Sobre Euclides, sua Geometria e seus Elementos - parte 2

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Tempo de leitura: 73 minutos. 

Continuamos com apresentação da Introdução do livro Os Elementos de Euclides, traduzido por Irineu Bicudo, Editora Unesp, 2009.

A parte I pode ser encontrada AQUI e a parte III aqui (em breve).

A História

(...) é impossível para um historiador ressuscitar

integralmente o passado (...)

Jacque Le Goff

As Sereias: consta que elas cantavam, mas de uma maneira 

que não satisfazia, que apenas dava a entender em

que direção se abriam as verdadeiras fontes e a verdadeira

felicidade do canto. Entretanto, pelos seus cantos imperfeitos, 

que não passavam de um canto ainda por vir,

conduziam o navegante em direção àquele espaço onde o

cantar começava de fato. Elas não o enganavam, 

levavam-no realmente ao objetivo.

Maurice Blanchot

Em geral, a natureza não propõe problemas fáceis, dado quase sempre o elevado número das variáveis neles envolvidas. Pela impossibilidade, consequência das dificuldades técnicas, de abrangê-las todas, o homem de ciência, ao abordar uma determinada questão, seleciona aquelas que julga mais significativas ao tratamento do caso considerado. Faz-se, assim, uma modelagem da realidade (o que quer que isso possa significar). Mas, então, a solução oferecida é sempre uma redução, apenas uma aproximação daquilo que a natureza sugerira. Há, pois, soluções mais ou menos compreensivas, dependendo da capacidade de cada cientista de lidar com um número conveniente das variáveis e da sua perspicácia (ou devemos chamá-la intuição) no escolhê-las importantes.

O mesmo se dá quando se procura escrever a história de um acontecimento, de uma cultura, de uma época. Apenas aproximações estão no domínio do historiador: boas ou más. Tudo o que ele pode almejar é que o seu relato seja “o canto da Sereia” que não engane, mas leve realmente ao objetivo. E isso, principalmente, ao dispormos de documentos para a consulta, na existência de fontes primárias. Falto delas, fica cheio de obstáculos o caminho para uma boa aproximação dos fatos ocorridos e dos feitos alcançados.

Tudo isso é avalizado pelo seguinte trecho de uma entrevista de um historiador brasileiro a um jornal de São Paulo [14]:

Julguei importante colocar a controvérsia historiográfica para ajudar o leitor a entender que não há possibilidade de reconstruir o passado como tal. A história é sempre uma construção, ainda que não seja arbitrária, pois procura a objetividade através do controle das fontes. Dependendo da maneira como tais fontes são interpretadas, surgem visões distintas, trazendo a marca da concepção do historiador e também do tempo.

Talvez, com uma boa dose de audácia, pudéssemos tomar por mote: “O Passado jaz morto e enterrado”.

Nesse caso, o que nos caberia fazer?

Cada historiador da Matemática – fixemo-nos no que nos diz respeito – age a partir de pequenas evidências, como o legista tenta, a partir de algum osso, reconstituir o verdadeiro rosto do morto, que não mais se mostra na polida superfície dos espelhos. Assim escreve G. R. Dherbey no prefácio à tradução francesa de Os sofistas, do italiano Mario Untersteiner:

Objetar-se-nos-á, talvez, que o conhecimento, no que concerne ao corpus sofístico, é bem mais difícil: os textos são extremamente fragmentários e mesmo, exceção feita a Górgias, pobres e raros. Mas não nos achamos aqui, como para toda a literatura pré-socrática aliás, em caso semelhante àquele da paleontologia? Cuvier empenhava-se, a partir de simples vestígios de animais pré-históricos, em reconstruir o esqueleto inteiro: o dente carnívoro e o dente moedor não impõem a mesma forma de mandíbula que, por sua vez, implica uma morfologia geral seja de predador, seja de ruminante. Cada elemento anatômico dá, de modo rigoroso, o todo, e dever-se-ia fazer ao pensamento a bondade de crê-lo tão coerente quanto a carcaça animal.

Mas essa convicção na coerência que pudesse fazer divisar o “esqueleto inteiro” com base em um “elemento anatômico” não se deve esperar do historiador, pois em geral um “elemento” será comum a vários “esqueletos”. É o que é razoável concluir do que observa Paul Tannery em La géométrie grecque [15]:

Separemos da história da Matemática a parte propriamente bibliográfica, quero dizer, a constatação material dos fatos: tal frase encontra-se em tal página, seja de tal edição de tal obra, seja de tal manuscrito arrolado sob o número tal em tal biblioteca; separemos ainda o que pode, como no Aperçu historique [Resumo histórico] de Michel Chasles, formar um dos principais atrativos do livro, mas que pertence, de fato, à Ciência mesma, bem longe de constituir uma parte integrante da sua história; quero dizer, os desenvolvimentos dados a tal método, as relações estabelecidas entre eles e outros mais recentes, enfim as demonstrações de teoremas ou soluções de problemas, quer concebidas no espírito dos procedimentos de outrora quer somente sugeridas pelo seu estudo.

Feita essa separação, o que resta na realidade? Um tecido de conjecturas que estão, aliás, em todos os graus de probabilidade, desde aquela que tem quase o valor de certeza, até a que mal difere da dúvida, para não falar de hipóteses ainda menos favorecidas; e ainda esse tecido assemelha-se à mortalha de Penélope porque, se é verdade que se pode considerar como indo sempre aumentando a probabilidade média dos resultados obtidos pela crítica, não é, de modo algum, o mesmo para a probabilidade especial de cada asserção particular; essa probabilidade é sujeita a variações contínuas, e raramente existe ponto pelo qual a opinião hoje dominante ache-se garantida contra uma exclusão momentânea, ou definitiva, após ou na vinda à luz de algum fato novo ou da aparição de alguma nova hipótese.

Ainda, para só ficarmos entre os grandes da história da matemática, reproduzimos as palavras de Otto Neugebauer [16]:

Das abóbadas do Museu Metropolitano de Nova York pende uma magnífica tapeçaria que conta a fábula do Unicórnio. No final, vemos o miraculoso animal capturado, graciosamente resignado ao seu destino em um recinto limitado por uma pequena e bem feita cerca. Essa imagem pode servir como símile para o que tentamos aqui. Erigimos engenhosamente, a partir de pequenos pedaços de evidência, a cerca dentro da qual esperamos ter prendido o que pode parecer uma criatura possível, vivente. A realidade, no entanto, pode ser amplamente diferente do produto da nossa imaginação; talvez seja vão esperar algo mais do que uma imagem agradável à mente construtora quando tentamos restaurar o passado.

Como um erudito alemão, ao escrever a última frase acima, Neugebauer deveria ter em mente a mesma cena do Fausto a que se refere E. Cassirer, a respeito do mito:

No Fausto de Goethe, há uma cena em que vemos o Doutor Fausto na cozinha da bruxa, esperando que esta lhe dê a beberagem mágica que o devolverá à juventude. Diante de um espelho encantado, tem subitamente uma visão maravilhosa. Aparece no espelho a imagem de uma mulher de beleza sobrenatural. Fausto sente-se arrebatado e atraído; mas Mefistófeles, que está ao seu lado, zomba de tanto entusiasmo. Ele é quem sabe das coisas; sabe que o que Fausto viu no espelho não era a forma de uma mulher real: era tão só uma criatura da sua própria imaginação (grifo nosso).

São múltiplos os perigos quando pretendemos trilhar o passado. Há terrenos alagadiços, falsas pontes, tenebrosos abismos. Estará o pote de ouro no final do arco-íris? Há o cedermos aos antigos os nossos olhos e nossas ideias. Prevenia-nos Levy-Bruhl, guardadas as proporções:

Em vez de nos substituirmos em imaginação aos primitivos que estudamos, e de fazê-los pensar como nós pensaríamos se estivéssemos no seu lugar, o que só pode conduzir a hipóteses quando muito verossímeis e quase sempre falsas, esforcemo-nos, pelo contrário, por nos pôr em guarda contra os nossos próprios hábitos mentais e tratemos de descobrir os dos primitivos através da análise das suas representações coletivas e das ligações entre essas representações.

Completemos Levy-Bruhl com o que tão enfaticamente afirma Lucien Febvre:

A esses antepassados, emprestar candidamente conhecimentos de fato – e, portanto, materiais de ideias – que todos possuímos, mas que para os mais sábios dentre eles era impossível obter; imitar tantos bons missionários que, em tempos, regressavam maravilhados das “ilhas”, pois todos os selvagens que tinham encontrado acreditavam em Deus (mais um pequeno passo e tornar-se-iam autênticos cristãos); dotarmos os contemporâneos do papa Leão, com uma generosidade imensa, das concepções do universo e da vida que a nossa ciência para nós forjou e cujo teor é tal que nenhum dos seus elementos, ou quase, habitou alguma vez o espírito de um homem da Renascença – porém, contam-se pelos dedos os historiadores, e refiro-me aos de maior envergadura, que recuam perante tal deformação do passado, tal mutilação da pessoa humana na sua evolução.

Pronto! Estamos junto ao templo sagrado da Matemática, esse “jogo de jovens” (“Nenhum matemático deveria jamais se permitir esquecer que a Matemática, mais do que qualquer outra arte ou ciência, é um jogo de jovens” – G. H. Hardy), criado por um povo de juventude eterna; “aquele que, em Delfos, contempla a densa multidão dos jônios, imagina que eles jamais haverão de envelhecer”.

Mostramos armadilhas, apontamos enganosos caminhos que se oferecem, sedutores, aos que se atrevem a desvelar o passado. Seja, pois, tudo aceito cum grano salis.

As portas do templo neste momento se abrem. Convidamo-lo, caro leitor, entremos.

Euclides e a tradição sobre ele

Tudo já foi dito uma vez, mas, como 

ninguém escuta, é preciso dizer de novo.

André Gide

Para testemunhos de como se constituiu e como se desenvolveu a geometria grega, ficamos estritamente dependentes de escassas notícias espalhadas em escritores antigos, muito do que foi extraído do trabalho desaparecido, já mencionado, História da Geometria, de Eudemo, um dos principais discípulos e colaboradores de Aristóteles.

