Filosofia da Matemática em Aristóteles e S. Tomás - Introdução

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É com grande alegria que apresentamos uma tradução do Prólogo e da Introdução do livro La Filosofía de las Matemáticas en Santo Tomás, em traduzimos como A Filosofia da Matemática em Santo Tomás. Este livro foi escrito por José Alvarez Laso, C. M. F., Professor de Filosofia no Colégio Claretiano de Santa Cruz Zinacantepec. Foi publicado pelo Editorial Jus, México, 1952. Primeiramente quero agradecer a minha esposa pela tradução e revisão do texto em espanhol. As demais traduções são nossa. Futuramente teremos mais novidades deste livro. Aguardem!

PRÓLOGO 

Antes de entrar no assunto, convém citar aqui algumas advertências. E, primeiramente, para que ninguém ache que minha tese é um de tantos esforços para atribuir a Santo Tomás, sete séculos antes, o que agora dizemos, hei de explicar

A ocasião deste tema. Muitos matemáticos modernos e não poucos filósofos de todo tipo de escolas prestam grande atenção aos problemas filosóficos que a Matemática oferece, agrupados sob a denominação comum de Filosofia da Matemática.

Basta ler as últimas páginas da monografia de W. Dubislav, A filosofia da Matemática na Atualidade [Die Philosopie der Mathematik in der Gegenwart] (Berlín, 1932), para se convencer disso. 

Por outro lado, os escolásticos, esquecendo o exemplo dos grandes Mestres (veja a Conclusão), pouco ou nada fizeram neste campo estritamente metafísico. 

É, pois, este terreno como diz o P. Hoenen, Um campo de pesquisa para Escolástica (O Escolástico Moderno 12 [A field of research for Scholasticism (The Modern Schoolman 12)] [Nov. 1934] 15-18). 

Objeto desta pesquisa. Não é minha intenção propor uma filosofia da Matemática segundo a doutrina escolástica. Meu trabalho será mais modesto: colaborar com meu grãozinho de areia para este ideal preparando a história destes problemas na escolástica. 

Autor escolhido. E para sintetizar, na medida do possível, esta história, escolhi como autor central Santo Tomás de Aquino, que representa melhor que nenhum outro a doutrina escolástica. Ele reuniu toda a ciência anterior e dele derivam mais ou menos todos os Escolásticos posteriores. Por isso, creio que as 

Fontes principais deste trabalho devem ser os Comentários do Angélico aos livros do Estagirita [Aristóteles]. Assim, poderemos estudar paralelamente o pensamento do Filósofo e de seu melhor intérprete. Uma consequência prática é a maneira de citar ambas as referências o mais preciso possível. Somente os que quiseram consultar alguma vez o pensamento de Santo Tomás com os outros Comentadores antigos e modernos, verão a utilidade destas citações. 

Características do meu trabalho. Assim, pois, meu trabalho é primariamente histórico. Apresentar as soluções que Santo Tomás deu aos problemas que oferecia a matemática de seu século.

Em segundo lugar, meu trabalho deve ser crítico. Em dois sentidos: primeiro em relação aos problemas que o próprio Santo Tomás se propunha: estão plenamente resolvidos?; logo, em relação aos problemas de agora, as soluções tomistas podem ser aplicadas a eles? 

Método seguido. Eu segui o método histórico e documental, pesquisando o que de fato disse Santo Tomás. Método diametralmente oposto ao que segue D. García em seu artigo De metaphysica multitudinis ordinatione (Div. Thom. Plac. 31 [1928] 83-109; 607-638). [Sobre a metafísica da ordem do número].

Uso dos idiomas. O método documental exige a menor intervenção possível do pesquisador nos textos. Por isso, embora o texto da dissertação esteja na minha língua materna [espanhol], as citações estão sempre nos idiomas dos respectivos autores. 

É lamentável ter que dizer, mas é um fato, cito autores em nove línguas diferentes e nenhum em espanhol. 

Para maior comodidade, o índice de referências está em latim.

Divisão da tese. Fiz um esquema quase a priori sobre os problemas filosóficos que a Matemática oferece para ordenar, segundo ele, os materiais que estivesse recolhendo, mas logo tive a sorte de encontrar um belo texto de Santo Tomás que me deu uma magnífica divisão da matéria, segundo exponho no primeiro capítulo. 

A bibliografia que aparece nas páginas seguintes compreende, sistematicamente catalogados, todos e apenas os livros e artigos empregados para compor a dissertação. 

