Sobre as Geometrias Não-Euclidianas e Não-Arquimédicas

Um triângulo nas geometrias elíptica, hiperbólica e euclidiana

APÊNDICE II

NOTAS METAFÍSICAS ACERCA DE HILBERT 

E SEUS ESTUDOS SOBRE AS GEOMETRIAS

NÃO-EUCLIDIANAS E NÃO-ARQUIMÉDICAS [1]

Por Carlos Augusto Casanova

Em sua obra grundlagen der geometrie (Fundamentos da Geometria), David Hilbert tentou provar a independência dos axiomas da geometria mediante a análise de geometrias que prescindissem de um axioma ou outro. Desta maneira, queria estabelecer que os axiomas não se deduzem uns dos outros [2]. Por exemplo, “o axioma III 5 [de congruência de triângulos] não pode ser deduzido dos outros axiomas I [de incidência], II [de ordem], III 1-4 [de congruência], IV [das paralelas] e V [de continuidade] por inferência lógica”[3]. Como sabe disso? Porque mostra que é possível uma definição de construção de segmentos tal que a partir dela se possa elaborar uma geometria completa, coerente, na qual não tenha força o axioma III 5, mas sim todos os demais [4]. Nestas notas examinaremos algumas das passagens em que Hilbert realiza esse mesmo trabalho com respeito ao axioma das paralelas (IV) e ao axioma de Arquimedes (V 1, junto a III 5, tomado apenas de modo restrito), e veremos que, ao menos numa construção geométrica particular, a omissão do axioma de Arquimedes (V 1) deixa sem aplicação o princípio de que o todo é maior que a parte.

O objetivo que perseguimos é refletir, à luz dos trabalhos mencionados, concernentes aos axiomas IV e V 1, se essa estratégia de Hilbert implica, como alguns crêem, (a) que as matemáticas são um puro “construto”, do qual os princípios podem ser escolhidos de modo arbitrário; e (b) que a inteligência pode evoluir de modo a deixar “superados” os axiomas tidos tradicionalmente como mais sólidos ou construções geométricas inteiras, como a euclidiana, com seus axiomas e teoremas por igual.

Neste artigo consideraremos sobretudo os Grundlagen der Geometrie e outras obras contemporâneas de Hilbert. Deixaremos de lado, de modo especial, o difícil problema de como os trabalhos de Hilbert sobre a Teoria da Relatividade afetaram o modo como ele concebia a relação entre a geometria euclidiana e o espaço de nossa experiência [5]. Todavia, algumas de nossas observações lançarão luz sobre o mui kantiano intento de Hilbert de transformar a física numa disciplina plenamente matemática.

O presente apêndice está dividido em três partes: (I) observações preliminares, (II) geometrias não-euclidianas, e (III) geometrias não-arquimédicas.

I. OBSERVAÇÕES PRELIMINARES

A força e a verdade dos princípios ou axiomas não podem ser provadas. O único que faremos, portanto, será refletir sobre a atividade de um matemático que tenta desentranhar seu significado. Deste modo, talvez se mostre, à mente daquele que se admira ante o caráter de aparência abstrusa e arbitrária desta atividade, que os axiomas não são arbitrários, que são evidentes e que se impõem por si mesmos quando as naturezas às que se referem seus termos estão em jogo e se manifestam à nossa mente.

A não-arbitrariedade dos axiomas matemáticos pode manifestar-se de duas maneiras. Em primeiro lugar, como diz Leo Corry, somente alguns sistemas axiomáticos resultam ser relevantes para a matemática [6]: apenas os axiomas que respondam à natureza do tipo particular de espaço e quantidade (discreta ou contínua) que estejam em jogo em uma construção qualquer sobreviverão a um exame racional. Em segundo lugar, de acordo com o que Hilbert em pessoa ensina:

O edifício da ciência não se constrói como uma habitação, na qual tem-se primeiro que estabelecer as fundações firmes para depois poder levantar e alargar os aposentos. A ciência prefere fazer o quanto antes confortáveis espaços por onde se possa passear com folga, e é somente depois, quando os primeiros sinais aparecem aqui e ali, que as instáveis fundações não são capazes de sustentar a expansão dos dormitórios, que ela se dispõe a repará-los e fortificá-los. Isto não é sinal de debilidade, mas, outrossim, é a via correta para seu bom desenvolvimento [7].

Em geral, o que Hilbert busca “é o sistema adequado a cada uma das teorias conhecidas e suficientemente elaboradas, e não o contrário” [8]. Todavia, como dissemos, no caso da obra Grundlagen der Geometrie, também pretende mostrar que alguns axiomas não podem ser derivados de outros e, para isso, utiliza a estratégia de construir sistemas axiomáticos nos quais não postula um deles, o qual, por isso mesmo, fica excluído do sistema, pois não se pode derivá-lo dos outros. Em tais construções, ele usa postulados convencio­nais ou outros arbitrários, mas com o propósito de estudar axiomas bem estabelecidos e suas relações. Ter em mente esta segunda tarefa nos será de ajuda para explicar alguns dos paradoxos que encontraremos em sua obra [9].

Hilbert sempre pensou não apenas que os axiomas não são arbitrários, mas também que existia uma relação entre o sistema axiomático da geometria e a realidade física. Entretanto, ao tentar explicar tal relação, incorreu em numerosas inexatidões e, inclusive, contradições.

Ao tratar da origem dos axiomas da física e da matemática, Hilbert fala da “observação” e da “intuição”. Essas ações têm verdadeiramente um lugar na origem dos princípios. Mas o modo como Hilbert as entendeu não lhe permitiu compreender a relação entre esses princípios e o real. Daí que a noção mesma de “verdade” se tornasse um quebra-cabeças para Hilbert, que a fazia seguir de um sinal de interrogação em carta dirigida a Frege, em 29 de setembro de 1899 [10]. Com efeito, Hilbert pensava que os axiomas teriam sua origem na experiência e na intuição, mas, uma vez formulados, seus conceitos se separariam daquelas [11], de tal maneira que seria difícil estabelecer sua relação com a realidade. Nessa mesma carta, ele parece pensar que os axiomas pudessem ser totalmente arbitrários, e que a verdade e o próprio existir significariam exclusivamente consistência [lógica] [12]. Em outras passagens, aponta que os axiomas podem ser aplicados a diversas realidades, sempre que elas satisfaçam tais axiomas, mas que se tiverem sido desenvolvidos suficientemente como a teoria de Maxwell da eletricidade, somente muita má vontade poderia pretender aplicá-los a outros fenômenos [13].

A que se deve que Hilbert não possa explicar suficientemente essa experiência básica da disciplina que praticou durante toda a vida, a correspondência entre a realidade e os axiomas? A resposta está sem dúvida conectada a vários fatos. Primeiro, ele desconhecia a distinção entre física e matemática. Ademais, não cabe aos matemáticos enquanto tais nem aos físicos enquanto tais a reflexão metafísica sobre a correspondência entre a realidade e as fórmulas de suas respectivas ciências, e Hilbert foi sempre sobretudo um matemático [14]. Até o século XVIII, os cientistas europeus gozavam de uma sólida educação clássica que os capacitava para a reflexão metafísica sobre sua disciplina. Mas desde o final do século XVIII esta tradição foi interrompida quase de todo. Talvez tenhamos que situar aqui a causa principal das perplexidades de Hilbert em torno dos fundamentos da ciência [15]: ele estava tentando restaurar a unidade do conhecimento, mas tal unidade se havia rompido há muito e no seu tempo a tarefa estava longe de ser fácil [16]. Por último, ele se encontrava sob a influência da filosofia de Kant.

