Os Números Divinos

por Javier Ruiz

Platão, ao falar sobre as ideias puras ou os arquétipos, diz-nos a mesma coisa. Que os objetos físicos e os seres vivos nada mais são do que vestígios na matéria das ideias puras presentes no reino do inteligível.

A origem dos números naturais ($1, 2, 3 ...$) sempre foi objeto de controvérsia entre matemáticos e filósofos de todos os tempos. Assim, para Filolau, filósofo pitagórico do século V a.C. … grande, toda-poderosa, aperfeiçoadora e divina é a força do número, início e governante da vida divina e humana, participante de tudo e em tudo. Sem número, nada tem limites e é confuso e sombrio. Porque a natureza do número proporciona conhecimento e é guia e professor para todos em tudo o que é duvidoso ou desconhecido. Porque nenhuma das coisas seria clara, nem no seu próprio ser, nem nas suas relações mútuas, se o número e a sua essência não existissem. Este é quem harmoniza na alma as coisas com a sua perfeição, tornando-as cognoscíveis e congruentes entre si segundo a sua natureza, dotando-as de corporeidade

Assim vemos que para os pitagóricos a própria constituição do Universo é número e harmonia. Esta ideia foi formulada pelo físico Galileu Galilei, no século XVII, quando disse que o livro da Natureza estava escrito em caracteres matemáticos e geométricos: tal livro está aberto diante dos nossos olhos, mas nem todos podem lê-lo, porque o seu alfabeto é composto de números, proporções e figuras geométricas.

Toda a Matemática se baseia na noção de números naturais e nas suas operações aritméticas. Agora podemos perguntar-nos: como se fundamenta a aritmética? Qual é a base dos números naturais? Vejamos brevemente os cinco axiomas da aritmética.

1. O $1$ é um número natural;

2. A cada número natural $x$ corresponde univocamente outro denominado o seguinte: $s(x)$. [ou seja, $s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ também chamada função sucessor];

3. O $1$ não tem número precedente;

4. Se $s(x)=s(y)$, deduz-se que $x=y$. [injetividade];

5. Princípio de indução completa. Se um conjunto $C$ de números naturais atende às duas seguintes condições:

a) $C$ contém o número $1$;

b) Se $C$ contém $x$, também contém $s(x)$, então $C$ contém todos os números naturais.

Os cinco axiomas anteriores eram o objetivo do programa formalista da Matemática: reduzir a aritmética à lógica, derivar os conceitos da aritmética a partir de conceitos lógicos e deduzir princípios aritméticos a partir de princípios lógicos. Se isso fosse possível, poderíamos dizer que os números naturais e toda aritmética têm a sua base no cérebro, ou melhor, na mente humana. Toda a Matemática seria criação da mente humana, e não só a Matemática, mas também a Física, a Química, a Biologia, a Geologia; ou seja, todas as ciências que em maior ou menor grau utilizam estruturas matemáticas nas suas definições e nos seus métodos empíricos. Não esqueçamos que existe uma relação íntima entre os fenómenos experimentais e as estruturas matemáticas, o que é verdadeiramente surpreendente quando meditamos sobre eles.

Como vemos, uma fundamentação lógica da Matemática resolveria muitas questões sobre a natureza do mundo e do homem. De certa forma, embora com certo exagero, poderíamos dizer que todo o Universo, com todas as suas leis, os planetas, as estrelas, as galáxias, seria criação da mente humana.

Contudo, em 1931, um matemático checo, Kurt Gödel, declarou um teorema segundo o qual a coerência lógica não pode ser provada de qualquer sistema formal axiomático rico o suficiente para ser capaz de conter a aritmética pelo raciocínio matemático. O máximo que se pode esperar é que tal sistema seja incoerente. Este teorema deixa claro, entre outras coisas, a incapacidade da Matemática de colocar os seus fundamentos fora de qualquer dúvida (impossibilidade de demonstrar autoconsistência, isto é, a ausência de contradição lógica da construção matemática).

Voltando aos números naturais, devemos então distinguir entre os números que usamos na vida cotidiana e os verdadeiros números. Para o filósofo Jorge Angel Livraga, cada número distingue-se de qualquer outro número por um não-número, mas mesmo assim “valor”, que os diferencia. Sempre haverá algo entre fração e fração que não pode ser capturado com os padrões atuais.

Os números naturais são geralmente representados como pontos numa linha reta, igualmente espaçados entre si. Dizem-nos que o segmento de reta é ocupado por números racionais (números que podem ser expressos como um quociente de dois números inteiros, por exemplo, $5/3$) e números irracionais (números que, como a raiz quadrada de dois, não podem ser expressos como um quociente de dois inteiros). A hipótese do contínuo, expressa pelo matemático Georg Cantor, diz que o conjunto dos números reais (naturais, inteiros, racionais e irracionais) preenche completamente a reta. Esta hipótese não pode ser comprovada, o que acrescenta valor à teoria do Professor Livraga sobre a diferenciação de números por não-números. Esses não-números são governados pela matemática dinâmica ou viva, enquanto os números naturais são governados pela matemática estática, a única que conhecemos no momento (lembre-se que esta última não pode dar coerência lógica às suas bases, que são os números naturais).

Por mais que procuremos uma fundamentação lógica para a Matemática, que é a nossa ferramenta para o estudo da Natureza, as suas fundações, que são os cinco axiomas citados, não têm fundamento lógico.

Assim, com um pouco de ousadia, podemos afirmar que o Universo com as suas leis, e o homem com sua mente, têm uma base irracional, ou pararacional, como preferirem; algo que está além da nossa mente e que esta não consegue justificar. Com a nossa mente racional, focada em nós mesmos, não podemos saber nem a origem dos números naturais nem a origem do Cosmos.

Esta ideia não é nova. O filósofo ateniense Platão, no século V a.C. dizia-nos: …o que dá verdade aos objetos do conhecimento, e a faculdade de conhecer aquele que conhece, é a Ideia do Bem, que deverás conceber como objeto do conhecimento, mas também como causa da ciência e verdade; e assim, por mais belos que sejam o conhecimento e a verdade, julgarás corretamente se considerares essa ideia como algo diferente e ainda mais belo do que eles. E, quanto ao conhecimento e à verdade, assim como neste mundo é possível acreditar que a luz e a visão se assemelham ao sol, mas não que sejam o mesmo sol, também nesse mundo é correto considerar que um e outro são semelhantes ao bem, mas não o é ter qualquer um dos dois pelo bem, pois a consideração que se deve à Natureza do Bem é muito maior [1].

Não devemos pensar que a Matemática e as Ciências que utilizam as suas estruturas perdem a sua validade; eles simplesmente assumem validade relativa. Para Platão, o matemático toma certas noções como certas, como os cinco axiomas da aritmética mencionados acima. Destas noções, que não podem ser demonstradas, são de onde ele inicia a sua caminhada dedutiva rumo às conclusões; caminhada na qual não pode apoiar-se em ideias puras, mas deve recorrer a representações materiais dessas ideias puras (números). Os números não são ideias puras, mas a sombra (mental, acrescentaremos nós) de ideias puras. Por outro lado, o dialético, imagem do filósofo, também parte de hipóteses, mas essas hipóteses nada mais são para ele do que algo provisório, degraus, trampolins ou qualquer outra coisa que sirva para passar de um estado a outro no processo. Assim, vai ascendendo passo a passo até o início de tudo, um princípio não hipotético, e nesta ascensão nunca é obrigado a recorrer a outra coisa senão às ideias tomadas por si próprias. Isto não significa que o estudo da Natureza perca toda a sua validade. É conveniente lembrar a máxima socrática: conhece-te a ti mesmo, ó homem! e conhecerás o Universo e os Deuses.

[...]

Se há algo verdadeiramente fascinante no mundo que nos rodeia, é que podemos compreendê-lo, que é acessível às nossas mentes. Embora os primeiros princípios e os fins últimos nos escapem, o universo em geral está sujeito a leis que podemos descobrir através da observação, da pesquisa e do estudo. Nas palavras de John D. Barrows, físico inglês: A razão pela qual temos tido tanto sucesso em desvendar o funcionamento interno do universo é que descobrimos a linguagem em que o livro da natureza parece estar escrito. Em essência, ele está apenas citando Galileu Galilei, que disse que Deus criou o universo e escreveu as suas leis na linguagem da matemática.

Por que isto é desta forma é no fundo um verdadeiro mistério; serão a matemática, as formas geométricas, uma ferramenta fabricada pela nossa mente, ou antes, têm existência independente e estão fora dela? Para Roger Penrose, um dos melhores matemáticos atuais e co-criador com Stephen Hawking da entropia dos buracos negros, a matemática está de alguma forma “lá”, e a única coisa que o matemático faz é descobri-la. Ele é um fervoroso defensor do platonismo e da teoria dos arquétipos platônicos, imagens ou primeiros modelos que existem na mente de Deus e que utiliza ao criar o universo. Assim, a filosofia profunda e a matemática superior caminham juntas.

Dentre os números infinitos, escolhemos para estudo simbólico os mais conhecidos, como o número áureo, o número π, o número e, a base dos logaritmos naturais, e os números transfinitos de Cantor. Com o estudo destas belas sombras do pensamento divino que os referidos números nos mostram, a nossa mente terá a possibilidade de intuir as maravilhas da criação e poder seguir os seus passos de forma harmoniosa.

O número de ouro, Φ

Não há melhor impressão desta harmonia universal, deste desenho inteligente do universo, conforme postulado pela ciência moderna, que a velha ideia da Proporção Divina (segundo Luca Pacioli), a secção áurea para Leonardo da Vinci, simplesmente o número dourado, para nós.

Pitágoras é creditado com a descoberta da proporção áurea, o teorema que leva o seu nome e o pentagrama, uma estrela regular de cinco pontas onde o número áureo é um suporte básico. Ele fez da estrela de cinco pontas o símbolo distintivo dos membros da escola filosófica que fundou, o pitagorismo. Os pitagóricos destacavam-se pela sua sobriedade, pela sua altura moral, pela sua coerência. O princípio fundamental da filosofia pitagórica era que todas as coisas são números ou são compostas de números.

Platão, no Timeu, ecoa os ensinamentos pitagóricos. Bem, quando quaisquer três números, sejam lineares ou planos, o do meio é de tal tipo que tem em relação ao último a mesma relação que o primeiro tem em relação a ele; e inversamente, quando é de tal tipo que tem em relação ao primeiro a mesma relação que o último tem com ele, sendo então o primeiro e o último ao mesmo tempo o termo médio dos dois, acontece que todos os termos têm necessariamente a mesma função, que todos desempenham o mesmo papel uns em relação aos outros e, nesse caso, todos formam uma unidade perfeita. Aqui encontramos a definição matemática do número de ouro. O que Euclides coletará mais tarde nos seus Elementos de Geometria como a divisão em razão média e extrema.

Precisamente a estrela de cinco pontas contém o número dourado nas suas proporções. É um conceito matemático cuja aplicação na arte produz sensações belas e agradáveis. Desperta-nos uma ressonância, pois o homem e o universo são regidos pelas mesmas leis. Consequentemente, os antigos encerravam o ser humano perfeito dentro de uma estrela de cinco pontas, um símbolo de beleza e harmonia proporcional. Que estávamos sujeitos a leis e proporções semelhantes, reflexo do Demiurgo, do Divino Criador ao ordenar o mundo.

1. A sequência de Fibonacci.

Um matemático dos séculos XII-XIII, Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, descobriu essa sequência ao estudar a reprodução e a morte de coelhos na sua quinta. Cada termo da sequência é gerado pela soma dos dois anteriores. Assim, $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...$ Esta sequência tem propriedades muito curiosas, entre elas que o quociente entre dois termos consecutivos é próximo do número dourado. Aparece no triângulo de Pascal, em algoritmos de cálculo de máximos e mínimos para funções complicadas, uma das suas aplicações é na física óptica, no cálculo das trajetórias dos raios de luz quando atingem duas lâminas planas de vidro e em contato (aplica-se à leitura e gravação de dados digitais através de laser), etc. Os exemplos poderiam ser incontáveis.

