A sabedoria medieval na ponta dos dedos

Contar com os dedos de 1 a 20.000, de 'De numeris'.
Codex alcobacense, por Rabano Mauro (780-856)

RECEBA NOSSAS ATUALIZAÇÕES

DIGITE SEU EMAIL:

Verifique sua inscrição no email recebido.

Tempo de leitura: 9 minutos.

Texto retirado do LINK.

A sabedoria medieval na ponta dos dedos, por Luis Dufaur - Escritor, jornalista, conferencista de política internacional, sócio do IPCO, webmaster de diversos blogs.

A queda do Império Romano deixou a Europa e boa parte do Oriente Próximo submersos no mais generalizado analfabetismo. Porque nesse Império, tão grande sob os pontos de vista cultural, jurídico e administrativo, tão elogiado hoje, a imensa maioria dos homens era de escravos. Apenas as classes altas que dirigiam a sociedade e os exércitos haviam recebido instrução, por vezes aprimorada. Mas essas categorias cultas pereceram ou desapareceram nas invasões dos bárbaros. Os bárbaros – talvez feitas algumas exceções – acrescentaram o próprio deles: a barbárie! Foi o trabalho santo, heroico e paciente da Igreja, notadamente suas escolas monacais, episcopais ou paroquiais que foram tirando Europa da noite da ignorância até transforma-la num farol de cultura universal.

São Beda é o fundador da historiografia inglesa, entre outros títulos

O trabalho educador demorou séculos considerando as devastações das sucessivas invasões bárbaras e dos muçulmanos cheios de ódio destrutor. Houve um período intermediário de séculos até os povos serem satisfatoriamente instruídos. Como faziam então, os primeiros medievais com suas contas sabendo pouco escrever ou ler? O mais incrível que o faziam com os dedos da mão, porém com uma habilidade e uma complexidade de nos fazer passar vergonha. A habilidade era tão surpreendente que foi objeto de uma reportagem especial do jornal portenho “La Nación”.

Nós também contamos com os dedos, mas não vamos além dos 10 das duas mãos. Os medievais conheciam combinações por onde com esses 10 podiam facilmente calcular até 9.999. Os mais habilidosos podiam fazer cálculos na casa do milhão pondo as mãos em diversas partes do corpo, algo muito útil para os que mexiam com dinheiro.

Em verdade, o método não era exclusivamente medieval e já existia na Antiguidade. O escritor romano do século V Marciano Capela descreveu “a dama da Aritmética”, como uma “mulher de extraordinária beleza, e a majestade de uma nobilíssima antiguidade”, em seu livro “De Nuptiis”, no qual personifico as sete artes liberais. E descreveu uma “dança” que a dama Aritmética executava com as mãos: a complexa e muito prezada arte de contar com os dedos. Tudo isso se teria perdido se não fosse os monges católicos.

A dama da Aritmética, xilografia do livro
Margarita Philosophica (A pérola filosófica),
de Gregor Reisch (1467 -1525)

“Esse sistema foi usado até os séculos XI e XIII na Idade Média em toda a Europa”, disse à BBC Mundo o historiador da ciência medieval Seb Falk, autor do livro “The Light Ages” ou “A idade da luz”.

O livro De temporum ratione ou “Como contar o tempo” de um monge do início do século VIII é o mais interessante. O religioso vivia em um dos cantos mais remotos do mundo conhecido, no mosteiro de Jarrow, no nordeste da Inglaterra. Mas suas obras iluminaram a civilização ocidental durante milênios, e sua fama de estudioso de renome internacional revoa até hoje: foi São Beda, o Venerável, Doutor da Igreja. O referido tratado marcou o compasso da Europa até a reforma gregoriana de 1582 ensinando a ciência do cálculo do tempo e a arte da construção do calendário.

Sinais sobre o corpo para os grandes números

“A base do calendário cristão é a Páscoa. Essa data tem que ser identificada meses ou anos antes para harmonizar o culto divino e desencadeou grandes debates do Atlântico a Alexandria”, explica o historiador da ciência. “Devia cair no domingo após a primeira lua cheia ou equinócio, e tinha que ser marcada com antecedência, já que toda a liturgia católica depende dela. “Era preciso combinar o ciclo solar e o ciclo lunar e os dias da semana.

“São Beda resolveu como fazê-lo usando os dedos das mãos! Assim chegava à data correta da Páscoa em questão de segundos. “Não foi à toa que seu manual enciclopédico foi impresso e copiado por centenas de anos”, escreveu o professor Seb Falk.

São Beda mostra que as mãos, esses aparelhos portáteis por excelência, servem como computadores modernos e ensinou como contar até 9999.

“Assim como, quando escrevemos, temos uma coluna para as unidades, outra para as dezenas, centenas e milhares, ele dedicava o dedo mínimo, o anel e os dedos médios da mão esquerda às unidades e o indicador e o polegar às dezenas; na mão direita, o polegar e o indicador indicavam as centenas e os outros três dedos, os milhares”. “Diferentes combinações desses dedos em posições diferentes permitiram representar todos esses números”, escreve Falk.

Seb Falk, 'The Light Ages'

São Beda forneceu dicas para aprender a contar: dizendo os números em voz alta enquanto mostra suas mãos e os alunos se acostumam a gestos às vezes difíceis de reproduzir, até memoriza-los. Pode se usar as mãos para adicionar, subtrair, multiplicar como um ábaco.

“Era uma linguagem de sinais usada pelos feirantes para se comunicar de maneira eficaz em meio ao ruído e à distância”, explica Falk. “Os monges utilizavam para se comunicar em mosteiros onde o silêncio é regra, e para memorizar textos filosóficos e fórmulas matemáticas”.

Nesse caso os números eram substituídos pelas letras – a letra “$a$” era representada pelo $1$; a “$b$” pelo $2$, etc. E também servia de código secreto em caso de perigo. Se alguém quiser alertar um amigo que está entre traidores mostra com os dedos $3, 1, 20, 19, 5$ e $1, 7, 5$; nessa ordem as letras significam caute age (aja com cautela). Esse código manual também foi valioso para o estudo de algo muito precioso na vida monástica: a música.

“A música foi estudada de uma maneira muito científica; para monges era uma ciência matemática. “Eles pensavam constantemente sobre a relação entre as diferentes harmonias, nas proporções aritméticas entre as diferentes notas da escala musical. “Para esses filósofos tudo havia sido criado por Deus com algum motivo, e a ‘harmonia das esferas’ e da ‘música universal’ não era uma metáfora”.

Os monges haviam recuperado os escritos do grego Pitágoras, pai das matemáticas, que postulava que o Universo era governado de acordo com magnitudes numéricas harmoniosas e que o movimento dos corpos celestes seguia proporções musicais.

São Beda no leito de morte dita a interpretação do último capítulo
do Apocalipse, James Doyle Penrose (1862 – 1932), 
Royal Academy, Burlington House, Piccadilly

Assim os dedos serviam para os mais complicados cálculos astronômicos. Mas também para erigir catedrais de altitudes vertiginosas e formas ousadas que perduram até hoje. Se o sistema dos dedos distorcesse um pouco esses prédios teriam desabado há tempo. “Os planetas tocavam um tipo de música criada pela velocidade em que giravam, que era como uma frequência: quanto maior a frequência, maior a nota. (Este conceito aliás foi assimilado por Aristóteles e comentado por Santo Tomás de Aquino). “Para lembrar as diferentes notas musicais e configurações de harmonia, eles usavam as mãos”, prossegue o historiador da ciência.

Naquela época, a memória era uma ferramenta indispensável, porque os materiais de escrita eram muito caros, os livros eram escassos e muito prezados. Talvez os mais preciosos sejam os do Venerável São Beda que nos transmitiu a dança digital científica que durante séculos serviu para a contagem da melodia cósmica e a construção da Cristandade.

***

Leia mais em A Pedagogia Medieval

Leia mais em Rábano Mauro e o Significado Místico dos Números

Leia mais em COMECE POR AQUI: Conheça o Blog Summa Mathematicae

Curta nossa página no Facebook Summa Mathematicae. 

Nossa página no Instagram @summamathematicae e YouTube.

Receba novos posts por e-mail:

Powered by 

O Conceito de Infinito em Plotino

Prefácio de Marsílio Ficino na sua
tradução das Enéadas de Plotino.

RECEBA NOSSAS ATUALIZAÇÕES

DIGITE SEU EMAIL:

Verifique sua inscrição no email recebido.

Tempo de leitura: 17 min.

Texto retirado do LINK.

O Conceito de Infinito em Plotino, por Jose Carlos Fernández

Dedicaremos vários artigos a este opúsculo de Plotino sobre os Números, tal é a sua densidade, e este primeiro sobre a sua noção de infinito ou ilimitado, que é realmente surpreendente.

O filósofo Plotino (203-270 d.C.) revitalizou a herança platónica, abrindo a porta a uma corrente mística e de ideias que iluminou séculos de civilização no Ocidente, em plena queda do Império Romano. Inspirou, também, os Padres da Igreja, sábios e santos durante um milénio e meio.

Arrebatada a sua alma pelo êxtase uma e outra vez, elevada a um empíreo de Ideias (a que chamou Reino da Inteligência), é lógico que os seus textos não sejam fáceis de ler, dada a sua enorme elevação e abstração, longe dos mortais comuns e dos conceitos que elaboramos com as nossas sensações vulgares.

E no entanto, o imperador Juliano sabia as Enéadas quase de memória, Santo Agostinho é devedor delas na maior parte da sua filosofia cristã, o próprio Giordano Bruno na sua teoria do infinito e da contemplação ativa, e centenas de grandes filósofos se esforçaram em penetrar na caverna encantada das suas reflexões como aventureiros que buscam tesouros escondidos.

Porfírio compilou os ensinamentos escritos do seu Mestre em coleções de nove livros chamadas, assim, Enéadas, organizando-as por temas. Dedicou a Sexta Enéada aos temas mais elevados, à metafisica pura, com os seguintes títulos:

• Sobre as Categorias do Ser (I, II e III)
• Sobre a presença do Ser, o Uno e o mesmo, em toda a parte como um todo (I e II)
• Sobre os Números
• Como surgiu a multiplicidade de formas e sobre o Bem
• Sobre o livre arbítrio e a vontade do Uno
• Sobre o Bem e o Uno.

Deste modo, comprovamos que um dos seus pequenos tratados, o sexto da Sexta Enéada é, precisamente sobre os Números.

Na apresentação que Jesus Igal faz deste opúsculo, na edição das Enéadas da Gredos, destaca que Plotino não abandona o terreno metafísico ao falar dos Números. Nos sistemas herméticos, gnósticos, caldeus, zoroastrianos, na própria cabala hebraica e ainda na grega, as especulações sobre os Números estavam ligadas diretamente aos poderes e hierarquias que governam a realidade em todos os planos da consciência. Os Números eram poderes cósmicos, astrológicos, deuses e a base de todo o tipo de encantamento ou invocação mágica ou condensação talismânica. Mas ainda que discípulos de Plotino e outras luminárias neoplatónicas tenham entrado no reino da magia (recordemos por exemplo a Jâmblico ou Máximo de Éfeso) e nos seus ensinamentos abundem explicações sobre os mundos invisíveis e a relação com os Números, Plotino na sua escola em Roma e nas suas Enéadas não o fez. Sabia, talvez, como bom filho do Egito, que estas práticas e meditações deviam ser só para os que teriam entrado no Santuário mais íntimo dos Conhecimentos Sagrados, e nunca para ouvidos ou leitores sem discriminar.

Dedicaremos vários artigos a este opúsculo de Plotino sobre os Números, tal é a sua densidade, e este primeiro sobre a sua noção de infinito ou ilimitado, que é realmente surpreendente.

Deduzimos que, para Plotino, o infinito é a matéria primordial, o oposto da Unidade, em que nasce o Ser. É o caos, a grande dissolução e o fim do real, a sua morte, pois o real é o múltiplo em harmonia de unidade. Quanto mais múltiplo se faz o que existe, mais difícil é para a alma conseguir esta harmonia de unidade, até que já não o consegue, e aí rompe-se em pedaços, e estas “Águas Primordiais” do infinito, sinónimo de morte, desfazem a sua própria existência, negando-a e dissolvendo-a. Na mitologia Egípcia recorda-nos Ra, o grande poder, a unidade da existência, a lutar contra Apap, a matéria primordial que o quer engolir. Toda a vida é uma luta contra essa entropia universal que emana do infinito, a desordem absoluta. Também está refletida no símbolo de NUN, as Águas da Matéria ou Infinito Potencial, embora a filosofia Egípcia em geral diferenciasse o Não Movimento que gerava o Movimento, do Não Movimento que é o fim sem retorno da existência, a absoluta inércia de onde nada pode surgir. Ou seja, haveria uma Infinidade que é a Unidade mesma do Ser e através dele penetra-se no Tudo em Tudo de todos os modos (de Giordano Bruno), em que o Eu humano se converte no Eu de todo o universo, o Nirvana Budista.

E uma infinitude que é a do ilimitado e do espaço em que tudo morre e se desfaz, a infinitude que é a matéria vazia, a que mata a alma e toda a aspiração ao Ideal, o mais além do círculo (Grande Dragão), por exemplo, de Pistis Sofia.

Certamente não é o mesmo o “apeiron” o ilimitado dos pré-socráticos, infinito de onde tudo surge, do conceito do “ilimitado” ou infinito de Plotino.

“É verdade que a multiplicidade é um abandono da unidade e a ilimitação (o infinito) um abandono total por ser uma multiplicidade inumerável, e que por ser o mal enquanto ilimitação, por isso também nós somos maus quando somos multiplicidade? E que cada coisa é múltipla quando, não podendo centrar-se em si mesma, ela derrama e se extende, espalhando-se; e se, no seu derramamento, se vê totalmente privada da unidade, converte-se em multiplicidade, ao não fazer algo que une as suas partes umas às outras. Mas se há algo que, ao mesmo tempo que se vai derramando incessantemente, se faz permanente, converte-se em magnitude.” Plotino, Enéadas

Para Plotino, como para Aristóteles, diferentemente do que pensa a matemática moderna desde o século XIX, o infinito não é um número, mas é o não número, a substância ilimitada que a razão não pode tornar inteligível, ou seja, numerar, ordenar. É certo que desde Cantor com a sua teoria dos transfinitos e dos Aleph, dividiu em classes o próprio infinito matemático, diferenciando o infinito dos que chamamos números Naturais, de, por exemplo, o dos Reais. Mas o debate continua aberto, desde logo no plano filosófico. Na filosofia grega falava-se do “infinito em potência” no sentido de ser dinâmico, ou seja, que sempre podíamos contar um número depois do outro, por muito grande que fosse esse número. Em outras palavras, “infinito” não era um número, mas o fato de que há sempre “além”, na série de números, ou em direção ao infinitamente pequeno ou grande, ou para frente ou para trás no tempo. Multiplicar, somar, dividir, subtrair infinitos, como se fossem números é um absurdo que faz, por exemplo, que nos encontremos com a famosa fórmula de Ramanujan, fácil de demonstrar:

$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … = -\dfrac{1}{12}$$

Perigoso o momento em que convertemos o infinito num “conjunto de” quando esse é precisamente o valor e o significado do número, aquele que limita, aquele que encerra.