Enquanto Huygens e Newton sabiam bem que a física (incluindo a física matemática) e a matemática (incluindo a geometria) não podem usar o mesmo método, Hilbert parece ignorá-lo de todo. Ele quer abarcar as ciências matemáticas e as ciências físicas, e, para isso, tenta conferir às ciências físicas uma abstração axiomática e uma segurança de resultados semelhante à da geometria, ao mesmo tempo que concebe a geometria como se fosse uma ciência natural [17]. Desconhece, assim, este ensinamento básico contido na Summa Theologiae (q. 32, a. 1, ad 2m), referente à física construída sobre hipóteses matematizadas:

De outro modo aduz-se uma razão que não prova suficientemente a raiz [a proposição que se quer provar, que não se demonstra por suas causas], senão que se mostra que uns efeitos concordam com a raiz já postulada: como em astrologia se postula a razão das excêntricas e dos epiciclos [próprios do sistema ptolemaico, que estava mais matematizado que o aristotélico e, por isso mesmo, repousava mais em hipóteses] porque, feita essa postulação, podem salvar-se os fenômenos sensí­veis acerca dos movimentos celestes. Mas esta razão não é suficientemente probante, porque talvez também com outra hipótese se possam salvar os fenômenos [18].

Em geometria, verdadeiras demonstrações podem ser construídas, mas na física matemática isso é impossível. A geometria deriva seus teoremas a partir dos axiomas de maneira dedutiva. A física matemática apenas imagina hipó­teses com as quais trata de “salvar os fenômenos” e as quais submete à prova na experimentação. Huygens conhecia um aspecto dessa limitação da física matemática: afirmava, por isso, no prefácio de seu Traité de la Lumière, que sua teoria da luz tentava mostrar os princípios hipotéticos a partir de suas conseqüências, e, por isso, não podia ser tão segura quanto a geometria [19]. Kant, em contrapartida, perde esta distinção por conceber a mecânica como uma ciência a priori e o espa­ço euclidiano como o espaço de nossas percepções sensíveis (organizadas pelas formas da sensibilidade) [20].

Por outro lado, talvez pela ampla influência de Kant no ambiente acadêmico alemão, Hilbert não fez o devido uso das finas distinções aristotélicas sobre a origem dos princípios e o modo de usá-los na física e na matemática [21]. Kant tinha razão, desde logo, ao apontar que a mente humana desempenha um papel ativo na obtenção dos axiomas. Estes não são “dados” à razão pelos sentidos. Mas devemos notar, como já disse num trabalho prévio incluído aqui como Apêndice I, que o caráter ativo de nossa mente pode ser melhor explicado com a noção aristotélica do intelecto agente do que com a noção kantiana das formas a priori da sensibilidade [22]. De acordo com o Estagirita, eles são possuídos pelo hábito do intelecto e nascem da análise das noções básicas de ambas as disciplinas, a quantidade contínua ou discreta ou as essências sensíveis. Tais noções se originam na indução, na experiência sensorial de seus respectivos gêneros sujeitos, iluminados pelo intelecto agente e captados pelo intelecto possível [23]. Não obstante, a origem comum destes axiomas na experiência sensível adota formas um tanto diversas em cada disciplina: na matemática, resultam da abstração da forma da quantidade; e na física, da abstração do todo com respeito à matéria concreta [24]. A física deve sempre estar apegada à experiência, a matemática pode proceder de modo mais abstrato, com um estilo peculiar, do qual falaremos mais tarde neste artigo [25]. A nenhuma das duas cabe a reflexão sobre em que sentido suas noções e juízos correspondem à realidade, porque nenhuma delas faz uma reflexão sobre o que é seu gênero sujeito. Isso cabe à filosofia primeira ou metafísica. 

Apesar de todas as suas perplexidades, e fora do calor da discussão epistolar com Frege, a opinião predominante de Hilbert ainda em 1919 é a seguinte:

[A matemática] nada tem que ver com a arbitrariedade. Em nenhum sentido a matemática é como um jogo, em que certas tarefas se determinam por regras estabelecidas arbitrariamente. Outrossim, ela é um sistema conceitual guiado por uma necessidade interna, que só pode ser assim e nunca de outra maneira [26].

Mais ainda. De acordo com Hilbert, [ao menos uma parte de] a matemática pura, ainda que alcance verdades necessárias, procede da experiência, da observação e da descrição dos objetos concretos da aritmética finita ou da geometria [27]. Podemos usar as palavras que empregou o próprio Hilbert:

[...] quando está trabalhando o poder criador da razão pura, o mundo exterior volta a entrar em jogo, nos força a considerar novas questões da experiência atual, abre novos ramos da matemática [que abarcaria a física, segundo Hilbert], e ao tempo que tentamos conquistar novos campos de conhecimento para incorporá-los ao reino do pensamento puro, amiúde encontramos a solução de velhos problemas não resolvidos e assim fazemos progredir mui exitosamente as velhas teorias. E me parece que as numerosas e surpreendentes analogias e essa harmonia em aparência pré-estabelecida, que o matemático freqüentemente percebe nas questões, métodos e idéias dos vários ramos desta ciência, têm sua origem no sempre recorrente intercâmbio entre pensamento e experiência [28].

Estas observações preliminares são suficientes para se ver que devemos introduzir algumas mudanças no modo como Hilbert considera a geometria desde o ponto de vista filosófico, se queremos dar conta da realidade ou veracidade dos axiomas. Com respeito às geometrias não-euclidianas, é preciso abandonar a crença de que a geometria euclidiana é a única que corresponde ao espaço de nossas percepções, e temos que conservar em mente que, ainda que os axiomas da geometria tenham sua origem na experiência, o caráter abstrato da matemática dá lugar a diferentes maneiras de analisar a experiência. Com relação ao caso particular da geometria não-arquimédica que estudaremos, deverá ficar claro que a pretensão (ao menos aparente) de Hilbert, segundo a qual o princípio de que “o todo é maior que a parte” pode ser superado, esquece o fato de que, para que um axioma seja aplicável a uma matéria dada, é preciso que as naturezas significadas nos termos do axioma estejam presentes nesta matéria. Deste modo, vemo-nos obrigados a tentar, desde uma perspectiva filosófica, uma explicação distinta acerca da realidade ou veracidade dos axiomas e das geometrias euclidianas e não-euclidianas. Temos a esperança de ajudar a estabelecer precisamente as verdades que o próprio Hilbert entreviu.

II. GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS

Quando, na seção § 10 de seus Grundlagen der Geometrie, aplicando seu método, Hilbert deixa de lado o axioma das paralelas para construir uma geometria não-euclidiana, alude a um espaço claramente real, um espaço esférico. Este fato isolado resulta ser, à primeira vista, surpreendente. Como poderíamos suspender um axioma sobre o espaço, aplicar essa “suspensão” a um espaço real e obter ainda uma geometria “verdadeira”? Será que a geometria não tem a ver com a realidade e constitui, outrossim, uma pura construção mental? Tudo parece indicar que sim, porque até o venerável edifício euclidiano estava construído sobre um axioma do qual podemos prescindir de uma maneira completamente artificial.

Sabemos, contudo, que Hilbert não pensava ser a geometria puramente artificial, mas defendia, ao contrário, que ela fosse uma certa descrição ou compreensão do mundo físico [29]. Como explicar, pois, o aparente paradoxo? 

Poderíamos tentar uma primeira explicação dizendo que a esfera cujo espaço é analisado numa geometria não-euclidiana é concebida como incluída num espaço euclidiano mais amplo, uma espécie de “espaço absoluto”, newtoniano ou kantiano. E que a geometria não-euclidiana pode fazer sentido porque suas proposições podem ser transformadas e, deste modo, compreendidas por ou na geometria euclidiana.

Se refletirmos sobre as concepções aristotélica e leibniziana do espaço, contudo, vemos que não é necessária uma explicação tão artificiosa. O espaço não é uma entidade absoluta, mas um conjunto de relações - reais ou de razão - entre os extremos dos corpos [30]. Não existe um espaço absoluto em que se encontre uma esfera, mas diversos espaços que podem ser resolvidos em seus elementos de diversas maneiras. 