2. O número de ouro na natureza.

Se tivermos um retângulo áureo e eliminarmos o quadrado do lado menor, o retângulo resultante terá ainda a proporção áurea e assim por diante. Isto dá origem a uma das espirais mais belas e recorrentes da natureza; a espiral logarítmica. Esta espiral logarítmica governa o crescimento de muitas formas vegetais e animais; por exemplo a concha do caracol marinho Nautilus, ou os caramujos marinhos tão presentes nas nossas costas. Também na dupla espiral das flores de girassol aparecem termos consecutivos da sequência de Fibonacci, o crescimento das pinhas segue a proporção áurea, um ovo de galinha pode ser inscrito em um retângulo áureo, etc. E, claro, a estrela do mar segue um padrão pentagonal no seu desenvolvimento. Se levarmos em conta que aqui ocorre o salto evolutivo crucial dos vertebrados para os invertebrados, verificamos empiricamente a importância da nossa proporção. A simetria pentagonal e a estrela de cinco pontas são a base do desenvolvimento formal de muitas flores e arbustos.

Até nas proporções do corpo humano aparece o número dourado. A distância do chão ao umbigo em relação à altura humana segue a proporção áurea. A proporção áurea também rege outras medidas anatómicas do homem, como A. Zeising estudou em meados do século XIX.

3. O número de ouro na arte

Como meio e modelo para retratar a beleza, a proporção divina tem sido utilizada por todas as culturas, e os povos com sentido estético aplicaram-na nos seus monumentos. Encontramos os seus vestígios na grande pirâmide, onde a altura do triângulo de suas faces tem dupla proporção áurea com a base, na Porta do Sol de Tiahuanaco aparece o triângulo dourado, numa tumba rupestre em Mira, Turquia, do século II a.C. surge novamente. Não está perdido durante a Idade Média. O número dourado é a base do arco parabólico e do arco pontiagudo, inovações geométricas que foram aplicadas no gótico. Mesmo em numerosos portais românicos e góticos, o triângulo áurico aparece como borda e fronteira.

No Renascimento foi recuperado novamente de forma maciça na arte. O Homem de Vitrúvio de Leonardo foi concebido para ilustrar o livro do frade Luca Paccioli, A Proporção Divina. Também aparece na Anunciação da Virgem Maria, as dimensões de La Gioconda são 89×55 cm., curiosamente dois números consecutivos da série Fibonacci. Devemos precisamente o nome da secção áurea a Leonardo. Na bela pintura de El Greco, O Enterro do Conde de Orgaz, vemos como o mundo terrestre inferior é governado pelo retângulo dourado, e o mundo celestial superior é governado pelo pentagrama místico e pelo pentágono no qual está inscrito. A nível matemático, Kepler enfatiza a proporção áurea no âmbito das suas teorias cosmológicas e cosmogónicas.

O número áureo foi recuperado novamente no século XIX, justamente com o surgimento do já mencionado trabalho de Zeising sobre medidas anatómicas no homem, e como este autor trabalhando em milhares de medições encontrou novamente o aparecimento do número áureo. Assim, na obra de Theodore Cook, The Curves of Life, a proporção áurea é aplicada ao estudo das formas botânicas e zoológicas. No início do século XX, uma exposição de obras pictóricas foi inaugurada em Paris sob o título La Section d’Or. A sua influência é inegável nas obras de Juan Gris, Picasso e Dalí. Isto pode ser visto na pintura Leda Atómica, onde um esboço de Dalí indica a estrutura da pintura em torno do pentagrama.

Um dos principais arquitetos do século XX, Le Corbusier, recupera o uso da proporção no desenho urbanístico e na construção. Em 1929 projetou o Mundaneum, um complexo localizado em Genebra que serviria como instituição mundial e sede da Liga das Nações. O layout do design segue a proporção áurea. Na sua obra El Modulor, realizada em 1950, e novamente baseada nesta proporção, onde tenta sistematizar o desenho das obras para que sejam úteis ao movimento humano. Einstein veio comentar esse trabalho, é uma gama de proporções que torna o mau mais difícil e o bom fácil.

A sua influência também se faz notar na música, na linguagem musical criada por Bela Bartok e baseada no sistema da secção áurea, que integra movimentos pentatônicos primitivos e afinidades primitivas. Podemos traçar a influência da secção na sua obra Concerto para Orquestra e Quatro Peças para Orquestra. E anteriormente, Robert Schuman nas suas Cenas Infantis também havia usado a proporção áurea para regular o número de compassos e os intervalos entre eles.

O número π

Estudado por todos nós durante os anos escolares, o número π contém em si próprio um grande mistério. Na escola dizem-nos que é a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro, dizem-nos que vale 3,1416, e começam a ditar-nos uma fórmula atrás da outra, com múltiplas aplicações, efetivamente. A verdade é que esta relação entre a circunferência e o diâmetro que hoje conhecemos como π sempre atraiu a atenção de cientistas e matemáticos de todos os lugares e de todos os tempos. A Bíblia declara o valor de π como 3 [2]. Os antigos egípcios calcularam o valor de π como 256/81, ou 3,16…, o que é uma boa aproximação. Para os antigos chineses, π valia 355/113, uma aproximação mais próxima do que a de Arquimedes, que, através de métodos de inscrição e circunscrição de polígonos num círculo, aumentando o número de lados dos polígonos, conseguiu limitar o valor de π entre 3,141590… e 3,141601…, uma aproximação que continua a ser usada até hoje. Nos séculos XVII e XVIII, através do desenvolvimento de séries numéricas, foi possível calcular o valor de π com um número crescente de casas decimais. Atualmente, mais de 206 bilhões de casas decimais de π foram calculadas usando métodos computacionais. Além do interesse dos decimais em si, a precisão do cálculo é usada para determinar o poder computacional dos computadores e a sua confiabilidade.

O número π, assim como o número áureo, é um número irracional, ou seja, não pode ser expresso como quociente de dois inteiros. Noutras palavras, o seu número de decimais nunca terminará nem seguirá um padrão de repetição. Desta forma, o valor de π nunca pode ser calculado exatamente. Sempre haverá uma sequência numérica infinita e não periódica subsequente, não importa quão grande seja o decimal a que chegamos através dos cálculos. Embora a irracionalidade de π só tenha sido demonstrada no século XVIII pelo brilhante matemático suíço Leonard Euler, o filósofo grego Aristóteles no século IV a.C. e o filósofo judeu Maimônides, no século XII, já haviam intuído essa irracionalidade e ficaram fascinados por ela.

O resultado desse fascínio tem sido tentar conseguir a quadratura do círculo, ou seja, construir um quadrado com a mesma área de um círculo usando apenas régua e compasso. Este foi, juntamente com a duplicação do cubo e a trissecção do ângulo, um dos problemas clássicos da geometria grega. Hoje sabemos que são insolúveis, mas estimularam a imaginação dos matemáticos de todos os tempos e, até que o matemático alemão Lindeman demonstrasse a sua impossibilidade, foram um incentivo contínuo aos trabalhos e às descobertas matemáticas. Conseguir a quadratura do círculo é impossível porque o número π é um número transcendente. O número π não pode ser encontrado pelas operações aritméticas de adição, subtração, multiplicação, divisão ou extração de raízes. No entanto, o número dourado Φ não é um número transcendente, daí a enorme variedade de formas naturais em que aparece. O número π praticamente não aparece na natureza, pelo menos tão explicitamente quanto Φ.

O que significa tudo isto? Vamos fazer uma análise simbólica do número π e dos elementos que lhe dão origem. Lembremos que π é a razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro. No simbolismo tradicional, a circunferência representa a Divindade Absoluta. Citemos Blavatsky, a grande esoterista do século XIX. Parabrahman, a Realidade Única, o Absoluto, é o campo da Consciência Absoluta; isto é, aquela essência que está fora de qualquer relação com a existência condicionada e da qual a existência consciente é um símbolo condicionado [3]. A circunferência sem um ponto central é impossível de conceber, porém o universo sempre foi descrito como um círculo cujo centro está em toda parte e a circunferência em lugar nenhum. O círculo é o símbolo da Divindade, e ao representá-lo com um ponto no centro simboliza a primeira emanação desta Divindade. Sigamos Blavatsky, um disco com um ponto no centro representa, no símbolo arcaico, a primeira diferenciação nas manifestações periódicas da Natureza eterna, assexuada e infinita, “Aditi em AQUILO” ou Espaço potencial no Espaço abstrato. Na terceira etapa, a ponta é transformada em diâmetro. Então simboliza uma Mãe-Natureza imaculada e divina, no Infinito absoluto que tudo abrange [4]. Noutras palavras, a relação entre a circunferência e seu diâmetro é o equivalente entre a Divindade e a Natureza no seu estado de pureza imaculada. Esse é o significado de π.

Não é surpreendente, então, que π seja irracional e transcendente, uma vez que a sua relação não é com o mundo natural, como a de Φ, mas com o mundo das ideias puras ou arquétipos platónicos. É neste mundo geométrico, sombra das ideias puras, que π ganha significado e valor. A irracionalidade e a transcendência de π simbolizam os esforços vãos da mente humana para tentar raciocinar sobre o Mistério de Deus e da Criação. Porém, π é um número fascinante e ao qual, como humanos, temos acesso, pois podemos capturá-lo em formas geométricas. Mas sempre haverá um decimal de π que nos escapará, e não poderemos reduzir o seu cálculo a uma equação racional, pois a natureza de π é semelhante à natureza da Divindade. Está acima da nossa simples razão, mas não da nossa intuição, graças à qual elevamos a nossa mente ao reino dos arquétipos e captamos as ideias geométricas puras nele presentes.

O número e

A história deste número só começa no século XVIII, quando foi descoberto pelo matemático Leonard Euler como a constante para a qual tende a soma de numerosas séries convergentes de números naturais. É um número definido por um limite que pode ser consultado em qualquer manual de matemática. O que nos interessa aqui é saber que também é um número irracional e transcendente, como π.

Com a descoberta do número e nasceu a função exponencial e logarítmica, que rege numerosos processos físicos de crescimento e variação de unidades, como o decaimento radioativo ou a absorção de luz ou ondas por um meio contínuo. É surpreendente como um número irracional e transcendente aparece em numerosos processos físicos e biológicos. Um número que não pode ser expresso como uma fracção ou calculado por uma equação racional está continuamente presente na natureza. É uma impressão direta do mundo arquetípico no mundo natural, como um selo direto que nos diz que a natureza segue leis matemáticas profundamente belas e harmoniosas.

Deve-se notar que e rege tanto o crescimento quanto a diminuição de uma quantidade, desde que esta não dependa do restante da quantidade que esteja presente. Ou seja, e aparece sempre que a substância que varia não possui informações sobre o ambiente restante. Só assim o crescimento exponencial aparece como uma lei. Para explicar isto, vamos dar um exemplo clássico. Se semearmos uma bactéria que se duplica a cada vinte minutos num meio rico em alimentos, depois de uma hora teremos 8 bactérias, depois de 2 horas 499 bactérias, e depois de 12 horas cerca de 18.000. Evidentemente, mais cedo ou mais tarde, a comida deve impor um limite no crescimento, caso contrário o número de bactérias acabaria tomando conta da terra. Mas este é o poder do número e, que governa o crescimento ilimitado ou a decadência sem fim, mas mais cedo ou mais tarde a oferta do meio imporá uma limitação ao seu poder.

O que significa tudo isto? Que a matéria tem um limite, que pelas suas próprias leis ela tem o seu lugar bem definido dentro do Grande Cosmos e que se tentar ultrapassá-lo, as leis nela inscritas acabarão por fazê-la retornar ao crescimento harmonioso. É importante então que o homem aprenda o mesmo, porque o crescimento ilimitado que o nosso mundo propõe como solução para todos os problemas sociais e ambientais acabará por cair numa recessão. É inevitável. Mas, como humanidade, podemos voltar ao curso natural das coisas. Para isso recebemos a inteligência, não só para resolver problemas matemáticos e descobrir teoremas, mas também para aplicá-los ao nosso ambiente no seu significado filosófico.

Os números transfinitos

Pode haver números além do infinito? Esta foi a pergunta feita pelo matemático Georg Cantor, descobridor da moderna teoria dos conjuntos. Para nos aprofundarmos nesta questão, vamos começar por estudar a sequência dos números naturais.

