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| Educação na Grécia Antiga: A lição de flauta, a lição de escrita, por cima de um rolo de escrita, uma tábua dobrada, um esquadro. Taça Berlin F 2285, c.490-480 a.C (foto J. Laurentius, Antikensammlung, Staatliche Museen zu Berlin). |
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Texto retirado do livro Paideia: A formação do homem grego, de Werner Jaeger, publicado por WMF Martins Fontes em 2013.
As matemáticas como propaideía
Ora, qual é o saber capaz de conseguir a “conversão da alma”? Está visto de antemão que não é, para Platão, nenhuma experiência isolada, nenhum abalo de alma, nenhuma voz súbita que fale ao Homem sem nenhum esforço da sua parte. Não é num resultado como esse que se pode traduzir a fase cultural em que se move a educação dos “guardiões” e com ela a paideía grega anterior a Platão, visto que a ginástica refere-se ao mundo do que nasce e do que morre, ao florescimento e à decadência, e a música limita-se a produzir na alma um ritmo e uma harmonia, mas sem lhe infundir nenhum saber [107]. E não falemos das artes profissionais (τέχναι), que são banais e, portanto, não podem ser levadas em consideração, quando se trata da verdadeira cultura do Homem [108]. Mas ao lado delas há, contudo, outro tipo de saber de que todas fazem maior ou menor uso, e que serve como nenhum outro para transferir a alma do mundo visível para o conceptual: é a ciência dos números ou aritmética [109]. A lenda atribui a paternidade dessa ciência ao herói Palamedes, que combateu em frente de Troia e de quem se diz que ensinou ao chefe supremo Agamemnon o uso da nova arte para fins estratégicos e táticos. Platão ri daqueles que assim pensam, pois segundo isso Agamemnon não teria sido capaz até então sequer de contar os dedos, e muito menos os contingentes do seu exército e da sua frota. A ciência aritmética é indispensável à formação dos governantes, entre outras razões pelo seu valor militar [110]. Esse argumento prático não se deve tomar apenas num sentido irônico, visto que Platão o torna mais tarde extensivo da aritmética às demais disciplinas matemáticas e é sabido que o desenvolvimento da ciência da guerra no século IV requeria um conhecimento cada vez maior das matemáticas [111]. Todavia, a aritmética que Platão quer que se estude é algo mais do que uma simples ciência auxiliar para o estratego. É um estudo humanístico, pois sem ele o Homem não seria Homem [112]. É claro que de momento isso só se refere a uma fase bastante elementar da compreensão aritmética, a saber: ao contar e distinguir as grandezas pelo próprio nome. Elevando-se acima disso, porém, Platão vê nos números um saber que orienta de modo especial o nosso pensamento para o campo dos objetos que procuramos, que arrasta a alma para o Ser [113].
