Euclides, influenciados por Al-Nayrizi, apenas Alberto demonstra ao longo de sua obra filosófica uma visão distinta da natureza da prática matemática.

A literatura sobre a filosofia da matemática de Alberto se ocupa principalmente de esclarecer quem seriam os autores por trás da alcunha albertista error platonis. Em um importante artigo, Weisheipl atribui a crítica de Alberto escudada por tal alcunha a Roberto Grosseteste, Roger Bacon e Roberto Kilwardby [7].

Contudo, a descoberta, atribuição de autoria e edição do Comentário de Alberto Magno aos Elementos de Euclides permitem lançar uma nova luz a esta investigação. Assim, a doutrina do fluxo, investigada tão detidamente por Alain de Libera [8], deveria ser estendida de modo a explicar a teoria matemática de Alberto. Al-Nayrizi, por sua vez, no que é seguido por Alberto, define geneticamente os objetos matemáticos a partir da noção inicial de fluxo do ponto. Deste modo, do ponto de vista da filosofia da prática matemática, a possibilidade do uso de definições genéticas matemáticas dependentes do movimento e do fluxo não tem sido objeto de consideração atenta pelos intérpretes da crítica de Alberto ao error platonis.

Alain de Libera se dedicou a analisar detalhadamente a metafísica do fluxo de Alberto Magno [9], conectando esta discussão com a recepção do tratado do Liber de Causis, de conteúdo neoplatônico, mas que Alberto tomava como aristotélico. A doutrina da emanação ali presente era emprestada para explicar o fluxo da forma no movimento substancial de geração. Contudo, uma razão adicional para se observar a recepção do comentário de Al-Nayrizi aos Elementos de Euclides consiste em tentar mapear o percurso que leva Alberto Magno a usar teses compatíveis com o neoplatonismo em filosofia da matemática, como, por exemplo, a discussão sobre o papel da imaginação no contexto da prática geométrica.

Embora acuse contemporâneos de platonismo, do próprio Platão, Alberto teve acesso no máximo a uma seção da tradução do Timeu feita por Calcídio [10]. Além disso, as principais fontes neoplatônicas de Alberto são Dionísio Pseudo-Aeropagita e o próprio Liber de Causis, as quais jogam um papel fundamental no desenvolvimento de seu pensamento [11]. No caso do Liber de Causis, Alberto o toma como obra aristotélica, embora seja um texto com uma inclinação platonizante [12].

Contudo, pode-se observar em Alberto uma inclinação pela ciência em geral e pelas ciências matemáticas em particular. Por exemplo, há claramente a influência marcante no seu pensamento do Almagesto de Ptolomeu [13], pois tinha uma preocupação constante não só pela geometria, mas também pela astronomia e pela perspectiva [14], que eram estudadas na Idade Média como ciências matemáticas. Com efeito, provavelmente Alberto escreveu um comentário ao Almagesto, como se pode observar em catálogos medievais [15]. Infelizmente, não há manuscrito conhecido com a transmissão deste trabalho.

No caso específico do comentário a Euclides, Alberto o escreveu antes de comentar a Metafísica [16]. Contudo, mesmo ao comentar Aristóteles, pode-se observar uma preocupação constante em relacionar os eventuais exemplos matemáticos utilizados pelo Estagirita com discussões correspondentes da obra euclidiana [17].

A recepção de Euclides:

A recepção dos Elementos de Euclides é um capítulo à parte na história da geometria. A principal fonte para a história da Geometria pré-euclidiana é Proclo, em seu Comentário aos Elementos. Ocorre que Proclo viveu no Vº século de nossa era, tendo nascido cerca de 700 anos após a morte de Aristóteles. Deste modo, torna-se compreensível a confusão latina entre o Euclides de Alexandria, autor dos Elementos, e o Euclides de Megara, discípulo de Sócrates. Os relatos sobre a vida de Euclides de Alexandria são deveras exíguos, mormente baseando-se em uma referência a um encontro com o Faraó Ptolomeu II descrito no segundo prólogo ao Comentário de Proclo a Euclides [18], de onde surge a datação. Ora, esse texto de Proclo só seria vertido ao latim em 1533, na célebre edição dos Elementos de Simon Grynaeus19. Digno de nota é também Simplício, que floresceu no início do século VI de nossa era, tendo também feito um comentário aos Elementos, infelizmente perdido.

Por sua vez, a tradição intelectual de língua árabe encontra nos textos que circulavam no Império Bizantino sua fonte principal de transmissão da filosofia e da ciência gregas para a língua do profeta Muhammad. Por exemplo, Alexandre de Afrodísias é um autor destacado e influente tanto em Avicena quanto em Averróis, para citar os dois filósofos de língua árabe mais conhecidos.

No ponto específico da recepção de Euclides, deve-se destacar o trabalho de Al-Nayrizi, que viria a ser conhecido entre os latinos medievais como Anaritius. Tendo vivido entre a segunda metade do século IX de nossa era e o começo do século X, deve-se a Al-Nayrizi o importante Comentário aos X primeiros livros dos Elementos de Euclides. Aqui, destacamos dois pontos. Em primeiro lugar, diferentemente de Proclo, ele não se limita ao comentário ao primeiro livro. Em segundo lugar, é comum em Al-Nayrizi a referência a Simplício, que na edição latina tem o nome corrompido para Sambelichius [20]. Aparentemente, não há referência a Proclo, o que permite a conjectura de que Al-Nayrizi poderia ter tido o trabalho perdido de Simplício como sua fonte original.

O principal ponto a destacar nesta recepção árabe de Euclides é a valorização da teoria do fluxo, que Proclo, em sua crítica neoplatônica a Aristóteles, houve por bem rejeitar [21]. Na teoria do fluxo matemático em geometria, seria por meio do fluxo do ponto que seriam construídas as linhas; do fluxo da linha, a superfície; e do fluxo da superfície, o sólido. Assim, observamos no mundo árabe um desenvolvimento paralelo da recepção de Euclides distinto do que se pode depreender do mundo latino, com a exceção de Alberto Magno, no século XIII.

Por fim, no mundo medieval de língua latina, podemos observar dois momentos, cujo fator de inflexão seria justamente a recepção da filosofia e da ciência árabes a partir da reconquista cristã da Península Ibérica no século XII, então sob domínio árabe.

Sabe-se que Boécio teria traduzido os Elementos de Euclides, contudo, este trabalho também está perdido. E é possível que já estivesse perdido no século XIII. Todavia, circulavam traduções a ele atribuídas. A Patrologia Latina (v. 64) de Migne atribui a Boécio duas traduções, uma do primeiro e outra do segundo livro dos Elementos. Com relação ao primeiro livro, a tradução é provavelmente do século X [22]. Portanto, trata-se de um texto que expressava a prática matemática anterior à chegada da influência intelectual árabe ao Ocidente latino.

A atribuição a Boécio não pode ser ignorada, pois a própria ideia da matemática como independente do movimento remonta às discussões de Boécio sobre as três ciências especulativas. Portanto, a ideia de um fluxo para construir objetos matemáticos soaria totalmente estranha dentro de um contexto boeciano. Apenas para ilustrar, observemos o modo pelo qual a tradução de Pseudo-Boécio verte o famoso teorema I.1 de Euclides [23]:

PSEUDO-BOÉCIO:

Tomando esta tradução como ponto de partida para a análise das traduções do Euclides árabe, podemos observar o seguinte. Em primeiro lugar, apesar do enunciado do problema e do uso do diagrama, Pseudo-Boécio não traduz a construção e a demonstração da prova. Pode-se aduzir que isso seria tarefa do estudante de geometria. Contudo, do ponto de vista da prática matemática, Pseudo-Boécio não necessita fazer qualquer referência ao movimento, seja na definição – que Euclides já não usa de modo genético –, seja na demonstração, que aqui não é vertida ao latim.

