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Apresentamos uma lista dos principais conteúdos de Matemática atualmente do Ensino Médio, para aqueles que querem começar ou revisar seus estudos na Matemática Básica. Caso queira algo mais básico ainda, segue mais abaixo os conteúdos de Matemática do Ensino Fundamental também. Todo esse material encontra-se no Manual Compacto de Matemática: Teoria e Prática, publicado pela Editora Rideel, edição de 2010. O link desses manuais em pdf encontra-se AQUI. 

SUMÁRIO

Capítulo 1
Função do 1º grau ....................................... 11
1. Função do 1° grau ............................................ 11
2. Gráfico da função do 1º grau ........................ 14
3. Raiz ou zero da função do 1º grau .............. 17
4. Estudo de sinal da função do 1º grau.......... 20
5. Inequação do 1º grau ...................................... 21
6. Inequações produto e quociente.................. 22
Teste seu saber ..................................................... 26

Capítulo 2
Função do 2º grau ....................................... 29
1. Raízes da função do 2º grau .......................... 30
2. Gráfico da função do 2º grau ........................ 33
3. Vértice da parábola – máximos e mínimos da função. 37
4. Conjunto-imagem ............................................ 38
5. Estudo do sinal da função do 2º grau ......... 42
6. Inequações do 2º grau .................................... 44
7. Inequações produto e quociente.................. 46
Teste seu saber ..................................................... 50

Capítulo 3
Função modular .......................................... 54
1. Módulo de um número real .......................... 54
2. Gráfico da função modular ........................... 57
3. Equações modulares ....................................... 59
4. Inequações modulares ................................... 61
Teste seu saber ...................................................... 64

Capítulo 4
Função exponencial .................................... 68
1. Equação exponencial ...................................... 69
2. Gráficos da função exponencial ................... 72
3. Inequação exponencial ................................... 76
Teste seu saber ...................................................... 84

Capítulo 5
Função logarítmica .................................... 87
1. Logaritmo ......................................................... 87
2. Propriedades decorrentes da definição .... 89
3. Logaritmo decimal – característica e mantissa. 92
4. Propriedades operatórias dos logaritmos . 93
5. Mudança de base ............................................. 95
6. Função logarítmica ......................................... 97
7. Equações logarítmicas .................................. 100
8. Inequações logarítmicas ............................... 103
Teste seu saber ..................................................... 108

Capítulo 6
Funções circulares – trigonometria .........111
1. Triângulo retângulo ...................................... 111
2. Razões trigonométricas ................................ 112
3. Teorema de Pitágoras .................................... 115
4. Ângulos notáveis ............................................. 117
5. Relações trigonométricas ............................. 119
6. Circunferência ................................................ 123
7. Comprimento da circunferência ............... 123
8. Arco de circunferência ................................. 125
9. Ciclo trigonométrico ..................................... 128
10. Arcos côngruos ............................................. 129
11. Seno ................................................................. 133
12. Cosseno ............................................................136
13. Relação fundamental da trigonometria.139
14. Tangente .........................................................141
15. Cotangente, secante e cossecante ........... 143
16. Relações derivadas ..................................... 144
17. Equações e inequações trigonométricas. 146
18. Transformações trigonométricas ........... 153
19. Funções trigonométricas ........................... 155
Teste seu saber .................................................... 160

Capítulo 7
Sequências e progressões ......................... 165
1. Lei de formação .............................................. 165
2. Progressões aritméticas ............................... 167
3. Fórmula do termo geral da P.A. ................. 171
4. Soma dos termos da P.A. finita .................. 173
5. Progressões geométricas (P.G.) .................. 176
6. Fórmula do termo geral da P.G. ................. 179
7. Soma dos termos da P.G. finita ................... 181
8. Soma dos termos da P.G. infinita ............... 182
Teste seu saber .................................................... 186

Capítulo 8
Matrizes e determinantes ........................ 190
1. Definição .......................................................... 190
2. Tipo ou ordem de uma matriz .................... 191
3. Representação genérica de uma matriz .. 191
4. Igualdade de matrizes .................................. 193
5. Operações com matrizes .............................. 194
6. Casos particulares .......................................... 200
7. Determinantes ................................................ 203
Teste seu saber .................................................... 215

Capítulo 9
Sistemas lineares ...................................... 218
1. Definição .......................................................... 218
2. Equação linear ............................................... 219

3. Solução de uma equação linear ................ 219
4. Representação genérica de um sistema linea. 222
5. Representação de um sistema linear por meio de matrizes . 223
6. Sistema normal .............................................. 225
7. Regra de Cramer ........................................... 225
8. Classificação de um sistema linear .......... 227
Teste seu saber .................................................. 232

Capítulo 10
Análise combinatória e binômio de Newton.. 235
1. Princípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo . 235
2. Fatorial ............................................................ 240
3. Tipos de agrupamento ................................ 243
4. Permutações simples ................................... 244
5. Arranjos simples .......................................... 245
6. Combinações simples .................................. 247
7. Agrupamentos com repetição ................... 250
8. Números binomiais...................................... 254
9. Números binomiais complementares ..... 255
10. Números binomiais consecutivos .......... 257
11. Propriedade dos números binomiais consecutivos (Relação de Stiffel) .................. 258
12. Triângulo de Tartaglia-Pascal ................... 259
13. Binômio de Newton .................................... 260
14. Fórmula do termo geral ............................. 262
Teste seu saber .................................................... 265

Capítulo 11
Probabilidade e estatística ...................... 267
1. Definição ......................................................... 267
2. Elementos da teoria das probabilidades. 267
3. Experimento composto ............................... 269
4. Probabilidade de um evento ..................... 270
5. Probabilidade da união de eventos ......... 273
6. Probabilidade de um evento complementar. 274
7. Probabilidade condicional .......................... 275
8. Probabilidade da intersecção de eventos. 277
9. Lei binominal das probabilidades ............ 279
10. Estatística ....................................................... 280
11. Medidas de tendência central .................. 282
Teste seu saber .................................................... 284

Capítulo 12
Matemática financeira .......................... 288
1. Porcentagem ............................................... 288
2. Lucro e prejuízo ......................................... 290
3. Descontos e acréscimos ............................ 292
4. Acréscimos e descontos sucessivos ........ 294
5. Juro ................................................................. 298
6. Unidade de tempo ...................................... 298
7. Montante ...................................................... 299
8. Juro simples ................................................. 299
9. Juro composto ............................................. 303
10. Aplicação ou capital à taxa variável ... 304
11. Inflação ....................................................... 305
Teste seu saber ................................................ 307

Capítulo 13
Números complexos ................................. 310
1. Definição .......................................................... 310
2. Conjunto dos números complexos ............ 310
3. O número complexo ...................................... 311
4. Casos especiais ................................................ 311
5. As potências de i ............................................. 315
6. Igualdade de números complexos ............. 317
7. Conjugado de um número complexo ....... 318
8. Operações com números complexos ........ 318
9. Equações do 1º e 2º graus em C .................. 321
10. Representação gráfica – plano de Argand-Gauss. 323
11. Módulo de um número complexo ........... 324
12. Argumento de um número complexo .... 326
13. Forma trigonométrica ou polar dos números complexos. 327
Teste seu saber .................................................... 330

