Os Números Divinos

por Javier Ruiz

Platão, ao falar sobre as ideias puras ou os arquétipos, diz-nos a mesma coisa. Que os objetos físicos e os seres vivos nada mais são do que vestígios na matéria das ideias puras presentes no reino do inteligível.

A origem dos números naturais ($1, 2, 3 ...$) sempre foi objeto de controvérsia entre matemáticos e filósofos de todos os tempos. Assim, para Filolau, filósofo pitagórico do século V a.C. … grande, toda-poderosa, aperfeiçoadora e divina é a força do número, início e governante da vida divina e humana, participante de tudo e em tudo. Sem número, nada tem limites e é confuso e sombrio. Porque a natureza do número proporciona conhecimento e é guia e professor para todos em tudo o que é duvidoso ou desconhecido. Porque nenhuma das coisas seria clara, nem no seu próprio ser, nem nas suas relações mútuas, se o número e a sua essência não existissem. Este é quem harmoniza na alma as coisas com a sua perfeição, tornando-as cognoscíveis e congruentes entre si segundo a sua natureza, dotando-as de corporeidade

Assim vemos que para os pitagóricos a própria constituição do Universo é número e harmonia. Esta ideia foi formulada pelo físico Galileu Galilei, no século XVII, quando disse que o livro da Natureza estava escrito em caracteres matemáticos e geométricos: tal livro está aberto diante dos nossos olhos, mas nem todos podem lê-lo, porque o seu alfabeto é composto de números, proporções e figuras geométricas.

Toda a Matemática se baseia na noção de números naturais e nas suas operações aritméticas. Agora podemos perguntar-nos: como se fundamenta a aritmética? Qual é a base dos números naturais? Vejamos brevemente os cinco axiomas da aritmética.

1. O $1$ é um número natural;

2. A cada número natural $x$ corresponde univocamente outro denominado o seguinte: $s(x)$. [ou seja, $s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ também chamada função sucessor];

3. O $1$ não tem número precedente;

4. Se $s(x)=s(y)$, deduz-se que $x=y$. [injetividade];

5. Princípio de indução completa. Se um conjunto $C$ de números naturais atende às duas seguintes condições:

a) $C$ contém o número $1$;

b) Se $C$ contém $x$, também contém $s(x)$, então $C$ contém todos os números naturais.

Os cinco axiomas anteriores eram o objetivo do programa formalista da Matemática: reduzir a aritmética à lógica, derivar os conceitos da aritmética a partir de conceitos lógicos e deduzir princípios aritméticos a partir de princípios lógicos. Se isso fosse possível, poderíamos dizer que os números naturais e toda aritmética têm a sua base no cérebro, ou melhor, na mente humana. Toda a Matemática seria criação da mente humana, e não só a Matemática, mas também a Física, a Química, a Biologia, a Geologia; ou seja, todas as ciências que em maior ou menor grau utilizam estruturas matemáticas nas suas definições e nos seus métodos empíricos. Não esqueçamos que existe uma relação íntima entre os fenómenos experimentais e as estruturas matemáticas, o que é verdadeiramente surpreendente quando meditamos sobre eles.

Como vemos, uma fundamentação lógica da Matemática resolveria muitas questões sobre a natureza do mundo e do homem. De certa forma, embora com certo exagero, poderíamos dizer que todo o Universo, com todas as suas leis, os planetas, as estrelas, as galáxias, seria criação da mente humana.

Contudo, em 1931, um matemático checo, Kurt Gödel, declarou um teorema segundo o qual a coerência lógica não pode ser provada de qualquer sistema formal axiomático rico o suficiente para ser capaz de conter a aritmética pelo raciocínio matemático. O máximo que se pode esperar é que tal sistema seja incoerente. Este teorema deixa claro, entre outras coisas, a incapacidade da Matemática de colocar os seus fundamentos fora de qualquer dúvida (impossibilidade de demonstrar autoconsistência, isto é, a ausência de contradição lógica da construção matemática).

Voltando aos números naturais, devemos então distinguir entre os números que usamos na vida cotidiana e os verdadeiros números. Para o filósofo Jorge Angel Livraga, cada número distingue-se de qualquer outro número por um não-número, mas mesmo assim “valor”, que os diferencia. Sempre haverá algo entre fração e fração que não pode ser capturado com os padrões atuais.

Os números naturais são geralmente representados como pontos numa linha reta, igualmente espaçados entre si. Dizem-nos que o segmento de reta é ocupado por números racionais (números que podem ser expressos como um quociente de dois números inteiros, por exemplo, $5/3$) e números irracionais (números que, como a raiz quadrada de dois, não podem ser expressos como um quociente de dois inteiros). A hipótese do contínuo, expressa pelo matemático Georg Cantor, diz que o conjunto dos números reais (naturais, inteiros, racionais e irracionais) preenche completamente a reta. Esta hipótese não pode ser comprovada, o que acrescenta valor à teoria do Professor Livraga sobre a diferenciação de números por não-números. Esses não-números são governados pela matemática dinâmica ou viva, enquanto os números naturais são governados pela matemática estática, a única que conhecemos no momento (lembre-se que esta última não pode dar coerência lógica às suas bases, que são os números naturais).

Por mais que procuremos uma fundamentação lógica para a Matemática, que é a nossa ferramenta para o estudo da Natureza, as suas fundações, que são os cinco axiomas citados, não têm fundamento lógico.

Assim, com um pouco de ousadia, podemos afirmar que o Universo com as suas leis, e o homem com sua mente, têm uma base irracional, ou pararacional, como preferirem; algo que está além da nossa mente e que esta não consegue justificar. Com a nossa mente racional, focada em nós mesmos, não podemos saber nem a origem dos números naturais nem a origem do Cosmos.

Esta ideia não é nova. O filósofo ateniense Platão, no século V a.C. dizia-nos: …o que dá verdade aos objetos do conhecimento, e a faculdade de conhecer aquele que conhece, é a Ideia do Bem, que deverás conceber como objeto do conhecimento, mas também como causa da ciência e verdade; e assim, por mais belos que sejam o conhecimento e a verdade, julgarás corretamente se considerares essa ideia como algo diferente e ainda mais belo do que eles. E, quanto ao conhecimento e à verdade, assim como neste mundo é possível acreditar que a luz e a visão se assemelham ao sol, mas não que sejam o mesmo sol, também nesse mundo é correto considerar que um e outro são semelhantes ao bem, mas não o é ter qualquer um dos dois pelo bem, pois a consideração que se deve à Natureza do Bem é muito maior [1].

Não devemos pensar que a Matemática e as Ciências que utilizam as suas estruturas perdem a sua validade; eles simplesmente assumem validade relativa. Para Platão, o matemático toma certas noções como certas, como os cinco axiomas da aritmética mencionados acima. Destas noções, que não podem ser demonstradas, são de onde ele inicia a sua caminhada dedutiva rumo às conclusões; caminhada na qual não pode apoiar-se em ideias puras, mas deve recorrer a representações materiais dessas ideias puras (números). Os números não são ideias puras, mas a sombra (mental, acrescentaremos nós) de ideias puras. Por outro lado, o dialético, imagem do filósofo, também parte de hipóteses, mas essas hipóteses nada mais são para ele do que algo provisório, degraus, trampolins ou qualquer outra coisa que sirva para passar de um estado a outro no processo. Assim, vai ascendendo passo a passo até o início de tudo, um princípio não hipotético, e nesta ascensão nunca é obrigado a recorrer a outra coisa senão às ideias tomadas por si próprias. Isto não significa que o estudo da Natureza perca toda a sua validade. É conveniente lembrar a máxima socrática: conhece-te a ti mesmo, ó homem! e conhecerás o Universo e os Deuses.

[...]

Se há algo verdadeiramente fascinante no mundo que nos rodeia, é que podemos compreendê-lo, que é acessível às nossas mentes. Embora os primeiros princípios e os fins últimos nos escapem, o universo em geral está sujeito a leis que podemos descobrir através da observação, da pesquisa e do estudo. Nas palavras de John D. Barrows, físico inglês: A razão pela qual temos tido tanto sucesso em desvendar o funcionamento interno do universo é que descobrimos a linguagem em que o livro da natureza parece estar escrito. Em essência, ele está apenas citando Galileu Galilei, que disse que Deus criou o universo e escreveu as suas leis na linguagem da matemática.

Por que isto é desta forma é no fundo um verdadeiro mistério; serão a matemática, as formas geométricas, uma ferramenta fabricada pela nossa mente, ou antes, têm existência independente e estão fora dela? Para Roger Penrose, um dos melhores matemáticos atuais e co-criador com Stephen Hawking da entropia dos buracos negros, a matemática está de alguma forma “lá”, e a única coisa que o matemático faz é descobri-la. Ele é um fervoroso defensor do platonismo e da teoria dos arquétipos platônicos, imagens ou primeiros modelos que existem na mente de Deus e que utiliza ao criar o universo. Assim, a filosofia profunda e a matemática superior caminham juntas.