“O que se passa, então, no chamado “número do infinito?” Mas primeiro, como pode ser número, se é infinito? Porque nem as coisas sensíveis são infinitas, como tão pouco o será o número associado a elas, nem quem as conta conta um número infinito, mas, mesmo que duplique ou multiplique, a soma é limitada; e mesmo que se tome em conta o futuro, o passado ou ambos, a soma é limitada.

– Talvez, então, não seja simplesmente ilimitado, mas no sentido de que pode sempre aumentá-lo?

– Não, não está no poder do que conta gerar o número: o número já está delimitado e fixo. Na realidade, no mundo inteligível o Número está tão delimitado como o estão os seres: a quantidade do Número é a dos Seres.” Plotino, Enéadas

Mais claro, água. Agora, além disso Plotino diferencia os Números verdadeiros das suas sombras ou simulacros, e como Platão, insinua que os matemáticos, não filósofos, trabalham com as sombras dos números, deduzidos das quantidades, deduzidos das sensações, e não como verdadeiros filhos da inteligência, pois é daí que os Números são os seres infinitamente vivos, perpétuos, inamovíveis, vontade pura, de onde se forjam as leis de tudo o que existe.

“Nós, do mesmo modo que pluralizamos o homem aplicando-lhe uma pluralidade de predicados – o de “belo” e outros –, assim, juntamente com o simulacro de cada ser geramos um simulacro do Número, e multiplicamos os números do mesmo modo que multiplicamos a cidade que não existe assim realmente. (?)” Plotino, Enéadas

E retoma o mistério do ilimitado ou infinito:

“- Mas este ilimitado, como pode ser real se é ilimitado? Porque o que é real e existente já está preso pelo Número.”

E como podemos imaginar, conceber, conhecer o infinito? 

“Mas a infinitude, como concebê-la? Porque a que existe nos Seres já está limitada, não está nos Seres, mas talvez em “aqueles que devêm” [nas suas imagens, pois], como está também no tempo.” Plotino, Enéadas

E agora começa Plotino com uma investigação sobre o infinito de elevado caráter, que nos deixa espantados.

Explicações muito semelhantes às do primeiro capítulo de Cosmogênese da Doutrina Secreta de H.P. Blavatsky (1831-1891) e o famoso poema védico que explica como existia o Universo antes da sua aparição fenomenal, um mar infinito de substância primordial sem nenhum tipo de atributo, definição, lugar, nem qualidade, pura potência e nada de fato.

“Não existia algo nem existia nada;

O resplandecente céu não existia;

Nem a imensa abóbada celeste se extendia no alto.

O que cobria tudo? O que o protegia?

O que o ocultava?

Era o abismo insondável das águas?

Não existia a morte,

mas nada havia imortal.

Não existiam limites entre o dia e a noite.

Só o Uno respirava inanimado e por si,

Pois nenhum outro que Ele jamais houve.

Reinava a escuridão,

e todo o princípio estava velado

Na obscuridade profunda,

um oceano sem luz (…)” Rig Veda

Tendo já determinado completamente que o infinito não é um número, por sua própria natureza ou não natureza, Plotino explica:

“É que, embora esteja limitado, é por isso mesmo ilimitado, pois o que se limita não é o limite, senão o ilimitado, pois entre o limite e o ilimitado – o infinito – não media nenhuma outra coisa que admita caráter de finitude.

Assim, pois, este ilimitado escapa à ideia de limite, pois vê-se preso e cercado desde fora; não escapa, embora, de um lugar a outro, já que também não tem lugar, mas, uma vez capturado, então o lugar surge. E por ele também não é necessário pensar que lhe seja próprio o movimento que chamamos local ou que lhe completa qualquer outro movimento dos que normalmente são enumerados. Em conclusão, não se moverá em absoluto. Mas tão pouco está quieto. De onde, se o “de onde” surgiu posteriormente? Parece, melhor, que o movimento se predica do próprio infinito no sentido de que não é permanente…

– Como poderíamos, pois, conceber o infinito?

– Abstraindo a forma mentalmente.

– E que pensará do infinito?

Que, simultaneamente, é os contrários e os não contrários. Pensará que é grande e pequeno, porque faz-se ambas as coisas, e que é estável e móvel, pois também se torna estas coisas. Mas é evidente que, antes de tornar-se essas coisas, não é nenhuma das duas determinadamente. De contrário, já o terás determinado. “É que, embora esteja limitado, é por isso mesmo ilimitado, pois o que se limita não é o limite, senão o ilimitado, pois entre o limite e o ilimitado – o infinito – não media nenhuma outra coisa que admita caráter de finitude.

Sim, pois é indefinido e é os contrários indefinida e indeterminadamente, poderá apresentar-se-nos como o uno e o outro.

E se te aproximas dele sem colocar-lhe limite algum a modo de rede, escapar-te-á e descobrirás que não é uma única coisa. Se não, já o terás determinado e se te aproximas de uma parte dele como algo uno, aparecerá múltiplo; e se disseres que é múltiplo, de novo te enganarás, porque se cada uma das suas partes não for uma, não será múltiplo a sua de todas.

A sua natureza é esta: enquanto representado como um dos contrários, é movimento; enquanto objeto de representação, é estabilidade; o não poder vê-lo por si mesmo, é movimento e deslizamento fora da inteligência; mas o que não pode escapar-se, mas esteja cercado de fora e não lhe seja permitido avançar, será estabilidade. De modo que não se lhe pode atribuir apenas movimento.” Plotino, Enéadas

Daí a imagem do infinito como um mar sem fronteiras numa respiração incessante, que quando aprisionado na “rede de Thot (o deus egípcio da Inteligência e dos Números)” se vê obrigada a ser suporte para a evolução ou manifestação da vida universal.

***

Leia mais em TCC: Uma breve descrição da ideia de infinito

Leia mais em Matemática: Ciência da Quantidade

Leia mais em COMECE POR AQUI: Conheça o Blog Summa Mathematicae

Curta nossa página no Facebook Summa Mathematicae. Nossa página no Instagram @summamathematicae e YouTube.

Receba novos posts por e-mail:

Powered by 

Uma aula de Matemática no ano 1000

Monges Matemáticos: um ensinando o globo, o outro copiando um
manuscrito, do manuscrito "Imagem do Mundo", ilustração
da Ciência e Literatura na Idade Média e o Renascimento

Tempo de leitura: 22 minutos

Por Ana Catarina P. Hellmeister, IME - USP, publicado pela Revista Professor de Matemática nº 42, no ano 2000, disponível no LINK.

Introdução

Estamos no ano 2000 e uma pergunta que tenho ouvido com freqüência é: como será que era determinada coisa (a medicina, o teatro, a literatura, o ensino, ...) no ano 1000?

Vamos tentar dar alguma idéia de como era o ensino de Matemática, que afinal é o que nos interessa, no ano 1000 e pouco antes dele. Obviamente, este artigo não é, nem de longe, um texto completo sobre o ensino de Matemática na Idade Média, tem apenas a intenção de mostrar alguns de seus aspectos interessantes.

I.  Rosvita

Vamos começar, talvez por feminismo, apresentando Rosvita, uma monja beneditina do convento de Gandersheim, norte de Göttingen, Alemanha, que viveu aproximadamente de 935 a 1002, e é considerada a primeira poetisa da literatura alemã. Ela nasceu, muito provavelmente, em uma família aristocrata e há registros de que seu nome aparece numa gravura esculpida em madeira como Helena von Rossow.

Rosvita ingressou muito jovem no convento de Gandersheim, famoso centro de estudos, onde seu extraordinário talento encontrou abrigo e cultivo criterioso. Inicialmente Rosvita foi orientada por um professor e posteriormente ficou sob a supervisão de uma sobrinha de Otto I (monarca da época) de nome Gerberg, considerada a mulher modelo de seu tempo. Gerberg, que foi abadessa do convento entre 959 e 1001, tinha um interesse especial pela obra poética de Rosvita, a qual, segundo a abadessa, “contribuiria para o engrandecimento da glória de Deus”.

Albretch Dürer, A monja Rosvita apresenta
um livro a Oto I. (Kupferstichkabinett, Berlin)

Não cabe aqui, numa revista para professores de Matemática, discorrer com maiores detalhes sobre a extensa obra literária de Rosvita, uma das mais importantes da Idade Média. Focalizaremos uma em especial, a peça Sabedoria, que contém uma aula de Matemática para jovens estudantes, que, pelo seu espírito motivador e bem-humorado, serviria de exemplo (quem diria, 1000 anos atrás!) para nós, professores, preocupados com o ensino de Matemática.

Antes de comentar a peça em particular, para melhor ligar Rosvita à Matemática, vamos transcrever um trecho do livro Cuentos y cuentas de los matematicos, de Rodriguez Vidal, R. e Rodriguez Rigual, M. C. Editorial Reverte, 1986, pág. 137.

“[...] A idade média na Europa não islâmica limita seus conhecimentos de Matemática aos textos comentados de Alexandria e Bizâncio, sem que apareçam indícios de criação original. Desta época são os escritos de Rosvita, monja de um convento alemão, do século X, mais interessantes como literatura e filosofia do que como Matemática. Entretanto demonstram bom conhecimento da Arithmetica de Boécio e aludem a questões relativas a números deficientes e perfeitos, citando o $6, 28, 496$ e $8128$, que eram os números perfeitos conhecidos na sua época. O número perfeito seguinte é $33 550 336$ [...].”

Há divergências entre os historiadores sobre se as peças teatrais escritas por Rosvita eram mesmo encenadas ou se seriam meros textos didáticos, nada tendo a ver com o teatro. Lembrando que o ensino na Idade Média era ministrado quase que exclusivamente nos mosteiros, sem dúvida, encenados ou não, os textos de Rosvita tinham claros propósitos didáticos, como é possível perceber em Sabedoria, que passamos a transcrever de [3].

Enredo da peça:  

Paixão das santas virgens Fé, Esperança e Caridade. Foram levadas à morte pelos diversos suplícios a que as submeteu o imperador Adriano em presença da sua santa mãe, Sabedoria, que, com seus maternos conselhos, as exortou a suportar os sofrimentos.

Consumado o martírio, sua santa mãe, Sabedoria, tomou de seus corpos e, ungindo-os com bálsamo, deu-lhes sepultura de honra a três milhas de Roma. Ela, por sua vez, no quarto dia, após a oração sacra, enviou também seu espírito ao céu.

Vamos transcrever apenas o trecho da peça que traz a lição de Matemática. Trata-se de um diálogo entre Sabedoria e o imperador Adriano:

Adriano: Dize, que vieste fazer entre nós?
Sabedoria: Nenhuma outra coisa a não ser conhecer a doutrina da verdade para o aprendizado mais pleno da fé que combateis e para consagrar minhas filhas a Cristo.
Adriano: Dize os nomes delas.
Sabedoria: A primeira se chama Fé; a segunda, Esperança; a terceira, Caridade.
Adriano: Quantos anos têm?
Sabedoria: (sussurrando) Agrada-vos, ó filhas, que perturbe com problema aritmético a este tolo?
Fé: Claro, mamãe. Porque nós também ouviremos de bom grado.
Sabedoria: Ó Imperador, se tu perguntas a idade das meninas: Caridade tem por idade um número deficiente que é parmente par; Esperança, também um número deficiente, mas parmente ímpar; e Fé, um número excedente mas imparmente par.
Adriano: Tal resposta me deixou na mesma: não sei que números são!
Sabedoria: Não admira, pois, tal como respondi, podem ser diversos números e não uma única resposta.
Adriano: Explica de modo mais claro, senão não entendo.
Sabedoria: Caridade já completou $2$ olimpíadas; Esperança, $2$ lustros; Fé, $3$ olimpíadas.
Adriano: E por que o número $8$, que é $2$ olimpíadas, e o $10$, que é $2$ lustros, são números deficientes? E por que o $12$ que completa $3$ olimpíadas se diz número excedente?
Sabedoria: Porque todo número cuja soma de suas partes (isto é, seus divisores) dá menor que esse número chama-se deficiente, como é o caso do $8$. Pois os divisores de $8$ são: sua metade – $4$, sua quarta parte – $2$, e sua oitava parte – $1$; que somados dão $7$. Assim também o $10$, cuja metade é $5$; sua quinta parte é $2$; e sua décima parte, $1$. A soma das partes do $10$ é, portanto, $8$, que é menor que $10$. Já o contrário se diz número excedente, como é o caso do $12$. Pois sua metade é $6$; sua terça parte, $4$; a quarta parte, $3$; a sexta parte, $2$; e a duodécima parte, $1$. Somadas as partes dão $16$.
Quando porém o número não é maior nem menor que a soma de suas diversas partes, então esse número é chamado número perfeito.
É o caso do $6$, cujas partes – $3, 2$ e $1$ – somadas dão o próprio $6$. Do mesmo modo, o $28, 496$ e $8128$ também são chamados números perfeitos.
Adriano: E quanto aos outros números?
Sabedoria: São todos excedentes ou deficientes.
Adriano: E o que é um número parmente par?
Sabedoria: É o que se pode dividir em duas partes iguais e essas partes em duas iguais, e assim por diante até que não se possa mais dividir por $2$ porque se atingiu o $1$ indivisível. $8$ e $16$, por exemplo, e todos que se obtenham a partir da multiplicação por $2$ são parmente pares.
Adriano: E o que é parmente ímpar?
Sabedoria: É o que se pode dividir em partes iguais, mas essas partes já não admitem divisão (por $2$). É o caso do $10$ e de todos os que se obtêm multiplicando um número ímpar por $2$. Difere, pois, do tipo de número anterior, porque, naquele caso, o termo menor da divisão é também divisível; neste, só o termo maior é apto para a divisão.
No caso anterior, tanto a denominação como a quantidade são parmente pares; já aqui, se a denominação for par, a quantidade será ímpar; se quantidade for par, a denominação será ímpar.
Adriano: Não sei o que é isto de denominação e quantidade.
Sabedoria: Quando os números estão em “boa ordem”, o primeiro se diz menor e o último, maior. Quando, porém, se trata da divisão, denominação é quantas vezes o número se der. Já o que constitui cada parte, é o que chamamos quantidade.
Adriano: E o que é imparmente par?
Sabedoria: É o que – tal como o parmente par – pode ser dividido não só uma vez, mas duas e, por vezes, até mais. No entanto, atinge a indivisibilidade (por $2$) sem chegar ao $1$.
Adriano: Oh! Que minuciosa e complicada questão surgiu a partir da idade destas menininhas!
Sabedoria: Nisto deve-se louvar a supereminente sabedoria do Criador e a Ciência admirável do Artífice do mundo: pois não só no princípio criou o mundo do nada, dispondo tudo com número, peso e medida; como também nos deu a capacidade de poder dispor de admirável conhecimento das artes liberais até mesmo sobre o suceder-se do tempo e das idades dos homens.

Observem que os números parmente pares são as nossas potências de $2$, os parmente ímpares são aqueles que são o dobro de um ímpar; os imparmente pares são os produtos de um ímpar por um parmente par. Denominação e quantidade são os atuais quociente e divisor.

Uma fala de Sabedoria que também chama atenção é sua afirmativa de que todos os números, além de $6, 28, 496$ e $8128$, são excedentes ou deficientes. Isso mostra o desconhecimento, por parte dos estudiosos da época da obra os Elementos de Euclides, que contém, no livro IX, a demonstração de que qualquer número da forma $2^{n-1}(2^n -1)$ é perfeito se $2^n - 1$ for primo. Com esse resultado, já para $n=13$, obtém-se  o próximo perfeito que é o número $33 550 336$.  Essa perda de contato com os ensinamentos de Euclides ficará bastante evidente nos problemas de geometria da seção a seguir.

