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| Detalhe da Aritmética e da Geometria em As sete virtudes e as sete artes liberais, Francesco Stefano Pesellino, 1450 |
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Tempo de leitura: 52 minutos
Apresentamos os capítulos 7 e 8 do livro As sete artes liberais: um estudo sobre a cultura medieval, Paul Abelson. Editora Kírion, 2019.
CAPÍTULO VII
Aritmética
A
CARÁTER GERAL DO QUADRIVIUM
Se é inquestionável que o trivium — gramática, retórica e lógica — ocupava a maior parte do tempo dedicado ao estudo das sete artes liberais, a tradicional opinião de que “a verdadeira educação secular da idade das trevas foi o trivium”, sendo as disciplinas do quadrivium, ou matemáticas, raramente estudadas, está longe de ser historicamente correta [1]. Tal aԂrmação não se poderia fazer nem mesmo com respeito à era das universidades, quando a lógica e a filosofia foram sabidamente os estudos essenciais. O equívoco, entretanto, é bastante compreensível; as reais dimensões do conhecimento matemático anterior ao século XII eram tão reduzidas, que até pouco tempo atrás foram praticamente desconsideradas. Historiadores das ciências matemáticas consideraram esse período “estéril”. Chegou-se a afirmar que a mente medieval sequer tivesse aptidão para o estudo da matemática [2].
Mas a ausência de trabalho criativo durante uma boa parte da nossa época não implica necessariamente a falta de instrução na disciplina. Muito pelo contrário, no caso.
Tomando a questão de todos os pontos de vista, parece que evidências permitem uma única conclusão: as disciplinas do quadrivium foram amplamente estudadas no curso de toda a Idade Média. Em primeiro lugar, as experiências pessoais que ilustram o estudo das sete artes liberais incluem, invariavelmente, tanto as disciplinas do trivium como as do quadrivium [3]. O exame dos fatos relativos à posição da Igreja revela que sínodo após sínodo, desde os dias de Carlos Magno, fizeram do cômputo eclesiástico e da música obrigações para o clero. É certo que na Inglaterra, para citar um único exemplo, entre o século VIII e a conquista normanda, não se ordenou um só sacerdote incapaz de calcular a data da Páscoa e depois explicá-lo ao modo de Beda, o Venerável [4]. É ponto pacífico que a Igreja tivesse interesse em ao menos três disciplinas do quadrivium: aritmética, astronomia e música. Daí que não devamos esperar hostilidades à instrução do quadrivium nas escolas medievais.
Ademais, examinando o estado geral das escolas européias entre o período carolíngio e o renascimento intelectual do século XIII, facilmente identificamos um interesse contínuo pela matemática em todas as escolas monásticas e catedrais. Isso vale para as escolas de Fulda, Heresfeld, Reichenau, São Galo, Augsburg, Mainz, Hildesheim, Espira, Colônia, Stavelot, Münster, Verdun, Corvey, Ratisbona, Saint-Emmeran, Passau, Ranshofen, Klosterburg, Reichersburg, Wessobrunn, Metten, Benediktbeuern, Polling, Niederaltaich, Kremsmünster, Saint-Florian, Admont e muitos outros centros educacionais do Sacro Império Romano-Germânico. Interesse ainda maior nota-se em diversas instituições na França e nos Países Baixos, tais como as de Reims, Liège, Lobach, entre outras [5]. Constatamos também que os grandes professores do período foram quase todos conhecidos por aulas de matemática e suas contribuições a essa ciência. A título de ilustração, podemos citar os nomes de Rábano Mauro, Érico e Remígio de Auxerre, os três Notkers, Radberto, Ermenrico, Heilpric, Tatto, Hermano Contracto, Guilherme de Hirsau, Heraldo de Landsberg, Odão de Cluny, Gerberto (mais tarde Papa Silvestre II), Enguelberto de Liège, Bispo Gilberto de Lisieux, Odão de Tournai, Abbo de Fleury, Hucbald, Otlo, Conrado de Nuremberg (irmão do famoso Anselmo), Sigfrido e Reginbald. Estudos demonstram que todos eles tinham aptidão matemática, lecionavam matemática e, na maioria dos casos, produziram obras de mérito nas áreas do quadrivium [6]. A falta de valor cientíԂco na maior parte desses tratados explica o desinteresse em publicar a grande quantidade de manuscritos que se encontram pelas bibliotecas da Europa [7]. Mesmo incompleta, porém, a relação dos livros-texto do quadrivium sugere a contento que essas disciplinas foram bastante estudadas.
Muito se fala, de modo geral, sobre o fato de o conhecimento matemático ter sido próximo do insignificante até o século XII [8]. Apesar disso, o exame mais ligeiro dos livros-texto realmente utilizados nessa época derrubaria a afirmação de que somente as mais elementares proposições da geometria, o método para o calcular a Páscoa e o uso do ábaco fossem o objeto da atenção dos matemáticos. É preciso precaver-se contra aquilatar as realizações da Idade Média desde o ponto de vista do nosso tempo, em que os lugares-comuns da matemática são projeções, cálculo infinitesimal e teorias da composição.
Nos capítulos seguintes, dedicados às disciplinas do quadrivium, tentaremos defender as seguintes teses:
1. Consideradas as dimensões do conhecimento matemático à disposição na Europa no período em questão, as proporções do conhecimento transmitido ao estudante do quadrivium eram relativamente grandes. Isso não quer dizer que os professores medievais soubessem muito de matemática, mas sim que as escolas cumpriam a sua missão, transmitindo às futuras gerações todo o conhecimento matemático que possuíam, e que o aluno era obrigado a apropriar-se desse conhecimento antes de passar ao estudo avançado da filosofia.
2. O padrão da educação matemática nas grandes escolas na Idade Média era muito alto. Embora não haja evidências de trabalho criativo nos primeiros séculos, os últimos indicam progresso na assimilação de novos materiais [9].
3. A quantidade e o caráter da instrução matemática na Idade Média andaram pari passu com o avanço do conhecimento matemático nas várias disciplinas.
4. Mesmo depois do século XIII, quando, já na universidade, o quadrivium fundiu-se ao programa geral da filosofia, os estudos matemáticos passavam longe do descaso. Mesmo sob o domínio dos escolásticos, a quantidade de instrução matemática acompanhou o passo do gradual avanço das ciências [10].
B
A EXTENSÃO DO CONHECIMENTO
O conhecimento aritmético da Idade Média pode ser classificado em três períodos. No primeiro, que termina com o século X, a Europa sabia pouquíssimo do tipo de aritmética tão cultivado pelos gregos na dita era alexandrina. Sabia-se, basicamente, o que consta nos manuais do neopitagórico Nicômaco, composto no final do século [11]. Nesse período, o estudo da aritmética limitava-se ao cômputo eclesiástico, no âmbito da prática, e às propriedades numéricas, no âmbito teórico. O ábaco romano era o rude instrumento das operações numéricas, e utilizavam-se os algarismos romanos [12].
No segundo período, entre o final do século X e o final do século XII, nota-se um avanço considerável. O emprego do ábaco modificado por Gerberto difundiu-se; a divisão complementar e o cálculo por colunas, métodos que em muito superavam a dactilonomia da era anterior, eram comuns [13]. Progresso ainda maior há no terceiro período, também chamado de época algorística, durante os anos finais da Idade Média. Os algarismos arábicos e o zero entraram em uso quando boa parte da antiga matemática grega foi recobrada por meio de traduções do árabe [14]. Ainda que cada período tenha o seu método próprio, sua porção de conhecimento e a sua amplitude em termos de instrução matemática, não é de supor que se possam traçar quaisquer linhas definitivas entre eles. Veremos a seguir que essas linhas sobrepõem-se umas às outras e que as obras didáticas características de uma época anterior continuaram a ser usadas em certa medida [15].
