Matemática e Astronomia em Os Lusíadas

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Apresentamos aqui, trecho retirado do livro Os Lusíadas - vol. II Comentários de Francisco de Sales Lencastre. Editora Concreta, 2018. É importante ler primeiro a Introdução do vol I, onde é apresentado a astronomia clássica [leia aqui Introdução à Astronomia Clássica]. 

Uma observação: além do poema original, Lencastre adicionou, junto a cada estrofe, a versão do mesmo texto em prosa, dispondo-o em ordem sintática regular, para facilitar a compreensão do leitor iniciante e tornar explícitos os recursos da língua genialmente explorados por Camões. Mais do que o poema e sua versão em prosa, foram anexadas ainda diversas notas e longos comentários filológicos, históricos e literários.

A máquina do mundo

Contextualizando, no Canto X, temos Vênus conduzindo todos os marinheiros portugueses e seu capitão Vasco da Gama para a Ilha dos Amores. E lá eles terão um encontro com as ninfas e Vasco da Gama conquistará o amor de Tétis, a ninfa marinha. Após um banquete, Tétis conduzirá Vasco da Gama para contemplar a máquina do mundo, descrito abaixo no Canto X, estâncias de 75 a 90.

75 Despois que a corporal necessidade

Se satisfez do mantimento nobre,

E na harmônica e doce suavidade

Viram os altos feitos, que descobre

Tétis, de graça ornada e gravidade,

Pera que com mais alta glória dobre

As festas deste alegre e claro dia,

Pera o felice Gama assim dizia:

Prosa: Depois de satisfeita a corporal necessidade do [pelo] nobre mantimento (1); depois de terem todos ouvido os altos feitos (2) que a bela ninfa descobrira [vaticinara] na harmônica e doce suavidade da sua voz; Tétis, ornada de graça e gravidade – para dobrar [duplicar] com mais alta glória as festas deste alegre e claro [festivo] dia –, disse assim para o feliz Gama (3):

Notas: (1) “Depois de satisfeita”, etc; acabado o banquete, e saciado o estômago pelas suaves e divinas iguarias da ilha encantada. (2) As proezas que seriam praticadas no Oriente pelos portugueses. (3) “Tétis”, etc; tinha ela dito (IX, 86) que viera àquela ilha descobrir a Vasco da Gama altos segredos. Por intermédio da sereia (X, 10 e sgs.) foram descobertas (vaticinadas) as façanhas futuras dos portugueses na Índia; agora é ela própria que vai descobrir os segredos da esfera universal, “os segredos da unida esfera”, etc., como prometera (cit. est. 86).

76 “Faz-te mercê, barão, a sapiência

Suprema de, c’os olhos corporais,

Veres o que não pode a vã ciência

Dos errados e míseros mortais.

Segue-me firme e forte, com prudência,

Por este monte espesso, tu c’os mais.”

Assi lhe diz: e o guia por um mato

Árduo, difícil, duro a humano trato.

“A sapiência suprema faz-te mercê, varão, de veres com os olhos corporais o que a ciência vã dos errados [ignorantes] e míseros mortais não pode compreender. Segue-me firme, forte e com prudência, por este monte espesso, tu e os mais.” Assim lhe diz, e guia-o por um mato árduo, difícil, duro [penoso] a humano trato (1).

(1) Revendo o manuscrito do canto x, e quando já estava impresso o primeiro volume do presente estudo, teve o anotador notícia dos preciosos artigos do Sr. Dr. Luciano Pereira da Silva, na Revista da Universidade, intitulados “A Astronomia dos Lusíadas”, e que encerram doutrina transcendente fora do alcance dos leitores desta edição destinada para indoutos. Todavia, desses artigos, que já constituem centenas de páginas, serão aqui transcritos (e de uma separata com que fomos favorecidos) alguns excertos, e com a devida vênia, quando acessíveis a esses leitores, pois só a quem já possua a “suprema ciência” da matemática pura, só ao astrônomo, será dado compreender completamente o profundo estudo do sábio professor da Universidade de Coimbra, na interpretação das estâncias que encerram a descrição da “grande máquina do mundo”.

“No canto X – diz o Sr. Dr. Luciano Pereira da Silva – faz Tétis aos argonautas portugueses uma lição de mecânica celeste, segundo a teoria da escola de Alexandria. 

“O princípio matemático que anima a astronomia grega, dando lugar a observações e cálculos de admirável persistência e sutileza, é a explicação dos movimentos periódicos dos astros, que já aos caldeus e egípcios se mostravam tão complicados nas suas observações da Lua e dos planetas, por uma sobreposição de movimentos circulares e uniformes.”

Em comentário à presente estância e à seguinte, lê-se, na “Astronomia dos Lusíadas”:

“Neste monte espesso, de mato árduo difícil a humano trato, por onde é preciso seguir firme e forte com prudência, está bem simbolizado todo esse longo trabalho de pacientes observações e laboriosos cálculos, todo esse dispêndio de engenho de tantos homens de superior capacidade em procura das leis que regem o movimento dos astros. E a teoria a que se chegou, dum subido valor, não só pelo trabalho que custou como pelos benefícios que dela se colhem, é o erguido cume, esmaltado de rubis e esmeraldas, chão divino, donde é permitido, através do modelo criado, abranger a complicada variedade dos fenômenos astronômicos, prevê-los em cálculos prévios nas preciosas tábuas bem conhecidas dos navegadores portugueses” (p. 53).

77 Não andam muito, que no erguido cume

Se acharam, onde um campo se esmaltava

De esmeraldas, rubis tais que presume

A vista que divino chão pisava.

Aqui um globo vem no ar, que o lume

Claríssimo por ele penetrava,

De modo que o seu centro está evidente,

Como a sua superfície, claramente.

Não tendo andado muito, Tétis e Vasco da Gama acharam-se no erguido cume, onde um campo [uma planície] se esmaltava [estava esmaltada] de esmeraldas (1) e rubis (2), tais que a vista presumia pisar (3) chão divino [olhar para chão divino]. Vem no ar [aparece no ar] um globo, pelo qual (4) penetrava claríssimo lume [luz], de modo que o seu centro, assim como a sua superfície, estavam claramente evidentes.

(1) Pedra preciosa de cor verde. (2) Pedra preciosa de cor vermelha. (3) “A vista presumia pisar”; metalepse: quem olhava para o chão presumia pisar, etc. (4) “Que… por ele” = pelo qual; cf. Fontes dos Lusíadas, pp. 380, 494 e 573.

Em “A Astronomia dos Lusíadas”, citada nas notas precedentes, lê-se (p. 54):

“Sabélico mostra-nos o imperador Carlos V passando os seus dias no mosteiro de S. Justo, longe dos negócios e bulício do mundo, encantado com o instrumento admirável onde o insigne matemático Leonelo incluíra uma representação completa das esferas celestes e dos astros com seus movimentos, juntando também o movimento perpétuo da oitava esfera. Nunca se ouvira falar duma máquina assim nos séculos passados.

“Este movimento perpétuo da oitava esfera é o movimento de trepidação, que lhe é próprio. Podia assim ver-se neste aparelho o curso ordenado das estrelas em torno dos ‘axes’ da oitava esfera, os pontos equinociais médios, pólos do movimento de trepidação, a que Camões se refere na est. 87

“Deste famoso aparelho de Leonelo devia Camões ter tido conhecimento. Teria ele visto algum modelo semelhante?”

Cf. na Introdução do Vol. I a “oitava esfera”, p. 23 e sgs. Disponível aqui: Introdução à Astronomia Clássica.

78 Qual a matéria seja não se enxerga,

Mas enxerga-se bem que está composto

De vários orbes, que a divina verga

Compôs, e um centro a todos só tem posto.

Volvendo, ora se abaixe, agora se erga,

Nunca s’ergue, ou se abaixa, e um mesmo rosto

Por toda a parte tem, e em toda a parte

Começa e acaba enfim, por divina arte:

Qual seja a matéria do globo (verso 5 da estância precedente) não se enxerga (1); mas enxerga-se bem que está composto de vários orbes, que a divina verga (2) compôs e que, a todos, pôs um centro só. Esse globo, volvendo, ora se abaixe ora se erga, nunca se ergue ou se abaixa e tem um mesmo rosto por toda a parte; e enfim, por divina arte, começa e acaba em toda a parte.

(1) Não se percebe. (2) “Verga divina”, o poder de Deus; “verga” = vara, símbolo da autoridade.

Na recitação do verso 5 não se faça pausa nas vírgulas:

Vol-ven- | do o-ra | se a-bai- | xe a-go- | ra se er- | ga

1       2       3        4      5       6       7       8       9      10

Comentário de “A Astronomia dos Lusíadas” aos primeiros quatro versos (p. 55): “Não se enxerga a matéria que compõe a parte celestial, porque a quinta essência [*] não pode ser apreendida pelos sentidos, vendo-se através dela a Terra no centro. Mas enxerga-se bem que está composta de vários orbes concêntricos à Terra; quer dizer, neste globo transparente podem distinguir-se os contornos aparentes das onze esferas e, portanto, uma série de círculos concêntricos (…) [que representam] as sete esferas planetárias, desde a Lua até a de Saturno, o Firmamento, o Céu Áqueo ou cristalino, o Primeiro Móbil e finalmente o Empíreo”.

[*] “Junto da região dos elementos, está logo a região celestial lúcida; e, pelo seu ser imutável, é livre de toda mudança. Tem contínuo movimento circular, e chamaram-lhe os filósofos Quinta Essência”, in: João de Sacrobosco, Tratado da Esfera, trad. Pedro Nunes, coment. Marcos Monteiro, Porto Alegre, Editora Concreta, 2018, pp. 45–7.

