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| Xavier Zubiri (1898 – 1983) Filósofo Espanhol. |
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Apresentamos o texto Zubiri interpretando Gödel sobre a realidade dos entes matemáticos, excertos de ZUBIRI, Xavier. Inteligencia y logos. 1a reimpressão. Madrid: Alianza Editorial; Fundación Xavier Zubiri, 2002, pp. 129-146. Traduzido por Joathas Soares Bello e disponível no LINK.
Capítulo V: Intelecção distanciada do que a coisa real é em realidade
[...]
"A matemática não é um sistema de verdades necessárias, e meramente coerentes entre si de acordo com os 'princípios' da lógica, senão que é um sistema de verdades necessárias acerca de um objeto que, a seu modo, tem realidade perante a inteligência. O que os postulados postulam não é 'verdade' senão 'realidade'; o postulado é realidade do que se postula. [...] os postulados não são meros enunciados lógicos senão enunciados dos caracteres que tem o 'conteúdo' da 'realidade' do postulado. [...].
[...] As afirmações da matemática e da literatura de ficção recaem assim sobre um irreal realizado por postulação construtiva, seja em forma de construção segundo conceitos (matemática), seja em forma de construção segundo perceptos e fictos (literatura de ficção). A inteligência não se limita pois a apreender o que 'está já' nela, senão que seus conceitos, seus fictos e seus perceptos são realizados nela, ou melhor dito ante ela. O inteligido não 'está' então perante a inteligência senão que é algo 'realizado' por ela perante ela. Certamente se pode realizar sem construir; é o caso da maioria dos juízos cujo conteúdo está realizado no real mas sem construção. O que não se pode é construir sem realizar. Daqui a inevitável consequência de que o real, quando está postuladamente realizado, [...] tenha [...] mais notas próprias que as que estão incluídas formalmente nos conceitos, nos fictos e nos perceptos. Desta realidade realizada por postulação construtiva é da que partem a matemática e a literatura de ficção para seus juízos.
Assim, todo juízo, toda afirmação, é afirmação de algo real pressuposto como tal à afirmação mesma. Quando as coisas são reais em e por si mesmas, aquela pressuposição é formalmente apreensão primordial de realidade. Quando as coisas são reais, mas realizadas construtivamente, então a pressuposição é formalmente postulação. A postulação é possível só por estar intrínseca e formalmente fundada na apreensão primordial de realidade. Portanto, a estrutura primária e radical do juízo é ser uma afirmação de uma coisa apreendida já como real (em apreensão primordial) mas segundo seu momento formalmente campal [entre outras coisas reais]. Em virtude disso, um juízo não é uma intelecção imediata do algo real, senão que é uma intelecção modalizada daquela apreensão, daquela intelecção direta e imediata [...]
[...] O juízo pressupõe pois a apreensão primordial de realidade. Mas, insisto, não se trata de uma pressuposição de índole processual, ou seja, não se trata de que antes de julgar se apreende realidade, senão de que esta realidade apreendida antes de julgar se mantém como momento formalmente constitutivo do juízo mesmo enquanto tal.
Apêndice: A realidade dos entes matemáticos
[...] "Os objetos matemáticos têm suas propriedades 'de suyo', ou seja, são reais. É que o objeto real postuladamente realizado segundo conceitos tem, por estar realizado, mais notas ou propriedades que as definidas em sua postulação. Por isto e só por isto é que coloca problemas que podem não ser resolúveis com o sistema finito de axiomas e postulados que definiram sua realização. O construído "na" realidade é, por estar realizado, algo mais que o postulado ao realizá-lo. É a meu modo de ver o alcance do teorema de Gödel. Não se trata de uma limitação intrínseca às afirmações axiomáticas e postuladas enquanto afirmações - é a interpretação usual de dito teorema - senão de que deixa descoberto perante a inteligência o caráter de realidade do construído segundo os axiomas e postulados em questão. É pois não a insuficiência intrínseca de um sistema de postulados, senão a radical originalidade do construído por ser real; uma realidade que não se esgota no que dela se postulou. Este objeto não é uma coisa real em e por si mesma como é esta pedra. Mas não é só o que o 'real seria', senão o que postulada e construidamente 'é real'. É a meu juízo a interpretação do teorema de Gödel. Os juízos da matemática são pois juízos de algo real, juízos do 'real postulado'. Não são juízos acerca do 'ser possível' senão juízos acerca da 'realidade postulada'.
Esta conceituação da realidade matemática por construção não é pois um axiomatismo formalista, mas tampouco é nem remotamente o que se apresentou como oposição rigorosa a este axiomatismo: o intuicionismo, sobretudo de Brouwer. [...] Para o intuicionismo, construir matematicamente não é o mesmo que definir e construir conceitos. O intuicionismo rechaça a ideia de que a matemática se funda na lógica; uma demonstração que apela ao princípio lógico do tertio excluso não é para Brouwer uma demonstração matemática. [...] A operação, se há de ser matemática, há de ser operação executada, portanto operação composta de passos finitos. [...] O intuicionismo é radicalmente um finitismo. A maioria dos matemáticos rechaçaram por isto a ideia de Brouwer apesar de suas geniais contribuições à topologia, porque amputar o infinito atual seria para eles anular um enorme pedaço do edifício matemático. [...] O número inteiro seria um dado da intuição, e por conseguinte construir se reduziria em última instância a contar o dado. Não basta com definir.
Mas esta conceituação não é sustentável [...]