PRIMEIRO PERÍODO
CARÁTER GERAL
A aritmética, nesta fase, é essencialmente a arte do cálculo. Dedica-se quase que exclusivamente ao cômputo da Páscoa — tanto assim que as palavras “computus” e “arithmetica” tornaram-se sinônimos —, mas não se pode sustentar que lhe escapasse por completo o tratamento das propriedades e das relações numéricas. Com efeito, os elementos místicos e simbólicos são muito presentes na aritmética teórica; e isso graças a Nicômaco, cujo livro foi a fonte de Boécio e dos cristãos — Isidoro de Sevilha, Alcuíno, Rábano Mauro, entre outros — ter-se enveredado por esse tipo de especulação. O método era rude; raramente empregava-se o ábaco, e a pesada notação romana tornava quase impossível o cálculo com números grandes. Na verdade, não há registro autêntico de operações realizadas para além dos três dígitos [16]. As frações romanas, sempre que empregadas, necessitavam do auxílio de tábuas especiais, baseadas no “sistema do meio”. Se os livros-texto de uso corrente provam alguma coisa, o conjunto de conhecimentos matemáticos possuído pela Europa Ocidental durante esse período era mesmo pequeno — ao ponto de dar às redescobertas e traduções posteriores, nomeadamente da escola alexandrina de matemática, a aparência de um acréscimo inteiramente novo [17].
OBRAS DIDÁTICAS
Por estranho que pareça, os livros-texto do período não tratam de métodos de operação. Os poucos casos em que isso acontece, e incidentalmente, sugerem intenso trabalho mental e de dactilonômico [18]. Os textos seguintes figuram entre os mais usados:
1. O capítulo sobre aritmética em De nuptiis Philologiae et Mercurii, de Marciano Capela, é nada mais que um resumo sumaríssimo da aritmética de Nicômaco. Além da introdução alegórica, o texto traz material sobre as propriedades e o significado místico dos números em consonância às noções pitagóricas. O texto deve a sua popularidade ao fato de constar como capítulo num bom livro-texto sobre sete artes liberais [19].
2. De intitutione arithmetica libri duo, de Boécio, foi a fonte de conhecimento aritmético da Idade Média por cerca de dois séculos, mesmo após a introdução do sistema hindu de notação e cálculo. Resumida, comentada e editada inúmeras vezes, chegou a passar pelo prelo até o século XVI [20]. Quais são, afinal, os conteúdos dessa obra notável?
O exame das suas 80 colunas e 100 diagramas surpreende pela ausência de uma única regra de operação; tudo o que se vê é uma interminável classificação das propriedades numéricas — triangulares, perfeitos, excessivos, defectivos etc. Verifica-se uma variedade de números pares e ímpares, bem como o tratamento de proporções e progressões. O conteúdo da obra parece indicar que o texto de Boécio não se destinava ao uso dos alunos, mas à orientação do professor. Ademais, constitui-se numa introdução adequada à interpretação mística dos números bíblicos, da qual não raro deduziam-se lições de moral [21].
3. O breve De arithmetica de Cassiodoro é, na melhor das hipóteses, um condensado da obra de Boécio. Nada de novo é apresentado. Quatro diagramas classificam as propriedades numéricas, e cada tipo tem a sua definição e ilustração. A obra nada informa a respeito de métodos práticos [22].
O breve capítulo de Isidoro de Sevilha segue as mesmas linhas que o de Cassiodoro. Trata-se de uma classificação quádrupla dos números, baseada nas suas propriedades e relações. O autor inclui alguns absurdos a respeito da nomenclatura latina e certos arroubos sobre a importância dos números [23]. Também nesta obra, buscamos em vão por uma única sentença acerca dos métodos e das regras das operações.
5. De temporum ratione, do Venerável Beda, é o primeiro texto do período a tocar o aspecto prático do cálculo — a obra trata do cômputo eclesiástico. Não surpreende, portanto, que ele tenha servido de modelo para os séculos seguintes [24].
6. O Liber de ratione computi, do mesmo autor, é de caráter similar, porém de forma mais condensada [25].
7. Também De cursu et saltu lunae ac bissexto, de Alcuíno, é uma obra sobre o cômputo eclesiástico. O seu conteúdo, no entanto, é mais astronômico do que aritmético [26].
8. O Liber de computo, de Rábano Mauro, é talvez o mais completo e mais característico livro-texto do período em questão. Os 96 capítulos abordam em detalhe, mas concisamente, todo o conhecimento necessário no tocante ao cômputo da Páscoa. É claro que se apresenta a classificação multiforme das propriedades e relações numéricas, mas isso em menos que uma coluna. O restante da obra é dedicado ao sistema grego de notação, às divisões do tempo, aos calendários grego e romano, aos nomes dos planetas, a fatos sobre a Lua, a solstícios, equinócios, epactae e outros fenômenos astronômicos envolvidos no estudo do cômputo. Os ciclos lunares e o método de cálculo da Páscoa são explicados conforme o plano de Beda. Como é de esperar, a seção mais importante da obra inteira dedica-se ao cômputo eclesiástico [27]. É significativo que haja, logo na introdução, um capítulo sobre dactilonomia e os símbolos romanos. Mais significativa, porém, é a omissão das regras para as quatro operações. Assim, parece que o cálculo se fizesse principalmente de cabeça, talvez com a ajuda de um sistema elaborado de dactilonomia, e que as quatro operações elementares, com números inteiros, fossem pré-requisito para o estudo do cômputo. Sob todos os aspectos, pode-se tomar a obra de Rábano Mauro como representativa do conhecimento e do ensino aritmético do período. A grande influência do “praeceptor Germaniae” sugere por si só o amplo uso da sua obra, e numerosos livros-texto sobre o cômputo, anônimos ou não, basearam-se no seu tratado [28].
Além desses livros-texto, em que se revelam as características atribuídas ao período, há ainda, da mesma época, outras obras excepcionais sobre a aritmética. A sua existência e o seu emprego, todavia, de modo algum debilitam as nossas conclusões sobre o caráter geral da instrução aritmética nessa fase inicial da Idade Média [29].
Sobre os métodos de divisão e as frações, são de particular interesse os seguintes e breves escritos, erroneamente atribuídos a Beda:
- De numerorum divisione libellus.
- De loquela per gestum digitorum et temporum ratione libellus.
- De unciarum ratione [30].
A origem desses tratados não pode ser rastreada para além do século X [31]. Supõe-se, por conseguinte, que eles indiquem um lento progresso do conhecimento aritmético. De todo modo, esse mesmo material serviria de base para as realizações de Gerberto.
SEGUNDO PERÍODO
CARÁTER GERAL
O ponto de partida para rastrear o progresso do estudo aritmético nesse período pode ser encontrado nas marcantes realizações matemáticas de Gerberto. O valor exato das suas contribuições à aritmética ainda é uma questão em aberto. Alguns lhe atribuem a introdução do cálculo por colunas na Europa Ocidental [32]; outros lhe atribuem, também, a introdução do sistema arábico de notação [33]. Por outro lado, Cantor, o Nestor dos historiadores da matemática, sustenta que Gerberto não tivesse familiaridade alguma com o sistema arábico [34].
Todos, porém, concordam nos seguintes pontos: (1) Gerberto e seus discípulos, nomeadamente Bernelinus, incrementaram o ábaco e estenderam a sua utilização com a introdução de apices diferenciados no topo de coluna; (2) Gerberto e seus discípulos não se utilizaram do zero; (3) encontramos no livro de Gerberto a primeira obra sobre o método de cálculo com o ábaco; (4) Gerberto, que foi o primeiro a empregar o método da divisão complementar, tornou possível a realização das quatro operações no ábaco. Para os fins da nossa investigação, ainda outro fato sobre Gerberto é pertinente: ele ensinou as disciplinas do quadrivium com notável sucesso na escola de Reims entre 972 e 982, e um registro completo dos seus métodos ainda existe [35].
As duas obras de Gerberto, Regulae de abaci numerorum rationibus e o fragmentário De numerorum abaci rationibus, podem ser tomadas como representativas do que fosse um livro-texto de aritmética entre o século X e o início do século XIII. O exame desses tratados [36] revela que os processos empregados em adição, subtração e multiplicação são muito parecidos com os métodos modernos, enquanto o processo de divisão — tema da segunda obra, que é a menor — difere por completo. Comparados ao sistema arábico, os métodos de divisão de Gerberto foram considerados, não impropriamente, “quase tão complicados quanto o engenho humano seria capaz de fazê-los”. Confirma essa opinião o nome “divisio ferrea”, que passou a acompanhar os métodos de Gerberto após a introdução do sistema hindu, chamado, por sua vez, de “divisio aurea” [37].