Uma passagem dessa obra, conhecida como o Sumário de Eudemo ou o Catálogo dos geômetras, foi, no entanto, preservada por Proclus, que a retirou, bem provavelmente, dela própria. Traduzimos todo o passo, começando um pouco antes:

Por um lado, de fato, muitos dos mais velhos descreveram essas coisas, tendo-se proposto a fazer o elogio da matemática, e por isso apresentamos poucas das muitas nessas coisas, exibindo completamente o conhecimento e a utilidade da geometria. Por outro lado, depois dessas coisas, deve-se dizer da produção dela nesse período. Pois o divino Aristóteles dizendo: as mesmas opiniões frequentemente retornar aos homens segundo períodos determinados do todo, e não tomar as ciências uma organização durante o nosso tempo primeiramente ou o dos nossos conhecidos, mas também nem dizer em quantas outras circunvoluções, tanto tornadas quanto havendo de ser, aparecerem elas e também de novo desaparecerem.

Depois de que, dizemos, é preciso examinar as origens das artes e das ciências no período presente.

Visto que seja conhecido por muitos a geometria ter sido descoberta entre os egípcios primeiramente, tendo tomado a origem da ação de medir com cuidado as áreas.

Pois esta era necessária para aqueles pela ação de se elevar do Nilo, fazendo desaparecer os limites concernentes a cada um.

E nada é surpreendente começar a descoberta tanto dessa quanto das outras ciências pela necessidade, porque tudo o que é produzido na geração avança do imperfeito ao perfeito.

Possa, justamente, a mudança vir a acontecer, de fato, da sensação para o cálculo e desse para o pensamento.

Como, de fato, entre os fenícios, pelo comércio e as relações de negócio, o conhecimento dos números tomou o princípio exato, assim também entre os egípcios a geometria foi descoberta pela causa dita.

E Tales, primeiramente tendo ido ao Egito, transportou para a Grécia essa teoria e, por um lado, descobriu muitas coisas, e, por outro lado, mostrou os princípios de muitas para os depois dele, aplicando-se a umas de modo mais geral, a outras, de modo mais sensível.

E depois desse, Mamerco [?], o irmão do poeta Stesichorus, o qual é mencionado como tendo tido uma ligação de zelo em relação à geometria, e Hippias de Elis relatou-o como tendo adquirido uma reputação na geometria [17].

E depois desses, Pitágoras mudou a filosofia sobre ela em uma forma de educação livre, examinando do alto os princípios dela, explorando os teoremas tanto de um modo imaterial quanto intelectual, o qual então também descobriu a disciplina dos irracionais e a construção das figuras cósmicas. E depois desse, Anaxágoras de Clazomene ligou-se a muitas coisas das relativas à geometria, e Oinopedes de Quios, sendo por pouco mais jovem do que Anaxágoras, os quais também Platão mencionou nos Rivais como tendo adquirido uma reputação nas matemáticas.

Depois dos quais, Hipócrates de Quios, o que descobriu a quadratura da lúnula, e Teodoro de Cirene tornaram-se ilustres com relação à geometria.

Pois Hipócrates também compôs Elementos, o primeiro dos que são mencionados.

E Platão, tendo nascido depois desses, fez tomar muito grande progresso tanto as outras coisas matemáticas quanto a geometria, pelo zelo relativo a elas, o qual, é evidente, tanto de algum modo tendo tornado frequente as composições com os discursos matemáticos quanto despertado por toda parte a admiração relativa a elas dos que se ligam à filosofia.

E nesse tempo eram tanto Leodamas de Thasos quanto Árquitas de Taranto quanto Teeteto de Atenas, pelos quais os teoremas foram aumentados e avançaram para uma organização mais científica. E Neocleides, mais jovem do que Leodamas, e o discípulo desse, Léon, os quais resolveram muitas coisas em adição às dos antes deles, de modo a Léon compor também os Elementos de maneira mais cuidada tanto pela quantidade quanto pela utilidade das coisas demonstradas, e descobrir distinções, quando o problema procurado é possível e quando é impossível.

E Eudoxo de Cnido, por um lado, por pouco mais jovem que Léon, e, por outro lado, tendo-se tornado companheiro dos à volta de Platão, primeiro aumentou a quantidade dos chamados teoremas gerais, e às três proporções ajuntou outras três, e fez avançar em quantidade coisas tomadas a respeito da seção, com origem em Platão, servindo-se das análises sobre elas. E Amyclas de Heracleia, um dos discípulos de Platão e Menaechmus, que é discípulo de Eudoxo, tendo também frequentado Platão, e o seu irmão Deinostratus fizeram ainda mais perfeita a geometria toda. E Theudius de Magnésia pareceu ser o que excede tanto nas matemáticas quanto em relação à outra filosofia. Pois também arranjou convenientemente os Elementos e fez mais gerais muitas coisas das particulares. E, naturalmente, também Athenaeus de Cyzicus, tendo nascido durante os mesmos tempos, também se tornou ilustre, por um lado, nas outras matemáticas, e, por outro lado, principalmente na geometria. De fato, esses viveram com outros na Academia, fazendo as pesquisas em comum. E Hermotimus de Colofon fez avançar as coisas investigadas antes por Eudoxo e Teeteto, tanto descobriu mais muitas coisas dos Elementos quanto redigiu alguns dos Lugares. E Felipe de Mende, sendo discípulo de Platão e tendo sido exortado por ele para as matemáticas, tanto fazia as pesquisas segundo as indicações de Platão quanto produziu-as por si próprio quantas cria contribuir para a filosofia de Platão. Os que realmente expuseram as histórias promoveram as realizações dessa ciência até esse tempo [18].

Aí termina o Catálogo elaborado por Eudemo.

Além de fixar os nomes daqueles gregos que mais se distinguiram no esforço de dar à matemática aquela aparência de que seríamos herdeiros, o que mais chama a atenção é o fato de Euclides não ter sido o primeiro a coligir os Elementos. Mas, ao lado do que, como veremos, Proclus vai dar a seguir, há o ponto relevante de que apenas, dessas todas, só a obra de Euclides chegou até nós. Eis a marca do seu sucesso: ter dado conta e bem de praticamente tudo o que fizeram os seus predecessores. Ora, quando se tem em mente a dificuldade na confecção de cópias manuscritas, se um tratado trouxesse de forma bem posta e melhorada o que outros continham, passava-se, com vantagens, a copiar aquele em detrimento destes. Desse modo, o tempo fez com os trabalhos dos demais o que não conseguiu com os Elementos de Euclides: eliminou-os quase que totalmente da memória dos homens.

Em continuação ao Catálogo, com sentido de completamento, Proclus prossegue, agora pelo seu arbítrio e risco.

E não muito mais jovem do que esses é Euclides, o que reuniu os Elementos, tendo também, por um lado, arranjado muitas das coisas de Eudoxo e tendo, por outro lado, aperfeiçoado muitas das coisas de Teeteto, e ainda tendo conduzido as coisas demonstradas frouxamente pelos predecessores a demonstrações irrefutáveis.

E esse homem floresceu no tempo do primeiro Ptolomeu; pois, também Arquimedes, tendo vindo depois do primeiro, menciona Euclides, e, por outro lado, também dizem que Ptolomeu demandou-lhe uma vez se existe algum caminho mais curto que os Elementos para a geometria e ele respondeu não existir atalho real na geometria [19].

Acontece com Euclides o mesmo que com outros grandes matemáticos da Grécia Antiga: restam-nos apenas macérrimas informações sobre a vida e a personalidade do homem. No caso presente, a maior parte do que temos provém do que está dado acima, no trecho “Não muito mais jovem do que esses (...) não há caminho real para a geometria”, isto é, na parte acrescentada por Proclus ao Sumário de Eudemo. O próprio autor do acréscimo parece não ter conhecimento direto do lugar de nascimento do geômetra ou das datas em que nasceu e em que morreu. Procede antes por inferência:

(1) Arquimedes viveu imediatamente após o primeiro Ptolomeu;

(2) Arquimedes menciona Euclides;

(3) Há uma história sobre algum Ptolomeu e Euclides;

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(I) Euclides viveu no tempo do primeiro Ptolomeu.

(4) Euclides medeia entre os primeiros discípulos de Platão e Arquimedes;
(5) Platão morreu em 347/6 a.C.;

(6) Arquimedes viveu de 287 a 217 a.C.;

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(II) Euclides deve ter atingido o seu acúmen por volta de 300 a.C. (o que acorda bem com o fato de que o primeiro Ptolomeu reinara de 306 a 283 a.C.).

(7) Atenas era, à época, o mais importante centro de matemática existente;

(8) Os que escreveram Elementos antes de Euclides viveram e ensinaram em Atenas;

(9) O mesmo vale para os outros matemáticos de cujos trabalhos os Elementos de Euclides dependiam;

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(III) Euclides recebeu o seu treinamento matemático dos discípulos de Platão em Atenas.

Proclus, indo ainda mais longe, garante que Euclides era da escola platônica e que mantinha íntima relação com a filosofia dele [20] (“é platônico pela escolha e familiarizado com essa filosofia”) e que, por essa razão, teria se proposto por objetivo dos Elementos, como um todo, a construção das chamadas figuras platônicas [21] (“e donde precisamente propôs-se como objetivo do livro todo dos Elementos a construção das chamadas figuras platônicas”). Como os Elementos terminam, de fato, com a construção dos poliedros regulares, isto é, dos cinco sólidos ou figuras platônicas, sendo Proclus um neoplatônico, viu nisso a oportunidade para associar Euclides àquela escola. Aliás, parece-nos possível entender a expressão τέλος no papel de advérbio “no fim, em último lugar”, podendo-se verter parte da frase citada por “propôs-se no fim do livro todo dos Elementos a construção (...)”, o que é verdade. Abusaria, assim, Proclus de uma ambiguidade?

Que Euclides ensinara e fundara uma escola em Alexandria, aprendemos de uma observação de Pappus no Livro VII da sua A coleção matemática, ao comentar que Apolônio nos transmitiu oito livros sobre as cônicas, tendo completado os quatro livros das Cônicas de Euclides e a eles ajuntado outros quatro.