Em contrapartida, no século XII, com a reconquista da Península Ibérica, ocorre um movimento intenso de tradução de obras filosóficas e científicas ao latim. Com Euclides não é diferente. Neste contexto, ocorrem três traduções dos Elementos, respetivamente por Adelardo de Bath, Roberto de Chester e João de Tinemue. Anteriormente, as três traduções eram atribuídas a Adelardo, daí serem conhecidos respectivamente por Adelardo I, II e III. Além de traduções a Ptolomeu e Al-Kwarizimi, ressaltamos aqui a tradução ao Comentário de Al-Nayrizi aos Elementos, realizada por Gerard de Cremona.

Vejamos como as três traduções arabo-latinas vertem o mesmo problema em Elementos I.1:

ADELARDO I (ADELARDO DE BATH)	ADELARDO II (ROBERTO DE CHESTER)	ADELARDO III ( JOÃO DE TINEMUE)
I.1 Agora, deve-se demonstrar de que modo faremos uma superfície triangular com lados iguais sobre uma linha reta de quantidade determinada. Seja a linha determinada ab. Construa-se um círculo gdb, com centro em a e ocupando o espaço que está entre a e b. Ademais, construa-se um outro círculo gah, com centro em b, ocupando o espaço entre a e b. Além disso, partam do ponto g, sobre o corte dos círculos, duas linhas retas ao ponto a e ao ponto b. Sejam elas ga e gb. Digo, então, que produzimos um triângulo com os lados iguais sobre a linha determinada ab [24].	I.1 Colocar um triângulo equilátero sobre uma linha reta dada. A partir de duas extremidades da linha dada, usando a própria linha, trace com o compasso dois círculos que se cortem. E a partir da própria secção comum dos círculos, até as duas extremidades da linha proposta, trace linhas. Em seguida, portanto, a partir da descrição do círculo produza o argumento [25].	I.1 Colocar um triângulo equilátero sobre uma linha reta dada. (…) Tracemos o círculo com o espaço ab de acordo com o segundo postulado. Assim, fixo o pé imóvel do compasso em b, com o pé móvel em a, tracemos um segundo círculo seguindo o mesmo espaço de acordo com o centro b, tocando o [círculo] anterior em d e em c, tendo consequentemente construído a ypotenusis [figura?] a partir de ab para a secção c [26].

Atualmente, estamos acostumados a pensar em Euclides como a edição canônica de Heiberg. Contudo, a própria transmissão de Euclides, tanto textual quanto diagramática, não permite uma visão restritiva do texto dos Elementos.

No caso das traduções arabo-latinas, podemos observar o seguinte. Em primeiro lugar, a construção diagramática é totalmente divergente. A tradução de Roberto de Chester nem sequer utiliza índices para marcar as secções dos círculos. A tradução de Adelardo I apresenta um diagrama parecido com editado por Heiberg, com índice apenas na secção superior dos círculos. Por fim, a tradução de João de Tinemue apresenta índices para ambas as secções.

Com relação à prova, a tradução de João de Tinemue faz referência ao “pé móvel do compasso”, introduzindo tanto o instrumento quanto a noção de movimento na prova matemática. Eis algo que destoa completamente da prática matemática medieval latina, na qual o ideal de Boécio de que a matemática é separada do movimento era seguido de um modo geral.

A prova traduzida por Roberto de Chester também tem um tom construtivo, expondo a necessidade de traçar o círculo com o compasso. Pelo fato de não possuir índices, a prova é mais sincopada, diferindo da tradução de João de Tinemue, apenas indicando que é preciso traçar círculos que se cortem para daí construir o triângulo equilátero.

Por fim, a tradução de Aldeardo I não menciona explicitamente nem o compasso nem o movimento, apenas determinando a necessidade de construir dois círculos (gdb & gah) e de construir as duas linhas retas a partir do ponto oriundo da secção dos círculos até os extremos da linha reta dada.

Contudo, é interessante observar como essas diversas traduções de Euclides vão se interpolando na transmissão textual, como pode ser observado na recepção por Alberto Magno. Na primeira metade do século XIII, ocorre a recepção das novas traduções de Euclides particularmente em Alberto e em Roger Bacon, ambos tendo produzido comentários aos Elementos [27].

Alberto é um autor que apresenta um interesse especial para a filosofia da prática matemática, pois produziu tanto um comentário aos Elementos de Euclides quanto aos Analyticos Posteriores de Aristóteles [28]. Entretanto, observemos o comentário de Alberto ao mesmo problema dos Elementos de Euclides.

ALBERTO MAGNO – Euclides I.1

I. 1 Sobre uma linha reta dada, construir um triângulo equilátero.

Seja a linha reta AB. Ademais, através do terceiro postulado, coloco o pé imóvel do compasso em A e traço um círculo de acordo com a quantidade AB. Então, através do mesmo postulado, coloco o pé imóvel do compasso em B e, com a quantidade da mesma linha, traço outro círculo. Seja C o ponto de intersecção entre os círculos. Então, através do primeiro postulado, conecto A com C e do mesmo modo B com C. Digo então que o triângulo ABC é equilátero

(…)

Isso pode ser transformado em silogismo assim: todo triângulo retilíneo com os lados iguais a linhas que partem do mesmo centro da mesma circunferência é equilátero. Ora, o triângulo ABC foi constituído sobre a linha AB que tem etc.; logo, é equilátero. A seguir, vês a figura [29]

Portanto, Alberto, em seu comentário a Euclides, é claramente influenciado pelas traduções arabo-latinas, podendo-se observar o seguinte:

1) os diagramas apresentados por Alberto possuem índices dos pontos, que podem ser acompanhados paralelamente com a demonstração. Nesse aspecto, Alberto está de acordo com a tradução de Adelardo I e João de Tinemue [30];

2) o enunciado do problema em Alberto é semelhante ao de Pseudo-Boécio:

Alberto: supra datam rectam lineam aequilaterum triangulum constituere,

Ps-Boécio: supra datam rectam lineam terminatam triangulum aequilaterum constituere;

3) o diagrama apresentado é semelhante ao de João de Tinemue, pois, além de apresentar índices, como Pseudo-Boécio e Adelardo, apresenta índices para as duas secções dos círculos, tanto na parte superior – como viria a ser estabelecido da edição do texto grego por Heiberg – quanto na parte inferior;

4) destoando da prática latina medieval, Alberto faz referência à “perna móvel do compasso” [31] durante a demonstração, seguindo João de Tinemue. Além de incomum no período medieval, a referência a uma perna móvel do compasso contraria a visão comum boeciana de que a matemática seria independente do movimento;

5) a construção de um silogismo como metateorema, na qual a demonstração da prova I.1 funcionaria como premissa maior. Vale ressaltar que, ao longo do Comentário aos quatro primeiros livros de Euclides [32], não ocorrem recorrentemente outras reconstruções silogísticas. Pode-se conjecturar que Alberto, neste contexto, apresenta a reconstrução silogística de Elementos I.1 como um exemplo que poderia ser seguido ao longo do comentário.

Conclusão:

Alberto Magno é um autor diferenciado no que concerne à sua discussão sobre a natureza da geometria. Seu espírito enciclopédico e de conciliação de diversas teorias o levou a conciliar as diversas versões de Euclides que circulavam em sua época. Além da recepção do comentário dos Elementos pelo matemático Al-Nayrizi, a tradução de Adelardo III (João de Tinemue) o levou a incorporar a referência ao compasso e ao movimento no interior da demonstração geométrica. A visão pré-árabe no mundo latino excluía qualquer papel ao movimento em matemática. Alberto, por sua vez, além da perspectiva do filósofo, apresenta a própria visão do matemático, que necessita da régua e do compasso, movimentando-os decerto, para exercer a sua própria ciência.

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Recebido em 01 de julho de 2020. Aceito em 04 de março de 2021.

Notas: 

[1] Cf. ENDRISS, 1886, p. 85; cf. tb. TORRIJOS-CASTRILLEJO, 2015, p. 20.