Capítulo 14
Polinômios e equações polinomiais ........ 333
1. Função polinomial ........................................ 333
2. Grau do polinômio ........................................ 335
3. Princípio de identidade de polinômios ... 336
4. Polinômio identicamente nulo .................. 337
5. Valor numérico de um polinômio ............ 337
6. Operações com polinômios ........................ 340
7. Método de Descartes .................................... 344
8. Equações polinomiais ................................. 348
9. Teorema fundamental da álgebra ........... 349
10. Teorema da decomposição ...................... 349
11. Multiplicidade de uma raiz ..................... 351
12. Teorema das raízes complexas .............. 352
13. Relações de Girard .................................... 355
Teste seu saber ................................................. 357

Capítulo 15
Geometria analítica .................................. 362
1. Introdução ....................................................... 362
2. Sistema de coordenadas sobre uma reta. 362
3. Distância entre dois pontos na reta real. 363
4. Coordenadas cartesianas............................. 363
5. Distância entre dois pontos de um plano. 366
6. Ponto médio de um segmento .................... 368
7. Baricentro ........................................................ 369
8. Condição de alinhamento de três pontos. 371
9. Inclinação de uma reta ................................ 373
10. Coeficiente angular de uma reta ............. 374
11. Equação da reta ........................................... 377
12. Determinando a equação da reta ........... 377
13. Equação reduzida da reta ......................... 380
14. Equação segmentária da reta.................... 382
15. Equação geral da reta ................................. 384
16. Posições relativas de duas retas ............... 386
17. Intersecção de retas .................................... 389
18. Condição de perpendicularismo ............. 390
19. Distância entre um ponto e uma reta .... 392
20. Definição de circunferência ..................... 394
21. Equação reduzida da circunferência ..... 394
22. Definição de elipse ...................................... 398
23. Equações da elipse ...................................... 398
Teste seu saber ................................................... 402

Respostas dos exercícios ......................... 406
Tabela trigonométrica ............................. 425
Tabela de logaritmos decimais ............... 427
Bibliografia ............................................... 430
Siglas de vestibulares .............................. 431

SUMÁRIO

Capítulo 1
O que são números? E numerais? ............. 11
Número e numeral são a mesma coisa? ........ 11
O sistema de numeração romano ................... 12
O sistema de numeração decimal ................... 14
Conjunto dos números naturais ...................... 15
Comparando números naturais ...................... 17
Teste seu saber ..................................................... 18

Capítulo 2
Conjuntos e sua linguagem ........................ 21
Representação dos conjuntos ........................... 21
Tipos de conjunto ................................................ 23
Operações com conjuntos ................................. 27
Teste seu saber ..................................................... 30

Capítulo 3
Operações no conjunto dos números naturais. 32
A adição de números naturais ......................... 32
A subtração de números naturais ................... 35
A multiplicação de números naturais ............ 37
A divisão de números naturais ........................ 40
A potenciação com números naturais ........... 43
A radiciação de números naturais .................. 48
Resolução de expressões aritméticas ............. 49
Teste seu saber ..................................................... 52

Capítulo 4
O divisor de um número ............................ 56
Critérios de divisibilidade ................................. 57
Os números primos e compostos..................... 61
Máximo divisor comum: o mdc ....................... 66
Mínimo múltiplo comum: o mmc ................... 69
Teste seu saber ..................................................... 72

Capítulo 5
Os números fracionários ........................... 74
A ideia da fração .................................................. 74
Operações com frações ...................................... 85
Propriedades das frações .................................. 88
Resolução de expressões numéricas .............. 89
Problemas com frações ...................................... 92
Teste seu saber ..................................................... 95

Capítulo 6
Os números decimais ................................. 98
A ideia de número decimal ............................... 98
Teste seu saber ................................................... 109

Capítulo 7
Sistema de medidas ................................. 112
Introdução .......................................................... 112
Unidades de superfície .................................... 115
Unidades de volume ........................................ 121
Unidades de massa ........................................... 126
Teste seu saber ................................................... 129

Capítulo 8
Os números inteiros ................................. 132
A ideia dos números inteiros ......................... 132
Números racionais relativos .......................... 143
Teste seu saber ................................................... 148

Capítulo 9
Equações e inequações do 1o grau .......... 151
Problemas do cotidiano ................................... 151
Resolvendo problemas com uma variável. 157
Inequações do 1o grau ..................................... 161
Sistemas de equações simultâneas do 1o grau. 166
Teste seu saber .................................................... 171

Capítulo 10
Razão e proporção .................................... 173
A ideia de razão .................................................. 173
Proporções ........................................................... 177
Média aritmética ............................................... 183
Divisão proporcional ....................................... 186
Regras de três ..................................................... 193
Porcentagem ....................................................... 199
Juro simples ......................................................... 202
Teste seu saber .................................................... 206

Capítulo 11
Cálculos algébricos .................................... 209
Considerações preliminares ............................ 209
Tradução em linguagem matemática ........... 210
Expressões algébricas ....................................... 210
Polinômios ........................................................... 214
Produtos notáveis .............................................. 223
Teste seu saber ................................................... 230

Capítulo 12
Fatoração algébrica .................................. 233
Casos de fatoração de expressões algébricas. 233
Máximo divisor comum entre expressões algébricas (mdc) ............................................... 245
Mínimo múltiplo comum entre expressões algébricas (mmc) ............................................... 247
Teste seu saber ................................................... 249

Capítulo 13
Frações algébricas ..................................... 251
O que é uma fração algébrica? ....................... 251
Operações com frações algébricas ................. 255
Teste seu saber .................................................... 262

Capítulo 14
O conjunto dos números reais .................. 265
Introdução ............................................................ 265
Equações do 2o grau com uma única variável. 270
Equações redutíveis a equações de 2o grau. 283
Equações irracionais ......................................... 285
Sistemas simples do 2o grau ........................... 289
Resolvendo problemas a partir de sistemas de 2o grau ................................................................... 291
Teste seu saber .................................................... 294

Capítulo 15
Funções: qual seu significado e aplicações?.. 297
Introdução ........................................................... 297
Relação x função ................................................ 297
O plano cartesiano ............................................. 300
Função do primeiro grau ................................. 303
Função do segundo grau .................................. 310
Teste seu saber .................................................... 322

Capítulo 16
Geometria .................................................. 325
Introdução ........................................................... 325
Linhas planas ...................................................... 329
Ângulos ................................................................. 331
Retas perpendiculares ...................................... 332
Medida de um ângulo plano ........................... 333
Operações algébricas com ângulos ............... 334
Classificação dos ângulos ................................ 336
Linha poligonal .................................................. 342
Estudo dos triângulos ....................................... 347
Congruência de triângulos .............................. 355
Perpendicularismo ............................................ 358
Paralelismo .......................................................... 358
Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal ........................ 359
Relações de congruência entre os ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversal. 360
Soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados (Si) ..................................... 364
Soma dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados (Se) ..................................... 365
Quadriláteros convexos .................................... 367
Paralelogramo ..................................................... 367
Trapézio ................................................................ 370
Linhas proporcionais nos triângulos ............ 373
Relações métricas no triângulo retângulo ... 375
Teste seu saber .................................................... 381

Capítulo 17
Trigonometria ........................................... 384
Medida dos ângulos e dos arcos .................... 384
Funções trigonométricas ................................. 387
Funções trigonométricas no triângulo retângulo. 389
Determinações de valores das funções trigonométricas dos ângulos de 30º, 45º e 60°. 391
Relações métricas em triângulos que não são retângulos. 398
Teste seu saber .................................................. 403

Capítulo 18
Circunferência .......................................... 408
Círculo................................................................... 409
Posições relativas de uma reta e uma circunferência. 411
Propriedade fundamental da tangente e da normal a uma circunferência ......................... 411
Posições relativas de duas circunferências. 411
Correspondência entre arcos e ângulos – medidas. 412
Relações métricas no círculo .......................... 414
Potência de um ponto com relação a uma circunferência. 416
Polígonos regulares ........................................... 418
Teste seu saber ................................................... 425

Respostas dos exercícios ......................... 428

Bibliografia ................................................ 455

***

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A Matemática e a Arte

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Tempo de leitura: 10 minutos.

