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| Entronado, Cassiodoro apresenta seu livro. Inicial iluminada “C” (séc. XII). Vault Case Manuscript 8, Institutiones, folio 1r. A Idade Média nunca se esqueceu do autor das Instituições. |
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O texto abaixo é retirado do livro de Institutiones: introdução às letras divinas e seculares, de Flávio Magno Aurélio Cassiodoro, publicado pelas Edições Kírion, 2018.
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Movamo-nos agora aos princípios da matemática.
Da matemática
A matemática, que podemos chamar de doutrinal (teorética), é a ciência que considera a quantidade abstrata. E quantidade abstrata é a que tratamos apenas com a razão, separando-a intelectualmente da matéria ou de outros acidentes. Por exemplo, as noções de par e ímpar, e similares.
Divisão da matemática: aritmética; música; geometria; astronomia.
A aritmética é a disciplina da quantidade numerável considerada em si mesma. A música é a disciplina que fala dos números em relação aos sons. A geometria é a disciplina da magnitude imóvel e das figuras. A astronomia é a disciplina que versa sobre o curso dos astros no céu. Ela investiga todas as formas e percorre as configurações das estrelas em relação a si mesmas e à Terra. Nós as indicamos um pouco mais amplamente no lugar apropriado para que o valor dos assuntos mencionados seja convenientemente demonstrado.
Discutamos o termo disciplinas (ciências). Como foi dito, disciplinas são aquelas que escapam das armadilhas da opinião e por isso recebem esse nome; elas seguem inexoravelmente as suas regras. Não podem ser estendidas ou diminuídas, nem modificadas por quaisquer variáveis, mas conservam com uma firmeza inabalável suas regras permanentes em seu próprio poder. Quando as consideramos em uma longa meditação, elas aguçam nossa inteligência, varrem para fora dela a poeira da ignorância e, se tivermos um espírito são, nos conduzem, com a ajuda do Senhor, à contemplação especulativa. Mas devemos saber que Josefo, o mais douto dos hebreus, diz, no capítulo nono de seu primeiro livro Das antigüidades que Abraão transmitiu primeiro a aritmética e a astronomia aos Egípcios, que, recebendo dele as sementes, desenvolveram mais profundamente as demais disciplinas para seu próprio uso — como fazem os homens de gênio muito perspicaz. Os Santos Padres nos recomendam — e com razão — o estudo dessas ciências. Pois elas afastam em grande parte nosso apetite das coisas carnais e nos fazem desejar o que só podemos ver com a alma, mediante auxílio do Senhor. É hora, portanto, de falarmos breve e individualmente sobre elas.
Capítulo IV
Aritmética
Os escritores das letras seculares estabeleceram a aritmética como a primeira entre as disciplinas matemáticas, porque a música, a geometria e a astronomia, que a seguem, precisam dela para explicar suas noções. Por exemplo, exigem conhecimentos de aritmética a noção de número simples ou duplo em música, a de triângulo e quadrado (e outros similares) em geometria, o cálculo das posições móveis dos corpos celestes em astronomia. Mas a aritmética não precisa nem da música, nem da geometria, nem da astronomia. Por isso, para elas é fonte e mãe. Pitágoras a louvou tanto a ponto de declarar que tudo foi criado por Deus sob número e medida, dizendo que algumas coisas foram formadas em movimento e outras em repouso, de modo que nenhuma, além das mencionadas, recebesse substância. Creio que esse princípio está certo, e eu o tomo, como muitos filósofos, da frase do profeta que diz: “Deus dispôs todas as coisas em medida, número e peso”.
A aritmética consiste na quantidade distinta, que gera as espécies de números, que não estão ligados por nenhum limite comum. Não há nenhum limite comum que associe os números 5 e 10; ou 6 e 4; ou 7 e 3. É chamada de aritmética porque os números constituem seu domínio. E número é um conjunto formado por unidades, como 3, 5, 10, 20 etc. O propósito da aritmética é nos ensinar a natureza do número abstrato e seus acidentes. Por exemplo, paridade, imparidade etc.
