Elementos de Euclides

Introdução

Os Elementos de Euclides formam um dos mais bonitos e influentes trabalhos da ciência na história da Humanidade. A sua beleza acentua no desenvolvimento lógico da geometria e de outros ramos da Matemática.

Os Elementos são, a seguir à Bíblia, um dos livros mais reproduzidos e estudados na história do mundo ocidental. Foi praticamente o único livro de texto usado no ensino da Matemática durante mais de dois milénios.

Os Elementos são uma compilação de resultados de autoria diversa, alguns já conhecidos desde há muito tempo. Por este fato, não devemos considerar que Euclides foi o descobridor da totalidade, nem sequer da maioria dos teoremas ou das teorias que apresenta nos seus livros.

Os treze volumes que constituem a sua obra, foram ao longo dos tempos estudados por muitos.

Na antiga Grécia, esta obra foi comentada por Herão (10-75), Proclo (410-485) e Simplício (490-560).

Na Idade Média, foi traduzido em latim e árabe, e após a descoberta da imprensa, fizeram-se numerosas edições na maioria das línguas europeias. A primeira foi de Campano (1220-1296), em latim, publicada após a sua morte (1482) e que foi muitas vezes citada por Pedro Nunes (1502-1578). Em Portugal, Angelo Brunelli em 1768, publicou uma tradução em português dos seis primeiros livros, do décimo primeiro e do décimo segundo.

Vários temas são abordados ao longo dos treze volumes.

Os livros I-IV tratam de geometria plana elementar. Partindo das mais elementares propriedades de retas e ângulos que conduzem à congruência de triângulos, à igualdade de áreas, ao teorema de Pitágoras (proposição 47, Livro I) e ao seu recíproco (proposição 48, Livro I), à construção de um quadrado de área igual à de um retângulo dado, à secção de ouro, ao círculo e aos polígonos regulares.

Como a maioria dos treze livros, o livro I começa com uma lista de definições, sem qualquer comentário como, por exemplo, as de ponto, reta, círculo, triângulo, ângulo, paralelismo e perpendicularidade de retas tais como:

"um ponto é o que não tem parte",

"uma reta é um comprimento sem largura"

"uma superfície é o que tem apenas comprimento e largura".

A seguir às definições, aparecem os postulados e os axiomas por esta ordem:

1. Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une;

2. Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta;

3. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada;

4. Todos os ângulos retos são iguais;

5. Se uma linha reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois retos, então essas duas retas, quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois ângulos (É este o célebre 5º Postulado de Euclides).

Axioma 1

Coisas que são iguais à mesma coisa também são iguais entre si.

Axioma 2

Se iguais forem somados a iguais, então os todos são iguais.

Axioma 3

Se iguais forem subtraídos a iguais, então os restos são iguais.

Axioma 4

Coisas que coincidem umas com outras são iguais entre si.

Axioma 5

O todo é maior que a parte.

Assim, três conceitos fundamentais - o de ponto, o de reta e o de círculo - os cinco postulados e axiomas, a eles referentes, servem de base para toda a geometria euclidiana.

O livro V apresenta a teoria das proporções de Eudoxo (408 - 355 a. C.) na sua forma puramente geométrica.

O livro VI, aplica a teoria das proporções, à semelhança de figuras planas. Aqui voltamos ao teorema de Pitágoras e à secção de ouro (proposições 31 e 30, Livro VI), mas agora como teoremas respeitantes a razões de grandezas. É de particular interesse o teorema (proposição 27, Livro VI) que contém o primeiro problema de maximização que chegou até nós, com a prova de que o quadrado é, de todos os retângulos de um dado perímetro, o que tem área máxima.

Os livros VII-IX, são dedicados a conceitos sobre teoria dos números tais como a divisibilidade de inteiros, a adição de séries geométricas e algumas propriedades dos números primos. Encontramos também, o "algoritmo de Euclides", para determinar o máximo divisor comum entre dois números (proposição 2, Livro VII), o mais antigo registro, de uma prova formal, por recorrência, (proposição 31, Livro VII), e ainda o "Teorema de Euclides", segundo o qual existe uma infinidade de números primos (proposição 20, Livro IX).

O livro X, o mais extenso de todos e muitas vezes considerado o mais difícil, contém a classificação geométrica de irracionais quadráticos e as suas raízes quadráticas. Neste livro surge a prova da irracionalidade de $\sqrt {2}$.

Os livros XI-XIII, são conhecidos pelo nome de livros estereométricos, por neles serem consideradas figuras da geometria tridimensional. O livro XI é dedicado ao paralelismo e à perpendicularidade de retas e planos, e ao estudo de ângulos sólidos e de prismas. No livro XII, Euclides estabelece razões entre áreas de figuras planas e entre volumes de sólidos, por um método que mais tarde passou a ser designado por método de exaustão. Finalmente, o livro XIII, trata do estudo dos cinco poliedros regulares, atualmente conhecidos por sólidos platónicos.

No link abaixo é possível acessar a obra completa em inglês:

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html

Elementos (de Geometria) de Euclides. A tradução dos seis primeiros livros, do décimo primeiro e décimo segundo livro da versão latina de Frederico Commandino pode ser encontrada em domínio público aqui: Link.

Fonte:

ARAÚJO, Helena; GARAPA, Marco; LUÍS, Rafael. Elementos de Euclides - Livros VII e IX. Universidade da Madeira. Funchal, 2005.

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