A Arte e a Matemática, por A.O.I. Disponível no LINK.

O número cria ordem, a ordem contém ritmo, o ritmo engendra harmonia, e a harmonia está prenhe de beleza. O ritmo plasmado pelo número é uma ordenação determinada dos tempos.

O Nascimento de Vênus, por Sandro Botticelli, 1482.
A posição no espaço dos personagens é submetida à regra do retângulo
de ouro. As dimensões da obra (172,5 cm X 278,05 cm) correspondem
exatamente ao formato de um retângulo de ouro.

A realidade é um número — afirmava Pitágoras de Samos — e Euclides considerava a matemática mais como uma arte do que como uma ciência. Proclo expressa no seu Comentário a Euclides: “Ali onde há número, há beleza”, e esta frase poderia inverter-se dizendo que onde há beleza, há número. “O número vive na arte”, afirmava Santo Agostinho, e no seu Tratado da Música inclui os números e o ritmo como princípios estéticos e cosmológicos. São Tomás de Aquino compreendeu que entre a beleza e a matemática existia uma relação direta, válida tanto para a beleza natural como para a obra de arte realizada pelo homem. Leibniz escreveu: “A música é um exercício de aritmética secreta; quem se entrega a ela ignora que está a operar com números.” “A arte é a expressão mais elevada de uma aritmética interior e inconsciente.”

O número cria ordem, a ordem contém ritmo, o ritmo engendra harmonia, e a harmonia está prenhe de beleza. O ritmo plasmado pelo número é uma ordenação determinada dos tempos.

Platão, no Timeu, fala-nos do sincronismo dos ritmos da “Alma Individual” e da “Alma Universal”. Quando esta alma está bem harmonizada, quando entre o ritmo do homem (microcosmo) e o ritmo do Universo (macrocosmo) existe proporção, harmonia e concórdia, a beleza resplandece. Para Platão, a Beleza é o esplendor da Verdade.

A Natureza é, sem dúvida, uma manifestação de ritmos harmônicos. O homem, no seu anseio de eternidade, cria — como um fazedor de ritmos — um espelho de Deus: a Natureza criada por Deus. E quando o homem cria a beleza na sua face epidérmica, aparente (a forma), a chamada “natura naturata” (segundo Aristóteles, no século XVII) identifica-se com a “natura naturans”, o Ser absoluto. Por isso, quando o homem, com esse sentido imitativo ontológico, transcende as barreiras limitantes do não-ser e, numa atitude de verticalidade, capta o Absoluto, eterniza-se.

Fig. 1: Pitágoras.

Pitágoras situava a felicidade suprema (eudaimonia da alma) na contemplação da harmonia dos números.

Para os pitagóricos, toda a Natureza estava ordenada conforme o número. Estes celebravam juntos, no falanstério principal, o sétimo e o quinquagésimo dia. Essa escolha era motivada pelo carácter sempre virgem do número sete, pois este não podia ser produto nem primo indivisível; porque, se é possível dividir um círculo em doze ou em seis partes, não é possível — como demonstra a geometria — dividi-lo em sete. Desde o século XIX, Gauss, no início dos anos 1800, estudou o número sete na sucessão euclidiana rigorosa em sete partes iguais. Isso levou à “virgindade” do número sete, não numerosa, nos tons atômicos lógicos dos Padres da Igreja.

Ele encontra também, para os pitagóricos, o mais santo e natural dos números, porque equivale à soma de $9 + 16 + 25$ (soma resultante dos quadrados construídos sobre o “triângulo mágico”, também chamado triângulo de Pitágoras, de relação 3-4-5) e ao produto da pentade e da década (5 x 10 = 50), que representam, respetivamente, o microcosmo (o homem) e o macrocosmo (o Universo).

Fig. 2: O Homem Vitruviano.

Estudo da proporcionalidade de um corpo humano (Leonardo da Vinci, cerca de 1500, Veneza, Gallerie dell’Accademia).

Inscrito em um quadrado (conforme Platão, símbolo do elemento terra) e em um círculo (símbolo do cosmos como todo), torna-se um símbolo da correspondência matemática entre microcosmo e macrocosmo.

O Número de Ouro (Divina Proporção ou Secção Áurea) rege o jogo das proporções do triângulo pentagonal ou decagonal e também o mágico triângulo sagrado 3-4-5. A Proporção Áurea é a expressão geométrica do Número de Ouro aritmético. A Proporção Áurea e o Número de Ouro são constantes tangíveis, a nível matemático, da Proporção Divina.

O curioso é que podem ser realizadas aritmeticamente e geometricamente, mas não podem ser captadas nem apreendidas pela razão; daí que o número Phi seja denominado incomensurável na aritmética, e a razão deva contentar-se apenas em compreender que não pode compreendê-lo. Por isso, é um número ou relação presente que o homem capta intuitivamente na sua ação de Ser, quando, como microcosmo, opera em harmonia com o macrocosmo, o Universo.

No século XIII, Leonardo da Pisa — conhecido geralmente como Fibonacci — tentou resolver o problema da proliferação dos coelhos e observou, com assombro, que estes se reproduziam de acordo com a seguinte progressão: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … etc. Tomando a relação a partir do número 34 e do seu antecessor, estabeleceu-se uma constante de 1,618…, que não é outra senão o Número de Ouro. Fibonacci também observou que esta série se encontrava nas plantas e em todo o reino animal.

Fig. 3: O número de ouro é a constante obtida a partir da proporção áurea.

Leonardo Da Vinci, Luca Pacioli, Piero Della Francesca, León Battista Alberti estudaram com paixão o Número de Ouro durante o Renascimento. Dürer viajou especialmente até Bolonha para se iniciar nos mistérios da Seção Áurea, e escreveu num dos seus textos que “o comovia menos ver reinos desconhecidos do que conhecer as suas teorias”. Em Veneza esteve em contato com Frei Luca Pacioli. O seu quadro mágico e enigmático “A Melancolia” nasceu nessa época, e o seu talento viria a nutrir a ciência da arte na Alemanha. Na realidade, o último a celebrar o misticismo e as virtudes mágicas do Número de Ouro foi Kepler.

Estes notáveis homens compreenderam que a Criação traz implícito um ritmo no tempo e uma ordenação no espaço. Que tudo possui uma ordem, uma harmonia, uma simetria que lhe é própria, traçada pelo “Grande Geômetra” ou “Arquiteto Divino”, Deus. Que os corpos da Natureza, quando estão em ressonância com essa “grande harmonia”, estão de acordo com o “grande traçado”, com o “grande plano”, e operam num crescimento harmonioso.