Sobre os versos 3 e 4: “Nestes versos os orbes são ‘todos’ concêntricos ao mundo” (Op. cit., p. 15).

Sobre os versos 5–8 (p. 40): “Na definição de Euclides, a que se chamava a definição ‘causal’, a esfera é uma superfície de revolução gerada pelo movimento duma circunferência em torno do diâmetro; cada ponto da curva generatriz descreve um círculo cujo plano é perpendicular ao eixo da revolução.

“No primeiro verso [o 5º da estância] está resumida a definição de Euclides. A palavra ‘volvendo’ indica que a esfera é uma superfície de revolução; não se refere ao movimento da esfera, porque a superfície externa do globo pertence ao undécimo céu, ao Empíreo imóvel. A esfera, ‘volvendo’, isto é, curvando-se em torno do eixo do mundo em círculos paralelos, ora se ergue, ora se abaixa em relação a um plano horizontal.

“No segundo verso [o 6º da estância] está resumida a definição de Teodósio. A esfera não se ergue nem se abaixa relativamente ao seu centro. E Tétis pode bem mostrar no globo a propriedade da eqüidistância, porque, sendo ele transparente, o seu centro, onde se vê a Terra, está evidente, como a sua superfície, claramente (p. 40).

“O mundo arquetípico é pois, em última análise, o próprio Deus. Que as propriedades da esfera refletem os atributos divinos, di-lo o poeta na expressão ‘por divina arte’, com que terminou a est. 78, e no verso ‘qual enfim o arquétipo que o criou’ da estância imediata.

“Mas a geometria esférica não desvenda afinal, de modo satisfatório, o divino mistério, pois que (p. 47): ‘(…) o que é Deus ninguém o entende/ Que a tanto o engenho humano não se estende.’

“Já vimos no capítulo anterior (p. 40 supra) que no primeiro verso [1º da 2ª quadra] se exprime que a esfera é uma superfície de revolução, podendo supor-se gerada pelo movimento duma semicircunferência em torno da linha dos pólos, subindo e descendo relativamente ao horizonte. No segundo verso [da 2ª quadra] está expressa a propriedade da eqüidistância ao centro, não subindo, nem descendo a superfície esférica em relação a este ponto; e ‘um mesmo rosto’ traduz a propriedade da esfera ser uma superfície de curvatura constante. Enfim, começando e acabando em qualquer ponto, não tem princípio nem fim determinado, unindo-se o princípio com o fim, por divina arte, isto é, segundo o divino exemplar. Esta semelhança com Deus é completada na estância seguinte (p. 56).”

79 Uniforme, perfeito, em si sustido,

Qual enfim o arquétipo que o criou.

Vendo o Gama este globo, comovido,

De espanto e de desejo ali ficou.

Diz-lhe a deusa: “O transunto reduzido

Em pequeno volume aqui te dou

Do mundo aos olhos teus, pera que vejas

Por onde vás e irás, e o que desejas,

O Gama – vendo este globo uniforme, perfeito, sustido em si, enfim qual o Arquétipo (1) que o criou – ficou ali comovido de espanto e de desejo (2). A deusa diz-lhe: “Dou-te aqui aos teus olhos – reduzido em pequeno volume – o transunto (3) do mundo; para que vejas por [para] onde vais (4) e irás, e o que desejas (5).

(1) Modelo superior, Deus. A esfera que se via ali, representando o Universo, tinha as perfeições do Criador. “Sustido em si”, suspenso na atmosfera – se diz do globo terrestre e dos corpos celestes. (2) “Ficou”, etc; tornou-se extático, enlevado, contemplando aquelas perfeições, e desejando saber como se explicariam. (3) Cópia. (4) “Por onde” = para onde (vaticínio de que iria para o Empíreo). (5) Subentende-se: “o que desejas saber”.

“É esta constante curvatura (da esfera) que o poeta exprime, quando diz que o globo ‘um mesmo rosto por toda a parte tem’ e quando lhe chama ‘uniforme’ na est. 79” (Op. cit., p. 41; veja-se a transcrição nas notas da estância precedente).

80 “Vês aqui a grande máquina do mundo,

Etérea e elemental, que fabricada

Assi foi do saber alto e profundo,

Que é sem princípio e meta limitada.

Quem cerca em derredor este rotundo

Globo e sua superfície tão limada,

É Deus: mas o que é Deus, ninguém o entende;

Que a tanto o engenho humano não se estende.

Aqui vês a grande máquina etérea (1) e elementar (2) do mundo, que foi fabricada assim do [pelo] alto e profundo Saber (3), que é [existe] sem princípio e sem meta limitada (4). Quem cerca em redor este globo rotundo e a sua tão limada [lisa] superfície é Deus (5); mas o que é Deus, ninguém o entende, que [pois] a tanto não se estende [não chega] o engenho humano (6).

(1) Dos céus. (2) Dos elementos; segundo a astronomia antiga, consideravam-se elementos o ar e o fogo [além do ar e da água], e supunha-se que estes formavam as primeiras camadas celestes em volta da Terra; supondo-se também ser esta o centro do universo; cf. Introdução do Vol. I, pp. 26 e sgs. (3) “Alto e profundo Saber”, a Sabedoria divina, Deus. (4) “Meta limitada”, marco de limite, fim (sem princípio nem fim). (5) “Quem cerca”, etc; era doutrina corrente que o último céu era o Empíreo, superior à esfera em que estavam fixadas as estrelas – segundo o paganismo, era a morada dos deuses; no catolicismo, o lugar dos bem-aventurados, dos santos, o Céu. (6) “O que é Deus”, etc; afirma Faria e Sousa que os dois últimos versos contêm doutrina pregada por S. Paulo, S. Crisóstomo, e outros doutores da Igreja.

Observações de “A Astronomia dos Lusíadas” (pp. 39, 43 e 57) sobre a presente estância:

“A superfície deste rotundo globo, superfície tão ‘limada’, como se diz na est. 80, é uma superfície esférica. Leia-se a definição de esfera com que abre o capítulo I do Tratado da Esfera, de Pedro Nunes.

“No Tratado da Esfera lê-se, na parte do capítulo I, intitulada ‘Da redondeza do céu’ [Ed. Concreta, p. 51]: ‘[Para] Que o céu seja redondo há três razões: semelhança, proveito e necessidade. Pela semelhança se prova o céu ser redondo porque este mundo sensível é feito à semelhança do mundo arquetípico, no qual não há princípio nem fim. E por isso o mundo sensível tem figura redonda, na qual não há princípio nem fim.’

“A máquina do mundo, assim mostrada ao Gama, como transunto reduzido do universo, tal qual o concebia a ciência do tempo, divide-se em duas regiões: etérea e elemental.

“Na tradução de Pedro Nunes [do texto latino de Sacrobosco] lê-se [Ed. Concreta, pp. 43–7]: ‘A universal máquina do mundo se divide em duas partes: celestial e elemental. A parte elemental é sujeita a contínua alteração e divide-se em quatro: Terra, a qual está como centro do mundo, no meio assentada; segue-se logo a Água; e por derredor dela o Ar, e logo o Fogo que chega ao céu da Lua, segundo diz Aristóteles no livro dos meteoros, porque assim os assentou Deus glorioso e alto. E estes quatro são chamados elementos, os quais uns pelos outros se alteram, corrompem e tornam a gerar (…). Junto da região dos elementos, está logo a região celestial lúcida; e, pelo seu ser imutável, é livre de toda mudança. Tem contínuo movimento circular, e chamaram-lhe os filósofos Quinta Essência.’”

Cf. as transcrições de “A Astronomia dos Lusíadas” nas notas à est. 78.

81 “Este orbe, que primeiro vai cercando

Os outros mais pequenos, que em si tem,

Que está com luz tão clara radiando,

Que a vista cega, e a mente vil também,

Empíreo se nomeia, onde logrando

Puras almas estão daquele bem

Tamanho, que ele só se entende e alcança,

De quem não há no mundo semelhança.

“Este primeiro orbe (1), que vai cercando os outros mais pequenos nele contidos, e que está radiando com tão clara luz, que cega a vista e também cega a mente vil (2), nomeia-se [chama-se] Empíreo, onde [no qual] as almas puras (3) estão logrando aquele bem tamanho, que só é entendido e alcançado de [por] quem não há [não tem] no mundo bem semelhante.

(1) “Primeiro orbe”, o orbe superior ao oitavo céu e ao primeiro “móbil”; cf. a gravura na Introdução ao vol. I, p. 23. (2) “Está radiando”, etc; a luz que dimana do Empíreo é radiante, mas a vista do corpo humano não tem faculdade para divisá-la, por isso é “cega”. À mente de criaturas vis também não será dado o poder de descortinar essa luz. (3) “As almas puras”, as almas dos entes humanos que foram virtuosos na terra; só essas é que hão-de ver o Empíreo, e nele gozar a bem-aventurança.

82 “Aqui só verdadeiros gloriosos

Divos estão: porque eu, Saturno e Jano,

Júpiter, Juno, fomos fabulosos,

Fingidos de mortal e cego engano.

Só pera fazer versos deleitosos

Servimos; e se mais o trato humano

Nos pode dar, é só que o nome nosso

Nestas estrelas pôs o engenho vosso;

“Aqui (1) só estão os verdadeiros divos (2) gloriosos; porque eu, Saturno, Jano, Júpiter e Juno, somos divos fabulosos (3) – fingidos de [por] mortal e cego engano (4). Só servimos para fazer versos deleitosos (5); e, se mais nos pôde dar o trato humano (6), foi só ter o vosso engenho (7) posto o nosso nome nestas estrelas (8).