Se consideramos uma superfície esférica e definimos cada um dos pontos sobre ela como os dois extremos de cada diâ­metro que se podem traçar em cada um dos círculos maiores ou equadores que se encontram na esfera, e se cada linha é o perímetro de um desses círculos maiores, não pode haver nenhuma paralela que passe por um ponto externo a uma linha. Qualquer linha que passasse por um ponto externo interceptaria em um ponto (tal como foi definido) a primeira linha dada. Deste modo, não seria aplicável o axioma euclidiano das paralelas, identificado por Hilbert como IV: “Seja uma linha a e um ponto A que não se encontra nela. Então existe somente uma linha no plano, determinada por a e A, que passa por A e não intercepta a a” [31].

A geometria euclidiana, então, é verdadeira, apesar de existirem geometrias não-euclidianas também verdadeiras [32]. Euclides alcançou demonstrações propriamente ditas e, desde logo, elas são verdadeiras. Como se pode explicar que diversas geometrias sejam verdadeiras?

A geometria é abstrata, de acordo com Aristóteles e Sto. Tomás. A noção de “quantidade” (contínua ou discreta) chegou à nossa mente por experiência, mas foi abstraída ainda quando éramos apenas crianças. Por isso pode acontecer de nos esquecermos de sua origem e pensarmos que seja inata, como fizeram Platão, Leibniz e Kant. Nas demonstrações matemáticas, temos que supor como sujeito das “paixões” ou predicados que se demonstram, algumas noções básicas encerradas dentro do gênero da quantidade, tais como a unidade, o ponto, a linha, a superfície, o espaço, etc. Supostas estas e os significados dos substantivos com que se identificam, logo construímos outras coisas, como triângulos ou quadrados, e mais tarde buscamos por demonstração ainda outras coisas, como “os ângulos internos do triângulo somam 180º”, ou “a diagonal é incomensurável com os lados do quadrado”, etc. Cada passo nos dá o sujeito dos seguintes passos (pois uma vez construído o triângulo, pode-se provar deste, por exemplo, que seus ângulos internos somam 180º), e todos supõem que as noções básicas são e o que se significa com as palavras com que as nomeamos. Mas essas noções básicas e o gênero “quantidade” a que pertencem não existem em si mesmos, sendo senão apenas na substância, que a matemática não considera [33]

Por causa de seu caráter abstrato, não cabe à matemática investigar em que sentido a investigação matemática é real. Pela mesma razão, ademais, pode parecer que a matemática constitui um construto, “porque suas demonstrações se dizem como se fossem operativas, como aquela: Sobre uma linha reta dada, construa-se um triângulo eqüilátero"? [34]. Por isso mesmo, finalmente, as demonstrações podem tomar diversos caminhos. Mas isso não quer dizer que não respondam a algo real e que sejam inteiramente arbitrárias [35]. As demonstrações de Euclides são tão firmes hoje como sempre o foram, ainda que saibamos agora que não esgotam a explicação das realidades extensas e contínuas. E são firmes precisamente porque, como qualquer verdadeira demonstração, elas explicam o efeito como conseqüência necessária de causas [formais] bem conhecidas [36].

Nisto, nossa perspectiva para compreender a natureza da matemática é melhor que a de Newton ou Kant, porque, devido ao desenvolvimento da física e da matemática nos séculos XIX e XX , mais facilmente podemos considerar as relações entre a experiência e as matemáticas. Também entendemos mais facilmente - com Aristóteles e Leibniz - que o espaço é relativo. Podemos ver também, finalmente - dentro do espírito da filosofia tomista da matemática, mas para além de sua letra - , que são possíveis construções da geometria alternativas à de Euclides.

Para entender como podem ser verdadeiras ao mesmo tempo geometrias euclidianas e não-euclidianas, temos de considerar que o axioma das paralelas entra em jogo quando o tipo de espaço de que se está falando é “plano” ou é analisado como se fosse plano. Se estamos falando de outro tipo de espaço ou outra análise, esse princípio não tem validade. Como qualquer outro axioma, está condicionado a que seus termos precisos (evitada a recorrente equivocidade da linguagem, origem de tantas objeções sofísticas [37]) estejam em jogo nas demonstrações de que estamos tratando.

No artigo “Sobre as hipóteses que jazem na base da geometria” de Riemann, encontram-se reflexões que com muita força ratificam o que temos afirmado nos parágrafos anteriores. A geometria assume como coisas dadas a noção de espa­ço e os primeiros princípios de construção nele, enquanto fornece definições meramente nominais de todas as noções primitivas. Deixa, portanto, na obscuridade, as relações entre estes pressupostos e o problema de serem necessários ou mesmo possíveis. Ainda que se possa construir matematicamente uma magnitude estendida de mais de três dimensões, o espaço é uma magnitude estendida apenas em três. Por isso a geometria deve manter uma relação com a experiência. Temos que descobrir os “fatos” mais simples com os quais construir as relações de medida do espaço, mas nessa tarefa não existe apenas um caminho possível, porque os “fatos” bastantes para determinar as relações de medida podem ser organizados em vários sistemas diferentes, dos quais o mais importante é o que Euclides deixou estabelecido como uma fundação da geometria. Esses “fatos”, portanto, são assumidos como hipóteses [38].

Neste ponto, as reflexões “metamatemáticas” de Hilbert foram insuficientes, novamente talvez por influência de Kant. Por isso, ainda que deixando claro que o assunto passa para além das investigações lógico-matemáticas, ele chegou a dizer que apenas a geometria euclidiana corresponde à nossa experiência do espaço. As não-euclidianas e as não-arquimédicas seriam criadas arbitrariamente e constituiriam uma extensão do termo “geometria”, semelhante à constituída pelos números complexos na aritmética. Existiriam, contudo, alguns objetos que “se comportariam” de modo conforme a um tipo ou outro de geometria. Na exposição de Corry não há referência senão aos objetos que se comportam conforme à geometria não-euclidiana, como os caminhos da luz [39]. No que se refere às geometrias não-euclidianas de três dimensões, pensamos que Hilbert se equivocou. No que se refere às geometrias não-arquimédicas, talvez tenha razão, como veremos.

Contudo, apesar de nosso desacordo, há uma observa­ção que Hilbert faz em 1905 que diz referir-se aos axiomas geométricos em geral, mas que, de fato, se refere sobretudo aos das geometrias não-euclidianas e que confirma o que temos dito aqui. Os axiomas podem ser escolhidos mais ou menos arbitrariamente. Podemos começar definindo as entidades ponto, linha, plano. Mas poderíamos começar definindo outras. Não quaisquer entidades, contudo, nem com a única restrição da consistência. Não se pode começar, aponta Corry em sua exposição dos ensinamentos de Hilbert, definindo cadeiras, mesas e jarros, senão, como ensina explicitamente Hilbert, tem-se que começar por definir os seres próximos aos fatos intuitivos da geometria, tais como círculos e esferas, a partir dos quais se formulem os axiomas adequados que não contradigam a geometria intuitiva usual [40].

III. GEOMETRIAS NÃO-ARQUIMÉDICAS

As geometrias não-arquimédicas são aquelas nas quais as regras fundamentais excluem o axioma de Arquimedes (V 1): “Se AB e CD são segmentos quaisquer, então existe um número n tal que n segmentos CD construídos contiguamente desde A até B passarão além do ponto B” [41]. Elas se referem, pois, a um objeto de investigação que não é contínuo.