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...$

Obviamente esta sequência não tem fim, pois podemos adicionar 1 a qualquer número natural e obter o próximo desta lista, e assim por diante. É um conjunto sem fim ou infinito. Podemos dizer que esta sequência tende ao infinito, e iremos designá-la com o símbolo ∞. Agora, ∞ é um número real? Obviamente que não, pois não podemos incluir o infinito nos números naturais e ao mesmo tempo manter os axiomas fundamentais da aritmética que vimos anteriormente. Não podemos adicionar nada ao infinito, porque não é um número. No entanto, o conceito de infinito invade toda a matemática. Dizemos então que o conjunto dos números naturais é composto por infinitos elementos.

Para ver alguns dos paradoxos do infinito, vejamos o seguinte caso; a sequência de números pares,

$2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...$

Está incluída na sequência de números naturais. Mas nenhuma delas tem fim, ambas têm elementos infinitos, pois ambas podem ser colocadas lado a lado, de modo que o primeiro par corresponda ao número $1$, o segundo par corresponda ao número $2$, o terceiro par corresponda ao número $3$ e assim por diante. Certamente parece que ambas possuem o mesmo número de elementos, ou seja, ∞. Mas a sequência dos números pares está incluída na sequência dos números naturais. Este é um dos paradoxos que aparecem quando se considera o infinito como um número. É melhor então, como fez Cantor, falar em termos de conjuntos e dizer que dois conjuntos são equivalentes se ambos puderem ser numerados da mesma maneira, de modo que cada elemento do primeiro conjunto corresponda a um e apenas um do segundo. Desta forma podemos começar a estabelecer uma aritmética do infinito.

Cantor demonstrou que o conjunto dos números naturais, o dos inteiros e o dos números racionais era enumerável, ou seja, que uma relação termo a termo pode ser estabelecida com cada um dos elementos dos conjuntos vistos acima e com cada um dos números naturais. Um conjunto de elementos enumerável ​​é composto por um número infinito de elementos. Agora, o conjunto dos números reais (racionais e irracionais) é enumerável? Por outras palavras, os números reais têm elementos infinitos? Cantor mostrou, utilizando um método de diagonalização, que este não é o caso. O conjunto dos números reais não é enumerável. Foi assim que nasceram os números transfinitos. Os números reais têm um grau de infinitude maior, por assim dizer, do que os números naturais. Lembremos, como vimos anteriormente, que os números reais segundo a hipótese do contínuo preenchem a reta. Portanto, o número de pontos na reta é transfinito.

Para denotar esta hierarquia de infinitos, Cantor tomou emprestada uma letra do alfabeto hebraico, o aleph, $(\aleph)$. Ele chamou o infinito contável dos números naturais aleph sub-zero, $(\aleph_0)$ e ao infinito incontável dos números reais ou ao infinito do contínuo numérico da linha reta, ele o chamou de aleph sub-um, $(\aleph_1)$. Além disso, no aleph sub-um apresenta-se também o mesmo paradoxo do infinito, pois o número de pontos de um segmento de reta e o número de pontos de toda a reta são equivalentes, ou seja, pode-se estabelecer uma correspondência termo a termo (neste caso ponto a ponto) entre o número de pontos de um segmento e o número de pontos de toda a reta. Além do mais, esta correspondência também pode ser estabelecida entre o número de pontos na reta, o número de pontos no plano e o número de pontos no espaço tridimensional. Assim, o número de pontos de um determinado segmento, da reta, do plano bidimensional e do espaço tridimensional é o mesmo, número transfinito denominado $\aleph_1$ por Cantor.

Procurando o significado filosófico de tudo isto, podemos equiparar o ∞ dos números naturais à ideia de tempo sucessivo, ao passado, ao presente e ao futuro. Da mesma forma que o presente é um ponto incompreensível no tempo, a sucessão temporal sucessiva que chamamos de passado e futuro nada mais é do que uma ilusão da nossa mente. O infinito sucessivo é $\aleph_0$. Agora, pode haver algo além disso sucessão temporal ilusória? A matemática transfinita nos diz que sim, é $\aleph_1$. E curiosamente, há cerca de dois mil e quinhentos anos, um homem que deixou uma marca muito profunda na filosofia disse-nos que o tempo é a imagem em movimento da eternidade. Esse homem era Platão, e o diálogo em que ele o faz é o Timeu. Vamos pensar sobre as propriedades de $\aleph_1$. Está incluído em qualquer segmento geométrico que possamos conceber. Não é enumerável e da mesma forma que é impossível captar um ponto no espaço, também não podemos captar o momento presente. E além disso, a lógica simplista que nos diz que o todo é maior que a soma das suas partes desmorona, pois em cada região do plano ou espaço encontramos o mesmo número transfinito de pontos. O $\aleph_1$ é o símbolo matemático da eternidade, pois é igual a todo e qualquer uma de suas partes, independentemente do tamanho aparente.

Mais ainda, o mesmo raciocínio que fizemos para o tempo pode ser estendido ao espaço. Um número de pontos que se encontra ao longo de uma reta e em qualquer segmento desta, por menor que seja, um número que se encontra igualmente em qualquer região do plano e do espaço que tomemos, não importa o tamanho deste, indica-nos que o conceito de dimensão e extensão espacial também é ilusório. A ideia de comprimento desaparece, assim como a comparação entre o grande e o pequeno, da mesma forma que desapareceu a temporalidade do passado e do futuro. O tempo e o espaço nada mais são do que uma ilusão criada pela nossa mente. Platão, ao falar sobre as ideias puras ou os arquétipos, diz-nos a mesma coisa. Que os objetos físicos e os seres vivos nada mais são do que vestígios na matéria das ideias puras presentes no reino do inteligível.

À primeira vista, tudo isto nos parece absurdo. Isto porque estamos habituados a pensar que dois segmentos de comprimentos diferentes contêm um número diferente de pontos e que o tempo é uma sucessão discreta de instantes, um após o outro. Mas a matemática do infinito mostra-nos que uma sucessão ordenada de eventos extrapolados em direção ao infinito leva a uma série de paradoxos. O grande e o pequeno, o passado e o futuro nada mais são do que uma ilusão criada pela tendência da nossa mente de pensar sucessivamente. Como diriam os antigos hindus, nada mais são do que as vestimentas da Deusa Maya, a deusa da ilusão com aparência de realidade.

Notas:

[1] Platão, A República, livro VII, Ed. Alianza.

[2] É a opinião comumente aceite. Mas não é exatamente assim. Um rabino do século XVIII calculou através da gematria ou cábala o valor de π na Bíblia, encontrando 3.1416, que é uma aproximação muito boa. Veja-se o livro La proporción trascendental, págs. 26 e 27, editorial Ariel.

[Ver 1 Reis 7, 23: Fez também o mar de bronze de dez côvados (de diâmetro), duma borda à outra, redondo em toda a volta; a sua profundidade era de cinco côvados, e a sua circunferência media-se com um fio de trinta côvados.]

[3] A Doutrina Secreta, Volume I, pág. 88, ed. Sirio.

[4] A Doutrina Secreta, Volume I, pág. 74.

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A divisão da Aritmética - por Boécio

Alegoria da aritmética, de Margarita
 Philosophica por Gregor Reisch, 1503

Trecho retirado do livro Coleção de Artes Liberais Vol. 9: Aritmética do Instituto Hugo de São Vitor.

Proêmio: no qual está divisão da Aritmética

Anício Mânlio Torquato Severino Boécio

Todos os homens de antiga autoridade que, tendo o próprio Pitágoras como guia, floresceram com um tino mais puro de mente, convêm em que não é dado alcançar o cume da perfeição filosófica a qualquer um, mas somente àquele que, por nobreza e bom senso, é capaz da trilhar como que um caminho de quatro vias [quadrivium], o que, por certo, não escapará ao engenho do bom observador.

O entendimento da verdade é a sabedoria das coisas que são e das divisões da substância imutável. Dizemos que estas coisas nem crescem por expansão, nem diminuem por retração, nem se transformam por variações, mas se preservam, sempre apoiadas na força própria de sua natureza. São estas, no entanto, qualidades, quantidades, formas, magnitudes, pequenezas, igualdades, hábitos, atos, disposições, lugares, tempos e o que quer que se encontre unido aos corpos de alguma maneira. Apesar de unidas aos corpos, elas são de natureza incorpórea, carregam a noção de substância imutável; porém, pela participação no corpo, se transformam e pelo contato com coisas variáveis se sujeitam à inconstância cambiável.

As coisas, portanto, que participam da natureza da substância imutável, como foi dito, são as que de fato propriamente existem. A sabedoria lucra com a ciência destas coisas, isso é, coisas que propriamente existem, cada uma levando o nome de sua essência. Tais essências são partes semelhantes: mas uma é contínua e ligada por suas partes sem dividir-se por fim algum, como é uma árvore, uma pedra e todos os corpos deste mundo; esses tipos se chamam magnitudes; outra parte é disjunta de si, determinada por partes e trazida a uma assembleia quase que por acumulação, como um grupo, um povo, um coro, um monte e o que quer que tenha as partes limitadas por extremidades próprias e descontínuas aos términos de outra quantidade. Desta última, o nome próprio é multidão. Dentre elas, as multidões que não carecem de nada são per se, como três, ou quatro, ou o tetrágono ou o número que for. Outras quantidades, no entanto, não subsistem por si só, mas se referem a um outro, como o duplo, a metade, a sesquiáltera, o sesquiterço e tudo que, se não estivesse relacionado a outra quantidade, não subsistiria. Certas magnitudes, no entanto, são inertes, carecem de movimento, enquanto outras não descansam em tempo algum, sempre giram em rotação móvel. A aritmética, portanto, examina as multidões que por si só subsistem. Já aquelas quantidades que estão relacionadas a outras, as medidas da harmonia musical bem conhecem. Já o conhecimento da magnitude imóvel é a geometria, que promete, ao passo em que a experiência da astronomia reivindica para si a ciência da quantidade móvel.

Se a um examinador faltar essas quatro partes, ele não poderá encontrar o que é verdadeiro, pois sem esse exame da verdade não se conhece coisa alguma com acerto. Logo, o conhecimento destas coisas que realmente são, é entendimento e compreensão completa. E àquele que despreza tais coisas, ou seja, as sementes da sabedoria, declaro que não pode filosofar corretamente, se filosofia é mesmo o amor a sabedoria, pois, desdenhadas estas coisas, também é ela própria desdenhada.

Julgo dever adicionar que toda força da multidão cresce na progressão de um término e vai ao infinito. A magnitude, porém, começa de uma quantidade finita e sua divisão é sem medida, pois tem partes infinitas em seu corpo. A filosofia deixa de lado tal potência infinita e indeterminada da natureza. O que é infinito não pode ser captado pela ciência ou compreendido pela mente, de ter sido destas coisas que a própria razão extraiu a noção do infinito para si, para que pudesse exercitar sua argúcia indagatória da verdade. Ela tomou para si dentre a pluralidade da multidão infinita uma porção finita da quantidade, e da magnitude interminável uma seção de quantidade finita para o conhecimento do espaço. Logo, consta que quem negligencia tais coisas, deixa escapar a doutrina da filosofia.