Dentre os números infinitos, escolhemos para estudo simbólico os mais conhecidos, como o número áureo, o número π, o número e, a base dos logaritmos naturais, e os números transfinitos de Cantor. Com o estudo destas belas sombras do pensamento divino que os referidos números nos mostram, a nossa mente terá a possibilidade de intuir as maravilhas da criação e poder seguir os seus passos de forma harmoniosa.

O número de ouro, Φ

Não há melhor impressão desta harmonia universal, deste desenho inteligente do universo, conforme postulado pela ciência moderna, que a velha ideia da Proporção Divina (segundo Luca Pacioli), a secção áurea para Leonardo da Vinci, simplesmente o número dourado, para nós.

Pitágoras é creditado com a descoberta da proporção áurea, o teorema que leva o seu nome e o pentagrama, uma estrela regular de cinco pontas onde o número áureo é um suporte básico. Ele fez da estrela de cinco pontas o símbolo distintivo dos membros da escola filosófica que fundou, o pitagorismo. Os pitagóricos destacavam-se pela sua sobriedade, pela sua altura moral, pela sua coerência. O princípio fundamental da filosofia pitagórica era que todas as coisas são números ou são compostas de números.

Platão, no Timeu, ecoa os ensinamentos pitagóricos. Bem, quando quaisquer três números, sejam lineares ou planos, o do meio é de tal tipo que tem em relação ao último a mesma relação que o primeiro tem em relação a ele; e inversamente, quando é de tal tipo que tem em relação ao primeiro a mesma relação que o último tem com ele, sendo então o primeiro e o último ao mesmo tempo o termo médio dos dois, acontece que todos os termos têm necessariamente a mesma função, que todos desempenham o mesmo papel uns em relação aos outros e, nesse caso, todos formam uma unidade perfeita. Aqui encontramos a definição matemática do número de ouro. O que Euclides coletará mais tarde nos seus Elementos de Geometria como a divisão em razão média e extrema.

Precisamente a estrela de cinco pontas contém o número dourado nas suas proporções. É um conceito matemático cuja aplicação na arte produz sensações belas e agradáveis. Desperta-nos uma ressonância, pois o homem e o universo são regidos pelas mesmas leis. Consequentemente, os antigos encerravam o ser humano perfeito dentro de uma estrela de cinco pontas, um símbolo de beleza e harmonia proporcional. Que estávamos sujeitos a leis e proporções semelhantes, reflexo do Demiurgo, do Divino Criador ao ordenar o mundo.

1. A sequência de Fibonacci.

Um matemático dos séculos XII-XIII, Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, descobriu essa sequência ao estudar a reprodução e a morte de coelhos na sua quinta. Cada termo da sequência é gerado pela soma dos dois anteriores. Assim, $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...$ Esta sequência tem propriedades muito curiosas, entre elas que o quociente entre dois termos consecutivos é próximo do número dourado. Aparece no triângulo de Pascal, em algoritmos de cálculo de máximos e mínimos para funções complicadas, uma das suas aplicações é na física óptica, no cálculo das trajetórias dos raios de luz quando atingem duas lâminas planas de vidro e em contato (aplica-se à leitura e gravação de dados digitais através de laser), etc. Os exemplos poderiam ser incontáveis.

2. O número de ouro na natureza.

Se tivermos um retângulo áureo e eliminarmos o quadrado do lado menor, o retângulo resultante terá ainda a proporção áurea e assim por diante. Isto dá origem a uma das espirais mais belas e recorrentes da natureza; a espiral logarítmica. Esta espiral logarítmica governa o crescimento de muitas formas vegetais e animais; por exemplo a concha do caracol marinho Nautilus, ou os caramujos marinhos tão presentes nas nossas costas. Também na dupla espiral das flores de girassol aparecem termos consecutivos da sequência de Fibonacci, o crescimento das pinhas segue a proporção áurea, um ovo de galinha pode ser inscrito em um retângulo áureo, etc. E, claro, a estrela do mar segue um padrão pentagonal no seu desenvolvimento. Se levarmos em conta que aqui ocorre o salto evolutivo crucial dos vertebrados para os invertebrados, verificamos empiricamente a importância da nossa proporção. A simetria pentagonal e a estrela de cinco pontas são a base do desenvolvimento formal de muitas flores e arbustos.

Até nas proporções do corpo humano aparece o número dourado. A distância do chão ao umbigo em relação à altura humana segue a proporção áurea. A proporção áurea também rege outras medidas anatómicas do homem, como A. Zeising estudou em meados do século XIX.

3. O número de ouro na arte

Como meio e modelo para retratar a beleza, a proporção divina tem sido utilizada por todas as culturas, e os povos com sentido estético aplicaram-na nos seus monumentos. Encontramos os seus vestígios na grande pirâmide, onde a altura do triângulo de suas faces tem dupla proporção áurea com a base, na Porta do Sol de Tiahuanaco aparece o triângulo dourado, numa tumba rupestre em Mira, Turquia, do século II a.C. surge novamente. Não está perdido durante a Idade Média. O número dourado é a base do arco parabólico e do arco pontiagudo, inovações geométricas que foram aplicadas no gótico. Mesmo em numerosos portais românicos e góticos, o triângulo áurico aparece como borda e fronteira.

No Renascimento foi recuperado novamente de forma maciça na arte. O Homem de Vitrúvio de Leonardo foi concebido para ilustrar o livro do frade Luca Paccioli, A Proporção Divina. Também aparece na Anunciação da Virgem Maria, as dimensões de La Gioconda são 89×55 cm., curiosamente dois números consecutivos da série Fibonacci. Devemos precisamente o nome da secção áurea a Leonardo. Na bela pintura de El Greco, O Enterro do Conde de Orgaz, vemos como o mundo terrestre inferior é governado pelo retângulo dourado, e o mundo celestial superior é governado pelo pentagrama místico e pelo pentágono no qual está inscrito. A nível matemático, Kepler enfatiza a proporção áurea no âmbito das suas teorias cosmológicas e cosmogónicas.

O número áureo foi recuperado novamente no século XIX, justamente com o surgimento do já mencionado trabalho de Zeising sobre medidas anatómicas no homem, e como este autor trabalhando em milhares de medições encontrou novamente o aparecimento do número áureo. Assim, na obra de Theodore Cook, The Curves of Life, a proporção áurea é aplicada ao estudo das formas botânicas e zoológicas. No início do século XX, uma exposição de obras pictóricas foi inaugurada em Paris sob o título La Section d’Or. A sua influência é inegável nas obras de Juan Gris, Picasso e Dalí. Isto pode ser visto na pintura Leda Atómica, onde um esboço de Dalí indica a estrutura da pintura em torno do pentagrama.

Um dos principais arquitetos do século XX, Le Corbusier, recupera o uso da proporção no desenho urbanístico e na construção. Em 1929 projetou o Mundaneum, um complexo localizado em Genebra que serviria como instituição mundial e sede da Liga das Nações. O layout do design segue a proporção áurea. Na sua obra El Modulor, realizada em 1950, e novamente baseada nesta proporção, onde tenta sistematizar o desenho das obras para que sejam úteis ao movimento humano. Einstein veio comentar esse trabalho, é uma gama de proporções que torna o mau mais difícil e o bom fácil.

A sua influência também se faz notar na música, na linguagem musical criada por Bela Bartok e baseada no sistema da secção áurea, que integra movimentos pentatônicos primitivos e afinidades primitivas. Podemos traçar a influência da secção na sua obra Concerto para Orquestra e Quatro Peças para Orquestra. E anteriormente, Robert Schuman nas suas Cenas Infantis também havia usado a proporção áurea para regular o número de compassos e os intervalos entre eles.

O número π

Estudado por todos nós durante os anos escolares, o número π contém em si próprio um grande mistério. Na escola dizem-nos que é a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro, dizem-nos que vale 3,1416, e começam a ditar-nos uma fórmula atrás da outra, com múltiplas aplicações, efetivamente. A verdade é que esta relação entre a circunferência e o diâmetro que hoje conhecemos como π sempre atraiu a atenção de cientistas e matemáticos de todos os lugares e de todos os tempos. A Bíblia declara o valor de π como 3 [2]. Os antigos egípcios calcularam o valor de π como 256/81, ou 3,16…, o que é uma boa aproximação. Para os antigos chineses, π valia 355/113, uma aproximação mais próxima do que a de Arquimedes, que, através de métodos de inscrição e circunscrição de polígonos num círculo, aumentando o número de lados dos polígonos, conseguiu limitar o valor de π entre 3,141590… e 3,141601…, uma aproximação que continua a ser usada até hoje. Nos séculos XVII e XVIII, através do desenvolvimento de séries numéricas, foi possível calcular o valor de π com um número crescente de casas decimais. Atualmente, mais de 206 bilhões de casas decimais de π foram calculadas usando métodos computacionais. Além do interesse dos decimais em si, a precisão do cálculo é usada para determinar o poder computacional dos computadores e a sua confiabilidade.