(1) “Aqui”, neste orbe, que representa o Empíreo. (2) “Verdadeiros divos”, os santos. “Divos” era o termo que entre os pagãos designava os deuses; aqui, tem a significação de “cristãos” que viveram segundo as leis divinas; IX, 90, nota última. (3) “Porque eu”, etc; porque nós, deuses mitológicos, somos uma invenção da fábula. (4) “Fingidos”, etc; foi a imaginação (fingimento) dos mortais (dos homens) que na cegueira do seu erro (engano) nos criou: alusão aos erros do paganismo. (5) “Só servimos”, etc; “a liberdade poética emprega os nossos nomes como ornato literário para se fazerem versos de aprazível leitura”. (6) “Trato humano”, “o tratamento de mais valor que nos dão os homens é o que resulta de ser aplicado o nosso nome às estrelas pelo engenho (invento) dos astrônomos”. (7) “Vosso engenho”; refere-se não propriamente a Vasco da Gama, a quem Tétis está dirigindo a sua fala, mas aos sábios da humanidade, aos astrônomos. (8) “Nestas estrelas”, nos astros que vedes representados nesta “máquina do mundo”.

Note-se que Tétis, deusa mitológica, está falando a um católico, confessando ser falsa a sua divindade, e que tudo é ainda a liberdade poética da invenção fabulosa da Ilha dos Amores, deixando assim o poeta a perceber que os entes mitológicos que figuram no poema designam a Divina Providência.

Nas Fontes dos Lusíadas, p. 71, o Sr. Dr. J. M. Rodrigues justifica essas ficções poéticas como a apologia dos poetas clássicos, feita pelo célebre poeta italiano Boccaccio (1313–1375).

No verso 3, “fabulosos” parece dever interpretar-se no sentido evemerista; IX, 90 e notas (cf. Fontes dos Lusíadas, p. 277 e sgs.).

83 “E também porque a Santa Providência,

Que em Júpiter aqui se representa,

Por espíritos mil que têm prudência,

Governa o mundo todo que sustenta.

Ensina-lo a profética ciência

Em muitos dos exemplos que apresenta:

Os que são bons, guiando favorecem,

Os maus, em quanto podem, nos empecem.

“E isto que fica dito é assim mesmo porque (1) a Santa Providência (2) – representada aqui (3) em Júpiter – é quem governa todo o mundo que sustenta, e governa-o por meio de mil espíritos que têm prudência (4). Assim o ensina a ciência profética (5), em muitos exemplos que apresenta: os espíritos que são bons, guiando-nos, favorecem-nos; os espíritos maus, empecem-nos [causam-nos dano] em tudo quanto podem.

(1) Esta conjunção é continuada do “porquê” da estância precedente, verso 2. (2) “Santa Providência”, o Deus verdadeiro. (3) “Aqui”, no Empíreo, representado na “máquina” para a qual Tétis está apontando. (4) “Espíritos que têm prudência”, seres incorpóreos, discretos, reservados, que não se dão a conhecer à humanidade (anjos bons e anjos maus). (5) “Ciência profética”, a Bíblia do Antigo Testamento.

A interpretação da presente estância é ainda assunto de diversas opiniões. Cf. Fontes dos Lusíadas, pp. 277–9.

84 “Quer logo aqui a pintura, que varia,

Agora deleitando, ora ensinando,

Dar-lhe nomes que a antiga poesia

A seus deuses já dera, fabulando:

Que os anjos de celeste companhia

‘Deuses’ o sacro verso está chamando;

Nem nega que esse nome preminente

Também aos maus se dá, mas falsamente.

“A pintura – que varia (1), ora deleitando, ora ensinando – quis logo aqui (2) dar-lhes nomes que a antiga poesia, fabulando, dera já aos seus deuses; pois o verso sacro está chamando ‘deuses’ aos anjos da companhia celeste (3); e não nega que esse proeminente nome de anjos se dá também aos maus, mas falsamente (4).

(1) Apresenta-se sob vários aspectos: umas vezes a pintura inventa, para deleitar; outras vezes copia a natureza, ensina, a quem não viu uma paisagem de países longínquos, a conhecê-la por meio dum quadro. “Pintura”, é alusão às figuras inventadas pelos astrônomos para representarem as constelações celestes na esfera armilar, e alguns astros a que deram nomes dos deuses do paganismo: Marte, Vênus, Mercúrio, etc. (2) “Aqui” = nestes céus que estais vendo em imagem. (3) “O verso sacro”, etc; alude-se à expressão do Salmo 49, Deus Deorum, cuja tradução literal é “Deus dos deuses”, para significar “Deus dos anjos”. (4) “Nem nega” que a poesia sacra também continuou a chamar anjos, indevidamente, aos que o foram mas deixaram de sê-lo; por isso acrescenta-lhes o epíteto de “maus” (Luzbel, Lúcifer).

85 “Enfim que o Sumo Deus, que por segundas

Causas obra no mundo, tudo manda.

E tornando a contar-te das profundas

Obras da mão divina veneranda,

Debaixo deste círculo, onde as mundas

Almas divinas gozam, que não anda,

Outro corre tão leve e tão ligeiro,

Que não se enxerga: é o móbile primeiro.

“Enfim o Sumo Deus – que no mundo obra por intermédio de segundas causas (1) – manda tudo. Mas (2) – torno [volto] a contar-te o que sei das profundas obras da veneranda mão divina (3): debaixo deste círculo (4), onde as mundas [puras] almas (5) divinas gozam a bem-aventurança – círculo que não anda [não se move] –, corre outro tão leve e tão ligeiro, que não se enxerga (6): é o primeiro móbil (7).

(1) “Sumo Deus”, etc; o Ente Supremo é a causa primária de tudo quanto acontece no mundo, é a causa das causas. (2) A conjunção liga a exposição da est. 81 – exposição interrompida nas três estâncias imediatas, em que Tétis fala de como foram dados às estrelas os nomes dos deuses, etc. (3) “Obras”, etc; Tétis continua a explicar o que é o universo, o conjunto das obras divinas. (4) “Este círculo”, o do Empíreo, que é imóvel, não anda. (5) “Mundas almas”, as almas puras, as almas dos santos, dos bem-aventurados. (6) O círculo imediato (nono céu) gira com tal velocidade, que não se vê, não parece que gira. (7) “Primum mobile”, o primeiro motor, o que imprime movimento aos demais círculos, que estão dentro dele, e que representam outros tantos céus. Cf. Introdução do Vol. I, p. 25 e sgs.

No verso 1, “que” é pleonástico, expletivo.

Excertos de “A Astronomia dos Lusíadas”:

“A décima esfera é introduzida na est. 85; é o círculo que corre ligeiro logo por baixo do Empíreo imóvel. Este movimento do primeiro móbil leva com seu ímpeto todas as esferas interiores; é o movimento diurno. Isto exprime o poeta na primeira parte da admirável est. 86 (p. 26).

“Do primeiro móbil diz Sacrobosco [tradução de Pedro Nunes, Ed. Concreta, p. 47]: ‘mas o primeiro movimento move e leva com seu ímpeto todas as outras esferas e, em um dia, com sua noite, fazem ao redor da Terra uma revolução’ (p. 58).”

86 “Com este rapto e grande movimento

Vão todos os que dentro tem no seio.

Por obra deste, o Sol andando a tento,

O dia e noite faz, com curso alheio.

Debaixo deste leve anda outro lento,

Tão lento e sojugado a duro freio,

Que enquanto Febo, de luz nunca escasso,

Duzentos cursos faz, dá ele um passo.

“Com este rapto [rápido] (1) e grande movimento do primeiro móbil vão [andam] todos os círculos que ele tem dentro do seu seio; por obra [pela ação] deste movimento, o Sol – andando a tento (2) – faz o dia e a noite com curso [com impulso e andamento] alheio (3). Debaixo deste leve [ligeiro] móbil, anda outro círculo lentamente (4), tão lentamente e tão subjugado [reprimido] por duro freio (5), que enquanto Febo [o Sol] – nunca escasso de luz (6) – faz duzentos cursos, ele [o outro círculo, debaixo do primeiro móbil o das estrelas] dá um passo (7).

(1) Adjetivo só usado em poesia. (2) “A tento”, acauteladamente, com precaução, com toda a regularidade. (3) “Com curso alheio”, com o andamento diurno do quarto céu, o Sol fazia o dia no Hemisfério Oriental enquanto era noite no Hemisfério Ocidental. Segundo a astronomia antiga, o Sol não se movia; quem se movia era o círculo em que ele estava. (4) “Outro círculo”, etc; o das estrelas fixas (cf. gravura na Introdução do Vol. I, p. 23); o adjetivo “lento”, no texto, exerce função de advérbio. (5) “Subjugado a duro freio”, movimento reprimido, por isso é lento. (6) “Nunca escasso de luz”, a luz do Sol nunca se apaga: quando não a vemos em um hemisfério, é porque está em outro hemisfério. (7) “Duzentos cursos”, referência ao tempo em que os astros percorrem as suas órbitas: enquanto o Sol percorre as constelações do Zodíaco duzentas vezes, as estrelas do céu dão um passo.