II.  Já existia Educação Matemática no século VIII  

Ainda para mostrar que na Idade Média se entendia de ensino de Matemática, voltemos um pouco no tempo mudando o século e os personagens.

É extremamente interessante a seleção de Problemas para aguçar a inteligência dos jovens, encontrada em Patrologiae cursus completus, séries latina, atribuída a Beda, qualificado de O Venerável, que nasceu e viveu na Inglaterra entre  673  e  735,  tornando-se um dos maiores professores das escolas religiosas medievais. As soluções apresentadas também estão em Patrologiae cursus completus, séries latina (ver [3]) e são algumas atribuídas a Beda e outras a Alcuíno (séculos VIII-IX).

Os enunciados dos problemas traduzem bem a cultura popular da época, com a pouca Matemática que se conhecia apresentada e ensinada de modo atraente e bem-humorado, privilegiando o desenvolvimento da inteligência dos alunos, como pretendemos fazer hoje. Também já contemplavam a idéia hoje muito difundida de usar situações do cotidiano como motivadores do aprendizado.

Vejamos, então, alguns dos problemas da seleção de Beda, encontrados em [3], que certamente surpreenderão muitos dos leitores que acreditam que certos problemas e soluções são de épocas mais recentes.

1. Problema do lobo, da cabra e da couve: Certo homem devia passar, de uma a outra margem de um rio, um lobo, uma cabra e um maço de couves. E não pôde encontrar outra embarcação, a não ser uma que só comportava dois entes de cada vez, e ele tinha recebido ordens de transportar ilesa toda a carga. Diga, quem puder, como fez ele a travessia?

Solução: Não apresentamos a solução por ser bem conhecida, pois esse problema é proposto até hoje em diferentes versões. O surpreendente é que seja tão antigo.

2. Problema do boi: Um boi que está arando todo o dia, quantas pegadas deixa ao fazer o último sulco?

Solução: Nenhuma em absoluto. Pois o boi precede o arado e o arado segue o boi; e, assim, todas as pegadas que o boi faz na terra trabalhada, o arado as apaga. E, deste modo, não se encontrará no último sulco nenhuma pegada.

Este problema mostra bem o espírito brincalhão da época.

3. Problema da escada de 100 degraus: Numa escada de $100$ degraus, no 1º degrau está pousada $1$ pomba; no 2º, $2$; no 3º, $3$; no 4º, $4$; no 5º, $5$; e assim em todos os degraus até o 100º. Diga, quem puder, quantas pombas há no total?

Solução: Calcule-se assim: tome a pomba do 1º degrau e some-a às $99$ do 99º, o que dá $100$. Do mesmo modo, as do 2º com as do 98º somam $100$. E assim degrau por degrau, juntando sempre um de cima com o correspondente de baixo, e obterá sempre $100$. Some-se tudo junto com as $50$ do 50º degrau e as $100$ do 100º degrau que ficaram de fora, e obter-se-á $5 050$.

Reconhecem aqui os leitores a famosa solução de Gauss, aos sete anos de idade, respondendo ao problema de somar  $1 + 2 + ... + 100$?

4. Problema dos dois caminhantes que viram cegonhas: Dois homens andando pelo caminho viram cegonhas e disseram entre si: Quantas são? E, contando-as, disseram: Se fossem outras tantas, e ainda outras tantas; e, se somasse metade de um terço do que deu e ainda se acrescentassem mais duas, seriam $100$. Diga, quem puder, quantas cegonhas foram vistas por eles inicialmente?

Solução: $28$. Pois $28$ com $28$ e $28$ dá $84$. Metade de um terço, $14$, que somado com $84$, dá $98$, que, acrescido de $2$, resulta $100$.

5. Problema do comprador: Disse certo negociante: Quero com $100$ denários comprar $100$ suínos; mas cada porco custa $10$ denários, cada leitoa, $5$, e cada $2$ porquinhos, $1$ denário. Diga, quem entendeu, quantos porcos, leitoas e porquinhos devem ser comprados para que o preço seja exatamente $100$ denários, nem mais nem menos?

Solução: $9$ leitoas e $1$ porco custam $55$ denários e $80$ porquinhos, $40$. Já temos $90$ suínos por $95$ denários. Com os restantes $5$ denários compram-se $10$ porquinhos.

6. Problema da tela: Tenho uma tela de $100$ cúbitos de comprimento e de $80$ de largura. Quero daí fazer telinhas de $5$ por $4$. Diga pois, ó sabido, quantas telinhas podem-se fazer?

Solução: De $400$, $5$ é a octogésima parte e $4$, a centésima parte. Seja $80$ multiplicado por $5$, ou $100$ por $4$, sempre encontrará $400$.

Problemas como o  $4$, $5$ ou $6$ eram resolvidos sem equações, incógnitas, etc., recursos desconhecidos na época, mas por processos de tentativa. É interessante observar que esse procedimento medieval é bastante recomendado pelos educadores de hoje para incentivar o raciocínio e a criatividade dos estudantes.

O problema a seguir mostra que as soluções obtidas por tentativa nem sempre eram completas, deixando de lado alternativas válidas.

7. Certo pai de família tinha $100$ dependentes, a quem mandou distribuir $100$ medidas de provisões do seguinte modo: que os homens recebessem $3$ medidas; as mulheres, $2$; e as crianças, meia. Diga, quem for capaz, quantos homens, mulheres e crianças eram?

Solução: $11$ vezes $3$ dá $33$; $15$ vezes $2$, $30$; $74$ vezes meio, $37$. $11$ vezes mais $15$ mais $74$ é $100$; e, do mesmo modo, $33$ mais $30$ mais $37$.

Hoje, usando equações e incógnitas, faríamos:

$h$: número de homens.
$m$: número de mulheres.
$c$: número de crianças

Então, 

$h + m + c = 100$
$3h + 2m + c/2 = 100$

que implica $100 = 5h + 3m$, que fornece as soluções:

$h=20, \ \ m= 0, \ \ c=80$  
$h=17, \ \ m=5, \ \ c=78$ 
$h=14, \ \ m=10, \ \ c=76$  
$h=11, \ \ m=15, \ \ c=74$  
$h=8, \ \ m=20, \ \ c=72$  
$h=5, \ \ m=25, \ \ c=70$  
$h=2, \ \ m=30, \ \ c=68$  

Os problemas 8 e 9 a seguir mostram, em suas soluções incorretas, as deficiências da época em questões de geometria, denunciando o desconhecimento dos resultados da escola grega.

8. Problema do campo triangular: Um campo triangular mede de um lado $30$ pérticas, de outro também $30$ e de frente $18$. Diga, quem puder, quantos aripenos [um aripeno eqüivale a $144$ “pérticas quadradas”] compreende?

Solução: Os dois lados de $30$ somados perfazem $60$, cuja metade é $30$ que multiplicado por $9$ (que é a metade de $18$) dá $270$ (que é o cálculo da área em “pérticas quadradas”). Para expressar a área em aripenos é necessário dividir por $144$, etc.

Observem que no cálculo da área do triângulo a medida da altura relativa a um dos lados era substituída erroneamente pela média das medidas dos outros dois lados.

9. Problema do campo circular: Quantos aripenos tem um campo circular de $400$ pérticas de circunferência.

Solução: A quarta parte de $400$ é $100$; $100$ multiplicado por $100$ dá $10 000$, que é a área. Para expressar em aripenos, divide-se por $144$, etc.

Aqui a área do círculo seria dada por $\bigg(\dfrac{2\pi r}{4} \bigg)^2 = \dfrac{\pi}{4}\pi r^2$, que embute um aproximação de $\pi$ por $4$, que é bastante grosseira.

Os progressos nos textos geométricos, na Idade Média, só se iniciaram com Gerberto (950-1003) mas aí já é uma outra história...

Referências bibliográficas:

[1]   Eves, H. E. An introduction of the History of Mathematics. New York: Holt, Rinchart and Winston, Inc. [publicado pela Editora Unicamp com o título Introdução à História da Matemática].
[2]   Boyer, C. B. História da Matemática. São Paulo: Editora Edgar Blucher, 1996.
[3]   Lauand, L. J. Educação, teatro e Matemática Medievais. São Paulo: Editora Perspectiva., 1986.
[4]   Internet:

• The Catholic Enciclopedia – Hroswitha.
• Roswitha # 2/2 by Julio Gonzalez Cabillon

***

Leia mais em A divisão da Aritmética - por Boécio

Leia mais em A Matemática de S. Isidoro de Sevilha e a Educação Medieval

Leia mais em Uma Enciclopédia Matemática esquecida na História

Leia mais em A incrível história do papa matemático

Leia mais em COMECE POR AQUI: Conheça o Blog Summa Mathematicae

Curta nossa página no Facebook Summa Mathematicae. Nossa página no Instagram.

Receba novos posts por e-mail:

Powered by 

Sobre as origens da Matemática Clássica

 

Retrato de Luca Pacioli - 1495
por Jacopo de Barbari

Tempo de leitura: 1h 20 min.

Texto retirado da Introdução da tese de doutorado A "De Divina Proportione" de Luca Pacioli - Tradução anotada e comentada, feita por Fábio Maia Bertato, 2008.

Luca Pacioli e a "Querela da Perspectiva": As Classificações das Matemáticas da Antigüidade Clássica ao fim do Quattrocento [16]. 

Muitas foram as classificações das ciências ao longo da história. Até hoje, discute-se um critério de demarcação que permita discernir o que deve e o que não deve chamar-se ciência e como distingui-la quanto a sua natureza.

No mundo medieval, os ramos do conhecimento que formavam a base da educação do indivíduo consistiam das chamadas Artes Liberales. Estas serviam para a formação do homem livre (lat. liber), em contraste com as Artes Liberales, cultivadas com fins econômicos.

As artes liberais podem ser divididas em dois grupos: o Trivium (ou Artes Sermocinales ou triviales) e o Quadrivium (ou Artes Reales ou Physicae, ou ainda quadriviales). O Trivium, que significa “cruzamento de três caminhos”, era constituído pela Gramática, Retórica e Dialética (ou Lógica), artes consideradas mais elementares. As disciplinas matemáticas Aritmética, Geometria, Astronomia e Música compunham o Quadrivium, que por sua vez significa “cruzamento de quatro caminhos”. As artes do Quadrivium eram consideradas intermediárias, sendo o objetivo final a aquisição de uma forma de conhecimento superior, através da Filosofia e da Teologia. São bem conhecidos os versos mnemônicos de circulação medieval, que resumem as funções das Artes Liberais:

Gram loquitur, Dia verba docet, Rhet verba colorat,

Mus canit, Ar numerat, Geo ponderat, Ast colit astra

(LEWIS,1994, p. 186). [17]

Naturalmente, qualquer classificação dos ramos do saber, a despeito de sua grande influência, não poderia ser unanimemente aceita. Frà Luca Pacioli (1445 – 1517?), no epicentro do advento da Perspectiva Linear, defendia a inclusão desta nas artes do Quadrivium:

“Porém, nosso juízo, ainda que baixo e incapaz, reduzem-nas a três ou cinco, isto é, Aritmética, Geometria e Astronomia, excluindo-se destas a Música, por tantas razões quanto as que eles dão para excluírem das cinco a Perspectiva, ou agregando esta às quatro, por tantas razões quanto são as que agregam às nossas três a Música. [...] Estimo que tantos sábios não devam estar errados, porém, apesar de seus dizeres, minha ignorância não cede” (PACIOLI, 1498, f.VIIIIv – Xr) [18].

Em uma curiosa mescla de teimosia intelectual e humildade franciscana, as palavras de Pacioli nos introduzem em uma disputa acerca do status da Perspectiva e da Pintura em fins do Quattrocento, da qual participou também seu amigo Leonardo Da Vinci (1452 - 1519). Dentre várias considerações a serem realizadas no estudo do Renascimento, não é de se desprezar dois marcos, a saber, o retorno à Antigüidade e o desenvolvimento da Perspectiva como interpretação da realidade.

O objetivo deste capítulo é apresentar a discussão de Luca Pacioli sobre a relevância da Perspectiva como disciplina matemática. Iniciamos com uma breve história do Quadrivium, sua origem, seu desenvolvimento e seu estabelecimento.

1 - Antigüidade Clássica

Denominamos por Antigüidade Clássica a civilização grego-romana existente entre os séculos VI a.C. e V d.C. Poderíamos dizer, em linhas gerais, que o mundo grego desenvolveu um modelo de cultura e de reflexão intelectual que foi absorvido pelos romanos e que, consequentemente, muito influiu em caracterizações gerais da civilização ocidental.

O classicista alemão Werner Jaeger chega a afirmar que “por muito elevadas que julguemos as realizações artísticas, religiosas e políticas dos povos anteriores, a história daquilo que podemos com plena consciência chamar de cultura só com os Gregos começa” [19]. (JAEGER, s/d , p.4). Bertrand Russel, afirma “Philosophy and science as we know them are Greek inventions. The rise of Greek civilization which produced this outburst of intellectual activity is one of the most spectacular events in history. Nothing like it has ever occurred before or since” (RUSSELL, 2003, p. 20). Não discutiremos tais asserções, mas elas evidenciam a importância dada aos desenvolvimentos obtidos pelos gregos, por considerável número de autores.

A seguir, faremos um breve estudo sobre alguns termos empregados pelos gregos para designar os tipos de conhecimento relacionados com sua matemática.

1.1 - Τέχνη καὶ ἐριστήμη (Téchne e Epistéme)

Costuma-se traduzir a palavra grega τέχνη (téchne) por “arte”, mas, dentre suas outras acepções, poderíamos destacar “arte manual”, “indústria”, “ofício”, “conhecimento teórico” e “método”. Téchne denotava uma habilidade manual ou uma habilidade do espírito, um ramo do conhecimento, uma ciência prática. Ἐπίστήμη (Epistéme), por sua vez, também poderia ser traduzida por “arte” ou ainda por “habilidade”, “conhecimento”, “saber” ou “ciência”. Se téchne é a ciência prática, epistéme é a ciência teórica, o conhecimento verdadeiro, em oposição à opinião (δόξα) irrefletida (cf. PLATÃO, Republica V, 477b). Como é bem sabido, é difícil dar uma definição precisa desses termos, pois, a semântica depende do período estudado, do autor considerado e da evolução de seu pensamento. Entre epistéme e téchne existe uma relação íntima e também um contraste fundamental, ora são utilizados sem distinção, ora com sentido diverso (cf. PARRY, 2003).

Aristóteles faz uma clara distinção entre as epistémai e as téchnai em sua Ética a Nicômaco, ainda que tal distinção não seja sempre observada na totalidade de sua obra. Juntamente com a φρόνησις (phrónesis, prudência), a σοφία (sophia, sabedoria) e a νοῦς (noûs, razão pura), outras atividades derivadas da racionalidade da alma constituem as chamadas virtudes intelectuais. As téchnai estão mais próximas da experiência, não focalizam o conhecimento em si, são atividades sobre o que é não-necessário. Ocupam-se da reprodução de conhecimentos verificáveis empiricamente, sem a busca por explicações, isto é, as téchnai estão voltadas para a produção (ποίησις, poiésis), não sendo em si e por si um fim. As epistémai voltam-se para o conhecimento do universal, do necessário, do absoluto, buscam a causa para melhor compreender e operam com a demonstração.