No Apêndice II do Grundlagen der Geometrie, “O teorema da igualdade dos ângulos da base de um triângulo isósceles”, encontramos um caso de geometria não-arquimédica [42]. Ali temos uma construção geométrica que: a) usa todos os axiomas I-IV com exceção do axioma III 5 de congruência de triângulos (que se aplica de modo restringido: apenas triângulos equiposicionados serão congruentes[43]), b) exclui o teorema de Arquimedes [44] e c) define arbitrariamente a ordem de um conjunto de números e de um conjunto de representações gráficas, de rotações, ou mapeamentos ou projeções e de comparação ou medida de segmentos (um segmento é girado sobre o outro para levar a cabo a comparação) [45]. Para estabelecer os axiomas e regras a) e c), Hilbert usou noções tais como “ponto”, “linha”, “plano”, “ângulo”, “tri­ângulo”, “paralela”, etc. Não obstante, a restrição do axioma III 5, a exclusão do axioma V 1 e o uso das definições, uma vez aplicados, faz que se dê lugar a um objeto de investigação que é diferente da área ou do volume. De fato, com estes postulados, “o conceito de área perde seu sentido”[46]. Quer dizer, o objeto que se pode estudar com tal sistema axiomático não é mais uma magnitude estendida em três dimensões que alguns chamam “espaço” ou “corpos” e suas relações posicionais. Neste objeto de investigação, a versão plena do axioma III 5 não pode ser demonstrada. Isto deu a Hilbert uma melhor noção da independência dos axiomas e da “conexão lógica do teorema do triângulo isósceles com os outros teoremas elementares da geometria plana, em particular com a teoria da área” [47]. Neste objeto de investigação, ademais, o teorema 29, proposição 39 do Livro I dos Elementos de Euclides e o axioma segundo o qual o todo é maior que a parte não são válidos.

Vejamos rapidamente qual o conteúdo do teorema 29, proposição 39 do Livro I dos Elementos de Euclides, como Hilbert mostrou que ele não podia ser demonstrado nesta particular geometria não-arquimédica que ele construiu, e as implicações que ele pretende derivar de que seja possível construir uma geometria na que tal teorema não seja válido.

Tal teorema estabelece que dois triângulos iguais construídos sobre a mesma base e em direção ao mesmo lado dessa base estão contidos entre duas paralelas ou, de acordo com Hilbert, possuem a mesma altura [48]. Na demonstração, Euclides usa o princípio de que o todo é maior que a parte. Eis aqui o teorema:

Sejam dois triângulos ABC e DBC, sobre a mesma base BC e construídos em direção às mesmas partes.

Digo que eles estão constituídos entre as mesmas paralelas, isto é, que a reta AD é paralela a BC. Pois, se não for, trace-se uma linha F desde A , paralela a BC, que passe ou por cima de AD ou por baixo.

Suponhamos primeiro que passa por cima, com o segmento AE , onde E seria o ponto de interseção da linha BD com a linha F, e tracemos então a reta EC. Assim, porque são paralelas AE e BC [já que dois triângulos com a mesma base entre duas paralelas são iguais, como já se demonstrara antes], a) o triângulo ABC seria igual ao triângulo EBC. Mas o triângulo DBC é igual ao ABC por hipótese. Por conseguinte, b) os triângulos DBC e EBC serão iguais, a parte e o todo, o que é absurdo.

Mas se a paralela traçada desde A cai abaixo de AD, como é o segmento AE [onde a linha F intercepta a linha BD], levada a reta EC, pelo mesmo raciocínio, serão iguais os triângulos BEC e BDC, a parte e o todo, o que é absurdo. Sendo assim, AD será paralela a BC. Por que os triângulos iguais sobre a mesma base, etc. Que é o que queríamos demonstrar [49] (ver ilustração a seguir).

No corpo de sua obra [50], muito antes das passagens nas quais a geometria não-arquimédica que estamos estudando fosse construída, diz Hilbert que é possível construir uma geometria com os axiomas I-IV, com exceção do axioma III 5 (que se toma de um modo restringido), na qual o teorema 48 (equivalente ao transcrito de Euclides) são seja válido, e nem, portanto, “a proposição ‘O todo é maior que qualquer de suas partes' ”. E logo remete ao Apêndice II, a partir da página 127.

Neste último lugar, Hilbert aplica a geometria do apêndice ao seguinte exemplo [51]: se temos um triângulo retângulo OQP e outro triângulo retângulo com a mesma base OQ e um terceiro vértice R que constitui uma projeção especular de P com relação à linha OQ (quer dizer, se encontra na perpendicular a OQ, na que se encontra P, à mesma distância de OQ, que P), deveria ocorrer que tivessem o mesmo tamanho OP e OR. Mas na verdade, e na geometria definida no Apêndice II, isso não ocorre. Para comparar ambos os segmentos, de acordo com as regras definidas no apêndice, gira-se OP sobre o eixo x (em que jaz o segmento OQ, cujo ponto O está na origem), e sua extensão será a do raio que vai da origem O ao novo ponto, e se faz o mesmo com a linha OR, para comprovar que as linhas não coincidem. Daí se conclui que “são diferentes as hipotenusas de dois triângulos retângulos de catetos iguais e situados simetricamente, e, por isso, as imagens de segmentos que se formam através de uma reta por reflexão não necessariamente são iguais aos segmentos da figura original” [52] (ver ilustração a seguir).

Hilbert afirmou que, em sua geometria não-arquimédica, o Teorema de Pitágoras era válido porque Euclides usou apenas triângulos equiposicionados para demonstrá-lo, de modo que, aplicando a versão restringida do axioma III 5, isso pode ser demonstrado [53]. Se aplicamos então tal teorema a esses triângulos, acerca dos quais acabamos de falar (OQR e OQP), podemos ver que com as hipotenusas de ambos os triângulos podemos formar retângulos de lados iguais (quadrados) que sejam equicomplementares, porque podemos transladar um sobre o outro por meio de “mapeamentos congruentes”. Mas porque as hipotenusas não são iguais, não é valido o teorema segundo o qual um retângulo decomposto em triângulos não pode ser preenchido de novo se se omite um dos triângulos [54]. Assim, os conceitos de equicomplementaridade e igual área não são equivalentes no contexto do Apêndice II. “Equicomplementaridade” significa precisamente uma relação entre duas figuras tal que elas podem ser preenchidas pelas mesmas figuras geométricas [menores], Mas neste novo contexto do Apêndice II se diz que as figuras são equicomplementares se uma pode ser colocada sobre a outra por meio de mapeamentos congruentes. Assim, o quadrado construído sobre OP seria equicomplementável ao construído sobre OR, mesmo que o segundo [por ser menor] pudesse ser encaixado no primeiro [55].

O teorema 29 de Euclides é provado na página 68, mostrando que se dois triângulos equicomplementáveis (quer dizer, neste contexto, dois triângulos com a mesma área) possuem a mesma base, têm também a mesma altura. Mas, no contexto do Apêndice II, retângulos e triângulos com diferentes lados ou bases e alturas podem ser equicomplementáveis. O teorema 29 de Euclides é provado na página 68 "usando o conceito de área" [56], um conceito que agora fica excluído, que "sem a forma mais ampla (III 5) do axioma de congruência de triângulos perde seu significado" [57], porque um e o mesmo triangulo pode ter áreas diferentes se para seu cálculo se escolhe um lado diferente como sua base. Isso pode ser visto no triângulo de nosso exemplo, OQR, e seguindo as regras estabelecidas neste apêndice para calcular a magnitude dos segmentos [58]. Deste modo, o teorema 29 de Euclides não seria válido precisamente porque o conceito de área perdeu seu significado, e sem tal conceito não podemos aplicar o princípio de que o todo é maior que as partes. 