Lê-se em “A Astronomia dos Lusíadas” (pp. 56 e 59):

“Nos últimos quatro versos descreve o movimento dos auges e estrelas fixas, próprio da nona esfera. Como esta faz a sua revolução em 49.000 anos, anda em 200 anos 1 grau e 28 minutos aproximadamente, o que, sendo menos de grau e meio, o poeta arredonda num grau, e chama-lhe ‘um passo’. O cristalino ou céu áqueo dá um passo enquanto o céu deferente do Sol dá 200 voltas.

“Comunicando-se o movimento de cada esfera às ‘que dentro tem no seio’, há a distinguir, em cada céu, o movimento que lhe é próprio dos que lhe são alheios, provenientes das esferas superiores. Assim, o curso próprio do Sol é o seu movimento anual que tem no excêntrico, seu deferente na quarta esfera; e o seu movimento diurno é curso alheio, causado pelo primeiro móbil.

“Note-se sempre como Camões reúne à formosura dos versos o rigor científico das doutrinas do seu tempo.

“Faria e Sousa parece considerar ‘rapto’ como substantivo e diz que é termo próprio dos matemáticos (…). Parece-nos porém que o poeta emprega ‘rapto’ como adjetivo, exprimindo com as duas palavras, ‘movimento rapto’, a mesma idéia do substantivo ‘rapto’ (…)

“Aqui [na Cronografia, de André de Avelar, 1594] está o movimento diurno do Sol designado como ‘movimento rapto’, isto é, movimento de arraste, proveniente do primeiro móbil em oposição ao movimento próprio per obliquo na Eclíptica.

“O poeta diz analogamente que todas as esferas contidas no seio da décima esfera vão com este ‘rapto e grande movimento’, isto é, com o grande movimento de arraste em que são levados por esta esfera. Hoje o primeiro móbil é a Terra. É a rotação da Terra que produz o movimento diurno dos astros. É este ‘rapto e grande movimento’ em que somos levados no globo terrestre que nos dá a aparência do movimento diurno do firmamento. O verso do poeta ainda tem atualidade aplicado à Terra.

“Na segunda parte da est. 86 é descrita a nona esfera ou segundo móbil, também chamado Céu Áqueo ou Cristalino, designada na figura por Coelum aqueum. O Cristalino é a esfera propulsora do movimento dos ‘auges e estrelas fixas’, etc.”

Na gravura do volume I não está indicada esta esfera; cf. Introdução, p. 23 e est. 90. [Figura acima]

87 “Olha estoutro debaixo, que esmaltado

De corpos lisos anda e radiantes

Que também nele têm curso ordenado,

E nos seus axes correm cintilantes.

Bem vês como se veste, e faz ornado

C’o largo cinto d’ouro, que estrelantes

Animais doze traz afigurados,

Aposentos de Febo limitados.

“Olha estoutro círculo – debaixo do nono (1) –, que anda esmaltado de lisos e radiantes corpos (2) que também têm nele ordenado (3) curso, e correm cintilantes nos seus axes (4). Bem vês como se veste, e se faz ornado com o largo cinto de ouro, que traz afigurados doze animais estrelantes (5): são os limitados aposentos de Febo (6).

(1) Referência ao círculo do Zodíaco – o oitavo céu, que se chamava o “firmamento” por se supor que ali demoravam as estrelas “fixas” (firmes). (2) “Esmaltado”, etc; o céu adornado de estrelas cintilantes. (3) “Que também”, etc; que as estrelas, assim como o círculo nono, tem também curso regrado, “uniforme”. (4) Eixos. (5) “Como se veste”, etc; repetição por outras palavras da idéia expressa no verso 5 (perífrase do Zodíaco), o céu adornado com as constelações dos signos, que os astrônomos figuram no papel com os nomes de animais: Touro, Áries, Peixes, etc. (6) “Limitados”, etc; alude-se às doze constelações zodiacais, que na sua zona circular parece que são percorridas pelo Sol (Febo) no espaço de um ano. Limitando-se o percurso do Sol a essas constelações – por isso (fig.) “limitados aposentos” –, não podia entrar noutros.

Lê-se em “A Astronomia dos Lusíadas” sobre a presente estância (pp. 27, 33, 61 e 88):

“Os corpos ‘lisos e radiantes’, que esmaltam o oitavo céu são as estrelas (…). Como as estrelas estão fixas neste céu, quando o poeta diz que ‘nele’ tem curso ordenado, significa apenas que elas são levadas no movimento regular próprio do firmamento; e que se trata do movimento próprio ao oitavo céu, indica-o na palavra ‘também’. As estrelas têm o movimento alheio que o primeiro móbil comunica a todos os orbes que ‘dentro tem no seio’; e têm mais o movimento alheio que o segundo móbil, por seu turno, comunica a todas as esferas interiores; mas não têm só estes dois movimentos, têm ‘também’ o curso ordenado, próprio do firmamento. A palavra ‘seus’ aplicada, no verso seguinte, aos eixos em volta dos quais as estrelas ‘correm cintilantes’, acentua que se não trata de curso alheio.

“Camões dizendo ‘axes’, no plural, refere-se aos extremos do eixo, como na est. 84 do canto VI: ‘Cair o céu dos eixos sobre a terra’. Os eixos do céu, que aqui significa toda a máquina celestial, são os extremos do eixo do mundo, pólos do movimento diurno. O céu ameaça desprender-se dos pólos Ártico e Antártico, e desabar sobre a terra.

“As estrelas são, através do século XVI, consideradas como núcleos de condensação da matéria de que os céus são compostos, brilhando com a luz recebida do Sol (…). Assim, na est. 87 do canto X (…) as estrelas são corpos ‘lisos’, como espelhos radiantes com a luz que recebem do Sol; brilham com ‘luz alheia’ (II, 60).

“Camões reflete a opinião corrente no seu tempo, não atribuindo luz própria às estrelas.

“O largo ‘cinto de ouro’, com que o firmamento se veste e faz ornado, é o Zodíaco, que o cinge com a profusa pregaria de ouro das constelações zodiacais. Os doze animais estrelantes ‘afigurados’ são as doze constelações do Zodíaco, cujas estrelas, pela sua disposição, ‘pintam e semelham’ a figura de animais. Os aposentos de Febo limitados são os doze signos, da extensão de 30 graus cada um, em que se divide o Zodíaco, e a que se deram os mesmos nomes das constelações, os quais o Sol vai sucessivamente percorrendo no seu movimento anual ao longo da Eclíptica, demorando-se em cada um deles um espaço de tempo de cerca de um mês.

“O Sol, percorrendo a Eclíptica, linha média do Zodíaco, ocupa sucessivamente cada um dos ‘signos’, que se chamavam também ‘casas’ do Sol. Por isso o poeta lhes chama ‘aposentos’ de Febo limitados. São ‘limitados’ à extensão de 30 graus cada um, perfazendo os doze os 360 graus da volta inteira do Zodíaco.”

88 “Olha por outras partes a pintura

Que as estrelas fulgentes vão fazendo;

Olha a Carreta, atenta a Cinosura,

Andrômeda e seu pai, e o Drago horrendo;

Vê de Cassiopéia a fermosura,

E do Orionte o gesto metuendo;

Olha o Cisne morrendo que suspira,

A Lebre, os Cães, a Nau e a doce Lira.

“Olha, por outras partes, a pintura (1) que estão fazendo as fulgentes estrelas; olha a Carreta (2), atenta [observa bem] a Cinosura (3), Andrômeda (4) e seu pai (5) Cefeu, e o Drago (6) horrendo. Vê a formosura de Cassiopéia (7), e o gesto metuendo de Orionte (8); olha o Cisne (9) que suspira morrendo; olha a Lebre, os Cães (10), a Nau (11) e a doce Lira (12).

(1) “Pintura”: o delineamento das diversas constelações, que os antigos astrônomos indicavam nos mapas ou cartas celestes, ligando as diversas estrelas por linhas imaginárias formando diferentes figuras. (2) “Carreta”: designação popular da Ursa Maior, constelação boreal próxima do Pólo Ártico. Também é denominada carro de Davi; V, 15, nota 4. (3) “Cinosura”, constelação boreal denominada Ursa Menor; na mitologia grega, nome duma ninfa que por Zeus foi transformada em estrela. (4) “Andrômeda”, constelação boreal; na mitologia grega, nome duma filha de “Cefeu” (rei lendário da Etiópia) e de “Cassiopéia” (rainha da Etiópia). Cefeu e Cassiopéia são também os nomes de duas constelações boreais. Na lenda mitológica, Cassiopéia, por ser muito formosa, disputava o prêmio da beleza às Nereidas. Júpiter, para estas se vingarem, inventou um monstro que assolava a Etiópia. Para o aplacar, consultou-se um oráculo, que respondeu ser necessário que Andrômeda fosse exposta aos furores do monstro. A princesa, ligada a um rochedo pelas Nereidas, ia ser devorada, quando acudiu Perseu montado sobre um cavalo alado e libertou a princesa, sendo ela então e os pais transformados em estrelas. (5) Veja-se a nota precedente. (6) “Drago”, dragão: constelação boreal entre a Ursa Menor e Cefeu. Na mitologia, monstro fabuloso que é representado geralmente com asas, garras de leão, e cauda de serpente. Imaginou-se um dragão a guardar os pomos de ouro no jardim das Hespérides; e outro, a servir de guarda ao tosão de ouro, raptado pelos argonautas. (7) Veja-se a nota 4. (8) Nome do caçador que Diana transformou em constelação, por lhe ter faltado ao respeito (não se confunda com Actéon); VI, 85. (9) “Cisne”, constelação boreal; na mitologia (Cygnus), filho do rei da Ligúria e amigo de Faetonte, por cuja morte chorou tanto que foi transformado em cisne e colocado no céu; IX, 43. (10) “Lebre”, constelação boreal; a lebre que Orion perseguia andando à caça; “Cães”, outra constelação, os cães de caça de Orion. (11) Constelação boreal: a nau Argo, que depois da viagem à Cólquida foi convertida nessa constelação. (12) Constelação boreal; na fábula, a lira de Orfeu (filho de Apolo), colocada no céu e convertida em estrela.