Em geral, considera-se que, para os gregos, havia certa identificação entre ciência e filosofia. Portanto, ao tratarmos da divisão das ciências, na cultura helênica, tratamos também da divisão da filosofia.

1.2 - Μαθηματική (Mathematiké) e as origens do Quadrivium

A palavra grega μαθήματα (mathémata), que costuma ser traduzida por “matemática”, é o plural de μάθημα (máthema), que poderia ser traduzida por “estudo”, “ciência” ou “conhecimento”. Essas palavras estão relacionadas com o verbo μανθάνω (mantháno, “aprender”, “estudar”, “instruir-se”) e com μαθηματικός (mathematikós, “que se dá ao estudo”). Em Platão, o termo máthema é empregado em um sentido muito mais amplo, para qualquer objeto de estudo ou instrução. Segundo Sir Thomas Heath, “the words μαθήματα and μαθηματικός do not appear to have been definitely appropriated to the special meaning of mathematics and mathematicians or things mathematical until Aristotle’s time” (HEATH, 1981, p.10).

Em um fragmento atribuído a Arquitas de Tarento (c. 428 - c. 347 a.C.), filósofo-rei amigo de Platão, encontra-se o emprego do termo mathémata no sentido de ciências matemáticas (cf. verbete μάθημα em LIDDELL, 1940):

“Let us now cite the words of Archytas the Pythagorean, whose writings are said to be mainly authentic. In his book On Mathematics right at the beginning of the argument he writes thus:

“The mathematicians seem to me to have arrived at true knowledge, and it is not surprising that they rightly conceive the nature of each individual thing; for, having reached true knowledge about the nature of the universe as a whole, they were bound to see in its true light the nature of the parts as well. Thus they have handed down to us clear knowledge about the speed of the stars, and their risings and settings, and about geometry, arithmetic and sphaeric, and, not least, about music; for these studies [μαθήματα] appear to be sisters” (THOMAS, 1991, p. 5) [20].

Neste trecho do chamado Fragmento 1 (Frag. 1), Arquitas lista quatro ciências (mathémata), a saber, geometria, aritmética, astronomia (esférica) e música, configurando, dessa maneira, o mais antigo testemunho da existência de um quadrivium pitagórico [21]. Como veremos, o programa de formação do filósofo apresentado na República de Platão, reflete a classificação das mathémata apresentada por Arquitas. É de se notar que, nessa obra, Sócrates fale sobre a Astronomia e a Harmonia como irmãs, em explícita referência aos Pitagóricos (PLATÃO, Republica, VII, 530d). Paul Shorey considera que o Frag. 1 é uma cópia desse trecho da República (PLATÃO, 1969).

Santo Anatólio de Alexandria (séc. III d. C.), afirma que os Pitagóricos foram os primeiros a empregar o termo μαθηματική (mathematiké, feminino de mathematikós), exclusivamente para a geometria e a aritmética [22]:

“Why is mathematics [μαθηματική] so named?

“The Peripatetics say that rhetoric and poetry and the whole of popular music can be understood without any course of instruction, but no one can acquire knowledge of the subjects called by the name of mathematics unless he has first gone through a course of instruction in them; and for this reason the study of these subjects was called mathematics. The Pythagoreans are said to have given the special name mathematics [μαθηματική] only to geometry and arithmetic; previously each had been called by its separate name, and there was no name common to both” (THOMAS, 1991, p. 3).

Parece razoável que o uso de mathematiké, para designar as ciências matemáticas, seja devido à escola de Pitágoras, já que como nos relatam Porfírio (c. 234 – c. 305 d.C.) e Jâmblico (c. 245 - c. 325 d.C.), seus discípulos eram divididos em dois grupos: os μαθηματικοί (mathematikoí), que aprendiam uma versão mais elaborada da doutrina, e os ἀκουσματικοί (akousmatikoí, derivado de ἀκούω “ouvir”), que eram discípulos exotéricos, que somente podiam ouvir os ensinamentos de Pitágoras, sem vê-lo (cf. PORFÍRIO, 1816, p. 68; JÂMBLICO, 1989, p. 35; MCKIRAHAN, 1994, p. 89 - 91).

Outro testemunho, um pouco mais tardio, desta classificação pitagórica, bem como a existência de outras classificações das matemáticas, podem ser encontrados na obra de Proclus (412 – 485 d.C.). Citemos um trecho de seu Comentário ao Livro 1 dos Elementos de Euclides:

“The Pythagoreans considered all mathematical sciences to be divided into four parts: one half they marked off as concerned with quantity (ποσόν), the other half with magnitude (πηλίκον); and each of these they posited as twofold. A quantity can be considered in regard to its character by itself or in its relation to another quantity, magnitudes as either stationary or in motion. Arithmetic, then, studies quantity as such, music the relations between quantities, geometry magnitude at rest, spherics magnitude inherently moving” (PROCLUS, 1992, p. 29 F 30).

“But others, like Geminus, think that mathematics should be divided differently [...]” (PROCLUS, 1992, p. 31).

De acordo com Proclus, o estóico Geminus (c. 10 a.C. – c. 60 d.C.) considera, em sua divisão das matemáticas, por um lado, as ciências concernentes com as coisas inteligíveis, Aritmética e Geometria e, por outro, as concernentes com as coisas sensíveis, Mecânica, Astronomia, Ótica, Geodésia, Canônica e Logística (cf. TANNERY, 1887, p. 38 - 52). Anatólio faz a mesma classificação (cf. THOMAS, 1991, p. 19 e TANNERY, 1887 p. 42 - 43).

1.3 - Platão

Platão, em sua obra Político, divide a ciência (epistéme) em πρακτική (praktiké), que é a prática ou ciência da ação, como a arquitetura, e γνωστική (gnostiké), que é a ciência do conhecer ou teórica, como a aritmética [23]. Poderíamos considerar essa a sua divisão da ciência. Todavia, como observam alguns autores, Platão não apresenta em seus escritos uma divisão da Filosofia de forma explícita e, a partir de testemunhos mais antigos, seu sistema pode ser dividido em três partes: Dialética, a ciência da Idéia em si; Física, o conhecimento da Idéia como incorporada no mundo dos fenômenos, e a Ética, ou ciência da Idéia incorporada na conduta humana e na sociedade humana (TURNER, 1911; PECK, 1898; SCHWGLER, 1856, p.82-83). Para Platão, as matemáticas compunham a propedêutica à Filosofia.

“Ninguém desprovido de geometria pode entrar” [24]. Diz-se que esta célebre sentença estava escrita no pórtico de entrada da Academia de Platão. Tal exigência serve para ilustrar a bem conhecida importância dada por Platão às matemáticas, em particular à Geometria, visto que “Deus sempre geometriza” [25]. Verifica-se no curriculum de formação dos filósofos-governantes (Guardiões), proposto por Platão no Livro VII da República, o papel fundamental das matemáticas. O objetivo de seu programa era o preparo do espírito para o cultivo da Dialética, cujo fim é o conhecimento do Bem (cf. 533b-e). Os futuros governantes deveriam ter um conhecimento exato das matemáticas, que muito acima de sua utilidade, na guerra por exemplo, facilitariam a passagem da alma da mutabilidade à verdade e à essência (cf. 525c), reavivando um órgão, cuja salvação importa mais do que mil órgãos da visão (cf. 527e).

Eis a seqüência de estudos (mathemáta) aos quais os Guardiões, entre vinte e trinta anos de idade, deveriam se dedicar após dois anos de formação em Música e Ginástica (II, 376e): Aritmética (522c) [26], Geometria (526c), Estereometria (528a), Astronomia (528e) e Harmonia [27] (530d). Temos aqui os mesmos componentes (téchnai) do ulteriormente chamado Quadrivium, com um acréscimo, a Estereometria. Se considerarmos que a geometria dos sólidos já havia sido estudada pelos pitagóricos, por Demócrito (c. 460 a.C. – c. 370 a.C.) e outros, a distinção entre a Geometria e a Estereometria torna-se apenas uma formalidade, para evidenciar os poucos avanços realizados, na época, nesta “nova ciência” (cf. HEATH, 1981, p. 12). Com efeito, podemos averiguar a incorporação da Estereometria à Geometria, realizada por Platão em sua obra Leis (VII, 817e):

“Then there are, of course, still three subjects [τρία μαθήματα] for the freeborn to study. Calculations and the theory of numbers form one subject; the measurement of length and surface and depth make a second; and the third is true relation of the movement of the stars one to another” (THOMAS, 1991, p. 21).

Além de corroborar com a veracidade da conclusão sobre a Geometria como ciência do plano e dos sólidos, este trecho é mais um exemplo que pode reforçar o emprego da palavra mathémata no sentido tratado na seção 1.2. Segundo Heath, a preeminência dada às matemáticas, no esquema educacional platônico, pode ter encorajado o hábito de tratá-las por mathémata (HEATH, 1981, p. 10). Nota-se também a particularidade de tais assuntos serem explicitamente classificados como objetos de estudo de homens livres, concordando com a concepção de artes liberais já mencionada.

Segundo Jaeger, foram os sofistas que incluíram as mathémata, identificadas com o Quadrivium, na mais alta cultura grega (JAEGER, s/d, p. 341). É difícil saber de que forma Platão as recebeu, o que sabemos realmente é que, outros já as expuseram como fundamentais na educação [28]. Protágoras, no diálogo de Platão que recebe seu nome, expõe a educação proposta por outros sofistas, contra a sua baseada na arte da política, para formar bons cidadãos:

“For Hippocrates, if he comes to me, will not be treated as he would have been if he had joined the classes of an ordinary sophist. The generality of them maltreat the young; for when they have escaped from the arts [τήχναι] they bring them back against their will and force them into arts [τήχναι], teaching them calculation [λογισμός], astronomy and geometry and music” (PLATÃO, Protagoras, 318d-e).

O classicista escocês James Adam considera este trecho como um registro do uso do termo “arte” (téchne) aplicado por excelência ao Quadrivium, no tempo de Platão. Segundo ele, as artes propedêuticas de Platão, apresentadas na República, são essencialmente as mesmas do Quadrivium medieval (ADAM, 1901, p. 220).

1.4 - Aristóteles

“Todos os homens desejam por natureza o saber” [29]. É com essa sentença que Aristóteles inicia a sua Metafísica. Segundo o Estagirita, pela admiração teve início o filosofar [30] e, por esse desejo natural de saber, juntamente com o ócio de homens livres, os sacerdotes egípcios se admiraram com certos fenômenos celestes e da sua busca por explicações nasceram as artes (téchnai) matemáticas [31]. É sobre sua autoridade (não exclusivamente) que aqueles que o chamam de o Filósofo se baseiam ao iniciar uma obra, durante o Medievo e Renascimento [32].

A divisão do saber ou classificação das atividades intelectuais de Aristóteles é constituída por três grupos [33]:

• Poiéticas ou produtivas (ποιητικαί, poietikai), que estudam as obras da inteligência produzidas com materiais preexistentes (objetos e obras de arte): poética, retórica e lógica;
• Práticas (πρακτικαί, praktikai), que investigam a ação do homem em suas diversas formas: ética, política e economia;
• Ciências teóricas ou especulativas (θεωρετικαί, theoretikai), as mais elevadas, se ocupam dos princípios da existência e à especulação: matemática, física e ciência primeira (metafísica ou teologia) [34].

Aristóteles estabelece uma hierarquia entre as ciências em que as especulativas têm primazia [35] e, como podemos ver, em sua classificação, a matemática é uma ciência especulativa [36].

1.5 Artes Liberais

O grande apreço dos gregos pelas atividades puramente intelectuais, conduziu-os a um certo desprezo pelas atividades manuais. Esse contraste resultou em uma classificação do saber amplamente aceita na Antigüidade, naquelas que os romanos denominaram “artes liberales” e “artes vulgares” [37]. Como observa Władysław Tatarkiewicz, a distinção entre elas apareceu muito cedo, tornando impossível determinar seu autor (TATARKIEWICZ, 1963 – p. 233). Podemos considerar que havia uma equivalência de acepções entre os termos epistéme e téchne dos gregos e a scientia (“ciência”) e ars (“arte”) dos latinos, respectivamente (cf. LEWIS & SHORT, 1879; KRISTELLER, 1951, 498).

Galeno (c. 129 – c. 216), em sua obra Protrepticus, considera a Medicina, a Retórica, a Música, a Geometria, a Aritmética, a Filosofia, a Astronomia, a Literatura e a Jurisprudência como “artes veneráveis”, em contraposição com as “artes desprezíveis”, dependentes de trabalho manual. Galeno afirma, hesitante, que a pintura e a escultura também poderiam ser consideradas como pertencentes a primeiro grupo (GALENO, 1930, Protrepticus, 14).

O registro mais antigo do emprego de “artes liberales” pode ser encontrado na obra de Cícero (106 a.C. – 43 a.C.), particularmente em De Oratore, onde contrasta as artes que são dignas do homem livre (“artes quae sunt libero dignae”) com as artes servis (“artes serviles”) (CÍCERO, 1830, p. 35, De Oratore, III, 16). Como liberais, Cícero enumera a Geometria, a Literatura, a Poesia, a Ciência Natural, a Ética e a Política, todavia, não fornece uma lista completa.

Às artes liberales e vulgares, Sêneca (4 a.C. - 65 d.C), baseado em Posidonius (c. 135 a.C. - 51 a.C.), acrescenta as “artes pueriles”, destinadas a instrução, e as “artes ludicrae”, destinadas à diversão (SÊNECA, 1842, p. 438, Epistolae Morales, XIII, 3). Sêneca ainda inclui entre as Artes Liberais a Medicina e nega o mesmo status à Pintura e à Escultura:

“I will not be induced to admit that painters or sculptors practise a liberal art, or the other ministers of luxury” (SÊNECA, 1842, p. 436, Epistolae Morales, XIII, 3) [38].

É de se notar que os romanos não tinham a mesma admiração pelas matemáticas que os gregos, pois aqueles estavam mais interessados no cultivo da “Humanitas”, em especial, da Gramática e da Retórica. Outro fato a se observar é que no latim tardio, mathematicus era empregado em um sentido vulgar, significava adivinho, astrólogo, mago (cf. STO AGOSTINHO, De Genesi ad Litteram, II, xvii, 37).

A organização definitiva das Artes Liberais nasce da obra do enciclopedista pagão Marciano Capella (séc. V), ainda que classificações semelhantes das artes tenham sido realizadas antes. Nos dois primeiros livros de sua obra De Nuptiis Philologiae et Mercurii et de septem Artibus liberalibus libri novem, Capella apresenta alegoricamente as sete Artes Liberais como virgens à noiva Filologia e, nos sete livros seguintes, trata particularmente de cada uma delas.

2. Idade Média e os "Sete Pilares da Sabedoiria" [39]

Como herdeiros das teorias elaboradas pelos antigos, podemos dizer que, com relação à divisão do saber, os autores medievais seguiam duas grandes tradições: a que denominamos platônica divide a Filosofia em Física, Ética e Lógica, e a que denominamos aristotélica divide a Filosofia em Teórica, Prática e Poiética.