Contudo, será possível estender a conclusão anterior até o ponto de sustentar que nossa mente pode se livrar de um princípio que sempre foi visto como fundamental, e que parece suposto em qualquer compreensão da área extensa? Por outro lado, podemos dizer que a geometria pode ser construída de um modo inteiramente arbitrário, até o ponto de abandonarmos alguns de seus axiomas básicos? Para responder a estas perguntas, à luz dos trabalhos de Hilbert, devemos considerar o propósito que movia o autor a escrever estas páginas do apêndice, a aplicabilidade desta geometria à realidade física ou sua recepção matemática, e também o significado interno do que ele fez.

Quanto ao propósito de Hilbert, podemos afirmar seja múltiplo. Por um lado, tenta mostrar que, ainda que se suponha a forma restringida, a forma ampla do axioma da congruência de triângulos não pode ser provada sem os axiomas de continuidade (V 1 e V 3). Ao menos implicitamente, ele tenta estabelecer também que o axioma da continuidade é independente dos outros, não podendo ser derivado deles se não o postulamos de modo expresso [59]. Pretende o autor, por último, "lançar nova luz sobre a conexão lógica do teorema [da igualdade dos ângulos da base] do triângulo isósceles com os outros teoremas elementares da geometria plana, em particular, com a teoria da área" [60].

As definições arbitrárias, desenhadas com todos esses propósitos, portanto, não nos devem levar a pensar que a geometria é ou possa ser puramente convencional. Hilbert pretendia extrair conhecimento, "em retrospectiva", acerca de "entes matemáticos bem estabelecidos e elaborados" [61]. No exemplo do Apêndice II, seu objetivo não era mostrar "finfe é o mesmo que rabate" ou "canecas de cerveja o que mesmo que cadeiras", mas era precisamente mostrar as relações entre axiomas e teoremas bem estabelecidos em teorias aceitas. As convenções, pois, cumpriram um fim relevante para a geometria, ainda no caso de que não pudessem ser incorporadas numa teoria matemática ou física aceita.

Em alguns lugares, como já vimos, Hilbert afirma que as geometrias não-arquimédicas constituem uma extensão da geometria (no caso que nos ocupa, já sabemos que nos leva a deixar de lado as áreas, por meio de um sistema de convenções). Algo semelhante ocorre com os números complexos, diz ele, que ultrapassaram a seu tempo a axiomática da aritmética. De certo modo, tal também se passou, podemos acrescentar, com os números negativos. A análise das noções elementares pode levar a postular novas noções, que servem para compreender melhor o gênero sujeito a estudo. Com os números negativos, o significado parece claro, igual que sua diversa aplicabilidade a diversas entidades físicas ou morais, como as dívidas. Em outros casos, o significado pode não ser tão claro. A aplicabilidade a entes reais (não de pura razão), não obstante, nos leva a pensar que as novas noções têm algo de realidade, ao menos no sentido de constituírem entes de razão que nos permitem conhecer ou expressar melhor a realidade, como as preposições na linguagem natural. Na exposição de Corry, entretanto, ainda que sejam fornecidos exemplos de aplicação da geometria não-euclidiana, não se fornecem exemplos de aplicação de geometrias não-arquimédicas. Claro, tampouco as dá o Apêndice II.

Desconheço se esta geometria do Apêndice II teve alguma verdadeira recepção na teoria matemática. Sei, não obstante, que o próprio Hilbert pensava que o axioma de Arquimedes é necessário para aplicar a matemática a qualquer medição de quantidades físicas, pois sem tal axioma as quantidades não seriam comparáveis entre si. A astronomia se baseia precisamente na comensurabilidade das dimensões celestes com as terrestres, e a física atômica na aplicabilidade das divisões de nossas medidas macroscópicas ao mundo microscópico. Sei também que Hilbert pensava que esta necessidade podia ser conhecida como fruto de suas investigações, que haviam demonstrado a independência do axioma da continuidade, e, portanto, seu caráter central nas teorias tanto matemáti­cas como físicas, que não podiam substitui-lo com o Teorema da Congruência dos Triângulos [62].

O que dissemos nos permite fazer um breve parêntese. Uma teoria matemática, se relevante, se responde realmente ao gênero sujeito à ciência, pode encontrar aplicações não previstas no momento de sua formulação. Por quê? Por uma razão que havia assinalado Aristóteles: a quantidade é o acidente pelo qual inerem todos os demais acidentes na substância sensível. Seu caráter fundamental faz com que até as qualidades dos seres sensíveis tenham dimensões quantitativas que podem se prestar ao estudo físico-matemático [63]. Aristóteles e Sto. Tomás sabiam claramente deste fato nos casos da astronomia, da ótica, da música, da mecânica (eles buscaram, no entanto, compreender as essências na medida possível às forças humanas, e não somente a expressão quantitativa de algumas de suas propriedades [64]). Com a concep­ção aristotélico-tomista, então, é fácil entender o “sempre recorrente intercâmbio entre pensamento e experiência”, como diz Hilbert [65], ou a aplicabilidade da álgebra à física.

Em todo caso, se a geometria do apêndice chegou a ser objeto de atenção dos matemáticos, se responde a algum tipo de quantidade discreta, não dá margem para pensar que a mente humana possa se ver livre do axioma de que uma extensão total deve ser maior que uma parcial, a não ser apenas para afirmar que todo e qualquer axioma somente pode ser aplicado quando o significado dos termos que constituem seu conteúdo está presente na matéria estudada [66]: se não estamos falando de área extensa propriamente dita, pode ser que o axioma não se aplique. Com efeito, não se compara, no Apêndice II de Grundlagen der Geometrie, um todo com sua parte, mas segmentos ou figuras geomé­tricas com o resultado de “mapeamentos” ou “rotações” que se fazem deles; nem tampouco se compara uma área de um triângulo com a área [menor] do mesmo triângulo, mas a multiplicação de quantidades que, de acordo com conven­ções mais ou menos arbitrárias, correspondem ao valor da base ou da altura de um triângulo. Compara-se também um segmento (OR) com outro (OP) através de uma rotação, e conclui-se que dois segmentos que no contexto de uma área deveriam possuir a mesma magnitude, no contexto dessa geometria especial não o têm, porque a noção mesma de área é rompida por definições arbitrárias de regras de rota­ção e ordenação dos números [67].

Por outro lado, não se deve perder de vista que a definição das regras que nos levam a falar de uma realidade distinta, por se usarem conceitos que, sim, têm que ver com a área extensa (ainda que precisamente para apontar a um novo tipo de realidade abstrata), estamos supondo o axioma de que o todo é maior que a parte e talvez até o axioma da continuidade. Com efeito, sem estes axiomas, não poderíamos entender as expressões “número”, “igual”, “adicionado”, “subtraído”, “multiplicado”, “dividido”, “maior”, “menor”, “seno”, “cosseno”, “ponto”, “reta”, etc., usadas nas páginas 115-116 para estabelecer o sistema não-arquimédico do Apêndice II. Essa observação não ataca a independência dos axiomas: o que Hilbert quer provar fica provado, quer dizer, que não se pode obter o axioma da continuidade se não o postulamos como axioma, e sem o axioma da continuidade não se pode provar o axioma da congruência de triângulos. Creio que estas ou análogas reflexões filosóficas seriam aplicáveis às outras geometrias não-pitagóricas de que trata Hilbert em sua obra Grundlagen der Geometrie [68].

Notas:

[1] Publicado originalmente como artigo, em inglês, na revista Teorema, Vol. XXV/2 (2006), pp. 73-93.

[2] Cf. Foundations of Geometry. Open Court Classics. La Salle-Illinois, 1992, p. 32. Esta é uma tradução da décima edição alemã.