Pappus, 7.35:

E [Apolônio] pode ajuntar as coisas restantes ao “lugar”, tendo antes sido capaz de imaginar pelas coisas já escritas por Euclides sobre o “lugar”

e, tendo frequentado por muito tempo os discípulos de Euclides em Alexandria, por essa razão adquiriu esse hábito não ignorante de mente [22].

Há, por fim, um episódio relatado por Stobaeus nos seus Eclogarum physicarum et ethicaram Libri II [23]. Ei-lo:

(...) alguém que começara a estudar geometria com Euclides, tendo aprendido o primeira teorema, perguntou a Euclides: “Mas o que me será acrescido por aprender essas coisas?” E Euclides, tendo chamado o escravo: “Dê-lhe três óbolos, porque para ele é preciso lucrar com o que aprende” [24].

Apenas isso a tradição nos transmite sobre o nosso personagem. 

Vale ponderar aqui que a tradição se interessa mais pela verossimilhança do que pela verdade, considerando aquela como uma metáfora desta. Desse modo, o diálogo entre Ptolomeu e Euclides que, diga-se de passagem, também é contado sobre a dupla rei-geômetra Alexandre e Menaechmus, pelo próprio Stobaeus na obra referida, metaforiza o fato de a geometria ter de ser aprendida sistematicamente, passo a passo, seguindo o trajeto exposto nos Elementos. A última história, por sua vez, representa, figuradamente, o que é frisado no Catálogo dos geômetras, que Pitágoras mudou a filosofia sobre a matemática “em uma forma de educação liberal”, ou seja, própria dos homens livres, que não se submetem senão a ganhos intelectuais. Da mesma maneira, quando a tradição nos dá como escrita sobre o pórtico da Academia a famosa frase “ninguém que ignore geometria entre” [25], não quer nos fazer crer estar ela realmente postada à entrada para, como a ígnea espada do arcanjo, que impedisse, aos não iniciados naquela ciência, o acesso a um tal Éden; antes condensa, metaforicamente, de modo admirável, tudo o que Platão dizia sobre a matemática: ser ela o vestíbulo, a via pela qual se chega à filosofia.

O que fica de tudo é o pouco conhecimento, e ainda assim incerto, que resta do homem que foi o nosso geômetra. É como se, daquela distante época, um aedo nos cantasse:

Diz o Tempo a Euclides:

Nas muitas dobras que tenho

No meu manto de negro tecido,

Escondo para sempre dos pósteros

A tua vida, as tuas dores,

As tuas alegrias fugazes,

O teu dia de cada dia.

Escondo-te o semblante, o sorriso,

A lágrima quente que escava

Profundos sulcos na face.

Escondo também os amores,

As tuas noites de insônia

E a dura luta diária

Rumo à verdade desnuda.

Escondo tudo o que foste

De todos os que virão.

Mas as muitas dobras que tenho

No meu manto de negro tecido,

Por mais que eu faça e refaça,

Não bastam para esconder

A obra que produziste.

Proclamo, pois, em alto som:

Os Elementos de Euclides

Sempiternos brilharão.

Outros trabalhos de Euclides

A importância extraordinária dos Elementos torna de somenos monta os demais trabalhos atribuídos ao geômetra, alguns dos quais chegaram até nós. São, na maior parte, pequenos planetas a orbitarem à volta daquela magna estrela. Conhecemo-los todos por menção de autores gregos.

Assim, na sequência do Sumário de Eudemo, Proclus faz-nos saber:

Também existem, de fato, muitas outras obras matemáticas desse homem, cheias de exatidão admirável e de visão científica.

Pois tais são tanto a Ótica quanto a Catóptrica, e tais também as a respeito dos Elementos de música, e ainda o livro sobre Divisões [26].

E, em continuação, elogiando os Elementos, faz referência a um outro trabalho:

E porque muitas coisas são vistas na aparência como sendo apoiadas na verdade e seguindo os princípios científicos, mas seguem o seu curso para o desvio dos princípios e enganam completamente os mais superficiais, ele também legou à posteridade métodos de percepção perspicaz dessas coisas, tendo os quais poderemos treinar os principiantes dessa teoria para a descoberta dos paralogismos, e a permanecer até o fim não enganados.

E assim então, essa obra, pela qual introduz-nos nessa preparação, ele intitulou Das falácias (...) [27]

Esse livro Das falácias perdeu-se, mas o seu intento é exposto claramente no excerto, e, como aparece num contexto que diz respeito aos Elementos, é lídimo supor não ultrapassar o domínio da geometria.

Vejamos os outros títulos citados pelo escoliasta.

Ótica e Catóptrica

Ambos foram editados por Heiberg no mesmo Volume VII (1895) da publicação pela Teubner Verlagsgesellschaft Euclidis opera omnia [28], de Heiberg–Menge. Aí a Ótica aparece na sua forma genuína e na recensão de Théon de Alexandria.

A Catóptrica, por sua vez, não é genuína e Heiberg tem para si que, no formato sobrevivente, possa ser de Théon. Possivelmente, Proclus teria se enganado ao pô-la na conta de Euclides, que não a produzira.

A Ótica é, de fato, um tratado de perspectiva. Parte da hipótese da existência de raios visuais retilíneos e busca determinar a parte que efetivamente vemos de um objeto distante dado.

A palavra catóptrica (que ousamos aportuguesar, com a acentuação regida pela analogia com ótica, variante de óptica) é um adjetivo grego derivado do substantivo neutro κατόπτρον “espelho”. Por isso, o título τὰ κατοπτρικά significaria “imagens refletidas”, ou melhor, Teoria da reflexão.

Elementos de música

Dois tratados são dados como de Euclides: Sectio canonis [29] “a teoria dos intervalos”, “Divisão da escala”, e εἰσαγωγή ἁρμονική “introdução à harmonia”, editados no Volume VIII das Euclidis opera omnia por Menge. O primeiro, baseado na teoria pitagórica da música, é matemático, concordando em geral, tanto na dicção quanto na forma das proposições, com o que está nos Elementos. O segundo é de Cleonides, um discípulo de Aristoxenes.

O livro das divisões (de figuras)

Essa obra, contrariando aparentemente a expectativa dos que conhecem apenas os Elementos, ocupa-se com a aplicação da geometria a problemas de cálculo, como os existentes na Babilônia. A diferença característica é o uso feito dos resultados dependentes de proposições daquele trabalho magno em lugar da abordagem numérica dos orientais.

Trata-se, em resumo, da divisão de figuras em outras que lhes sejam semelhantes ou dessemelhantes pela definição, isto é, do mesmo tipo ou de tipo diferente. Desse modo, um triângulo pode ser dividido em triângulos, ou seja, em figuras do mesmo tipo ou semelhantes pela definição, ou pode ser dividido em um triângulo e um quadrilátero, figuras dessemelhantes pela

definição.

É como nos diz Proclus (144.22-26)

... pois tanto o círculo é divisível em dessemelhantes pela definição quanto cada uma das retilíneas, e ele próprio, o autor dos Elementos, ocupou-se nas Divisões, dividindo as figuras dadas quer em semelhantes quer em dessemelhantes [30].

O texto grego dessa obra de Euclides perdeu-se, tendo sido redescoberto em árabe. Woepcke encontrou em um manuscrito em Paris um trabalho em árabe sobre a divisão de figuras. Traduziu-o e publicou-o em 1851 no Journal Asiatique. Esse tratado é expressamente atribuído a Euclides no manuscrito e acorda com o que Proclus diz sobre ele.

Além desses trabalhos cujo elenco é dado pelo comentarista, há mais, citados por outros autores.

Os Data

Os Data [31] foram incluídos por Pappus no Tesouro da análise.

Antes de tecer considerações sobre ele, queremos esclarecer alguns pontos relativos a Pappus.

Estamos todos cientes de que a Idade de Ouro da geometria grega findara com Apolônio de Perga. No entanto, a influência dos feitos do trio, Euclides, Arquimedes e Apolônio, não acabou com os seus dias. Tivemos uma sucessão de matemáticos, se não criativos, ao menos competentes, aptos a preservar a tradição. Geminus, por exemplo, escreveu uma obra de caráter quase enciclopédico sobre a classificação e o conteúdo da matemática, incluindo a história do desenvolvimento de cada assunto. Pappus (VIII, 3), falando sobre Arquimedes, abona a sua observação com um “como o declara também Geminus, o Matemático, no seu livro A ordenação da matemática” [32]. Apesar disso, o título do grande tratado de Geminus não está bem fixado, pois Eutocius de Áscalon, no seu comentário às Cônicas de Apolônio, menciona-o como A ciência matemática [33]. Já Proclus, no Comentário ao livro I dos elementos de Euclides, mune-nos de informações precisas sobre esse trabalho, sem jamais mencionar-lhe o título.

O começo da Era Cristã assiste a um acentuado decréscimo no interesse pelo estudo da geometria avançada. Assim Pappus, no século III, propõe-se a missão de reavivar a curiosidade sobre tal conhecimento.

A sua obra capital chegou-nos sob a designação de Coleção matemática. Em verdade, a maior parte dos manuscritos, sobretudo os mais antigos, vem apenas com a denominação A coleção [34], mas cópias menos antigas trazem um título mais completo no plural, As coleções matemáticas [35]. Consiste ela em uma ampla recolha de proposições extraídas de um número grande de obras de outros matemáticos, quase todas hoje infelizmente desaparecidas. Está longe, porém, de ser uma simples compilação, e excede de muito o quadro de apenas um comentário, uma vez que não se limita a expor proposições notáveis, devidas aos seus predecessores. Fá-las acompanhar de uma multidão de lemas, destinados a esclarecer as passagens mais complexas das suas demonstrações. Mas, há muito mais. Dá-nos frequentemente demonstrações alternativas. Estende-as a casos particulares ou análogos, aplica-os à solução de problemas novos ou à daqueles já resolvidos de outra maneira, e completa o todo com numerosas proposições novas, que indicam pesquisas bem avançadas nesse domínio e o calibre matemático do seu autor.