[2] Cf. TWETTEN; BALDNER; SNYDER, 2013. p. 176.

[3] Cf. MCCULLOUGH, 1980; cf. tb. MAIER, 1966; cf. tb. LIBERA, 2005.

[4] Isso se observa particularmente no Sufficientia de Avicena. Cf. MCCULLOUGH, 1980, p. 132ff; cf. tb. MAIER, 1966.

[5]  Cf. III Physica, I-III; ed. Colon. XXVII, 1993, p. 146ff.

[6] A importância de Al-Nayrizi pode ser observada pelo fato de o seu comentário a Euclides ter sido editado na mesma época que a edição padrão de Heiberg aos Elementos no século XIX, quando a edição de Al-Nayrizi ficou a cargo de Curtze, que precisou basear-se em um mau manuscrito. Contudo, Tummers, de posse de manuscritos mais confiáveis, pôde fazer uma nova edição do comentário de Al-Nayrizi aos 4 primeiros livros de Euclides (cf. ANARITIUS; TUMMERS, 1994).

[7] Cf. WEISHEIPL, 1958.

[8] Cf. LIBERA, 2005, especialmente o capítulo IV.

[9] Cf. LIBERA, 2005, p. 143ff.

[10] Cf. CRAEMER-RUEGENBERG, 2005, p. 27; cf. tb. ANZULEWICZ, 2013; cf. tb. TORRIJOS-CASTRILLEJO, 2015, p.20.

[11] Cf. ANZULEWICZ, 2013, p.595-596.

[12] Sobre a confusão do Liber de Causis como sendo de Aristóteles apesar do platonismo do livro, cf. LIBERA, 1992.

[13] Cf. II De Caelo et Mundo, III.6 (ed. Colon. V, 1971, p. 153ff.).

[14] Cf. GEYER, 1958, p.162.

[15] Cf. GEYER, 1958, p. 163.

[16] Cf. GEYER, 1958, p.162.

[17] Por exemplo, confira a discussão apresentada em TUMMERS, 1984 com relação ao Comentário de Alberto à Metafísica de Aristóteles.

[18] Consoante a narrativa de Proclo, perguntado pelo Faraó se haveria um modo mais fácil de aprender sua ciência, Euclides teria dito não haver caminho real para a geometria. Cf. MORROW, 1992, p. 57.

[19] Cf. DE JESUS, 2019, p. 3.

[20] Cf. ANARITIUS; TUMMERS, 1994, p. 1.

[21] Para mais detalhes sobre a rejeição de Proclo à doutrina do fluxo em matemática, cf. VINEL, 2010.

[22] Para uma análise detalhada da edição de Migne, bem como de eventuais fragmentos da tradução original de Boécio, cf. BUSARD, 1998.

[23] Vale ressaltar também que esta tradução contida na edição de Migne (PL, 64, p. 1307) toma os Elementos como de Euclides de Megara.

[24] ed. BUSARD, 1983, p.33-34: “I.1 Nunc demonstrandum est quomodo superficiem triangulam equalium laterum super lineam rectam assignate quantitatis faciamus.

Sit linea assignata ab. Ponaturque centrum supra a occupando spacium quod est inter a et b circulo, supra quem gdb. Item ponatur supra centrum b occupando spacium inter a et b circulo alio, supra quem gah. Exeantque de puncto g supra quem incisio circulorum due linee recte ad punctum a et ad punctum b. Sintque ille ga et gb. Dico quia ecce fecimus triangulum equalium laterum supra lineam ab assignatam.”

[25] ed. BUSARD, 1992, p. 115: “I.1 Triangulum equilaterum super datam lineam rectam collocare.

A duobus terminis date linee ipsam lineam occupando cum circino duos circulos sese invicem secantes describe et ab ipsa communi seccione circulorum ad duos terminus linee proposite duas rectas lineas dirige. Deinde ergo ex circuli descripcione argumentum elice.”

[26] ed. BUSARD, 2001, p. 36: “I.1 Triangulum equilaterum supra datam lineam rectam collocare. (…)

Dispositio. Supposito itaque centro in a, circumferentia vero in b, designetur circulus secundum spatium ab iuxta secundam petitionem. Item fixo pede pigro circini in b, mobili vero in a, designetur et alius circulus secundum idem spatium circa b centrum secans priorem in d et in c, ypothenusis denique erectis ab ab in c sectionem.”

[27] O comentário de Roger Bacon aos Elementos era anteriormente atribuído a Adelardo de Bath. Cf. BUSARD, 1974.

[28] Sobre a discussão do papel da demonstração por causalidade formal em matemática, particularmente no século XIII, cf. SILVA, 2018.

[29] ed. TUMMERS (= ALBERTUS MAGNUS, ed. Col., XXXIX), 2014, p. 14: “I. 1 Supra datam rectam lineam aequilaterum triangulum constituere.

Sit enim data recta linea ab. Per secundam autem petitionem pono pedem circini immobilem in a et ad quantitate ab lineae circumducam circulum. Deinde per eandem posito immobili pede circini in b describam ad eiusdem lineae quantitatem alium circulum, sitque punctum c locus sectionis circulorum. Deinde per primam petitionem continuabo a cum c et similiter b cum c. Dico igitur quod abc est triangulus aequilaterus. (…)

Syllogizetur ergo sic: omnis triangulus rectilineus latera habens aequalia lineis egrendientibus ab eodem centro ad eandem circumferentiam est aequilaterus. Sed triangulus abc super datam lineam ab constitutus est habens etc., ergo est aequilaterus. Schema autem est ut vides.”

[30] Observe-se que os diagramas da edição grega padrão de Heiberg provêm do próprio editor e não de uma edição crítica dos manuscritos. Para uma proposta de edição dos diagramas de Euclides, cf. SAITO, 2006.

[31] Sou grato a Marco Panza, que me fez notar este aspecto do texto de Alberto, comum no período moderno, mas incomum no período medieval.

[32] Esses são os livros conhecidos, contidos no manuscrito Wienerkloster 80/45, editado por Tummers. Alberto teria escrito comentário aos dez primeiros livros dos Elementos de Euclides, paralelamente ao que fizera Al-Nayrizi; contudo, o restante da obra resta desconhecida.

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Lamento de um matemático, por Paul Lockhart

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Tempo de leitura: 34 minutos.

Lamento de um matemático [1]. Edição N.º 125 (2013): Cultura - Matemática - Educação (Revista temática) PARA ESTE NÚMERO SELECIONÁMOS. Publicado 2013-12-31. LINK.

Neste número incluímos um extracto de um texto de Paul Lockhart, escrito em 2002, que Keith Devlin publicou em 2007 na sua coluna mensal online do magazine da Mathematical Association of America. P. Lockhart, investigador e professor universitário na Brown University, decidira dedicar-se ao ensino básico desde o ano 2000 e neste texto exprime as suas opiniões sobre o estado actual do ensino da matemática. O texto tornou-se muito famoso, deu origem a inúmeras reacções e foi traduzido em diversas línguas. Em 2009 foi publicado um livro com o mesmo título, contendo a versão integral do presente texto e algumas sequelas.

***

Um músico acorda de um pesadelo terrível. No sonho vê-se num país em que a educação musical foi declarada obrigatória. «Estamos a ajudar os nossos alunos a tornarem-se mais competitivos num mundo cada vez mais dominado pelo som.» Educadores, escolas e o estado são chamados para este projecto de salvação nacional. São encomendados estudos, formadas comissões e tomadas decisões — tudo sem a participação de um único músico ou compositor.

Como é sabido que os músicos exprimem as suas ideias sob a forma de pautas musicais, estas estranhas rectas e pontos pretos devem tornar-se a «linguagem da música». Se pretendemos que os alunos adquiram alguma competência musical é imperativo que se tornem exímios nessa linguagem; seria sem dúvida insensato esperar que uma criança pudesse cantar uma canção ou tocar um instrumento sem ter tido uma aprendizagem prévia da notação e teoria musicais. Tocar e ouvir música, para não falar na composição de uma peça original, são considerados temas muito avançados e deixados de lado até ao ensino universitário, e mesmo até aos últimos anos da licenciatura.