Na De institutione arithmetica de Boécio (c. 480 – c. 524) encontramos o primeiro registro do uso do termo “Quadrivium”, distinguindo a Aritmética, a Geometria, a Música e a Astronomia, como indispensáveis para a aquisição do saber (“sapere”), que é ao mesmo tempo um conhecimento intelectual e prático:

“Se o investigador carece dessas quatro partes, não poderá encontrar o que é verdadeiro, e sem essa especulação da verdade nada pode ser retamente sabido [...] Este, pois é o Quadrivium” (BOÉCIO, 1867, p.9, De institutione arithmetica, I, 1) [40].

Foi Cassiodoro (c. 485 – c. 585), discípulo e amigo de Boécio, quem incorporou as Artes Liberais nos estudos dos monges, nas obras Institutiones divinarum et saecularum litterarum e De artibus ac disciplinis liberalium litterarum. Santo Isidoro de Sevilha (560 - 636) definiu-as, em suas Etymologiae [41], da seguinte maneira:

“Sete disciplinas compõem as Artes Liberais. A primeira é a Gramática, o conhecimento da língua. A segunda é a Retórica, que pelo brilho e abundância de sua eloqüência é considerada necessária sobretudo nas questões civis. A terceira é a Dialética, conhecida também como Lógica, que separa nas disputas mais sutis o verdadeiro do falso. A quarta é a Aritmética, que contém as relações dos números e sua divisão. A quinta é a Música, que consiste na arte do poema e do canto. A sexta é a Geometria, que compreende as medidas e dimensões da terra. A sétima é a Astronomia, que contém as leis dos astros” (ISIDORO, Etymologiae, I, 2) [42].

Isidoro afirma que, segundo alguns autores, pode ser considerado ars aquilo que consiste das regras e dos preceitos de uma arte [43] e disciplina uma ciência completa [44]. Também atribui a Platão e Aristóteles a seguinte distinção: tem-se ars quando se trata de algo verossímil ou opinável e disciplina, quando algo é discutido com argumentações verdadeiras sobre coisas que não podem se comportar de outra maneira. Tais definições são encontradas nas obras de Cassiodoro, com referências a outros autores como Santo Agostinho e Capella (cf. CASSIODORO, Institutiones, II, 2, 17; II, 3, 20).

Hugo de São Vítor (1096 - 1141) também retoma tais definições em sua obra intitulada Didascalicon (cf. HUGO DE SÃO VÍTOR, Didascalicon, II, 1). Sua inovação reside no fato de acrescentar à Filosofia algumas artes vulgares, por ele denominadas Mecânicas (mechanicae). Eis sua divisão da Filosofia e suas subdivisões [45]:

• Teórica (Theorica): Teologia, Matemática e Física;
• Prática (Practica): Solitária (Ética), Privada (Econômica) e Pública (Política);
• Mecânica (Mechanica): Lanificium (Manufatura de lã), Armatura (Fabricação de armas), Navegação, Agricultura, Caça, Medicina e Theatrica (Ciência do Teatro);
• Lógica (Logica): Gramática e Ratione disserendi (Teoria da Argumentação).

O que Hugo denomina Matemática é exatamente o Quadrivium e as artes do Trivium estão nas subdivisões da Lógica. Afirma que as Artes Liberais são como instrumentos ótimos pelos quais ao espírito é preparada a via para o pleno conhecimento da verdade filosófica e que, em tempos antigos, ninguém seria digno de se chamar Mestre se não conseguisse mostrar o conhecimento dessas sete ciências [46].

Não discutiremos aqui, mas merecem atenção o desenvolvimento curricular das escolas medievais, das universidades nascentes e o contributo feito pelos árabes para o estabelecimento ou novas interpretações do Quadrivium.

Influenciados pela interpretação árabe da classificação aristotélica do conhecimento, a partir do século XII, alguns autores europeus, começaram a aceitar as artes mecânicas como aplicações das teóricas (cf. WHITNEY, 1990, p. 131).

3. Perspectivas

Estabeleceu-se uma tradição historiográfica de que a “Perspectiva Linear” foi desenvolvida em Florença no início do Quattrocento por Filippo Brunelleschi (1377 - 1446) [47]. A partir do fim dos anos 50, do século passado, os historiadores da arte propõem novas hipóteses sobre a existência de uma perspectiva antiga assentada sobre princípios redescobertos no Renascimento. Destas, destacamos a chamada “Hipótese de Oxford” (L’Hypothèse d’Oxford) de Dominique Raynaud, que defende que a invenção da perspectiva ocorreu no século XIII, fundamentada pelos filósofos de Oxford, como Roger Bacon (1214 - 1292) e John Peckham (m. 1292) (RAYNAUD, 1998).

É possível distinguir, em textos medievais e renascentistas, diversas concepções da Perspectiva: a perspectiva naturalis, como “Ciência da Visão” (Ótica), a perspectiva artificialis ou prospectiva pingendi, como “Técnica de Representação”, a perspectiva pratica, como “Técnica de medição” e a perspectiva aedificandi, voltada para as aplicações arquitetônicas (CAMEROTA, 2006, p. 8). Da mesma maneira que os demais termos já analisados, podemos encontrar em um mesmo autor acepções distintas para a Perspectiva.

Desenvolveu-se, em Florença, uma transformação da concepção de arte. Os principais envolvidos são Filippo Brunelleschi, Donatello (1386 - 1466) e Masaccio (1401 - 1428) e Leon Battista Alberti (1404 -1472). Alberti escreveu tratados de Pintura, Arquitetura e Escultura e foi o responsável pela teorização da Perspectiva, particularmente através de sua obra De Pictura. Nessas obras enuncia princípios e descreve os processos dos projetos para as obras de arte.

Segundo Giulio Carlo Argan, o pensamento dos Humanistas modificou profundamente as concepções do espaço e do tempo:

“A forma ou a representação segundo a razão do espaço é a Perspectiva; a forma ou a representação segundo a razão da sucessão dos eventos é a História. Uma vez que essa ordem não está nas coisas, mas é imposta às coisas pela razão humana que as pensa, não há diferença entre a construção e a representação do espaço e do tempo. A Perspectiva dá o verdadeiro espaço, isto é, uma realidade da qual é eliminado tudo o que é casual, irrelevante ou contraditório; a História dá o verdadeiro tempo, isto é, uma sucessão de fatos da qual é eliminado o que é ocasional, insignificante, irracional” (ARGAN, 2003, p. 131-132).

O sistema perspéctico do Quattrocento é a redução à unidade de todos os modos de visão possíveis: o ponto de localização ideal é o frontal, isto é, aquele que põe como contrapostos, mas paralelos, o sujeito e o objeto. Considerando que a Perspectiva construía racionalmente a representação da realidade natural, podemos afirmar que inaugurava, além de uma nova fase artística, uma fase em que a realidade tornava-se compreendida em termos matemáticos.

Na classificação humanista das disciplinas, a Perspectiva, como ciência da visão, ainda era uma disciplina filosófica subalterna às artes do Quadrivium. Na universidade européia do século XV, a Perspectiva era geralmente classificada como um caso de Geometria Prática.

A posição subalterna da Perspectiva começou a ser reconsiderada a partir do século XII. Domingo Gundisalvo (c. 1100 - 1181), em sua obra De Divisione Philosophiae (c. 1150), considera a Filosofia dividida em scientiae e a Filosofia Prática além da Ética, Política e Economia, da tradição aristotélica, inclui as disciplinas práticas que estão relacionadas com a Matemática. Nesta, inclui também a Perspectiva (WHITNEY, 1990, p. 133).

Domenico da Chivasso (c. 1350) também propõe sua inclusão entre as artes do Quadrivium [48]. Outros que defendiam esta posição foram Michele Savonarola (c. 1385 - 1468), Marsilio Ficino (1433 - 1499), Girolamo Savonarola (1455 - 1498), Luca Pacioli e Leonardo Da Vinci (1452 - 1519). Denominaremos o debate sobre a inclusão da Perspectiva nas Artes do Quadrivium de “Querela da Perspectiva”.

4. Matemática e Perspectiva segundo Luca Pacioli 

Em sua obra De Divina Proportione, publicada em 1509, Pacioli explica que o vocábulo μαθηματικός, deriva do grego e que, em seu idioma, equivale a “disciplinável” (“discipinabile”). Considera que as ciências e disciplinas matemáticas (“scientie e discipline”) são, para seu propósito, Aritmética, Geometria, Astrologia (ou Astronomia), Música, Perspectiva, Arquitetura, Cosmografia e qualquer outra dependente destas (PACIOLI, 1498, De Divina Proportione, III, f. 9r-v). Como podemos ver, esta lista é muito mais ampla que o Quadrivium, considerando também as disciplinas subalternas. Para ele, as ciências matemáticas são o fundamento e escada para se chegar ao conhecimento de qualquer outra ciência, pois, estão no primeiro grau de certeza [49]. Sem seu conhecimento, é impossível entender bem qualquer outra ciência, pois, tudo o que está distribuído no universo inferior e superior, reduz-se necessariamente ao número, peso e medida.

Tanto no Capítulo II da De Divina Proportione quanto na Epístola a Guidobaldo da Montefeltro (Alo Illumo. Principe Gui.Baldo. Duca de Urbino. Epistola), que faz parte da Summa, Pacioli afirma que as disciplinas matemáticas são aplicadas nas seguintes áreas: 1) Astrologia; 2) Arquitetura; 3) Perspectiva; 4) Escultura; 5) Música; 6) Cosmografia; 7) Comércio; 8) Arte Militar; 9) Gramática; 10) Retórica; 11) Poesia; 12) Dialética; 13) Filosofia; 14) Medicina; 15) Direito Civil e Canônico e 16) Teologia (cf. PACIOLI, 1494, f. 2r; PACIOLI, 1498, f. 4r-9r) [50]. Torna-se clara a preocupação com a aplicabilidade da Matemática e a superioridade desta com relação às demais, pois, segundo ele, somente as ciências e disciplinas matemáticas podem ser chamadas certezas (De Divina Proportione, I, f. 3v), sendo as demais apenas opiniões.

Pacioli divide as ciências e disciplinas matemáticas em Prática e Especulativa. A Álgebra, denominada por ele Pratica Speculativa, é um caso de Prática de Aritmética e de Geometria. A Arte Maior é a Álgebra e a Arte Menor é a Pratica Negotiaria (Prática Comercial) [51].

Em sua obra Summa, na Distinctio Octava dedicada a questões de Geometria, Pacioli trata de uma questão pertinente à Perspectiva, onde afirma que esta é uma disciplina subalterna a Geometria e a Aritmética:

“Saiba que esta questão é de Perspectiva, mas como esta ciência é subalterna à Geometria e Aritmética, a resolveremos” (PACIOLI, 1494, Summa, Distinctio octava, Cap. II, f. 65r) [52].

É na De Divina Proportione que Luca Pacioli apresenta explicitamente suas concepções místicas acerca da Razão Áurea ou “Divina Proporção”. Também é nessa obra que introduz sua posição acerca da “Querela da Perspectiva”.

4.1 O Quadrivium e a "Querela da Perspectiva"

Como já dissemos, Pacioli defende a elevação da Perspectiva ao mesmo status das artes do Quadrivium. Dentre os argumentos que apresenta em defesa da Perspectiva, podemos destacar a exaltação da visão:

“E dentre nossos sentidos, os sábios concluem que a visão é a mais nobre. Daí, que vulgarmente se diga, não sem fundamento, que o olho é a primeira porta pela qual o intelecto entende e gosta” (PACIOLI, De Divina Proportione, f. 4r) [53].

Pacioli chama a visão de “primeira porta pela qual o intelecto entende e gosta” [54]. Semelhante argumentação é apresentada por Leonardo Da Vinci, em seu “Paragone” [55], onde afirma que o olho, “que se diz janela da alma”, é a principal via por onde se pode considerar as infinitas obras da natureza [56]. Para Pacioli e Leonardo, a visão é o princípio do conhecimento, pois “nada há no intelecto que não passe primeiro pelos sentidos”, e o primeiro dos sentidos é a visão. Para Leonardo, é o olho que abraça toda a beleza do mundo, o olho é o “Príncipe das matemáticas”. Para ambos, não havia sentido em considerar a Música como disciplina matemática e ignorar a Perspectiva.

O Capítulo I da De Divina Proportione apresenta ao leitor uma descrição do ambiente da corte de Milão, na época de Ludovico Sforza [57]. Neste Capítulo, Pacioli relembra o “scientifico duello”, um debate ocorrido em 9 de fevereiro de 1498, com a participação de ilustres indivíduos do período, dentre os quais, destaca-se Leonardo Da Vinci. Pacioli lhe dedica grandes elogios e afirma que este já havia concluído “o digno livro de Pintura e dos movimentos humanos” [58].

É importante observar que o “scientifico duello” de Pacioli e o “Paragone” de Leonardo parecem se complementar. Nota-se diversas similaridades e podemos supor que a corte de Milão tenha sido palco de uma série de debates sobre qual das ciências ou artes seria a mais importante. Infelizmente, apesar da razoável riqueza de detalhes dos capítulos iniciais de De Divina Proportione, desconhecemos a existência de algum texto onde Pacioli apresente argumentações mais amplas e elaboradas sobre a “Querela da Perspectiva”, como as realizadas por Leonardo acerca da “Disputa das Artes”.

Monica Azzolini, em dois recentes trabalhos (AZZOLINI 2004 e 2005), faz uma interessante análise da dinâmica do patronato científico no Renascimento e das mudanças sociais e econômicas dos envolvidos, a partir do “scientifico duello” e do “Paragone”. Segundo ela, “by participating in the duel, Leonardo and Pacioli challenged the traditional hierarchy of disciplines and, at the same time, the social, economical and intellectual status that indissolubly came with it” (AZZOLINI, 2004, p. 128). Apesar da grande relevância de sua abordagem, tais discussões fogem do escopo deste texto, por isso recomendamos fortemente a leitura de seus artigos para uma maior compreensão da “Querela da Perspectiva”.

“Que não me leia quem não for matemático” [59]. Tal asserção, semelhante a inscrição do pórtico da Academia de Platão, evidencia o papel da Matemática na obra de Leonardo Da Vinci. Para ele, “nenhuma investigação humana pode chamar8se verdadeira ciência se não passa através de demonstrações matemáticas” [60]. Para Leonardo, a Pintura é verdadeira “scientia” e, fundamenta-se sobre bases matemáticas.

Podemos perceber uma mudança no pensamento de Leonardo acerca da Perspectiva. Ora a Perspectiva é “filha da Pintura”, ora é sua “rédea e leme”. Em outro lugar afirma que “a Pintura é baseada na Perspectiva, que nada mais é que um conhecimento minucioso do olho” [61].

Apesar de inúmeros autores, debates e posicionamentos ao longo da História, acerca da classificação das matemáticas e da ciência, o Quadrivium em suas diversas acepções e interpretações, exerce um papel fundamental nesta discussão e no pensamento contemporâneo.

Procuramos evidenciar a origem pitagórica do Quadrivium, sua assimilação no pensamento platônico e neoplatônico, para contextualizar a discussão que se fortalece no Renascimento, especialmente nas obras de Luca Pacioli e Leonardo Da Vinci.