A obra é composta por oito livros (capítulos, como os chamaríamos hodiernamente), sendo o sétimo sobremodo importante para a história da geometria, por ser a única fonte do que conhecemos sobre um conjunto de trabalhos perdidos relativos à geometria avançada, que os antigos chamavam “lugar resolvido/analisado” ou “Tesouro da análise” [36]. A denominação Tesouro da análise, corrente na língua inglesa, Treasure of Analysis, parece ter sido sugerida por James Gow que, em nota na página 211 da sua A Short History of Greek Mathematics [37], faz as seguintes e, a nosso ver, pertinentes considerações filológicas:

A palavra τόπος aqui não significa locus (“lugar”), mas tem o seu significado aristotélico de “store-house” (“depósito, ou figuradamente, tesouro”). Então, no começo do Livro VI de Pappus, τόπος ἀστρονομούμενος significa “o tesouro astronômico”... Τόπος ἀναλυόμενος significa “o tesouro da análise”, como na retórica de Aristóteles, τόποι ou κοινοὶ τόποι são coleções de “lugares comuns”, [isto é] observações e críticas a que os retóricos podem sempre recorrer. A tradução de τόπος ἀναλυόμενος como “locus resolutus”, “lieu résolu” ou “aufgelöster Ort” é portanto enganadora e levou, acredito, a alguma concepção errônea.

Pappus indica-lhe de pronto a natureza, afirmando:

O chamado Tesouro da análise, Hermodoro meu filho, é uma matéria especial preparada como auxílio, depois da produção dos elementos comuns, para os que querem aprender nas linhas a potência inventiva dos problemas que se lhes estendem à frente e que se constituiu útil para isso somente [38].

Prossegue, um pouco mais adiante:

E dos preditos livros do Tesouro da análise, a ordem é esta [39]: dos Data de Euclides, um livro... [40]; dos Porismata de Euclides, três [41]; ... dos Lugares em uma superfície de Euclides, dois... [42] Existem 32 livros [43].

Portanto, dentre outros, Pappus arrola três outros trabalhos de Euclides não mencionados por Proclus.

Retornemos, agora, aos Data, cujo texto sobreviveu e foi editado, juntamente com o comentário feito por Marinus de Neapolis, discípulo de Proclus, por Menge no Volume VI de Euclidis opera omnia.

Os Data são um conjunto de 95 proposições (Pappus fala em 90), precedido agora por uma introdução explanatória de Marinus. Este observa que Euclides deveria ter começado com uma definição geral de δεδομένον “dado” e depois passar aos vários casos que inclui, concluindo que, na sua opinião, a melhor definição seria “cognoscível e passível de obtenção” [44].

Eis algumas das definições de Euclides no início da obra:

1. Áreas e também linhas e ângulos são ditos dados em magnitude, iguais aos quais podemos obter [45].

4. Pontos e também linhas e ângulos são ditos ter sido dados em posição, aqueles que se mantêm sempre sobre o mesmo lugar [46].

6. E um círculo é dito ter sido dado em posição e em magnitude, aquele do qual, por um lado, o centro foi dado em posição, e, por outro lado, o raio, em magnitude [47].

As proposições que seguem as definições lidam com magnitudes, linhas, figuras retilíneas e círculos, nessa ordem.

A palavra “dado” é empregada em dois sentidos. Significa, primeiramente, “realmente dado”, e, em segundo lugar, “dado por implicação”, e as proposições são todas para esse efeito de que certa descrição parcial de uma magnitude ou de uma figura geométrica envolva uma descrição mais completa; assim aquela de um triângulo como equilátero envolve a sua descrição como equiângulo.

Pappus mostra com exemplos como os Data prestam serviço à Análise. Esta começa com uma construção suposta que satisfaça as condições propostas. Tais condições, sendo convertidas em elementos dados da figura, envolvem outros que são dados por implicação, e esses, por sua vez, envolvem outros, até que, passo a passo, cada um deles é legitimado, e chega-se a uma construção da qual se obtém uma síntese.

Os Data são, de fato, sugestões para as etapas mais usuais na Análise.

Os Porismata

Proclus (301.21-302.13) procura elucidar o que se deve entender tecnicamente por porismata [48]. Eis a explicação:

O porisma [substantivo neutro em grego] é uma das expressões geométricas. E isso significa duas coisas. Pois, denominam-se porismata tanto quantos teoremas são ajudados no seu estabelecimento pelas demonstrações de outros, como sendo golpes de sorte e ganhos dos que procuram, como quantas coisas, por um lado, são procuradas, e, por outro lado, têm necessidade de descoberta e não de produção só nem de simples teoria.

Pois porque, por um lado, é preciso considerar os na base dos isósceles iguais, esse conhecimento é, então, das coisas que são.

Por outro lado, dividir o ângulo em dois ou construir um triângulo ou subtrair ou acrescentar, todas essas coisas demandam uma ação de alguém, mas achar o centro do círculo dado ou achar a maior medida comum de duas magnitudes comensuráveis dadas ou quantas coisas que tais estão, de alguma maneira, entre problemas e teoremas.

Pois, nem são produções nessas coisas das procuradas, mas são descobertas, nem simples teorias.

Pois é preciso conduzir o procurado sob a vista e fazer o procurado diante dos olhos.

Portanto, tais coisas são também quantos porismata Euclides escreveu, tendo composto três livros de porismata [49].

Pappus também fala sobre os porismata nos seguintes termos:

E todas as espécies deles não são dos teoremas nem dos problemas, mas de algum modo no meio dessas, existindo forma, por poderem os enunciados deles assumir certa forma ou como dos teoremas ou como dos problemas, pelo que também aconteceu dos muitos geômetras, os que consideram apenas a forma do enunciado, uns tomarem-nos por ser, no gênero, teoremas, outros, problemas [50].

Com toda certeza, Proclus usava as palavras de Pappus. De qualquer modo, pela distinção feita, há os porismata que são meros corolários, isto é, consequências diretas das demonstrações de outros teoremas, e os há como proposições que, não sendo tecnicamente quer teoremas quer problemas, participam da natureza de uns e dos outros.

O tratado de Euclides jaz escondido nas dobras do negro manto do tempo, mas, porque Pappus o tratou de modo extensivo, acrescentando-lhe tantos lemas, alguns geômetras, e dentre eles o francês do século XIX, Michel Chasles (nos Les trois livres des porismes d’Euclide réstablis [51], Paris, Mallet-Bachelier, 1860), tentaram, com maior ou menor êxito, restaurá-lo.

O objetivo de um porisma não é aquele de um teorema, isto é, a descrição de uma nova propriedade, nem o de um problema, ou seja, efetivar uma construção ou alterar uma dada; é antes achar e trazer à vista uma coisa que coexiste necessariamente com certas coisas dadas, como a maior medida comum coexiste com duas magnitudes comensuráveis dadas, ou como o centro coexiste com um círculo dado.

Detenhamo-nos um pouco nas interessantes considerações feitas por Chasles no seu Aperçu historique des méthodes en géométrie [52], p.12-15:

Segundo o prefácio do Sétimo livro das coleções matemáticas de Pappus, parece que esse tratado dos porismata distinguia-se por um talento penetrante e profundo e era eminentemente útil para a resolução dos problemas mais complicados (collectio artifi ciosissima multarum rerum, quae spectant ad analysin diffi ciliorum et generalium problematum [“reunião engenhosíssima de muitas coisas que visam à análise dos problemas difíceis e gerais”]). Trinta e oito lemas, que esse sábio comentarista deixou-nos para a inteligência desses porismata, provam-nos que formavam um conjunto de propriedades da linha reta e do círculo, da natureza daquelas que nos fornece, na geometria recente, a teoria das transversais.

Pappus e Proclus são os únicos geômetras da Antiguidade que fizeram menção dos porismata; mas, já no tempo do primeiro, a significação dessa palavra estava alterada, e as definições que dela ele nos dá são obscuras. A de Proclus não é apropriada a esclarecer as primeiras. Também foi um grande problema entre os Modernos saber a nuança precisa que os Antigos haviam estabelecido entre os teoremas e os problemas por um lado, e esse terceiro gênero de proposições, chamadas porismata, que participava, ao que parece, de uns e dos outros; e saber particularmente o que eram os Porismata de Euclides.

Pappus, é verdade, transmitiu-nos os enunciados de trinta proposições pertencentes a esses porismata: mas esses enunciados são tão sucintos e tornaram-se tão defeituosos pelas lacunas e a ausência de figuras, que diziam a respeito deles que o célebre Halley, tão profundamente versado na geometria antiga, confessou não compreender nada deles, e que, até cerca da metade do último século, embora geômetras de grande mérito tenham feito dessa matéria o objeto das suas meditações, nenhum enunciado havia ainda sido restabelecido.

Foi R. Simson que teve a glória de descobrir a significação de vários desses enigmas, bem como a forma dos enunciados que era própria desse gênero de proposições. Eis o sentido da definição que o geômetra deu dos porismata:

O porisma é uma proposição na qual se anuncia poder determinar, e em que se determinam efetivamente, coisas que têm uma relação indicada com coisas fixas e conhecidas e com outras coisas variáveis ao infinito; estas estando ligadas entre si por uma ou várias relações conhecidas, que estabelecem a lei de variação, à qual estão submetidas.

Exemplo: sendo dados dois eixos fixos, se de cada ponto de uma reta baixam-se perpendiculares $p$ e $q$ sobre esses dois eixos, poder-se-á encontrar um comprimento de linha $a$ e uma razão $\alpha$ tais que se tenha entre essas duas perpendiculares a relação $(p-a)/q=\alpha$. (Ou, segundo o estilo antigo, a primeira perpendicular será maior, relativamente à segunda, por uma dada somente em razão.)

Aqui, as coisas fixas dadas são os dois eixos; as coisas variáveis são as perpendiculares $p, q$; a lei comum, à qual essas duas coisas variáveis estão sujeitas, é que o ponto variável, de onde essas perpendiculares são baixadas, pertence a uma reta dada; enfim, as coisas a encontrar são a linha $a$ e a razão $\alpha$, que estabelecerão, entre as coisas fixas e as coisas variáveis da questão, a relação prescrita.

Esse exemplo é suficiente para fazer compreender a natureza dos porismata, como a concebeu R. Simson, cuja opinião foi geralmente adotada desde então.