Fruto da minha pesquisa. Creio que o mérito principal do meu trabalho está em ter encontrado em Santo Tomás um esboço de Filosofia da Matemática, que é necessário desenhar e colorir com muito cuidado para poder apresentá-lo diante do público de nossos dias. 

Defeitos da minha dissertação. Certamente, terão muitos a serem delatados ao principiante. Mas, há três que eu mesmo vejo e que quero confessar aqui. 

Facilmente se nota que os últimos capítulos estão menos trabalhados, embora em parte se deva ao fato de que são menos filosóficos. 

Logo, teria que ler de novo todos os textos, para referendar mais a doutrina. Conheço mais textos dos que aparecem usados na dissertação como facilmente poderá constatar quem tivesse paciência para comparar o texto com o Apêndice. Talvez, em algum momento, teria que corrigir alguma frase ou polir alguma expressão, como tive que fazer em relação ao número. Na primeira redação, atribuía a Santo Tomás uma doutrina errônea sobre o objeto da aritmética, que depois tive a satisfação de constatar que era apenas de João de Santo Tomás e de outros que o copiavam (veja a nota 29 do cap. III). 

Por fim, em relação à matemática moderna, é vasta e tão variada a literatura, que não sei se terei escolhido sempre o que é típico e característico.

Devo manifestar minha sincera gratidão e reconhecimento ao R. P. Pedro Hoenen, S.J., sob cuja amável e sábia direção trabalhei. 

Devo recordar aqui a memória do falecido R. P. L. W. Keeler (que Deus o tenha), que tanto me ajudou na leitura dos Manuscritos. Que o bom Deus, para cuja maior glória trabalhávamos juntos na Biblioteca Vaticana, lhe tenha agraciado no céu por sua extrema bondade para comigo. 

México, D. F., 13 de abril de 1952, solenidade de Páscoa. 

INTRODUÇÃO 

A MATEMÁTICA EM SANTO TOMÁS 

Santo Tomás estudou a Aritmética e a Geometria com as demais disciplinas do Quadrivium na Universidade de Nápoles [1] nos anos de 1236 a 1239 [2].

Tão bem diligente sairia destas aulas, à medida que se abundam em suas obras filosóficas e teológicas as alusões à Matemática [3]. 

Não é minha intenção estudar esta introdução um ponto [4], que não tem nenhum interesse nem para a Matemática nem para a História [5]. 

Só quero registrar os dados necessários para demonstrar que Santo Tomás poderia refletir sobre a Matemática. 

Conhecia bem [6] Euclides [7]. Poucas vezes cita [8] a aritmética de Boécio [9]; mas todos sabem que os livros VII-IX de Euclides são pura aritmética. 

Sabido é também o lugar que ocupa a Matemática na classificação geral das ciências que faz Santo Tomás [10]. 

Quero encerrar esta breve nota com uma frase do grande historiador da Matemática M. Cantor, que demonstra o grande afeto e admiração que professava por Tomás de Aquino: “O matemático chama-os (Alberto Magno e Tomás de Aquino) com pesar de amigos da sua ciência” (Vorlesungen über Geschichte der Mathematik [Lições sobre a história da matemática], Leipzig, Teubner, 1892, vol. II, p. 86).

Notas:

[1] Veja os parágrafos em que os três primeiros biógrafos de Santo Tomás falam de seus estudos em Nápoles: 

“O pai enviou seu filho a Nápoles para que ele pudesse ser completamente educado em gramática, dialética e retórica. Pois quando ele logo deixou Martinho, seu tutor de gramática, ele foi entregue ao seu professor Pedro, o Ibérico, que, tendo-o instruído em ciências lógicas e naturais”. Calo P., Vita S. Thomae A., ed. Prümmer, p. 20. 

“Assim, seguindo o conselho dos pais, o menino foi enviado para Nápoles e aprendeu gramática e lógica com o Mestre Martinho, e ciências naturais com o Mestre Pedro da Ibéria.”. Tocco G., Historia B. Thomae de Aq., ed. Prümmer, p. 70. 

“Em pouco tempo, portanto, quando ele fez grande progresso em gramática, lógica e filosofia natural...”. Guidonis B., Legenda Sancti Thomae de Aq., ed. Prummer, p. 70. 

[2] El P. Prümmer (Chronología vitae S. Thomae Aq., en Xenia Thomistica) atribui o ano 1235 como o primeiro ano de sua estadia em Nápoles. P. Walz (Delineatio vitae S. Thomae de Aquino, Romae, Angelico, 1927, p. 16) coloca "anno 1236 vel 1239". 