O número π, assim como o número áureo, é um número irracional, ou seja, não pode ser expresso como quociente de dois inteiros. Noutras palavras, o seu número de decimais nunca terminará nem seguirá um padrão de repetição. Desta forma, o valor de π nunca pode ser calculado exatamente. Sempre haverá uma sequência numérica infinita e não periódica subsequente, não importa quão grande seja o decimal a que chegamos através dos cálculos. Embora a irracionalidade de π só tenha sido demonstrada no século XVIII pelo brilhante matemático suíço Leonard Euler, o filósofo grego Aristóteles no século IV a.C. e o filósofo judeu Maimônides, no século XII, já haviam intuído essa irracionalidade e ficaram fascinados por ela.

O resultado desse fascínio tem sido tentar conseguir a quadratura do círculo, ou seja, construir um quadrado com a mesma área de um círculo usando apenas régua e compasso. Este foi, juntamente com a duplicação do cubo e a trissecção do ângulo, um dos problemas clássicos da geometria grega. Hoje sabemos que são insolúveis, mas estimularam a imaginação dos matemáticos de todos os tempos e, até que o matemático alemão Lindeman demonstrasse a sua impossibilidade, foram um incentivo contínuo aos trabalhos e às descobertas matemáticas. Conseguir a quadratura do círculo é impossível porque o número π é um número transcendente. O número π não pode ser encontrado pelas operações aritméticas de adição, subtração, multiplicação, divisão ou extração de raízes. No entanto, o número dourado Φ não é um número transcendente, daí a enorme variedade de formas naturais em que aparece. O número π praticamente não aparece na natureza, pelo menos tão explicitamente quanto Φ.

O que significa tudo isto? Vamos fazer uma análise simbólica do número π e dos elementos que lhe dão origem. Lembremos que π é a razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro. No simbolismo tradicional, a circunferência representa a Divindade Absoluta. Citemos Blavatsky, a grande esoterista do século XIX. Parabrahman, a Realidade Única, o Absoluto, é o campo da Consciência Absoluta; isto é, aquela essência que está fora de qualquer relação com a existência condicionada e da qual a existência consciente é um símbolo condicionado [3]. A circunferência sem um ponto central é impossível de conceber, porém o universo sempre foi descrito como um círculo cujo centro está em toda parte e a circunferência em lugar nenhum. O círculo é o símbolo da Divindade, e ao representá-lo com um ponto no centro simboliza a primeira emanação desta Divindade. Sigamos Blavatsky, um disco com um ponto no centro representa, no símbolo arcaico, a primeira diferenciação nas manifestações periódicas da Natureza eterna, assexuada e infinita, “Aditi em AQUILO” ou Espaço potencial no Espaço abstrato. Na terceira etapa, a ponta é transformada em diâmetro. Então simboliza uma Mãe-Natureza imaculada e divina, no Infinito absoluto que tudo abrange [4]. Noutras palavras, a relação entre a circunferência e seu diâmetro é o equivalente entre a Divindade e a Natureza no seu estado de pureza imaculada. Esse é o significado de π.

Não é surpreendente, então, que π seja irracional e transcendente, uma vez que a sua relação não é com o mundo natural, como a de Φ, mas com o mundo das ideias puras ou arquétipos platónicos. É neste mundo geométrico, sombra das ideias puras, que π ganha significado e valor. A irracionalidade e a transcendência de π simbolizam os esforços vãos da mente humana para tentar raciocinar sobre o Mistério de Deus e da Criação. Porém, π é um número fascinante e ao qual, como humanos, temos acesso, pois podemos capturá-lo em formas geométricas. Mas sempre haverá um decimal de π que nos escapará, e não poderemos reduzir o seu cálculo a uma equação racional, pois a natureza de π é semelhante à natureza da Divindade. Está acima da nossa simples razão, mas não da nossa intuição, graças à qual elevamos a nossa mente ao reino dos arquétipos e captamos as ideias geométricas puras nele presentes.

O número e

A história deste número só começa no século XVIII, quando foi descoberto pelo matemático Leonard Euler como a constante para a qual tende a soma de numerosas séries convergentes de números naturais. É um número definido por um limite que pode ser consultado em qualquer manual de matemática. O que nos interessa aqui é saber que também é um número irracional e transcendente, como π.

Com a descoberta do número e nasceu a função exponencial e logarítmica, que rege numerosos processos físicos de crescimento e variação de unidades, como o decaimento radioativo ou a absorção de luz ou ondas por um meio contínuo. É surpreendente como um número irracional e transcendente aparece em numerosos processos físicos e biológicos. Um número que não pode ser expresso como uma fracção ou calculado por uma equação racional está continuamente presente na natureza. É uma impressão direta do mundo arquetípico no mundo natural, como um selo direto que nos diz que a natureza segue leis matemáticas profundamente belas e harmoniosas.

Deve-se notar que e rege tanto o crescimento quanto a diminuição de uma quantidade, desde que esta não dependa do restante da quantidade que esteja presente. Ou seja, e aparece sempre que a substância que varia não possui informações sobre o ambiente restante. Só assim o crescimento exponencial aparece como uma lei. Para explicar isto, vamos dar um exemplo clássico. Se semearmos uma bactéria que se duplica a cada vinte minutos num meio rico em alimentos, depois de uma hora teremos 8 bactérias, depois de 2 horas 499 bactérias, e depois de 12 horas cerca de 18.000. Evidentemente, mais cedo ou mais tarde, a comida deve impor um limite no crescimento, caso contrário o número de bactérias acabaria tomando conta da terra. Mas este é o poder do número e, que governa o crescimento ilimitado ou a decadência sem fim, mas mais cedo ou mais tarde a oferta do meio imporá uma limitação ao seu poder.

O que significa tudo isto? Que a matéria tem um limite, que pelas suas próprias leis ela tem o seu lugar bem definido dentro do Grande Cosmos e que se tentar ultrapassá-lo, as leis nela inscritas acabarão por fazê-la retornar ao crescimento harmonioso. É importante então que o homem aprenda o mesmo, porque o crescimento ilimitado que o nosso mundo propõe como solução para todos os problemas sociais e ambientais acabará por cair numa recessão. É inevitável. Mas, como humanidade, podemos voltar ao curso natural das coisas. Para isso recebemos a inteligência, não só para resolver problemas matemáticos e descobrir teoremas, mas também para aplicá-los ao nosso ambiente no seu significado filosófico.

Os números transfinitos

Pode haver números além do infinito? Esta foi a pergunta feita pelo matemático Georg Cantor, descobridor da moderna teoria dos conjuntos. Para nos aprofundarmos nesta questão, vamos começar por estudar a sequência dos números naturais.

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...$

Obviamente esta sequência não tem fim, pois podemos adicionar 1 a qualquer número natural e obter o próximo desta lista, e assim por diante. É um conjunto sem fim ou infinito. Podemos dizer que esta sequência tende ao infinito, e iremos designá-la com o símbolo ∞. Agora, ∞ é um número real? Obviamente que não, pois não podemos incluir o infinito nos números naturais e ao mesmo tempo manter os axiomas fundamentais da aritmética que vimos anteriormente. Não podemos adicionar nada ao infinito, porque não é um número. No entanto, o conceito de infinito invade toda a matemática. Dizemos então que o conjunto dos números naturais é composto por infinitos elementos.

Para ver alguns dos paradoxos do infinito, vejamos o seguinte caso; a sequência de números pares,

$2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...$

Está incluída na sequência de números naturais. Mas nenhuma delas tem fim, ambas têm elementos infinitos, pois ambas podem ser colocadas lado a lado, de modo que o primeiro par corresponda ao número $1$, o segundo par corresponda ao número $2$, o terceiro par corresponda ao número $3$ e assim por diante. Certamente parece que ambas possuem o mesmo número de elementos, ou seja, ∞. Mas a sequência dos números pares está incluída na sequência dos números naturais. Este é um dos paradoxos que aparecem quando se considera o infinito como um número. É melhor então, como fez Cantor, falar em termos de conjuntos e dizer que dois conjuntos são equivalentes se ambos puderem ser numerados da mesma maneira, de modo que cada elemento do primeiro conjunto corresponda a um e apenas um do segundo. Desta forma podemos começar a estabelecer uma aritmética do infinito.