Todavia, devemos acrescentar que nem todos os geômetras reconheceram, na obra de Simson, a verdadeira previsão daquela de Euclides. Por nós, adotando o sentimento do ilustre professor de Glasgow, diremos porém que não encontramos no seu trabalho a previsão completa do grande enigma dos porismata. Essa questão, com efeito, era complexa, e as suas diferentes partes exigiam todas uma solução que se procura, em vão, no tratado de Simson.

Assim, dever-se-lhe-ia demandar:

1. Qual era a forma dos enunciados dos porismata;

2. Quais eram as proposições que entravam na obra de Euclides; notadamente aquelas cuja indicação, muito imperfeita, foi-nos deixada por Pappus;

3. Quais foram a intenção e o objetivo filosófico de Euclides, compondo essa obra em uma forma inusitada;

4. Sob que pontos de vista merecia a eminente distinção que lhe faz Pappus entre as outras obras da Antiguidade; porque só a forma do enunciado de um teorema não lhe constitui o mérito e a utilidade;

5. Quais são os métodos, ou as operações efetivas que mais se aproximam, sob uma outra forma, dos porismata de Euclides, e que os suprem na resolução de problemas; porque não se pode crer que uma doutrina tão bela e tão fecunda desaparecesse completamente da ciência dos geômetras;

5. E, enfim, haveria que dar uma interpretação satisfatória de diferentes passagens de Pappus sobre esses porismata; por exemplo, daquela em que diz que os modernos, não podendo tudo achar por eles próprios, ou, por assim dizer, “porismar” completamente, mudaram a significação da palavra; porque, se o porisma consistisse apenas na forma do seu enunciado, como parece resultar do tratado de R. Simson, seria sempre fácil “porismar” todas as proposições que fossem suscetíveis disso; e não se vê por que os modernos haveriam encontrado dificuldades que lhes tivessem feito mudar a significação da palavra.

E Chasles conclui o parágrafo relativo aos porismata afirmando que, pela importância do assunto, sobretudo pelas suas relações com as teorias que formam o domínio da geometria do seu tempo, dará continuidade ao parágrafo na Nota III, “Sur les porismes d’Euclide” [53], p.274-83, em que “tentaremos mesmo apresentar algumas ideias novas sobre essa grande questão dos porismata”.

O exposto, cremos, basta, quanto a tal obra de Euclides.

Lugares em uma superfície

Na Nota II que acresce sua obra citada, assim se exprime Chasles sobre os Lugares em uma superfície [54], cujos dois livros, segundo Pappus, também jazem submersos “em negro vaso de água do esquecimento”:

Montucla diz, na página 172 do primeiro volume da sua Histoire des mathématiques, que os Lieux à la surface de Euclides eram superfícies; e, na página 215 do mesmo volume, que eram linhas de dupla curvatura sobre superfícies curvas, como a hélice sobre um cilindro circular. É possível que os antigos designassem, em geral, por essa palavra, as superfícies e as curvas que aí eram traçadas. Mas, quais eram verdadeiramente os Lieux à la surface de Euclides?

Para responder a essa questão não nos resta outra indicação a não ser quatro lemas de Pappus relativos àquela obra; e como esses lemas tratam somente de seções cônicas, devemos pensar que Euclides considerava somente as superfícies que chamamos, hoje em dia, do segundo grau. E somos levados a crer que essas superfícies eram de revolução. Porque, por um lado, é certo que as superfícies de revolução do segundo grau tinham sido estudadas anteriormente a Arquimedes, pois após ter enunciado algumas propriedades das suas seções por um plano, ele diz, no final da proposição XII do seu livro Sobre esferoides e conoides, “as demonstrações de todas essas proposições são conhecidas”. Além disso, observamos que o último lema de Pappus é a propriedade principal do foco e da diretriz de uma cônica; e esse teorema parece-nos ter podido servir para demonstrar que o lugar de um ponto, cujas distâncias a um ponto fixo e a um plano devam estar entre elas em uma relação constante, é um esferoide ou um conoide, ou então para demonstrar que a seção desse lugar por um plano conduzido pelo ponto fixo é uma cônica tendo o seu foco nesse ponto, e cuja diretriz é a interseção do plano dessa curva pelo ponto fixo.

Desse modo, parece-nos provável que os Lieux à la surface de Euclides tratassem de superfícies do segundo grau, de revolução, e de seções feitas por um plano nessas superfícies, como o cone.

Já Gow [55] comenta que o próprio significado do título τόποι πρὸς ἐπιφανεία [56] ocasionou alguma controvérsia. Continuemos com ele:

O Prof. De Morgan diz francamente que não o entende e é evidente que Eutocius estava na mesma condição, pois fala, após descrever outros loci [“lugares”] muito bem, que os τόποι πρὸς ἐπιφανεία derivam o seu nome “da peculiaridade deles [57] e assim os deixa. O Prof. Chasles supõe que o livro contenha proposições sobre “superfícies do segundo grau, de revolução, e seções ali feitas por um plano”: e refere-se ao fato de que Arquimedes, no final da “Proposição XII” do seu Conoides e Esferoides, diz que certas proposições sobre seções de conoides φανεραί ἐστι (isto é, “são claras”, não “são bem conhecidas” como Chasles entende) e de que os quatro lemas que Pappus dá sobre esse livro de Euclides dizem respeito a seções cônicas. Heiberg, no entanto, por uma bem elaborada análise de todas as passagens nas quais τόποι de vários tipos são descritos, chega à conclusão de que τόποι πρὸς ἐπιφανεία significa simplesmente “loci que são superfícies”, e que o tratado de Euclides lida sobretudo com as superfícies curvas do cilindro e do cone. Que essas superfícies eram consideradas como loci antes do tempo de Euclides é evidente pela solução de Árquitas ao problema da duplicação do cubo.

Como se pode ver pelas passagens acima, e julgamos constituírem elas tudo o que se possa falar sobre esse trabalho de Euclides, estava aberta a temporada das conjecturas. E nada de mal nisso. É mesmo um ampliar de horizontes, um ganho em visão sobre os métodos dos antigos. Afinal, não há quem afiance ser a influente filosofia de Plotino o resultado da sua má compreensão das ideias de Platão? Ou, como quer o poeta, seja a metafísica uma consequência de se estar mal disposto (restando-nos, assim, como à “pequena suja”, tirar “o papel de prata, que é de folha de estanho”, cuidando para não deitar “tudo para o chão”, e comer chocolates)? [58]

As cônicas

Conforme com o já expresso, Pappus, tratando das Cônicas de Apolônio, atribuiu a Euclides um tratado sobre Seções cônicas [59] em quatro livros que teriam formado o fundamento dos quatro primeiros livros da obra de Apolônio. Infelizmente, talvez até pelo magnífico trabalho deste, o daquele não conseguiu vencer o destino das obras suplantadas por outras na Antiguidade e não sobreviveu.

Aristeu, o velho (cerca de 320 a.C.), escreveu um Elementos de seções cônicas, em cinco livros que, segundo Pappus, Euclides tinha em alta conta. Desse modo, não pode haver dúvidas quanto a essa obra de Aristeu ter precedido a de Euclides.

Arquimedes refere-se frequentemente a proposições sobre cônicas como bem conhecidas e não necessitando de demonstrações, adicionando em três casos que elas estavam provadas nos “elementos de cônicas”. Porém, não menciona Euclides, como se a mera denominação de “Elementos” bastasse por subentende-lhe o nome.

É razoável supor, como resultado do testemunho de Pappus, que, se Aristeu desenvolvera a teoria de modo original, Euclides teria posto em forma tudo o que fora adquirido à sua época, com mãos de grande sistematizador, e que as suas Cônicas eram uma obra de referência e assim permanecera até o aparecimento da de Apolônio.

No endereçamento a Eudemo, que conhecera em Pérgamo, do Livro I do seu tratado, Apolônio frisa que, dos oito livros que o constituem, os quatro primeiros são devotados a uma introdução elementar e passa a descrever-lhes o conteúdo. Sobre o terceiro deles assevera:

E o terceiro também [contém] muitos e extraordinários teoremas, úteis tanto para a síntese dos lugares sólidos quanto para as determinações, dos quais os mais numerosos e os mais belos são novos [60], e tendo-os observado, fomos capazes de ver não sendo sintetizado por Euclides o lugar nas três e quatro linhas [61], mas uma partezinha ao acaso dele e isso não de modo feliz [62]. Pois não era possível sem as coisas achadas por nós ter sido completada a síntese [63].

Está aí, pois, mencionado um ponto em que o geômetra de Pérgamo

melhora o trabalho em questão de Euclides. Este teria tratado apenas analiticamente “o lugar nas três e quatro linhas” [64]. O referido lugar é definido por Pappus (VII, 36) nos seguintes termos:

Se forem dadas três linhas em posição e de um ponto linhas retas forem traçadas para encontrar as três dadas em ângulos dados, e a razão do retângulo sob duas das linhas assim traçadas para o quadrado da terceira for dada, o ponto jazerá em um lugar sólido dado em posição, isto é, em uma das três cônicas. Se quatro linhas forem dadas em posição e quatro linhas retas forem traçadas como antes, e a razão dos retângulos sob dois pares for dada, similarmente o ponto jazerá sobre uma cônica.

É bom lembrar, de passagem, que a cônica como um locus ad quattuor lineas foi usado por Newton nos seus Principia.

É possível, com base nos primeiros livros das Cônicas de Apolônio e nas referências feitas por Arquimedes, propor, com bom grau de acerto, uma lista de proposições que figurariam no trabalho de Euclides. É o que faz Thomas L. Heath em A History of Greek Mathematics [65], II, 121-126.

Para concluir, é preciso lembrar que os nomes elipse, hipérbole e parábola são devidos não a Euclides ou a Aristeu, mas a Apolônio. Aparecem, respectivamente, nos complexos enunciados das proposições I.13, I.12 e III.45 das Cônicas. Ilustremos tal complexidade com o enunciado da proposição I.13 em que se define elipse:

Caso um cone seja cortado por um plano pelo eixo [66], e seja cortado também por um outro plano que encontra cada lado do triângulo pelo eixo [67], ao passo que nem conduzido paralelo à base do cone nem contrariamente [68], e o plano, no qual está a base do cone e o plano que corta se encontrem segundo uma reta que é em ângulos retos ou com a base do triângulo pelo eixo ou com a mesma sobre uma reta [69], a que seja conduzida paralela à seção comum dos planos da seção do cone até o diâmetro da seção [70], será, elevada ao quadrado, uma área posta junto a alguma reta [71], em relação à qual o diâmetro da seção tem uma razão que o quadrado sobre a conduzida, do vértice do cone paralela ao diâmetro da seção até a base do triângulo, para o contido pelas interceptadas por elas sobre as retas do triângulo [72], tendo como largura a que é interceptada por ela a partir do diâmetro em relação ao vértice da seção [73], deficiente por uma figura semelhante e também semelhantemente posta ao contido tanto pelo diâmetro quanto pelo parâmetro [74], e seja chamada tal seção uma elipse [75].