89 “Debaixo deste grande firmamento

Vês o céu de Saturno, deus antigo;

Júpiter logo faz o movimento,

E Marte abaixo, bélico inimigo;

O claro olho do céu no quarto assento,

E Vênus, que os amores traz consigo;

Mercúrio, de eloqüência soberana;

Com três rostos debaixo vai Diana.

“Debaixo deste grande firmamento (1) vês o céu de Saturno (2), deus antigo; Júpiter (3) faz logo abaixo o seu movimento, e abaixo está Marte (4), bélico inimigo; o claro olho do céu (5) está no quarto assento; e no terceiro está Vênus (6), que traz consigo os amores; e vês, no segundo círculo, Mercúrio (7), de soberana eloqüência; debaixo vai Diana (8) com três rostos.

(1) Grande firmamento; oitavo céu. (2) Planeta (que tomou esse nome da fábula) no sétimo céu. (3) Planeta no sexto céu. (4) Planeta no quinto céu; “belo inimigo”, por ter o nome do deus da guerra. (5) “Claro”, etc; perífrase do Sol, no quarto céu. (6) O planeta no terceiro céu (identificado com a deusa dos amores), chamado também estrela vespertina (quando aparece ao anoitecer) e estrela d’alva (quando aparece ao amanhecer). (7) Pequeno planeta, o mais próximo do Sol, no segundo céu. O deus da fábula com esse nome era protetor da eloqüência (assim como também do comércio e dos ladrões). (8) A Lua, no primeiro céu. Três rostos, porque os poetas fingiram Diana de três formas: Lucina, deusa que presidia ao nascimento, no céu; Diana, deusa da caça, na terra; e Prosérpina, nos infernos. Os três rostos da Diana aqui são as três fases: a Lua cheia, e os quartos crescente e minguante; na Lua Nova não há rosto porque a Lua se “esconde”.

Estão aqui representados os “sete céus” (I, 21); cf. Introdução do Vol. I, p. 23.

90 “Em todos estes orbes diferente

Curso verás, nuns grave e noutros leve;

Ora fogem do centro longamente,

Ora da Terra estão caminho breve;

Bem como quis o Padre onipotente,

Que o fogo fez, e o ar, o vento e neve,

Os quais verás que jazem mais a dentro,

E tem, c’o mar, a terra por seu centro.

“Em todos estes orbes (1) verás curso diferente; nuns, curso grave (2), e noutros, leve (3): ora fogem (4) do centro longamente, ora estão a caminho breve da Terra (5), como bem quis o onipotente Padre (6), que fez o fogo e o ar, o vento e a neve, os quais (7) verás que jazem mais a dentro, e tem o mar e a terra por seu centro.

(1) Círculos, representando os céus; veja a nota precedente. (2) Vagaroso. (3) Ligeiro. (4) Correm velozmente a grande distância (“longamente”). (5) Alguns orbes estão longe do centro (a Terra), outros estão a breve distância do mesmo centro; os que estão mais distantes (no seu curso aparente em volta da Terra) andam mais depressa. (6) Pai: Deus. (7) Refere-se o pronome a “fogo, ar”, etc., os elementos que, segundo a antiga astronomia, havia interpostos entre a Terra e o primeiro céu; veja-se a figura na Introdução do Vol. I, p. 23.

Os antigos astrônomos distinguiam céus, orbes e esferas para explicar a complicada teoria dos “epiciclos e excêntricos”; cf. Introdução do Vol. I, p. 27.

Acerca dos “círculos e movimento dos planetas”, diz o Sr. Dr. Luciano Pereira da Silva em “A Astronomia dos Lusíadas”, p. 66 (depois duma transcrição do Tratado da Esfera, já citado):

“Na descrição dos movimentos planetários, Camões refere-se apenas aos excêntricos, não pensando em descrever os tão diversos movimentos dos epiciclos (…). E que especialmente se consideram os céus excêntricos, torna-se claro na est. 90.

“Estes orbes [verso 1] são os excêntricos deferentes dos planetas, mais afastados do centro da Terra, no auge ou apogeu, e mais perto dele no perigeu. Tem curso mais grave o deferente de Saturno em 30 anos, e o de Júpiter em 12; o de Marte faz seu curso em 2 anos, e os do Sol, Vênus e Mercúrio em 1 ano; o curso mais leve é o da Lua em 27 dias e 8 horas.

“Pondo de parte os epiciclos, peças menores com tão variados movimentos, o poeta reduz as esferas planetárias à simplicidade da do Sol; e assim pode manter aquela linha de sobriedade com que vem sendo feita esta admirável descrição da máquina do mundo.”

***

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A Matemática na Europa Medieval

Iluminura do Livro de Jogos, obra do scriptorium de Afonso X.
A imagem mostra três copistas trabalhando.

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Tempo de leitura: 18 min.

Trecho retirado do livro Uma História da Matemática da Florian Cajori, publicado pela Editora Ciência Moderna, em 2007.

A Europa durante a Idade Média

Com o terceiro século depois de Cristo começou uma era de migração de nações na Europa. Os poderosos godos abandonaram os seus pântanos e florestas no norte e, em marcha constante em direção ao sul, desalojaram os vândalos, os suecos, e os borgonheses. Cruzando o território romano, pararam e recuaram somente quando alcançaram as praias do Mediterrâneo. Dos Montes Urais, hordas selvagens varreram as terras até o Danúbio, o Império Romano caiu em pedaços indicando a Idade das Trevas. Embora possa parecer tenebroso, foram eles os responsáveis pela criação das instituições e das nações da Europa Moderna. Assim como os gregos e os hindus foram os grandes pensadores da antiguidade, o mesmo também se aplica aos povos latinos, que foram o embrião de um forte e luxuriante acontecimento, ou seja, as modernas civilizações do norte dos Alpes e a da Itália passaram a ser os grandes líderes dos tempos modernos.

INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA DOS ROMANOS

Consideraremos agora como as nações do norte, ainda bárbaras, gradualmente conseguiram se apossar dos tesouros intelectuais da antiguidade. Com a expansão do cristianismo, a língua latina foi introduzida não só eclesiástica, como também cientificamente em todas as importantes transações mundiais. Naturalmente a ciência da Idade Média foi largamente extraída das fontes latinas. Com isto, durante os primeiros tempos da Idade Média os autores romanos eram os únicos escritores lidos no Ocidente. Embora o grego não fosse totalmente desconhecido, mesmo assim, antes do século XIII nenhum trabalho grego foi lido ou traduzido para o latim. Por ser na verdade escassa a ciência de que se poderia extrair dos escritores romanos, tivemos de esperar vários séculos antes que qualquer progresso matemático fosse feito.

Depois da época de Boécio e Cassiodório [Cassiodoro], a atividade matemática Itália morreu completamente. O primeiro tênue sopro de ciência entre as tribos que vieram do norte foi uma enciclopédia intitulada Orígenes [Etimologias], escrita por Isidoro (morto em 636 como bispo de Sevilha). Este trabalho é baseado nas enciclopédias de Martiano Capella de Cartago e a de Cassiodório e parte dele é dirigido ao quadrivium, aritmética, música, geometria, e astronomia. O autor apresenta definições e explicações gramaticais de termos técnicos, e mais os modos de computação usados na época. Depois de Isidoro, seguiu um século de obscurantismo um pouco dissipado pela presença de Beda, o Venerável (672-735), o mais erudito homem do seu tempo. Era um nativo de Wearmouth, na Inglaterra, seus trabalhos contêm tratados sobre o Computus, ou cálculo da data da Páscoa e prática da contagem com os dedos. Parece que o simbolismo com os dedos foi então largamente usado para os cálculos. A correta determinação da data da Páscoa naqueles dias era um problema crucial para a Igreja. Tornou-se mandatório que pelo menos um monge em cada monastério soubesse calcular o dia dos festivais religiosos, bem como o calendário. Tais cálculos requerem algum conhecimento de aritmética. Portanto achamos que a arte do cálculo sempre teve um papel importante na educação dos monges.

O ano em que Beda morreu é também o ano em que Alcuíno (735- 804) nasceu. Alcuíno foi educado em York, e depois chamado à corte de Carlos Magno, que foi um grande patrono da educação, e ele próprio um homem culto. Nas grandes catedrais e monastérios criaram-se escolas nas quais eram ensinados os salmos, a escrita, o canto, o cálculo (computus) e a gramática. Por computus significa aqui, provavelmente, não meramente o cálculo da data da Páscoa, mas a arte do cálculo em geral. Exatamente o que era, não temos como saber. Não se sabe igualmente se Alcuíno estava familiarizado com os ápices de Boécio ou com o modo romano de calcular pelo ábaco. Ele pertence à extensa lista dos sábios que moldaram a teoria dos números na teologia. Assim, o número de seres criados por Deus, que criou também todas as coisas, é $6$, porque $6$ é um número perfeito (cuja soma dos seus divisores é $1 + 2 + 3 = 6$); $8$, por outro lado, é um número imperfeito $(1 + 2 + 4 < 8)$; portanto a segunda origem da humanidade vem do número 8, que é o número de almas dito ter estado na arca de Noé.