Acreditamos que a teorização da Perspectiva teve amplas repercussões no pensamento científico, permitindo o desenvolvimento da Geometria Projetiva e apresentando uma nova concepção de espaço, necessária para o desenvolvimento da ciência moderna.

A posição de Pacioli, Leonardo da Vinci e outros, acerca da Matemática e da Perspectiva pode ser considerada precursora da concepção sumarizada por Galileu: “La matematica è l'alfabeto nel quale Dio ha scritto l'universo”.

* * *

Notas:

[16] O texto que apresentamos a seguir corresponde, com algumas alterações, a BERTATO & D’OTTAVIANO 2007.

[17] “A Gramática fala, a Dialética ensina as palavras, a Retórica colore as palavras, a Música canta, a Aritmética conta, a Geometria pesa, a Astronomia se ocupa dos astros.”

[18] “Ma el nostro iudicio benche imbecille et basso sia o tre o cinque ne constringe. cioe Arithmetica. Geometria. e astronomia excludendo la musica da dicte per tante ragioni quante loro dale .5. La prospectiua e per tante ragione quella agiognendo ale dicte quatro per quante quelli ale dicte nostre .3. la musica. [...] pur existimo tanti saui non errare. E per lor dicti la mia ignoranza non si suelle.”

[19] “So hoch wir auch die künstlerische, religiöse und politische Bedeutung der früheren Völker schätzen mögen, beginnt doch die Geschichte dessen, was wir als Kultur in unserem bewussten Sinne bezeichnen können, nicht eher als bei den Griechen.” (JAEGER, 1973, p. 3).

[20] Citado por Porfírio em seu comentário sobre a Harmonica de Ptolomeu (MULLACH, 1860, p. 564). Acerca da autenticidade e formas variantes do Frag. 1, v. HUFFMAN, 1985 e para maiores detalhes sobre Arquitas e seus escritos v. HUFFMAN, 2004.

[21] Identifica-se a esférica com a astronomia (cf. HEATH, 1981, p. 11 e HUFFMAN, 2004, p. 243).

[22] Santo Anatólio foi bispo de Laodicéia, na Síria, por volta de 283 d.C. É citado por Eusébio de Cesaréia: “Eusebius, who had come from the city of Alexandria, ruled the parishes of Laodicea after Socrates. [...] Anatolius was appointed his successor; one good man, as they say, following another. He also was an Alexandrian by birth. In learning and skill in Greek philosophy, such as arithmetic and geometry, astronomy, and dialectics in general, as well as in the theory of physics, he stood first among the ablest men of our time, and he was also at the head in rhetorical science. It is reported that for this reason he was requested by the citizens of Alexandria to establish there a school of Aristotelian philosophy” (EUSÉBIO, 1890, p. 318, Hist. Eccl., VII, 32). A citação apresentada encontra-se nas Definitiones de Heron de Alexandria (c. 10 – c. 75 d. C.), que viveu dois séculos antes de Anatólio! Para maiores detalhes v. TANNERY, 1887 p. 177.

[23]“ταύτῃ τοίνυν συμπάσας ἐπιστήμας διαίρει, τὴν μὲν πρακτικὴν προσειπών, τὴν δὲ μόνον γνωστικήν” [“In this way, then, divide all science in two parts, calling the one practical, and the other purely intellectual”] (Politicus, 258e).

[24] Segundo o escritor bizantino Johannes Tzetzes (c. 1110 – c.1180), “Πρὸ τῶν προθύρων τῶν αύτοῦ γράψας ύπῆρχε Πλάτων· ‘Μηδεὶ ἀγεωμέτρητος εὶσίτω μου τὴν στέγην’ ” [“Over his front doors Plato wrote: ‘Let no one unversed in geometry come under my roof’”] (THOMAS, 1991, p. 386 - 387). Frequentemente citada em uma versão mais resumida: “ἀγεωμέτρητος μηδεις εὶσίτω”.

[25] “ἀεὶ Θεὸς γεωμετρεί” (cf. THOMAS, 1991, p. 387; PLUTARCO, Convivalium Disputationem, VIII, 2).

[26] Λογιστική (“arte do cálculo”) καὶ ἀριθμετική (“teoria dos números”). Cf. HEATH, 1981, p. 13.

[27] Platão emprega o termo ἀρμονία (harmonia) em contraste com μουσική (mousiké) como música popular dos mestres de lira (cf. THOMAS, 1991, p. 7).

[28] Cf. Hippias Major, 285b; Theaetetus, 145a-d. Sobre o contato de Platão com os pitagóricos v. CÍCERO,1877, p. 25, Tusculanae Disputationes, I, 17.

[29] “Πάντες ἄνθρωποι τοῦ εἰδέναι ὀρέγονται φύσει” (Metaphysica, I, 1, 980a, 1). Para a tradução do grego dos trechos citados, nos baseamos nas traduções que constam da Bibliografia e utilizamos PERSCHBACHER, 1996 e os excelentes recursos do Word Study Tool do The Perseus Digital Library (http://www.perseus.tufts.edu/).

[30] “διὰ γὰρ τὸ θαυμάζειν οἱ ἄνθρωποι καὶ νῦν καὶ τὸ πρῶτον ἤρξαντο φιλοσοφεῖν” [“Foi pela admiração que os homens, assim hoje como no início, começaram a filosofar”] (Metaphysica I, 2, 982b, 12).

[31] “διὸ περὶ Αἴγυπτον αἱ μαθηματικαὶ πρῶτον τέχναι συνέστησαν, ἐκεῖ γὰρ ἀφείθη σχολάζειν τὸ τῶν ἱερέων ἔθνος” [“Assim, em diversas partes do Egito, se originaram pela primeira vez as artes matemáticas, porque aí se consentiu que a casta sacerdotal vivesse no ócio”] (Metaphysica, I, 1, 981b, 23-24).

[32] O título de “o Filósofo” era atribuído ao Estagirita por autores, como Tomás de Aquino (cf. Summa Theologiae, I q. 1, a. 1, a. 3, a. 4 etc). Com muita freqüência, encontram-se no início das obras de autores medievais e renascentistas citações de Aristóteles (cf. "Il Convivo" de Dante). Tal uso corrente de citações, particularmente em obras fabulosas e profanas, mereceu menção de Miguel de Cervantes, no Prólogo de seu livro Don Quijote de la Mancha: “ (...) tan llenos de sentencias de Aristóteles, de Platón y de toda la caterva de filósofos, que admiran a los leyentes y tienen a sus autores por hombres leídos, eruditos y elocuentes?”. Dos matemáticos renascentistas citamos dois italianos e um português. Assim inicia Luca Pacioli o Capítulo II de sua De Divina Proportione: “Propter admirari ceperunt philosophari. Vole Exº D. la proposta auctorita del Maestro de color che sanno che dal uedere hauesse initio el sapere...” (PACIOLI, 1498, f. IIIIr). Niccolò Tartaglia, em sua tradução dos Elementos, escreve: "Tvtti gli huomini, Magnifici e Preclarissimi Auditori, (come scriue Aristotele nel primo della Methaphisica) naturalmente desiderano di sapere" (TARTAGLIA, 1565, f. 3r, sob o título Lettione de Nicolo Tartalea Brisciano, sopra tvtta la opera di Evclide Megarense, acvtissimo mathematico). O português Gaspar Nicolas escreve em seu Tratado de Pratica Darysmetica: "Todos hos homeēs naturalmente ylustre senhor desejam saber: segūdo aristotiles no prymeyro da metafisyca [e]t como quer que as artes liberaes ha arismetyca seja fundamento de todas..." (NICOLAS, 1519, Prologo). Até o início do século XII, o pensamento de Aristóteles era conhecido basicamente através das obras (traduções, comentários, etc.) de Boécio (480 - 524). Outros de seus tradutores que merecem destaque são Guillermo de Moerberke (1215 - 1286) e Cardeal Giovanni Bessarione (1402 - 1472).

[33] “ὥστε εἰ πᾶσα διάνοια ἢ πρακτικὴ ἢ ποιητικὴ ἢ θεωρητική” [“Portanto se toda atividade intelectual é ou prática ou produtiva ou especulativa...] (Metaphysica VI, 1, 1025b, 26). Curiosamente, Diógenes Laércio (c. 200 – c. 250) atribui essa divisão a Platão (cf. DIÓGENES LAÉRCIO, 1862, p. 87). Talvez esta tenha sido adotada na Academia no tempo de Diógenes.

[34] “ὥστε τρεῖς ἂν εἶεν φιλοσοφίαι θεωρητικαί, μαθηματική, φυσικέ, θεολογικέ” [“Deve haver então três filosofias especulativas, matemática, física e teologia”] (Metaphysica, VI, 1, 1026a, 18-19). Ptolomeu, no início de seu Almagesto, confirma que a autoria desta subdivisão das filosofias teóricas é de Aristóteles.

[35] “θεωρητικαὶ τῶν ἄλλων ἐπιστημῶν αἱρετώταται” [“As especulativas são preferíveis a todas as demais ciências”] (Metaphysica, VI, 1, 1026a, 23). Dentre as ciências especulativas a teologia é a primaz.

[36] “ἀλλ᾿ ἔστι καὶ ἡ μαθηματικὴ θεωρητική” [“mas a matemática também é especulativa”] (Metaphysica, VI, 1, 1026a, 9).

[37] Também chamadas de βαναυσικαὶ, “illiberales” ou “sordidae”. Podemos considerar que ao homem livre, cultivador das artes liberais, atribui-se o “otium” (ócio, em grego, σχολή).

[38] “[...] non enim adducor ut in numerum liberalium artium pictores recipiam, non magis quam statuarios aut marmorarios aut ceteros luxuriae ministros”.

[39] Interessante relação pode ser feita entre as Sete Artes Liberais e os significados dos números 3, 4 e 7, para os cristãos, particularmente com a seguinte sentença de Provérbios X, 1: “Sapientia aedificavit sibi domum excidit columnas septem”.

[40] “Quibus quattuor partibus si careat inquisitor, verum invenire non possit, ac sine hac quidem speculatione veritatis nulli recte sapiendum est [...] Hoc igitur illud quadrivium est”.

[41] Para um estudo sobre a História da Matemática contida nas Etymologiae v. NOBRE, 2005.

[42] “Disciplinae liberalium artium septem sunt. Prima grammatica, id est loquendi peritia. Secunda rhetorica, quae propter nitorem et copiam eloquentiae suae maxime in civibibus quaestionibus necessaria existimatur. Tertia dialectica cognomento logica, quae disputationibus subtilissimis vera secernit a falsis. Quarta arithmetica, quae continet numerorum causas et divisiones. Quinta musica, quae in carminibus cantibusque consistit. Sexta geometrica, quae mensuras terrae dimensionesque conplectitur. Septima astronomia, quae continet legem astrorum”.

[43] “Ars vero dicta est, quod artis praeceptis regulisque consistat” (ISIDORO, Etymologiae I, 1, 2).

[44] “quia discitur plena” (ISIDORO, Etymologiae I, 1, 1).

[45] “Philosophia divitur in theoricam, practicam, mechanicam, logicam”. (Didascalicon, II, 1).

[46] “Suntenim quase optima quaedam instrumenta et rudimenta quibus via paratur animo ad plenam philosophicae veritatis notitiam [...] Nemo tunc temporis nomine magistri dignus videbatur, qui non harum septem scientiam profiteri posset” (Didascalion, III, 3).

[47] Tal tradição tem suas raízes nas biografias de Brunelleschi escrita por Antonio di Tuccio Manetti (1423 F 1497) e por Giorgio Vasari (1511 - 1574) e confirmada por Erwin Panofsky em seu célebre ensaio “Die Perspektive als ‘symbolische Form'” (1924).

[48] “Est sciendum quaod quinque su[n]t scientiae mathematicae, scilicet arismetrica, geometria, musica, astrologia et perspectiva” (Quaestiones super perspectivam, q. I, f. 44r -v).

[49] “Concio sia che ditte mathematici sieno fondamento e scala de peruenire ala notitia de ciascuna altra scientia: per esser loro nel primo grado dela certezza affermandolo el philosopho cosi dicendo mathematice enim scientie sunt in primo gradu certitudinis & naturales sequuntur eas. Sonno como e dicto le scientie e mathematici discipline nel primo grado dela certezza e loro sequitano tutte le naturali: e senza lor notitia fia impossibile alchunaltra bene intendere” (Divina Proportione, II, f. 5r). V. Nota 44 da tradução.

[50] A mesma estrutura de argumentação é encontrada nos discursos de Niccolò Tartaglia (Lettione de Nicolo Tartalea Brisciano, sopra tutta la opera di Evclide Megarense, acvtissimo mathematico) que se encontram no início de sua tradução dos Elementos, além de referências ao frade.

[51] “Non mi pare ormai piu douer diferire la p[ar]te maxime necessaria ala pratica de arithmetica e anche de geometria detta dal vulgo cõmunemente. Arte magiore ouer. La regola de la cosa ouer. Algebra. E almucabala secõdo noi detta pratica speculativa. Per che in lei piu alte cose che in larte minore ouer pratica negotiaria si cõtiene” (PACIOLI, Summa, f. 111v).

[52] “Sapi che questa domanda è de perspectiva, ma perché questa scientia è subaltternata a geometria e aritmetrica si la solveremo”.

[53] “E deli nostri sensi per li sauii el uedere piu nobile se conclude. Onde non immeritamente anchor de uulgari fia detto lochio esser la prima porta per la qual lo intellecto intende e gusta”.

[54] V. Nota 37 da tradução.

[55] Denomina-se Paragone a seqüência de disputas polêmicas entre a Pintura e algumas das demais artes que se encontra nas edições do Trattato della Pittura de Leonardo.

[56] “L'occhio, che si dice finestra del'anima e la principal via donde il comune senso po piú coppiosa e magnificamente considerare le infinite opere de natura e l'orecchio è il secondo il quale si fa nobbile per le cose raconte le quali ha veduto l'occhio. Se uoi istoriograffi, ò poeti ò, altri matematici, non havestiue con l'occhio visto le cose male le potresti uoi rifferire per le scritture (...)” (LEONARDO DA VINCI, Trattato della Pittura, 15, Codex Urbinas Latinus 1270, f. 8r).

[57] Trata-se da carta-dedicatória ao duque intitulada “Excellentissimo Principi Ludovico Mariae Sforciae Anglo Mediolanensium Duci, Pacis et Belli Ornamento, Fratris Lucae Pacioli ex Burgo Sancti Sepulchri Ordinis Minorum, Sacrae Theologiae Professoris, De Divina Proportione Epistola”.

[58] V. Nota 20 da tradução.

[59] “Nõ mi leggha chi non è matematicho nelli mia prîcipi” (LEONARDO DA VINCI, 1883, p. 11, W. 19118v).

[60] “Nissuna humana inuestigatione si po dimandare uera scientia se essa nõ passa per le matematiche dimostrationi” (LEONARDO DA VINCI, Trattato della Pittura, I, Codex Urbinas Latinus 1270, f. 1v).

[61] “La pittura è fondata sulla prospettiva: non è altro che sapere bene figurare lo vfitio dell'ochio” (LEONARDO DA VINCI, 1883, v.I, p. 29, A. 3r).

Bibliografia da Dissertação

1. Obras de Luca Pacioli

PACIOLI, Luca.  Su[m]ma de Arithmetica Gemetria Proportioni [e]t Proportionalità. Venezia: Paganinus de Paganini, 1494.