Como bem observa Paul Ver Eecke, naquela que foi a primeira tradução francesa do texto grego de Apolônio (p.28, nota 4):

Esse enunciado, que é tão complicado quanto aquele da proposição anterior [em que se define hipérbole], reduz-se a dizer que, na seção cônica considerada, o quadrado da ordenada equivale a uma área retangular que, aplicada segundo o parâmetro, isto é, tendo o parâmetro como comprimento, e tendo a abscissa como largura, é diminuída de uma área, semelhante àquela que tem como comprimento o parâmetro e como largura o diâmetro. Por consequência, se designarmos por $y$ a ordenada, por $x$ a abscissa, por $a$ o diâmetro, e por $p$ o parâmetro, o enunciado da proposição traduzir-se-á pela relação

$$y^2 = px - (p/a) x^2,$$

que é a equação cartesiana da elipse referida a eixos oblíquos, dos quais um é o diâmetro, o outro, a tangente na sua extremidade.

Presta, ainda, esse tradutor, na nota 5, páginas 28-9, o seguinte esclarecimento a respeito do termo elipse [76]:

Criando a nova denominação ἔλλειψις, que conservamos na palavra “elipse”, Apolônio abandonava a perífrase “seção de cone reto acutângulo” dos seus predecessores, aí compreendido Arquimedes, que consideravam a curva em questão como obtida unicamente pela seção plana, perpendicular a uma geratriz, do cone reto acutângulo. A origem da denominação recebeu, aliás, explicações diferentes. Eutocius, no seu comentário (ver ed. Heiberg, v.II, p.174), adota primeiramente para o verbo radical ἔλλειψις o sentido de “ser deficiente”, e observa que a soma do ângulo do cone de origem e do ângulo formado pelo eixo da curva com a geratriz do cone é menor do que dois ângulos retos. Adotando em seguida para o mesmo verbo o sentido de “ser defeituoso por algum lugar”, observa que a curva em questão não é senão um “círculo imperfeito”. Por outro lado, Heath (Appolonius of Perga, Cambridge, 1896, p.12), impelido pelas duas explicações de Eutocius, faz o nome elipse derivar da propriedade da curva, como é enunciada na proposição de Apolônio, isto é, do fato de que o quadrado da ordenada equivale a certa área à qual faz falta certa outra área.

Encontra-se no grande dicionário grego-inglês de Leddell–Scott para a Oxford, no verbete ἔλλειψις: ... 2ª seção cônica elipse (assim chamada porque o quadrado sobre a ordenada é igual a um retângulo com altura igual à abscissa e aplicado ao parâmetro, mas deficiente em relação a ele).

Os fenômenos

Obra que o famélico olvido não conseguiu devorar, chegou até nós e foi publicada por Menge no Volume VIII, p.2-156, de Euclidis opera omnia, edição já várias vezes aludida.

Os phaenomena (Φαινόμενα, “aparências do céu”) são um texto com 18 proposições e um prefácio e a sua autenticidade foi abonada por Pappus (VI, p.594-632), que dá alguns lemas, ou proposições explanatórias a respeito.

Φαινόμενα é a forma do nominativo neutro plural do particípio presente passivo do verbo φαίνω. O significado desse verbo nas formas transitivas é “mostrar, trazer à luz, fazer conhecer”, e nas formas intransitivas, que aqui nos interessa, “tornar-se visível, vir à luz, mostrar-se, aparecer” (aliás, o nosso termo “fantasma”, isto é, “aparição”, deriva desse verbo); daí, τὰ Φαινόμενα (os fenômenos/phaenomena) significar, literalmente, “as coisas que são vistas; as aparências”, tendo na astronomia o sentido particular de “as aparências do céu; os fenômenos celestes”.

O prefácio de Euclides é uma afirmação das considerações que mostram o universo como uma esfera e é seguido por algumas definições de termos técnicos. Entre esses, o uso de ὁρίζων, particípio presente ativo do verbo ὁρίζω (“limitar”), como substantivo, significando “círculo que limita; horizonte”, e a expressão µεσημβρίνος κύκλος, “círculo meridiano”, que ocorrem aí pela primeira vez.

O trabalho é uma coleção de demonstrações geométricas de proposições estabelecidas pela observação sobre fenômenos celestes – o aparecimento e o pôr-se de estrelas – e baseia-se na obra Περὶ κινουμένης σφαίρας “Sobre esferas em movimento” de Autolycus, referida várias vezes pelo alexandrino, porém sem nomeá-lo. Por exemplo, a proposição I de Autolycus é citada na quinta de Euclides, a segunda, nas quarta e sexta, e a décima, na segunda.

Euclides também aproveita um trabalho sobre geometria esférica (Sphaerica) de autor desconhecido. Assim, no prefácio, faz alusão ao fato de que, se sobre uma esfera dois círculos se bissectem, são ambos grandes círculos, e, na demonstração, supõe frequentemente que o leitor conheça outros teoremas do tipo. Quando o trabalho de Euclides é comparado com a obra posterior, Spherica, de Theodosius, vê-se terem ambos recorrido ao mesmo original ancestral que, conjectura-se, teria sido escrito por Eudoxo.

No estilo de Aristóteles, sobre “os outros trabalhos de Euclides” τοσαῦτα εἰρήσθω “fique dito esse tanto”

[Continua]

Notas:

[14] BORIS, Fausto. Folha de S. Paulo.

[15] [A geometria grega].

[16] NEUGEBAUER, O. The Exact Sciences in Antiquity. Nova York: Dover Publications, Inc.,1969.

[17] καὶ Ἱππίας ὁ Ἠλεῖος ἱστόρησεν ὡς ἐπὶ γεωμετρίᾳ δόξαν αὐτοῦ λαβόντος.

[18] Ταῦτα μὲν οὖν πολλοι τῶν πρεσβυτέρων ἀνέγραψαν, τὴν μαθηματικὴν ἐγκωμιάζειν προθέμενοι, καὶ διὰ ταῦτα ὀλίγα ἀπὸ πολλῶν ἡμεῖς ἐν τούτοις παρεθέµεθα τὴν τῆς γεωμετρίας παντελῶς γνῶσιν καὶ ὠφέλειαν ἐπιδεικνύντες. τὴν δὲ γένεσιν αὐτῆς τὴν ἐν τῇ περιόδῳ ταύτῃ μετὰ ταῦτα λεκτέον.

ὁ μὲν γὰρ δαιμόνιος ᾽Αριστοτέλης εἰπῶν τὰ αὐτὰ δοξάσµατα πολλάκις εἰς ἀντρώπους ἀφικνεῖσθαι κατά τινας τεταγμένας περιόδους τοῦ παντός, καὶ μὴ καθ μας πρῶτον ἢ τοὺς ὑφ᾽ ἡμῶν γνωσθέντας τὰς ἐπιστήμας σύστασιν λαβεῖν, ἀλλὰ καὶ ἐν ἄλλαις περιφοραῖς οὐδεῖπειν ὁπόσαις ταῖς τε γενομέναις καὶ ταῖς αὖθις ἐσομέμαις ἐκφανῆναί τε καὶ ἀφανισθῆναι πάλιν αὐτάς.

ἐπεὶ δὲ χρὴ τὰς ἀρχὰς καὶ τῶν τεχνῶν καὶ τῶν ἐπιστημῶν πρὸς τὴν παροῦσαν περίοδον σκοπεῖν, λέγομεν.

ὅτι παρ᾿ Αἰγυπτίοις μὲν εὑρῆσθαι πρῶτον ἡ γεωμετρία παρὰ τῶν πολλῶν ἱστόρηται, ἐκ τῆς τῶν χώριῶν ἀνομετρήσεως λαβοῦσα τὴν γένεσιν.

ἀναγκαία γὰρ ἦν ἐκείνοις αὕτη διὰ τὴν ἄνοδον τοῦ Νείλου τοὺς προσήκοντος ὅρους ἑκάστοις ἀφανίζοντος. καὶ θαυμαστὸν οὐδὲν ἀπὸ τῆς χρείας ἄρξασθαι τὴν εὕρεσιν καὶ ταύτης καὶ τῶν ἄλλων ἐπιστημῶν, ἐπειδὴ πᾶν τὸ ἐν γενέσει φερόμενον ἀπὸ τοῦ ἀτελοῦς εἰς τὸ τέλειον πρόεισιν.

ἀπὸ αἰσθήσεως οὖν εἰς λογισμὸν καὶ ἀπὸ τούτου ἐπὶ νοῦν ἡ μετάβασις γένοιτο ἀν εἰκότως.

ὥσπερ οὖν παρὰ τοῖς Φοίνιξιν διὰ τὰς ἐμπορείας καὶ τὰ συναλλάγματα τὴν ἀρχὴν ἔλαβεν ἡ τῶν ἀριθμῶν ἀκριβὴν γνῶσις, οὕτω δὴ καὶ παρ᾿ Αἰγυπτίοις ἡ γεωμετρία διὰ τὴν εἰρημένην αἰτίαν εὕρηται.

Θαλῆς δὲ πρῶτον εἰς Αἴγυπτον ἐλθὼν μετήγαγεν εἰς τὴν Ἑλλάδα.

τὴν θεωρίαν ταύτην καὶ πολλὰ μὲν αὐτὸς εὗρειν, πολλῶν δὲ τὰς ἀρχὰς τοῖς μετ᾽ αὐτὸν ὑφηγήσατο, τοῖς μὲν καθολικώτερον ἐπιβάλλων, τοῖς δὲ αἰσθητικώτερον.