É esse o ponto de vista completamente novo a partir do qual Platão enfoca o valor cultural da aritmética e de todas as matemáticas. Não devemos esperar da sua maneira de enfocar o assunto que ele entre a fundo no conteúdo dos problemas matemáticos e muito menos que exponha todo um curso didático dessa ciência. Exatamente como faz ao tratar da música e da ginástica, Platão limita-se a traçar as linhas diretivas mais simples, segundo o espírito das quais se devem estudar esses problemas. Ao ir examinando uma após outra as diversas disciplinas matemáticas, há certas repetições que se introduzem no seu breve tratamento do problema, pois julga necessário a propósito de cada disciplina sublinhar de novo o seu ponto de vista, a saber: são as matemáticas que devem despertar o pensamento do Homem. Põe em relevo que, até ele, essa ciência não fora nunca utilizada com tal fim. Recordemos o que dissemos atrás sobre a introdução das matemáticas pelos sofistas como meio de cultura e sobre a fundamentação realista desses estudos [114]. Platão recebe dos sofistas, na medida em que se ocupavam desses problemas, o alto apreço em que tinham as matemáticas, mas ao contrário deles não acha que o seu verdadeiro valor resida na aplicação prática. O reconhecimento da sua importância para a ciência da guerra é uma mera concessão feita à cultura dos governantes, por ele visada. A senda através da Filosofia, que Platão prescreve a essa cultura, exige dos futuros “governantes” um anelo tão puro de cultura, que a referência à importância prática que esses conhecimentos possam vir a adquirir para eles quase pode ser considerada um perigo para a verdadeira fundamentação dos estudos matemáticos [114a]. É principalmente a geometria que lhe fornece ocasião para polemizar com os matemáticos que desenvolvem ridiculamente as suas demonstrações, como se as operações geométricas implicassem um fazer (prâxis) e não um conhecer (gnôsis) [115]. É com uma riqueza impressionante de imagens plásticas que Platão caracteriza constantemente esse conhecer como algo que guia ou arrasta para o pensamento, que evoca o pensamento ou o desperta, que purifica e estimula a alma [116]. Os futuros governantes devem receber uma instrução matemática não meramente profana, mas antes profissional [117]. Não é para fins de compras e transações comerciais, mas sim para facilitar à alma a sua “conversão ao Ser”, que devem ser iniciados na beleza e utilidade desses estudos. Segundo Platão, a eficácia da matemática reside em o seu estudo facilitar, àqueles que para ela têm talento, a capacidade para compreenderem toda classe de ciências; quanto aos preguiçosos, ao serem nela iniciados e treinados, ainda que lhes não traga outra utilidade, ao menos estimula neles a agudeza de compreensão [118]. É a máxima dificuldade que as matemáticas oferecem a quem as estuda que as qualifica como meio de cultura apto para a seleção espiritual.
Além da aritmética e da geometria, o ramo principal da cultura sofística abarcava ainda a Astronomia e a música: essas quatro disciplinas haviam mais tarde de se agrupar sob o nome de quadrivium [119]. Não se vê bem se Platão as recebeu, como unidade, da tradição sofística ou de outras fontes. Na República, ao passar da Astronomia à música, cita os pitagóricos como representantes da concepção segundo a qual a astronomia e a música são ciências gêmeas [120]. Isso nos faz suspeitar que a união dessas duas disciplinas com a aritmética e a geometria tinha também origem pitagórica ou era habitual entre os pitagóricos. Problema diverso é o de saber se há razões para ir mais longe e atribuir à escola pitagórica agrupada em torno de Arquitas a origem de todas as ciências verdadeiramente exatas conhecidas dos gregos; o que é provável é não existirem tais razões, embora essa escola tenha com certeza imprimido um impulso fundamental ao desenvolvimento das máthemata e seja provável também que Platão tenha mantido com ela estreitas relações [121]. As suas manifestações a respeito da razão de ser dos estudos matemáticos dentro do âmbito da sua paideía filosófica tornam muito plausíveis as suas relações com os pitagóricos, pois os cita como a principal autoridade nesse ramo do saber. Critica-os, no entanto, por outro lado por se aferrarem ao sensível