PACIOLI, Luca. De Viribus Quantitatis. Códice no. 250. Biblioteca Universitaria di Bologna. (Escrito possivelmente entre os anos de 1496 e 1508. Visualização disponível em http://www.uriland.it/matematica/DeViribus/Presentazione.html).

PACIOLI, Luca. De Divina Proportione. Venetiis: Paganinus de Paganini, 1509.

PACIOLI, Luca (ed.). Euclidis megarensis philosophi acutissimi mathematicorumque omnium sine controversia principis opera Campano interprete fidissimo tralata... Venetiis: Paganinus de Paganini, 1509b. (Rara tradução latina dos Elementos de Euclides).

PACIOLI, Luca. De Divina Proportione. Milano: Silvana Editoriale, 1986. (Fac-símile do manuscrito de 1498 conservado na Biblioteca Ambrosiana de Milão, com introd. de Augusto Marinoni. Reimpressão da edição de 1982).

2. Fontes

2.1 Pacioli

ALOE, Armando; VALLE, Francisco. Frá Luca Pacioli e seu Tratado de Escrituração de Contas. São Paulo: Editora Atlas, 1966.

BALDI, Bernardino. Le Vite de' Matematici. Edizione annotata e commentata della parte medievale e rinascimentale. Milão: FrancoAngeli, 2007.

CIOCCI, Argante. Luca Pacioli e la matematizzazione del sapere nel Rinascimento. Bari: Cacucci Editore, 2003.

MACKINNON, Nick. The portrait of Fra Luca Pacioli. Mathematical Gazette. Vol. 77, no. 479, p. 130-219, 1993.

MORISON, Stanley. Pacioli's Classic Roman Alphabet. New York: Dover Publications, 1994. (Reimpressão de Fra Luca Pacioli of Borgo S. Sepolcro. New York: Grolier Club, 1933. Foram publicadas somente 397 cópias dessa edição original).

PACIOLI, Luca; WINTERBERG, Constantin (Ed.): Fra Luca Pacioli, Divina Proportione: Die Lehre vom Goldenen Schnitt, nach der Venezianischen Ausgabe vom Jahre 1509 herausgegeben und übersetzt. Wien: Carl Graeser, 1889. (Transcrição do original com tradução para o alemão).

PACIOLI, Luca. La Divina Proporción. Trad. Ricardo Resta. Buenos Aires: Editorial Losada, 1942. (Tradução argentina a partir do exemplar de 1509 da Biblioteca do Dr. Teodoro Becu, com Prólogo de Aldo Mieli).

PACIOLI, Luca. La Divina Proporción. Trad. Juan Calatrava. Madrid: AKAL, 1991. (Tradução espanhola a partir do exemplar manuscrito existente na Biblioteca Ambrosiana de Milão).

SÁ, Antônio Lopes de. Luca Pacioli: um Mestre do Renascimento. Brasília: Fundação Brasileira de Contabilidade, 2004.

SÁ, Antônio Lopes de. Luca Pacioli, Ícone na História da Contabilidade. Revista de Controle e Administração, Rio de Janeiro, Vol. 1, n. 1, p. 54 - 68, jun. 2005.

TAYLOR, Robert Emmett. No Royal Road: Luca Pacioli and his times. New York: Arno Press, 1980. (Reimpressão de Chapel Hill: The University of North Carolina Press, 1942).

TONIATO, Silvia. La Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità di Luca Pacioli. 2002. VIIIp., 379p. Tesi di Laurea (Laurea in Lettere). Facoltà di Lettere e Filosofia, Università degli Studi di Torino. Torino, 2002. (Edição e comentário da primeira parte da Summa.)

2.2 Outras Fontes (Outros autores)

ALBERTI, Leon Battista. De re aedificatoria. Florença: Nicolaus Laurentii, 1485.

ALBERTI, Leon Battista. De pictura praestantissima, et nunquam satis laudata arte libri tres absolutissimi... Basileae: [Bartholomaeus Westheimer], 1540.

ALBERTI, Leon Battista. Grammatica della lingua toscana. In: ALBERTI, Leon Battista; GRAYSON, Cecil (ed.). Opere Volgari. Bari: Laterza, 1973. v. 3.

ALBERTI, Leon Battista. Da Pintura. Trad. Antonio de Silveira Mendonça. Campinas: Editora da Unicamp, 1999. (Tradução do texto "vulgar" da De Pictura, Bari: Laterza, 1980).

ARISTÓTELES. Aristotelis opera cum Averrois commentariis. Frankfurt am Main: Minerva G.m.b.H., 1962. v. VIII: Metaphysicorum Libri XIIII. (Reprodução da edição de Venitiis: Junctas, 1562).

ARISTÓTELES; YEBRA, Valentín García (ed.). Metafísica. Madrid: Editorial Gredos, 1970. v.1. (Edição Trilingüe: grego, latim, espanhol).

ARISTÓTELES; BARNES; Jonathan (ed.). The Complete works of Aristotle: The revised Oxford translation. New Jersey: Princeton University Press, 1995. 2.v.

BARTOLO DA SASSOFERRATO. La Tiberiade di Bartole da Sassoferrato del modo di dividere l'Alluuioni, l'Isole & gl'Aluei. Roma: per gl'heredi di Giouanni Gigliotto, 1587. (Edição com anotações de Claudio Tebalducci da Montalboddo).

BOÉCIO, Anicius Manlius Severinus. Anicii Manlii Torquati Severini Boetii De institutione arithmetica libri duo. Lipsiae: Teubner, 1867.

CASSIODORO. The letters of Cassiodorus: being a condensed translation of the Variae epistolae of Magnus Aurelius Cassiodorus,... Introduced by Thomas Hodgkin. London: H. Frowde, 1886.

CÍCERO, Marcus Tullius; HENRICHSEN, Rudolph Johannes Frederik (Ed.). M. Tullii Ciceronis De oratore libri tres. Sumptibus Librariae Gyldendalianae, 1830.

CÍCERO, Marcus Tullius. Cicero's Tusculan Disputations. Trans. C. D. Yonge. New York: Harper & Brothers Publishers, 1877.

DUHEM, Pierre Maurice Marie. Etudes sur Léonard de Vinci: Ceux qu'il a lus et ceux qui l'ont lu. Paris: Gordon and Breach, 1984. (Reimpressão de Paris: Hermann, 1913).

EUCLIDES DE ALEXANDRIA, Elementa geometriae. Trad. Johannes Campanus. Venetijs. Erhard Ratdolt, 1482. (Primeira edição impressa dos Elementos de Euclides. Tradução para o latim a partir do texto árabe).

EUCLIDES DE ALEXANDRIA. Evclidis Megarensis mathematici clarissimi Elementorum geometricorum libri XV. Basileae: Joanne Hervagium, 1558.

EUCLIDES DE ALEXANDRIA. Euclide megarense acutissimo philosopho, solo introduttore delle scientie mathematice. Diligentemente rassettato, et alla integrita ridotto, per il degno professore di tal scientie Nicolo Tartalea brisciano. Secondo le due tradottioni. Con vna ampla espositione dello istesso tradottore di nuouo aggiunta. Venetia: Appresso Curtio Troiano, 1565. (Tradução comentada de Niccolò Tartaglia)

EUCLIDES DE ALEXANDRIA; The Thirteen Books of Euclid's Elements. Trad., introd. e notas de Sir Thomas L. Heath. New York: Dover Publications, 1953. v.1.

EUCLIDES DE ALEXANDRIA; The Thirteen Books of Euclid's Elements. Trad., introd. e notas de Sir Thomas L. Heath. New York: Dover Publications, 1956. v.2 e v. 3.

EUCLIDES DE ALEXANDRIA; BUSARD, Hubert L. L. (ed.). A Thirteenth-Century Adaptation of Robert of Chester's Version of Euclid's Elements. München: Institut für Geschichte der Naturwissenschaften, 1996. 2v.

EUSÉBIO, Pamphilius (Bishop of Cesarea). Church History. Trans. in Nicene and Post-Nicene Fathers, edited by P. Schaff and H. Wace. New York: Christian Literature Publishing Co., 1890.

GALILEU GALILEI. Diálogo sobre os dois máximos sistemas do Mundo Ptolomaico e Copernicano. Trad., introd. e notas de Pablo Rubén Mariconda. São Paulo: Discurso/Fapesp, 2001. (Tradução do Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo tolemaico e copemicano).

GALENO. Galen's Exhortatio ad Artes Addiscendas or "Exhortation to Study the Arts". Trans. Joseph Walsh, M.D.. Medical Life, vol. 37 (1930), 507-529.

GUALTERIUS ANGLICUS. Fabulae Aesopicae. In: HERVIEUX, Leopold (ed.). Les Fabulistes Latins. Paris, 1899. v. 2.

HUGO DE SÃO VÍTOR. Didascálion. Da arte de ler. Introdução e tradução de Antonio Marchionni. Latin/Português. São Paulo: Editora Vozes, 2001.

ISIDORO DE SEVILHA. Etymologium libri XX. Venetiis: per Petrum Loslein, 1483.

JAMBLICO. On the Pythagorean life. Trad. Gillian Clark. University of Chicago Press, 1989.

JÚLIO CÉSAR. De Bello Gallico & other commentaries of Caius Julius Caesar. Trad. W. A. Macdevitt. London: J. M. Dent, 1929. (Reimpressão de London: J. M. Dent, 1915).

JÚLIO CÉSAR; HOLMES, T. Rice (Ed.). Commentarii de bello Gallico. Oxford: Clarendon Press, 1914.

KEPLER, Johannes. Epitome of Copernican Astronomy: IV. Trad. Charles Glenn Wallis. In: ADLER, Motimer J. (ed.). Great Books of the Western World. Chicago: Encyclopedia Brittanica, 1993a. v. 15.

KEPLER, Johannes. The Harmonies of the World: V. Trad. Charles Glenn Wallis. In: ADLER, Motimer J. (ed.). Great Books of the Western World. Chicago: Encyclopedia Brittanica, 1993b. v. 15.

LAERTIUS, Diogenes. Les vies de plus illustrea philosophes de l'antiquité: avex leurs dogmes, leurs systèmes, leur morale, & leurs sentences les plus remarquables. Ámsterdam: chez J. H. Schneider, 1758.

LEONARDO DA VINCI. Traité de la Peinture par Leonard de Vinci: Revû et corrige. Trad. Roland Fréart. Paris: Giffart, 1716.

LEONARDO DA VINCI; AMORETTI, Carlo.; et al. Trattato della pittura di Lionardo da Vinci. Milano: Società tip. de' classici italiani, 1804.

LEONARDO DA VINCI. Tratado de la Pintura. Trad. Mario Pittaluga. Buenos Aires: Editorial Losada, 1943.

LEONARDO DA VINCI. Treatise on Painting: [Codex Urbinas Latinus 1270]. New Jersey: Princeton University Press, 1956. v. II. (Fac-símile).

LEONARDO DA VINCI; GARCIA, Angel González (ed.). Tratado de Pintura. Madrid: Akal, 1986.

LEONARDO DA VINCI. Obras Literárias, Filosóficas e Morais. Ed. Bilíngüe. Trad. Roseli Sartori. São Paulo: Editora Hucitec, 1997. (Título original: The Notebooks of Leonardo Da Vinci).

LEONARDO DA VINCI. Da Vinci por ele mesmo. Trad. Marcos Malvezi. São Paulo: Madras, 2004.

MAQUIÁVEL; Niccolo. Tutte le opere di Niccolo Machiavelli cittadino et secretario fiorentino divise in V. parti. [s. 1.]: [s. n.], 1550.

NICOLAS, Gaspar. Tratado de Pratica Darysmetica. Lisboa: Germão Galharde, 1519.

NICOLAU DE CUSA. Nicholas of Cusa on Learned Ignorance: A Translation and an Appraisal of De Docta Ignorantia. Trad. Jasper Hopkins. Minneapolis: The Arthur J. Banning Press, 1990.

PLATÃO. A República. Trad. Maria Helena Rocha Pereira. Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 1989. (A edição utilizada para a tradução foi a de J. Bumet. Platonis Opera, T. IV Oxonii e typographeo Clarendoniano, 1949).

PLATÃO. The Works of Plato: A New and Literal Version Chiefly from the Text of Stallbaum. [S.1.]: G. Bell, 1876.

PLATÃO. Platonis Opera. Edited by John Burnet. Oxford: Oxford University Press, 1903.

PLATÃO. Plato in Twelve Volumes. In: Volumes 5 & 6. Translated by Paul Shorey. Cambridge: Harvard University Press 1969.

PLATÃO. Protágoras. Ed. Greek/Spanish. Trans. J. Velarde. Oviedo: Pentalfa Ediciones, 1980.

PORFÍRIO. De vita Pythagorae. In: Iamblichi Chalcidensis ex Coele-Syria De vita Pythagorica liber Graece et Latine. Textum post Ludolphum Kusterum... M. Theophilus Kiessling... Pars posterior. Lipsiae, 1816.

PROCLUS, A commentary on the First book of Euclid's Elements. Trans. Glenn R. Morrow. Princeton: Princeton University Press, 1992.

PTOLOMEU. The Almagest. Trad. R. Catesby Taliaferro. In: ADLER, Motimer J. (ed.). Great Books of the Western World. Chicago: Encyclopedia Brittanica, 1993. v. 15.

RICHTER, Jean Paul; LEONARDO DA VINCI. The Notebooks of Leonardo da Vinci: Compiled and Edited from the Original Manuscripts. New York: Dover Publications, 1989. 2v. (Reimpressão da edição original de The Literary Works of Leonardo Da Vinci. London: Sampson Low, Marston Searle & Rivington, 1883).

SÊNECA, Lucius Annaeus; FICKERT, Karl Rudolf. L. Annaei Senecae Opera. Vol. I. Lipsiae: Sumptibus Librariae Weidmannianae, 1842.

S. TOMÁS DE AQUINO. Commentary on Aristotle's Metaphysics. Trad. John P. Rowan. Notre Dame: Dumb Ox Books, 1995.

STO. AGOSTINHO. The City of God. Trad. e ed. Marcus Dods, D. D.. New York: Hafner, 1948. v.1.

STO. AGOSTINHO. The Literal Meaning of Genesis. Translated by John Hammond Taylor. Ancient Christian Writers 41-42. New York: Newman, 1982.

STO. TOMÁS DE AQUINO. Suma Teológica. Coord. geral Carlos-Josaphat Pinto de Oliveira, O.P.. São Paulo: Loyola, 2001. v. 1. (Introd. e notas de Thomas d'Aquin Somme théologique, Les Éditions du Cerf, Paris, 1984).

TARTAGLIA, Niccolo [Fontana]. Euclide megarense acutissimo philosopho, solo introduttore delle scientie mathematice. Diligentemente rassettato, et alla integrita ridotto, per il degno professore di tal scientie Nicolo Tartalea brisciano. Secondo le due tradottioni. Con vna ampla espositione dello istesso tradottore di nuouo aggiunta. Venetia: Appresso Curtio Troiano, 1565.

THOMAS, Ivor. Greek Mathematical Works. Vol. I, Thales to Euclid, Loeb Classical Library no. 335. Cambridge: Harvard University Press, 1991.

VALTURIUS, Robertus. De re militari. Verona: Boninus [de Boninis], 1483.