Quanto ao ensino básico e secundário, têm por finalidade o treino dos alunos no uso desta linguagem — a manipulação de símbolos de acordo com um conjunto de regras fixas. «Nas aulas de música pegamos nas nossas pautas, o professor escreve algumas notas no quadro, e nós temos de copiá-las para as pautas ou transpô-las para uma clave diferente. Temos de ter cuidado em usar as claves e as tonalidades certas, além de que o nosso professor é muito picuínhas e está sempre a ver se os círculos das semínimas estão completamente preenchidos. Uma vez, deu-nos um problema sobre a escala cromática e eu resolvi-o bem, mas o professor deu-me negativa por eu ter feito as hastes das notas ao contrário.»

Na sua clarividência, os educadores chegam rapidamente à conclusão que é possível dar este tipo de formação musical a alunos mesmo muito novos. De facto, um aluno do terceiro ano que não saiba completamente de cor o seu círculo de quintas é visto como um caso chocante. «Tenho de arranjar um explicador de música para o meu filho. Não faz sequer o trabalho de casa. Diz que é aborrecido. Limita-se a ficar sentado à janela, a trautear umas melodias e a improvisar canções cómicas.»

Nos últimos anos do secundário a pressão aumenta. A verdade é que os alunos têm de estar preparados para as provas nacionais e para os exames de admissão à universidade. Têm de fazer as disciplinas Escalas e Modos, Métrica, Harmonia e Contraponto. «É muito o que têm de aprender, mas mais tarde na universidade, quando finalmente ouvi rem tudo isto, darão valor a todo o trabalho que fizeram no secundário.» Naturalmente, são poucos os alunos que seguem cursos superiores de música, e portanto apenas alguns deles ouvirão alguma vez os sons representados pelos pontos negros. É importante, porém, que todos os cidadãos sejam capazes de identificar uma modulação ou uma passagem em estilo de fuga, independentemente do facto de que nunca ouvirão nenhuma. «Para dizer a verdade, muitos alunos não são bons em música. Aborrecem-se nas aulas, as suas competências são péssimas, e os trabalhos de casa são praticamente ilegíveis. A maior parte deles não liga nada à importância que a música tem no mundo de hoje; limitam-se a fazer o mínimo de disciplinas de música e a não pensar mais nisso. Possivelmente, umas pessoas são dotadas para a música e outras não. Mas ainda me lembro de uma miúda, que era sensacional! As pautas dela eram impecáveis — todas as notas nos sítios certos, caligrafia perfeita, sustenidos, bemóis, tudo muito belo. Ainda um dia há-de ser uma música fora de série.»

Acordando alagado em suores frios, o músico compreende, aliviado, que se tratou apenas de um sonho disparatado. «Claro!» pensa aliviado, «nenhuma sociedade alguma vez reduziria uma forma de arte tão bela e valiosa a uma coisa tão trivial e vazia; nenhuma cultura poderia ser tão cruel com as suas crianças que as privasse de um modo de expressão humano tão natural e gratificante. Que absurdo!»

Entretanto, num outro extremo da cidade, um pintor acaba de acordar de um pesadelo semelhante…

Fiquei surpreendido quando percebi que estava numa sala de aula normal — nem cavaletes, nem bisnagas de tinta. «Na realidade nós não pegamos em tintas até ao ensino secundário,» explicaram-me os alunos. «No sétimo ano estudamos principalmente tintas e espátulas.» Mostraram-me uma ficha de exercícios. Num dos lados, havia amostras de tinta e espaços em branco onde os alunos deviam escrever os respectivos nomes. «Gosto de pintura,» disse-me um deles, «dizem-me o que tenho de fazer e eu faço. É fácil!»

Depois da aula falei com um dos professores. «Então os vossos alunos não pintam nada realmente?» perguntei. «Bom, no próximo ano fazem a disciplina Pré-Pintura-por-Números. Isso prepara-os para a sequência principal da Pintura-por-Números no secundário. Põem em prática o que aprenderam aqui e aplicam-no a situações reais de pintura — molhar o pincel na tinta, limpá-lo, coisas deste tipo. Está claro que vamos classificando os alunos de acordo com as suas habilidades. Os que se revelam pintores excelentes — que conhecem as tintas e os pincéis de trás para a frente — vão para a pintura a sério um pouco mais cedo e alguns deles até fazem os cursos avançados que contam para o currículo na universidade. Mas fundamentalmente o que estamos a fazer é tentar dar a estes jovens uma boa base sobre tudo que tem a ver com a pintura, e assim, quando saem daqui para o mundo real e pintam a cozinha de suas casa, não sai tudo uma desgraça.»

«Hum, aquelas disciplinas do secundário de que falou…»

«A Pintura-por-Números? Temos tido muito mais inscrições ultimamente. Julgo que isso se deve principalmente aos pais que desejam garantir que os filhos entram numa boa universidade. Nada melhor para isso do que terem na caderneta escolar do secundário Pintura Avançada-por-Números.»

«Porque é que as universidades valorizam a capacidade que eles apresentam para colorir espaços com as cores indicadas pelos números?»

«Porque isso, está a ver, revela um pensamento lógico claro. E evidentemente se um estudante tenciona frequentar um curso de ciências visuais, como moda ou decoração de interiores, então é realmente boa ideia ter já despachado as cadeiras de pintura na escola secundária.»

«Estou a ver… E quando é que os estudantes pintam livremente, numa tela em branco?»

«Até parece um dos meus professores! Estavam sempre a falar em exprimirmos a nossa personalidade e os nossos sentimentos e coisas do género — coisas abstractas bastante vanguardistas. Eu próprio tenho uma licenciatura em Pintura, mas nunca trabalhei muito com telas em branco. Uso apenas os kits de Pintura-por-Números fornecidos pela escola.»

***

Lamentavelmente, o nosso actual sistema de educação matemática é exactamente um pesadelo deste tipo. De facto, se eu tivesse que conceber um mecanismo com o objectivo declarado de destruir a curiosidade natural das crianças e o seu gosto pela construção de padrões, provavelmente não conseguiria fazer melhor do que o que hoje se faz – não teria simplesmente imaginação para inventar o tipo de ideias disparatadas e estupidificantes que constituem a educação matemática contemporânea.

Toda a gente reconhece que qualquer coisa está errada. Os políticos dizem, «precisamos de critérios de maior exigência». As escolas dizem, «precisamos de mais dinheiro e equipamento». Os educadores dizem uma coisa, e os professores dizem outra. Estão todos errados. Os únicos que compreendem o que se passa são precisamente os que são mais acusados e menos ouvidos: os alunos. Os que dizem: «as aulas de matemática são estúpidas e chatas,» e têm razão.

MATEMÁTICA E CULTURA

A primeira coisa que temos de compreender é que a matemática é uma arte. A diferença entre a matemática e as outras artes, como a música e a pintura, é que a nossa cultura não a reconhece como tal. Toda a gente compreende que os poetas, os pintores e os músicos criam obras de arte, e se exprimem através de palavras, imagens e sons. De facto, a nossa sociedade é particularmente generosa quando se trata de expressões criativas: arquitectos, chefes de cozinha, e mesmo realizadores de televisão são considerados artistas no seu trabalho. Porque não então os matemáticos?

Parte do problema é que ninguém tem a menor ideia do que fazem os matemáticos. A percepção mais vulgar parece ser a de que os matemáticos estão de certo modo associados à ciência — talvez ajudem os cientistas com as suas fórmulas, ou introduzam números importantes nos computadores por uma ou outra razão. Não há dúvida de que se o mundo tivesse de ser dividido entre «sonhadores poéticos» e «pensadores racionais» a maior parte das pessoas colocaria os matemáticos na segunda categoria.