e não se elevarem até ao pensar puro [121a]. Os pitagóricos são também especialistas na matéria e, nesse sentido, por mais que lhes deva, tem de ser ele próprio a pôr em relevo o ponto de vista que julga decisivo. Assim o afirma expressamente ao tratar da música, pela qual não se deve entender o ensino puro e simples da música, mas sim a teoria da harmonia. Os pitagóricos medem as harmonias e os tons audíveis entre si e buscam neles o número [122], mas a sua missão termina onde começam os “problemas” [123] cuja investigação o nosso filósofo considera a verdadeira meta da sua cultura e que põe igualmente em relevo, ao tratar da geometria e da Astronomia [124]. Refere-se à formulação de problemas que levam diretamente às coisas em si, ao ser incorpóreo. Os pitagóricos não se preocupam com saber que números são harmônicos e quais não são, e por que razões sucede uma e outra coisa [125]. Não investigam, como Platão exige, por ver nisso algo de novo, a afinidade mútua existente entre todos os objetos das matemáticas, nem se elevam ao que em todos eles é comum [126], mas elaboram separadamente cada uma das suas observações sobre os números, as linhas e as superfícies, sobre os fenômenos celestes visíveis e sobre os tons e consonâncias audíveis. Por conseguinte, devia ser também a astronomia pitagórica que Platão tinha em mente ao lhes fazer ver que era difícil acreditar que os fenômenos celestes fossem eternos e se processassem sempre em obediência às mesmas leis, a supor-se que se tratava apenas de movimentos de grandezas puramente físicas e visíveis [127]. Por trás dessas alusões críticas, em que a exposição positiva da doutrina platônica se deixa para ser tratada em obra especial, oculta-se a conclusão que conhecemos pelo Timeu e pelas Leis, segundo a qual a regularidade matemática dos fenômenos celestes pressupõe a existência de agentes dotados de consciência racional [128]. O expositor da paideía não entra, porém, nesses detalhes científicos; atém-se pura e simplesmente ao aspecto formal da sua própria filosofia [129].
Platão não depara com dificuldades para atribuir a Sócrates todos esses conhecimentos especiais, que sugere mais do que desenvolve. Sócrates aparece sempre como o homem que tudo sabe, seja qual for o ponto que se focalize, e, embora só lhe interesse o que ele considera fundamental, quando a ocasião se apresenta, revela um domínio assombroso em campos de conhecimento que, parece, deveriam ser-lhe estranhos. Esse traço dependeria necessariamente de alguma razão histórica; por outro lado, se algo de certo existe, é que era perfeitamente estranho ao Sócrates real a apreciação das matemáticas e das suas disciplinas, tais como vemos aqui fundamentadas por Platão, como o caminho para o conhecimento do Bem. Nesse ponto, temos de controlar muito bem a liberdade soberana com que nos seus diálogos Platão faz de Sócrates o advogado dos seus próprios pensamentos. Num visível remoque contra a exposição anti-histórica de Platão, Xenofonte afirma que, ainda que Sócrates entendesse qualquer coisa de matemáticas, só lhes reconhecia valor educativo dentro de limites muito estreitos, a saber: na medida em que delas se pudesse tirar alguma utilidade prática [130]. É exatamente o contrário da concepção platônica. O seu repúdio consciente por parte de Xenofonte leva-nos com segurança à conclusão de que nesse ponto é o seu e não o de Platão o testemunho de peso. O Sócrates histórico não teria repreendido severamente o seu interlocutor, como o Sócrates platônico, ao ouvi-lo justificar o valor da Astronomia pela sua utilidade para a agricultura, para a navegação e para a arte de guerra [131]. A paideía de Platão reflete aqui a enorme importância que para ele tiveram as matemáticas, até mesmo no que se refere à elaboração teórica dos pensamentos socráticos. É por isso que ele considera suspeito todo raciocínio utilitário, embora ele próprio sublinhe que as matemáticas são indispensáveis para o estratego. O olhar para o alto em que a Astronomia estudada matematicamente educa a alma é perfeitamente diverso de voltar os olhos para o céu, como fazem os astrônomos profissionais [132]. A parte da alma onde as matemáticas cultivadas em sentido platônico acendem a chama pura é mais importante que dez mil olhos [133].