[3] P. 39. Vejamos alguns exemplos: I- Axiomas de incidência. 1- “Para todos os pontos A, B existe uma reta a que contém cada um dos pontos A, B” (p. 3). II- Axiomas de ordem. 1- “Se um ponto B jaz entre um ponto A e um ponto C, então os três pontos A, B, C são pontos distintos de uma reta, e B jaz também entre C e A” (p. 5). III- Axiomas de congruência. 1 - “Se A e B são dois pontos em uma reta a, e A’ é outro ponto na mesma reta ou em outra reta a' então sempre é possível encontrar um ponto B’ em um lado da reta a através de A’, tal que o segmento AB é congruente ao segmento A’B’.” (p. 10). 5- “Se dois lados de um triângulo são iguais a dois lados de outro triângulo e são iguais os respectivos ângulos que formam esses lados, então os outros ângulos de cada um desses triângulos são também iguais aos do outro triângulo” (p. 12). IV- Axioma das paralelas, que se explicará no texto. V- Axioma de continuidade. 1- “Se AB e CD são segmentos quaisquer, então existe um número n tal que n segmentos CD construídos contiguamente desde A até B passarão além do ponto B ” (p. 26).

[4] Foundations of Geometry (cit.), pp. 39-41 (n. 11).

[5] Devo a Don Howard e Katherine Brading, da Universidade de Notre Dame, o me haver dado conta de que este aspecto da obra de Hilbert poderia ter importância para os problemas que aqui exploro.

[6] Cf. “Hilbert y su filosofia empirista de la matemática”, p. 31. Boletín de la Asociación Matemática Venezolana. Volume IX , N° 1, Caracas, 2002, pp. 27-43. Cf., também, Aleksandrov, Kolmogorov e Lavrent’ev, editores, Mathematics, Its Content, Methods, and Meaning, traduzido por S. H. Gould e T. Bartha. M IT Press. Cambridge, Massachussets, 1965, pp. 264-265.

[7] Manuscrito de curso dado em Göttingen em 1905, citado por Leo Corry, “Hilbert and the Axiomatization of Physics, (1894-1905)”, p. 130, em Arquive for History of Exact Sciences. Vol. 51, N° 2, Springer, 4 de agosto de 1997, pp. 83-198. Uso a tradução feita pelo próprio Corry em sua obra escrita em castelhano e já citada.

[8] L. Corry, “Hilbert y su filosofia empirista de la geometría” (cit.), p. 39. No mesmo sentido, pode-se ver Stephan Körner, The Philosophy of Mathematics. An Introductory Essay. Hutchinson University Library. Londres, 1960, pp. 85-87. Aí mesmo se mostra que o formalismo estrito que às vezes se atribui a Hilbert foi na realidade obra de H. B. Curry, o qual converteu os sistemas formais no objeto da matemática.

[9] Como observa Stephan Körner, outro objetivo de Hilbert é mostrar a consistência do sistema axiomático da geometria (cf. The Philosophy of Mathematics (cit.), pp. 75-84). Este objetivo foi gravemente afetado pelos trabalhos de Gödel. O segundo teorema deste, por exemplo, demonstra que a consistência de um sistema não pode ser provada dentro do sistema, pois a afirmação segundo a qual um sistema é consistente não é parte deste sistema (cf. ibidem, p. 95).

[10] Cf. Gottlob Freges Briefwechsel mit D. Hilbert, E. Husserl, B. Russell, sowie ausgewählte Einzelbriefe Freges. Felix Meiner Verlag. Hamburg, 1980, pp. 11-13 . Nesta vacilação em torno da noção de verdade se manifesta novamente, talvez, a influência kantiana.

[11] Cf. manuscrito do curso de 1905, nn. 36-37, citado por Corry, “Hilbert and the Axiomatization of Physics”, p. 127. Ver também David Hilbert, Foundations of Geometry (cit.), p. 2, onde o autor sustenta que os axiomas geométricos estão conectados à nossa intuição espacial. Ainda que seu autor não tenha suspeitado, esses textos guardam uma grande semelhança com a teoria aristotélica da filosofia da ciência: as matemáticas, de acordo com tal teoria, são fruto de intuições relativas a uma forma (a quantidade) abstraída da experiência. Somos capazes de refletir sobre tal experiência por meio da formulação, como hipóteses, das noções fundamentais com o objetivo de construir as diversas partes da geometria. Essa construção, ademais, pode ser realizada de modo inventivo, por meio da dialética, ou de modo sistemático, como fez Euclides depois de Aristóteles. Sabemos bem, sobretudo depois de Gödel, que nem todas as verdades podem ser reduzidas totalmente aos axiomas. Nunca podemos alcançar um sistema fechado.

[12] Cf. a mesma carta, p. 12.

[13] Cf. a mesma carta, p. 13.

[14] Um cientista pode ser muito competente em sua disciplina particular e um mal filósofo desta mesma ciência.

[15] Stephan Körner, em seu The Philosophy of Mathematics (cit.), também assinala o ar de paradoxo que rodeia o trabalho de Hilbert no que se refere à origem dos axiomas. Cf. pp. 98-106, especialmente p. 98.

[16] Uma afirmação contemporânea de Max Weber mostra que a situação era muito semelhante nas ciências do espírito e nas ciências sociais: cf. Arthur Mitzman, The Iron Cage: An Historical Interpretation of Max Weber. Alfred A. Knopf, Inc., NY, 1972, p. 209.

[17] Cf. Leo Corry, “Hilbert and the Axiomatization of Physics” (cit.), especialmente pp. 104-109.

[18] Devo o haver reparado neste texto a A. C. Crombie, Medieval and Early Modern Science. Doubleday and Company INC., Garden City, 1959. Volume I, p. 89.

[19] Cf. A. C. Crombie, Medieval and Early Modem Science (cit.), Volume II, pp. 326-327.

[20] Stephan Körner, The Philosophy of Mathematics (cit.), pp. 29, 138-139 e 140-141.

[21] Sobre a influência de Kant em Hilbert, cf. Stephan Körner, The Philosophy of Mathematics (cit.), pp. 72-74. Em carta a Schumacher de 1 de novembro de 1844, com razão Gauss alude a Aristóteles como o único filósofo capaz de dar definições apropriadas à ciência. Entre os que dão definições inadequadas ele inclui Kant, por quem, contudo, conservou sempre certo respeito (mas não pelos idealistas posteriores a Kant, entre os quais se encontra Hegel, cuja filosofia qualificou de insana, em carta a Schumacher).

[22] Cf. “Sobre la realidad de las matemáticas”, Areté XV, Nº 1 (2003), pp. 35-62. Gauss sabia, por exemplo, que a noção de espaço dos geômetras tem a ver com a experi­ência, ainda que não seja uma imagem especular do mundo. Por este motivo, tinha apreço à Crítica da razão pura. No entanto, ele pensava que a teoria kantiana do espaço era muito errônea. Cf., sobre a opinião de Gauss acerca dos filósofos e fragmentos de suas cartas, Waldo Dunnington, Carl Friedrich Gauss: Titan of Science. Exposition Press, NY, 1955, pp. 313 -317.

[23] Cf. De Anima III 4-6, Analíticos posteriores II 19 e Ética a Nicômaco VI 6.

[24] Uso livremente as observações de Sto. Tomás, baseadas no Capítulo 1 da Metafísica Épsilon, contidas no comentário ao De Trinitate de Boécio. (Opuscula Theologica II. Marietti. Turim-Roma, 1972. Lição II, q. 1, a . 1).

[25] Cf. Ética a Nicômaco VI 8 , 1142a.

[26] Natur und Mathematischcs Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919-1920 in Göttingen. Nach der Ausarbeitung von Paul Bernays (Edited and with an English introduction by David E. Rowe), Basel, Birkhäuser, p. 14. Uso a tradução feita para o inglês por Leo Corry desta passagem em seu “Hilbert and the Axiomatization of Physics” p. 116 , mas comparando-a ao original alemão.

[27] Stephan Körner, The Philosophy of Mathematics (cit.), pp. 72-74 e 98. A outra parte procederia da análise das Idéias [kantianas] da aritmética transfinita. Seria possível provar, ademais, por meio da construção de sistemas formais, que ambas as partes da matemática, finita e transfinita, seriam consistentes.