O número é dividido em:
Par é o número que pode ser dividido em duas partes iguais [1], como 2, 4, 6, 8, 10 etc. Ímpar é o número que não pode ser dividido de modo algum em duas partes iguais [2], como 3, 5, 7, 9, 11 etc. Igualmente par é o número cuja divisão pode se dar em duas partes iguais até um. Por exemplo, 54 é dividido em 32, 32 em 16, 16 em 8, 8 em 4, 4 em 2, 2 em 1. Igualmente ímpar é o número que pode ser dividido somente em duas partes iguais, como 10 em 5, 14 em 7, 18 em 9, e similares. Desigualmente par é o número que pode receber mais de uma divisão segundo a igualdade das partes, mas sem chegar a um. Por exemplo, 24 em 2x12, 12 em 2x6, e 6 em 2x3. E não se pode prosseguir mais adiante. O número ímpar primo e simples é o número que só pode ser dividido por um [3]. Por exemplo 3, 5, 7, 11, 13, 17, e similares. O número ímpar secundário e composto é o que pode ser dividido não só por um, mas por outro número além de um. Por exemplo, 9, 15, 21, e similares. Ímpar intermediário é o número que sob certo aspecto é simples e não-composto, e sob outro, é secundário e composto. Por exemplo, 9, se comparado com 25, é primo e não-composto, porque não compartilha com ele nenhum número a não ser 25. Mas se for comparado com o número 15, é secundário porque tem 3 como divisor comum.
Segunda divisão de números pares e ímpares; o número é:
Supérfluo é o número que deriva de pares. Como é par, ele parece possuir partes supérfluas de quantidade. Como a metade de 12 é 6, a sexta parte é 2; a quarta parte é 3; a terceira é 4; a décima segunda é 1. Somadas essas quantidades, tem-se 16.
O número insuficiente também deriva de pares. Ele possui uma soma inferior das partes de sua quantidade. Como 8, cuja metade é 4, cujo quarto é 2, e cujo oitavo é 1. Essas partes, somadas, valem 7.
O número perfeito também deriva de pares. E como é par, suas partes somadas equivalem ao seu próprio valor. Como 6, cuja metade é 3, cujo terço é 2 e cujo sexto é 1. Somadas as partes, elas formam o próprio número 6.
Terceira divisão dos números.
Os números são ou:
O número per se é o que não possui nenhuma relação com outros. Como 3, 4, 5, 6 e outros similares.
O número relativo é o que se compara com outros. Por exemplo, se comparamos 4 com 2, 6 com 3, 8 com 4, 10 com 5, os chamamos dobro ou múltiplo. Se comparamos 3 com 1, 6 com 2, 9 com 3, os chamamos de triplo etc.
Os números iguais são os que são iguais segundo a quantidade. Por exemplo, 2 e 2, 3 e 3, 10 e 10, 100 e 100 etc.
Os números desiguais são os que, comparados entre si, demonstram desigualdade. Como 3 e 2, 4 e 3, 5 e 4, 10 e 6.
Em geral, quando o maior for assim comparado ao menor, ou o menor ao maior, chama-se desigual.
Número maior é o que contém em si o menor, com o qual é comparado, e unidades adicionais. Por exemplo, 5 vale mais do que 3 porque o contém em si e mais duas unidades.
Número menor [4] é aquele contido pelo maior, com o qual é comparado, junto com outra unidade adicional. Por exemplo, 5 é menor do que 3, porque, junto com duas unidades, encontra-se contido nele.
Número múltiplo é o que contém em si o número menor, duas, três, quatro, ou múltiplas vezes. Por exemplo, comparado a 1, 2 contém-lhe o dobro; 3, o triplo; 4, o quádruplo etc.
Número sub-múltiplo, por outro lado, é aquele contido no múltiplo, com o qual é comparado, duas, três, quatro ou múltiplas vezes. Por exemplo, 1 é contido duas vezes em 2, três vezes em 3, quatro vezes em 4, cinco vezes em 5 e assim por diante.
Número super-particular é superior por conter dentro de si o inferior e uma unidade dele. Por exemplo, se comparamos 3 e 2, três contém dois e mais uma unidade, que é a metade de dois. Se comparamos 4 e 3, quatro contém três e mais uma unidade, que é um terço de três. Se comparamos 5 e 4, cinco contém quatro e mais uma unidade, que é um quarto de quatro. E assim por diante.
Sub-super-particular é o número menor que é contido no maior acrescido de uma parte sua: a metade, a terça parte, ou a quarta, ou a quinta. Por exemplo: 2 em relação a 3, 3 em relação a 4, 4 em relação a 5 etc.
Super-partiente é o número que contém em si todo o número inferior, e além dele, suas outras duas unidades, ou três, ou quatro, ou cinco, ou mais unidades. Por exemplo, 5 em relação a 3: cinco contém em si o número três, e além dele, suas outras duas unidades. 7 em relação a 4: sete contém quatro e mais três unidades dele.
Sub-super-partiente é aquele número contido no número super-partiente com algumas outras unidades suas (duas, três ou mais), como, por exemplo, 3 está contido em 5 mais outras duas unidades suas. 4 em 7, mais três unidades; 5 em 9, mais quatro unidades.