Cantor demonstrou que o conjunto dos números naturais, o dos inteiros e o dos números racionais era enumerável, ou seja, que uma relação termo a termo pode ser estabelecida com cada um dos elementos dos conjuntos vistos acima e com cada um dos números naturais. Um conjunto de elementos enumerável ​​é composto por um número infinito de elementos. Agora, o conjunto dos números reais (racionais e irracionais) é enumerável? Por outras palavras, os números reais têm elementos infinitos? Cantor mostrou, utilizando um método de diagonalização, que este não é o caso. O conjunto dos números reais não é enumerável. Foi assim que nasceram os números transfinitos. Os números reais têm um grau de infinitude maior, por assim dizer, do que os números naturais. Lembremos, como vimos anteriormente, que os números reais segundo a hipótese do contínuo preenchem a reta. Portanto, o número de pontos na reta é transfinito.

Para denotar esta hierarquia de infinitos, Cantor tomou emprestada uma letra do alfabeto hebraico, o aleph, $(\aleph)$. Ele chamou o infinito contável dos números naturais aleph sub-zero, $(\aleph_0)$ e ao infinito incontável dos números reais ou ao infinito do contínuo numérico da linha reta, ele o chamou de aleph sub-um, $(\aleph_1)$. Além disso, no aleph sub-um apresenta-se também o mesmo paradoxo do infinito, pois o número de pontos de um segmento de reta e o número de pontos de toda a reta são equivalentes, ou seja, pode-se estabelecer uma correspondência termo a termo (neste caso ponto a ponto) entre o número de pontos de um segmento e o número de pontos de toda a reta. Além do mais, esta correspondência também pode ser estabelecida entre o número de pontos na reta, o número de pontos no plano e o número de pontos no espaço tridimensional. Assim, o número de pontos de um determinado segmento, da reta, do plano bidimensional e do espaço tridimensional é o mesmo, número transfinito denominado $\aleph_1$ por Cantor.

Procurando o significado filosófico de tudo isto, podemos equiparar o ∞ dos números naturais à ideia de tempo sucessivo, ao passado, ao presente e ao futuro. Da mesma forma que o presente é um ponto incompreensível no tempo, a sucessão temporal sucessiva que chamamos de passado e futuro nada mais é do que uma ilusão da nossa mente. O infinito sucessivo é $\aleph_0$. Agora, pode haver algo além disso sucessão temporal ilusória? A matemática transfinita nos diz que sim, é $\aleph_1$. E curiosamente, há cerca de dois mil e quinhentos anos, um homem que deixou uma marca muito profunda na filosofia disse-nos que o tempo é a imagem em movimento da eternidade. Esse homem era Platão, e o diálogo em que ele o faz é o Timeu. Vamos pensar sobre as propriedades de $\aleph_1$. Está incluído em qualquer segmento geométrico que possamos conceber. Não é enumerável e da mesma forma que é impossível captar um ponto no espaço, também não podemos captar o momento presente. E além disso, a lógica simplista que nos diz que o todo é maior que a soma das suas partes desmorona, pois em cada região do plano ou espaço encontramos o mesmo número transfinito de pontos. O $\aleph_1$ é o símbolo matemático da eternidade, pois é igual a todo e qualquer uma de suas partes, independentemente do tamanho aparente.

Mais ainda, o mesmo raciocínio que fizemos para o tempo pode ser estendido ao espaço. Um número de pontos que se encontra ao longo de uma reta e em qualquer segmento desta, por menor que seja, um número que se encontra igualmente em qualquer região do plano e do espaço que tomemos, não importa o tamanho deste, indica-nos que o conceito de dimensão e extensão espacial também é ilusório. A ideia de comprimento desaparece, assim como a comparação entre o grande e o pequeno, da mesma forma que desapareceu a temporalidade do passado e do futuro. O tempo e o espaço nada mais são do que uma ilusão criada pela nossa mente. Platão, ao falar sobre as ideias puras ou os arquétipos, diz-nos a mesma coisa. Que os objetos físicos e os seres vivos nada mais são do que vestígios na matéria das ideias puras presentes no reino do inteligível.

À primeira vista, tudo isto nos parece absurdo. Isto porque estamos habituados a pensar que dois segmentos de comprimentos diferentes contêm um número diferente de pontos e que o tempo é uma sucessão discreta de instantes, um após o outro. Mas a matemática do infinito mostra-nos que uma sucessão ordenada de eventos extrapolados em direção ao infinito leva a uma série de paradoxos. O grande e o pequeno, o passado e o futuro nada mais são do que uma ilusão criada pela tendência da nossa mente de pensar sucessivamente. Como diriam os antigos hindus, nada mais são do que as vestimentas da Deusa Maya, a deusa da ilusão com aparência de realidade.

Notas:

[1] Platão, A República, livro VII, Ed. Alianza.

[2] É a opinião comumente aceite. Mas não é exatamente assim. Um rabino do século XVIII calculou através da gematria ou cábala o valor de π na Bíblia, encontrando 3.1416, que é uma aproximação muito boa. Veja-se o livro La proporción trascendental, págs. 26 e 27, editorial Ariel.

[Ver 1 Reis 7, 23: Fez também o mar de bronze de dez côvados (de diâmetro), duma borda à outra, redondo em toda a volta; a sua profundidade era de cinco côvados, e a sua circunferência media-se com um fio de trinta côvados.]

[3] A Doutrina Secreta, Volume I, pág. 88, ed. Sirio.

[4] A Doutrina Secreta, Volume I, pág. 74.

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Lista de livros sobre a Educação verdadeira - parte 3

Still Life with Books and Candle -
Henri Matisse - 1890

Esta já a parte 3 dessa Lista que está sendo a mais lida deste blog. A lista 1 (disponível aqui: parte 1) e lista 2 (disponível aqui: parte 2) começaram com uma simples lista com alguns livros em língua portuguesa sobre educação. Agora trago uma parte 3. O critério daquela lista foi e continua sendo o mesmo: livros sobre educação que não contivessem influências ideológicas e que estivessem preocupados em explanar sobre uma verdadeira educação. Novamente muitos desses livros foram publicados pela primeira vez ou republicados recentemente no Brasil. Obviamente esta lista complementa e amplia as listas anteriores.

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História da Pedagogia - Vol. 1: Da Antigüidade à Patrística. Louis Riboulet. Editora Liceu, 2020 e Editora Paulo de Azevedo, 1951.

Sinopse: Entre os povos não civilizados, a educação se apresenta sob a mais simples das suas formas: não há escolas propriamente ditas, nem programa de estudos; imitação servil é o único método empregado.

A formação da juventude é instintiva, rotineira e limitada somente às coisas que têm por objeto a satisfação das precisões materiais: alimentação, vestuário, abrigo. Sob a direção dos pais, o menino se inicia, pouco a pouco, nas várias ocupações da tribo: Cuidados da casa, fabricação de utensílios, tecelagem de vários panos, pesca e caça, manejo de armas, guarda dos rebanhos, trabalhos agrícolas.

Não obstante, este modo de proceder implica uma espécie de educação intelectual e até o cultivo de certas qualidades morais. É possível, portanto, depreender desta formação rudimentar alguns traços da educação como nós a concebemos, isto é, ocupando-se ao mesmo tempo do corpo, da inteligência e da alma, em geral.

— A Antigüidade

Os Padres da Igreja, eminentes em santidade como em doutrina, tiveram por missão explicar as verdades da religião, defendê-las contra os ataques de pagãos e hereges e lançar os fundamentos da doutrina católica. Não se desinteressaram dos estudos estranhos à religião. Foram amigos e ardentes propagadores das letras, ciências e artes, e todos se distinguiram por alta cultura clássica.

Do ponto de vista da educação, os Padres se aplicaram principalmente a conciliar a ciência profana com a doutrina moral e religiosa dos cristãos. Tendo eles próprios haurido, nas escolas romanas, a brilhante educação que lhes dava tanta influência, na Igreja, julgavam o estudo dos clássicos indispensável. Por outro lado, os chefes da Igreja nunca proibiram estudar os autores gregos e romanos nem os ensinar.

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História da Pedagogia - Vol. 2: Do Período Monástico ao Renascimento. Louis Riboulet. Editora Liceu, 2020 e Editora Paulo de Azevedo, 1951.