Esta é aquela via de quatro caminhos (Quadrivium), pela qual as almas mais excelentes são conduzidas, dos sentidos naturais às coisas mais certas da inteligência. São certos degraus e dimensões do progresso, pelas quais se pode ascender. O olho da alma, o qual, como diz Platão, é mais digno de se guarnecer que muitos olhos corporais, pois somente à luz dele pode-se investigar e inspecionar a verdade; digo que estas disciplinas sempre iluminam este olho, estes velado. Qual, dentre estas que está imerso nos sentidos corporais e e é por artes, se deve aprender primeiro, senão aquela que, de algum modo, serve como uma matriz de princípios às demais? Essa é a aritmética. Ela é anterior a todas as outras, não só porque Deus, fundador desta enorme massa terrena, a tomou como primeiro exemplar de seu raciocínio e segundo ela constituiu todas as coisas, as quais encontram harmonia na razão construtiva pelos números ordenados; mas a aritmética também é dita anterior porque, seja qual for a natureza das coisas anteriores, estas, se removidas, ao mesmo tempo removem as posteriores. Ao passo que, se o que é posterior perece, nada se altera no estado da substância anterior. Por exemplo, o animal, que antecede homem. Pois se removes o animal, imediatamente também a natureza de homem é destruída, mas se tirares homem, a natureza animal não perece. Por outro lado, o que traz consigo alguma outra coisa, é sempre posterior, enquanto aquilo que, quando dito, nada de posterior traz consigo, é anterior, como se ilustra com o homem. Se disseres 'homem', nomeias 'animal' ao mesmo tempo, pois 'homem' e 'animal' são o mesmo; se dizes 'animal', nada disseste da forma de homem, pois 'animal' e 'homem' não são o mesmo. Precisamente isso parece ocorrer na geometria e na aritmética. Se removes os números, de onde provém o triângulo e o quadrado ou qualquer outra coisa em geometria, todos os números são denominativos? Por outro lado, se removeres o quadrado e o triângulo, toda a geometria será destruída, mas o três e o quatro e o restante dos números não perecerão. Novamente, quando me pronuncio sobre alguma forma geométrica, simultaneamente há nisso o nome implícito dos números; quando falo de números, não nomeio nenhuma forma geométrica. Mas a música é anterior aos princípios dos números, e aqui podemos provar não somente que são anteriores as coisas que existem por si, ao que faz referência a alguma outra coisa. Mas a modulação musical dos números é designada com nomes, e o mesmo que foi dito da geometria pode acontecer aqui. O diatessaron [1], o diapente [2] e o diapason [3] são chamados por nomes que fazem referência ao número. Além disso, a proporção entre os sons não é encontrada somente nos números. O intervalo de oitava, por exemplo, se calcula na proporção de dois números. O intervalo de quarta perfeita é uma modulação composta de intervalos de segunda. O chamam de intervalo de quinta é também composto intervalos menores. que Aquilo que conhecemos como epogdous [4] nos números, é o mesmo tom na música; e para que não haja grandes dificuldades nesta obra, se mostrará, definitivamente, quão anterior é a aritmética às outras artes.

E precede a astronomia esférica tanto quanto as outras duas disciplinas antecedem esta terceira natureza. Na astronomia, há o círculo, a esfera, o centro e o eixo médio de um círculo paralelo, que são todas preocupações da doutrina geométrica. Pelo que se mostra que são anteriores os princípios da geometria, pois todo movimento vem depois do repouso e na natureza a imobilidade sempre precede o movimento. A astronomia é, pois, a doutrina das coisas móveis, como a geometria o é das imóveis; ou, pode-se dizer, a astronomia é a doutrina dos movimentos das estrelas, adornado por modulações harmoniosas.

Portanto, o curso dos astros precede os princípios da música pela antiguidade, tanto quanto sem dúvida supera, pela natureza, a aritmética, pois aquela parece mais antiga que esta. Racionalmente, porém, pela própria natureza dos números foram constituídos o curso de estrelas e o sistema astronômico. Pois assim calculamos o nascer e o ocaso, e medimos a lentidão e a velocidade dos astros errantes. Assim, reconhecemos os eclipses e as múltiplas variações da lua. Portanto, uma vez que os princípios da aritmética devem primeiro ser esclarecidos, comecemos por ela a discussão.

Notas:

[1] Um intervalo de quarta perfeito.

[2] Um intervalo de quinta perfeito.

[3] Um intervalo de oitava perfeito.

[4] Uma proporção musical de 9:8, ou um todo e mais um oitavo.

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Introdução geral ao Quadrivium (Matemáticas)

Sobre a imagem: O tetraktys dos pitagóricos ampliado pelo lambda do Timeu. Platão manteve três números escondidos e revelou apenas sete: $1, 2, 3, 4, 8, 9$ e $27$, em relação aos planetas. Seixos ou khálix (forma grega para “cal’’: resíduos de minerais ou metais após a calcinação) era a norma grega para a matemática.

Introdução Geral

O Quadrivium foi inicialmente formulado e ensinado por Pitágoras como o Tetraktys [1], por volta de 500 a.C., em uma comunidade em que todos eram iguais, até materialmente e moralmente, e na qual as mulheres possuíam um status equivalente ao dos homens. Foi a primeira estrutura de ensino europeia a aprimorar a educação enfocando em sete temas essenciais, depois conhecidos como as sete artes liberais.

Educação vem do latim educere [2], que significa "conduzir para fora" [3], apontando para a doutrina central que Sócrates, sob a pena de Platão, elucidou tão claramente — o conhecimento é parte inerente e intrínseca da estrutura de nossa alma. O Trivium da linguagem está estruturado sobre os valores fundamentais e objetivos da Verdade, da Beleza e da Bondade [4]. Seus três temas são: a Gramática, que assegura a boa estrutura da linguagem; a Lógica, para encontrar a verdade; e a Retórica, para o belo uso da linguagem ao expressar a verdade. O Quadrivium surge do mais reverenciado de todos os assuntos disponíveis à mente humana: o número. A primeira dessas disciplinas é a Aritmética. A segunda é a Geometria ou a ordem do espaço como número no espaço. A terceira é a Harmonia, que, para Platão, significava o número no tempo. A quarta é a Astronomia ou o número no espaço e no tempo. Todos esses estudos oferecem uma escada segura e confiável para alcançar os valores simultâneos da Verdade, da Beleza e da Bondade. Por sua vez, isso leva ao valor essencial e harmonioso da Totalidade.

A alma humana, que Sócrates provou ser imortal no Fédon, vem de uma posição de completo conhecimento antes de nascer no corpo. Recordar [5] — o ponto principal da educação — significa trazer novamente ao coração algo que ficou esquecido. O objetivo de estudar essas disciplinas era ascender de volta à Unidade através de uma simplificação, baseada na compreensão adquirida pela prática em cada área do Quadrivium [6]. A finalidade residia em encontrar sua fonte (tradicionalmente, este era o único propósito da busca do conhecimento).

Em sua discussão sobre os ideais da educação, Sócrates revela seu modelo de continuidade da consciência. Era como uma "linha" traçada verticalmente, atingindo desde os primórdios do conhecimento consciente em avaliações até o clímax da consciência como noesis, que é o entendimento unificado. Para além disso, está o indescritível e o inefável. Há, significativamente, quatro fases (outro quadrivium ou tetraktys) dadas pela divisão de Sócrates da "linha ontológica". A primeira divisão encontra-se entre o mundo sensorial e o mundo inteligível, que são fundamentais, assim como entre mente e matéria. A seguir, cada um deles é dividido. Esse é o lugar onde as avaliações podem ser distinguidas das opiniões — mesmo as opiniões corretas, porém ainda baseadas na experiência sensorial. Acima da primeira linha divisória, entramos no mundo inteligível da Mente e encontramo-nos no reino que "comporta a verdade" do Quadrivium. Este é agora o conhecimento objetivo. A última e mais elevada divisão do inteligível é o Nous ou Conhecimento Puro propriamente dito, em que conhecedor, conhecido e conhecimento se tornam Um. Essa é a finalidade e a fonte de todo o conhecimento. Assim, com tempo e sabedoria testados, o Quadrivium oferece ao buscador sincero a oportunidade de recuperar a própria compreensão interna da natureza integral do universo e de si mesmo como parte inseparável desse universo.

A aritmética possui três níveis: o materialmente numerado, o número dos matemáticos (indefinido) e o número ideal ou arquetípico completo no dez. A geometria desdobra-se em quatro estágios: o ponto não dimensional, que se move para se tomar uma linha; a linha move-se para se tornar um plano; e, finalmente, o plano alcança a solidez como o tetraedro. A harmonia, que é igualmente a natureza da alma, possui quatro "escalas", como a música: a pentatônica [7], a diatônica [8], a cromática [9] e a shruti [10]. A palavra cosmos foi criada por Pitágoras e significa "ordem" e "ornamento". Esta última era a forma com que os gregos descreviam o céu que podemos ver como um "ornamento" dos princípios puros, o número dos planetas visíveis relacionado aos princípios da harmonia proporcional. O estudo da "perfeição" do céu servia como uma forma de aperfeiçoar os movimentos da própria alma.

Dentre os estudantes do Quadrivium estão: Cassiodonus, Filolau (de Crotona), Timeu, Arquitas (de Tarento), Platão, Aristóteles, Eudemus, Euclides, Cícero, Fílon, o Judeu (de Alexandria), Nicômaco, Clemente de Alexandria, Orígenes, Plotino, Jâmblico, Macróbio, Capella (a versão mais divertida disponível), Dionísio Areopagita, Beda (o Venerável), Alcuíno, Al-Khwarizmi, Al-Kindi, Eurigena, Gerbert d’Aurillac (Papa Silvestre II), os Irmãos da Pureza, Fulbert, Ibn Sina (Avicena), Hugo de São Vitor, Bernardo Silvestre, Bernardo de Claraval, Hildegard von Bingen, Alanus ab Insulis (Alain de Lilles), Joaquim de Fiore, Ibn Arabi, Robert Grosseteste (o grande cientista inglês), Roger Bacon, Tomás de Aquino, Dante e Kepler.

Terminemos com uma citação dos pitagóricos, dos Versos Dourados: "E saberás que a lei [...] estabeleceu a natureza interna de todas as coisas de modo idêntico"; e com outra de Jâmblico: "Não foi por tua causa que o mundo (cosmos) foi gerado, mas foste tu que nasceste para o bem dele".

Keith Critchlow

Notas:

[1] Representação pitagórica em forma de triângulo, denominado "triângulo perfeito". Para os pitagóricos, os números mantinham uma relação direta com a matéria, considerando, por exemplo, o número $1$ como um ponto, o $2$ como uma reta, o $3$ como uma superfície, e o $4$ como um sólido. Assumindo que $1 + 2 + 3 + 4 = 10$, o número $10$ era visto como uma espécie de conjunto de $4$ elementos, o alicerce das coisas do mundo. Assim, de acordo com os pitagóricos, o $10$ corresponderia a um tetraktys. (N. T.)

[2] Verbo composto, formado pelo prefixo ex (fora) e pelo verbo ducere (conduzir, levar). (N. T.)

[3] Do inglês lead out, o verbo, aqui, não se aplica a um movimento físico de direcionamento, mas à ação de preparar um indivíduo para o mundo. (N. T.)

[4] Ver Irmã Miriam Joseph, O Trivium — As Artes Liberais da Lógica, da Gramática e da Retórica. São Paulo, É Realizações, 2014.

[5] Do latim, verbo composto pelo prefixo re (novamente) e pela palavra cordis (coração). (N. T.)

[6] É importante lembrar que. para os antigos romanos e gregos, o coração não era a sede dos sentimentos, como hoje pensamos, mas a localização física da mente, do pensamento. Além disso, a mente não estava situada na cabeça ou no cérebro, mas dentro do peito. Por isso, voltar a passar pelo coração significava a mesma coisa que voltar à mente ou retomar ao pensamento No original em inglês deste texto, o autor utilizou o verbo remember (lembrar, relembrar, recordar), associando-o literalmente à reunião de membros separados ou dispersos novamente em uma totalidade Por essa razão, segue-se a afirmação sobre a subida de volta à Unidade. (N. T.)

[7] Conjunto de todas as escalas formadas por cinco notas ou, em outras palavras, uma escala com cinco notas musicais por oitava. Escalas pentatônicas são muito comuns e podem ser encontradas em todo o mundo. As mais usadas são as pentatônicas menores e as maiores, que podem ser ouvidas em estilos musicais como o blues, o rock e a música popular. Muitos músicos chamam-na simplesmente penta. (N. T.)

[8] Escala de oito notas, com cinco intervalos de tons e dois intervalos de semitons (menor intervalo utilizado nessa escala) entre as notas. Esse padrão se repete a cada oitava nota, numa sequência tonal de qualquer escala É típica da música ocidental e concerne à fundação da tradição musical europeia. As escalas modernas maior e menor são diatônicas, assim como todos os sete modos tonais utilizados atualmente. (N. T)

[9] Escala que contém doze notas com intervalos de semitons entre elas. (N. T.)

[10] Termo sânscrito utilizado em diversos contextos ao longo da história da música indiana. Literalmente, significa "aquilo que é ouvido" e representa o menor intervalo de altura do som que o ouvido pode detectar. (N. T.)

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Trecho extraído da introdução do livro O Quadrivium: as quatro artes liberais clássicas da aritmética, da geometria, da música e da cosmologia. John Martineau (org.). É Realizações, 2014. 

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Sobre as Sete Artes Liberais - Rabano Mauro

Trechos retirado do livro Trivium e Quadrivium publicado pelo Instituto Hugo de São Vitor da Coleção de Artes Liberais Vol. 1.