Essa harmonia percebe-se desde o infinitamente pequeno — os átomos (microcosmos) — até o infinitamente grande — o Universo (macrocosmos). O homem está colocado entre o infinitamente pequeno e o infinitamente grande, mas tem um dilema a resolver que se chama “livre-arbítrio”; e pode, portanto, agir de acordo com o “grande plano”, realizando ações belas, estando em harmonia, unindo-se e obedecendo ao imperativo categórico do seu Ser, ou pode não estar em concordância e agir de forma antiestética, obedecendo ao seu não-Ser. É neste conflito que o homem se desfaz.

O homem capta a beleza no seu agir ético no mundo, e o resultado desse agir ético — configurado por ações belas — serão objetos belos, estéticos, obras de arte que refletirão o esplendor da Verdade.

Neste século, homens de talento como Möesel, Theodoro Cook, Jay Hambidge, Hans Kayser e Matila Ghyka, entre outros, retomaram o estudo do Número de Ouro. Isso levou o célebre empirista lógico inglês Bertrand Russell a escrever, provavelmente muito a contragosto, em 27 de setembro de 1924, na revista The Nation: “Talvez o mais estranho da ciência moderna seja o seu regresso ao pitagorismo.”

É de esperar que assim seja — e que a austera claridade da tocha trazida do Egito por Pitágoras, portadora do divino Platão, ilumine a Humanidade, para que esta possa contemplar a beleza mística do Número Puro e a Harmonia Celeste da Música das Esferas. 

Texto publicado originalmente na Revista Tot, Buenos Aires, Abril 1972

***

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SÃO BASÍLIO SERIA CONTRA A MATEMATIZAÇÃO DA NATUREZA,

por Daniel Fernandes, disponível no LINK.

Para São Basílio (século IV), os números e proporções podem ser meios de perceber a ordem do cosmos, mas jamais expressam a realidade última das coisas, como pensam os modernos (desde Galileu, Newton e Descartes). A natureza não é pura abstração, mas CRIAÇÃO REAL, dotada de qualidades, forma e finalidade. Por isso mesmo, penso que, em certo sentido, São Basílio seria um crítico contundente da “matematização da natureza”, que reduziu, no começo da era moderna, a realidade natural a números, fórmulas matemáticas ou estruturas sem qualidades. A criação, na visão basiliana, não é apenas quantidade, mas sobretudo um sinal da Sabedoria divina.

O que me chamou a atenção para isso foi este trecho da primeira homilia de seu Hexameron, que releio agora em sua edição física:

“No que diz respeito à terra, estamos convencidos de que não devemos dedicar-nos a investigações indiscretas com o fim de saber qual é sua essência e de esforçar-nos em decifrar, por meio de raciocínios, o que jaz sob as aparências. Não busquemos uma substância desprovida de qualidades, a qual por si mesma existiria sem nenhuma propriedade, mas saibamos que tudo o que vemos nela concorre para dar-lhe existência, completando sua essência. Se, pela razão, esforçares-te em descartar cada uma das qualidades que nela subsistem, enfrentar-te-ás com o vazio. Pois, se fazes abstração do negro, do frio, do pesado, do denso, do gosto e de todas as outras [qualidades] que se podem observar nela, o que resta seria nada.”

Ora, com a ciência moderna, a substância sensível, concreta, foi esvaziada de suas qualidades ricas e reduzida a extensão, massa, movimento, algo formalizável em equações . No fundo, isso não conduz a um “substrato sem qualidades”? A um “x” que sustenta relações matemáticas, mas do qual nada sabemos, exceto sua mensurabilidade? (Heisenberg chegou a isso).

Basílio já advertia, com séculos de antecedência, contra a tentação de tentar penetrar a "essência última" da matéria por especulações “indiscretas”, isto é, investigações puramente abstratas e à margem da experiência. Ele rejeitou de antemão a ideia de que seria possível chegar a uma "substância sem qualidades", algo absolutamente nu de propriedades. A essência da terra, portanto, não estaria escondida por trás das qualidades, mas seria justamente constituída por elas. O visível e o palpável não seriam meras aparências enganadoras, mas modos reais de existência.

Não por acaso, ele advertiu: “Se, pela razão, esforçares-te em descartar cada uma das qualidades que nela subsistem, enfrentar-te-ás com o vazio. Pois, se fazes abstração do negro, do frio, do pesado, do denso, do gosto e de todas as outras [qualidades] que se podem observar nela, o que resta seria nada.”

Ou seja, a "terra", para Basílio, é inseparável das suas propriedades. O mundo criado não é uma ilusão, mas uma realidade dotada de consistência e beleza, cuja verdade se encontra justamente em suas propriedades sensíveis. Essa visão basiliana reforça a bondade da criação: tudo aquilo que vemos e experimentamos é uma participação no ser, dado por Deus. A criação, neste sentido, não precisa ser reduzida a uma essência abstrata oculta; ela é plena em sua MANIFESTAÇÃO CONCRETA. A essência do mundo criado não é uma abstração separada das qualidades, mas o conjunto delas, que nos remete ao Criador.

É óbvio que Basílio estava criticando uma tendência bastante comum entre alguns autores do mundo antigo, que reduziam a realidade natural a princípios abstratos, esquecendo o caráter concreto e criado do cosmos. Penso que a crítica aos modernos encaixa-se como antecipação porque ele rejeita que a natureza seja apenas número, proporção ou estrutura sem qualidade.

***

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Sobre o estudo da Matemática

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Texto retirado do livro Métodos e Técnicas do Estudo e da Cultura, por Theolbaldo Miranda Santos, publicado por Companhia Editora Nacional, 1957, 2ª edição. 

O ESTUDO DA MATEMÁTICA

EINSTEIN

Alberto Einstein nasceu em Ulm. na Alemanha, cm 1879. Físico e matemático genial, criou a teoria da relatividade, segundo a qual o espaço e o tempo são relativos, o éter não existe, a massa de um corpo varia com a velocidade, a energia tem peso, a gravitação resulta ela curvatura do espaço, etc.

I. DEFINIÇÃO DE MATEMÁTICA

1. A matemática pode ser definida como a ciência da medida das grandezas ou, simplesmente, como a ciência da quantidade. Realmente, a matemática estuda a quantidade dos corpos, abstração feita da natureza desses corpos. As matemáticas são também denominadas ciências abstratas porque consideram as relações com abstração da realidade, e exatas porque não saem da esfera da idéia pura, limitam-se a noções simples e precisas e partem de princípios ideais e necessários, dos quais se tiram, por processos dedutivos, conclusões rigorosas.

2. A quantidade estudada pelas matemáticas pode ser descontínua (partes separadas, formando os números) ou contínua (partes unidas, formando a extensão ou o espaço). Conforme as matemáticas estudam a quantidade descontínua ou a contínua, dividem-se em:

a) Ciências dos números: a aritmética ou ciência dos números e de suas propriedades; a álgebra ou ciência das relações gerais dos numeras representados por letras.

b) Ciências das figuras: a geometria ou ciência das figuras que se podem traçar no espaço; a geometria analítica ou aplicação da álgebra à geometria; a mecânica racional ou estudo do movimento no espaço.