Nos dias de Gerberto, de um modo geral, quem escrevia sobre a aritmética era conhecido por “abacista”. A introdução dos métodos hindus, por inԅuência dos árabes, veio a restringir esse termo àqueles apegados aos métodos antigos, a saber: (1) a utilização do ábaco; (2) a notação romana; (3) as frações duodecimais; (4) a ausência do zero; (5) a incapacidade de extrair-se a raiz quadrada [38]. Os melhores métodos dos algoristas, como os autores do período seguinte eram chamados, não necessariamente suplantaram a obra dos abacistas. Houve, de fato, uma competição entre a escola abacista — por vezes chamada, erroneamente, escola boeciana — e a nova escola, dita arábica.
A intrínseca superioridade do novo sistema não causou de imediato o desaparecimento dos livros-texto baseados no antigo. Assim como as obras aritméticas de Boécio foram impressas até o século XVI, também edições dos antigos abacistas continuaram em uso muito para além do triunfo dos alegoristas [39].
LIVROS-TEXTO
Passando aos livros-texto do período, encontramos, com efeito, diversas impressões. Contudo, apenas os mais típicos, aqueles mais celebrados no seu tempo, pedem aqui ser mencionados.
1. Hermano Contracto, monge e professor em Reichenau na primeira metade do século XI, é o autor de um Liber de abaco. O tratado é mais breve do que as obras de Gerberto e confessadamente baseado nelas mesmas [40].
2. Rodolfo de Laon compôs tratado similar no século XII [41].
3. João de Garlandia, autor de um tratado sobre o cômputo, compôs também um livro-texto sobre o ábaco. É significativo que o mesmo autor tenha preparado as duas obras; isso mostra que o escopo da aritmética houvera-se ampliado, causando a separação total entre o cômputo eclesiástico e a aritmética propriamente dita [42].
TERCEIRO PERÍODO
CARÁTER GERAL DO CONHECIMENTO MATEMÁTICO
O exame do terceiro período, o algorístico, traz-nos até o meio da era das universidades. Embora o quadrivium estivesse fundido no programa geral oferecido sob o auspício das faculdades, a aritmética, tanto teórico como prática, foi mais estudada nesse do que no período anterior. Isso, claro, graças aos avanços do conhecimento na matéria.
As características da aritmética algorística eram: (1) o uso do sistema hindu-arábico de notação; (2) o sistema de valor local; (3) o uso do zero; (4) a dispensa total do ábaco; (5) o uso combinado de símbolos e números — na verdade, uma combinação de álgebra e aritmética, na acepções atuais dos termos —; (6) a introdução, na Europa Ocidental, de vastíssimo material aritmético do Oriente, proporcionada por traduções latinas de fontes árabes. A tendência geral foi abordar a aritmética pelos lados prático e cientíԂco, mas nem por isso os aspectos místicos da disciplina, tão populares em outros períodos, foram negligenciados de algum modo. O tratamento fantástico das propriedades numéricas continuou bastante comum [43].
Desse modo, o começo do século XIII é marcado pela introdução do sistema arábico de notação e pela sua adoção, no lugar da notação romana e do ábaco. Essa revolução fundamental deu-se gradualmente. A transição entre o período do ábaco e era do algarismo remonta às traduções da aritmética hindu-arábica feitas pelos seguintes e prestigiados matemáticos do século XII:
- Adelardo de Bath, que escreveu Regulae abaci às voltas de 1130. A ele também se atribui o manuscrito de Cambridge intitulado Algorithm de numero indorum [44].
- Abraham Ibn Ezra, cujo tratado sobre a aritmética data de inícios do século XII [45].
- João de Sevilha, que compôs o seu Algorismus às voltas de 1140 [46].
- Geraldo de Cremona, que preparou um Algorismus na segunda metade do século XII [47].
- O anônimo que, às voltas de 1200, compôs um breve tratado sobre os algarismos no sul da Alemanha [48].
Essas obras de transição, conquanto escritas anteriormente à ascensão das universidades, durante o declínio das escolas monásticas e catedrais, se estabelecem a seqüência histórica neste estudo particular, não se podem tomar como livros-texto característicos do período. Não precisamos, portanto, demorarmo-nos sobre eles, que serviram tão-somente a um propósito admirável: apresentar o sistema hindu-arábico aos matemáticos da Europa, pavimentando o caminho para trabalhos posteriores.
É verdade, entretanto, que os primeiros anos do século XIII foram realmente decisivos na história dos estudos aritméticos e matemáticos. Isso porque inauguraram um fluxo constante, e que perpassou todo o restante do século, de traduções e adaptações de livros árabes e gregos [49]. No campo da aritmética, a introdução desse novo conhecimento produziu dois efeitos diversos: (1) sua utilização e extensão na aplicação ao comércio; e (2) a adoção do sistema arábico de notação nos estudos acadêmicos da matemática. O primeiro resultou num extraordinário desenvolvimento dos aspectos práticos da aritmética e de partes da álgebra nos centros comerciais de Itália, Inglaterra e Alemanha durantes os três séculos posteriores [50]. O principal representante dessa tendência foi Leonardo de Pisa, que era filho de um mercador. O seu volumoso Liber abaci, composto em 1202, apresentou ao mundo uma quantidade de conhecimento prático e teórico que ainda hoje pode ser considerada admirável [51]. Não obstante, a influência desse livro sobre as universidades não foi perceptível nem mesmo na Itália, seu país [52]. Nesse contexto, podemos nomear outro notável: o dominicano Jordano de Nemi, cujos esforços para tornar acessível a ciência aritmética às tradicionais escolas medievais comparam-se aos de Leonardo para popularizar a descoberta entre os mercadores europeus [53]. Dele interessam-nos Algorithmus demonstratus, breve tratado sobre o cálculo [54]; Arithmetica demonstrata, sobre a teoria dos números [55]; e De numeris datis, sobre a álgebra [56]. O seu caráter abstrativo, científico, assenta no emprego de símbolos gerais. Excluindo-se de partida todos as aplicações comerciais, temos, nesses tratados, o material perfeitamente adequado para o estudo acadêmico da disciplina [57].
ESCOPO
A pergunta sugere-se a si mesma: quanto desse material era de fato empregado no ensino da aritmética? O exame dos registros da instrução nas universidades deve dar-nos a resposta.
Passando a esses registros, deparamos as seguintes condições: em Paris, dava-se pouca atenção à matemática. Os pré-requisitos para o mestrado, em 1366, ditam vagamente “que o estudante compareça a seminários sobre alguma obra matemática” [58] De todo modo, o fato de Sacrobosco ter lecionado matemática na Universidade de Paris antes de 1255, considerando-se que o mesmo fora autor de um algorismo baseado em Jordano, permite supor que, antes de 1366, tenha-se estudado ali ao menos o material contido na aritmética de Jordano.
Em Bolonha, onde cultivava-se a matemática muito mais do que em Paris, houve na faculdade de artes uma cadeira de aritmética. Previa-se, deԂnitivamente, um curso sobre “algorismi de minutiis et integris”, material do Algorithmus demonstratus de Jordano [59].
Os estatutos da Universidade de Praga para o ano 1367 requerem, para a conclusão do mestrado, um curso sobre “algorismus”. O conteúdo, segundo uma escala de conferências para o mesmo ano, devia-se aprender em até três semanas, donde ser claro que a disposição inicial referia-se ao estudo de obras tais como a de Sacrobosco, ou seja, dos elementos práticos da aritmética [60]. Na mesma universidade, encontramos “o estudo da aritmética” entre os pré-requisitos para o mestrado; outros registros indicam que ali se estudavam “algorismus” e “arithmetica accurata”. Aqui, obviamente, distingue-se entre os elementos práticos e teóricos da aritmética [61].