Sinopse: Terminou o quinto século em calamidades de toda ordem. Nuvens de bárbaros caíram sobre a Europa; saqueando, incendiando as cidades, não deixando atrás de si senão sangue e ruínas. As obras-primas da antigüidade teriam perecido, as escolas teriam desaparecido se a Igreja não as tivesse salvado e protegido.

“O espírito humano, pode-se dizer sem exagero, batido pela tempestade, refugiou-se nas igrejas e nos mosteiros; abraçou suplicante os altares para viver em seu abrigo e a seu serviço até que melhores tempos lhe permitissem reaparecer no mundo e respirar ao ar livre”.

(Guizot, História da civilização na França, I. p. 137).

O nome de monástico, dado ao período que se estende do sexto ao duodécimo século está, portanto, amplamente justificado.

— Período Monástico

Uma admiração excessiva da Antigüidade leva os humanistas neopagãos ao desprezo da Idade Média. Consideram época de barbárie todos os séculos que os separam da Antigüidade e dão sentido pejorativo ao termo Idade Média. A escolástica, de que não conhecem senão os abusos e as obras da decadência, é objeto principal dos seus ludíbrios. Petrarca ridiculariza os doutores em silogismo “inchados de nada, trabalhando no vácuo e exercitando-se em futilidades”. Ramus passa parte da vida a rebater as antigas doutrinas.

Segundo Montaigne, é Baroco e Baralipton que tornam as bases da filosofia tão enlameadas e enfumaçadas. Rabelais não compreende melhor as obras da grande época escolástica; admira-se, no meio das luzes de seu tempo, de encontrar ainda gente “que não pode ou não quer tirar os olhos desse nevoeiro gótico e cimeriano".

— O Renascimento

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História da Pedagogia - Vol. 3: Do século XVII ao século XIX. Louis Riboulet. Editora Liceu, 2020 e Editora Paulo de Azevedo, 1951.

Sinopse: No século XVII, muitos países foram perturbados por divisões e questões muito nocivas aos interesses da educação. Na Inglaterra, terrível guerra civil fez cair no mais completo descrédito a maior parte das escolas. O ensino tornou-se o recurso supremo daqueles que haviam malogrado em tudo. O diretor se desembaraçava do trabalho confiando-o aos mestres subalternos.

Barbeiros e açougueiros fizeram fortuna mantendo escolas. O desgosto pelo estudo tornou-se tal que os filhos dos gentis-homens se gloriavam de nada

saber. “Juro, dizia um nobre, que antes de fazer de meu filho um mestre-escola, o enforcaria. Fazer ressoar a buzina, entender de caçadas, levar bem o falcão e adestrá-lo, eis o que assenta bem a filho de gentil-homem. Quanto ao saber que se busca nos livros, deve-se deixar aos vadios”.

— O século XVII

Não é fácil formar juízo definitivo sobre o século XIX. Os fatos são por demais complexos e estão muito próximos de nós; seus resultados não são suficientemente conhecidos. Certos sentimentos estão muito vivos ainda, nas almas, para permitirem apreciações imparciais. Todas as nações têm aberto escolas numerosas. A sociedade civil, a Igreja Católica com suas legiões de sacerdotes e suas admiráveis Congregações docentes, as várias seitas cristãs, se têm dedicado a estas obras com um devotamento sem limites. Nunca se compreendera melhor a obrigação de difundir a luz, de dar a todas as classes da sociedade instrução sólida e variada.

Esta evolução das obras escolares se nota sobretudo na Europa e nos países sujeitos à influência das nações civilizadas. A América do Norte se tem distinguido de modo particular e, a certos respeitos, tem até excedido o antigo continente.

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História da Pedagogia - Vol. 4: O século XIX. Louis Riboulet. Editora Liceu, 2020 e Editora Paulo de Azevedo, 1951.

Sinopse: O programa da Idade Média compreendia as Sete Artes Liberais. No século XVI se organizou o ensino das humanidades e, em seguida, alguns educadores de tendências naturalistas o julgaram pouco conforme às realidades da vida.

No século XVIII, a Alemanha abriu as primeiras escolas reais. Maria Teresa, influenciada pelo Emílio, diminuiu, nos colégios, a parte consagrada ao classicismo. Na França, os Enciclopedistas e os pedagogos da Revolução, especialmente Diderot, Lakanal, Dauneu, Condorcet, pedem a substituição das humanidades por estudos científicos. No século XIX, o ensino moderno penetrou em todo os países civilizados.

Seria injusto contestar a necessidade desse ensino. Mas o que não se admite é que tenha o mesmo valor educativo que as humanidades clássicas. Estas têm a seu favor os mais magníficos resultados. Devemos a esses métodos, dizia Voltaire, “os nomes mais célebres do nosso país”, em particular os grandes escritores, a maior parte dos inventores e dos sábios mais ilustres dos três últimos séculos. Em nossos dias, um exame desinteressado tem verificado que os alunos que têm as melhores classificações para admissão às escolas superiores, com impressionante maioria, foram os que tinham cursado antes as humanidades clássicas.

Acrescentemos que os partidários do ensino moderno pareciam não ter em vista senão vantagens econômicas e materiais. Tem-se até pretendido que certos adversários dos estudos clássicos agiam sob a influência de duas paixões: a da igualdade, que não toleraria nem mesmo a aristocracia da inteligência; e a da irreligião, que acha meio de prejudicar a Igreja abolindo o ensino do latim.

Esta luta do cientificismo contra o ensino tradicional não tem dado bons resultados.

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O Amor às letras e o desejo de Deus: Iniciação aos autores monásticos da Idade Média. Jean Leclercq. Paulus, 2012.

Sinopse: Este é um livro de iniciação aos autores monásticos da Idade Média dirigido a estudantes. Publicado pela primeira vez em 1957, impôs-se como um clássico não só pela solidez das informações e acuidade das percepções, mas também pela autenticidade da atitude intelectual que traduz: rigor científico e interesse por um saber aberto sobre as questões essenciais da existência humana. Dividida em  três partes, a obra é composta por uma série de lições dadas a jovens monges do Instituto de Estudos Monásticos do mosteiro de Santo Anselmo, em Roma, durante o inverno de 1956-1957.

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A Educação Superior e o Resgate Intelectual. O Relatório de Yale de 1828. Universidade de Yale, Giovanna Louise (Tradutora). Vide Editorial, 2016.

Sinopse: Em 1828 foi pedido ao corpo docente da Universidade de Yale que avaliasse a necessidade de se insistir nos estudos clássicos e de línguas antigas como parte do programa acadêmico da instituição, dados os avanços industriais dos novos tempos e suas novas demandas.

Após expor o currículo adotado até então naquela instituição, justificados seus princípios e defendidos seus objetivos, o corpo docente conclui que seria uma tragédia anunciada substituir o ensino clássico por uma espécie de ensino profissionalizante.

É indiscutível a perspicácia de tal análise e a importância que este documento de Yale tem principalmente hoje em dia, visto que se vive em meio justamente à tragédia acadêmica anunciada em 1828.

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A conexão de Leipzig. A destruição sistemática da educação americana. Paolo Lionni. Vide Editorial, 2020.

Sinopse: Nos últimos anos do século XIX, teve início uma grande transformação na educação americana.

Depois da Primeira Guerra Mundial, o povo americano notaria cada vez mais uma grande mudança nos rumos da educação dada a seus filhos. Nas décadas seguintes, as mesmas escolas que haviam nutrido o sonho americano seriam assoladas pelo crime e pelas drogas, e os colégios passariam a formar alunos semi-analfabetos que mal sabiam aritmética básica.

Este livro descreve essa metamorfose, que teve início numa universidade alemã com o trabalho do psicólogo Wilhelm Wundt e culminou na atuação do educador americano John Dewey.

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A Escola sem Deus. Monsenhor de Ségur. Editora Santa Cruz 2022. Edições Livre, 2018.

Sinopse: Louis Gaston Adrien de Ségur, sacerdote e escritor francês, nascido e falecido em Paris (15/04/1820 – 9/06/1881). Descendente de uma família nobre, era filho do marquês Eugène de Ségur e da célebre condessa de Ségur, conhecida escritora de livros infantis. Zeloso nos estudos, logo que se formou em Direito foi enviado como adido à Embaixada Francesa em Roma, junto à Santa Sé. Ao retornar a Paris, ingressou no Seminário de Santo Sulpício, sendo ordenado sacerdote em dezembro de 1847. Dedicou-se principalmente à evangelização das crianças e dos pobres, assim como dos soldados prisioneiros de guerra. Foi muito estimado pelo Papa Pio IX, por muitas autoridades eclesiásticas e diplomáticas, e até mesmo por Napoleão III.