Múltiplo super-particular é o número que, comparado a um número inferior, o contém várias vezes e mais uma unidade. Por exemplo, comparemos 5 a 2. 5 contém o dobro de 2 e mais uma unidade. 9 contém em si o dobro de 4, mais uma unidade.
Sub-múltiplo super-particular é o número que, comparado a um maior, é por ele contido, junto com uma unidade, várias vezes. Por exemplo, comparemos 2 a 5. 2 é contido duas vezes por 5 e mais uma unidade sua.
Múltiplo super-partiente é o que, comparado a um número inferior, o contém várias vezes e mais outras unidades. Por exemplo, 8 contém dois terços de 3, e mais outras duas unidades. 14 contém o dobro de 6 e mais duas unidades. 16 contém o dobro de 7 e mais duas unidades. 19 contém o dobro de 8 e mais três unidades dele.
Sub-múltiplo super-partiente é o número que, comparado ao maior, é por ele contido, junto com outras unidades suas, várias vezes. Por exemplo, 3 está contido duas vezes em 8 com mais duas unidades. 4 está contido três vezes em 15 com outras três unidades suas.
Segue-se a quarta divisão dos números: discretos; e contíguos: lineares, planos, sólidos.
O número discreto é o que está contido em outro por unidades distintas, por exemplo, 3 está contido em 4, 5 em 6, etc.
Contíguo é o número contido em outro por unidades conjuntas. Por exemplo, o número 3, entendido em sua magnitude, é chamado número contíguo linear, plano ou sólido. Assim como os números 4 e 5.
Linear é o número que, começando a partir de um, se escreve linearmente até o infinito; por isso, as linhas são designadas com a letra alpha, que, em grego, significa um: aaa…
Plano é o número considerado não só segundo seu comprimento, mas também por sua largura, como o número triangular, o número quadrado, o número retangular, o número pentagonal, o número circular e outros números planos.
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| Número triangular Número quadrado Número pentagonal |
Número circular é o que, multiplicado de maneira similar, volta sempre ao ponto de partida. Por exemplo: 5x5=25… Assim se dá com o seis: 6x6=36, 6x36=216.
Sólido é o número considerado segundo seu comprimento, largura e altura, como o são as pirâmides, que se erguem em forma de chamas, ou cubos, que são como os dados, ou as esferas, que possuem, de todos os lados, a mesma circularidade.
Esférico é o número que, multiplicado por um número circular, começa e volta a si mesmo. Por exemplo, 5x5=25. Se esse número circular for multiplicado por si mesmo, formará uma esfera: 5x25=125.
Tratai desses assuntos com um espírito solícito, lembrai-vos de que essa disciplina é colocada na frente das outras, uma vez que — como foi dito acima — não precisa de nenhuma outra. As demais, a seguir, como demonstra sua própria natureza, precisam da aritmética para existir. Nicômaco expôs a aritmética cuidadosamente entre os gregos. Ele foi traduzido ao latim, primeiro por Apuléio de Madaura e depois por Boécio, para que os romanos o lessem e relessem. Se os utilizamos, à medida que nos é lícito, as lições se derramam num raciocínio evidentemente muito lúcido. Foi-nos dado também viver em grande parte sob a égide dessa disciplina. Sempre que por meio dela aprendemos as horas, computamos o curso dos meses, reconhecemos o período do ano que se repete. Somos ensinados pelos números a não ser enganados. Retira do século o cômputo e a cega ignorância abraçará a tudo e a todos. Nem pode diferir dos outros animais aquele que não entende o resultado do cálculo. Trata-se de uma disciplina tão gloriosa quanto necessária à nossa vida. Por meio dela, averiguamos os nossos recursos e, sopesados os cômputos, as nossas despesas. O número é aquilo que dispõe todas as coisas. Por meio dele, aprendemos o que devemos fazer primeiro e o que fazer depois.