A Universidade de Viena, durante toda a Idade Média, foi tão reconhecida pelo estudo da matemática quanto a de Paris pelo estudo da ԂlosoԂa; chegou, inclusive, a abrigar disputações sobre a matéria. E enquanto os dados sobre o ensino da aritmética em Viena não representam a situação que, como vimos, era comum a tantas outras universidades, as informações de que dispomos a esse respeito, quando alinhadas a outras evidências, são, de fato, reveladoras. A agenda de seminários para 1391–1399 mostra que ali se abordavam: (1) “algorismus de integris”; (2) “algorismo de minutiis”; (3) “computus physicus”; (4) “frações astronômicas”; (5) “arithmetica et proportiones”; e (6) “arithmetica” [62]. À luz do cuidado que ali se tomou para evitar a competição, duplicando-se os seminários, podemos supor que esses cursos tratassem de aritmética e álgebra elementar e teórica — justamente o tema da obra de Jordano.
A mesma distinção entre algorismus e arithmetica, isto é, entre os elementos práticos e teóricos da aritmética, é também enfatizada em registros do século XV. Ao que parece, havia níveis de remuneração para diferentes tipos de professores de aritmética. Os seminários de “arithmetica” valiam o dobro dos seminários de “algorismus”, se bem que o número de sessões fosse o mesmo para ambas as disciplinas. Também parece significativo que o honorário correspondente aos seminários de aritmética fosse igual à remuneração pelo mesmo número de aulas sobre uma matéria aparentada à matemática teórica: a música [63].
Em Leipzig, filha de Praga, prevaleciam as mesmas condições [64].
Mais significativo, talvez, seja o fato de a Universidade de Colônia, fundada 1389 sobre as mesmas bases da Universidade de Paris, ter disposto para o mestrado, em 1398, os mesmos pré-requisitos adotados em Viena [65].
Condições similares existiram em Erfurt, Heidelberg, Oxford, e mesmo em universidades italianas, como as de Pádua e de Pisa, onde a obra de Leonardo não teve influência alguma durante o século XV.
As evidências indicam claramente o escopo da instrução aritmética nas universidades européias. Dado que o material utilizado nesses programas era aparentemente idêntico ao conteúdo dos três livros de Jordano, é-nos permitido inferir que o conhecimento científico sobre a aritmética estava plenamente representado na educação universitária, sendo prevista, para a conclusão do mestrado, a sua quase totalidade.
LIVROS-TEXTO
Determinado o caráter das obras didáticas do período, passamos ao exame dos livros-texto empregados nas universidades.
1. O primeiro em importância, porque o mais usado durante três séculos, foi o do inglês John Hollywood, dito Sacrobosco, cujo Tractatus de arte numerandi, ou Algorismus, foi reimpresso inúmeras vezes e sob diversos títulos [66]. A obra não é senão um excerto do Algorismus demonstratus de Jordano; traz as regras da aritmética sem demonstrações ou ilustrações, e palavra nenhuma sobre as frações. Na verdade, mal passa de uma exposição das nove operações aritméticas tais como explicadas por Jordano — as regras de multiplicação aparecem em verso. O caráter da obra determina prontamente o seu lugar no currículo: serve como um guia, um texto a partir do qual se introduzirem os elementos da aritmética antes de iniciar-se o estudo da aritmética teórica, mais audacioso [67]
2. O que Sacrobosco fez a título de levar o Algorismus de Jordano até as universidades, outros fizeram-no com as suas duas outras obras. Arithmetica speculativa, de Thomas Bradwardinus (1290–1349), cobre toda a aritmética avançada de Jordano [68].
3. Sacrobosco e Bradwardinus foram os adaptadores de Jordano, isto é, da sua aritmética prática e teórica. Do mesmo modo, em meados do século XIV, Nicolau Oresme, que foi aluno e professor da Universidade de Paris, difundiu a aritmética e a álgebra de Jordano, especialmente as partes dedicadas às frações e à álgebra sincopada. Seu Algorismus proportionum [69] baseia-se inconfundivelmente na obra de Jordano. Esse tratado, no entanto, foi mais do que uma simples exposição: o uso de expoentes fracionários marca um avanço de Oresme em relação à sua fonte [70].
4. Jean de Murs, outro matemático francês do mesmo século, trabalhou na simplificação de Boécio e de Jordano, fontes do seu Arithmetica speculativa. A ampla utilização desse livro, um manual padrão de aritmética teórica, é atestada pelo grande número de edições ainda existentes [71].
5. De minutiis physicis, de Johannes von Gmünden, é o típico livro-texto das universidades germânicas do século XV. O autor, docente afamado na Universidade de Viena, foi o primeiro em toda a Europa a ensinar matemática como especialidade — antes do seu tempo, como se sabe, era costume que os professores se revezassem em diferentes disciplinas dentro das suas faculdades. Johann von Gmünden lecionou em Viena, tanto “algorismus de integris” como “algorismus de minutiis”, de 1412 a 1417. Ele empregava textos populares nas suas aulas: sobre aritmética integral, Sacrobosco; sobre frações, algum comentador de Jordano; e sobre frações astronômicas, seu próprio De minutiis physicis [72].
6. O Algorismus “para estudantes” de Johann von Peuerbach foi muito usado na Alemanha pela geração seguinte à de Gmünden. A popularidade desse livro deveu-se ao fato de o autor ter sucedido o mesmo Gmünden na Universidade de Viena. Como livro-texto, o tratado representa um avanço em relação a Sacrobosco, cuja obra Peuerbach almeja suplantar [73].
7. Podemos encerrar o nosso exame com Algorismus de integris, de Prosdocimo de Beldemandi, professor da disciplina na Universidade de Pádua em 1410. Esse texto, em tudo similar ao de Sacrobosco, mostra que as universidades italianas não haviam sofrido qualquer influência de Leonardo de Pisa até meados do século XV. Nesse tempo, ao que parece, elas ainda trilhavam o que se poderia chamar aritmética acadêmica [74].
Com o aumento e o avanço do conhecimento universal em aritmética — termo aplicado à álgebra —, houve uma tendência, já no final do século XV, a retirar-se a aritmética elementar dentre os pré-requisitos para o mestrado. Isso explica a importância de uma nota sobre Heidelberg, de 1443. O estudo do “algorism” e “de proportionibus” é ali posto numa classe de disciplinas eletivas, “quos non oportet scholares formaliter in scolis ratione alicuius gradus audivisse” [75]. Esses seminários, pagos, davam-se, evidentemente, como um curso extra ou auxiliar, para ajudar os alunos a “desenferrujar”. Assim, vê-se que a exigência da aritmética nas universidades aumentara sensivelmente desde o século XIV [76].
Não quisemos, com este capítulo, apenas delinear o caráter e o escopo da instrução aritmética tal como inserida entre as sete artes liberais. Quisemos, também, oferecer ao leitor uma melhor compreensão da natureza das evidências que fundamentaram as nossas visões, expressas, de partida, nos parágrafos introdutórios. Embora a variedade e o caráter alusivo dos dados disponíveis por vezes desafiem a capacidade de análise, fica demonstrada a continuidade histórica do estudo da aritmética no esquema do ensino superior medieval. Não restam dúvidas de que as escolas medievais ensinaram sempre tudo quanto se soubesse de aritmética; de que os professores de aritmética fossem geralmente os grandes matemáticos do seu tempo; de que esse magistério, porque em dia com o progresso do conhecimento, tinha, justamente, um caráter progressivo; de que jamais, nem mesmo nas infecundas gerações que encerram a Idade Média, quando a educação escolástica já sobrevivia à sua utilidade, deixou a aritmética de ser estudada no seio das faculdades medievais.
CAPÍTULO VIII
Geometria
No capítulo anterior, fizemos uma análise detalhada do caráter geral da instrução no quadrivium, especialmente no que se refere à aritmética. As mesmas conclusões, entretanto, aplicam-se à geometria. É de supor que a geometria fosse amplamente ensinada tanto no período pré-universitário como na era das universidades, e que o escopo dessa instrução caminhasse pari passu com os avanços do conhecimento na matéria.
Resta-nos indicar as proporções do conhecimento em geometria disponível a cada período e descrever brevemente as obras didáticas utilizadas. Como no caso da aritmética, distinguem-se três períodos: (1) antes de Gerberto; (2) entre os tempos de Gerberto e o século XIII; (3) entre o século XIII e o humanismo.