As matemáticas podem também ser divididas em puras (aritmética, álgebra, geometria) e aplicados (mecânica, astronomia e física matemática).

3. Certos filósofos admitem que as noções matemáticas são inatas e independentes de toda experiência uma vez que a natureza não fornece jamais números, nem constrói objetos geométricos. Na realidade, porém, os objetos matemáticos são construídos pelo espírito com dados resultantes da experiência. É assim que a existência de corpos sólidos no universo suscitou a criação da geometria, bem como a pluralidade das unidades da mesma natureza serviu de fundamento à criação dos números. A formação das noções matemáticas baseia-se, por conseguinte, na experiência, mas só se realiza graças à capacidade de abstração do espírito humano.

II. MÉTODO DA MATEMÁTICA

4. No método da matemática, é necessário distinguir os processos de descoberta, ou de invenção, dos processos de prova ou de demonstração.

a) Invenção matemática - O matemático, diz Cuvillier, não difere, essencialmente dos outros sábios quando pesquisa a verdade: ele procede sempre por intuição. Mas a intuição inventiva pode ser, mesmo em matemática, ora ele ordem sensível, ora de ordem racional.

1.º - A intuição sensível é, em matemática, segundo H. Poincaré, "o instrumento mais comum de invenção". Foi partindo de casos particulares, de exemplos concretos que se descobriu a maioria das proposições matemáticas [1]. Os problemas concretos suscitados pelas ciências experimentais, sobretudo, pela física, têm sido, em nossos dias, para a matemática, uma fonte de descobertas.

Fig. 7 - Como Aristarco tentou medir a distância do Sol. Quando a Lua fica, exatamente, iluminada pela metade, o ângulo formado pela Terra, Lua e Sol é um ângulo reto. [2]

2.º - A intuição racional é a que domina em certos matemáticos. "É a intuição do número puro, das formas lógicas puras" que os ilumina e dirige "sem o auxílio dos sentidos e da imaginação".

b) Demonstração matemática - A matemática utiliza o método dedutivo, isto é, o raciocínio dedutivo cujo processo básico de atividade é o silogismo. Na matemática, parte-se de princípios necessários ou considerados como tais, e chega-se a consequências igualmente necessárias, por meio da demonstração. A demonstração emprega o raciocínio, mas não eleve ser com o mesmo confundida: deduzir é simplesmente tirar conseqüências de uma verdade geral; demonstrar é provar com eficiência.

5. A demonstração matemática pode ser analítica e sintética. Na demonstração analítica, parte-se de uma proposição complexa a demonstrar para outra mais simples já demonstrada. É o processo empregado para a solução dos problemas. Na demonstração sintética, parte-se ele proposições simples já demonstradas das quais se retiram, corno conseqüências, proposições mais complexas. É o processo empregado para a demonstração dos teoremas. Essas duas formas de demonstração são diretas. Há ainda a demonstração indireta, quando se prova a verdade de uma proposição, demonstrando a falsidade ou absurdo da contrária. Nesta demonstração, também chamada apagógica, ou pelo absurdo, conclui-se que uma proposição é verdadeira, porque, se não o fosse. a contrária deveria ser admitida, e disso resultaria um absurdo.

6. São três os elementos da demonstração: as definições, os axiomas e os postulados:

a) Definições - São proposições que caracterizam, de uma maneira precisa, o sentido de urna palavra ou a natureza de uma coisa. As definições podem ser: essenciais, quando exprimem as propriedades de um objeto matemático (ex.: a circunferência é uma figura na qual todos os pontos estão a igual distância de um ponto chamado centro); genéticas, quando formulam uma lei da construção de um objeto matemático (ex.: a esfera é um volume originado de um semi-círculo girando em torno do seu diâmetro).

b) Axiomas - São proposições necessárias, evidentes por si mesmas, e que servem para demonstrar outras verdades (ex.: duas quantidades iguais a uma terceira são iguais entre si).

c) Postulados - São proposições não evidentes, mas que se consideram como verdadeiras para as necessidades do raciocínio (ex.: de um ponto fora de uma reta só se pode tirar uma paralela a essa reta). Os postulados não sendo logicamente necessários podem ser substituídos por outros. Deste caráter de contingência dos postulados, nasceram as geometrias não-euclidianas de Lobatschevsky e Riemann.

III. VALOR DA MATEMÁTICA

7. As leis matemáticas exprimem relações necessárias, que derivam da natureza dos números, da extensão ou do movimento; elas resultam do raciocínio dedutivo e não da experiência, como as leis das ciências da natureza. As verdades matemáticas são analíticas; as leis físicas são sintéticas. As matemáticas podem ser aplicadas a todas as outras ciências. Elas lhes comunicam o caráter de precisão, pelo cálculo e pela medida.

8. Realizado com moderação, o estudo da matemática confere ao espírito o hábito da reflexão, da ordem e da disciplina; a solução de problemas e a demonstração de teoremas são excelentes exercícios para o desenvolvimento da capacidade intelectual. É necessário, porém, não considerar a realidade apenas pelo prisma da matemática, nem pretender aplicar o raciocínio dedutivo ao estudo de todos os assuntos. O cultivo excessivo da matemática habitua o espírito ao abuso da abstração, fazendo-o pairar num mundo ideal, dissociado. das realidades concretas. Além disso, os processos psíquicos e os fatos morais escapam, inteiramente, ao cálculo e à medida.

9. O estudo da matemática encerra três espécies de valores educativos aos quais devem corresponder três objetivos pedagógicos:

a) Valores práticos, que resultam do auxílio que a matemática fornece para a solução dos problemas práticos da vida. O manejo das operações básicas da aritmética, a compreensão da linguagem algébrica, a interpretação das representações gráficas e a familiaridade com as formas geométricas constituem recursos de grande utilidade para a vida social, econômica e profissional do homem moderno.

b) Valores disciplinares, que decorrem da aquisição de idéias e noções sobre grandeza e quantidade, hábitos de método, clareza, precisão e disciplina mental, bem como do desenvolvimento da capacidade de pensar "funcionalmente", isto é, de pensar em termos de relações e por meio de relações.

c) Valores culturais, que resultam da criação de atitudes de apreciação da beleza das formas geométricas, da aquisição de ideais de perfeição espiritual e de sentimentos de admiração pelo poder criador do pensamento humano, inspirados pelo estudo da matemática. A aprendizagem da matemática deve procurar atingir, harmonicamente, esses três objetivos. E, como das matemáticas, a aritmética e a geometria são as mais acessíveis e úteis para a realização dessas finalidades, faremos, abaixo, uma síntese dos principais aspectos da aprendizagem dessas disciplinas.

IV. APRENDIZAGEM DA ARITMÉTICA

10. A aritmética tem por objeto o estudo elos números, de suas propriedades e elas operações que com os mesmos se podem realizar. Podemos distinguir na aprendizagem da aritmética, um valor formal ou educativo e um valor material ou prático. O valor formal da aritmética foi reconhecido desde a Antiguidade. Pitágoras afirmava que o número era a essência do universo. Platão proclamava, em suas "Leis", a superioridade da aritmética sobre as outras ciências. Descartes baseou o critério da verdade na claridade e distinção próprias das noções matemáticas. Pestalozzi deu grande importância à aritmética, considerando o número como um dos elementos da sua famosa trilogia intuitiva. Para ele, o número é o melhor meio da instrução porque, através do mesmo, podemos alcançar precisão nos conceitos.