μετὰ δὲ τοῦτον Μάμερκος [?] ὁ Στησιχόρου τοῦ ποιητοῦ ἀδελφός, ὃς ἐφαψάμενος τὴν περὶ γεωμετρίαν σπουδῆς μνημονεύεται

καὶ ᾿Ιππίας ὁ ᾿Ηλεῖος ἱστόρησεν ὡς ἐπὶ γεωμετρίᾳ δόξαν αὐτοῦ λαβόντος.

ἐπὶ δὲ τούτοις Πυθαγόρας τὴν περὶ αὐτὴν φιλοσοφίαν εἰς σχῆμα παιδείας ἐλευθέ ρου μετέστησεν, ἄνωθεν τὰς ἀρχὰς αὐτῆς ἐπισκοπούμενος καὶ ἀὕλως καὶ νοερῶς τὰ θεωρήματα διερευνώμενος, ὃς δὴ και τὴν τῶν ἀλόγων πραγματείαν καὶ τὴν τῶν κοσμικῶν σχημάτων σύστασιν ἀνεῦρεν.

μετὰ δὲ τούτον Αναξαγόρας ὁ Κλαζομένιος πολλῶν ἐφήψατο τῶν κατὰ γεωμετρίαν.

καὶ Οἰνοπίδης ὁ Χῖος, ὀλίγῳ νεώτερος ὤν Αναξαγόρου, ὧν καὶ ὁΠλάτων ἐν τοῖς ἀντερασταῖς ἐμνημόνευσεν ὡς ἐπὶ τοῖς μαθήμασι δόξαν λαβόντων.

ἐφ οἷς Ἱπποκράτες ὁ Χῖος ὁ τὸν τοῦ μηνίσκου τετραγωνισμὸν εὑρών, καὶ Θεόδωρος ὁ Κυρηναῖος ἐγένοντο περὶ γεωμετρίαν ἐπιφανεῖς.

πρῶτος γὰρ ὁ ᾿Ιπποκράτης τῶν μνημονευμένων καὶ στοιχεῖα συνέγραψεν.

Πλάτων δ᾽ ἐπὶ τούτοις γενόμενος μεγίστην ἐποίησεν ἐπίδοσιν τὰ τε ἄλλα µαθήµατα καὶ τὴν γεωμε

τρίαν λαβεῖν διὰ τὴν περὶ αὐτὰ σπουδήν, ὅς που δῆλός ἐστι καὶ τὰ συγγράμματα τοῖς μαθηματικοῖς λόγοις καταπυκνώσας καὶ πανταχοῦ τὸ περὶ αὐτὰ θαῦμα τῶν φιλοσοφίας ἀντεχομένων ἐπεγείρων.

ἐν δὲ τούτῳ τῷ χρόνῳ καὶ Λεωδάμας ὁ Θάσιος ἦν καὶ Αρχύτας ὁ Ταραντῖνος καὶ Θεαίτητος ὁ ᾿Αθηνοῖος, παρὼν ἐπηυξήθη τὰ θεωρήματα καὶ προῆλθεν εἰς ἐπιστημονικωτέραν σύστασιν.

Δεωδάμαντος δὲ νεώτερος ὁ Νεοκλείδης καὶ ὁ τοῦτο μαθητὴς Λέων, οἱ πολλὰ προσευπόρησαν τοῖς πρὸ αὐτῶν, ὥστε τὸν Λέοντα καὶ τὰ στοιχεῖα συνθεῖναι τῷ τε πλήθει καὶ τῇ χρείῳ τῶν δεικνυμένων ἐπι μελέστερον, καὶ διορισμοὺς εὑρεῖν, πότε δυνατὸν ἐστι τὸ ζητούμενον πρόβλημα καὶ πότε ἀδύνατον.

Εὔδοξος δὲ ὁ Κνίδιος, Λέοντος μὲν ὀλίγῳ νεώτερος, ἑταῖρος δὲ τῶν περὶ Πλάτωνα γενόμενος, πρῶτος τῶν καθόλου καλουμένων θεωρημάτων τὸ πλῆθος ηὔξησεν καὶ ταῖς τρισὶν ἀναλογίαις ἄλλας τρεῖς προσέθηκεν καὶ τὰ περὶ τὴν τομὴν ἀρχὴν λαβόντα παρὰ Πλάτωνος εἴς πλῆθος προήγαγεν καὶ ταῖς ἀναλύσεσιν ἐπ᾿ αὐτῶν χρησάμενος.

᾽Αμύκλας δὲ ὁ Ἡρακλεώτης, εἷς τῶν Πλάτωνος ἑταίρων καὶ Μέναιχμος ἀκροατὴς ὧν Εὐδόξου καὶ Πλάτωνι δὲ συγγεγονὼς καὶ ὁ ἀδελφὸς αὐτοῦ Δεινόστρατος ἔτι τελεωτέραν ἐποίησαν τὴν ὅλην γεὠμετρίαν

Θεύδιος δὲ ὁ Μάγνης ἔν τε τοῖς μαθήμασιν ἔδοκεν εἶναι διαφέρων καὶ κατὰ τὴν ἄλλην φιλοσοφίαν. καὶ γαρ τὰ στοιχεῖα καλῶς συνέταξεν καὶ πολλὰ τῶν μερικῶν καθολικώτερα ἐποίησεν.

καὶ μέντοι ὁ Κυζικηνὸς ᾽ Αθήναιος κατὰ τοὺς αὐτοὺς γεγονὼς χρόνους καὶ ἐν τοῖς ἄλλοις μὲν µαθή μασι, μάλιστα δὲ κατὰ γεωμετρίαν ἐπιφανὴς ἐγένετο.

διῆγον οὖν οὗτοι μετ᾿ ἀλλήλων ἐν Ακαδημίᾳ κοινὰς ποιούμενοι τὰς ζητήσεις.

Ἑρμότιμος δὲ ὁ Κολοφώνιος τὰ ὑπ᾿ Εὐδόξου προηυπορημένα καὶ Θεαιτήτου προήγαγεν ἐπὶ πλέον καὶ τῶν στοιχειων πολλὰ ἀνεῦρε καὶ τῶν τόπων τινὰ συνέγραψεν.

Φίλιππος δὲ ὁ Μενδαῖος, Πλάτωνος ὧν μαθητὴς καὶ ὑπ᾿ ἐκείνου προτραπεὶς εἰς τὰ μαθήματα, καὶ τὰς ζητήσεις ἐποιεῖτο κατὰ τὰς Πλάτωνος ὑφηγήσεις καὶ ταῦτα προύβαλλεν ἑαυτῷ, ὅσα ὥετο τῇ Πλάτωνος φιλοσοφίᾳ συντελεῖν.

οἱ μὲν οὖν τὰς ἱστορίας ἀναγράψαντες μέχρι τούτου προάγουσι τὴν τῆς ἐπιστήμης ταύτης τελείωσιν.

[19] οὐ πόλυ δὲ τούτων νεώτερος ἐστιν Εὐκλείδης O τὰ στοιχεῖα συναγαγὼν καὶ πολλὰ μὲν τῶν Εὐδόξου συντάξας, πολλὰ δὲ τῶν Θεαιτήτου τελεωσάµενος, ἔτι δὲ τὰ μαλακώτερον δεικνύμενα τοῖς ἔμπροσθ εν εἰς ἀνελέγκτους ἀποδείξεις ἀναγαγών.

γέγονε δὲ οὗτος ὁ ἀνὴρ ἐπὶ τοῦ πρώτου Πτολεμαίου: καὶ γὰρ ὁ 'Αρχιμήδης ἐπιβαλὼν καὶ τῷ πρώτῳ µνημονεύει τοῦ Εὐκλείδου, καὶ μέντοι καὶ φασιν ὅτι Πτολεμοῖος ἠρετό ποτε αὐτόν, εἰ τίς ἐστιν περι γεωμετρίαν ὁδὸς συντομωτέρα τῆς στοιχειώσεως' ὁ δὲ ἀπεκρίνατο, μὴ εἶναι βασιλικὴν ἀτραπὸν ἐπὶ γεωμετρίαν.

[20] καὶ τῇ προαίρεσει δὲ Πλατωνικός ἐστι καὶ τῇ φίλοσοφίᾳ ταύτῃ οἰκεῖος.

[21] ὅθεν δὴ καὶ τῆς συμπάσης στοιχειώσεως τέλος προεστήσατο τὴν

τῶν καλουμένον Πλατωνικῶν σχημάτων

[22] προσθεῖναι δὲ τῷ τόπῳ τὰ λειπόμενα δεδύνηται προφαντασιωθεὶς τοῖς ὑπο Εὐκλείδου γεγραμμένοις ἤδη περί τοῦ τόπῳ καὶ σχολάσας τοῖς ὑπὸ Εὐκλείδου μαθηταῖς ἐν Αλεξανδρίᾳ πλεῖστον χρόνον, ὅθεν ἔσχε καὶ τὴν τοιαύτην ἕξιν οὐκ ἀμαθῃ.

[23] [Coletânea de coisas físicas e éticas].

[24] Παρ'Eὐκλείδῃ τις ἀρξάμενος γεωμετρεῖν, ὡς τὸ πρῶτον θεώρημα ἔμαθεν, ἤρετο τὸν Εὐκλείδην: τί δε μοι πλέον ἔσται ταῦτα μανθάνοντι; καὶ O Εὐκλείδης τὸν παῖδα καλέσας; δὸς, ἔφη, αὐτῷ τριώβολον, ἐπειδὴ δεῖ αὐτῷ, ἐξ ὧν μανθάνει, κερδαίνειν.

[25] ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω.

[26] πολλὰ μὲν οὖν καὶ ἄλλα τοῦ ἀνδρὸς τούτου μαθηματικὰ συγγράμματα θαυμαστῆς ἀκριβείας καὶ ἐπιστημονικῆς θεωρίας μεστά.

τοιαῦτα γὰρ καὶ τὰ ὁπτικὰ καὶ τὰ κατοπτρικά, τοιαῦται δὲ καὶ αἱ κατὰ μουσικὴ στοιχειώσεις, ἔτι δὲ τὸ περὶ διαιρέσεων βιβλίον.