I. Sobre a Gramática e suas espécies

A primeira das artes liberais é a gramática, a segunda retórica, a terceira dialética, a quarta aritmética, a quinta geometria, a sexta música, a sétima astronomia. A gramática tem seu nome de gramma, letra, como a etimologia da palavra mostra, pode-se definir: a gramática é a ciência que ensina ao explicar os poetas e historiadores e a maneira de escrever e falar corretamente. Ela é a origem e o fundamento das artes liberais, e é apropriado lê-la na escola católica, porque nela é baseada a arte da correta fala e escrita. Como alguém reconhecerá o poder da palavra falada ou o significado das letras e sílabas se não a aprendeu primeiro? Ou como alguém poderia entender a diferença de nível, pronúncia e grau de comparação se não fora ensinado sobre isso neste assunto? Ou como se saberiam as regras sobre as partes do discurso, a beleza das figuras, o poder das figuras, os princípios da explicação das palavras, a grafia correta, se não se familiarizou com a arte da gramática antes? Sem falhas, e não apenas isso, é louvável que quem aprende e adora esta arte, o faça não como um argumento vazio com palavras, mas aprenda a arte da fala e da fluência correta na escrita. Ela é a juíza de todos os escritores de livros porque condena todos os erros assim que os vê e confirma a boa ortografia com o seu consentimento. Todas as figuras do discurso, tantas das quais a arte secular conhece, podem ser encontradas nos livros sagrados. Além disso, nossos escritores usaram gravuras com mais frequência e abundância do que se possa pensar e acreditar e qualquer um que ler cuidadosamente os livros sagrados encontrá-las-á.  E não há apenas exemplos de todas essas figuras, mas algumas delas também estão nos próprios nomes dos livros bíblicos, como alegoria, enigma, parábola. Portanto, todo o seu conhecimento é necessário para esclarecer certas partes das Escrituras; porque se alguém quisesse usar as palavras no sentido apropriado, não haveria mais dúvidas. Portanto, é necessário examinar se isso ou aquilo que não entendemos é talvez uma expressão pictórica; dessa maneira, a maior parte do que antes era escuro ficou claro. O ensino dos metros dos versos — que também é tratado na gramática — também não deve ser negligenciado, porque, segundo o testemunho de São Jerônimo, o saltério hebraico às vezes se move em jâmbicos, às vezes soa no verso alcéico, às vezes soa na estrofe sáfica, às vezes dá passos de meio metro. O Deuteronômio, a canção de louvor de Isaías, bem como Salomão e Jó, são originalmente compostos por hexâmetros e pentâmetros fluidos, como atestam Josefo e Orígenes. Portanto, não é necessário desconsiderar esse ensinamento, embora geralmente seja encontrado entre escritores pagãos, deles aprenda-se o quanto for necessário. Muitos homens cristãos escreveram livros sobre essa arte a partir de livros desenhados e tentaram agradar a Deus: Juvenco, Sedúlio, Arator, Alcuíno, Clemente, Paulino, Fortunato e muitos outros. No entanto, se quisermos ler os poemas e os livros dos pagãos em geral pelo bem de seus discursos, devemos proceder como a mulher no cativeiro, de quem o quinto livro de Moisés fala. Lá, o Senhor ordena que, se um israelita quiser que ela seja sua mulher, ela deve raspar os cabelos da cabeça, cortar as unhas, tirar o vestido em que foi pega e depois deixá-la sob a autoridade do vencedor. Se entendermos isso pela letra, é ridículo. Por isso, também fazemos isso e precisamos fazê-lo quando lemos os poetas pagãos, quando livros de sabedoria mundana entram em nossas mãos. Se encontrarmos algo útil, aplicamos à nossa doutrina; mas o que é prejudicial, dos ídolos, dos casos de amor, das preocupações com as coisas temporais devem ser eliminadas e cortadas com a faca mais afiada. Mas, acima de tudo, temos que garantir que essa liberdade não irrite os fracos, para que o irmão, que ainda é fraco em nossa ciência e por quem Cristo morreu, não pereça quando nos vir lidar com os ídolos.

II. Sobre a Retórica

A retórica, como dizem os professores, é a instrução para falar bem na sabedoria secular, na medida em que se relaciona com questões civis. Se, mesmo depois dessa explicação, parece se referir apenas à sabedoria mundana, ainda permanece não muito distante da sabedoria da Igreja. Porque tudo o que o orador e professor da lei divina ensina de maneira eloquente e delicada, ou o que ele apropriada e refinadamente coloca no papel se relaciona com a experiência nesta arte. Aqueles que adotaram esta arte em tempo hábil e que seguem suas regras ao escrever e ao fazer um discurso não precisam temer que estejam cometendo um erro; e quem dela se apropria tão perfeitamente para pregar a Palavra de Deus está fazendo um bom trabalho. Pois tanto a verdade quanto a falsidade podem ser aconselhadas. Quem ousaria dizer que a verdade deve estar indefesa contra as mentiras, de modo que aqueles que querem impor algo errado sejam ínclitos, atentos e dóceis ao ouvinte, e nós não? Que eles representam o errado de maneira sucinta, clara e plausível, enquanto nós apresentamos a verdade de tal maneira que os ouvintes se cansam e não entendem o que é dito? Que eles que aparentemente atacam a verdade e pregam o falso, mas que nós sejamos incapazes de defender a verdade e refutar o falso? Que eles enganam e levam a mente do ouvinte ao erro, aterrorizam, entristecem, a aquecer os ânimos com suas palavras, mas que nós somos preguiçosos, frios e sonolentos à verdade? Quem seria tão irracional em pensar que isso é razoável? Então o dom da fala é um meio, de fato, que pode ajudar muito a falar sobre o mal e o bem. Por que o homem bom não deve se esforçar por adquiri-lo, de modo a argumentar a favor da verdade, mais do que os maus em favor de seus atos errados e vãos? O que quer que seja considerado um hábito e uma regra aqui, tu só podes alcançar o que é chamado eloquência pelo uso apropriado das ricas técnicas e pela prática constante da língua. E isso deve ocorrer em um tempo definido especificamente para esse fim e em idade apropriada nas quais aprende-se e adquire-se a arte rapidamente. Mesmo os oradores mais excelentes entre os romanos não deixaram de dizer que essa arte só pode ser aprendida cedo ou nunca. No entanto, não a valorizamos tanto que desejamos incentivar pessoas mais maduras a fazê-lo. Basta que alguns jovens se esforcem para fazer o que é preciso em benefício da Igreja, mas apenas aqueles que ainda não são requisitados para coisas mais urgentes. Porque se tu não tens um espírito aguçado e vivo, é mais fácil obter eloquência ouvindo homens eloquentes ou lendo seus escritos do que estudando as regras da eloquência. Além dos livros canônicos, não deve haver falta desses escritos eclesiásticos, que estão associados à barreira protetora da autoridade superior. E bom que o jovem leia e compreenda e, se prestar atenção ao conteúdo, que seja pelo menos influenciado pelo modo de falar sobre o assunto, principalmente ao lidar com ele quando existe a prática de escrever, dispor e, finalmente, também recitar o que ele acredita de acordo com a piedade e a regra da fé. Mas isto já é o suficiente sobre a retórica, mais abaixo explicarei as regras para os diferentes tipos de eloquência em mais detalhes.

III. Sobre a Dialética

A dialética é a ciência da razão, que ensina a investigar, definir e explicar os termos, para poder distinguir o verdadeiro do falso. E, portanto, a ciência das ciências; ensina como ensinar e como aprender; nela, a razão mostra e se abre ao que é, ao que quer e ao que vê. Ela sozinha define o que é conhecimento e, além de querer nos dar o conhecimento, também pode fazê-lo. Ao raciocinarmos através dela, podemos concluir o que somos e de onde viemos; através dela, reconhecemos quem é bom e o que é bom, quem é o criador e a criatura; através dela, exploramos o verdadeiro e reconhecemos o errado; através dela, aprendemos a tirar conclusões e descobrir o que é o certo a ser seguido e não o que está em conflito com a essência das coisas, o que é verdadeiro em questões e disputas, o que é provável e o que está completamente errado. Nesta ciência, investigamos tudo engenhosamente, explicamos corretamente e discutimos com Sabedoria. Portanto, o clero deve entender essa nobre arte e manter suas regras sob constante reflexão, para que possam ver claramente a astúcia dos professores mal orientados e refutar seus ditos envenenados com conclusões engenhosas. Porque existem muitas das chamadas falácias, falsos raciocínios, que geralmente são tão parecidos com os reais que enganam não apenas fracos, mas também os inteligentes se não estiverem atentos. Em uma conversa entre dois, um afirmou: “O que eu sou, você não é”. O outro admitiu. Era parcialmente verdade, em parte porque um era um pouco mal intencionado e o outro era inofensivo. Depois, acrescentou: “Mas eu sou um ser humano.” Isso também foi admitido pelo outro, do qual surgiu a conclusão: “Então você não é um ser humano”. Na minha opinião, essas conclusões cativantes abominam as Escrituras na maior parte do tempo em que diz: “Quem fala enganosamente é odioso”. Aliás, esse discurso, que não é cativante, mas tem mais decoração das palavras do que dignidade, é chamado de enganador. Também existem raciocínios corretos que levam a conclusões erradas tiradas do erro da pessoa com quem se está tratando. Mas eles também são atraídos por um homem justo e educado, de modo que o homem que persegue o erro, se envergonha de desistir do erro. Porque se ele quisesse permanecer nele, ele também teria que aceitar o que rejeita como errado. Portanto, não foi uma conclusão correta quando o apóstolo disse: “Assim, Cristo não ressuscitou”; e quando ele acrescenta: “Portanto, nossa fé é em vão, também nosso sermão é em vão”. Isso é totalmente errado, porque Cristo ressuscitou e o sermão daqueles que creram não foi em vão. Mas, como a conclusão está errada, a premissa também deve estar errada. Este pré-requisito diz: “Não há ressurreição dos mortos”, diziam aqueles cujo erro o apóstolo queria refutar. Pois, a partir do pré-requisito que estabeleceram que não há ressurreição dos mortos, segue-se necessariamente: “Portanto, Cristo não ressuscitou”. Agora, esta conclusão está errada, pois Cristo ressuscitou. Daí a premissa de que não há ressurreição dos mortos é ruim. Portanto, há uma ressurreição dos mortos. Em poucas palavras, toda essa evidência é a seguinte: “Se não houver ressurreição dos mortos, Cristo não terá ressuscitado. Mas Cristo ressuscitou, então há uma ressurreição dos mortos”. Como as conclusões corretas podem assim ser derivadas não apenas da verdade, mas também de pressupostos errados, é fácil aprender uma conclusão correta também nas escolas que estão fora da Igreja. Permaneça na Igreja, mas as frases verdadeiras podem ser encontradas nos santos livros eclesiásticos, mas a exatidão das conclusões não foi introduzida pelos homens, mas foi percebida e observada por eles e pode ser aprendida e ensinada. Está na natureza imperecível e determinada por Deus, como ele mesmo a criou. Isto é suficiente para a lógica, vamos à matemática.

IV. Sobre a Matemática

Matemática é o que em latim chamamos de ciência que ensina, que considera a quantidade abstrata. A quantidade abstrata é dita aquela que, pelo intelecto, separamos da matéria ou de outros acidentes, como as noções de par e ímpar ou outras coisas que somente tratamos pelo raciocínio. A matemática é dividida em aritmética, música, geometria e astronomia. Falarei delas de acordo com esta ordem.