No entanto, nada tem tanto a ver com o sonho, a poesia, não há nada tão radical, subversivo e psicadélico como a matemática. É tão apaixonante sob todos os aspectos como a cosmologia e a física (os matemáticos chegaram à noção de «buracos negros» antes de os astrónomos os terem descoberto) e permite uma maior liberdade de expressão do que a poesia, a arte ou a música (que dependem fortemente das propriedades do universo físico). A Matemática é a mais pura das artes, assim como a mais incompreendida.

Seja-me pois permitido explicar o que é a matemática, e o que fazem os matemáticos. Não há melhor maneira de começar do que com a excelente descrição de G. H. Hardy:

Um matemático, tal como um pintor ou um poeta, é um criador de padrões. Se os seus padrões são mais duradouros do que os deles, é porque são feitos de ideias.

Quer dizer que os matemáticos se entretêm a criar padrões de ideias. Que espécie de padrões? Que espécie de ideias? Ideias sobre o rinoceronte? Não, deixamos isso aos biólogos. Ideias sobre linguagem e cultura? Não, normalmente não. Essas são coisas complicadas de mais para o gosto da maior parte dos matemáticos. Se há qualquer coisa de parecido com um princípio estético unificador na matemática, então será este: o que é simples é belo. Os matemáticos gostam de pensar sobre as coisas mais simples que há, e as coisas mais simples que há são imaginárias.

Por exemplo, se estou numa de pensar em formas — o que acontece frequentemente — posso imaginar um triângulo dentro de uma caixa rectangular:

Faço conjecturas quanto à porção da caixa que o triângulo ocupa. Dois terços, talvez? O que interessa é compreender que não estou a falar deste desenho de um triângulo dentro de uma caixa. Nem estou a falar de um triângulo de metal que faz parte de um sistema de vigas de uma ponte. Não existe aqui nenhuma finalidade prática. Estou apenas a divertir-me. A matemática é isso — conjecturar, divagar, distrair-se com a sua imaginação. Quanto mais não seja, porque a questão de saber que espaço da caixa é ocupado pelo triângulo nem sequer faz sentido em relação a objectos reais, materiais. Mesmo o triângulo material feito com todo o cuidado continua a ser um conjunto complexo de átomos irrequietos; muda de tamanho a cada minuto. A não ser que queiramos falar de algum tipo de dimensões aproximadas. É aqui que intervém a estética. Não é nada simples, e consequentemente é uma questão incómoda que depende de todo o tipo de pormenores do mundo real. Deixamos isso para os cientistas. A questão matemática é sobre um triângulo imaginário dentro de uma caixa imaginária. Os lados do triângulo e do rectângulo são perfeitos porque quero que o sejam — é o tipo de objectos que prefiro para pensar. Esta é uma característica fundamental da matemática: as coisas são aquilo que queremos que sejam. Temos infinitas escolhas; não temos a realidade a atrapalhar-nos.

Por outro lado, feitas as escolhas (por exemplo, posso escolher se o triângulo é simétrico, ou não), as nossas criações seguem o seu caminho, quer nos agrade ou não. É isso que há de espantoso na construção de padrões imaginários: eles respondem-nos! O triângulo ocupa uma certa porção da caixa, e não tenho nenhum poder para decidir que porção é essa. Há ali um número qualquer, talvez seja dois terços, talvez não seja, mas não sou eu a dizê-lo. Tenho de descobrir qual é.

Assim, pômo-nos a divagar e a imaginar o que quer que seja, a fazer padrões e a colocar questões acerca deles. Mas como respondemos a essas questões? De modo nenhum como na ciência. Não posso fazer experiências com tubos de ensaio e com equipamentos ou seja lá o que for que me possam dizer a verdade sobre uma criação da minha imaginação. O único processo para atingir a verdade sobre as coisas que imaginamos é usando a imaginação, e isso é difícil.

No caso do triângulo na caixa, o que vejo é qualquer coisa de simples e bonito:

Se corto o rectângulo em duas peças como na figura, vejo que cada peça é dividida diagonalmente ao meio pelos lados do triângulo. Portanto há tanto espaço dentro como fora do triângulo. Isto significa que o triângulo deve ocupar exactamente metade da caixa!

É esse o aspecto e a sensação que uma peça de matemática oferece. Esta pequena narrativa é um exemplo da arte do matemático: formular perguntas simples e elegantes acerca das criações da nossa imaginação, e elaborar explicações satisfatórias e harmoniosas. Não há realmente nada de comparável a este mundo das ideias puras; é fascinante, é divertido e é de graça!

Mas de onde terá surgido esta minha ideia? Como sabia eu traçar aquele segmento? Como é que um pintor sabe onde tocar com o pincel? Inspiração, experiência, tentativa e erro, pura sorte. É aí que está a sua arte, criar estes pequenos poemas de pensamento, estes sonetos de pura razão. Há qualquer coisa de maravilhosamente transformacional nesta forma de arte. A relação entre o triângulo e o rectângulo era um mistério, e de um momento para o outro aquele pequeno segmento tornou-a óbvia. Não era capaz de ver, e de repente passei a ser. De certo modo, consegui criar beleza pura e profunda a partir do nada, e transformar-me também a mim nesse processo. A arte não é isto mesmo?

É por isso que é tão desolador ver o que está a ser feito à matemática na escola. Esta rica e fascinante aventura da imaginação foi reduzida a uma conjunto estéril de «factos» a memorizar e de procedimentos a seguir. Em lugar de uma pergunta simples e natural sobre formas, e um processo criativo e gratificante de invenção e descoberta, o que servem aos alunos é isto:

«A área de um triângulo é igual ao produto de metade da sua base pela sua altura». Aos alunos é pedido que memorizem esta fórmula e que a «apliquem» repetidamente em «exercícios». Perdeu-se a emoção, a alegria, e mesmo a frustração e o sofrimento do acto criativo. Já nem sequer é proposto um problema. A pergunta foi feita e respondida ao mesmo tempo — não ficou nada para o aluno fazer.

Mas permitam-me deixar claro a que é que me oponho. Não é às fórmulas, nem à memorização de factos interessantes. Isso é aceitável em contexto, e tem o seu lugar tal

Fórmula da área do triângulo

A = 1/2 bh

como a aprendizagem de um vocabulário — ajuda-nos a criar obras de arte mais ricas e elaboradas. Mas o mais importante não é o facto de os triângulos ocuparem metade das suas caixas. O importante é a bela ideia de o seccionar com um segmento, e como isso pode inspirar outras belas ideias e avanços criativos em outros problemas — o que a mera afirmação de um facto nunca nos pode dar.

Quando retiramos o processo criativo e deixamos apenas o resultado desse processo, estamos possivelmente a garantir que ninguém se vai empenhar a sério na questão. É como dizer que Miguel Ângelo criou uma bela escultura, sem me deixarem vê-la. Como pode tal coisa servir-me de inspiração? (E obviamente é ainda pior — pelo menos dá-se a entender que existe uma arte da escultura que não me é permitido admirar).

Se nos concentramos no quê e deixamos de fora o porquê, a matemática reduz-se a uma concha vazia. A arte não está na «verdade» mas na explicação, na argumentação. É a argumentação em si própria que fornece à verdade o seu contexto e determina o que realmente é dito e o seu significado. Matemática é a arte da explicação. Se negamos aos alunos a oportunidade de se ocuparem nesta actividade — propôr os seus próprios problemas, fazer conjecturas e descobertas, cometerem erros, enfrentarem as suas frustrações de modo criativo, terem uma inspiração, engendrarem as suas próprias explicações e demonstrações — estamos a negar-lhes a própria matemática. Por isso, não estou a lamentar a presença de factos e de fórmulas no nosso ensino, estou sim a lamentar a falta de matemática no nosso ensino de matemática.