VASARI, Giorgio. La vite de più eccelenti pittori, scultori et architetti. Bologna: presso gli Heredi di Evangelista Dozza, 1647. 3v.

VASARI, Giorgio; BELLOSI, Luciano (Ed.); ROSSI, Aldo. Le vite de' più eccellenti architetti, pittori, et scultori italiani, da Cimabue insino a' tempi nostri: Nell'edizione per i tipi di Lorenzo Torrentino - Firenze 1550. Torino: Giulio Einaudi Editore, 1986. (Corresponde a Edição Firenze: Lorenzo Torrentino, 1550).

VASARI, Giorgio. Le vite dei più eccellenti pittori, scultori e architetti. Roma: Newton Compton, 1997. (Corresponde a Edição Firenze: Giunti, 1568).

VESPASIANO DA BISTICCI. Vite di uomini illustri del secolo XV. Firenze: Barbèra, Bianchi e comp., 1859.

VITRUVIUS, Pollio. Vitruvii Pollionis De architectura libri decem. Romae: G. Herolt, c. 1486.

VITRUVIUS, Pollio. Tratado de Arquitectura. Trad., Intro. e Notas de M. Justino Maciel. Lisboa: IST Press, 2006.

ZÖLLNER, Frank. Leonardo Da Vinci: Obra Completa de Pintura e Desenho. Trad. Maria do Rosário Paiva Boléo. Colónia: Paisagem, 2005. 2v.

3. Outras Obras Consultadas

ADAM, James. On the Origin of the Word 'Arts' in 'Bachelor of Arts,' Etc. The Classical Review, Vol. 15, No. 4. (May, 1901), pp. 220-221.

[ANÔNIMO]. The Life of Saint Francis of Assisi; and a Sketch of the Franciscan Order. Adições de Pamfilo Da Magliano, O.S.F.. New York: P. O'Shea, 1867.

AGAZZI, Evandro. (org.). Storia delle Scienze. Roma: Città Nuova Editrice, 1984.

ALIGHIERI, Dante. A Divina Comédia. Trad. Italo Eugenio Mauro. São Paulo: Editora 34, 2001. 3v. (Edição Bilíngüe).

AMENDOLA, João. Dicionário Italiano – Português. Rio de Janeiro: Livraria Garnier, 2000.

ARGAN, Giulio Carlo. História da Arte Italiana: De Giotto a Leonardo. Trad. Wilma De Katinsky. São Paulo: Cosac & Naify, 2003. v. 1 e 2. (Trad. de Storia dell'arte italiana. v. 1 e 2, Milano: Sansoni, 2002).

AZZOLINI, Monica. Anatomy of a Dispute: Leonardo, Pacioli, and Scientific Entertainment in Renaissance Milan. Early Science and Medicine, 9.2, p.115-135, 2004.

AZZOLINI, Monica. In praise of art: text and context of Leonardo's Paragone and its critique of the arts and sciences. Renaissance Studies. vol. 19, n. 4, p. 487 - 510, set. 2005.

BECKER, Idel. Pequeno Dicionário Espanhol - Português. São Paulo: Companhia Editora Nacional, 1945.

BERTATO, Fábio Maia. A obra "De Divina Proportione" (1509) de Frà Luca Pacioli. In: SEMINÁRIO NACIONAL DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA, 5, 2003, Rio Claro. Anais... Rio Claro: SBHMat, 2003. p. 281 - 292.

BERTATO, Fábio Maia. Frà Luca Pacioli and his "Divine Proportion". In: History and Pedagogy of Mathematics, 10, 2004, Uppsala. Proceedings... Uppsala: [s. n.], 2004. p. 132 - 135.

BERTATO, Fábio Maia. Fratre Luca Pacioli e su Divin Proportion (In Interlingua). Revista Brasileira de História da Matemática, Rio Claro, Vol. 5, n. 9, p. 79–91, abr. 2005.

BERTATO, Fábio Maia; D'OTTAVIANO, Itala M. Loffredo. Luca Pacioli and the "Controversy of the Perspective": The Classification of the Mathematics from the Classical Antiquity to the end of the Quattrocento. Revista Brasileira de História da Matemática, Rio Claro, Especial n° 1 - Festchrift Ubiratan D'Ambrosio, p. 505 - 525, dez. 2008.

ENFORS, Erik (ed.). Matematikprofessor skriver på interlíngua. ACTUALITATES Interlingua i Norden, IALA, n. 156, p. 5, 2005.

BÍBLIA. Latim e Português. Bíblia Sagrada: Santos Evangelhos. Braga: Edições Theologica, 1994. (Bíblia Sagrada anotada pela Faculdade de Teologia da Universidade de Navarra. Texto Latino: Neo-Vulgata. Texto Português: Bíblia Ilustrada, Porto: Ed. Universus, 1957. Trad. portuguesa das Introduções e Notas de José A. Marques.)

BÍBLIA. Português. Bíblia Sagrada. Trad. da Vulgata Latina de Pe. Antônio Pereira de Figueiredo. São Paulo: Rideel, 1997.

BITTAR, Eduardo Carlos Bianca. Curso de Filosofia Aristotélica: Leitura e Interpretação do Pensamento Aristotélico. Barueri: Manole, 2003.

CASSIRER, Ernst; KRISTELLER, Paul Oskar; RANDALL Jr., John Herman. (eds.). The Renaissance Philosophy of Man. Chicago: The University of Chicago Press, 1950.

CAMEROTA, Filippo. La prospettiva del Rinascimento: arte, architettura, scienza. Milan: Electa, 2006.

CHASTEL, André. Arte e Umanesimo a Firenze. In: ARGAN, Giulio Carlo. História da Arte Italiana. São Paulo: Cosac & Naify, 2003. v. 2.

CHESTERTON, Gilbert Keith. São Tomás de Aquino e, São Francisco de Assis. Trad. Adail Ubirajara Sobral, Maria Stela Gonçalves. Rio de Janeiro: Ediouro, 2003. (Títulos originais: Saint Thomas Aquinas "The Dumb Ox" e, Saint Francis of Assisi).

CLARK, Kenneth. Leonardo Da Vinci. Trad. Thaís R. Manzano. Rio de Janeiro: Ediouro, 2003.

CLEARY; John J.. Aristotle & Mathematics. New York: E. J. Brill, 1995.

COBET, Carel Gabriël; DIOGENES, Laertius; WESTERMANN, Anton; DIOGENES; BOISSONADE, Jean François. Diogenis Laertii: De clarorum philosophorum vitis, dogmatibus et apophthegmatibus libri decem. Parisiis: Firmin Didot, 1862.

ECO, Umberto. História da Beleza. Trad. Eliana Aguiar. Rio de Janeiro: Record, 2004. (Título original: Storia della Bellezza).

ECO, Umberto. Como se faz uma tese. Trad. Gilson Cesar Cardoso de Souza. São Paulo: Perspectiva, 2005.

ESOPO. Fábulas. Trad. Pietro Nassetti. São Paulo: Martin Claret, 2004. (Título original em latim: Aeseepi: fabulae).

FARIA, Ernesto (org.). Dicionário Escolar Latino - Português. Rio de Janeiro: Ministério da Educação e Cultura, 1956.

FARIA, Ernesto. Gramática Superior da Língua Latina. Rio de Janeiro: Livraria Acadêmica, 1958.

GILLESPIE, C. C.(ed.). Dictionary of Scientific Biography. New York: Charles Scribner's Sons, 1970.

HAY, Cynthia. Mathematics from Manuscript to Print 1300-1600. New York: Oxford University Pres, 1988.

HEATH, Thomas Little. A History of Greek Mathematics. Vol. I. New York: Courier Dover Publications, 1981.

HEATH, Thomas L.. Mathematics in Aristotle. Bristol: Thoemmes Press, 1998.

HELFERICH, Christoph. História da Filosofia. Trad. Luiz Sérgio Repa, Maria Estela Heider Cavalheiro, Rodnei do Nascimento. São Paulo: Martins Fontes, 2006. (Título original: Geschichte der Philosophie).

HIPÓCRATES. Aforismos. Trad. Dr. José Dias de Moraes. São Paulo: Martin Claret, 2004.

HOUAISS, Antônio; VILLAR, Mauro de Salles. Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa. Rio de Janeiro: Objetiva, 2001.

HOUAISS, Antônio; VILLAR, Mauro de Salles. Dicionário Eletrônico Houaiss da Língua Portuguesa. Rio de Janeiro: Objetiva, 2001. 1 CD-ROM. Produzido por Ed. Objetiva Ltda.

HUFFMAN, Carl A. The Authenticity of Archytas Fr. 1. The Classical Quarterly. [S.1.]: New Series, v. 35 (2), p. 344-348, 1985.

HUFFMAN, Carl. Archytas of Tarentum: Pythagorean, philosopher and mathematician king. Cambridge: Cambridge University Press, 2004.

JAEGER, Werner. Paideia: Die Formung des griechischen Menschen. Berlim: Walter de Gruyter, 1973.

JAEGER, Werner. Paidéia: A Formação do Homem Grego. Trad. Artur M. Parreira. Lisboa: Editorial Áster, 1979.

KOEHLER (S.J.), Pe. Henrique. Pequeno Dicionário escolar Latino-Português. Rio de Janeiro: Editôra Globo, 1960.

KRETZMANN, Norman; KENNY, Anthony; PINBORG, Jan (eds.). The Cambridge History of Later Medieval Philosophy. New York: Cambridge University Press, 1996. (la ed.: 1982). 

KRISTELLER, Paul Oskar. The Modern System of the Arts: A Study in the History of Aesthetics (Part I). Journal of the History of Ideas, Vol. 12, No. 4. (Oct., 1951), pp. 496-527.

LEWIS, Charlton T.; SHORT, Charles. A Latin Dictionary; Founded on Andrews'edition of Freund's Latin dictionary. Oxford: Clarendon Press, 1879.

LEWIS, Clive Staples. The Discarded Image: an Introduction to Medieval and Renaissance Literature. Cambridge: Cambridge University Press, 1994.

LIDDELL, Henry George; SCOTT, Robert. A Greek-English Lexicon. Revised and augmented throughout by Sir Henry Stuart Jones with the assistance of Roderick McKenzie. Oxford: Clarendon Press, 1940.

MARASCHIO; Nicoletta. Trattati di Fonetica Del Cinquecento. Firenze: Presso L'Accademia, 1992.

MARTINS, Wilson. A Palavra Escrita. São Paulo: Editôra Anhembi, 1957.

MCKIRAHAN, Richard D.. Philosophy before Socrates: An Introduction with Texts and Commentary. Indianapolis: Hackett Publishing, 1994

MENDELL, Henry. Aristotle and Mathematics. In: Stanford Encyclopedia of Philosophy. [S.1.]: Summer Edition, 2004. < http://plato.stanford.edu/entries/aristotle-mathematics/ > Acesso em 09.05.2007.

MULLACH, Friedrich Wilhelm August (Ed.). Fragmenta philosophorum graecorum. [Vol. I] Poseos philosophicae, caeterorumque ante Socratem philosophorum...instruxit Fr. Guil. Aug. Mullachius,...Parisiis: A. Firmin-Didot, 1860.

NIERMEYER, Jan Frederik. Mediae Latinitatis lexicon minus: lexique latin médiéval français/anglais a medieval Latin-French/English dictionary. Leiden: Koninklijke, 1977. (Reedição de Leiden: E.J. Brill, 1976).

NOBRE, Sergio Roberto. Isidoro de Sevilla e a História da Matemática presente em sua Enciclopédia Etimologias (séc. 7). Revista Brasileira de História da Matemática, Rio Claro, SBHMat, v. 5, n. 9, p. 37-58, 2005.

PARRY, Richard D. “Episteme and Techne". In: Stanford Encyclopedia of Philosophy. [S.1.]: Summer Edition, 2003. <www.plato.stanford.edu>. Acesso em 05.22.2007.

PECK, Harry Thurston. Harpers Dictionary of Classical Antiquities. New York: Harper & Brothers, 1898.

PEDRETTI, Carlo. Studi Vinciani: Documenti, analisi e inediti leonardeschi. Genève: Libraire E. Droz, 1957.

PEREIRA (S.J.), Pe. Isidro. Dicionário Grego-Português e Português-Grego. Braga: Livraria Apostolado da Imprensa, 1998.

PEDRETTI, Carlo et al. Leonardo: Arte e Ciência; As Máquinas. Trad. Leonardo Antunes. São Paulo: Globo, 2004. (Trad. de Leonardo: Arte e Scienza e Leonardo: le Macchine. Firenze, Giunti, 2002).

PERSCHBACHER, Wesley J. (ed.). The New Analytical Greek Lexicon of the New Testament. Peabody, Massachusetts: Hendrickson Publishers, 1996.

RAYNAUD, Dominique. L'Hypothèse d'Oxford. Paris: PUF, 1998.

REALE, Giovanni; ANTISERI, Dario. História da Filosofia. São Paulo: Paulus, 1990. v.1 e v.2.

RUSSELL, Bertrand. História da Filosofia Ocidental. Trad. Brenno Silveira. São Paulo: Companhia Editora Nacional, 1969. v. 2. (Título original: History of Western Philosophy).

RUSSELL, Bertrand. História do Pensamento Ocidental: A Aventura dos Pré-Socráticos a Wittgenstein. Trad. Laura Alves, Aurélio Rebello. Rio de Janeiro: Ediouro, 2003. (Título original: Wisdom of the West).

SCHMITT, Charles B.; SKINNER, Quentin. The Cambridge History of Renaissance Philosophy. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.

SCHWEGLER, Albert. A History of Philosophy in Epitome. Translated from the original German by Julius H. Seelye. New York: D. Appleton And Company, 1856.

SMITH, David E.. History of Mathematics. New York: Dover, 1958. v. II.

TATARKIEWICZ, Władysław. Classification of Arts in Antiquity. Journal of the History of Ideas, Vol. 24, No. 2. (Apr. - Jun., 1963), pp. 231-240.

TANNERY, Paul. La géométrie grecque. Paris: Gauthier-Villars, 1887.

TURNER, William. Plato and Platonism. In: The Catholic Encyclopedia. New York: v. 12, 1911. <http://www.newadvent.org/cathen/12159a.htm>. Acesso em 06.28.2007.

VIEIRA (S.J.), Pe. Antônio; PÉCORA, Alcir (org.). Sermões. São Paulo: Hedra, 2000. 2v.

WESSELY, J. E. Burt's German-English Dictionary. New York: A. L. Burt Company, [1939?]

WHITE, Michael. Leonardo: O Primeiro Cientista. Trad. Sergio Moraes Rego. Rio de Janeiro: Record, 2002. (Título original: Leonardo: The First Scientist).

WHITNEY, Elspeth. Paradise Restored: The Mechanical Arts from Antiquity Through the Thirteenth Century. Philadelphia: American Philosophical Society, 1990.

ZINGARELLI, Nicola. Lo Zingarelli Minore: Vocabolario della lingua italiana. Bologna: Zanichelli, 1995.

ZINGARELLI, Nicola. Lo Zingarelli: Vocabolario della lingua italiana. Bologna: Zanichelli, 2004.

***

Leia mais em COMECE POR AQUI: Conheça o Blog Summa Mathematicae

Curta nossa página no Facebook Summa Mathematicae. Nossa página no Instagram.

Receba novos posts por e-mail:

Powered by