PRIMEIRO PERÍODO
Até o final do século X, a era de Gerberto, quase que não existia na Europa Ocidental conhecimento em geometria tal como a define o uso moderno da palavra. Com efeito, parece que o termo se empregava em sentido etimológico, e não no sentido em que os gregos o entendiam. Dada a negligência dos romanos, que apenas cuidavam da sua aplicação prática, a agrimensura, o mais provável é que nenhuma geometria digna do nome de ciência tenha sido transmitida à Idade Média [1]. Disso dão testemunho os livros-texto do tempo de Gerberto. Os mais usados eram os de Marciano Capela, Cassiodoro e Isidoro de Sevilha.
O texto de Capela, de modo geral, é um breve relatório sobre geografia, a localização de sítios históricos e fatos congêneres. Somente no final da obra encontramos algumas definições: linhas, triângulos, quadrângulos, o círculo, a pirâmide, o cone. Nada há nesse texto de geometria propriamente dita, ou mesmo de agrimensura [2]. O capítulo de Cassiodoro não se sai melhor [3], e o mesmo vale para o tratamento de Isidoro de Sevilha [4].
Conquanto esses tenham sido, ao que tudo indica, os únicos livros-texto de geometria à época de Gerberto, é bem verdade que os agrimensores do Império Romano tardio, os gromatici, legaram à Idade Média algum conhecimento sobre estimar-se a área de um triângulo, de um quadrilátero e de círculo [5].
Mas se a ciência da geometria fora negligenciada, a geograԂa e a cosmografia foram introduzidas para suprir a deficiência. O material sobre essas disciplinas era farto, e por isso elas foram muito cultivadas. A maioria dos vinte livros das Etymologiae, de Isidoro de Sevilha, diziam respeito à Naturkunde [6]. De universo, de Rábano Mauro, foi outra compilação do mesmo tipo [7]. Compêndios baseados na geografia de Plínio, entre outros, foram muito numerosos no período, e as referências ao estudo desses obras como parte do quadrivium são bastante comuns [8].
SEGUNDO PERÍODO
Passando ao tempo de Gerberto, deparamos um aumento pequeno, embora relativamente significativo, na quantidade de conhecimento em geometria. Graças à “descoberta” de uma cópia das obras boecianas sobre a geometria, e também do Codex arcerius, um bocado da geometria de Euclides e alguns fragmentos dos gromatici vieram parar nas escolas da cristandade [9]. Todavia, o novo aporte geométrico não teve lá muito valor, nem pela quantidade, nem pela qualidade. As supostas obras de Boécio, as quais Gerberto encontrara [10], consistiam em dois livros: o primeiro, todo ele baseado em Euclides, continha basicamente os enunciados dos livros I e III, inclusive definições, axiomas e scholia; algumas das proposições dos livros III e IV; e as demonstrações completas das três primeiras proposições do livro I, dadas, nas palavras do autor, “ut animus lectoris ad enodatioris intelligentiae accessum quasi quibusdam graditus perducatur”. A segunda obra trazia os cálculos das áreas de figuras geométricas. Esses, segundo Chasles, baseiam-se quase que inteiramente nas obras do gromaticus Frontino [11].
Comparando esse corpo de conhecimento ao texto de Euclides transmitido por Téon, vemos que a geometria de Boécio consiste nas definições euclidianas, na teoria dos triângulos e quadriláteros e em algumas teorias dos círculos e polígonos. Além disso, encontramos as suas próprias demonstrações dos seguintes problemas: (1) a construção de triângulo equilátero, dado o lado; (2) traçar-se, de um ponto dado, uma linha reta de determinado comprimento; e (3) segmentar uma linha menor numa linha maior.
Gerberto, aparentemente, tomou posse de todas as pecinhas de conhecimento geométrico disponíveis, tanto teóricas como práticas, e fez do conjunto delas a base mesma da sua obra [12]. O seu livro-texto não impressionou os estudiosos pela originalidade, e pode-se considerar que ele representa a totalidade da instrução em geometria oferecidas nas escolas até o final do século do século XIII. Em grande medida, esse livro e outras obras de caráter similar logo substituíram a geograԂa e a cosmografia, que, graças à escassez de verdadeira geometria, passaram por esse nome até os dias de Gerberto [13].
TERCEIRO PERÍODO
Como no caso da aritmética, os séculos XII e XIII formam um período de transição. A geometria de Euclides, como é de supor, foi uma das muitas obras matemáticas que alcançaram a Europa Ocidental por meio de traduções de fontes árabes. Naturalmente, esse incremento do conhecimento em geometria logo foi apropriado pelas universidades, que o integraram ao novo curso, ampliado.
Depois dos trabalhos de Adelardo de Bath, que traduziu Euclides do árabe em 1120, e de Geraldo de Cremona, autor de outra tradução [14], datada de 1188, pode-se dizer que a Europa Ocidental fora devidamente apresentada à geometria euclidiana. Foi então que as obras de Boécio e de Gerberto acabaram descartadas pelas universidades, e assim restou, como disciplina do currículo, o lado puramente teórico da ciência.
Temos evidências bastantes de que Euclides, tal como adaptado no De triangulis de Jordano de Nemi, por exemplo, foi ensinado durante toda a Idade Média, até o Renascimento [15]. Quase todas as listas de pré-requisitos para o mestrado incluem cinco ou seis dos seus livros — Bolonha, Praga, Viena, Leipzig, Pádua, Pisa e Colônia, invariavelmente [16]. Mesmo a Universidade de Paris, notoriamente desinteressada da matemática, requereu, na alta Idade Média, os seis livros completos de Euclides — e não apenas os três primeiros, como geralmente se supõe [17]. É certo, por conseguinte, que o candidato a universitário, mirando um diploma nas artes, tivesse o mínimo de conhecimento sobre o texto euclidiano: a teoria dos triângulos e quadriláteros; as várias aplicações da teoria de Pitágoras a um grande número de construções; os teoremas do círculo; os teoremas dos polígonos inscritos e circunscritos; as proporções geométricas; e a similaridade das figuras. Acresça-se a isso tudo a teoria dos números — contida nos livros VII, VIII, IX e X —, que era estudada como parte da aritmética teórica, e então nos veremos forçados a concluir que, como parte quadrivium, transmitia-se um tanto muito mais que considerável da geometria.
Cursos adicionais sobre a teoria das coordenadas foram ministrados nas universidades dos séculos XIV e XV [18]. O ensino avançado da geometria abriu o caminho para geometria analítica de Descartes, no século XVI [19]. Pode-se dizer o mesmo do estudo da perspectiva, que, em algumas universidades, foi tema de cursos ministrados como parte do quadrivium [20].
Que os gregos apresentados à Europa Ocidental por influência dos árabes estimularam inclusive especulações originais, isso vê-se pelas obras de Leonardo de Pisa (Practica geometria, 1220), Jordano de Nemi (De triangulis, c. 1237), ӷomas Bradwardinus (Geometria speculativa, c. 1327) e Nicolau Oresme (Tractatus de latitudine forarum), às quais ainda hoje atribui-se mérito científico [21]. É decerto verdade que essas obras, por marcantes que sejam de um afastamento em relação aos gregos, não encontraram o seu caminho até o currículo medieval [22]. Mas essa falta de assimilação, esse deixar passar novas idéias, se presta a evidência do interesse superԂcial pela instrução matemática [23].
Mesmo nos nossos dias, depois de cinco séculos de fenomenal desenvolvimento nos estudos da geometria, o valor exato da obra de Euclides como livro-texto continua a ser uma questão em aberto [24]. Com isso em mente, não parece razoável esperar que as universidades medievais — instituições de uma era que louvava a tradição — estivessem mais dispostas a se desfazer de Euclides do que hoje estão as nossas escolas.
Notas:
CAPÍTULO VII
[1] Rashdall, Universities in the Middle Ages, vol. I, p. 35. Laurie, Rise and Constitution of the Early Universities, pp. 61 e ss. Ambos partilham dessa visão tradicional.
[2] Hankel, Geschichte der Mathematik, pp. 304–59, esp. pp. 334, 358.