[27] ἐπειδὴ δὲ πολλὰ φαντάζεται μὲν ὡς τῆς ἀληθείας ἀντεχόμενα καὶ ταῖς ἐπιστημονικαῖς ἀρχαῖς ἀκο λουθοῦντα, φέρεται δὲ εἰς τὴν ἀπὸ τῶν ἀρχῶν πλάνην καὶ τοὺς ἐπιπολαιοτέρους ἐξαπατᾷ, μεθόδους παραδέδωκεν καὶ τῆς τούτων διορατικῆς φρονήσεως

ἃς ἔχοντες γυμνάζειν μὲν δυνησόμεθα τοὺς ἀρχομένους τῆς θεωρίας ταύτης πρὸς τὴν εὕρεσιν τῶν παραλογισμῶν, ἀνεξαπάτητοι δὲ διαμένειν.

καὶ τοῦτο δὴ σύγγραμμα, δι οὗ τὴν παρασκευὴν ἡμιν ταύτην ἐντίθησι, Ψευδαρίαν ἐπέγραψεν...

[28] [Obras completas de Euclides].

[29] κατατομὴ κανόνος.

[30] καὶ γὰρ ὁ κύκλος εἰς ἀνόμοια τῷ λόγῳ καὶ ἕκαστον τῶν εὐθυγράμμων διαιρετόν ἐστιν, ὅ καὶ αὐτὸς ὁ στοιχειωτὴς ἐν τοῖς διαιρέσεσι πραγματεύεται τὸ μὲν εἰς ὅμοια τὰ δοθέντα σχήματα διαιρῶν, τὸ δὲ εἰς ἀνόμοια.

[31] δεδοµένα.

[32] τῶν μαθημάτων τάξις.

[33] περὶ τῆς τῶν μαθημάτων θεωρίας.

[34] συναγωγή.

[35] μαθηματικοὶ συναγωγαί.

[36] τόπος ἀναλυόμενος.

[37] [Uma breve história da matemática grega].

[38] ὁ καλούμενος ᾿Αναλυόμενος, Ἑρμόδωρε τέκνον, κατὰ σύλληψιν ἰδία τίς ἐστιν ὕλη παρασκευασ

μένη μετὰ τὴν τῶν κοινῶν στοιχείων ποίησιν τοῖς βουλομένοις ἀναλαμβάνειν ἐν γραμμαῖς δύναμιν εὑρετικὴν τῶν προτεινομένων αὐτοῖς προβλημάτων, καὶ εἰς τοῦτο μόνον χρησίμη καθεστῶσα.

[39] τῶν δὲ προειρημένων τοῦ ᾿ Αναλυομένου βιβλίων ἡ τάξις ἐστὶν τοιαύτῃ.

[40] Εὐκλείδου Δεδομένων βιβλίον α.

[41] Ειυκλείδου Πορισμάτων τρία.

[42] Ἐὐκλείδου Τόπων πρὸς ᾿Επιφανείᾳ δύο.

[43] γίνεται βιβλία β,

[44] γνώριμον καὶ πόριμον.

[45] Δεδομένα τῷ μεγέθει λέγεται χωρία τε καὶ γραμμαὶ καὶ γωνίαν, οἷς δυνάμεθα ἴσα πορίσασθαι.

[46] Τῇ θέσει δεδόσθαι λέγονται σημεῖά τε καὶ γραμμοὶ καὶ γωνίαι, ἃ τὸν αὐτὸν ἀεὶ τόπον ἐπέχει.

[47] Τῇ θέσει δὲ καὶ τῷ μεγέθει κύκλος δεδόσθαι λέγεται, οὗ δέδοντα τὸ μὲν κέντρον τῇ θέσει ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τῷ μεγέθει.

[48] πορίσματα.

[49] Ἕν τι τῶν γεωμετρικῶν ἐστιν ὀνομάτων τὸ πόρισμα

τοῦτο δὲ σεµαίνει διττόν

καλοῦσι γὰρ πορίσματα καὶ ὅσα θεωρήματα συγκατασκευάζεται τοῖς ἄλλων ἀποδείξεσιν, διον ἓρ µαια καὶ κέρδη τῶν ζητούντων ὑπάρχοντα, καὶ ὅσα ζητεῖται μὲν, εὑρέσεως δὲ χρήζει καὶ οὔτε γενέ σεὼς μόνης οὔτε θεωρίας ἁπλῆς.

ὅτι μὲν γὰρ τῶν ἰσοσκελῶν αἱ πρὸς τῇ βάσει ἴσαι θεωρῆσαι δεῖ, καὶ ὄντων δὴ τῶν πραγμάτων ἐστιν ἡ τοιαύτη γνῶσις.

τὴν δὲ γωνίαν δίχα τεμεῖν ἢ τρίγωνον συστήσασθαι ἢ ἀφελεῖν ἢ θέσθαι, ταῦτα πάντα ποίησίν τινος ἀπαιτεῖ, τοῦ δὲ δοθέντος κύκλου τὸ κέντρον εὑρεῖν, ἢ δυο δοθέντων συμμέτρων μεγεσθῶν τὸ μέγισ τον καὶ κοινὸν μέτρον εὑρεῖν, ἢ ὅσα τοιάδε, μεταξύ πώς ἐστι προβλημάτων καὶ θεωρημάτων.

οὔτε γὰρ γενέσεις εἰσὶν ἐν τούτοις τῶν ζητουμένων, ἀλλ᾽ εὑρέσεις, οὔτε θεωρία ψιλή.

δεῖ γὰρ ὑπ'ψιν ἀγαγεῖν καὶ πρὸ ὀμμάτων ποίησασθαι τὸ ζητούμενον.

τοιαῦτα ἄρα ἐστὶν καὶ ὅσα Εὐκλείδης πορίσματα γέγραφε, γ βιβλία πορισμάτων συντάξας.

[50] ἅπαντα δὲ αὐτῶν τὰ εἴδη οὔτε θεωρημάτων ἐστὶν οὔτε προβλημάτων

ἀλλὰ μέσον πως τούτων ἐχούσης ἰδέας, ὥστε τὰς προτάσεις αὐτῶν δύνασθαι σχημάζεσθαι ἢ ὡς θεώρη μάτων ἢ ὡς προβλημάτων

παρ’ ὃ καὶ συμβέβηκε τῶν πολλῶν γεωμετρῶν τοὺς μὲν ὑπολαμβάνειν αὐτὰ εἶναι τῷ γένει θεωρήματα τοὺς δὲ προβλήματα, ἀποβλέποντας τῷ σχήματι μόνον τῆς προτάσεως.

[51] [Os três livros dos porismas de Euclides restaurados].

[52] [Resumo histórico dos métodos em geometria].

[53] [Sobre os porísmas de Euclides].

[54] τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ.

[55] GOW, James, Α Short History of Greek Mathematics, Nova York: Chelsea, 1968,

[56] [Lugares em uma superf cie].

[57] ἀπὸ τῆς περι αὐτοὺς ἰδιοτῆτος.

[58] PESSOA, Ε Obra poética (volume nico). Rio de Janeiro: Companhia Nova Aguilar, 1965,

[59] κωνικά.

[60] τὸ δὲ τρίτον πολλὰ καὶ παράδοξα θεωρήματα χρήσιμα πρός τε τὰς συνθέσεις τῶν στερεῶν τόπων καὶ τοὺς διορισμούς

ὧν τὰ πλεῖστα καὶ κάλλιστα ξένα

[61] ἃ καὶ κατανοήσαντες συνείδομεν μὴ συντιθέµενον ὑπὸ Εὐκλείδου τὸν ἐπὶ τρεῖς καὶ τέσσαρας γραμ. μὰς τόπον

[62] ἀλλὰ μόριον τὸ τυχὸν αὐτοῦ καὶ τοῦτο οὐκ εὐτυχῶς

[63] οὐ γὰρ ἦν δυνατὸν ἄνευ τῶν προσευρημένων ἡμῖν τελειωθῆναι τὴν σύνθεσιν.

[64] τόπος ἐπὶ τρεῖς καὶ τέσσαρας γραμμάς.

[65] [História da matemática grega].

[66] ἐὰν κῶνος ἐπιπέδῳ τμηθῇ διὰ τοῦ ἄξονος

[67] τμηθῇ δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ συμπίπτοντι μὲν ἑκατέρᾳ πλευρᾷ τοῦ διὰ ἄξονος τριγώνου

[68] μήτε δὲ παρὰ τὴν βάσιν τοῦ κώνου ἠγμένῳ μήτε ὑπεναντίως

[69] τὸ δὲ ἐπίπεδον, ἐν ᾧ ἐστιν ἡ βάσις τοῦ κώνου, καὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον συμπίπτῃ κατ᾿ εὐθεῖαν πρὸς ὁ ρθὰς οὖσαν ῆτοι τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου ἢ τῇ ἐπ εὐθείας αὐτῇ

[70] ἥτις ἂν ἀπὸ τῆς τομῆς τοῦ κώνου παράλληλος ἀχθῇ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων ἕως τῆς διαμέτρου τῆς τομῆς

[71] δυνήσεταί τι χωρίον παρακείμενον παρά τινα εὐθείαν

[72] πρὸς ἣν λόγος ἔχει ἡ διάμετρος τῆς τομῆς, ὃν τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ἠἡγμένης ἀπὸ τῆς κορυφῆς το ὕ κώνου παρὰ τὴν διάμετρον τῆς τομῆς ἕως τῆς βάσεως τοῦ τριγώνου τρὸς τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν ἀπολαμβανομένων ὑπ’ αὐτῆς τρὸς ταῖς τοῦ τριγώνου εὐθείας

[73] πλάτος ἔχον τὴν ἀπολαμβανομένην ὑπ αὐτῆς ἀπὸ τῆς διαμέτρου πρὸς τῇ κορυφῇ τῆς τομῆς

[74] ἐλλεῖπον εἴδει ὁμοίῳ τε καὶ ὁμοίως κειμένῳ τοῦ περιεχομένῳ ὑπό τε τῆς διαμέτρου καὶ τῆς παρ᾽ἣ δύνανται.

[75] καλείσθω δὲ ἡ τοιαύτη τομὴ ἔλλειψις.

[76] ἔλλειψις.

[Continua em breve]

***

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