[3] Veja o índice dos lugares em que Santo Tomás fala de Matemática, posto como Apêndice desta dissertação. 

[4] Do ponto de vista sistemático, H. Meyer estudou este ponto em vários artigos de Philosophisches Jahrbuch publicados à parte depois. Sobre a Matemática, trata o volume 47 (1934) nas páginas 441-464. 

[5] Talvez, o nome de Santo Tomás deva figurar na história da Matemática outro conceito. Veja, de fato, o que diz Timerding (Die Verbreitung mathematisches Wissens und mathematischer Auffassung, Leipzig, Teubner, 1914 [A disseminação do conhecimento matemático e da compreensão matemática]):

“Além da já mencionada tradução de Euclides por Campanus, devem ser mencionadas as traduções que, segundo consta, foram feitas por Guilherme de Mörbecke da Catóptrica de Heron e dos escritos arquimedianos a pedido de Tomás de Aquino (1274)”. Zeuthen (Die Mathematik in Altertum und im Mittelalter, Leipzig, Teubner, 1912 [A Matemática na Antiguidade e na Idade Média]), atribui este mérito a Witelo. Veja Cantor, Vorlesunger über Geschichte der Mathematik, Leipzig, Teubner, 1892, Vol. II, p. 89.

[6] Veja, por exemplo, estes textos:

Explica o nome Elemento	III Met. 1.8, n. 424.
“                “             “	V Met. 1.4, n. 801.
Cita o livro I de Euclides	III De An. 1.1, n. 577.
III	II De cae 1.26. n. 6.
IV	De mem 1.7, n. 392
X	I An. Pos. 1.4, n. 13

[7] Segundo Montucla (Histoire des Mathématiques, Paris, 1758, I, p. 213), só no século XIII começaram os latinos a conhecer Euclides no mesmo texto.

[8] Veja, por exemplo: 

                    De pot. q. 3, a. 16 sed contra 4. 

                    I Sent. d. 24; q. 1 ob. 2. 

                    De Trin. q. 1. a. 4 ad 2. 

                            q. 4 á. 1 arg. 1. 

[9] Veja o juízo que faz Montucla (vol. I, p. 492), das obras matemáticas de Boécio: 

“Sua aritmética e geometria são, estritamente falando, apenas traduções livres do primeiro (Nicômaco) e do último (Euclides), onde ele preservou para nós muitas características interessantes da história dessas ciências”.

[10] Veja, por exemplo, no recente livro de H. Meyer, Thomas von Aquino, Bonn, 1938, p. 399-407. 

***

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A Matemática leva a Deus: Euclides, Hilbert e o futuro da Matemática

Criação do Cosmos - Cristo criando
o cosmos Gênesis 1 No princípio

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Texto original retirado da Nueva Revista nº 72, 2000, págs. 106-111 e disponível no LINK e publicado originalmente AQUI.

Título original: Las matemáticas llevan a Dios - Euclides, Hilbert... y el futuro de las Matemáticas, por Isidoro Rasines [*]

Tradução e grifos nossos.

Resumo

A experiência milenar dos matemáticos ensina que as relações abstratas que podemos descobrir não são criação da mente humana; e que a informação de que dispõe a Matemática em um momento determinado existiu antes e seguirá existindo sempre. Isidoro Rasines, com uma longa e fecunda tarefa como investigador da CSIC, sugere, entre outras coisas, que a Matemática atual remete à Mente divina. Este artigo foi publicado por NUEVA REVISTA.

*

A União Matemática Internacional (UMI) concordava, há uns dez anos, celebrar a chegada do século XXI ao estilo de David Hilbert no Congresso Internacional de Paris, em 1900, quando propôs una coleção de 23 problemas para resolver ao longo do século XX. Em 6 de maio de 1992, em sua declaração de Rio de Janeiro, a UMI proclamava no ano 2000 como Ano Matemático Mundial, e se propunha: 

1) determinar os grandes problemas que tem surgido na Matemática ao começar o século XXI; 

2) conseguir para a maioria dos países membros da UNESCO um nível nesta ciência que lhes permita ingressar na UMI;

3) melhorar mais ainda a imagem da Matemática. 

Comentarei as conquistas da comunidade científica em cada um destes isolados.

Apontando o primeiro destes objetivos, a UMI nomeou um comité com a função de definir os desafios do próximo século; e desde que começou o ano 2000, foi se sucedendo as reuniões científicas relacionadas com a questão, especialmente a celebrada durante o mês de agosto nos EUA sobre desafios matemáticos do século XXI. O segundo dos objetivos, que tem ajudado muitas sociedades matemáticas nacionais com atividades e projetos diversos, responde à convicção de que na Matemática reside uma das chaves principais do desenvolvimento.