[3] Por exemplo: vida de São Cristóvão, por Walter de Speyer; vida de São Wolfgang, por Otlo de Saint-Emmeran; vida de Santo Adalberto, por Bruno de Querfurt. Cf. Specht, op. cit., pp. 89–149, esp. 127 e ss.
[4] Günther, Geschichte des mathematischen Unterrichts im deutschen Mittelalter, p. 14.
[5] Specht, op. cit., pp. 297–394; Wattenbach, Deutschlands Geschichtsquellen im M. A., 7ª ed., pp. 241–487, passim. V. Ziegelbauer, Historia Rei. Lit. O. S. B., I, passim.
[6] Cantor, Vorlesungen über Gcschichte der Mathematik, vol. I, pp. 771–97; Günther, op. cit., pp. 39–61, onde há referências especíԂcas à atividade matemática de cada uma das escolas e pessoas mencionadas. Para listas de obras congêneres, v. Ziegelbauer, op. cit., vol. IV, 304-411.
[7] O Codex Vaticanus 3896 contém nada menos que 26 tratados sobre aritmética em manuscritos; cf. Günther, op. cit., p. 67.
[8] V. Hankel, op. cit., p. 334.
[9] Günther, op. cit., pp. 81–121, 146–207.
[10] O descaso tradicionalmente atribuído à Idade Média com relação à matemática baseia-se numa suposição equivocada: que o desinteresse de Paris, mãe das universidades, fosse partilhado pelo período como um todo. Objete-se, no entanto, que a Universidade de Viena deu muitíssimo valor às disciplinas matemáticas. Na verdade, o que se dava na maioria das universidades medievais era justamente um meio-termo entre os extremos — Paris e Viena —, de maneira que elas ofereciam uma carga razoável de instrução matemática. Cf. Rashdall, op. cit., vol. I, pp. 440–43; Günther, op. cit., pp. 2017 e ss.
[11] Foi por meio de Boécio, tradutor e adaptador do texto, que essa forma particular de aritmética tornou-se conhecida como boeciana. Texto de Nicômaco na edição R. Hoche, Leipzig (1866). Para uma análise de Nicômaco, v. Gow, Short History of Greek Mathematics, pp. 89–95.
[12] Cf. Ball, History of Mathematics, p. 137.
[13] H. Weissenborn, Gerbert-Beiträge zur Keniniss der Mathematik des Mittelalters (Berlim, 1888), pp. 208–51. Cajori, History of Mathematics, pp. 114 e ss.
[14] Günther, op. cit., vol. I, pp. 797–809. A palavra “algoritmo” é derivada de Al-Khwarizmi, nome do primeiro e mais importante matemático árabe conhecido na Europa.
[15] Existe ainda um Computus datado de 1395. Trata-se de uma interessante coleção de textos medievais sobre aritmética, pertencente ao Sr. George Plimpton, de Nova York.
[16] Hankel, op. cit., pp. 309 e ss.
[17] Cf. Günther, op. cit., pp. 64–78.
[18] Na obra de Alcuíno sobre o cômputo, De cursu et saltu lunae ac bissexto (PL 101, cols. 979 e ss.), multiplica-se CCXXXV por IV:
CC x IV — DCC
XXX x IV — CXX
V x IV — XX
DCCCCXL
Para um exemplo similar (6144: 15), v. Pseudo-Beda, De argumentis lunae, PL 90, col. 719.
[19] Eyssenhardt (ed.), livro VII, pp. 254–96. Para um exemplo mais completo das interpretações metafísicas de Capela, v. Gow. op. cit., pp. 69. e ss.
[20] V. Morgan, Arithmetical Books, pp. 3, 4, 10, 11, 13. Referências aos livros de Boécio impressos em Paris e em Viena, o último datado de 1521. De arithmetica libri duo (PL 63, cols. 1079–1168).
[21] Cf. Günther, op. cit., pp. 82 e ss. Texto em PL 63, cols. 1079–1166 (ed. Friedlein, 1867). Para um caso divertido de interpretação dos números, v. Rábano Mauro, De institutione clericorum, PL 107, col. 400, onde se explica o sentido místico no número 40.
[22] De artibus, PL 70, cols. 1204–8.
[23] “Tolle numerum rebus omnibus et omnia pereunt. Adime saeculo computum et cuncta ignorantia caeca complectitur nee differi potest a ceteris animalibus qui calculi nesciunt rationem” (Etymol. lib. XX, livro II, cap. 4). Texto completo em PL, 82, cols. 154–63.
[24] PL 90, cols. 294–578. À parte glosas e scholia, restam cerca de 80 colunas de texto — tamanho moderado.
[25] Ibid., cols. 579–606.
[26] PL 101, cols. 679–1002.
[27] PL 107, cols. 669–727. Como essa era a parte essencial de todos os livros-texto do período, cabe fazer uma breve exposição do problema implicado no cômputo eclesiástico. O objetivo do cômputo era determinar a data do primeiro domingo seguido à primeira meia-lua depois do equinócio da primavera. Resolvia-se o problema encontrando o chamado “número áureo” e as “letras dominicais”, indicações, com o que se determinavam as posições e relações nas tábuas do ciclo metônico. Ser capaz de fazê-lo implicava conhecer: (1) o equinócio da primavera; (2) o dia da primeira lua cheia; e (3) o ajuste necessário às tábuas do ciclo metônico. Desde os tempos do abade Dionísio Exíguo (c. 525), resolveram-se os problemas astronômicos e elaboraram-se sucessivas tábuas entre o mesmo Dionísio, o abade Félix de Cyrilla, Isidoro de Sevilha e o Venerável Beda. Com o auxílio de duas regras para as operações e o uso das tábuas referidas, a data da Páscoa podia ser prontamente determinada. As regras eram: (1) para encontrar o número áureo, some-se 1 ao numeral do ano — na tábua — e divida-se a somatória por 19; o resto será o número áureo, e, não havendo resto, o número áureo é 19. (2) “Para encontrar a letra dominical, some-se ao numeral do ano o quociente da sua própria divisão por 4; some-se a isso mais 4; divida-se por 7 a somatória, e o seu resto, subtraia-o de 7. O resto determinará o lugar das letras na tábua”. A partir dessas respostas, determinava-se a data da Páscoa com facilidade. As exigências de conhecimento aritmético aos alunos que intentavam simplesmente resolver esse problema não eram lá muito grandes, mas é certo que, depois do renascimento carolíngio, todo e cada sacerdote que estudasse as artes liberais seria capaz de entender não somente os métodos, mas também os princípios por trás dessas operações, o que implica, além de bom raciocínio matemático, um tanto não desconsiderável conhecimento aritmético e a astronômico. V. Smith & Chietham, Dictionary of Christian Antiquities, entrada “Páscoa”; F. J. Brockman, “Die Christliche Oesterrechnung”, em Systeme der Chronologie, pp. 53–83. Para uma versão modernamente simplificada do cômputo da Páscoa, v. Ball, Mathematical Recreations and Problems, p. 238; Cantor, op. cit., vol. I, pp. 532 e ss; p. 780.
[28] Günther, op. cit., p. 66. Entre os professores medievais que basearam as suas obras sobre o cômputo inteiramente em Rábano Mauro, são dignos de nota, porque demonstram a amplitude da sua influência: Heilpric, monge de São Galo; Hermano Contracto, Guilherme de Hirsau, Notquero Labéu e João de Garlandia. Note-se, porém, que as suas obras, conquanto escritas antes de Gerberto, e por isso mesmo pertencentes, em princípio, ao segundo período da nossa classiԂcação, não podem ser tomadas como índices dos métodos que então se utilizavam. Quando foram compostas, o estudo do cômputo já se havia tornado simplesmente o estudo técnico para o cálculo da Páscoa; já não signiԂcava, como no tempo de Rábano Mauro, o estudo da aritmética.
[29] Assim, “Prepositiones (arithmeticae) Alcuini ad acuendos juvenis”, coleção de problemas difíceis corretamente atribuída ao famoso professor, se é de especial interesse sob certos pontos de vista, não pode, entretanto, ser tomada como indicativo de que comumente se estudassem tais problemas naquela época. O fato de Gerberto os conhecer ao final do século X é igualmente inconclusivo no que diz respeito à sua aplicação em sala de aula, haja vista que Gerberto foi o gênio matemático do seu tempo. Esses problemas pertencem à mesma classe dos jogos matemáticos que eram conhecidos de tão poucos. Texto em PL 101, col. 1143. Cf. Hankel, op. cit., p. 310, nota. Referências completas aos jogos matemáticos medievais em Günther, op. cit., p. 88, nota 1.