[28] “Mathematical Problems”, p. 440. Leo Corry (“Hilbert and the Axiomatization of Physics” p. 120) alega que nesta passagem Hilbert defende a harmonia pré-estabelecida de Leibniz. Penso que o texto o nega claramente. Acerca deste ponto, em conexão com a aplicação da matemática à física de acordo com Hilbert, cf. Stephan Körner, The Philosophy of Mathematics (cit.), p. 88.

[29] Cf., por exemplo, além da citada passagem de Stephan Körner (nota 26), Leo Corry, “Hilbert y su filosofia empirista de la matemática” (of. cit.), p. 35.

[30] Acerca da concepção aristotélica, cf. Física IV 1-9. Acerca da concepção lebniziana, cf. sua correspondência com Clark: “Second Ecrit de Mr. Leibniz”, “Troisième Ecrit de Mr. Leibniz”, “Quatrième Ecrit de Mr. Leibniz” e “Cinquième Ecrit de Mr. Leibniz”, em Logica et Metaphysica, vol. 2 de G. W. Leibniz Opera Omnia. Georg Olms Verlag. NY, 1989, pp. 114-115, 120-121, 128-134 e 165-166.

[31] Cf. Hilbert, The Foundations of Geometry (cit.), p. 25.

[32] Note-se que estamos nos referindo apenas a geometrias que são não-euclidianas por não serem planas, e que não estamos considerando-as como não-euclidianas por conterem mais de três dimensões. Como já mostramos previamente, no Apêndice I, estas geometrias são extensões metafóricas a relações não espaciais do mundo real. Jacques Maritain, citando Sto. Tomás, que por sua vez cita Ptolomeu, mostrou que as dimensões reais são determinadas pelo número de perpendiculares que podem encontrar a uma linha em um ponto determinado do espaço físico. Ver The Degrees of Knowledge (cit.), p. 43.

[33] Cf. Sto. Tomás de Aquino, In Aristotelis Libros Perhemeneias et Posteriorum Analyticorum Expositio. Marietti. Turim, 1955 .Analíticos Posteriores I, Lição II, nn. 17-19 . Em concordância com Metafísica Epsilon 1. Sei que em matemática se podem fazer demonstrações não construtivas, porém, desde logo, estas sempre procedem desde um contexto que já tenha sido “construído”.

[34] Cf. ibidem, n. 17.

[35] A explicação que acabamos de dar no presente parágrafo e no anterior responde exatamente os problemas que suscitam as “proposições de existência” segundo Stephan Körner (op. cit. pp. 174-176), e o fazem desde uma concepção realista, aristotélica, da matemática.

[36] No caso da geometria euclidiana, desde logo, as causas são apenas formais. Quando a relatividade fundiu física e geometria, construiu um sistema conceitual com o que se podem salvar os fenômenos. Tal sistema, contudo, se encontra longe tanto das entidades físicas quanto das geométricas. Saunders Mac Lane argumenta, como nós, que a geometria não é a priori. Argumenta também que a geometria é abstrata e por essa razão a geometria euclidiana não foi afetada pelo desvio dos raios de luz. Cf. Mathematics, Form and Function. Springer Verlag. NY, 1986, p. 411.

[37] Cf., de Aristóteles, Refutações sofísticas I.

[38] Cf. “On the Hipotheses which lie at the Bases of Geometry”, pp. 107-108. Publicado em C. W. Kilmister, General Theory of Relativity. Pergamon Press. NY, 1973, pp. 107-122.

[39] Cf. “Hilbert and the Axiomatization of Physics” pp. 128-129.

[40] Cf. Manuscrito do curso de 1905, n. 39, citado por Corry em “Hilbert and the Axiomatization of Physics” p. 128. À luz dessas considerações e de outras feitas previamente, pode-se captar que a exposição e a crítica feitas por A. D’Abro a respeito de Hilbert (cf. The Rise of the New Physics, cit.) estava errada ou superficial em muitos pontos, mas talvez os textos publicados por Hilbert fossem confusos o bastante para dar margem a esse tipo de leitura. Assim, 1) D'Abro afirma que, segundo Hilbert, os axiomas não definem seus termos e, portanto, podem ser aplicados a qualquer realidade, porque a matemática não se refere a nenhuma realidade particular, mas a relações. Essa seria a razão pela qual ela pode ser aplicada à física e pela qual Hilbert encontrou a equivalência entre a geometria e a aritmética (cf. p. 197). Contra D’Abro, (a) mantemos que a aplicação da geometria à física não supõe que os axiomas geométricos se refiram a meras relações em lugar de referirem-se à quantidade abstrata, como estabeleceremos no texto. Ademais, (b) o próprio Hilbert tinha a geometria, e não a aritmética, como uma ciência natural. 2) D’Abro opõe demasiado Poincaré a Hilbert, como se este não afirmasse que a intuição tem um lugar na matemática ou que a axiomatização é apenas um exercício posterior à descoberta de verdades matemáticas (pp. 191-213, em especial 198 e 202-204). Chega a destacar tanto a oposição que termina por concluir que os físicos teóricos não têm que se ocupar da natureza da matemática, apesar de eles basearem suas investigações num esquema matemático, porque se trata de um assunto obscuro (cf. p. 212). Em relação a estas outras afirmações de D'Abro, temos de afirmar que elas simplesmente confirmam que estes assuntos concernentes à natureza da matemática e às relações entre a física c a matemática correspondem à filosofia, não à física.

[41] Foundations of Geometry, p. 26.

[42] Foundations of Geometry, pp. 113-132.

[43] Isso significa que o triângulo ABC não seria igual ao triângulo CAB. Cf. loc. cit., p. 113.

[44] Cf. pp. 114-115.

[45] Cf. pp. 115-120.

[46] Cf. p. 127.

[47] P. 115.

[48] P. 128.

[49] Ao dar minha versão em castelhano, tive à vista: The Elements of Euclid. Every Man's Library. Londres-NY, 1948, p. 42. Também a edição grega de Thomas L. Heath. Euclid in Greek. Cambridge University Press. Cambridge, 19 20 ,1, pp. 94-95.

[50] Foundations of Geometry, nota à p. 64 (§ 19).

[51] O exemplo foi construído nas pp. 125-126 , mas as conseqüências relevantes para a exposição presente são mostradas nas pp. 127-128.

[52] P. 126. A figura é tomada da p. 125.

[53] P. 127.

[54] Cf. p. 220, suplemento V 1 escrito por Bernays.

[55] Cf. ibidem, suplemento V 1 escrito por P. Bernays, 219 (sinceramente, não entendo como isso pode ser verdade, de acordo com o que disse Hilbert nas pp. 121-122, porque OP e OR não são congruentes. Mas isso não afeta meu raciocínio, porque se houvesse um erro nas projeções de Hilbert e Bernays, minhas conclusões continuariam válidas e até mais fortes. O princípio de que uma extensão total é maior que uma parcial entra em jogo quando se está falando de área extensa).

[56] Foundations of Geometry, p. 128. 

[57] Foundations of Geometry, p. 127. 

[58] Foundations of Geometry, p. 127.

[59] Foundations of Geometry, p. 41.

[60] Foundations of Geometry, pp. 114-115.

[61] Cf. Leo Corry, "Hilbert and the Axiomatization of Physics" (cit.), p. 115.