Em 1856, Mons. de Ségur teve um grave problema na visão que o levou à cegueira e o obrigou a renunciar às suas funções. Chegou a ser nomeado bispo, mas não recebeu a ordenação episcopal, impedido por sua condição. Com a cegueira, passou a ditar livros explicando - e defendendo com fervor - a doutrina católica em linguagem popular. Escreveu mais de 70 livros, e até o momento de sua morte, em 1881, suas obras somavam mais de 700 mil cópias vendidas apenas na França e na Bélgica, sem contar as edições em italiano, espanhol, alemão, inglês e até mesmo na língua hindu.

O livro A escola sem Deus foi escrito em 1872. Nessa obra, Mons. de Ségur fala da importância da educação católica, defendendo que o ensino deve ser cristão, e não laico. Ou seja, as escolas, principalmente no nível de instrução básica, necessariamente precisam ser católicas, considerando que, entre outros fatores, as crianças passam grande parte de suas vidas dentro das escolas, e assim os professores teriam que auxiliar os pais e os sacerdotes na formação cristã das crianças. Entre outras coisas, diz Mons. de Ségur: “... Na prática, não tratar da religião na escola é tornar impossível a instrução religiosa das crianças!”

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A boa e a má educação: exemplos internacionais. Inger Enkvist. Edições Kírion, 2020.

Sinopse: Este livro tem o propósito de explicar em que consiste a boa qualidade educacional. Para isso, estudaremos vários sistemas escolares, tanto os que dão bons resultados como os que dão maus, trazendo dados da França, Finlândia, Estados Unidos, Suécia, Japão, China e Espanha. Por meio desse percurso comparativo, e com o auxílio de uma porção de relatos e de estudos acadêmicos de disciplinas variadas, tentaremos mostrar por que o modelo educacional em vigor em muitos países ocidentais não funciona.

Para entender o que aconteceu com a educação do Ocidente nos últimos anos é essencial estudar os conteúdos e métodos de todo um conglomerado de pedagogias que poderíamos chamar de “libertárias” ou “progressistas”, e que, na falta de nome melhor, chamaremos sinteticamente de “nova pedagogia”. 

A tônica deste livro, porém, não é a crítica generalizada desse conjunto, mas destacar, para todo leitor livre de preconceitos, que tipo de práticas são mais recomendáveis — e como, curiosamente, muitas delas coincidem com o que foi a educação tradicional do Ocidente.

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Educação: Guia para perplexos. Inger Enkvist. Edições Kírion, 2019.

Sinopse: Com este guia, a pedagoga sueca Inger Enkvist ajuda pais, professores e alunos a compreender as causas dos fenômenos estranhos que temos visto em nossas escolas, como a queda vertiginosa de sua qualidade, o desrespeito pelos professores e a substituição do ensino tradicional por práticas suspeitas. Com coragem e elegância, ela expõe as contradições intrínsecas do igualitarismo, do multiculturalismo e do construtivismo, e apresenta os resultados concretos a que levaram as idéias de autonomia, de tolerância, inclusão e outras.

“Um aspecto essencial do presente livro é a denúncia do tabu que impede mencionar a relação entre a crise da educação no Ocidente e o igualitarismo permissivo que desprezou o aprendizado como idéia estruturante da educação, ou, em outras palavras, a combinação do igualitarismo com a nova pedagogia. [...] A crise da educação se deve a uma visão igualitarista, tecnológica e economicista da mesma, que não valoriza suficientemente o conhecimento em si nem o aluno em si, mas a igualdade entre os alunos e o bom funcionamento da economia”.

“Os professores estão sendo utilizados para fins políticos e sociais, e percebem vagamente que estão sendo manipulados pelas autoridades políticas. Na educação tradicional eram vistos como profissionais com a clara missão de elevar o nível educacional de seus concidadãos. Eram modelos, respeitados pelos alunos e por seus pais. Os estruturalistas e os pós-estruturalistas vêem os professores como uma mera função. Poucas vezes se leva em conta sua opinião profissional sobre como se deveria organizar a educação, e são obrigados a obedecer às instruções dos políticos”.

Sobre a autora: Inger Enkvist (1947–) é professora de literatura espanhola na Universidade de Lund, na Suécia. Já publicou estudos sobre Miguel de Unamuno, José Ortega y Gasset, Mario Vargas Llosa e outros, além de vários livros sobre educação, em sueco e em espanhol. Nestas obras, critica as bases ideológicas da nova pedagogia, demonstra seus maus resultados e suas conseqüências malignas para a cultura ocidental como um todo, e apela para a recuperação de elementos da pedagogia tradicional, como o valor do conhecimento, da dedicação do aluno e da autoridade do professor competente.

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Maquiavel Pedagogo ou o ministério da reforma psicológica. Pascal Bernardin. Editora: Ecclesiae, 2013.

Sinopse: Quais são as razões da profunda crise na escola? É possível encontrar uma espécie de vírus no gene de nossa sociedade e de nosso sistema educativo? Podemos concluir que é urgente uma redefinição do papel da escola e de suas prioridades?

Inúmeros pais e educadores, testemunham, estupefatos, a revolução em curso. Interrogam-se sobre as profundas mutações que de forma acelerada vêm ocorrendo em nosso sistema educativo. Porém, nenhum governo, seja de direita ou de esquerda, vem à público esclarecer os fundamentos ideológicos dessas constantes reformas no ensino e tampouco se preocupam em apresentar, de forma clara, as coerências e os objetivos dos métodos adotados.

Mas, ainda que tudo nos pareça muito obscuro, podemos encontrar todas as respostas na filosofia da revolução pedagógica que se expõe, em termos explícitos, nas publicações dos organismos internacionais como a Unesco, a OCDE, o Conselho da Europa, a Comissão de Bruxelas e tantas outras. Apoiando-se sobre textos oficiais desses organismos, Pascal Bernardin mostra detalhadamente que o objetivo prioritário da escola atual não é mais possibilitar aos alunos uma formação intelectual e muito menos fazê-los adquirir conhecimentos elementares.

O que se pretende com a redefinição do papel da escola é torná-la nada mais do que o instrumento de uma revolução cultural e ética destinada a modificar os valores, as atitudes e os comportamentos das pessoas em escala mundial. As técnicas de manipulação psicológica, que não se distinguem muito das técnicas de lavagem cerebral, estão sendo utilizadas de forma maciça. Naturalmente, os alunos são as primeiras vítimas.

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O código da educação: Uma história verdadeira. Antônio Donato Paulo Rosa. Editora Pie Pellicane, 2022.

Sinopse: No primeiro milênio da era cristã o cristianismo estava em vertiginosa ascensão. Santo Agostinho descrevia assim seu assombro diante da irreversível cristianização do mundo:

"Pelas cidades e bairros, e até pelos campos, deseja-se o afastamento do mal e a conversão ao único e verdadeiro Deus. São inumeráveis os que deixam as riquezas e as honras do mundo, desejosos de consagrar a sua vida ao Deus supremo. Todas estas coisas são agora acolhidas de tal modo que, se antes era impensável argumentar a seu favor, agora o é colocar-se contra elas. Ninguém já se admira de tantos milhares de jovens renunciarem ao matrimônio e abraçarem a vida cristã. As igrejas estão se multiplicando com fertilidade e abundância, até mesmo entre os povos bárbaros" (S. Agostinho: De Vera Religione, 4).

Mas, no segundo milênio, o Papa João XXIII descrevia e outro modo o mundo moderno:

"Estamos em um mundo de fisionomia profundamente mudada, em meio a uma procura quase exclusiva de bens materiais, no esquecimento, ou no enfraquecimento, dos princípios da ordem espiritual, que caracterizaram a penetração da civilização cristã através dos séculos" (SS. João XXIII: Alocução de 14 de novembro de 1960).

As origens deste fenômeno remontam aos anos entre 1300 e 1600. A sociedade transformou-se radicalmente. A natureza dos acontecimentos dificultou o entendimento do que acontecia. A partir daí, estas transformações incoporaram-se à educação. A educação reproduz a sociedade existente, formando os homens para a sociedade existente ou, como ocorreu com o cristianismo, para formar uma nova. Se não se entende claramente a transformação ocorrida na sociedade e como ela se incorpora e se reproduz na escola, os erros do início somente serão percebidos em suas consequências quando já não houver mais lembrança do que realmente ocorreu.

O Código da Educação narra como a escola se adequou à nova configuração social e como se perdeu a noção do que seria a educação cristã e sua relação para com a estrutura social.

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A Educação na Antiguidade: Uma introdução ao amor da sabedoria. Antônio Donato Paulo Rosa. Editora Pie Pellicane, 2024.

Sinopse: Que pensamos nós sobre a natureza? 

A natureza certamente é repleta de mistérios. Mas isto significa que pretende dizer-nos algo?  E teríamos nós sido feitos precisamente para compreender esta mensagem? 