11. Froebel admitiu que a aprendizagem da matemática é básica para a formação do espírito humano e que será incompleta e ineficaz qualquer educação que prescinda dessa matéria. Nem todos os pedagogos e filósofos reconhecem, entretanto, esse valor educativo da matemática. Goethe dizia que "o cultivo mental proporcionado pela matemática é muito particular e limitado," e Hamilton, filósofo e matemático inglês, afirmava: "Se consultamos a razão, a experiência e o testemunho comum dos tempos antigos e modernos, nenhum dos nossos estudos intelectuais tende a cultivar menor número de faculdades e de modo mais débil e parcial do que as matemáticas". Para Pascal, "é raro que os matemáticos sejam observadores", ou que os observadores sejam matemáticos, e opõe ao "espírito geométrico", grave e lento, o "espírito de fineza" ágil e penetrante. Por seu lado, Nietzsche e Schopenhauer negam ao número qualquer valor educativo e cultural. E certos psicólogos e educadores contemporâneos, corno Séguin, Claparède, Kilpatrick e Thorndyke, põem em relevo a reduzida influência da matemática na formação do espírito da criança, condenando a tendência, em voga, de se cultivar, em demasia, o raciocínio na aritmética.

12. Todavia, é indiscutível o valor educativo da aritmética, quando a sua aprendizagem é realizada de maneira metódica e racional. Segundo Adolfo Rude, a aritmética, sob o ponto de vista do ensino, é uma técnica. Como tal, tem um aspecto mecânico, que poderá ser adquirido e lograr um desenvolvimento, às vezes, surpreendente; e um aspecto racional, que reside em seus fundamentos lógicos e em sua aplicação. A maior parte do valor educativo da aritmética encontra-se nesse último aspecto. Daí a afirmativa de Thorndyke que nada se deve ministrar ao aluno apenas como ginástica mental e que o raciocínio não deve ser empregado, na aritmética, com o fim de desenvolver determinadas faculdades, mas visando cooperar na organização de hábitos.

13. Vejamos, finalmente, algumas normas gerais que devem presidir à aprendizagem da aritmética: a) a compreensão deve preceder o treino; b) os exercícios devem- ser curtos, repetidos e variados; c) é necessário exercitar poucos conhecimentos de cada vez e insistir nas questões em que se encontrem maiores dificuldades; d) as relações entre as habilidades matemáticas precisam ser compreendidas com clareza, e exercitadas convenientemente para que os estudantes possam utilizá-las em quaisquer condições, não se limitando apenas a reconhece-las quando se repete a situação em que foram adquiridas; e) não se deve desperdiçar tempo e energia com o treino de conhecimentos dispensáveis ou de valor prático insignificante; f) a exigência de exatidão deve preceder a de rapidez; g) a simplificação dos processos acarreta maior eficiência e rapidez; h) as causas de erro na solução dos problemas são, na maioria dos casos: desconhecimento das relações quantitativas necessárias à solução; deficiência na técnica das operações fundamentais e falta de treino nas combinações elementares; i) a aprendizagem da aritmética deve ser relacionada com as necessidades concretas da vida, bem como com a aprendizagem das outras disciplinas, sobretudo, as ciências naturais e os estudos sociais.

V. APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA

14. A geometria é a ciência das formas. Seu objeto é o estudo das formas fundamentais do espaço. A geometria é mais intuitiva e menos abstrata do que a aritmética, pelo menos em suas noções elementares. Isto a torna mais acessível ao estudante que se inicia na aprendizagem da matemática. A geometria, como a aritmética, possui, não só um valor utilitário e prático, como também um valor educativo e formal. A forma é uma das qualidades mais evidentes de todos os objetos. A todo momento nos referimos às formas das coisas. O conhecimento dessas formas dá precisão as nossas idéias e clareza à nossa linguagem. E a aprendizagem da construção de figuras geométricas é de grande utilidade pelas suas múltiplas aplicações na vida pratica e profissional.

Fig. 8 - Exemplo de intuição sensível na invenção matemática. Foi pesando duas 1âminas da mesma matéria e da mesma espessura que Galileu, no século XVII, achou que a área da ciclóide é o triplo da do círculo gerador. Na figura acima, vemos uma ciclóide, isto é, a curva OCO', O'C'O", descrita por um ponto O da circunferência OP, quando esta rola sobre a reta OO'O" [3]

15. Além desse valor utilitário e instrumental, a geometria possui também grande valor educativo. "Para descrever a forma, diz Carbonell y Migal, é necessário observar bem, com acerto e justeza; no idear novas combinações, a inteligência e a fantasia põem-se em atividade. no traçar figuras e problemas, adquirimos habilidade manual, segurança no pulso e hábitos de precisão; no resolver problemas ou no fazer demonstrações, exercitamos o raciocínio. Poucas são as disciplinas que ponham em ação tantas faculdades, que exercitem tantos órgãos e sejam, portanto, tão educativos".

16. Pouco se conhece a respeito elos métodos de estudo da geometria entre os povos da antiguidade oriental e clássica. Platão nos apresenta, no Menão, Sócrates fazendo aos seus discípulos perguntas orientadoras, baseadas na intuição, para os conduzir ao conhecimento das noções geométricas. Na Idade Média, a geometria fazia parte das sete artes liberais e era ensinada nas escolas com o quadrívium. Comênio, em -sua Didactica Magna, estabelece a necessidade de a escola primária ensinar às crianças noções sobre a altura, comprimento, largura, etc. Augusto Hermann Francke fazia os seus alunos, durante o recreio, medir e dividir o campo. E os filantropistas também emprestaram um caráter prático ao estudo da geometria.

17. O estudo da geometria só tomou, entretanto, uma orientação realmente intuitiva a partir de Pestalozzi. Este grande educador considerou, como elementos da intuição, o número, a forma e a palavra. A forma, para ele, compreende as seguintes matérias de ensino: metrologia, desenho e escrita. A metrologia ou arte de medir deve merecer, segundo Pestalozzi, grande importância devido ao seu alto valor educativo. Em seu livro, A B C da Intuição ou Teoria das formas e das relações mensuráveis, Pestalozzi procura emprestar ao estudo da geometria uma feição objetiva e atraente. Herbart também defendeu o caráter objetivo da aprendizagem da geometria, aconselhando que o estudo da mesma fosse relacionado com o das ciências naturais.

Fig. 9 - Interpretação geométrica de Euclides do quadrado do binômio.

18. Harnish e Diesterweg aperfeiçoaram a técnica de estudo da geometria, utilizando processos intuitivos de aprendizagem. Os educadores modernos conferem ao estudo da geometria uma feição objetiva e concreta, associando-a aos diversos aspectos da vida real, articulando-a com os trabalhos manuais e, sobretudo, subordinando-a à atividade criadora elo estudante. "Geometria viva" "Geometria vital", "Geometria ativa" são as denominações comuns dessa disciplina nos compêndios atuais, o que bem exprime as novas diretrizes do estudo da geometria.