Se o professor de arte nos dissesse que pintar consiste em preencher espaços numerados, percebíamos logo que havia ali qualquer coisa de errado. Temos a informação da cultura — existem museus de arte e galerias, bem como arte na nossa própria casa. A pintura é bem compreendida pela sociedade como sendo um meio de expressão do homem. Analogamente, se a professora de ciências nos tentasse convencer que a astronomia consiste em prever o futuro de uma pessoa com base na sua data de nascimento, saberíamos que estava doida — a ciência entrou de tal modo na cultura que quase toda a gente tem conhecimentos sobre átomos, galáxias e leis da natureza. Mas se o professor de matemática, explícita ou tacitamente, nos transmitir a noção que a matemática consiste em fórmulas e definições e em memorizar algoritmos, quem nos esclarecerá?

O problema cultural é um monstro que se reproduz a si próprio: os alunos aprendem o que é a matemática com os professores, e os professores aprenderam-no com os seus próprios professores, e assim esta falta de compreensão e de apreço pela matemática reproduz-se indefinidamente. Pior do que isso, a perpetuação desta «pseudo-matemática», esta ênfase na manipulação exacta mas sem sentido de símbolos, cria a sua própria cultura e o seu próprio sistema de valores. Aqueles que se tornaram hábeis nessa manipulação colhem uma boa dose de auto-estima com o seu sucesso. A última coisa que desejam ouvir é que a matemática na verdade tem a ver com a pura criatividade e a sensibilidade estética. Muitos estudantes licenciados ficam chocados ao descobrirem, depois de passarem uma década a ouvir dizer que eram «bons em matemática», que de facto não têm qualquer talento matemático e que são apenas muito bons a seguir procedimentos. A matemática não consiste em seguir procedimentos, consiste em criar novos procedimentos.

E nem sequer mencionei a falta de crítica matemática na escola. Em nenhuma altura é concedido aos alunos acesso ao segredo de que a matemática, como toda a literatura, é criada por seres humanos para o seu próprio prazer; de que as obras de matemática são objecto de avaliação crítica; de que podemos ter e desenvolver o gosto matemático. Uma obra de matemática é como um poema, e podemos perguntar se satisfaz os nossos critérios estéticos: Será sólida esta argumentação? Faz sentido? É simples e elegante? Ajuda-nos a aproximarmo-nos da raiz do problema? Naturalmente, na escola a crítica não existe — não há nenhuma obra de arte para criticar!

Por que razão não queremos que os nossos alunos aprendam a fazer matemática? Será porque não acreditamos neles, porque achamos que é demasiado difícil? Se parecemos achá-los capazes de apresentar argumentos e de chegar às suas próprias conclusões acerca de Napoleão, porque não acerca de triângulos? Penso que isso se deve simplesmente ao facto de que nós como cultura não sabemos o que é a matemática. A ideia que nos transmitem é que se trata de qualquer coisa muito fria e altamente técnica, que ninguém poderia alguma vez compreender — uma profecia auto-realizada, se alguma vez houve alguma.

Seria já suficientemente mau se na cultura reinasse a ignorância matemática, mas de facto o pior é que as pessoas julgam saber realmente do que trata a matemática — e são dominadas pelo manifesto mal-entendido de que a matemática é, de certo modo, útil para a sociedade! Esta é desde logo uma enorme diferença entre a matemática e as outras artes. A matemática é vista pela cultura como uma espécie de ferramenta para a ciência e para a tecnologia. Toda a gente sabe que a poesia e a música servem o puro prazer e a elevação e enobrecimento do espírito humano (e daí a sua virtual eliminação do currículo da escola pública), mas que, pelo contrário, a matemática é importante.

Simplicio [2]: Será que tentais afirmar que a matemática não é útil nem tem aplicações práticas na sociedade?

Salviati: Claro que não. Estou apenas a sugerir que o facto de alguma coisa ter consequências práticas não significa que seja esse o seu objecto. A música pode conduzir exércitos na guerra, mas não é essa a razão que leva alguém a escrever sinfonias. Miguel Ângelo decorou um tecto, nas estou convencido que tinha ideias mais sublimes na sua mente.

Simplicio: Mas não precisamos que as pessoas aprendam essas aplicações úteis da matemática? Não precisamos, por exemplo, de contabilistas e de carpinteiros?

Salviati: Quantas pessoas usam realmente alguma desta «matemática prática» que se diz terem aprendido na escola? Julgais que andam por aí carpinteiros a usar a trigonometria? Quantos adultos se lembram de como se dividem fracções ou se resolve uma equação do 2º grau? É evidente que os actuais programas de ensino prático não estão a resultar, e há boas razões para tal: são incrivelmente maçadores e de qualquer modo ninguém os utiliza. Porque razão então os consideram tão importantes? Não percebo de que serve à sociedade ter os seus membros a andar por aí com vagas lembranças de fórmulas algébricas e de diagramas geométricos e com uma recordação viva do ódio que lhes tinham. No entanto, teria tido alguma utilidade mostrar-lhes qualquer coisa de belo e dar-lhes a oportunidade de sentirem o prazer de serem pensadores criativos, flexíveis, e com espírito aberto — aquilo que uma verdadeira educação matemática poderia oferecer.

Simplicio: Mas as pessoas devem ser capazes de fazer contas ao seu dinheiro, não é verdade?

Salviati: Estou convencido de que a maior parte das pessoas usam a calculadora para a sua aritmética corrente. E porque não? É muito mais fácil e mais fiável. Mas o que eu pretendo mostrar não é simplesmente que o actual sistema é tremendamente mau, mas antes que aquilo que lhe falta é maravilhosamente bom! A matemática devia ser ensinada como arte pela arte. Os aspectos «utilitários» deviam surgir naturalmente como produtos colaterais. Beethoven não teria qualquer dificuldade em escrever um jingle publicitário, mas a sua motivação para aprender música era a criação de beleza.

Simplicio: Mas nem toda a gente se destina a ser artista. Que fazer com os jovens que «não tem queda para a matemática» ? Como entram no vosso esquema?

Salviati: Se todos experimentassem a matemática no seu estado natural, com todo o prazer do desafio e das surpresas que isso comporta, penso que veríamos uma mudança radical na atitude dos alunos em relação à matemática, e na nossa concepção do que significa ser «bom em matemática.» Estamos a perder muitos matemáticos potencialmente bem dotados — pessoas criativas e inteligentes que com razão rejeitam o que lhes aparece como uma matéria estéril e sem sentido. São simplesmente demasiado inteligentes para perderem tempo com essas tretas.

Simplicio: Mas não achais que se a aula de matemática passasse a ser mais como uma aula de arte muitos alunos não aprenderiam realmente nada?

Salviati: Tal como agora não estão a aprender nada! Era melhor não haver sequer aulas de matemática do que fazer o que se está a fazer. Pelo menos alguns deles poderiam descobrir por si próprios algo de belo.

Simplicio: Isso quer dizer que eliminaria a matemática do currículo escolar?

Salviati: A matemática já foi eliminada! A única dúvida é como preencher o vazio oco e insípido que ainda resta. Obviamente preferia substituí-lo por uma experiência activa e agradável com ideias matemáticas.

Simplicio: Mas quantos professores de matemática sabem o suficiente para a ensinarem desse modo?

Salviati: Muito poucos. E isso não passa da ponta do iceberg…

Notas

(1) Tradução de A Mathematician’s Lament de Eduardo Veloso (revista por José Ferreira de Lima). O tradutor escreve de acordo com a antiga grafi a.

(2) (Nota do tradutor) Diálogos imaginários entre os dois personagens Simplitio e Salviati são incluídos ao longo do texto por Lockhart. Recorde-se que estes dois personagens foram utilizados por Galileu na sua obra Diálogo sobre os Dois Principais Sistemas do Mundo, em que punha em discussão o sistema geocêntrico e o sistema heliocêntrico.

