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| Filosofia e As Sete Artes liberais. De Herrad de Landsberg da obra Hortus Deliciarum (século XII). |
Se, como foi dito acima, cabe propriamente à matemática ocupar-se da quantidade abstrata, convém investigar suas espécies distintas em cada parte em que se divide a quantidade. A quantidade abstrata não é outra coisa senão a forma visível segunda a dimensão linear impressa na mente; ela se fixa na imaginação e é dividida em duas partes: uma contínua, como a árvore ou a pedra, chamada magnitude; outra descontínua, como o rebanho e o povo, chamada multitude.
Na multitude, algumas quantidades existem por si mesmas, como três, quatro, ou qualquer outro número, e outro número, e outras existes em relação, como duplo, metade, um e meio, um e um terço, ou outra quantidade semelhante. Na magnitude, com efeito, algumas quantidades são móveis, como uma esfera do universo, outras são imóveis, como a Terra.
Em vista disso, a multitude que existe por si é chamada "aritmética", e aquela que existe em relação é chamada "música". A geometria trata do conhecimento da magnitude imóvel, e a astronomia, por fim, reinvidica o conhecimento da magnitude móvel. Sendo assim, a matemática é divida em aritmética, música, geometria e astronomia.
Sobre a palavra "aritmética"
Ares, em grego, é traduzido por virtus (força) em latim, e rithmus por numerus (número). Donde "aritmética" signifique "a força do número", e que a força do número consista em todas as coisas terem sido formadas à sua semelhança.
Sobre a palavra "música"
"Música" vem da palavra "água", porque nenhuma eufonia, isto é, uma boa sonoridade, é produzida sem umidade. (23)
Sobre a palavra "geometria"
"Geometria " significa "medida da terra", isto porque esta técnica foi descoberta primeiramente pelos egípcios, os quais, quando a inundação do Nilo cobria de lama suas margens e confundia seus limites, começaram a medir a terra com varas e cordas. A partir daí seu uso foi aplicado e expandido pelos sábios para medir também extensões no mar, no céu, na terra, e noutros corpos.
Sobre a palavra "astronomia"
A diferença entre astronomia e astrologia parece consistir nisso: a astronomia assume este nome por tratar da lei dos astros, e, do mesmo modo, a astrologia assim é chamada por tratar de um discurso sobre os astros, pois nomia significa "lei" e logos, "discurso". Assim, a astronomia é a ciência que disserta sobre a lei dos astros e o movimento do céu, investigando as regiões, as órbitas, cursos, a aurora e o ocaso dos astros e o porquê do nome de cada um. A astrologia, por sua vez, é a que considera os astros relacionando-os com a observação do nascimento e da morte e de quaisquer outros eventos, ela que é parte natural e parte supersticiosa. É natural enquanto relacionada à conformação dos corpos, que varia de acordo com o arranjo dos corpos superiores, como é a saúde e a doença, a tempestade e a calmaria, a fertilidade e a esterilidade. (24) E é supersticiosa enquanto relacionada às coisas contingentes ou que dependem do livre-arbítrio; e esta é a parte da qual tratam os matemáticos. (25)
Sobre a aritmética
A aritmética tem como matéria o número par e o ímpar. O número par é ou parmente par, ou parmente ímpar, ou imparmente par. (26) O número ímpar também também tem três espécies. A primeira é o número primo e não-composto; a segunda é o número segundo e composto; e a terceira é o número que, por si, é segundo e composto e que, comparado a outros, é primo e não-composto. (27)
Sobre a música
Existem três tipos de música: a do universo, a humana e a instrumental. A do universo é encontrada nos elementos, nos planetas e nos tempos. Nos elementos, ela está no peso, no número e na medida; nos planetas, está na posição, no movimento e na natureza; e nos tempos, está nos dias, segundo a alternância de luz e escuridão, nos meses, segundo o crescer e minguar da Lua, e nos anos, segundo a variação da primavera, verão, outono e inverno.
A música humana é encontrada no corpo, na alma e na conexão entre os dois. No corpo, ela está na potência vegetal, segundo a qual cresce e que pertence a todos aqueles que nascem; está nos humores, (28) cuja conformação proporciona a subsistência do corpo humano e é comum em todos os seres dotados de sentidos; e está nas atividades, que correspondem especialmente aos seres racionais, sobre as quais reina a mecânica e que são boas se não ultrapassam seu limite justo, para que assim a avareza não seja nutrida com aquilo que a frouxidão deveria ser curada, como expressa Lucano em seu elogio a Catão:
A música encontrada na alma está nas virtudes, como a justiça, a piedade e a temperança, e está nas potências, como a razão, a ira e a concupiscência. A música encontrada na conexão entre corpo e alma é aquela amizade natural na qual a alma está ligada ao corpo não por vínculos corporais, mas por certos vínculos afetivos, para dotar o próprio corpo de movimento e sensibilidade, "devido a esta amizade ninguém teve ódio de sua carne". (30) Esta música existe para que seja amada a carne, mas mais o espírito, e para que seja alimentado o corpo e não destruída a virtude.