A visão que hoje fazemos do mundo nos sugere que a natureza surgiu por forças agindo ao acaso e que os homens, graças a muito progresso, estão alcançando pleno domínio sobrea natureza. Esta visão contrasta com a de um povo que, muito antes de Cristo, observou a natureza e descobriu que ela parece querer comunicar-nos algo, e que os homens mal alcançaram, diante dela, a primeira infância. 

Este livro quer apresentar a epopéia deste povo. Quer mostrar como seus achados foram tão facilmente acolhidos pelo Cristianismo. E também como, mais tarde, foram tão facilmente esquecidos. 

Houve uma época em que um povo buscou apaixonadamente a sabedoria. Uma multidão de cidadãos vendia tudo o que tinha para  viver contemplando a natureza. Eles  haviam percebido que a natureza era muito coerente, parecia ter um segredo e querer mostrá-lo para os homens. Especialmente para os homens.  A própria natureza parecia tê-los feito para isto. Estas pessoas buscavam entender o segredo da natureza mas não para construir uma máquina ou fazer dinheiro. 

Pouco a pouco perceberam que toda a natureza  tinha uma só ordem, que esta era ordenada por um único princípio e dentro desta grande ordem, cada coisa parecia dirigir-se a um fim. Todas as formigas constroem um formigueiro. Todas as abelhas constroem uma colméia. E o fim de cada coisa está em harmonia com a ordem maior de toda a natureza. Todas as coisas parecem saber qual é o seu fim e como este fim se sincroniza com os fins das demais coisas. 

Em toda esta ordem, porém, o homem parecia ser uma exceção. Talvez a única exceção. Justamente o homem. Os seres humanos não parecem agir como se estivessem se direcionando a algum fim. Ao contrário da formiga e da abelha, o homem nunca parece estar satisfeito com o que faz. Nem sequer parece supor que possa existir algo específico que devesse fazer para encaixar-se na ordem natural. Era um mistério como, em meio à ordem natural, pudesse haver um ente, que parecia ser o mais perfeito e a obra-prima da natureza, e era justamente este o que parecia não saber o que fazer. Como se explicaria isto? Estava aí um mistério dentro da natureza. Tudo tão bem sincronizado, mas o homem, justamente o homem, fora daquela grande sincronia. 

O que provavelmente deveria estar acontecendo é que tal finalidade deveria ser algo tão elevado que somente poderia ser alcançada com plena consciência da inteligência e plena liberdade da vontade. Portanto, para que o homem pudesse cumprir o objetivo que a natureza devia ter-lhe traçado, teria primeiro que compreender, pela luz da inteligência, sua própria natureza e o modo como ela se insere na ordem natural, e depois aceitar ambas estas coisas livre e conscientemente.

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Aprendendo Inteligência: Manual de instruções do cérebro para estudantes em geral 1. Pierluigi Piazzi. Editora Aleph, 2015.

Sinopse: 

Durante muito tempo, acreditou-se que a inteligência fosse uma característica inata. O fator genético era considerado bem mais influente do que o fator ambiental. Porém, devido aos avanços da neurociência, ficou demonstrado que inteligência, talento e vocação são características que podem ser adquiridas com facilidade e um pouco de esforço. Neste livro, dedicado aos estudantes de todos os níveis, o Pierluigi Piazzi (conhecido carinhosamente pelos seus alunos como Prof. Pier) ensina a usar a inteligência para se tornar uma pessoa mais inteligente.

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Estimulando Inteligência: Manual de instruções do cérebro de seu filho 2. Pierluigi Piazzi. Editora Aleph, 2015.

Sinopse:

As mais recentes descobertas das neurociências mostram que a inteligência pode ser aprendida, e que esse fato não se dá durante as aulas, mas sim no momento do estudo individual, extraescolar. Desde as primeiras semanas de vida, cabe aos pais dar carinho e fornecer estímulos para o despertar da inteligência de suas crianças. Essa interação entre pais e filhos representa um fator determinante para um maior desenvolvimento intelectual. Por isso, o papel da família torna-se crucial, e este livro busca orientar os pais nessa jornada. Estimulando Inteligência mostra como criar um ambiente doméstico e escolar que estimule o aumento do nível de inteligência das crianças, dos jovens e até dos adultos.

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Ensinando Inteligência: Manual de instruções do cérebro de seu aluno 3. Pierluigi Piazzi. Editora Aleph, 2015.

Sinopse:

Ao longo da vida profissional, quantas vezes um professor não se depara com um ótimo aluno, mas péssimo estudante? O sistema escolar muitas vezes tende a valorizar aquele que decora conteúdo para tirar uma boa nota, e não necessariamente aquele que aprende de verdade. Ensinando inteligência, livro baseado em mais de cinquenta anos de experiência em sala de aula de Pierluigi Piazzi, apresenta a seus colegas de profissão as inovadoras técnicas das neurociências para estimular de forma eficiente o cérebro de seus alunos, transformando-os, finalmente, em estudantes.

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A idéia de uma universidade. São John Henry Newman. Ecclesiae, 2020.

Sinopse: Em 1852, o Cardeal Newman foi convidado a proferir uma série de discursos em Dublin, na Irlanda, a respeito da essência do ensino universitário. Dar-se-ia aí a fundação de uma Universidade Católica, da qual ele foi o reitor de 1854 a 1858, supervisionando os projetos e a própria construção do campus. Mais tarde, esses discursos, unidos a palestras e ensaios ocasionais dirigidos aos membros dessa mesma universidade, viriam a ser unidos pelo autor neste livro, A idéia de uma universidade.

“A visão de uma universidade nestes discursos é a seguinte: trata-se de um lugar de ensino do conhecimento universal. Isso implica que seu objetivo é, por um lado, intelectual, não moral; e, por outro, que ele gira em torno da difusão e ampliação do conhecimento, e não de sua promoção. Se seu objetivo for a descoberta científica e filosófica, não vejo por que uma universidade ter alunos; se for a prática religiosa, não vejo como ela pode ser a sede da literatura e da ciência. Assim é uma universidade em sua essência, independentemente de sua relação com a Igreja.

Na prática, porém, ela não tem como cumprir devidamente seu objetivo, conforme descrito acima, sem a assistência da Igreja; ou, para usar o termo teológico, a Igreja é necessária para sua integridade. Tais são os princípios centrais dos discursos que se seguem, embora seja absurdo esperar que eu tenha abordado um campo de pensamento tão vasto e importante com a plenitude e a precisão necessárias”.

Sobre o autor: John Henry Newman nasceu em 1801, em Londres. Estudou no Trinity College (1816) e no Oriel College (1822), ambos na Universidade de Oxford, onde mais tarde viria a lecionar. Adepto do celibato, foi ordenado sacerdote na Igreja Anglicana em 1825. Foi um dos líderes do “Movimento de Oxford” (1833), que, por meio de panfletos, defendia a continuidade entre a doutrina dos apóstolos e o anglicanismo, mas pregava uma regeneração dos costumes e da própria igreja na Inglaterra. Seu interesse genuíno pela história do cristianismo e pelo desenvolvimento da doutrina cristã o levou, contudo, ao estudo dos Santos Padres e da fé católica, à qual ele se converteu em 1845.

Aos 8 de outubro desse ano, tendo deixado seu posto de tutor e professor em Oxford, Newman confessou-se e foi recebido na Igreja de Cristo. Passou a ser ignorado, evitado, a ser alvo de maledicência, deixou de ser convidado para os círculos que freqüentava... Parte no ano seguinte para Roma, onde é ordenado sacerdote católico, em 1847. Ao voltar para a Inglaterra, levou consigo a força e o testemunho da fé verdadeira: estabeleceu em Birmingham o primeiro oratório de São Felipe Néri do mundo anglófono, e começou a escrever àqueles que antes liderara no Movimento de Oxford, encorajando-os a levarem a cabo sua busca pela verdadeira Igreja e a se converterem.