Sobre a Aritmética

Aritmética é a ciência dos números em si mesmos. Portanto, é a teoria dos números, porque ἀριθμον em grego significa número. Os escritores seculares a colocam à frente das ciências matemáticas porque ela existe como um assunto independente, sem precisar de mais nada. Por outro lado, a música, a geometria e a astronomia precisam da aritmética para poderem existir. Josefo, o hebreu erudito, conta no capítulo 9 do primeiro livro de suas Antiguidades que Abraão ensinou aritmética e astronomia aos egípcios, e foi a partir desse ensino que estes homens engenhosos desenvolveram outros assuntos. Nossos Santos Padres aconselham, com razão, o estudo desta arte com grande entusiasmo, porque, dessa maneira, os pensamentos são, em grande parte, atraídos pelos sentidos e direcionados para o que podemos compreender com o coração com a graça do Senhor. O significado do número também não deve ser ridicularizado. Em muitos lugares, as Escrituras Sagradas mostram o quanto algo parece ser alto quando olhado de perto. Não é à toa que louvamos a Deus por ter criado tudo com tamanho, número e peso. Mas cada número é determinado por suas peculiaridades, de modo que nenhum deles pode ser igual ao outro. Eles são, portanto, desiguais e diferentes um do outro; cada um é diferente, cada um é limitado e todos são ilimitados. Mas quem se atreve a subestimar os números como se não pertencessem ao conhecimento de Deus? Pois Platão, que é tão respeitado, diz que Deus criou o mundo a partir dos números. Aqui também o Profeta diz de Deus: “Ele cria o mundo em números”. O Salvador também diz no evangelho: “Todo o seu cabelo é contado”. Os números se apresentam aos nossos olhos, como se fossem imagens dos corpos, por exemplo, quando se considera a composição, ordem e divisão do número de seis; no entanto, a visão mais alta e mais prevalente não concorda com ela, porque engloba a natureza do número; em outras palavras, significa que a unidade do número não pode ser dividida em partes, enquanto todos os corpos podem ser divididos em partes. “Sim,

o céu e a terra, criados após o número seis, passariam mais cedo do que poderia acontecer que o número seis não consistisse em suas partes. Portanto, não podemos dizer que o número seis é perfeito porque Deus fez tudo em seis dias, completou suas obras, mas é por isso que Deus completou suas obras em seis dias, porque o número seis é perfeito. Portanto, se essas (obras) não estavam lá, que (número) seria perfeito; mas se não fosse perfeito, elas não seriam perfeitas. A ignorância dos números também é responsável pelo fato de que não se entende muitas coisas que são figuradas e misteriosamente mencionadas nas Escrituras. A mente inquiridora, pelo menos, não merece esse nome, a menos que saiba por que Moisés, Elias e o próprio Senhor jejuaram por quarenta dias. O significado secreto desta ação não pode ser explicado sem que se conheça este número. São dez vezes quatro, por assim dizer, o conhecimento de todas as coisas entrelaçadas com os tempos. Depois, em quatro, as horas do dia e as estações do ano correm; as horas do dia são as horas da manhã, meio-dia, tarde e noite; e as estações do ano a primavera, o verão, o outono e o inverno. Porém, enquanto vivermos no tempo, temos que evitar a conveniência dos tempos e jejuar pelo bem da eternidade em que queremos viver. A passagem do tempo já nos ensina que devemos subestimar o temporal e buscar o eterno. O número dez denota o conhecimento do criador e das criaturas. Como o número três vai para o criador, o número sete designa a criatura após a vida e o corpo. Como existem três, também devemos amar a Deus com todo o coração, alma e mente. No corpo, no entanto, os quatro elementos dos quais consiste são evidentes. Se tomarmos o número dez temporalmente, isto é, se o multiplicarmos por quatro, devemos recomendar que vivamos castos e relutantes em desfrutar do prazer temporal, ou seja, em jejuar por quarenta dias. E isso que a lei incorporada em Moisés quer; é isso que os profetas ensinam, representado em Elias; o próprio Senhor exorta a isso, que, como atestado pela lei e pelos profetas, foi transfigurado no meio da montanha diante dos olhos dos três discípulos espantados. Há também a questão de como o número cinquenta vem de quarenta. Esse número também é santificado em grande parte em nossa religião pelo Pentecostes. Se tomares as mesmas três vezes, por causa das três vezes antes da lei, sob a lei e sob a graça, ou por causa do nome do Pai, do Filho e do Espírito Santo, adicionarás as três, por causa do segredo mais sublime e sagrado da nossa Igreja, existem 153, que é o número de peixes capturados nas redes jogados para a direita após a ressurreição do Senhor. Ainda existem muitos relacionamentos secretos entre as diferentes formas de números nos livros sagrados que estão ocultos aos leitores por causa da ignorância dos números. Portanto, aqueles que querem aprender sobre as Escrituras devem aprender diligentemente esta arte. Se a aprenderes, entenderás os números misteriosos nos livros sagrados com mais facilidade.

V. Sobre a Geometria

Agora queremos passar para a geometria, que consiste na representação vivida das figuras. E uma ferramenta de ensino amplamente utilizada pelos filósofos, que dizem que Júpiter pratica constantemente geometria em seus trabalhos. Mas me parece questionável se há elogios ou críticas, a saber, se eles confessam que Júpiter desenhe no céu o que eles representam com areia colorida na terra. Se estivesse corretamente relacionada ao verdadeiro Criador e Deus Todo-Poderoso, a frase seria, na melhor das hipóteses, baseada na verdade. Pois a Divindade Sagrada é baseada na geometria, se assim se pode dizer, atribuindo diferentes tipos e formas às suas criaturas, que Ela ainda chama à existência; ou se Ela dirige às estrelas com seu poder digno de adoração, deixa os planetas rolarem certos círculos e grampeiam as estrelas fixas em certos pontos. Os ensinamentos dessa ciência podem ser aplicados a tudo que está bem organizado. De acordo com o texto, geometria significa medir a terra. Sua definição é: a ciência de tamanhos e formas imóveis. Segundo as várias figuras, o Egito foi distribuído pela primeira vez aos proprietários individuais, como alguns dizem. Os mestres nesta arte foram, portanto, chamados de agrimensores. Mas Varro, um dos mais instruídos entre os latinos, diz que esse nome vem do fato de que uma vez que as pessoas mediam os países e definiam as fronteiras, povos errantes a usaram para os acordos de paz; depois, eles teriam dividido todo o curso do ano em meses, e, portanto, os meses também têm seu nome como corte do ano. Mas quando essas coisas foram encontradas, elas foram levadas pela curiosidade a investigar o invisível e começaram a perguntar a que distância a lua estava da terra, a que distância o sol estava da lua; quanto é a distância até o ápice do céu. Os geômetras mais habilidosos, ele diz, teriam revelado isso. Então, como ele relata com credibilidade, toda a Terra foi ocupada, e é por isso que a própria ciência recebeu o nome de metrologia da terra, que agora se mantém há muitos séculos. Essa ciência também foi usada na construção do tabernáculo e do templo, onde há círculos e esferas da mesma escala, depois também hemisférios, quadrados e outras figuras. Saber tudo isso é de grande benefício para aqueles que estão preocupados com isso, para uma compreensão mais profunda.

VI. Sobre a Música

A música é a ciência que lida com as relações dos números, principalmente os encontrados nos tons, como duplo, triplo, quádruplo e similares. Esta ciência é, portanto, tão nobre e tão útil que aqueles que não a possuem não podem preencher adequadamente um ofício espiritual. Isso pode ser devido à pronúncia correta das leituras, ao adorável canto dos salmos na igreja, essa ciência leva a isso, e não apenas para ler e cantar na igreja, mas para realizar todo o culto adequadamente. Assim, o assunto da música se estende a todas as ações de toda a nossa vida da seguinte maneira: Primeiro, quando observamos os mandamentos do nosso Criador e O servimos com a mente pura no momento certo. Porque tudo o que estamos falando ou o que nos move internamente devido à pulsação prova que tudo está conectado com forças harmônicas através do ritmo da música. A música é a ciência da batida e medida certa. Portanto, se lutarmos por uma causa justa, nos mostraremos como verdadeiros amigos desta arte; mas quando fazemos o mal, não temos harmonia. Até o céu e a terra, junto com tudo o que acontece neles através de influência mais alta, nada mais são do que música; Pitágoras afirma que este mundo foi criado pela música e pode ser governado por ela. Também está intimamente relacionado à religião cristã; portanto, a ignorância de algumas coisas musicais esconde e obscurece muitas coisas. Alguém levantou temas engenhosos sobre a diferença entre harpa e citara; e, quanto à harpa de dez cordas, os estudiosos argumentam com razão se existe uma lei musical que exige um número tão grande de cordas ou, se esse não for o caso, se esse número não é particularmente sagrado por causa dos dez mandamentos da lei. Se a pergunta também for levantada por causa desse número, ela deve ser encaminhada apenas ao criador e à criatura, como foi demonstrado em relação ao número dez acima. Até o número de anos que levou para a construção do templo, 46, segundo o Evangelho, parece expressar algo harmonioso. Se alguém se refere ao templo do corpo do Senhor, o que significa quando o templo é mencionado, muitos dos professores de erros têm que admitir que o filho de Deus não adotou um corpo aparente, mas real e humano. Portanto, descobrimos que tanto os números quanto a música são honrados em muitos lugares das Escrituras Sagradas. Tão longe de nós estão os erros da superstição pagã, que as nove musas inventaram como as filhas de Júpiter e Mnemosine (memória). Varro já os refutou, e não creio que tenha havido um pesquisador acadêmico e engenhoso nesse assunto. Ele diz que uma cidade — não me lembro o nome — ordenou que três estátuas das musas de três artistas fossem colocadas como presentes votivos no templo de Apoio, para que fossem comparadas e a mais bela, escolhida e comprada. Mas aconteceu que esses artistas apresentaram suas obras igualmente bonitas, de modo que os cidadãos gostaram das nove. Então todas foram compradas para serem dedicadas a Apoio no templo. Então, ele diz, o poeta Hesíodo acrescentou os nomes a elas. Sendo assim, Júpiter não criou as nove musas, mas três artistas produziram três cada. Mas os três escolheram a cidadania não porque os viram em seus sonhos ou porque muitos estavam flutuando na frente de qualquer um deles, mas porque era fácil observar que toda nota que forma a base da melodia tem uma natureza tríplice: ou é provocada pela voz, como naqueles que cantam com a garganta sem acompanhamento instrumental; ou tocando, como trombetas e flautas; ou golpeando, como citaras e tímpanos e todos os outros instrumentos, que são tocados com golpes. Seja como Varro relata ou não, não precisamos fugir da música por causa de abusos supersticiosos se pudermos aprender algo que seja útil para entender as Escrituras. Nem devemos nos permitir ser tentados às piadas teatrais se estivermos lidando com citaras e instrumentos de som para obter ganho intelectual. Nós também não aprendemos as ciências, embora elas tenham Mercúrio como deus da virtude e da justiça porque honram as consagrações do templo em homenagem a elas e preferem adorá-las em pedras, em vez de em corações? Todo o bom e verdadeiro cristão deve estar convencido de que, onde quer que encontre a verdade, seu Deus também estará presente.

VII. Sobre a Astrologia

Finalmente, há a astronomia, que, como alguém disse uma vez, é uma ferramenta de ensino digna para os piedosos e um grande incômodo para os curiosos. Ou seja, quando a exploramos com uma mente mais alta e humilde, ela preenche nossa mente, como dizem os idosos, com grande clareza. O que significa subir ao céu em seus pensamentos, investigar sua formação como um todo com um espírito inquiridor e, pelo menos parcialmente, compreender a nítida perspicácia da mente que criou um espaço tão grande! Porque, como dizem alguns, o mundo deve ser agrupado em uma bola redonda e, assim, compreender as várias formas de coisas ao seu redor. Sêneca, de acordo com as investigações dos filósofos, escreveu um livro sobre esse assunto com o título “A Forma do Mundo”. A astronomia com a qual estamos lidando agora é chamada Lei das Estrelas, porque elas não fazem isso de outra maneira além daquela determinada pelo Criador, e nem existem ou se movem a menos que mudou milagrosamente após a decisão divina. Lemos que Joshua Nave ordenou que o sol em Gabaon ficasse parado, e que em sua época de o rei Ezequias recuou dez passos, para que o sol escurecesse por três horas, o tempo em que o Senhor sofreu, e que milagres são chamados de fenômenos porque se destacam de uma maneira impressionante contra o curso normal da natureza, como dizem os astrônomos. As estrelas parecem estar firmemente no céu, por outro lado, os planetas se movem, isto é, são estrelas errantes, que completam seu curso de acordo com certas leis, como já foi dito. A astronomia é a ciência que lida com o curso e as imagens das estrelas, bem como com todos os relacionamentos das estrelas entre si e com a terra com um espírito inquiridor. Há uma certa diferença entre astronomia e astrologia, embora ambas façam parte de uma só ciência. Porque a astronomia inclui a rotação do céu, a ascensão, o pôr e o movimento das estrelas e de onde elas receberam seu nome. Em contraste, a astrologia se baseia em parte na natureza, em parte na superstição. A astrologia natural deriva uma certa qualidade de tempo do curso do sol, lua e estrelas; a supersticiosa, no entanto, é aquela que os matemáticos seguem, aqueles que contam a sorte nas estrelas, que distribuem os doze sinais do céu entre os membros individuais da alma ou do corpo e tentam dar natividade às pessoas a partir do curso das estrelas. Esta parte da astrologia — que se baseia na exploração da natureza, explora cuidadosamente o curso do sol, da lua e das estrelas e de certas mudanças no tempo — o clero cristão deve adquirir com um exame cuidadoso, a fim de fazer suposições confiáveis baseadas nas regras confiáveis e tirar conclusões inequívocas não apenas para investigar períodos passados de acordo com a verdade, mas também para poder julgar o futuro com probabilidade. Também deve poder observar cuidadosamente o início da Páscoa e os horários específicos de todos os festivais e celebrações, a fim de torná-los conhecidos do povo cristão pela celebração.