[30] PL 90, cols. 682–709. V. Karl Werner, Beda der Ehrwilrdige und seine Zeit (Viena, 1875), pp. 107 e ss., citado em Günther, op. cit., p. 5.
[31] Hankel, op. cit., pp. 307–10.
[32] Nagl, “Gerbert und die Rechenkunst des 10 ten Jahrhunderts”, em Sitzungsberichte der Hist. Philol. Class, der Kais. Akad. der Wiss, vol. CXVI, pp. 861–922; Friedlein, “Das Rechnen mit Columnen vor dem 10 tem Jahrhundert”, em Zeitschrijt fur Math. u. Phys., vol. IX, pp. 297–330, esp. pp. 320 e ss.
[33] Weissenborn, Gerbert-Beiträge sur Kenntniss der Maihematik des Mittelalters, pp. 209–239, esp. 233.
[34] Cantor, Vorlesungen, vol. I, pp. 797 e ss, onde resumem-se os pontos históricos da controvérsia.
[35] Richer, Hist. Lib., MGH-SS 3, pp. 618 e ss.
[36] Últimas edições críticas em Bubnov, Gerberti opera Mathematica (Berlim, 1899). Pode-se inferir a extensão da influência dessas obras pela vasto número de manuscritos ainda existentes, os quais são enumerados pelo editor (op. cit., pp. 17–111, passim).
[37] Cajori, History of Mathematics, p. 117. O seu caráter mecânico revela-se em algumas regras que Gerberto nos oferece: (1) o uso da multiplicação restringia-se o quanto possível, e jamais deveria pedir a multiplicação de um número de dois dígitos por outro; (2) tinha-se de evitar a subtração e, na medida do possível, substituí-la pela adição; (3) as operações tinham todas de proceder mecanicamente, sem espaço para juízos. V. Hankel, op. cit., pp. 319 e ss, onde há exemplos concretos de divisão por esse método. A ilustração mais complicada é dada em Friedlein, Die Zahlzeichen und das elementar Rechenen der Griechen und Römer und des Christlichen Abendlandes nom 7 ten bis 13 ten Jahrhundert, pp. 109–34.
[38] Cajori, op. cit., p. 119.
[39] Cf. Günther, op. cit., pp. 99–110. Cantor, Mathematische Beiträge zum Kulturleben der Völker, pp. 330–40.
[40] Boncompagni, Bulletino di Bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche, vol. X, pp. 643–47. Parte de uma coleção de sete textos sobre o ábaco (loc. cit., 595–647). Dois textos similares, do século XII, constam em op. cit., vol. XV, 135–62. Sobre outros abacistas do período, v. Cantor, op, cit., vol. I, pp. 831–36.
[41] Hist. lit. de la France, VII, pp. 89 e ss. Texto e crítica em Nagl, Suplemento a Zeit. für Math. u. Phys., vol. XXXIV, pp. 129–46, 161–70.
[42] Boncompagni, X, 593–607. Sobre outros abacistas do século XII, v. Cantor, op. cit., pp. 843–48; Günther, op. cit., pp. 92–106.
[43] Cantor, Beiträge, p. 338; Cajori, op. cit., p. 119.
[44] Textos, Boncompagni, Bullettino, vol. XIV, pp. 91–134; Boncompagni, Trattati di aritmetica, pp. 1–23. Fragmento da sua obra sobre multiplicação e divisão em Zeit. für. Math. u. Phys., XXV, Suplemento, pp. 132–39.
[45] Crítica da obra em Steinschneider, Zeit. für. Math., vol. XXV, suplemento, pp. 59–128.
[46] Boncompagni, Trattati d’aritmetica pp. 25–136.
[47] Cantor, op. cit., vol. I, p. 853.
[48] Texto e crítica em Cantor, Zeitsch. f. Math. u. Phys., X, pp. 1–16. Encontra-se um texto similar, composto no mesmo século e procedente de monastério próximo de Ratisbona, em Curtze (ed.), Zeitsch., XLIII, Suplemento, pp. 1–23. A existência desses manuscritos mostra que, mesmo nos dias de declínio, algumas escolas monásticas mantiveram-se atualizadas com o estado da arte em aritmética.
[49] Wüstenfeld, “Die Übersetzungen arabischer Werke in das Lateinische seit dem 11 ten J. H”. Abhand. König. Gesel. d. Wiss. zu Göttingen, vol. XXI, passim., esp. pp. 20–38; 50–96.
[50] Günther, op. cit., pp. 131–41; Cantor, Vorlesungen, vol. II, pp. 110, 216 e ss.; F. Unger, Die Methodik der practischen Arithmetik, pp. 1–33.
[51] Cantor, op. cit., vol. II, pp. 3–35.
[52] Ibid., 167, 205.
[53] Cantor, op. cit., vol. II, p. 86, localizou manuscritos de Jordano em Basiléia, Cambridge, Dresden, Erfurt, Munique, Oxford, Paris, Roma, Thorn, Veneza, Viena e em diversos pontos no Sul da Alemanha.
[54] Impresso em 1534. Por muito tempo essa obra foi erroneamente atribuída a Regiomantus. Cf. Cantor, op. cit., vol. II, pp. 49–61; Morgan, op. cit., p. 16.
[55] Impresso em 1514. Cf. Morgan, op. cit., p. 10; Cantor, loc. cit.
[56] A melhor edição é a de Treutlein, em Zeit. für Math. u. Phys. XXXVI, Suplemento, pp. 127–66.
[57] A primeira obra mencionada é um breve tratado de aritmética prática. Em cerca de 57 páginas, explica o sistema arábico de notação e os métodos de operação, entre os quais o autor inclui nove: numeratio, additio, subtractio, duplicatio, multiplicatio, mediatio, divisio, progressio e radicum extractio. O caráter representativo desse livro ajudou na sua classificação, que tantas vezes observamos em livros populares de aritmética por toda a Europa. Espaço considerável, algo em torno de dois quintos da obra, é dedicado ao tratamento de dois tipos de frações, as “minutiae philosophicae” ou “minutiae physicae”, isto é, as frações astronômicas, e as “minutiae vulgares”, ou frações comuns. No que toca às primeiras, o texto é bastante completo; há inclusive algumas páginas sobre proporção. A segunda obra é de um caráter todo outro. Os 10 primeiros livros tratam sucessivamente de propriedades numéricas, relações, números primos e perfeitos, números poligonais, sólidos, redundantes, proporções e outras classiԂcações igualmente reԂnadas. Aqui, mais uma vez, os números são tratados da mesma forma que na obra de Boécio. Todavia, como observado por Cantor (op. cit., vol. II, pp. 61 e ss), a obra tem um valor cientíԂco diferenciado, na medida em que é o primeiro livro a empregar, em vez de números concretos, letras como símbolos gerais. A terceira obra consiste em quatro livros de problemas algébricos e aritméticos, cujas resoluções envolvem, além do estudo das proporções, equações simples e quadráticas com uma ou mais variáveis.
[58] Rashdall, op. cit., vol. I, p. 437, nota 1.
[59] Rashdall, op. cit., p. 249.
[60] Cantor, op. cit., vol. II, p. 140.
[61] Mon. Uni. Prag., I, 1, pp. 56, 77 (citado Rashdall, p. 442, nota 3).
[62] Compilado por Günther, op. cit., p. 209, de Aschbach, Geschichte der Wiener Universität im ersten Jahrhundert ihres Bestehens. V. ibid., I, pp. 137–68, passim.
[63] Günther, op. cit., pp. 210–11; Cantor, op. cit., vol. II, pp. 140, 174 e ss.