Em vez de abordar temas próprios de especialistas como o balanço das conquistas do século XX ou um esboço dos desafios do futuro, importa focar aqui uma das questões de interesse mais geral que os matemáticos resolveram ao longo do século XX: quais são os limites próprios da ciência que cultivam, que questões fundamentais mostram estes limites, e como afetam os mesmos limites às expectativas de futuro.

Em 1900, pensava-se que qualquer problema matemático tinha solução, e que esta sempre poderia ser encontrada; que os sistemas formais como a Geometria ou a Teoria de Números se apoiam solidamente em um base firme de axiomas inabaláveis e de definições precisas, que conectam por sua vez com os teoremas, mediante uma corrente muito sólida de argumentos lógicos. E se concluía que, em Matemática, toda verdade poderia ser provada, que seria possível demonstrar a verdade ou a falsidade de qualquer enunciado matemático.

Um pouco depois, em 1928, Hilbert e Ackerman mostravam o Entscheidungsproblem, o problema da decisão, ao se perguntar se encontraremos no futuro um método que permita decidir sobre qualquer problema matemático, quer dizer, resolvê-lo combinando axiomas e teoremas. Inicialmente, Hilbert compartilhava o otimismo habitual e respondia de modo positivo à questão, mas em 1931, Gödel provava que nunca teremos um programa capaz de resolver qualquer problema; que em um sistema formal como a Aritmética ou a Geometria, uma declaração pode ser formulada que não se pode provar, nem não provar, demonstrar ou nem recusar, sobre os quais, portanto, não cabe decidir; e que isto é algo inerente ao próprio sistema. Além disso, entre as questões sobre as quais não é possível decidir, está a consistência mesma dos axiomas, porque não é possível demostrar que os próprios axiomas não levam a uma catástrofe lógica... e até poderia acontecer que impliquem tanto a verdade como a falsidade do mesmo enunciado. O castelo de pedras de 1900 se converte, da noite para a manhã, em castelo de cartas.

Ao ler o trabalho de Godel, Hilbert ficou em grande desgosto. Como era excelente matemático, reconheceu prontamente que não havia nada que objetar à demostração do teorema da indecisibilidade, e acabou criticando vivamente a ideia de Kant sobre a Matemática como um conhecimento a priori. Na verdade, de acordo os pressupostos epistemológicos kantianos, o mundo que conheço resulta de meus modos de pensar; meu conhecimento não provem a partir da realidade, senão que é precisamente a realidade a que provem de meu conhecimento; e só posso conhecer, portanto, o que minha mente concebe a priori. 

Os pressupostos kantianos prevaleceriam se existisse um método universal de decisão. Com efeito, como as questões aritméticas devem estar contidas ou fundamentadas em alguma inteligência, no caso de que o homem fosse capaz de decidir, apenas calculando, se as séries de números naturais, antes mencionadas, são ou não são infinitas, se poderia dizer que toda a verdade aritmética está contida na mente humana. Mas a demostração do teorema de Gödel implica que o saber matemático é e sempre será intrinsecamente incompleto. Isto afeta a origem mesmo das verdades matemáticas: o acesso do homem a essas verdades é fundamentalmente incompleta; ou, dito de outro modo, as verdades matemáticas não tem sua origem na mente humana, não podem se considerar nem ainda, em princípio, contidas em nossas formas de pensar.

A Matemática chegou a demonstrar no século XX que, da mesma forma que o sistema solar não é obra do homem, a sabedoria matemática deve estar contida em um princípio inteligente diferente do homem. O conjunto dos números naturais e suas propriedades são parte de um universo real que tem existência própria. A experiência milenar dos matemáticos ensina que as relações abstratas que podemos descobrir não são criação da mente humana; e que a informação de que dispõe a Matemática em um momento determinado existiu antes e seguirá existindo sempre.

Surgem então questões como quem ou que princípio ativo apoia em último termo essa informação; em que mente está fundamentada toda a Matemática; senão, será que esta ciência resida na mente do que as pessoas entendem por Deus. Porque as pessoas, na verdade, chegam à ideia de Deus diante de um fenômeno, algo que acontece, mas que não conseguem entender nem explicar bem nem controlar. Como disse Feynman, Deus está sempre associado às coisas que não se entende. Agora sabemos, graças ao conhecimento científico, que sempre haverá algo — toda a Matemática — que não conheceremos nunca. Em outras palavras, concluímos cientificamente que sempre haverá coisas que não compreenderemos. É, portanto, razoável contar com Deus.