19. Podemos utilizar, no estudo da geometria, não só o método analítico, como o sintético. No primeiro caso, partimos dos corpos para atingir as linhas. No segundo caso, começamos pelas linhas para chegar aos corpos. O processo analítico é o único que deve ser utilizado na escola elementar, muito embora não seja o método específico de estudo da geometria. Tratando-se, porém, de reconhecer, descrever e classificar as formas geométricas, justifica-se que partamos dos corpos sólidos que, sendo concretos e materiais, podem ser compreendidos até pelas crianças de tenra idade. Daí passamos às superfícies e, destas, às linhas e teremos, assim, desenvolvido quase todo o programa da matéria no curso primário. O estudo da geometria está, intimamente, ligado ao da aritmética, pois, "compreender aquela é ter chegado à medida e, portanto, ao número". Tão unidos se encontram esses dois ramos da matemática que o estudo de qualquer deles auxilia a aprendizagem do outro e torna mais compreensíveis os seus princípios.

RESUMO

1. A matemática pode ser definida como a ciência da medida das grandezas ou como a ciência da quantidade. 2. Divide-se em ciências dos números (aritmética e álgebra) e ciências das figuras (geometria, geometria analítica e mecânica racional). 3. Os objetos matemáticos resultam, ao mesmo tempo, da razão e da experiência. 4. No método da matemática é preciso distinguir os processos de descoberta ou de invenção dos processos de prova ou demonstrações. 5. A demonstração pode ser analítica e sintética. 6. Os elementos da demonstração são as definições, os axiomas e os postulados. 7. As matemáticas são dedutivas e as ciências da natureza são indutivas e experimentais. 8. As matemáticas são úteis à educação intelectual, mas não devem ser estudadas com desprezo da realidade concreta, nem aplicadas aos processos psíquicos e aos fatos morais. 9. A estudo da matemática encerra valores práticos, disciplinares e culturais. 10. O valor do estudo da matemática foi reconhecido desde a Antiguidade. 11. Na Idade Moderna, se alguns pensadores realçaram o valor educativo da aritmética, outros o negaram. 12. É indiscutível, porém, o valor educativo da aritmética quando sua aprendizagem é feita de maneira metódica e racional. 13. A aprendizagem da aritmética deve sei progressiva e relacionada com as necessidades práticas da vida. 14. O estudo da geometria tem um valor utilitário. 15. Possui também um valor educativo e formal. 16. A geometria foi estudada desde a Antiguidade. 17. O estudo da geometria só tomou orientação intuitiva a partir de Pestalozzi. 18. Os educadores modernos conferem ao ensino da geometria uma feição objetiva e prática, articulando-o com a vida real. 19. Podemos utilizar, no estudo da geometria, não só o método analítico, como o sintético.

BIBLIOGRAFIA

1. Brand, W. e Deutschbein - "lntroducción a la filosofia matemática", trad., Madrid, 1930.

2. Becker, O. - "Mathematik Existenz", Berlim, 1927.

3. Bruschwig, L. - "Les étapes de la philosophie mathématiques", Paris, 1913.

4. Dubislav, E. - "Die Philosophie der Mathematik in der Gegenwart", Leipzig, 1939.

5. Costa, Amoroso - ''Idéias fundamentais da Matemática'', Rio, 1926.

6. Geiringer, J. - "Die Gedankenwil der Mathematik", Berlim, 1922.

7. Gotseth, F. - "Philosophie Mathematique'', Paris, 1939,

8. Lautmann, A. - Nouvelles recherches sur la structure dialectique des mathematiques", Paris, 1939.

9. Roxo, Euclides - "A Matemática na Educação Secundária", S. Paulo, 1935.

10. Russer, B. - "Introduction into mathematical philosophy", Londres, 1919. 

Notas:

[1] A. Curvillier, "Manuel de Philosophie", II, Paris, 1944, pág. 74.

[2] Ellison Hawks, "The Marvels and Mysteries of Science", Londres, 1946.

[3] A. Curvillier, ob. cit., pág. 75.

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Sobre a realidade dos entes matemáticos

Xavier Zubiri (1898 – 1983) Filósofo Espanhol.

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Apresentamos o texto Zubiri interpretando Gödel sobre a realidade dos entes matemáticos, excertos de ZUBIRI, Xavier. Inteligencia y logos. 1a reimpressão. Madrid: Alianza Editorial; Fundación Xavier Zubiri, 2002, pp. 129-146. Traduzido por Joathas Soares Bello e disponível no LINK.

Capítulo V: Intelecção distanciada do que a coisa real é em realidade

[...]

"A matemática não é um sistema de verdades necessárias, e meramente coerentes entre si de acordo com os 'princípios' da lógica, senão que é um sistema de verdades necessárias acerca de um objeto que, a seu modo, tem realidade perante a inteligência. O que os postulados postulam não é 'verdade' senão 'realidade'; o postulado é realidade do que se postula. [...] os postulados não são meros enunciados lógicos senão enunciados dos caracteres que tem o 'conteúdo' da 'realidade' do postulado. [...].

[...] As afirmações da matemática e da literatura de ficção recaem assim sobre um irreal realizado por postulação construtiva, seja em forma de construção segundo conceitos (matemática), seja em forma de construção segundo perceptos e fictos (literatura de ficção). A inteligência não se limita pois a apreender o que 'está já' nela, senão que seus conceitos, seus fictos e seus perceptos são realizados nela, ou melhor dito ante ela. O inteligido não 'está' então perante a inteligência senão que é algo 'realizado' por ela perante ela. Certamente se pode realizar sem construir; é o caso da maioria dos juízos cujo conteúdo está realizado no real mas sem construção. O que não se pode é construir sem realizar. Daqui a inevitável consequência de que o real, quando está postuladamente realizado, [...] tenha [...] mais notas próprias que as que estão incluídas formalmente nos conceitos, nos fictos e nos perceptos. Desta realidade realizada por postulação construtiva é da que partem a matemática e a literatura de ficção para seus juízos.

Assim, todo juízo, toda afirmação, é afirmação de algo real pressuposto como tal à afirmação mesma. Quando as coisas são reais em e por si mesmas, aquela pressuposição é formalmente apreensão primordial de realidade. Quando as coisas são reais, mas realizadas construtivamente, então a pressuposição é formalmente postulação. A postulação é possível só por estar intrínseca e formalmente fundada na apreensão primordial de realidade. Portanto, a estrutura primária e radical do juízo é ser uma afirmação de uma coisa apreendida já como real (em apreensão primordial) mas segundo seu momento formalmente campal [entre outras coisas reais]. Em virtude disso, um juízo não é uma intelecção imediata do algo real, senão que é uma intelecção modalizada daquela apreensão, daquela intelecção direta e imediata [...]

[...] O juízo pressupõe pois a apreensão primordial de realidade. Mas, insisto, não se trata de uma pressuposição de índole processual, ou seja, não se trata de que antes de julgar se apreende realidade, senão de que esta realidade apreendida antes de julgar se mantém como momento formalmente constitutivo do juízo mesmo enquanto tal.