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Leia mais em Os Objetivos da Educação Matemática, por George Pólya

Leia mais em Apologia da Matemática, de GH Hardy

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Educação Clássica na Idade Média

 

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Recensão do livro Trivium e Quadrivium: As Artes Liberais na Idade Média. Mongelli, Lênia Márcia (coord.). Cotia: Ibis, 1999., feito por Manoel Vasconcellos, publicado na revista VERITAS, Porto Alegre n. 45, n. 3, Setembro 2000 . p. 495-499. Disponível no LINK.

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Durante a Idade Média a educação estava, fundamentalmente, centrada no estudo das Artes Liberais, divididas em duas bases: o Trivium e o Quadrivium. O Trivium constituía-se na formação voltada para a construção dos argumentos e da conversação; dele faziam parte a Gramática, a Dialética e a Retórica. São as artes sermocinales e foram assim definidas por Hugo de Saint-Victor: "A gramática é o conhecimento de como falar sem cometer erro; a dialética é a discussão perspicaz e solidamente argumentada por meio da qual o verdadeiro se separa do falso; e a retórica é a disciplina da persuasão para toda e qualquer coisa apropriada e conveniente". O Quadrivium, por sua vez, era composto pelas artes reales: a Aritmética, a Geometria, a Música e a Astronomia. Em grande parte do período medieval, o Trivium e o Quadrivium foram os pré-requisitos para o estudo da Teologia, mas sua importância cresceu à medida que os conteúdos das diversas artes liberais foram se expandindo, levando os estudiosos ao alargamento dos campos de pesquisa.

A obra Trivium e Quadrivium: As Artes Liberais na Idade Média, lançada pela editora IBIS, busca mostrar ao leitor contemporâneo, mesmo àquele não especializado, em que consistiu o projeto educacional da Idade Média. O estudo da educação medieval, tendo por base as Artes Liberais é, sem dúvida, uma iniciativa bastante pertinente, uma vez que estas constituem a "base mais coesa para qualquer reflexão sobre o assunto". Em verdade, elas foram sistematizadas por volta do século V e continuaram sendo objeto de interesse por parte dos estudiosos, mesmo depois do advento das universidades. Com este intuito, foi convidado um especialista de cada área, que deveria produzir um artigo de forma critico-descritiva, referente a cada uma das artes liberais. A coordenação do trabalho coube à professora Lênia Maria Mongelli. Como um projeto de tal monta necessariamente enfrentaria dificuldades em manter a uniformidade; coube à introdução geral da obra, elaborada pela professora Tereza Aline Pereira de Queiroz, o papel de preencher as lacunas de informação que, eventualmente, tenham faltado nas sete grandes partes do livro, cada uma delas dedicada a uma das artes.

A obra pretende abordar urna série de temas referentes ao sistema de ensino medieval, tais como: a função e estrutura da escola, quem eram os mestres e os discípulos, de que modo se processou a educação ao longo deste vasto período, as características do saber e sua transmissão no âmbito monástico e clerical, a influência da antigüidade greco-romana (reconhecida e tratada com apreço pelos autores). Há também uma "questão decisiva": Como conciliar a complexidade das eventuais respostas aqui entrevistas com a imagem de 'trevas' atribuída à Idade Média? Estes e outros temas perpassam toda a obra, e as diversas respostas estão pinceladas nos vários artigos, todos eles elaborados com propriedade, preocupação histórica e rigor científico.

É interessante notar que cada um dos autores procedeu a um riquíssimo levantamento histórico, situando o objeto de sua pesquisa não apenas no âmbito do período medieval (o que, por si só, já seria um trabalho de fôlego), mas também retrocedendo à antigüidade, à Grécia e à Roma antigas, a fim de possibilitar ao leitor uma melhor compreensão da recepção obtida por aquela disciplina na Alta Idade Média e seus desdobramentos posteriores. Seria, igualmente, grave omissão deixar de ressaltar a preciosa relação bibliográfica indicada pelos diversos comentadores, ao final de suas exposições. De fato, a bibliografia indicada, além de revelar as qualificadas fontes dos pesquisadores, possibilita ao leitor interessado o aprofundamento da reflexão.

Como já foi dito, a exposição das diversas disciplinas que constituem o Trivium e o Quadrivium é precedida por uma introdução, intitulada "Aprender a Saber na Idade Média", onde a autora, a professora Tereza Aline Pereira de Queiroz mostra que entre os séculos V e XV há uma defasagem entre o mundo concreto e o saber curricular. Nota-se mesmo que "uma fração reduzida das sobrevivências medievais que nos impressionam hoje em dia dependeram de uma escolaridade formal". Feita esta constatação, a autora passa a discorrer sobre os grandes marcos da história medieval da aprendizagem, iniciando pelo período da desintegração do império romano, onde a intelectualidade cristã buscava na tradição cultural clássica um suporte para o cristianismo, o que não impediu a originalidade do pensamento dos Padres da Igreja, que procuravam "dar substância filosófica, moral e institucional aos ensinamentos de um mestre espiritual". Aborda também as origens do monaquismo com seus sistemas de formação, nada teórico no Oriente, enquanto, no Ocidente, era sustentado pela tríade rezar, trabalhar e estudar, a partir da proposta de São Bento.

Preparando o que vai ser explicado detalhadamente, ao longo da obra, a introdução mostra os diversos nomes que contribuíram para a difusão e aperfeiçoamento das artes liberais na Idade Média: Cassiodoro, Boécio, Isidoro de Sevilha, Beda, entre outros, ressaltando, contudo, que "a institucionalização, ao menos teórica, do Trivium e do Quadrivium como suportes metodológicos e de conteúdo da educação masculina - em princípio meninas não estudavam - talvez possa ser localizada nos tempos carolíngios", graças ao papel importante exercido por Alcuíno", nome que, diga-se de passagem, é ressaltado por todos os demais autores.

A partir do século XI, bem mostra a Professora Tereza Queiroz, com o fortalecimento da vida urbana, a cultura formal desloca-se das grandes abadias para as cidades, onde as escolas episcopais assumem uma importância maior, e de onde surgirão as universidades, entendidas como "uma corporação, uma guilda, uma reunião de pessoas com interesses comuns", cujos estudos seguiam o sistema do Trivium e do Quadrivium. A partir daí, a autora, com propriedade e riqueza de detalhes, discorre sobre o que era estudado e de que forma era estudado nos séculos seguintes, para concluir que "os saberes do trivium e do quadrivium, além de serem ministrados a uma parcela mínima da população, a que freqüentava escolas e universidades, só deixou marcas indiretas na cultura medieval", pois os conhecimentos que dirigiam o dia-a-dia estavam distantes da educação formal, o que não impede, contudo, a percepção de sua importância.

A análise do Trivium começa com o comentário do Prof. Evanildo Bechara sobre aquela arte que sempre foi elencada em primeiro lugar, a Gramática. O autor destaca algumas obras que foram largamente utilizadas, como instrumento de ensino, tais como o Ars Poetica de Horácio, o Barbarismus, a Ars Minor e a Ars Maior de Donato, bem como a célebre Institutio de Arte Grammatica de Prisciano. O prof. Bechara mostra o trabalho gramatical na Idade Média em dois momentos significativos: o primeiro (séculos VIII a XII), é marcado pela forte influência das obras de Donato e Prisciano, seguindo a "teoria, a metodologia e a pedagogia transmitidas pela tradição romana", embora já apresentando algumas alterações devido às influências da orientação teológica e da exegese espiritual, pois as obras romanas faziam referências a autores pagãos, provocando um certo choque com a mensagem cristã. Também a sintaxe e o léxico não eram os mesmos do latim bíblico da Vulgata. O ensino da Gramática, contudo, foi sempre importante. Antes de passar para o segundo momento, Bechara destaca o trabalho dos "enciclopedistas", que marcam a ligação entre o período clássico e o medieval. Mas, a partir do século XII, como mostra o autor, a Gramática terá um novo sentido, passando a ser considerada como uma questão em si mesma. Tal mudança de perspectiva coincide, não por acaso, com a substituição do pensamento platônico pelo aristotélico, muito embora reconheça o autor a renovação metodológica e conceitual, sofrida pela Gramática, já estivesse prenunciada no De Grammatico de Santo Anselmo. No entanto, a tradução dos tratados aristotélicos fez com que a Lógica ocupasse um lugar de destaque, influindo na atividade gramatical fazendo com que esta assumisse um papel especulativo, suscitando novas questões.