[64] Günther, op. cit., p. 215. Cf. Hankel, op. cit., p. 357. Em Leipzig, podia-se “ouvir” o algorismo de qualquer bacharelando, mas o mesmo não se dava com nenhuma outra matéria. V. “Tabula pro gradu Baccalauriatus”, em Zarncke “Die Urkündlichen Quellen zur Geschichte der Univ. Leipzig”, Abhandl. der Kön. Sachs. Gesell. der Wiss. Phil. Hist. Class., vol. II, p. 862. Esse fato reforça o argumento de que a instrução no algorismus fosse apenas uma disciplina elementar.
[65] V. De Bianco, “Statua Facultatis Artium”, em Die Alte Uni. Köln, anexo II, pp. 438–43. Cf. Hankel, op. cit., p. 357; Cantor, op. cit., vol. II, p. 442.
[66] Impresso pela primeira vez em Paris, 1496. Entre outros títulos, passou também por Opusculum de praxi numerorum quod algorismum vocant (Paris, 1511) e Algorismus domini Joannes de Sacrobosco (Veneza, 1523). Cf. Morgan, op. cit., pp. 13–4; Günther, op. cit., pp. 176 e ss. Manuscrito-cópia X510 H74, pp. 211–22, Library of Columbia University, Nova York.
[67] Tal se evidencia na existência de comentários a obra de Sacrobosco, dentre os quais um da autoria de Petrus de Dacia é descrito por Cantor (op. cit., vol. II, p. 90) e Günther (op. cit., p. 167, nota 2).
[68] Impressão em Paris e Viena em 1495 e 1502, respectivamente. Cf. Cantor, vol. II, p. 113; Morgan, op. cit., p. 11. O tratado sobre proporções, resumido por Alberto da Saxônia no final do século XIV, foi usado como livro-texto na maioria das universidades. A obra de Jordano era muito difícil, por causa da sua notação simbólica. Cf. Rashdall, op. cit., vol. I, p. 442, nota 3.
[69] Edição crítica em Zeitsch. für Math. u. Phys., XIII, Suplemento, pp. 65–73. Breve resumo das obras de Oresme Curtze, Die mathematischen Schriften des Nicolas Oresmus. O grande número de manuscritos ainda existentes comprova a sua ampla utilização. Como a obra de Bradwardinus, foi certamente livro-texto nas universidades germânicas.
[70] Os três livros da obra são organizados logicamente: o primeiro trata das definições de frações em que todas as regras se apresentam em termos simbólicos; o segundo oferece exemplos concretos e problemas para a aplicação das regras; e o terceiro lida com proporções geométricas. A similaridade essencial entre essa obra o Tractatus de proportionibus de Bradwardinus revela que ambos os autores se utilizaram, e de maneira idêntica, da mesma fonte: Jordano. Cf. Cantor, op. cit., vol. II, p. 137.
[71] Günther, op. cit., p. 183, nota 1. Cf. Morgan, op. cit., pp. 3, 11.
[72] Impresso em 1515. Cf. Morgan, op. cit., p. 11. Cantor, Vorlesungen, vol. II, p. 177; Günther, pp. 232 e ss.
[73] Impresso em 1492 como Opus algorithms jucundissimum. Sobre outras edições, v. Günther, op. cit., p. 237; Morgan, op. cit., p. 11.
[74] Publicada em 1483 e 1540, em Pádua. V. Favaro, em Bulletino, Boncompagni, t. XII, p. 60.
[75] Citado em Rashdall, op. cit., vol. I, p. 440, nota 3.
[76] No começo do século XVI, era costume publicar tratados aritméticos que reunissem todos esses textos. Para uma descrição de alguns desses, v. Morgan, op. cit., pp. 10–1.
CAPÍTULO VIII
[1] Cantor, Vorlesungen, vol. I, p. 522. Mais detalhes em Cantor, Die römischen Agrimensoren und ihre Stellung in der Geschichte der Feldmesskunst. Leipzig, 1875.
[2] De nuptiis, Eyssenhardt (ed.), pp. 194–254.
[3] PL 70, 1212–16.
[4] PL 82, 161–3.
[5] Cf. Hankel, op. cit., pp. 312 e ss; Günther, op. cit., p. 14.
[6] Günther, loc. cit.
[7] De universo libri vigintiduo, PL 111, cols. 9–612 passim, esp. livros VI–X.
[8] V. Pez, Thes. 3, III, 630; Specht, 143–49.
[9] Cf. Specht, loc. cit.; Günther, op. cit., pp. 73 e ss., 115 e ss.
[10] A geometria de Boécio por anos constituiu uma Streitfrage entre os historiadores da matemática. O fato de o uso de apices, do ábaco e da multiplicação por colunas ser explicado entre o primeiro e o segundo livros no manuscrito mais antigo, que data do século XI, principiou a controvérsia em torno da origem do ábaco e da introdução do que podemos chamar notação hindu-arábica. Nessa controvérsia, os principais historiadores da matemática, Kastner, Chasles, Martin, Friedlein, Weissenborn e Cantor, entre outros, tomaram lados diferentes — alguns chegando ao ponto de negar a Boécio a autoria dos livros sobre geometria. O peso da autoridade (Cantor, Vorlesungen, vol. I, 540–51) parece confirmar que Boécio foi o autor da geometria contida nesses manuscritos. Naquilo que diz respeito a todos, porém, todos concordam: sendo ou não sendo de Boécio a autoria dos originais, é certo que esses livros-texto não foram usados nos dias de Gerberto. Texto de Boécio em PL 63, cols. 1037–64.
[11] Chasles, Geschichte der Geometrie, trad. Sohncke, p. 524. O último cotejo das fontes de Boécio consta em Weissenborn, Zeit. f. Math,u. Phys. vol. XXIV (1879), e sustenta a opinião de que Boécio lançara mão de um excerto de Euclides, e não do original.
[12] Bubnov, Gerberti opera mathematica, pp. 48–97.
[13] Cf. Günther, op. cit., pp. 115 e ss; Cantor, op. cit., I, 809–824; Gow, op. cit., pp. 205–6.
[14] Cf. Jourdain, Recherches sur les traductions latines d’Aristote, 1ª ed. (Paris: 1819), p. 100; Hankel, op. cit., p. 335. Cf. Weissenbom, in Zeit. f. Math. u. Phys. vol. XXV, suplemento, pp. 141–66. Essa obra passou pelo século como uma tradução original de Campano, e foi a primeira das edições latinas de Euclides, publicada em 1482. Referências a Geraldo em Ball, op. cit., p. 172.
[15] Sobre o texto de Jordano de Nemi, v. Curtze (ed.), ӷorn: 1887. Cf. Cantor, op. cit., I, pp. 670, 852, notas 1 e 2.
[16] Cf. Rashdall, op. cit., I, pp. 250, 442; Hankel, op. cit., pp. 356 e ss.; Günther, op. cit., pp. 199, 209 e ss., 215, 217, 281. É incorreta a aԂrmação de Compayré (Abelard and the Origin, and Early History of Universities, p. 182), de que apenas o Euclides de Boécio foi ensinado nas universidades. Os estatutos de Viena para o ano de 1389, aos quais nos referimos e citamos, dizem claramente: “cinco livros de Euclides”. É óbvio que isso não pode significar a geometria de Boécio, que tinha apenas dois livros. V. Kollar, Statua Universitatis, Vieniensis, I, p. 237, citado em Mullinger, The University of Cambridge, p. 351.
[17] Kastner, Geschichte der Mathematik, I, p. 260.
[18] Essa disciplina foi desenvolvida por Nicolau Oresme em Tractatus de latitudinibus formarum e Tractatus de uniformitate et deformitate intensionum.
[19] Cf. Tropfke, Geschichte der Elementar-Mathematik, II, pp. 407 e ss. Günther, op. cit., pp. 181, 199, 210, 211.
[20] Günther, loc. cit.
[21] Cantor, Vorlesungen, vol. II, pp. 35–40, 73–86, 113–118, 128–137. Cf. Curtze em Zeitsch. f. Math. u. Phys. XIII, suplemento pp. 79–104.
[22] Günther, op. cit., p. 162; Cajori, op. cit., p. 134.
[23] Isso é contestado por Hankel, op. cit., p. 349; e Compayré, op. cit., p. 182.
[24] Cf. Smith, Teaching of Elementary Mathematics, p. 229, nota 1 e 2; Ball, History of Mathematics, pp. 56–64
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