E se examinares minuciosamente a causa de tão grande fato, nem por isso os milagres do Senhor se tornam alheios à força do número. O número um diz respeito a Deus, como se lê no Pentateuco: “Ouve, ó Israel, o Senhor nosso Deus é o único Senhor” [5]. O número dois está relacionado aos Testamentos, como está dito em Reis: “E pôs no Oráculo dois querubins de pau de oliveiras, do tamanho de dez côvados” [6]. Por fim, o fruto suavíssimo de toda nossa esperança foi depositado na Santa Trindade, não porque esteja a serviço do número, mas porque mostra pelo poder de sua majestade a utilidade dele. Entendemos, certamente, que há a unidade na essência da Divindade, e a Trindade nas pessoas. Lê-se na epístola de João: “E três são os que dão testemunho na terra: o Espírito, a água e o sangue” [7]. Quanto aos quatro Evangelhos, também se lê em Ezequiel: “E no meio deste mesmo fogo se via a semelhança de quatro animais” [8]. Sabemos que o número cinco refere-se aos cinco livros de Moisés, como diz o Apóstolo: “Mas eu antes quero falar na Igreja cinco palavras da minha inteligência” [9]. No sexto dia, Deus criou o homem à sua imagem e semelhança. Com efeito, nós cremos que o próprio Espírito Santo é septiforme. O número descobre-se necessário para que as concepções mais sublimes e poderosas sejam compreendidas.
[...]
Capítulo VI
Geometria
Voltemo-nos agora à geometria, que é a descrição especulativa das formas e a prova visível de que dispõem os filósofos. Estes, para tecer loas a ela, afirmam que Júpiter usa os métodos da geometria em seus próprios trabalhos. Não sei se a geometria é louvada ou repreendida, quando eles afirmam, falsamente, que Júpiter realiza no céu o que eles retratam em poeira envernizada. Se for aplicada ao Criador e Senhor onipotente, talvez essa frase possa corresponder à verdade. Na realidade, é a Santa Trindade — se é lícito dizer — que geometriza quando concede diversas espécies e formas às criaturas que fez com que existissem até hoje; quando distribui as rotas das estrelas com seu venerável poder, faz correr linearmente tudo o que se move e institui o que é fixo e certo em seu devido lugar. Tudo o que é bem arranjado e acabado pode ser atribuído às qualidades dessa disciplina.
Geometria significa, em latim, medida da terra, pois se conta que o Egito — como alguns afirmam — foi primeiramente dividido entre os devidos senhores e proprietários segundo as diversas formas desta ciência. Os professores de geometria eram antes chamados de medidores. Mas Varrão, o mais profundo escritor latino, assim descreve a causa pela qual esse nome passou a existir: diz que primeiro as dimensões das terras, com limites bem definidos, providenciaram os benefícios da paz aos povos nômades e discordantes; depois, o círculo do ano inteiro foi dividido conforme o número de meses, e então os próprios meses, que são assim chamados por medir o ano; instigados por essa descoberta, alguns estudiosos começaram, em seguida, a investigar a distância entre a Lua e a Terra, entre o Sol e a Lua e a distância até o vértice do céu; Varrão menciona ainda que os geômetras alcançaram o que buscavam; ora, relata que a dimensão de toda a Terra foi circunscrita numa medida provável; e, por isso, aconteceu que a própria ciência recebesse o nome (geometria) que preserva por longos séculos. É por isso que Censorino, no livro que endereçou a Quinto Celério, descreveu, movido pelo desejo de conhecimento, os próprios espaços do céu e a órbita da Terra segundo o número de estádios [10] Se alguém desejar examiná-lo, descobrirá numa breve leitura muitos mistérios dos filósofos.
A geometria é, em verdade, a ciência da extensão imóvel e das formas. Ela divide-se em: plano; extensão numerável; extensão racional e irracional; figuras sólidas.
Figuras planas são as que contém comprimento e largura. Extensão numerável é a que pode ser dividida com os números da aritmética. Extensões racionais são aquelas cuja medida podemos saber, irracionais aquelas cuja medida não é considerada conhecida. Figuras sólidas são as que possuem comprimento, largura e altura.
Tratamos de toda a disciplina da geometria nestas partes e subdivisões, e com essa exposição concluímos as numerosas formas presentes na terra ou no céu. Houve bons escritores nesse campo entre os gregos, como Euclides, Apolônio, Arquimedes e outros. Desses autores, Boécio, homem magnífico, publicou a versão latina de Euclides. Se Euclides for relido com diligência e cuidado, aquilo que foi explicado nas mencionadas subdivisões torna-se conhecido pela clareza de uma inteligência comprovada.
Notas:
[1] Isto é, em dois números inteiros iguais.
[2] Isto é, em dois números inteiros.
[3] E, é claro, por ele mesmo.
[4] A seguinte definição foi omitida ou perdida. Ela é uma reconstituição a partir da anterior.
[5] Dt 6, 4.
[6] 1Rs 6, 23.
[7] 1Jo 5, 8.
[8] Ez 1, 5.
[9] 1Cor 14, 19.
[10] Medida grega que correspondia a 185 metros.
Obs.: As duas últimas figuras foram retiradas do mesmo Tratado de Aritmética, de Cassiodoro, contido na Coleção de Artes Liberais: Volume 9.
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