O estudo da Retórica, elaborado pela Professora Lênia Márcia Mongelli começa com a análise etimológica, reveladora da ambigüidade do termo. Após, a autora mostra como, na Idade Média, a Retórica se encontrava intimamente ligada às demais artes liberais, particularmente à Gramática e à Dialética. Analisa também o papel da Retórica na Grécia antiga, onde se destaca sua vertente filosófica, e na Roma antiga, assume um papel mais prático, fazendo-se presente na sala de aula, da mesma forma que a Gramática. No período medieval, a Retórica, inserida no contexto religioso da época, "visará a fornecer doutrinação e argumentos para a salvação dos cristãos... A sabedoria funde-se à religião e os sacerdotes são os novos doutores das Artes, colocando o saber profano a serviço do esclarecimento dos mistérios bíblicos".

O comentário sobre a Dialética coube à professora Celina Lértora Mendoza, que inicia mostrando a identificação entre Dialética e Lógica no âmbito medieval, uma vez que a Dialética é entendida como "o estudo das formas de pensamento e de argumentação", denominação que foi transmitida aos medievais por Boécio e Martianus Cappela. A autora fala da relação da Dialética com as demais disciplinas do Trivium, a fim de melhor analisar sua função na educação medieval, mostrando que "ao homem medieval a Lógica interessou como uma arte do pensar correto, como um conjunto de regras e de modos de operar que permitiram fazer afirmações com certeza, sobretudo aquele tipo de afirmações que mais lhe interessavam, as relativas a seus principais problemas". A autora detém-se, igualmente, sobre os diferentes períodos, traçando um panorama da Dialética medieval, abordando tanto o avanço dos temas, como as formas de produção e de comunicação. Conclui o artigo com algumas interessantes considerações sobre o valor; nem sempre reconhecido, da Lógica medieval. Apresenta também uma relação dos principais nomes com suas respectivas contribuições para o pensamento lógico daquele período.

A análise do Quadrivium abre-se com o artigo do Prof. César Polcino Milies sobre a Aritmética medieval. A fim de melhor compreendê-la, o autor remonta à antiga Roma, dada a forte relação existente entre a Aritmética medieval e a romana. Salienta que, comparada à grega, a Matemática praticada em Roma e na Idade Média não apresenta tantos "progressos", em parte devido ao fato de que a numeração romana, apesar de ter sido um instrumento adequado para o registro dos números (em que pese as dificuldades inerentes), mostrou-se limitada no que tange ao trabalho com as operações aritméticas. O autor comenta também a apresentação da Aritmética nos tratados de Boécio, Cassiodoro, Isidoro de Sevilha e Alcuíno. Explica que a Matemática foi vista pela Igreja como uma "boa preparação para os intrincados raciocínios teológicos", bem como um instrumento necessário, tendo em vista sua aplicação no calendário, a fim de bem marcar as datas das festas religiosas. Após mostrar os vínculos existentes entre Matemática e Astrologia e Matemática e Medicina, o Prof. César Milies apresenta inúmeros e interessantes exemplos a fim de possibilitar ao leitor uma melhor compreensão dos métodos operatórios utilizados na Idade Média. Conclui apresentando a "teoria dos números", especialmente em Boécio e sua De Institutio Arithmetica.

O comentário sobre a Geometria coube ao Prof. Eduardo Carreira que discorreu sobre os "Limites e Grandezas do Pensamento Geométrico na Idade Média", mostrando-nos que, mais do que os documentos, são os monumentos que evidenciam um "sugestivo conhecimento geométrico, que se conserva a despeito de tudo; e mais, desenvolve-se com criatividade", pois o estudo da Geometria medieval supõe a percepção da "natureza cultural mais dilatada" da Geometria, ou seja, suas relações com a vida cotidiana. O Prof. Carreira mostra como a obra de Agostinho sobre as Artes Liberais é paradigmática do modo como a Geometria é vista na Idade Média: O elogio formal, a incompletude e o silêncio sobre os conteúdos - são exatamente aquilo que impressiona na História da Geometria medieval. Tal situação não impede, porém, a manifestação da "dimensão empírica e mais antiga da Geometria", fazendo com que esta pudesse ser uma "expressão de idéias e arquétipos transcendentes". O autor finaliza sua reflexão, mostrando como a Europa medieval, após o milênio, a partir de processos pluridimensionais de intercâmbios, sofre grandes modificações que também se refletem na Geometria, fazendo com que, no século XIII, se perceba um "debate especializado e bem sustentado", que faz vislumbrar um tímido anúncio do Renascimento italiano.

O prof. Gerardo Huseby mostra um esboço do processo sofrido pela Música, desde o período grego, até o final da Idade Média, época em que a Música se aproxima um pouco mais da atual concepção que temos desta arte. Salienta o autor a ambigüidade da Música no pensamento cristão medieval, pois ela foi, ao mesmo tempo, meio de elevação espiritual e imagem da harmonia divina e instrumento demoníaco e fonte de corrupção. Estas duas concepções, presentes no De Musica agostiniano, perpassam a Idade Média. O autor percorre com profundidade a história da Música medieval, seu desenvolvimento teórico e prático, seu uso na liturgia, a evolução do sistema de notação musical, mostrando que por um lado a Música já não ocupará os elevados setiais metafísicos em que foi colocada pelo pensamento clássico grego e em que permaneceu durante séculos; por outro lado, passará a ser considerada em termos de suas técnicas compositivas, de sua beleza e do prazer que sua erudição provoca.

A última parte da obra refere-se ao comentário sobre a Astronomia medieval, onde o Prof. Amâncio Friaça, depois de prestar esclarecimentos sobre o uso dos termos Astronomia e Astrologia na Idade Média (quem primeiro fez a distinção foi Isidoro de Sevilha), discorre sobre a Cosmografia medieval, apresentando-a na perspectiva de diversos autores. Destaca também a presença de uma nova concepção da Astronomia a partir dos estudos efetivados sob o impulso do Império Carolíngio. Ressalta, igualmente, a inestimável contribuição que a Europa cristã recebeu da Astronomia islâmica, a partir do ano 1000, o que vai provocar um "redespertar da Astronomia observacional", tendo em vista a utilização de novos instrumentos. O autor mostra também as peripécias que envolveram, a começar no século XIII, a presença da totalidade da obra de Aristóteles no ocidente e suas conseqüências no campo da Astronomia. Aborda, igualmente, o conflito entre físicos e matemáticos e mostra também como a Optica, a partir de Grosseteste e Roger Bacon, se torna a ciência física básica. Conclui sua reflexão com uma análise do que chama "a cosmologia da luz", mostrando que, em contraste com a Física aristotélica, que concebia movimentos naturais muito distintos para corpos celestes e corpos terrestres e que separava a Física e a Astronomia em domínios estanques, os luminólogos eram Astrofísicos, pois acreditavam que as mesmas leis físicas se aplicavam a todo o universo.

Sem dúvida, a obra Trivium e Quadrivium: As Artes Liberais na Idade Média, neste momento em que, pouco a pouco, aprofundam-se no Brasil, os estudos sobre a Idade Média vêm mostrar-nos que o pensamento medieval soube cultivar de modo ímpar um desejo profundo de conhecer, sem temer os intercâmbios e as novidades, por mais que pudessem ser dificultosos. Fala-se muito, hoje, na necessidade de integração dos conhecimentos, na busca da interdisciplinaridade. Pois bem, como nos mostram os autores de Trivium e Quadrivium, a Idade Média, não obstante as vicissitudes enfrentadas, tem interessantes exemplos a nos oferecer.

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