Quanto ao resto, Platão não segue a tradição que só admite as quatro disciplinas matemáticas apontadas, mas introduz no ensino, como ele próprio nos diz, uma ciência matemática totalmente nova: a estereometria [134]. Colocar a Astronomia depois da geometria devia ser algo já estabelecido na sua época. Platão menciona-a como evidentemente situada em terceiro lugar e começa a tratar dela [135]; mas logo se corrige e opta por atribuir esse lugar à ciência das grandezas espaciais, uma vez que esta deve vir, logicamente, depois da geometria, ou seja, da ciência das linhas e das superfícies, e antes da Astronomia, que também trata das grandezas espaciais, mas concretamente das que são dotadas de movimento [136]. A introdução da estereometria constitui uma surpresa e permite a Platão variar um pouco essa parte do seu estudo. A influência da prática de ensino na Academia transparece aqui, indubitavelmente. A tradição da história das matemáticas, que data da baixa Antiguidade e sobe até a obra fundamental de Eudemo, discípulo de Aristóteles, considera autor da estereometria o notável matemático Teeteto de Atenas, em memória do qual Platão escreveu, poucos anos depois da República, o diálogo que tem o seu nome [137]. Segundo hoje se acredita, morreu no ano de 369, em consequência de uma epidemia de disenteria, quando se encontrava no exército [138]. O conteúdo do último livro (o XIII, dedicado à estereometria) dos Elementos de Euclides, a obra fundamental e imorredoura das matemáticas gregas, a qual apareceu uma só geração depois, devia ter essencialmente como base as descobertas de Teeteto [139]. Esse matemático era figura conhecida na Academia, como prova a imagem do sábio amável que Platão pinta com tanta simpatia no Teeteto; é indubitável que é à influência pessoal do pai da estereometria que se deve atribuir o fato de Platão ainda em vida daquele atribuir a essa ciência um lugar tão honroso, na República.
Para podermos compreender a paideía platônica, é de fundamental importância estarmos em condições de apreciar, em face de um ponto tão importante como este, a atualidade científica que para o próprio Platão gozavam os preceitos estabelecidos na República para estruturação da cultura filosófica. Como nos encontramos separados por mais de dois mil anos da época em que as matemáticas gregas receberam de Euclides a forma científica consagrada como clássica, a qual ainda hoje se conserva em vigor dentro dos limites então traçados, não se torna fácil para nós retroceder até a situação espiritual em que essa forma se encontrava ainda em gestação ou tendia a consumar-se. Se levarmos em conta que foi obra de poucas gerações, compreenderemos como o labor concentrado de um punhado de investigadores geniais, empenhados em impulsionar o seu progresso, criou uma atmosfera de confiança, mais ainda, de certeza na vitória, a qual, num ambiente platônico de estímulos espirituais como o da Atenas do século IV, tinha por força de imprimir um impulso extraordinário ao pensamento filosófico. A Filosofia via diante dos seus olhos uma ideia de saber de uma exatidão e perfeição da prova e da construção lógica como o mundo não sonhara sequer nos dias dos filósofos pré-socráticos da natureza. A atenção que precisamente o aspecto metódico dos problemas despertava por aquela época nos círculos matemáticos fazia que esse modelo tivesse um interesse inestimável para a nova ciência da dialética, elaborada por Platão com base nos diálogos socráticos sobre a virtude. Nem a filosofia platônica nem nenhuma outra grande filosofia poderia ser concebida sem a influência fecundante dos novos problemas levantados e das novas soluções apresentadas pela ciência daquele tempo. Ao lado da Medicina, cuja influência podemos constantemente verificar, foram principalmente as matemáticas que a impulsionaram. E, se a Medicina forneceu a analogia entre a héxis do corpo e a da alma e, como corolário dela, a fecundidade do conceito médico de tékhne para a ciência da saúde do espírito, as matemáticas deram impulso principalmente às operações realizadas com objetos puramente noéticos, como eram as ideias platônicas. E, graças aos seus novos conhecimentos lógicos, Platão estava por sua vez em condições de impulsionar, com a maior intensidade, a edificação sistemática da ciência, estabelecendo-se assim uma relação de intercâmbio, como assinala a tradição [140].