[62] Hilbert também pensava, não obstante, que se devia confirmar experimentalmente o axioma de continuidade da mesma maneira que Gauss havia comprovado o teorema da soma dos ângulos internos de um triângulo. Cf. manuscrito do curso de 1905, citado por Corry em “Hilbert and the Axiomatization o f Physics” (cit.), pp. 125-126 . Na realidade, devido à abstração da geometria, o teorema dos ângulos internos de um triângulo não pode ser provado experimentalmente, a não ser pela análise do espaço plano. Se tivermos outro tipo de espaço, deveremos analisá-lo de outra maneira. E se esse é o caso da astronomia, então esta terá de usar a geometria que analisa outros tipos de espaço. Penso que Hilbert se equivocava também no que se refere à comprovação física do Teorema da Continuidade, pois a continuidade é uma noção prévia à da soma dos ângulos internos de um triângulo, e a experiência comum, tal como foi analisada pelos gregos na esteira dos paradoxos de Zenão, parece suficiente para convencer-nos da solidez do axioma.

[63] Cf. “In Libros Posteriorum Analyticorum Expositio”, em In Libros Peri Hemreneias et Posteriorum Analyticorum Expositio (Marietti Editori Ltd. Turim, 1955), Livro I, lição 2, n. 17. Summa Theologiae III, q. 77, a. 2, c. Cfr., também, J. Maritain, The Degrees of Knowledge, p. 152. Até o ser de um mamífero, por exemplo, depende num certo sentido da dilatação e contração de uma pequena quantidade de extensão sensível a que chamamos “coração”. Na filosofia moderna, a quantidade se converteu na res extensa de Descartes, nas qualidades primárias de Locke ou no espaço de Kant, que é a res extensa cartesiana mas sem a res. Cf. Immanuel Kant, Prolegomena to Any Future Metaphysics, traduzidos por James W. Ellington. Hackett Publishing Company. Indianapolis-Cambridge, 2001, p. 30. Gottlob Frege, como bem se sabe, sustentou uma visão alternativa acerca do objeto das matemáticas. Mas ele também afirmou que não tinha objeções ao modo como Newton o concebeu (cf. The Foundations of Arithmetic. A Logico-Mathematical Enquiry into the Concept of Number, traduzido por J.L. Austin-Evanston, Northwestern University. Illinois, 1968, pp. 25-26), e o modo newtoniano, ao menos na aritmética, coincide exatamente com o aristotélico.

[64] Penso que se despojarmos de neopitagorismo as afirmações de Niels Bohr acerca da complementaridade de métodos de aproximação à realidade biológica (por exemplo), veremos que os diferentes métodos, o que reduz os processos biológicos a seus componentes físico-matemáticos e o que considera a relação entre tais processos e o ser vivo como um todo, são compatíveis e até se necessitam mutuamente. Porque sem uma visão do todo, do ser vivo, a análise físico-matemática de um desses processos perderia seu sentido.

[65] Cf. “Mathematical Problems”. Bulletin of the American Mathematical Society 8 (1902), p. 440.

[66] Aristóteles e Sto. Tomás conheciam este pré-requisito para a aplicação dos axiomas. Tal aparece implícito em Metafísica IV 3, 1005 b 15-16. O conhecimento de qualquer ser implica a presença na alma do princípio de não-contradição. Também está implícito nos Analíticos Posteriores I 1 e 7; e II 19. Aí, a captação do [termo] universal é causa da formação do princípio em nossa mente.

[67] Assim ocorre em todos os casos que pude examinar de uma suposta superação de um princípio fundamental pela física ou matemática modernas: ou bem se tratava de um pseudo-princípio (como o kantiano ou laplaciano de causalidade), ou bem não se havia entendido corretamente o princípio ou o contexto ao qual se pretendia aplicá-lo. A) Assim, por exemplo, quando se diz que um infinito contido em outro é igual ao continente (de modo que o todo não será maior que a parte), não se percebe que na noção mesma de infinito está que não possa ser “parte” de outro, ainda que se possa dizer que existam infinitos maiores que outros. É óbvio que entre o inteiro 1 e o inteiro 2 existem infinitos números racionais ou irracionais e que, não obstante, esse infinito se encontra em outro infinito (o da totalidade dos números), se bem que não se possa dizer que o primeiro seja “parte” do segundo, como tampouco se pode dizer que um ponto seja parte da linha em que se encontra, como mostra Aristóteles no Livro VI da Física. B) De modo semelhante, a suposta violação do princípio do terceiro excluso pela mecânica quântica segundo Weizsäcker se refere a uma concepção nada aristotélica da realidade; em uma concepção aristotélica é perfeitamente possível um meio termo do tipo ao qual se refere. Entre ser em ato uma estátua de Hermes e não sê-lo, pode haver outro estado, ser em potência uma estátua de Hermes ou de Zeus. Aí não há violação do princípio do terceiro excluso. Isto coincide com a descrição que faz Heisenberg da ontologia que subjaz à lógica de Weizsäcker: “[...] Se consideramos a palavra ‘estado’ como descrevendo uma certa ‘potencialidade’ - então o conceito de 'potencialidades coexistentes’ é de todo plausível, posto que uma potencialidade pode entranhar ou solapar-se com outras potencialidades” (cf. Physics and Philosophy. Harper and Row Publishers. NY, 1962, p. 185). Quine acrescentaria, em 1970 e 1986, que, quando se afirma que um princípio da lógica clássica foi superado, como o princípio do terceiro excluso, o que ocorre é que a pessoa “troca de assunto” (changes the subject), modificando o significado dos conectores lógicos (conjunções, disjunções, negações,...); e para alcançar um objetivo (na mecânica quântica ou na matemática intuicionista) que pode na verdade ser alcançado conservando as significações tradicionais (cf. Philosophy of Logic. Harvard University Press. Cambridge, 1986, pp. 80-86. Tomei conhecimento do texto graças a Martin Curd e J. A. Cover em seu Philosophy of Science. The Central Issues. WW Norton and Company. NY, 1988, pp. 380-381, onde se referem à edição de 1970.) Esta mudança de assunto a que se refere Quine é o que afirmamos ocorrer com “o todo é maior que a parte” em Hilbert: depois das definições do Apêndice II, o conceito de área já não é o objeto desta investigação matemática. Donald Gillies coincide com Quine em que a “lógica quântica” não foi exitosa na solução dos problemas da microfísica: cf. “The Duhem Thesis and the Quine Thesis”, p. 317, em Philosophy of Science. The Central Issues. (cit.), p. 319. Mas Gillies supõe poder haver outros casos em que seja útil esta mudança de lógica, e dá como exemplo as lógicas não monótonas da inteligência artificial, como se fossem uma violação da lógica aristotélica, quando, na verdade, em muitos sentidos, são uma aproximação à tópica aristotélica.

[68] A geometria do Apêndice II é, em certo sentido, pitagórica (porque se aceita o teorema de Pitágoras pela razão apontada), e em certo sentido não, porque não necessariamente a soma dos dois lados de um triângulo seria maior que o terceiro lado (cf. Foundations of Geometry, p. 128).

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Artigo retirado do Apêndice II do livro Física e Realidade - Reflexões metafísicas sobre a ciência natural, Vide Editorial, 2013. 

Sobre o autor: Carlos Augusto Casanova nasceu em Caracas em 1966. Formou-se advogado em 1988 na Universidad Católica Andrés Bello. Doutor em filosofia (1995) pela Universidad de Navarra, tornou-se professor de Filosofia da Universidade Simón Bolívar, mas teve que abandonar a Venezuela por razões políticas. Foi Visiting Scholar na Boston University e Senior Research Associate no Maritain Center da Notre Dame University. Foi diretor da Academia Internacional de Filosofia do Principado de Liechtenstein. Atualmente é professor da Faculdade de Direito da Pontificia Universidad Católica de Chile e da Universidad Bernardo O'Higgins. Publicou vários livros, entre eles: Verdad escatológica y acción intramundana. La teoría política de Eric Voegelin (1997); Racionalidad y justicia. Encrucijadas políticas y culturales (2004); El ser, Dios y la ciencia según Aristóteles (2007); El hombre, frontera entre lo inteligible y lo sensible (2010).

Leia mais: Sobre a Realidade das Matemáticas

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