Há uma coleção de "Problemas para estimular a mente" (propositiones ad acuendos invenes), que é tão velha quanto 1000 d.C. ou talvez mais. O historiador Cantor é de opinião que foram escritos muito antes por Alcuino. O que se segue é um desses "Problemas": Um cão corre atrás de um coelho que tem uma vantagem de $50$ m, e avança por cada pulo $3$ metros, enquanto o coelho ao dar um pulo avança $2,5$ metros. Para calcular em quantos pulos o cão alcança o coelho, $50$ é dividido por $0,5$ [1]. Nessa coleção de problemas, as áreas de terras triangulares ou quadrangulares são calculadas pelas mesmas fórmulas aproximadas usadas pelos egípcios fornecidas por Boécio em sua geometria. Um antigo problema é o da "cistema" (dado o tempo em que cada uma de várias bicas podem encher uma cistema, calcular o tempo que todas juntas levariam para enchê-la), que fora previamente encontrado em Herão, na Antologia grega, e em trabalhos hindus. Muitos dos problemas indicam que a coleção foi compilada principalmente de fontes romanas. O problema que em razão de sua unicidade dá o mais positivo testemunho de sua origem romana é o da interpretação de um testamento, no caso dos dois herdeiros serem gêmeos. O problema é idêntico aos dos romanos, exceto no que diz respeito às proporções de divisão estabelecidas no testamento. Como exemplo de problemas recreativos, mencionamos o do lobo, da cabra e da couve que devem fazer a travessia de um rio em um bote que os transporte, além do seu piloto, apenas mais um dos três. Pergunta: Quais podem ir no barco em cada travessia de modo que a cabra não coma a couve e nem o lobo a cabra? As soluções dos "problemas para estimular a mente" requerem não mais conhecimento do que algumas poucas fórmulas usadas em agrimensura, a habilidade de resolver equações lineares e o domínio das quatro operações fundamentais com inteiros. Extrações de raízes em nenhuma parte eram exigidas; e frações dificilmente ocorriam.

O grande império de Carlos Magno foi ameaçado de ruir logo após a sua morte em virtude da guerra e confusão que assumiram o poder. As pesquisas científicas foram abandonadas, e não retomadas até o final do século X, quando sob o domínio saxônico na Alemanha e dos capetianos na França, surgiu mais uma época de paz e a espessa escuridão da ignorância começou a desaparecer, e o zelo com o qual o estudo de matemática foi tomado deve-se principalmente a energia e influência de um homem Gerbert, nascido em Auvergne (França). Depois de receber uma educação monástica engajou-se no estudo, principalmente de matemática na Espanha. De volta ensinou em Reims por dez anos, tornando-se notável por sua grande cultura e elevado a mais alta posição. Pelo rei Oto I e seus sucessores, foi eleito bispo do Reino, depois de Ravena, sendo por fim, eleito papa sob o nome de Silvestre II, pelo último imperador Oto III. Considerado como o maior matemático da Europa do século X. sua matemática foi considerada maravilhosa pelos seus contemporâneos. Morreu em 1003 depois de uma vida atribulada, envolvendo-se em muitas disputas políticas e religiosas, acusado de conluios criminosos com os espíritos do diabo.

Gerbert aumentou seus conhecimentos com a leitura de livros raros. Assim, em Múntua, encontrou a geometria de Boécio, e embora isto fosse de menor valor científico, possuía, contudo, uma grande importância histórica. Foi, na época, o livro principal no qual os sábios europeus podiam aprender os elementos de geometria. Gerbert estudou-o com afinco, e é aceito, em geral, que ele próprio tenha sido o autor de uma geometria. H. Weissenbonn, um historiador, nega essa teoria, e garante que o livro em questão consiste em três partes que não podem ter vindo de um mesmo e único autor. Estudos mais recentes admitem Gerbert como o autor e adiantam que ele o tenha compilado de diferentes fontes. A sua geometria contém pouco mais do que a de Boécio, mas o fato de erros ocasionais nesta última e corrigidas na de Gerbert demonstra que o autor dominara o assunto. "O primeiro texto matemático da Idade Média que merece este nome", diz Hankel, "é uma carta de Gerbert a Adalbold, bispo de Utrecht", na qual é explicada a razão porque a área de um triângulo, obtida "geometricamente" tomando-se produto da base pela metade da altura difere da área calculada "aritmeticamente", pela fórmula $\dfrac{1}{2} a (a + 1)$, usada pelos agrimensores onde $a$ representa o lado de um triângulo equilátero. A carta fornece corretamente a explanação que na última fórmula todos os pequenos quadrados, nos quais é suposto o triângulo ser dividido, são contados inteiramente, embora parte deles saia fora dos limites da figura. D. E. Smith chama a atenção para um grande jogo numérico medieval; chamado Aritmancia: suposto por alguns ser de origem grega, foi praticado até tardiamente como no século XVI. Esse jogo exige considerável habilidade aritmética, tendo sido conhecido por Gerbert, Oronce Fine, Thomas Bradwardine e outros. Um tabuleiro semelhante ao de xadrez era usado. Relações como $81=72+ \dfrac{1}{8}$ de $72$, $42 = 36 + \dfrac{1}{6}$ de $36$ eram envolvidas no jogo.

Gerbert fez um cuidadoso estudo dos trabalhos de Boécio, e ele próprio publicou o primeiro, talvez ambos, dos dois trabalhos seguintes, Um Pequeno Livro sobre Divisão de Números: e o Regras de Cálculo Para o Ábaco. Estes livros dão idéia dos métodos de cálculos praticados na Europa antes da introdução dos numerais hindus. Gerbert usou o ábaco que provavelmente não era conhecido por Alcuíno. Bernelino, um aluno de Gerbert, descreve o ábaco como consistindo em uma prancha lisa sobre a qual os geômetras estavam acostumados a espalhar areia azul para desenhar os seus diagramas. Para os propósitos aritméticos, a prancha era dividida em $30$ colunas, das quais três eram reservadas para frações enquanto as $27$ restantes, divididas em grupos com três colunas em cada. Em cada grupo, as colunas são marcadas respectivamente pelas letras C (cento), D (dez), e S (unidades) ou M (monas). Bernelino apresenta os nove numerais usados que são os ápices de Boécio, e relembra que as letras gregas podem ser empregadas nos lugar daqueles. Com a utilização das colunas, qualquer número pode ser escrito sem o zero, e todas as operações da aritmética podem ser executadas sem as colunas do mesmo modo que fazemos hoje, empregando o zero. Na verdade, os modos de adicionar, subtrair, e multiplicar em voga entre os abacistas concordam substancialmente com os de hoje. Mas para a divisão existe uma grande diferença. As primitivas regras para a divisão parecem ter sido elaboradas para satisfazerem as três seguintes condições: (1) O uso de tabelas para a multiplicação seriam restritas, pelo menos, à prática de nunca se pedir a multiplicação mental de um número de dois dígitos por outro de um dígito. (2) As substrações deveriam ser evitadas tanto quanto possível e substituídas por adição. (3) A operação deveria ser feita de modo puramente mecânico, não sujeita a tentativas. Que tais condições fossem pedidas pode nos parecer estranho; mas deve ser lembrado que os monges da Idade Média não freqüentavam a escola na infância e aprendiam a tabuada enquanto a memória estava fresca. As regras para a divisão de Gerbert são as mais antigas ainda existentes. Elas são tão lacônicas que se tornam obscuras para o não iniciado. Foram provavelmente criadas simplesmente para ajudar a memória na chamada das sucessivas etapas do trabalho. Nos manuscritos posteriores foram instituídas com mais detalhes. Na divisão de um número qualquer por outro de um algarismo digamos $668$ por $6$, o divisor era primeiro aumentado para $10$ com o acréscimo de $4$. O processo era apresentado com uma figura ao lado. Na continuação do processo, devemos imaginar os dígitos que deveriam ser cortados, apagados e substituídos pelo que estava abaixo. Seria como segue: $600\div 10 = 60$, mas para corrigir o erro, $4 \times 60$, ou $240$, deveria ser adicionado; $200 \div 10 = 20$, mas $4 \times 20$, ou $80$, adicionado. Agora, escreve-se para $60 + 40+ 80$, cuja soma é $180$, e continuava-se assim: $100 \div 10 = 10$; a correção necessária é $4 \times 10$, ou $40$, que somada a $80$, dá $120$. Novamente $100 \div 10 = 10$, e a correção $4 \times 10$, junto com $20$, resulta $60$. Procedendo como antes, $60 \div 10 = 6$; a correção é $4\times 6 = 24$. Agora $20 \div 10 = 2$, a correção passa a ser $4\times 2 = 8$. Na coluna das unidades temos aqui $8 + 4 + 8$, ou $20$. Como antes $20 \div 10 = 2$; a correção é $2 \times 4 = 8$, que não divisível por $10$, mas somente por $6$, fornecendo o quociente $1$ e o resto $2$. Todos os quocientes parciais tomados juntos fornecem $60 +20 + 10 + 10 + 6 + 2 + 2 + 1 = 111$, e o resto $2$.

Semelhante, mas mais complicado, é o processo quando o divisor é formado por dois ou mais algarismos. Quando o divisor for $27$, por exemplo, então o múltiplo mais próximo de $10$, ou $30$, deve ser tomado como divisor, mas as correções para $3$ são impostas. Aquele que tivesse paciência para levar uma tal divisão até o fim, entenderia por que se tem dito de Gerbert que "Regulas dedit, quae a sudantibus abacistis vix intelliguntur" [2]. Perceberá também por que o método de divisão árabe, quando foi introduzido, era chamado de divisio aurea, mas para o ábaco, de divisio ferrea.