Teeteto só relativamente tarde veio a ganhar importância para Platão. Quando morreu, no ano de 369, era ainda um homem na força da idade; portanto, as suas descobertas deviam ser ainda muito recentes, quando alguns anos antes da República Platão as aproveitou [141]. O mais antigo contato de Platão com as matemáticas deve ter sido anterior às suas relações com os pitagóricos, uma vez que diálogos como o Protágoras e o Górgias, os quais revelam já um nítido interesse pelas matemáticas, foram escritos antes da primeira viagem do filósofo à Sicília. A Atenas daquele tempo devia oferecer nesse campo bastante elementos de cultura [142]. Infelizmente não podemos seguir hoje a linha que une Platão a Cirene, pois nem sequer há a certeza de ele ter realmente empreendido a sua viagem ali, depois da morte de Sócrates [143]. Quando mais tarde escreveu o Teeteto, Platão contrapôs essa figura, considerada representante da nova geração de matemáticos sensível à formulação filosófica do problema, à figura consideravelmente mais antiga de Teodoro de Cirene, que era um investigador famoso, mas sem interesse ainda por problemas desse tipo. Isso parece pressupor a existência de certas relações pessoais com Teodoro [144]. A viagem por ele empreendida ao sul da Itália, no ano de 388, pôs Platão em contato com os pitagóricos daqueles lugares e, entre eles, talvez com o matemático e estadista Arquitas de Tarento, o principal representante da ciência pitagórica, junto do qual permaneceu longo tempo e com o qual firmou uma amizade que durou toda a vida [145]. Foi ele o modelo vivo para a educação matemática dos governantes de Platão. A frase de Aristóteles, curiosa para nós, de que os métodos de investigação e ensino de Platão seguiam essencialmente os pitagóricos, embora tivessem características próprias também, devia forçosamente referir-se sobretudo ao aspecto matemático do ensino, o qual nos nossos diálogos aparece relegado para segundo plano, mas que na Academia ocupava o primeiro lugar [146]. Há um dado da antiga biografia de Aristóteles que afirma ter ele cursado a escola de Platão “sob Eudoxo”; desse dado concluímos que houve um estreito contato da Academia com o grande matemático desse nome e com a sua escola; esse contato transparece por todas as vias na nossa tradição e nas relações pessoais de Aristóteles com ele, referidas na Ética, e as quais remontam a uma longa permanência de Eudoxo na escola platônica, cuja data se poderia fixar com precisão no ano em que Aristóteles entrou para a Academia (ano 367) [147]. A aliança da Academia com a escola de Eudoxo, cuja sede estava em Cízico, manteve-se até a geração seguinte [148] e é expressão visível da participação muito ativa que a escola platônica teve no progresso da ciência matemática. O secretário e auxiliar mais chegado a Platão nos seus últimos anos foi Filipe de Opunte, a quem já tivemos ocasião de nos referir como editor da obra póstuma de Platão, as Leis, figura famosa na Antiguidade como matemático e astrônomo, e autor de numerosas obras [149]. Ao que parece, era nessas matérias uma autoridade fundamental da Escola, juntamente com acadêmicos como Hermodoro e Heráclides. Enquanto Heráclides se dedicava de preferência às especulações astronômicas, Filipe era o tipo do investigador exato, embora nas Epínomis tratasse a Astronomia, tal como todos os demais platônicos, como base da Teologia.