O Deus ao que chegamos assim é a inteligência onisciente, que possui imediatamente todo o conhecimento matemático possível; o ser que não necessita investigar para encontrar a relação entre um problema e sua solução; o ser infinitamente criativo cuja mente não há diferença entre pergunta e resposta. Dado o caráter incompleto de nosso saber, ou a verdade matemática é possuída totalmente de forma imediata, ou não se possuirá jamais. E se nunca a possuirmos completamente, sempre necessitaremos da mente de Deus.

A indecisibilidade sugere que o processo de pensar e o dialogo interno próprio da tentativa de resolver um problema matemático, é uma espécie de diálogo com a inteligência onisciente, uma tentativa de acessar o conhecimento que já existe nessa mente. Perguntar, por exemplo, se a série dos números perfeitos é infinita, equivale a tentar conectar-se com essa mente superior. E encontrar a resposta equivale a ter apreendido uma parte da verdade infinita contida na mente divina.

A limitação da Matemática descoberta no século que acaba é, ao mesmo tempo, promessa firme de fecundidade futura. Ainda que o avanço desta ciência ao longo do século XX tenha sido — também no âmbito aplicado — impressionante, ainda há muitas verdades matemáticas por conhecer. Para alcançá-las são necessários matemáticos com o talento, a diligência e o entusiasmo de Hilbert, as mesmas qualidades que refletem suas últimas palavras, quando agradecia em 1930 a nomeação como filho ilustre de sua cidade natal, Königsberg: Wir mussen wissen, wir werden wissen: devemos conhecer, conheceremos.

Nota:

[*] Isidoro Rasines é Investigador do Centro Superior de Investigações Científicas (CSIC).

***

N.d.T: A posição do autor do texto é uma corrente em Filosofia da Matemática chamada Conceptualismo Divino. Mais informações no LINK.

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Sobre o blog Summa Mathematicae

Este é um blog sobre Matemática em geral, com ênfase no período clássico-medieval, também sobre as Artes liberais (Trivium e Quadrivium), sobre a Educação Clássica aos moldes de Hugo de São Vitor e outras coisas relacionadas à Filosofia Aristotélico-Tomista.

É um projeto pessoal bem despretensioso e simples, fruto de uma especialização em Educação Clássica que fiz. Espero pelo menos colaborar na divulgação desse conhecimento, pois os tópicos me são muito caros e pouco se fala sobre isso na atualidade. 

Em caso de dúvidas ou sugestões, entre em contrato pelo e-mail: marcos325alves@gmail.com.

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DICAS E SUGESTÕES PARA ESTUDAR SOZINHO (Para alunos do ensino fundamental e médio)

Pintura a óleo de Kierkegaard, de Luplau Janssen 1902.

- Crie um cronograma de horários para todas as suas atividades cotidianas;

- Crie e acostume-se com a rotina de estudos e seja constante;

- Procure um local silencioso para estudar;

- Não estude pouco e nem exageradamente;

- Acorde cedo, durma cedo;

- Faça pausas para relaxar e descansar;

- Evite as redes sociais. (Se for realmente necessário usá-las, coloque um horário no cronograma na parte de lazer);

- Evite distrações e informações inúteis;

- Não se limite aos conteúdos estudados em sala de aula, aprofunde-se no conhecimento. Isso eleva o intelecto.

DICAS E SUGESTÕES PARA ESTUDAR MATEMÁTICA SOZINHO

- Releia ou revise o material estudado, refazendo o passo-a-passo dos cálculos;

- Refaça os cálculos tentando entender os detalhes;

- Comece resolvendo os exercícios fáceis, depois os médios e por fim os exercícios difíceis;

- Raciocínio lógico, interpretação de texto e uma boa memória ajudam bastante no aprendizado em Matemática;

- Faz-se bastante necessário o uso e domínio dos símbolos matemáticos;

- Matemática é cumulativa e gradativa. Muitos conteúdos dependem de assuntos de séries anteriores, por isso esteja disposto a estudá-los também, caso seja necessário.

Observação:

⋆ No início pode ser difícil, mas com esforço e determinação você pode adquirir uma rotina de estudos.

⋆⋆ O assunto não precisa ser "legal" ou "divertido" para ser estudado, mas será o amor pelo conhecimento e desejo de descobrir a verdade das coisas que deve motivar aquele que estuda.

Prof. Marcos Alves

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