Em seu livro sobre o ábaco, Bernelino separou um capítulo para frações. Estas eram, naturalmente, as duodecimais, primeiramente usadas pelos romanos. Sem uma notação adequada, o cálculo com elas era muito difícil. Mesmo para nós que estamos acostumados a lidar com frações, pela aplicação de nomes, tais como uncia para $\dfrac{1}{12}$ quincunx para $\dfrac{5}{12}$ e dodrans para $\dfrac{9}{12}$.

No século X, Gerbert foi a figura central dos sábios. No seu tempo, o Ocidente entrou na posse segura de todo o conhecimento matemático dos romanos, e durante o século XI esse saber foi estudado assiduamente. Apesar dos numerosos trabalhos que foram escritos sobre aritmética e geometria, o conhecimento matemático era ainda muito insignificante, na verdade escassos tesouros matemáticos obtidos das fontes romanas.

Notas:

[1] Está subentendido que o cão e o coelho, na corrida, executam os saltos concomitantemente. (N. T.)

[2] Estabeleceu regras que são compreendidas apenas por esforçados abacistas. (N. T.)

***

Leia mais em O que é o Quadrivium? - por Roberto Helguera

Leia mais em Boécio e Cassiodoro

Leia mais em Alcuíno de York: difusor do Trivium e Quadrivum

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Os Sólidos Platônicos

Sólidos Platónicos y la figura sagrada Cristiana de la Trinidad
 por César Villacís et al.

Tempo de leitura: 20 min.

Apresentamos o texto Sólidos Platónicos por Rafael Montés Gil, disponível em parte 1 e parte 2.

Dedicado aos meus amigos e principalmente a José Carlos Fernández

INTRODUÇÃO

Platão sempre surpreende. No seu diálogo “Timeu”, escrito por volta de 360 ​​a.C., desenvolve três grandes temas: a origem do universo, a estrutura da matéria e a natureza humana.

Quando fala da formação do Cosmos, desenvolve a doutrina de Empédocles dos Quatro Elementos representados por poliedros regulares e estabelece as relações geométricas entre uns e outros como depois ninguém mais foi capaz de igualar.

De Kepler a Arturo Soria, passando por Leonardo e Matila Ghyka, todos expuseram relações entre uns sólidos e outros, entendidos como “volumes”, ou seja, corpos sólidos, encaixando-se uns nos outros.

Platão fá-lo de maneira muito diferente. Primeiro, decompõe cada corpo nas suas partes elementares. Em seguida, combina-as. E depois expõe como essas partes elementares interagem umas com as outras. Vai sempre à essência.

Neste tema encontramos uma parte geométrica na qual são estudadas formas simples e fundamentais – arquetípicas – e outra parte filosófica na qual se analisam ideias.

A primeira requer uma certa capacidade de “visão espacial” e a segunda uma certa “capacidade de abstração”.

Na tentativa de unificar estes dois aspectos do conhecimento, trataremos de fazer uma exposição simples e clara das diferentes figuras geométricas e das suas possíveis relações.

O tema nunca poderá considerar-se como acabado, pois, tratando-se de figuras primordiais com as quais – disse Platão – Deus formou o corpo do Mundo, entenderemos que pertencem àquelas “altas regiões” do Divino onde a mente concreta tem vedadas as suas entradas.

É necessário, portanto, esforçar-se por despertar uma certa intuição que nos permita uma aproximação mais íntima a essas figuras, lembrando que, na antiguidade, a ciência da Geometria era inspirada pelas Musas e que, juntamente com a Aritmética, fazia parte do alto saber humano.

Na nossa pequena escala, tentaremos substituir esta grande intuição dos nossos antigos por uma visão clara e simples das figuras e das suas correspondências através de uma série de desenhos que acompanham estas notas.

OS CINCO POLIEDROS REGULARES

São apenas cinco e todos atendem às condições de terem, em si mesmos, todas as faces iguais, todas as arestas iguais e todos os seus vértices iguais. Platão diria que eles são iguais a si mesmos em cada uma das suas partes.

Todas as faces devem ser planas e ter lados iguais, sendo o mais simples deles o triângulo – um polígono de três lados – dada a impossibilidade de construir um polígono com menos de três lados.

Da mesma forma, todos os vértices serão iguais e três ou mais faces convergirão para eles, pois é impossível formar um ângulo triedro com duas faces ou menos.

Vejamos que figuras poderemos construir com faces triangulares – triângulos equiláteros regulares.

Seis triângulos colocados em torno de um ponto central ocupam todo o plano e não dão origem a nenhuma figura sólida.

$60º \times 6 = 360º$

Mas, se removermos um dos seis triângulos, deixando apenas cinco ao redor do vértice central, obtemos, depois de fazer coincidir as duas arestas que ficam livres, (dobrando o plano) uma figura em que cinco faces triangulares convergem em cada vértice. Essa figura será o ICOSAEDRO.

Se agora removermos outro triângulo, permanecerão quatro. A figura na qual quatro triângulos se encontram num vértice é o OCTAEDRO.

Mas ainda podemos remover um outro triângulo, deixando apenas três. A figura na qual, em cada vértice, convergem três faces é o TETRAEDRO.

Se removermos um outro, restam apenas dois triângulos e nenhuma figura pode ser construída.

Resumindo: existem apenas três figuras com faces triangulares que são o icosaedro, o tetraedro e o octaedro. Não há mais. Se tomarmos, por exemplo, a bipirâmide pentagonal veremos que não é um poliedro regular porque em alguns vértices convergem cinco faces e em outros apenas quatro, ou seja, os vértices não são todos iguais.

Vejamos agora que figura podemos obter com um quadrado. Repetindo o processo anterior, vemos que quatro quadrados ocupam todo o plano. Com três quadrados para cada vértice obtemos um CUBO, e com apenas dois quadrados não é possível obter nenhuma figura.

$90º \times 4 = 360º$

Resumindo: existe apenas uma figura regular com faces quadradas: o CUBO.

Vejamos agora o que acontece se considerarmos os pentágonos como faces. Não é possível unir quatro pentágonos num plano, em torno de um vértice, pois tendo o ângulo interno de um pentágono $108º$, com os quatro ultrapassaríamos $360º$ de uma circunferência completa.

$108º \times 4 = 432º > 360º$

No entanto, pudemos juntar três pentágonos e repetir o processo anterior.

$108º \times 3= 324º < 360$

Se, como antes, removermos um pentágono, restam apenas dois e não é possível obter um vértice com apenas duas faces.

Resumindo: há apenas uma figura regular com faces pentagonais: o DODECAEDRO.

Se formos para a próxima figura plana, o hexágono, não podemos fazer nenhuma figura sólida porque apenas com três hexágonos – o mínimo para cada vértice como já vimos – já ocupamos todo o plano e não obtemos nenhum volume.

$120º \times 3 = 360º$

Existem, portanto, apenas cinco poliedros regulares possíveis: Cubo, Icosaedro, Octaedro, Tetraedro e Dodecaedro, para os quais são indicadas as características mais gerais na tabela seguinte.

OS CINCO SÓLIDOS

PARTE 2 - Rafael Montes Gil

“Começarei por dizer que, para todos é evidente que o fogo, a terra, o ar e a água são corpos. Tudo o que tem a essência do corpo também tem profundidade. Tudo que tem profundidade contém em si a natureza da superfície. Uma base cuja superfície é perfeitamente plana, é composta por triângulos. Todos os triângulos têm a sua origem em dois triângulos tendo cada um, um ângulo reto e os outros dois agudos " - Platão

OS SÓLIDOS PLATÔNICOS E O TIMEU

Até agora, vimos da forma mais simples possível, como surgem os cinco sólidos e também que estes são os únicos possíveis. Platão, no diálogo “Timeu” ou da Natureza, faz uma exposição diferente, mas muito mais elegante e um pouco mais complexa. É preciso dizer que no referido diálogo apenas se apresentam QUATRO dos cinco sólidos já conhecidos, fazendo menção ao DODECAEDRO, como “uma quinta combinação que Deus usará para traçar o plano do Universo”.

Isto reforça a tradição órfica, segundo a qual “Dionísio-Criança” brinca com sete formas fundamentais simbolizadas em sete artefatos: Bola, Pião, Espelho e Dados (quatro dados).

Platão conhecia a forma do dodecaedro, mas não a menciona no Timeu porque não faz parte do processo pelo qual Deus concede a forma ao “Corpo do Mundo”.

Talvez pertença a um plano ainda mais elevado, pois, a partir dele pode-se obter todas as outras formas.

Vejamos então, como se constrói o “Corpo do Mundo” a partir dos quatro corpos elementares, e como se constroem estes corpos a partir da forma mais simples e mágica: o triângulo.

“Começarei por dizer que, para todos é evidente que o fogo, a terra, o ar e a água são corpos. Tudo o que tem a essência do corpo também tem profundidade. Tudo que tem profundidade contém em si a natureza da superfície. Uma base cuja superfície é perfeitamente plana, é composta por triângulos. Todos os triângulos têm a sua origem em dois triângulos tendo cada um, um ângulo reto e os outros dois agudos”.

Mais adiante veremos que um desses triângulos é o retângulo-isósceles, ou seja, é um triângulo retângulo com dois lados iguais.