VIII. Sobre os livros dos filósofos

Creio que expliquei suficientemente o quão útil é para os católicos aprenderem as sete artes liberais das formas seculares. Queremos acrescentar que, se há algo nos escritos e tratados dos chamados filósofos que seja verdadeiro e de acordo com nossa crença, especialmente entre os platônicos, não só não precisamos ter medo, mas também devemos nos apropriar de tudo. Pois como os egípcios não apenas tinham ídolos e serviços religiosos que o povo de Israel detestava e fugia, mas também vasos de ouro e prata, e roupas que estes secretamente se apropriavam para um melhor uso quando saíram do Egito, não por sua própria presunção, mas porque foi ordenado por Deus que os próprios egípcios emprestaram, sem pensar, o que não usavam adequadamente. Sendo assim, todos os sistemas de ensino pagãos contêm não apenas poemas falsos e supersticiosos e um fardo opressivo de trabalho inútil, que cada um de nós, aqueles que Cristo chamou, deve evitar. Mas entre elas estão as artes liberais que acabamos de discutir, que são muito adequadas ao serviço da verdade e são muito úteis à vida, existe algo do Deus verdadeiro entre elas. E estas coisas pagãs, como se fossem ouro e prata, não os prepararam, mas antes cavaram os poços para Providência Divina, que permeia tudo; mesmo fazendo isso às mentiras, erros e injustiças e as usando mal a serviço do diabo. O cristão agora, que em espírito se afasta de sua triste condição de pecado, deve aprender estas artes e usá-las para o fim correto, para a proclamação do evangelho. Também suas roupas, isto é, suas instituições humanas, adaptadas à sociedade civil e indispensáveis para esta vida, podem ser apropriadas para uso cristão. E o que mais muitos de nossos bons crentes fizeram? Eles não se mudaram do Egito com tanto ouro, prata e roupas quanto possível? Tanto Cipriano, tão distinto e professor amoroso quanto um mártir feliz, quanto Lactâncio, Victorino, Optato, Hilário e inúmeros estudiosos seguiram o exemplo dado pelo servo mais fiel de Deus, Moisés, que disse: “Ele foi ensinado com toda a sabedoria dos egípcios”. O paganismo supersticioso nunca teria de todos esses homens — e menos ainda no momento em que era sacudido o jugo de Cristo e seus discípulos perseguidos — as ciências que lhe pareciam úteis, se houvesse suspeita de que elas poderiam ser usadas para adorar o verdadeiro e único Deus, por quem o serviço ocioso dos ídolos foi destruído. Então eles deram ouro, prata e roupas ao povo de Deus que saiu do Egito, sem perceber que seus dons seriam usados para servir a Cristo. Porque, sem dúvida, o que aconteceu quando deixei o Egito, figurativamente, deve ser entendido, com aquilo que não quero antecipar outra interpretação igualmente boa ou melhor. Mas um leitor das escrituras assim preparado pode levar isso a sério quando ele começa a pesquisá-las, a saber, que ele não esquece o ditado do apóstolo: “A ciência infla, o amor edifica”. Essa deve ser a atitude dele, não importa quão ricamente ele se mude do Egito, porque se ele não celebra a Páscoa, ele não pode ser salvo. “Nosso Cordeiro da Páscoa, Cristo, foi sacrificado”. E o sacrifício de Cristo não nos chama nada mais insistente do que aquilo que ele mesmo chama àqueles a quem ele lutou no Egito sob o faraó: “Vinde a mim todos vós que estais cansados e sobrecarregados, e eu vos aliviarei”. Leve meu jugo e aprenda comigo; porque sou manso e humilde de coração; encontrarás descanso para tua alma, porque meu jugo é doce e meu fardo é leve.

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Matemática Sagrada na Divina Comédia de Dante

Deus como criador geômetra do
Universo, ideia muito presente
no Quadrivium

Por José Carlos Fernández -- Escritor e diretor da Nova Acrópole Portugal.

Giovanni Bocaccio na sua belíssima biografia de Dante Aliguieri, no capítulo sobre a sua educação, diz:

“E dando-se conta de que as obras dos poetas não são vãs nem simplesmente fábulas ou maravilhas, como pensa a estulta multidão, senão que nela se encontram os doces frutos da verdade histórica e filosófica (motivo pelo qual a intenção dos poetas não pode ser entendida completamente sem um conhecimento de história, de moral e de filosofia natural) elaborou uma sensata divisão do seu tempo e esforçou-se em aprender história pelos seus próprios meios e filosofia sob a tutela de vários mestres, o que conseguiu com prolongado estudo e esforço. E arrebatado pela doçura em conhecer a verdade das coisas divinas e não encontrando na vida nada que lhe fosse mais querido, pôs completamente de parte todas as outras preocupações, consagrando-se por completo à sua demanda. E para que não deixasse qualquer parte da filosofia sem investigar, a sua mente sagaz examinou as profundezas mais ínfimas da teologia. E o resultado não ficou muito distante da intensão. Insensível ao frio e ao calor, com jejuns e vigílias, e no meio de qualquer outro tipo de aspereza física, acabou por conhecer graças a um estudo assíduo, tudo o que inteligência humana pode conhecer da essência divina e dos anjos. E como nas várias etapas da sua vida estudou os diferentes ramos do conhecimento, deste modo continuou os seus diversos estudos sob a direção de diversos mestres.”

O que diz implica que estudou a fundo as disciplinas do Trivium (Gramática, Retórica e Dialética) e Quadrivium (Aritmética, Geometria, Música e Astronomia).

Recordemos que estas disciplinas, e seguindo a filosofia platônica, estavam desenhadas para elevar a consciência humana ao plano dos Ideais, abrindo o olho da alma a esta dimensão do inteligível. Isto é, permitiam conjugar e viver a chave que faz irmãos todos os outros conhecimentos, afirmar o sentido e lei de analogia que nos permite penetrar no mistério. O objetivo não era simplesmente aumentar o conjunto dos nossos conhecimentos, mas também ir desvelando cada vez mais claramente as certezas, como estrelas, no “Tudo está em Tudo” dos magos e alquimistas. Repito, o objetivo, que seria coroado após a morte, deixando as roupas velhas que nos atam aos sentidos, era voltar às “estrelas do Real”, pois tudo o que existe é filho de uma Estrela (não as do céu sensível), de uma Verdade infinitamente simples, o desenvolvimento do seu “fio de vida” nos caminhos do espaço, do tempo e da causalidade.

Não seria Dante alheio a este mistério, como o insinua várias vezes na sua Divina Comédia. Além disso, para o confirmar, o último verso da cada parte (ou seja, Inferno, Purgatório e Paraíso) termina, como nos recorda Boccaccio, com a palavra “estrelas”.

Há uma relação entre as Estrelas, os Deuses ou Arquétipos, as Monadas, os Átomos e os Números, e a Matemática que se expõe de modo aberto ou oculto, encriptado, na Divina Comédia é uma Matemática Sagrada.

Esquema do Purgatório da Divina Comédia de Dante

Vejamos alguns exemplos e simetrias:

O triângulo, figura geométrica que alude à Santíssima Trindade (ou seja, o Fogo Divino) e o número $3$, que é o seu fundamento aritmético, aparecem continuamente na obra que está dividida em três partes, de $33$ cantos cada uma, aos que se somam um de introdução. A soma total é então de $100$ cantos, o número da perfeição, do desenvolvimento vivo e no todo da Unidade.

Os versos, hendecassílabos, dançam também de $3$ em $3$, com uma rima entrelaçada, ABA BCB CDC, etc., ou seja, tercetos entrelaçados ou terza rima, que Dante diz ter inventado, em estrofes de $10$ versos.

A respeito da importância do $10$, recordemos que resume a Tetractis e fecha um ciclo. Na Matemática Sagrada diz-se que está completo tudo o que chega ao estado quatro da sua realização (por exemplo, Fogo, Ar, Água e Terra) dado que cada elemento se soma aos anteriores e assim dizer $4$ é como dizer $10$. Sendo $10$ ($1+2+3+4$) o número triangular por excelência (junto com o $3$ ou o próprio triângulo).

Dez são, também, as esferas celestes (as $7$ dos planetas, a $8$ correspondente às Estrelas fixas, a $9$ à do Primeiro Móbil, e a $10$ o Empíreo ou Luz pura de Deus) sobre as que reinam as hierarquias angélicas, também dispostas em torno do Ponto Central ou Deus.

Como reflexo invertido, $9$ são os Infernos, sendo o centro imóvel a massa pétrea da Terra, para onde tende toda a gravidade do material, o décimo invertido. Ou talvez o décimo seja a antessala, onde moram os que não deixaram pegada no mundo, nem infâmias, nem mérito algum, que correm sem descanso picados por insetos, os das obras por realizar. 

Inclusivamente, o Purgatório também está dividido em dez, sete para redenção e purificação dos pecados capitais, dos ante-purgatórios e o Paraíso Terrenal ou Éden onde viveram de forma pura os primeiros pais, já aberto ao Paraíso Celestial.

Como já temos visto em vários artigos, um dos grandes segredos matemáticos da antiguidade foi a chamada Divina Proporção, que Platão define como a relação entre duas partes de um segmento de modo que a relação entre a menor e a maior seja equivalente à da maior e o segmento inteiro.

Já sabemos que este Número ou Proporção, $\varphi = 0,618...$ e a sua inversão, $1,618$ (a relação entre a parte maior e a menor, entre o todo e a parte maior).

Ainda que este segredo – como nasceu, a equação, qual o seu significado matemático filosófico – devia estar reservado a um círculo restrito, mas não a sua aplicação em geometria como vemos continuamente nas catedrais góticas, por exemplo.

No artigo “Números na Comédia” de Marcos Perilli, o autor aplica a mesma proporção ao número de cantos da obra e também em cada uma das partes obtendo um resultado realmente surpreendente.

Os $100$ Cantos, multiplicados por $0,618$, dá-nos o canto $61.8$, ou seja, os últimos parágrafos do $61$. E é exatamente, quando Virgílio, no Purgatório, anuncia a separação com Dante.

Literalmente:

“Não esperes minhas palavras, nem conselhos
Já; são e reto é teu arbítrio,
e seria um erro não obrar o que ele te diga:
e por isto te mitro e te coroo”.

Se entendermos que Virgílio, como Mestre-Guia representa a Mente Superior ou a Razão Humana (Manas) e Beatriz a Alma divina (Budhi), é um ponto de viragem muito importante. Virgílio guiou-o pelo Inferno e pelo Purgatório. Como muito bem explica o autor do artigo:

“A chave está nos cantos contínuos: foi a despedida de Virgílio, a última sentença que a razão expressa. O tema do livre-arbítrio é central na Comédia; e é central no sentido geométrico do plano. A razão humana, a filosofia, o juízo que se aperfeiçoa, são o processo que leva a alma a conhecer-se a si mesma e, por fim, portanto, a preparar-se para a viagem transcendente: Virgílio vai-se, chega Beatriz, a teologia, o caminho imaterial para o céu. O ponto áureo do poema coincide com esta transição: da filosofia à teologia, da razão humana à razão divina, do corpo ao espírito, da terra e da água ao ar e ao fogo”.

Aplica de novo esta proporção no livro do Inferno, e surge o parágrafo em que se revela como este se quebrou antes da chegada do Salvador, é a fenda que marca o seu caminho. Outro ponto de viragem é o da luz divina de Cristo entrando no Inferno e destruindo-o, abrindo o caminho para o Céu.

Estrutura geocêntrica do Paraíso de Dante.