Esses fatos indicam-nos insistentemente que nunca devemos perder de vista que o que se desdobra perante os nossos olhos nas obras literárias de Platão é apenas a fachada do edifício científico e das atividades docentes da Academia, cuja estrutura interna ele esboça. Os preceitos da República sobre o ensino das matemáticas não fazem senão refletir a posição que dentro da Academia essa ciência ocupava nos planos de formação filosófica. Sob esse ponto de vista, Platão não estabelece uma distinção nítida entre investigação e educação. A extensão desse campo, suscetível ainda de ser abarcada pelo olhar, permite-lhe exigir pura e simplesmente para sua cultura dos governantes o estudo da totalidade da matéria [150], sem fazer uma seleção e dando ainda as boas-vindas, como ampliação do programa, a disciplinas novas do tipo da estereometria. Compreende-se que outras escolas concebessem distintamente a paideía do estadista. Aqueles que, como Isócrates, se colocavam num ponto de vista fundamentalmente prático e julgavam que a meta dessa paideía era a retórica, tinham forçosamente que considerar exagerado o alto apreço de Platão pela exatidão do saber matemático como fator de educação política, fazendo, ao contrário, força na experiência [151]. O fato de as críticas dirigidas a Platão versarem precisamente sobre a hipertrofia das matemáticas prova que era nestas que se via a pedra angular do seu sistema de cultura.
Nessa fase superior, como aliás na fase da cultura dos “guardiões”, não é da mera teoria que a paideía platônica dimana. Da mesma forma que ali recolhe para substância da sua paideía todo o amontoado da cultura histórica, que era para ele a cultura grega, sob a forma da poesia e da música do seu povo, propondo-se apenas a missão de a depurar e de sujeitá-la ao seu fim supremo, assim guia aqui a corrente da ciência viva da sua época para o leito da sua paideía filosófica e preocupa-se apenas com descobrir o que conduz à sua meta filosófica e encaminhá-lo diretamente para ela. Isso nos coloca o problema de saber qual era a atitude de Platão em face das outras ciências que o seu programa não considera. O moderno conceito da ciência, que traça a esta limites tão vastos como aqueles que a experiência humana pode alcançar, faz com que a hegemonia exclusiva das matemáticas na paideía platônica nos pareça, se bem que grandiosa, unilateral; isso nos inclina, talvez, a vermos também nesse fenômeno o efeito da supremacia temporal das matemáticas da sua época. Todavia, por mais que a consciência do progresso que irradiava dos seus grandes descobridores houvesse necessariamente de contribuir para a posição de predomínio que as matemáticas desfrutavam na Academia, a verdadeira razão disso deve ser buscada, em última instância, no caráter da própria filosofia platônica e no seu conceito do saber, que excluía da cultura os ramos puramente empíricos do saber. As tentativas de “erudição” dos sofistas não tiveram prosseguimento na escola de Platão. O fato de depararmos, nos fragmentos conservados da comédia ática daquele tempo, com motejos às intermináveis disputas sustentadas por Platão e seus discípulos em torno da determinação do conceito das plantas e dos animais, e sua divisão, não contradiz em nada a imagem projetada diretamente pelos diálogos platônicos. O comediógrafo Epícrates, cujo talento ilumina com luz crua os mistérios do ensino esotérico da Academia, aborda certeiramente na sua narração, por mais exagerada que a consideremos, um ponto decisivo: é que os filósofos percebem muito pouco das plantas, e a sua cultura nesse campo revela, ao fazerem tentativas de classificação, lacunas que provocam o riso do auditório [152]. Um famoso médico siciliano, e como tal representante do saber empírico, que por casualidade assiste à função, como hóspede de honra, manifesta de modo pouco correto como esse tipo de “naturalistas incultos” merece o aborrecimento que essas tentativas lhe causam. Tomando como base os dados zoológicos e botânicos dessas investigações, conclui-se sem nenhum fundamento que o ensino ministrado na Academia devia ser consideravelmente diverso do que se descreve na República [153], e de que lá se devia conceder maior importância ao saber empírico. É certo que esse tipo de investigação sobre a classificação dos animais e das plantas não podia prosseguir, desligado de toda a base experimental, principalmente se era para ser completo e sistemático; o seu objetivo, porém, não era reunir todos os dados empíricos sobre as diversas espécies, mas antes distingui-las umas das outras e ordená-1as corretamente dentro do grande sistema da diérese conceptual de “todo o existente”, como plasticamente o fazem os diálogos posteriores de Platão sobre outros objetos. O verdadeiro objetivo desses esboços projetados sobre os objetos era a dialética. E, se a exposição feita na República não nos deixa a mesma impressão quanto ao método de ensino, isso deve-se exclusivamente à forma sumária pela qual Platão caracteriza aqui as distintas fases da sua paideía. E isso nós já pusemos em relevo repetidas vezes. Dentro do programa cultural da República, é na segunda parte, que se segue à matemática e trata da dialética, que se devem incluir as classificações das plantas e dos animais referidas por Epícrates.