Em primeiro lugar, o conjunto finito de Brouwer não é intuitivo. [...] intuição é a 'visão' de algo dado imediatamente, diretamente, unitariamente. Na intuição tenho a diversidade qualitativa e quantitativa do dado, mas nunca tenho um conjunto. Não há estritos conjuntos intuitivos. Porque para ter um conjunto necessito considerar isoladamente, por assim dizer, os momentos da diversidade intuitiva como 'elementos'. Só então sua unidade constitui um conjunto. Conjunto matemático é sempre e só conjunto de elementos. Mas então é claro que nenhum conjunto, nem tão sequer sendo finito, é intuitivo. Porque a intuição não dá senão 'diversidade de momentos', mas jamais nos dá 'conjunto de elementos'. Para ter um conjunto é necessário um ato ulterior de intelecção que faça dos momentos elementos. Faz falta pois uma construção. O chamado conjunto finito, presumidamente dado na intuição, não é senão a aplicação do conjunto já construído intelectivamente à diversidade do dado. Esta aplicação é justamente uma postulação: postula-se que o dado se resolve em um conjunto. Por conseguinte, em estrito rigor não pode se chamar intuicionismo a matemática de Brouwer. O conjunto de Brouwer não é intuitivo; é o conteúdo objetivo de um conceito de conjunto que se 'aplica' ao intuitivo.
[...]
A construção matemática é sempre portanto um ato de inteligência senciente. E portanto o objeto matemático tem realidade postulada. Não é um conceito objetivo de realidade senão que é realidade em conceito. É, insisto, a realidade mesma de qualquer coisa real sencientemente apreendida mas com um conteúdo livremente construído em dita realidade segundo conceitos. O postulado, repito, não são verdades lógicas nem operações executadas, senão que é o conteúdo do real (já definido ou executado) em construção e por construção postulada. O objeto matemático não está constituído pelos postulados, senão que o que os postulados definem é a 'construção' perante a inteligência daquilo cuja realização se postula, e que por esta postulação adquire realidade.
Os objetos da matemática são 'objetos reais', são objetos na realidade, nesta mesma realidade das pedras ou dos astros; a diferença está em que os objetos matemáticos estão postuladamente construídos em seu conteúdo. A pedra é uma realidade em e por si mesma; um espaço geométrico ou um número irracional são realidade livremente postulada. É usual chamar o objeto da matemática 'objeto ideal'. Mas não há objetos ideais; os objetos matemáticos são reais. Isto não significa, repito-o insistentemente, que os objetos matemáticos existam como existem as pedras, mas a diferença entre aqueles e estas concerne tão só ao conteúdo, um conteúdo no primeiro caso dado, livremente postulado na realidade no segundo. Portanto os objetos matemáticos não têm existência ideal senão somente existência postulada, postulada mas "na" realidade. O que ocorre é que seu conteúdo: 1o está construído, e 2o está construído segundo conceitos. O que tão impropriamente se chama ideal é o real construído segundo conceitos. Tanto a existência como as propriedades estão postuladamente construídas "na" realidade. Portanto um objeto matemático não é real por sua mera definição nem por sua execução, mas tampouco é um objeto real em e por si mesmo como as coisas apreendidas em impressão sensível. É algo real por um postulado que realiza um conteúdo (notas e existência) livremente determinado graças à postulação.
Como o momento de realidade é justamente o "mais" de cada coisa real sentida, resulta que todo objeto matemático está inscrito na formalidade de realidade dada em impressão. Ou seja, é termo de uma intelecção senciente. Não se trata de que um espaço geométrico ou um número irracional sejam sentidos como se sente uma cor; estes objetos evidentemente não são sensíveis. Trata-se de que o modo de intelecção de um número irracional ou de um espaço geométrico é senciente. E o é: 1o porque se inteligem postuladamente num campo de realidade, isto é na formalidade dada em impressão de realidade, e 2o porque sua construção mesma não é mera conceituação senão realização, ou seja algo levado a cabo sencientemente. Sem sentir o matemático, não se pode construir a matemática. Aqui se toca com o dedo toda a diferença entre inteligência sensível e inteligência senciente [...] A inteligência sensível intelige apoiada nos sentidos; a inteligência senciente intelige sencientemente tudo, tanto o sensível como o não sensível. O objeto matemático é real com um conteúdo livremente construído na realidade física dada em impressão, e esta sua construção é a postulação.
A própria ciência matemática enunciou entre outras coisas dois teoremas cuja essência, a meu modo de ver, é [...] a anterioridade da realidade sobre a verdade. O teorema de Gödel, segundo o qual o construído por postulação tem 'de suyo' mais propriedades que as formalmente postuladas, expressa a meu modo de ver que o postulado é realidade antes que verdade. E o teorema (chamemos assim a teoria não cantoriana de conjuntos) de Cohen: os conjuntos não são só sistemas de elementos determinados por precisa postulação, senão que há, antes disso, conjuntos que ele chama genéricos e que a meu modo de ver não são genéricos, senão que são a simples realização do conjunto, sem as propriedades específicas determinadas por postulação. As propriedades postuladas mesmas são então reais antes que verdadeiras. A especificação não é aqui uma diferença lógica senão uma determinação real. É a realidade do conjunto antes que a verdade axiomática postulada. A meu modo de ver, este é o sentido essencial dos teoremas de Gödel e Cohen: a anterioridade do real sobre o verdadeiro na matemática".
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| Kurt Gödel |
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