Aplica-o depois aos $33$ cantos do Purgatório dando $20$ que indica o tremor, um terramoto, quando uma Alma é salva, que dele sai e é recebida no Paraíso, outro ponto de viragem.

E de novo aplica a secção áurea no Paraíso, que também surge no canto $20$, onde se explica como se salvam, milagrosamente e contra todo o prognóstico as almas de alguns pagãos por interseção divina, por exemplo, a de Trajano.

Tal como vemos no “homem de Vitrúvio”, a Proporção de Ouro, aplicada às diferentes partes e subpartes, vai marcando as articulações. Dante aplica-a a vários cantos e coincide com o fim ou princípio de uma história. Por exemplo, no Canto $34$ do Inferno, o verso que coincide com a proporção áurea é quando Virgílio sai do Inferno e faz que Dante saia de lá.

“Todos os exemplos apontam ao clímax narrativo ou ao nó conceptual de cada canto. O princípio é ativo no conjunto e nas partes, é norma de uso, ferramenta inteligente para traçar a geometria do mais além, a estrutura pensada como ideia, como trama e conteúdo.”

Explica também que o verso que exatamente se encontra no centro da obra completa diz: 

“se chora; e agora quero que conheças”
É o verso número $7117$ (de entre os $14.233$ da obra). Que está no terceto:
“Este triforme amor aqui debaixo
Se chora; e agora quero que conheças,
O que corre até ao bem corruptamente.”

Que é o coração filosófico da obra, pois diz Dante que a essência da natureza é o Amor, que simplesmente flui até ao terrenal e instinto de conservação, ou até ao celeste. Quem o determina é o livre-arbítrio de cada um.

Vejamos algumas simetrias mais que aparecem no dito artigo o qual recomendo a sua leitura, pois aqui simplesmente esboçam-se algumas ideias básicas.

“O nome de Virgílio aparece $32$ vezes, o nome de Beatriz, $64$ vezes. Virgílio está presente em $64$ cantos, Beatriz em $32$ cantos”.

A palavra “virtude” aparece $64$ vezes.

Logo sendo o $6$ o número da Justiça (as seis faces de um cubo perfeito, ou o duplo triângulo Fogo-Água) o Canto 6 do Inferno trata da situação política em Florença; no Purgatório, idem, na Itália inteira; e no Paraíso, idem, a história do Império Romano.

Outro número muito importante é o DXV dos versos. Depois de explicar a corrupção da Igreja e a sua rivalidade com o Império, um gigante, diz que:

Em que um quinhentos (D), um dez (X), um quinhentos (V)
Enviado de Deus, à rameira
Matará o gigante com quem peca.
(Purg., XXXIII, 43-45)

Diz-se que representa o DUX, um imperador arauto da vontade divina, que trará de novo a concórdia e a unidade a todos.

Sobre todos os valores, significados e alusões de este DXV, o pintor, escritor e especialista em Matemática Sagrada, Lima de Freitas (1927-1998) escreveu um livro, “$515$, o Lugar do Espelho”.

Ainda que o número que subjaz é o $10$, ou o $100$, como símbolos da Unidade desenvolvida, o que organiza a estrutura da natureza e a vida é o $7$, como temos analisado já muitas vezes. Isto mesmo vemos na Divina Comédia:

Os $7$ pecados capitais com os seus lugares de castigo próprios no Inferno.

As $7$ divisões do Purgatório, em que as almas se purificam destes pecados (os $7$ P’s na frente de Dante, que são gravados ao entrar no Purgatório e que um anjo vai apagando à medida que vai ascendendo pela sua montanha de purificação).

As $7$ damas que rodeiam o Carro tirado pelo Grifo e que representam as $7$ virtudes (incluídas as $4$ cardeais de Justiça, Prudência, Fortaleza e Temperança; e as $3$ teologais de Fé, Esperança e Caridade).

Os $7$ Planetas e as $7$ primeiras esferas associadas, no Paraíso.

Como bem diz o autor do artigo mencionado:

“O $7$, na Idade Média, é o número que ordena e organiza os sistemas, toda a articulação do pensamento”.

Dante e Beatriz encontram dois grupos de doze sábios na Esfera do Sol

Na Idade Média, seguindo o pensamento aristotélico da matéria e da forma, esta última é a alma, o espiritual de qualquer existência (que é, existência, precisamente, onde a matéria e a forma convergem). Mas a Forma não é apenas o perfil visual de algo, mas a sua alma, e, portanto, as qualidades e propriedades derivadas dela, e estas derivam, em última instância, de números.

Diz Dante, na sua Divina Comédia:

“Em tudo quanto existe há uma ordem, e esta é a forma pela qual o universo é semelhante a Deus. Aqui veem as altas criaturas o molde do eterno valor, o fim em que a referida forma é feita.”

De este modo, as almas desvinculadas do seu contato com a carne e a matéria grosseira são, como dizia Marco Aurélio, esferas perfeitas (mentalmente somos ovos de vida, tal é a forma da nossa aura em que se reflete a nossa existência de pensamentos e estados de consciência), ou pontos luminosos, os mesmos em que as fadas se fazem muitas vezes presentes.

Assim vê Dante, no Paraíso, na esfera de Saturno, os espíritos contemplativos:

“Voltei os olhos como ela quis [Beatriz] e vi cem pequenas esferas que se embelezavam umas às outras com os seus respetivos raios.”

E a respeito da forma, ainda não no Paraíso, Dante sente-se como uma pirâmide, como um tetraedro, firme e flamejante, bem como o fogo que esta forma representa: “Oh, minha querida planta, que te elevas tanto, que olhando o Ponto a quem todas as coisas são presentes, vês as coisas contingentes antes de serem elas mesmas, como veem as inteligências terrestres que dois ângulos obtusos não podem caber num triângulo! Enquanto acompanhado por Virgílio subi a montanha onde as almas se curam e quando baixava pelo mundo dos mortos, disseram-me coisas graves acerca da minha vida futura, e ainda que me considere um tetrágono diante dos golpes da desgraça, quisera saber qual é a sorte que me está reservada, pois o dardo previsto fere com menos força.”

Dante e Beatriz veem Deus como
um Ponto de Luz rodeado de anjos

Deus, que é o que irradia a essência ou Luz Divina Absoluta de que estão feitas todas as formas, é, para Dante, “a Igualdade Primeira”, ou seja, aquele em que tudo é unidade, ou a unidade da que tudo é. Diz:

“Desde que a Primeira Igualdade se tornou evidente, o afeto e a inteligência têm um peso igual em cada um de vós, porque nesse Sol, que vos ilumina e vos queima com a sua luz [sabedoria] e calor [amor] são tão iguais nessa virtude que toda a semelhança é pouca.”

O no Canto $28$ do Paraíso que vê a Deus como Ponto Único e Infinito. E é lógico que seja neste lugar, e no nono céu, o Primeiro Móbil. O Canto é o $28$ porque este número é um número perfeito (ou seja, aquele que é a soma dos seus divisores, neste caso $1, 2, 4, 7, 14$). Este Ponto Único é a melhor forma de simbolizar Deus, ainda que não fique claro, na minha opinião se é ou não é Deus, dado que este é percebido no final como a Santíssima Trindade, como $3$ Círculos entrelaçados pela Luz divina. Todas as hierarquias angélicas giram ao redor de este Ponto e de Ele recebem a sua luz e o seu poder. É um Ponto, como nas tradições orientais para representar o mistério da Divindade, cujo movimento é perpétuo. Recordemos os ensinamentos da Doutrina Secreta de Blavatsky em que se representa Deus como um “Ponto voltado sobre si mesmo”, ou como um Perpétuo Movimento (chamado precisamente “o Grande Alento”). Ou a dos pitagóricos, Nicolás de Cusa, Giordano Bruno e Espinosa, em que Deus é uma circunferência cujo centro está em todas as partes.

Em torno de esse Ponto giram círculos de fogo, tanto mais rápido quanto mais estão perto dele. Estes círculos são e dão vida aos querubins, serafins, tronos, domínios, virtudes, potestades, arcanjos e anjos.

Dante diz que “de este Ponto depende o Céu e toda a natureza”. As esferas celestes copiam em velocidade inversa, os círculos de fogo dos Poderes dirigentes que giram em seu torno. Nas esferas, até chegar ao Primeiro Móbil, na nona, cada vez são mais rápidos, aqui é ao contrário, quanto mais perto estão do Ponto, mais rápido giram, segundo diz:

“Vê aquele círculo que está mais próximo dele, e sabe que o seu movimento é tão rápido por causa do ardente amor que o impulsiona.”

Dante vai referindo as sucessivas formas da Geometria Sagrada que são a expressão da unidade e figuram os números, e que representam o Divino até chegar ao Fogo que seria o Tetraedro:

1. Ponto Central num Círculo

2. Deus como Diâmetro, como a letra I (que é Jod, o $10$ hebreu ou o jota, o $10$ grego, ainda que também pode representar o I, o uno romano). Falando Adão a Dante, diz: “Antes de que eu descesse às angústias infernais, se dava o nome de I ao Sumo Bem de quem procede a alegria que me circunda”. Este mesmo Diâmetro é o Rio Divino de Luz do Canto 30 do Paraíso: “E vi em forma de rio uma luz áurea que se desprendia em esplêndidos fulgores entre duas bordas adornadas de admirável primavera. Deste rio saíam vivas centelhas que por todas as partes choviam sobre as flores, parecendo rubis engastados em ouro.”

3. O Duplo Diâmetro no Círculo que é o símbolo que irradia a coragem e a virtude no quinto Céu e que ele associa a Marte: “O Venerável signo que produz a intersecção dos quadrantes num círculo”.

3. Também associado com o $3$, Deus como Santíssima Trindade (Pai-Filho-Espírito Santo), que diz que é absolutamente incapaz de descrever na sua glória e refulgência; e com a que finaliza a Divina Comédia. “Na profunda e clara substância de alta luz apareceram-me três círculos de três cores e de uma só dimensão. O uno parecia refletido pelo outro como um Iris por outro Iris, e o terceiro parecia fogo refletido por ambos por igual.”

Os Três Círculos da Trindade, ilustração de John Flaxman, Canto 33.

4. O Tetraedro ou expressão geométrica do fogo, e com o qual se identifica, como antes dissemos.

Também é interessante no Canto $28$ do Paraíso como o Fogo Divino se espalha na Natureza, numa escala descendente, como num sistema de espelhos, seguindo o processo de potencialização. E em concreto da potência crescente do $2$. Já que se usa como exemplo o xadrez com as suas $64$ casas. $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128...$ “Começaram a faiscar os círculos, como chispa de ferro incandescente, e aquele centelho, parecia um incêndio, era imitado por cada chispa por si, sendo estas tantas, que o seu número se multiplicava mil vezes mais que o produzido pela multiplicação das casas de um tabuleiro de xadrez.”

Vamos ver que as operações do $4$ e do $3$ são fundamentais na Matemática Sagrada e na Divina Comédia.

$4 + 3 = 7$

$4 \times 3 = 12$ (os signos do zodíaco, os sábios na esfera do Sol, dois grupos de 12) $4^3 = 64$ (Número de vezes que aparece o nome de Beatriz e a palavra “virtude” na Divina Comédia [1]).

E como diz Thomas Rendall no seu artigo The Numerology of Dante’s Divine Vision, mais importante ainda é o número $3^4$, ou seja, o $81 (9 \times 9)$. Explica que este, o verso número $81$ do canto $33$ do paraíso (o final do livro), é onde culmina a aproximação do poeta a Deus, e não deve ser casualidade, pois o verso indica esta fusão da sua alma-luz-olhar com Deus:

“Pela intensidade do vivo raio que suportei sem cegar, creio que me tivera perdido, se eu tivesse separado os meus olhos dele; e recordo que por isto fui tão ousado para suportá-lo, que uni o meu olhar com o Poder infinito.”

E’ mi ricorda ch’io fui pi`u ardito
per questo a sostener, tanto ch’i’ giunsi
l’aspetto mio col valore infinito (verso 81 do Canto 33)

E ainda que, depois da sublime visão desta Divina Comédia, retornará aos seus trabalhos na terra dos mortais, neste Infinito consumou a sua união definitiva com Beatriz e não só, mas também com a Alma de tudo o que vive n’Ela e em Deus e cuja suma expressão é a Rosa Mística.

Notas:

[1] Segundo o artigo mencionado anteriormente

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Texto retirado do link.

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