Apêndice: A realidade dos entes matemáticos

[...] "Os objetos matemáticos têm suas propriedades 'de suyo', ou seja, são reais. É que o objeto real postuladamente realizado segundo conceitos tem, por estar realizado, mais notas ou propriedades que as definidas em sua postulação. Por isto e só por isto é que coloca problemas que podem não ser resolúveis com o sistema finito de axiomas e postulados que definiram sua realização. O construído "na" realidade é, por estar realizado, algo mais que o postulado ao realizá-lo. É a meu modo de ver o alcance do teorema de Gödel. Não se trata de uma limitação intrínseca às afirmações axiomáticas e postuladas enquanto afirmações - é a interpretação usual de dito teorema - senão de que deixa descoberto perante a inteligência o caráter de realidade do construído segundo os axiomas e postulados em questão. É pois não a insuficiência intrínseca de um sistema de postulados, senão a radical originalidade do construído por ser real; uma realidade que não se esgota no que dela se postulou. Este objeto não é uma coisa real em e por si mesma como é esta pedra. Mas não é só o que o 'real seria', senão o que postulada e construidamente 'é real'. É a meu juízo a interpretação do teorema de Gödel. Os juízos da matemática são pois juízos de algo real, juízos do 'real postulado'. Não são juízos acerca do 'ser possível' senão juízos acerca da 'realidade postulada'.

Esta conceituação da realidade matemática por construção não é pois um axiomatismo formalista, mas tampouco é nem remotamente o que se apresentou como oposição rigorosa a este axiomatismo: o intuicionismo, sobretudo de Brouwer. [...] Para o intuicionismo, construir matematicamente não é o mesmo que definir e construir conceitos. O intuicionismo rechaça a ideia de que a matemática se funda na lógica; uma demonstração que apela ao princípio lógico do tertio excluso não é para Brouwer uma demonstração matemática. [...] A operação, se há de ser matemática, há de ser operação executada, portanto operação composta de passos finitos. [...] O intuicionismo é radicalmente um finitismo. A maioria dos matemáticos rechaçaram por isto a ideia de Brouwer apesar de suas geniais contribuições à topologia, porque amputar o infinito atual seria para eles anular um enorme pedaço do edifício matemático. [...] O número inteiro seria um dado da intuição, e por conseguinte construir se reduziria em última instância a contar o dado. Não basta com definir.

Mas esta conceituação não é sustentável [...]

Em primeiro lugar, o conjunto finito de Brouwer não é intuitivo. [...] intuição é a 'visão' de algo dado imediatamente, diretamente, unitariamente. Na intuição tenho a diversidade qualitativa e quantitativa do dado, mas nunca tenho um conjunto. Não há estritos conjuntos intuitivos. Porque para ter um conjunto necessito considerar isoladamente, por assim dizer, os momentos da diversidade intuitiva como 'elementos'. Só então sua unidade constitui um conjunto. Conjunto matemático é sempre e só conjunto de elementos. Mas então é claro que nenhum conjunto, nem tão sequer sendo finito, é intuitivo. Porque a intuição não dá senão 'diversidade de momentos', mas jamais nos dá 'conjunto de elementos'. Para ter um conjunto é necessário um ato ulterior de intelecção que faça dos momentos elementos. Faz falta pois uma construção. O chamado conjunto finito, presumidamente dado na intuição, não é senão a aplicação do conjunto já construído intelectivamente à diversidade do dado. Esta aplicação é justamente uma postulação: postula-se que o dado se resolve em um conjunto. Por conseguinte, em estrito rigor não pode se chamar intuicionismo a matemática de Brouwer. O conjunto de Brouwer não é intuitivo; é o conteúdo objetivo de um conceito de conjunto que se 'aplica' ao intuitivo.

[...]

A construção matemática é sempre portanto um ato de inteligência senciente. E portanto o objeto matemático tem realidade postulada. Não é um conceito objetivo de realidade senão que é realidade em conceito. É, insisto, a realidade mesma de qualquer coisa real sencientemente apreendida mas com um conteúdo livremente construído em dita realidade segundo conceitos. O postulado, repito, não são verdades lógicas nem operações executadas, senão que é o conteúdo do real (já definido ou executado) em construção e por construção postulada. O objeto matemático não está constituído pelos postulados, senão que o que os postulados definem é a 'construção' perante a inteligência daquilo cuja realização se postula, e que por esta postulação adquire realidade.

Os objetos da matemática são 'objetos reais', são objetos na realidade, nesta mesma realidade das pedras ou dos astros; a diferença está em que os objetos matemáticos estão postuladamente construídos em seu conteúdo. A pedra é uma realidade em e por si mesma; um espaço geométrico ou um número irracional são realidade livremente postulada. É usual chamar o objeto da matemática 'objeto ideal'. Mas não há objetos ideais; os objetos matemáticos são reais. Isto não significa, repito-o insistentemente, que os objetos matemáticos existam como existem as pedras, mas a diferença entre aqueles e estas concerne tão só ao conteúdo, um conteúdo no primeiro caso dado, livremente postulado na realidade no segundo. Portanto os objetos matemáticos não têm existência ideal senão somente existência postulada, postulada mas "na" realidade. O que ocorre é que seu conteúdo: 1o está construído, e 2o está construído segundo conceitos. O que tão impropriamente se chama ideal é o real construído segundo conceitos. Tanto a existência como as propriedades estão postuladamente construídas "na" realidade. Portanto um objeto matemático não é real por sua mera definição nem por sua execução, mas tampouco é um objeto real em e por si mesmo como as coisas apreendidas em impressão sensível. É algo real por um postulado que realiza um conteúdo (notas e existência) livremente determinado graças à postulação. 

Como o momento de realidade é justamente o "mais" de cada coisa real sentida, resulta que todo objeto matemático está inscrito na formalidade de realidade dada em impressão. Ou seja, é termo de uma intelecção senciente. Não se trata de que um espaço geométrico ou um número irracional sejam sentidos como se sente uma cor; estes objetos evidentemente não são sensíveis. Trata-se de que o modo de intelecção de um número irracional ou de um espaço geométrico é senciente. E o é: 1o porque se inteligem postuladamente num campo de realidade, isto é na formalidade dada em impressão de realidade, e 2o porque sua construção mesma não é mera conceituação senão realização, ou seja algo levado a cabo sencientemente. Sem sentir o matemático, não se pode construir a matemática. Aqui se toca com o dedo toda a diferença entre inteligência sensível e inteligência senciente [...] A inteligência sensível intelige apoiada nos sentidos; a inteligência senciente intelige sencientemente tudo, tanto o sensível como o não sensível. O objeto matemático é real com um conteúdo livremente construído na realidade física dada em impressão, e esta sua construção é a postulação.

A própria ciência matemática enunciou entre outras coisas dois teoremas cuja essência, a meu modo de ver, é [...] a anterioridade da realidade sobre a verdade. O teorema de Gödel, segundo o qual o construído por postulação tem 'de suyo' mais propriedades que as formalmente postuladas, expressa a meu modo de ver que o postulado é realidade antes que verdade. E o teorema (chamemos assim a teoria não cantoriana de conjuntos) de Cohen: os conjuntos não são só sistemas de elementos determinados por precisa postulação, senão que há, antes disso, conjuntos que ele chama genéricos e que a meu modo de ver não são genéricos, senão que são a simples realização do conjunto, sem as propriedades específicas determinadas por postulação. As propriedades postuladas mesmas são então reais antes que verdadeiras. A especificação não é aqui uma diferença lógica senão uma determinação real. É a realidade do conjunto antes que a verdade axiomática postulada. A meu modo de ver, este é o sentido essencial dos teoremas de Gödel e Cohen: a anterioridade do real sobre o verdadeiro na matemática".

Kurt Gödel

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