TRIÂNGULO ELEMENTAR RETÂNGULO

O outro triângulo, também é um triângulo retângulo, mas com todos os lados irregulares. Das infinitas possibilidades, Platão escolhe aquela que tem os lados de maior beleza e simplicidade, um triângulo cuja hipotenusa é o dobro do cateto menor. Existe apenas um, cujos ângulos são $30°$, $60°$ e $90°$. (Já temos uma esquadra e um esquadro).

$A/B = 0,5$; pero $A/B =$ sen $\alpha = 0,5$; $\alpha = 30º$

TRIÂNGULO ELEMENTAR ESCALENO

E continua, dizendo: “Aproximem dois desses triângulos seguindo a diagonal. Repitam esta operação três vezes, para que todas as diagonais e catetos menores se fixem num ponto que lhes serve como um centro comum, e tereis um triângulo equilátero formado por seis triângulos elementares”. (ver as imagens abaixo)

E assim, obtemos um triângulo equilátero, formado por seis triângulos elementares que darão origem ao tetraedro, ao icosaedro e ao octaedro.

De forma similar, obteremos o quadrado a partir de outro triângulo elementar, unindo quatro deles conforme indicado no texto.

Tanto o quadrado como o triângulo equilátero podem ser divididos infinitamente nos seus respectivos triângulos elementares. Por isso, Platão diz que os quatro elementos podem-se dissolver até penetrar e transformar-se no mais minúsculo, assim como podem justapor-se para dar origem ao Grande Elemento, a síntese final de todas as suas partículas.

1. Agora temos: Cubo: Sólido formado por $24$ triângulos elementares. Elemento Terra.
2. Icosaedro: Sólido formado por $120$ triângulos elementares. Elemento Água.
3. Octaedro: Sólido formado por $48$ triângulos elementares. Elemento de Ar.
4. Tetraedro: Sólido formado por $24$ triângulos elementares. Elemento Fogo.

Platão chama, “ângulo plano” àquele que se forma por duas retas com um ponto comum e, por extensão, àquele que se forma por dois planos com uma reta comum. Essa linha comum é a aresta de um sólido. Por outro lado, “ângulo sólido” é aquele que se forma por três ou mais planos com um único ponto em comum, ou seja, formam um vértice.

É imprescindível agora, compreender que, se dividirmos um cubo em muitos triângulos elementares, depois de muitas divisões, os triângulos menores não mudarão de forma. Ao reuni-los obteremos cubos menores, mas não há possibilidade de obter uma forma diferente. Por outro lado, os triângulos elementares dos outros três elementos são iguais e, decompondo um desses corpos, podemos obter outro.

Fogo, ar e água são transmutáveis entre si e formam um único conjunto que se apresenta de três formas distintas. A terra, por si mesma, forma a sua contraparte.

No primeiro conjunto, o fogo seria a última síntese. No segundo, a terra seria a única existente.

Temos portanto, os dois primeiros elementos, fogo e terra, que Platão coloca na origem, é a primeira dualidade da qual surge tudo o que se manifesta.

Ambos são idênticos no número de triângulos elementares, mas de diferentes classes.

SÓLIDOS PLATÓNICOS DE “O TIMEU”

24 Triângulos Elementares Isósceles.

Terra.

24 Triângulos Elementares Escalenos.

Fogo.

48 Triângulos Elementares Escalenos.

Ar.

120 Triângulos Elementares Escalenos.

Água.

“Faltava uma quinta combinação de que Deus se serviu para traçar o plano do Universo…”

A este novo elemento Platão chama de “meio proporcional” ou “média proporcional”, que só serve para relacionar números “planos” (veja-se o problema pitagórico da duplicação do cubo, magistralmente resolvido por Platão).

Mas, era preciso que o fogo e a terra não fossem planos mas sólidos (senão não seriam corpos). Para se estabelecer uma proporção entre dois sólidos não basta um meio termo, são essenciais dois: “Deus interpôs-se, entre o fogo e a terra, os restantes dois corpos, o ar e a água, formando um todo proporcional e harmónico”.

Vejamos agora, como o ar e a água surgem quando o fogo e a terra entram em contato. “O fogo posto em contato com a terra, corta-a com as suas arestas vivas”, ou seja, o tetraedro e o cubo ao justaporem-se fazem com que cada aresta do tetraedro corte uma face do cubo.

Figura 1

Figura 2

Mas, cada cubo é cortado pelos dois tetraedros inscritos formando posteriormente uma estrela denominada por Kepler “Stella Octângula”

Figura 3. Stella Octângula

Nesta figura, vemos como o cubo foi decomposto em cada um dos seus triângulos elementares. Esses triângulos elementares não podem combinar-se entre si, a não ser para formar outros cubos, pois a Terra não é susceptível de ser transformada em outros elementos. Após sucessivas divisões, a terra seria dissolvida e reduzida a partes irredutíveis.

Mas vamos dar mais um passo. Uma vez que existem dois tetraedros inscritos, cada um parte do outro e são decompostos em triângulos elementares que podem recombinar-se para formar a água e o ar.

Na seguinte imagem podemos ver o resultado da face triangular de um tetraedro após ter sido cortada pelo outro:

Porém, não esqueçamos que o triângulo equilátero é composto por seis triângulos elementares, sendo a seguinte imagem a forma final que se obtém:

Sendo dois tetraedros, temos um total de oito faces, como a anteriormente. A área a tracejado tem seis triângulos que perfazem um total de $48$. Assim, obtivemos a forma correspondente ao elemento ar, o octaedro ($48$ triângulos elementares). Na “Stella Octângula” vemos claramente essas três formas, das quais apenas o cubo é decomposto em seus triângulos elementares.

Vejamos agora como os triângulos, na área não tracejada, nos permitem obter o elemento água. Temos um total de $48$ triângulos (em todas as oito faces). Para obter um icosaedro precisamos de $120$, então teríamos que repetir esse processo $2,5$ vezes (impossível), mas não o podemos fazer porque não é um número inteiro.

Aparentemente, chegamos a um beco sem saída, mas, lembrando o diálogo de Platão, podemos consultar o “plano”:

“Sobrava uma quinta combinação que Deus usou para desenhar o plano do Universo.” Ele referia-se ao dodecaedro.

No figura 4 vemos precisamente um dodecaedro acompanhado por um cubo. Se inscrevermos o cubo no dodecaedro, cada aresta do cubo transforma-se numa diagonal de uma face do dodecaedro – ver figura 4, em baixo. Uma face pentagonal possui 5 diagonais e um dodecaedro admite $5$ cubos inscritos – figura 5. Cada cubo admite um par de tetraedros como já vimos na figura 3, que perfaz um total de $10$ tetraedros formando $5$ pares. 

• Diagonais das faces de um dodecaedro $= 5 \times 12 = 72$.
• Arestas de $5$ cubos $= 5 \times 12 = 72$.

Figura 4

Figura 5

Na Figura 6, vemos esses $10$ tetraedros formando $2$ pentatetraedros.

Figura 6

Na figura 7 vemos o dodecaedro, mas desta vez com os $10$ tetraedros inscritos separados em dois grupos de $5$.

Figura 7

Se depois desta exposição voltarmos a Platão, veremos que o problema que surgiu ao tentar obter o icosaedro, está resolvido.

Explicamos: tínhamos $48$ triângulos para construir um icosaedro quando na verdade são necessários $120$ ($2,5$ vezes mais). Agora, ao introduzir a figura do dodecaedro, o processo inicial é multiplicado por $5$ (isso se possível porque é um número inteiro), portanto, temos $48 \times 5 = 240$ triângulos elementares e, portanto, dois icosaedros de $120$ triângulos além de $5$ octaedro de $48$.

Tudo se encaixa e forma um único todo, que inscrevemos numa esfera dionisíaca antes de fazer o seguinte resumo:

ANEXO:

Existem algumas formas que não foram comentadas até agora. Estas devem servir apenas de exemplo, pois existem muitas relações possíveis entre formas geométricas, além daquelas que foram comentadas por Platão, sendo esta última a mais completa. Isto poderá ajudá-lo a exercitar a visualização.

Figura 8: Podemos obter um dodecaedro unindo os centros de cada face de um icosaedro e vice-versa. São as únicas duas figuras geométricas que evidenciam as proporções áureas. O dodecaedro como a quinta essência e o icosaedro como o elemento água. Lembremos que no reino mineral não existem proporções áureas. As proporções áureas aparecem no mundo vegetal e superiores. São chamadas “duais” porque podem ser obtidas uma a partir da outra unindo os centros das faces.

Figura 8

Figura 9: Mostra uma das possíveis relações entre o cubo e o icosaedro, bem como uma das propriedades áureas do icosaedro.

Figura 9

Figura 10: Aqui vemos um dos $5$ possíveis octaedros inscritos num icosaedro. Cada um dos vértices do octaedro cai numa aresta do icosaedro.

$5$ octaedros $= 30$ vértices $= 30$ arestas do icosaedro.

Figura 10

Figura 11: É uma simplificação da Figura 3.

Figura 11

Figura 12: Esta e a anterior mostram-nos que o octaedro e o cubo são figuras duais.

Figura 12. NOTA: Em ambos os casos, obteve-se a forma unindo os pontos médios de cada face da forma anterior.

Figura 13: O tetraedro é dual em relação a si mesmo.

Figura 13

BIBLIOGRAFIA:

O Timeu, Platão.

***

Leia mais em O papel das matemáticas na educação, segundo Platão

Leia mais em O ensino da Matemática (Quadrivium) no período clássico

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