A música instrumental é encontrada no pulso, como se dá nos tímpanos e nas cordas, no sopro, como se dá nas flautas e nos órgãos, e na voz, como se dá nas líricas e nas cantigas. Três também são os gêneros de músicos: os que compõem a lírica, os que tocam os instrumentos e os que julgam a lírica e a execução dos instrumentos. (31)
Sobre a geometria
A geometria tem três partes: planimetria, altimetria e cosmometria. A planimetria mede o plano, isto é, o comprimento e a largura, o que se estende para frente e para trás, para a direita e para esquerda. A altimetria mede a altura, o que se estende para cima e para baixo. Assim é dito que o mar é alto, isto é, profundo, e que a árvore é alta, isto é, elevada. Cosmos significa mundo, (32) e daí que se tem a cosmometria, isto é, a medida do mundo. Ela mede os corpos esféricos, isto é, os globulosos e redondos, assim como a bola e o ovo. E devido à excelência da esfera do mundo foi chamada de cosmometria, não porque se ocupe somente da medição do mundo, mas porque a esfera do mundo é de todas a mais digna.
Sobre a astronomia
Isto não é contrário ao fato de termos atribuído acima a magnitude imóvel à geometria e a móvel à astronomia, porque isso foi dito devido à primeira descoberta, segundo a qual recebeu o nome de "geometria", medida da terra. Além disso, podemos dizer que o que a geometria considera na esfera do mundo, isto é, a dimensão das regiões e dos círculos celestes, é imóvel, e, assim sendo, pertence ao estudo geométrico. A geometria, então, não considera o movimento, mas o espaço. Já a astronomia observa o que é móvel, isto é, o curso dos astros e seus intervalos de tempos. E assim dizemos universalmente que a magnitude imóvel está submetida à geometria e a móvel, à astronomia, pois ainda que ambas se ocupem do mesmo objeto, uma contempla o que permanece e a outra observa o que transita.
A definição de quadrivium
A aritmética, portanto, é a ciência dos números. A música consiste na divisão dos sons e na variedade das vozes. Do outro modo, a música ou a harmonia é a concórdia da multiplicidade dos diversos reduzida à unidade. A geometria é a disciplina da magnitude imóvel e a descrição contemplativa das formas, pela qual os limites de cada coisa costumam ser declarados. Dito de outra maneira, a geometria é "a fonte dos sentido e a origem da expressão verbal". (33) A astronomia é a disciplina que investiga os espaços, os movimentos e os giros dos corpos celestes em períodos determinados.
Notas:
(23) Aqui, Hugo de São Vítor tem como subentendidas algumas relações que saíram do nosso horizonte. A música, entre todas as artes, é aquela que tem a maior capacidade de conformar a alma de quem a recebem entendendo por alma o que está entre o corpo e o espírito, ou seja, o nosso psiquismo, no mesmo sentido que Hugo de São Vítor usou acima referindo-se às três potências da alma. Portanto, a músicas está vinculada diretamente aos sentimentos, que por sua vez estão relacionados às águas, ao mar, pela sua inconstância e mutabilidade, assim com a Lua, que também possui, no simbolismo medieval, relação direta com a água e os sentimentos. Sendo assim, para que a música alcance seu objetivo, é preciso que ela tenha umidade.
(24) Vale ressaltar que esta ciência em nada é supersticiosa, como acaba de dizer Hugo de São Vítor, levando em conta esta impregnação contemporânea de qualquer estudo astrológico é supersticioso ou questão de crença. A variação de casos de uma mesma doença repetida anualmente devido mudanças de estações, a maré dos mares, e o próprio ciclo menstrual da mulher, que é regido pelo ciclo lunar, são exemplos mais concretos da validade desta astrologia que Hugo de São Vítor chama de natural.
(25) Chamaríamos vulgarmente de "astrólogos", mas são especificamente aqueles que fazem predições.
(26) Parmente par é o número que pode ser dividido várias vezes em duas partes iguais até chegar a 1, são os múltiplos de 2 (2, 4, 8, 16, 32); parmente ímpar é o número que pode ser dividido uma só vez em duas partes iguais, tornando-se logo ímpar (6, 10, 14); imparmente par é o número que pode ser dividido várias vezes por 2, mas o resultado final dessas sucessivas divisões não é 1, e sim um outro número ímpar qualquer (24, 40, 56).
(27) Primo e não-composto é o número que pode ser dividido somente por 1 ou por si mesmo (3, 5, 7); segundo e composto é o número ímpar que pode ser dividido por outros números além de 1 (9, 15, 21). Este terceiro tipo se refere ao que hoje conhecemos, na Teoria dos Números, como números primos entre si, que se dá quando o único divisor comum de dois números é a unidade, donde resulta que o MDC (máximo divisor comum) entre esses dois números é o número 1 (por exemplo, o 9 em relação ao 8). Também neste trecho Hugo de São Vítor está se baseando nas Etymologiae de Isidoro. Para aprofundamento deste tema, pode-se ler A matemática de Isidoro de Sevilha e a educação medieval, de Jean Lauand, disponível em http://www.hottopos.com/videtur30/jean-isid.htm.
(28) A acepção de "humor" usada por Hugo de São Vítor é pouco utilizada e conhecida em português: "qualquer fluido líquido contido nos corpos organizados".
(29) Lucano, De Bello Civile.
(30) Ef 5, 29.
(31) Boécio, De musica.
(32) Aqui temos o substantivo mundus, que era usado para designar o firmamento ou todo o universo, além da própria Terra. E este universo a que se refere é percebido e concebido em camadas de órbitas cada vez mais abrangentes, nas quais alguns astros realizam suas trajetórias individuais, até chegar o céu das estrelas fixas, o cristalino e o empíreo; tudo isso está contemplado em mundus.
(33) Cassiodoro, Institutiones.
Trecho extraído do livro "Didascalicon sobre a arte de ler" de Hugo de São Vítor. Edições Kírion, 2018. Pág. 77 a 89.
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