Notas:
[107]. Rep., 521 E-522 A.
[108]. Rep., 522 B.
[109]. Rep., 522 C-D.
[110]. Rep., 522 E 1-3.
[111]. Por isso as matemáticas convertem-se na ciência predileta dos estrategos e dos reis da época helenística. Sobre Antígono e Demétrio Poliorcetes, cf. o meu livro Diokles von Karystos, pp. 81-2. Cf. também, sobre o ponto de vista militar, Rep., 525 B-C.
[112]. Rep., 522 E 4.
[113] Rep., 523 A: ἐλτικὸν πρὸς οὐσίανv.
[114] Cf., acima, pp. 357 ss.
[114a] Diz-nos a tradição que Platão levou a sério este problema quando lhe pediram que educasse o tirano Dionísio II para governar segundo as suas concepções. PLUTARCO, Díon, c. 13, informa que o príncipe e toda a corte dedicaram-se durante certo tempo ao estudo das matemáticas e que o ar ficava cheio do pó que a multidão levantava ao traçar as figuras geométricas no chão.
[115] Rep., 527 A.
[116] Cf. Rep., 523 A 2; A 6; B 1; D 8; 524 B 4; D 2; D 5; E 1; 525 A 1; 526 B 2; 527 B 9.
[117] Rep., 525 C: ἀνθάπτεσθαι αὐτῆς µὴ ἰδιωτικῶς.
[118] Rep., 526 B.
[119] Cf., acima, pp. 354-7. Também em Teeteto, 145 A, enumeram-se essas quatro matérias como pertencentes à paideía, nas quais o jovem Teeteto se iniciava em Atenas por volta do ano 400.
[120] Rep., 530 D 8.
[121] Erich FRANK, no livro Plato und die sogenannten Pythagoreer (Hale, 1923) é o que vai mais longe na atribuição das ciências exatas da Grécia aos pitagóricos. W. A. HEIDEL, “The Pythagoreans and Greek Mathematics”, em American Journal of Philology, 61 (1940), pp. 1-33, traça o desenvolvimento dos estudos matemáticos na Grécia mais primitiva, tanto quanto lhe permitem as provas que existem, em círculos não pitagóricos, especialmente na Jônia.
[121a] Rep., 531 A 5, cf. 530 D 6.
[122] Rep., 531 A 1-3, 531 C.
[123] Rep., 531 C.
[124] Rep., 530 B 3.
[125] Rep., 531 C 3.
[126] Rep., 531 D. Sobre esse programa de uma análise filosófica das ciências matemáticas e sobre o modo como se pôs em prática na Academia, cf. F. SOLMSEN, “Die Entwiklung der aristotelischen Logik und Rhetorik” (em Neue Philol. Unters., editados por W. Jaeger, vol. IV), pp. 251 s.
[127] Rep., 530 B.
[128] Timeu, 34 C-38 C; Leis, 898 D-889 B. Cf. Epin., 981 E ss.
[129] Um belo exemplo desse costume de Platão de eliminar todo o aspecto técnico, que a exposição da paideía contida na República nos permite observar em todo o seu alcance, nós o temos em Timeu, 38 D. Repele-se aqui o exame pormenorizado da teoria das esferas, dizendo-se que esse método daria maior importância ao secundário (πάρεργον) que à finalidade que deve servir. De modo diferente procede ARISTÓTELES na sua Metafísica, 8, onde critica as razões que dão os astrônomos para fixar o número exato das esferas embora se equivoquem ao fazer o cálculo.
[130] XENOFONTE, Mem., IV 7, 2 ss.
[131] XENOFONTE, Mem., IV, 7, 4, o faz fundamentar o estudo da astronomia com base precisamente na sua utilidade para estas atividades.
[132] Rep., 529 A.
[133] Rep., 527 E.
[134] Rep., 528 B.
[135] Rep., 527 D.
[136] Rep., 528 A-B.
[137] SUIDAS, s. v. Θεαίτητος: Escol., em EUCL., Elem., liv. XIII (t. V, p. 654, 1-10, Heilberg). A atribuição do descobrimento dos cinco poliedros regulares a Pitágoras por Proclo (no índice geométrico) é lendária, como o provaram de modo irrefutável as recentes investigações de G. Junge, H. Vogt e E. Sachs.
[138] Cf. EVA SACHS, De Theaeteto Atheniensi mathematico (tese de doutoramento pela Universidade de Berlim, 1914), pp. 18 ss.
[139] Sobre o Teeteto como fonte do livro XIII dos Elementos de Euclides, cf. Eva SACHS, “Die fünf platonischen Körper” (em Philologische Untersuchungen, ed. por Kiessling e Wilamowitz, t. XXIV), p. 112, e T. L. HEATH, A Manual of Greek Mathematics (Oxford, 1931), p. 134.
[140] Cf. F. SOLMSEN, “Die Entwiklung der aristotelischen Logik und Rhetorik”, loc. cit., pp. 109 s.
[141] Segundo a cronologia geralmente aceita, a República foi escrita entre 380 e 370.
[142] Assim o pressupõe Platão em Teeteto, 143 E ss., acertadamente do ponto de vista histórico, se bem que o encontro de Teeteto com Sócrates não tenha certamente passado de uma ficção literária de Platão para atingir os fins que tinha em vista no diálogo, como aconteceu no de Sócrates com Parmênides e Zenão, no Parmênides.
[143] DIÓGENES LAÉRCIO, III, 6.
[144] É certamente sobre esta conclusão que assenta a “tradição” da viagem de Platão a Cirene, depois da morte de Sócrates, para visitar Teodoro (cf. nota 143).
[145] Segundo a Carta VII, 338 C, Platão, na sua segunda viagem ao sul da Itália (ano de 368), estabeleceu uma certa hospitalidade entre Arquitas e Dionísio, o tirano; por isso, ambos gerem conjuntamente a sua terceira viagem. Segundo PLUTARCO, Díon., c. II, os pitagóricos e Díon foram já um fator essencial na segunda viagem de Platão, coisa que este não menciona. Isso poderia levar a pensar que a tradição assenta numa reduplicação errônea do que aconteceu na terceira viagem; porém quem Platão ia visitar na primeira viagem à Italia, antes de ir a Siracusa (no ano de 388), senão os pitagóricos? É certo que DIÓGENES LAÉRCIO, III, 6, que dá informações sobre o caso, só menciona Filolau e Eurito, mas não Arquitas, como motivo da primeira viagem.
[146] ARISTÓTELES, Metaf., A 6.
[147] Cf. a minha obra Aristóteles, pp. 19 s.
[148] Encontramos Aristóteles, discípulo de Platão, em relações científicas com o astrônomo Calipo, discípulo de Eudoxo: Metaf., 8, 1073 b 32, 537 C.
[149] Cf. SUIDAS, s. v. ϕιλόσοϕος.
[150] Rep., 525 C.
[151] Cf., adiante, livro IV, o cap. “Isócrates defende a sua paideía”.
[152] EPÍCRATES, frag. 287 (Kock).
[153] Cf. acerca desse assunto o meu estudo Diokles von Karystos, p. 178.
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