Em 1852, foi convidado a dar uma série de palestras em Dublin, na Irlanda, a respeito da essência do ensino universitário. Dar-se-ia aí a fundação de uma Universidade Católica, da qual ele foi o reitor de 1854 a 1858, supervisionando os projetos e a própria construção do campus. Essas palestras, unidas a discursos e ensaios posteriores, viriam a compor este livro, The idea of a university. Nas duas décadas seguintes, viu-se envolvido numa série de controvérsias e de desconfianças por parte da própria Igreja, às quais respondeu com uma demonstração magna de sinceridade e entrega: escreveu a história de sua vida, a Apologia pro vita sua (1865), que calou os críticos e restaurou sua reputação, tanto entre católicos quanto entre anglicanos. Foi convidado a participar do Concílio Vaticano I como consultor teológico, mas declinou em vista de publicar, nessa mesma época, sua Grammar of assent, uma profunda investigação filosófica sobre como a pessoa humana atinge suas convicções. Em 1879, Leão XIII o nomeou Cardeal na Igreja Católica. Apesar disso, Newman não quis ser sagrado bispo, contrariando o costume, e continuou em Birmingham, no seu amado oratório, onde permaneceu escrevendo e orientando espiritualmente os fiéis. Por ocasião de sua morte, em 1890, cerca de 15 mil pessoas acompanharam o cortejo. O Cardeal Newman foi beatificado pelo Papa Bento XVI em 2010, e canonizado pelo Papa Francisco aos 13 de outubro de 2019.

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A Educação dos Filhos. Antonio Royo Marín, Editora Katechesis, 2023.

Sinopse: Chegamos a um dos temas mais culminantes da santificação do leigo por meio da família cristã. A educação cristã dos filhos é de importância tão capital e decisiva no seio do lar e em toda a sociedade humana que, sem ela, seria totalmente impossível não só a santificação dos pais, que deixariam de cumprir um de seus mais graves deveres, senão também a de seus filhos e, por consequência, a da sociedade humana em geral, já que essa sociedade não é, em definitivo, senão o resultado do agrupamento orgânico de todos os seus membros componentes.

Como já indicamos em outra parte, sem a educação cristã dos filhos, a vinda ao mundo destes, mais que um feliz acontecimento e uma benção de Deus, haveria que considerá-la como uma verdadeira desgraça e o começo de sua desventura eterna: «Melhor seria para esse homem não ter nascido», disse o próprio Cristo sobre o traidor Judas (cf. Mc 14,21). Por isso a Igreja, nossa mãe, perfeitamente consciente dessa gravíssima obrigação dos pais, declara reiteradamente que «a geração e a educação da prole é o fim primário do matrimônio» (cn. 1013, I.º). Não basta, pois, para cumprir o fim primário, a mera geração dos filhos: é preciso, ademais, educá-los cristãmente para lhes assegurar a sua felicidade temporal e eterna, como filhos de Deus que são.

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O verme roedor ou o paganismo na educação. Mons. J. Gaume. Editora Katechesis, 2021.

Sinopse: 

Que fará um médico na presença de um infeliz, vítima de fatal doença que ameaça a cada momento precipitá-lo no túmulo? Se não for cego ou criminoso, lançará logo mão não dos paliativos, ou dos remédios usuais, mas sim dos recursos extremos da arte para operar uma crise salutar. Se preciso for empregará o ferro e o fogo, sem atender às resistências e gritos do doente.

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Da vanglória e da educação dos filhos. São João Crisóstomo. Editora Katechesis, 2017.

Sinopse:

"Se desde a primeira infância carecem as crianças de mestres, que será delas? Se alguns, educados e instruídos desde o ventre materno até a velhice, não conseguem triunfar, que males serão capazes de cometer os que nunca foram educados? O certo é que todas as pessoas se esforçam para que seus filhos se instruam nas artes, nas letras e na eloqüência, mas a ninguém ocorre pensar em como exercitar sua alma. Portanto, não cesso de vos exortar, rogando-vos e suplicando-vos que, antes de qualquer coisa, eduqueis bem os vossos filhos. Se tendes consideração por vossos filhos, aqui o haveis de mostrar."

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Corrija seu filho - A formação do homem. Monsenhor Álvaro Negromonte. Editora Calvariae Editorial, 2019.

Sinopse: Para os que procuram mais o próprio sossego que o progresso moral dos filhos, castigar é mais cômodo: umas palmadas no pequenino que jogou a merenda no chão, uns bofetões no rapazola que respondeu com arrogância, chineladas na menina que entornou tinta no vestido novo, um mês sem passeio para quem não teve média na prova parcial, trancar as crianças no quarto dos fundos porque perturbaram o silêncio de que precisa o pai, e outras medidas policiais do mesmo teor dão “soluções” imediatas, que contentam o adulto desprevenido, mas nada adiantam à educação, e, pelo contrário a prejudicam.

Não julguemos, porém, sejam essas umas fórmulas mágicas que resolvam tudo, rapidamente e que, quando não resolverem, o caso é irremediável. Não há fórmulas mágicas em educação. As soluções rápidas são pedidas em geral pelos que “não têm tempo a perder com os filhos”, e por isso perdem os filhos.

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A educação da sexualidade: Um guia para pais e educadores. Monsenhor Álvaro Negromonte. Editora Calvariae Editorial, 2019.

Sinopse: Ora, é dever dos educadores preparar os homens para viverem no seu tempo, e não nos tempos idos. O que lhes incumbe é preparar os homens para resistirem aos perigos da sua época, e poderem praticar a virtude, quaisquer que sejam as dificuldades. 

É natural que os educandos de hoje, tomem tão errada orientação na vida, como a que até hoje têm tomado. É natural que nunca se acostumem a encarar como coisas respeitáveis e dignas essas que lhes foram ensinadas sem nenhum respeito nem dignidade. 

Eis porque só sabem falar ou ouvir desses assuntos com risinhos inconvenientes e maliciosos, pondo maldade em todas as coisas. Eis porque o corpo é para eles um instrumento de prazer e não um templo do Espírito Santo.

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A educação dos filhos - A missão dos pais e educadores. Monsenhor Álvaro Negromonte. Editora Calvariae Editorial, 2019.

Sinopse: Para muitos a grande preocupação é o bem-estar dos filhos: a saúde, os estudos, a condição econômica. Os próprios estudos são orientados num sentido utilitário, com uma finalidade prática, a mais imediata possível. As profissões são escolhidas em vista das possibilidades econômicas. Daí a primazia das carreiras técnicas, e o desprestígio dos estudos clássicos ou filosóficos, desprezados por nada “adiantarem” na vida...

As atenções com a saúde superam a formação moral. Se o menino adoece, tomam-se logo todas as medidas, à custa dos maiores sacrifícios. Mas se ele tem uma tendência ao vício, pouco se cuida: “é da idade, passa com o tempo”, “o pai também foi assim”, “hoje ninguém repara mais certas tolices”... Considera-se “vencedor” o jovem que conseguiu uma rendosa colocação. Ainda melhor, se for um emprego público, bem remunerado e sem trabalho. A satisfação dos pais rivaliza então com a inveja dos que não “venceram” na vida com tanta rapidez e eficiência! Para chegar a esses resultados, às vezes são bons todos os processos. Não os censurem, que a explicação vem cabal e definitiva: o mundo hoje é assim; o que ontem era imoral, hoje não é; o que hoje ainda é proibido, talvez amanhã seja obrigatório; a vida tem dessas coisas... Por outras palavras: não há valores morais definitivos!

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Sobre o autor: Monsenhor Álvaro Negromonte nasceu em 26 de outubro de 1901, no Engenho Gameleira, em Timbaúba. Entrou no Seminário de Olinda aos treze anos de idade e ordenou-se sacerdote em 08 de junho de 1924. Foi designado logo após diretor do Colégio Diocesano e capelão do Colégio Santa Cristina, em Nazaré da Mata. Em 1927, transferiu-se para Minas Gerais, onde passou a exercer a capelania do hospital de Ituna, para depois fixar-se em Belo Horizonte. E foi na capital mineira que o padre Álvaro iniciou realmente sua brilhante carreira sacerdotal. Foi secretário do Arcebispado, capelão do Hospital Carlos Chagas, professor de catequética no seminário de Belo Horizonte, fundador e reitor do Instituo Católico de Cultura. Vice-presidente da Sociedade Pestalozzi e vice-diretor Arquidiocesano do Ensino Religioso. Seu primeiro livro, “O Caminho da Vida”, ao qual se seguiu Pedagogia do Catecismo, de 1936, que sintetiza os princípios pedagógicos de renovação catequética. De Minas, onde seu nome se propagara com brilho, como educador dos mais ilustres, foi para o Rio de Janeiro, centro irradiador por excelência, onde foi designado, em 1945, orientador educacional do Serviço de Assistência a Menores do Ministério da Justiça, cargo que exerceu com brilhantismo. Já no Rio, publica os livros: “Educação Sexual, Noivos e Esposos” e “O que fazer de seu filho”, onde já encara de frente, com prudência mas sadia e indispensável objetividade já louvada por Tristão de Athayde, os complexos e difíceis problemas da educação sexual e do matrimônio no primeiro livro e os da educação dos filhos no último. Em 1950, foi diretor do ensino religioso na Arquidiocese do Rio e nesse mesmo ano representou o Brasil no Congresso Internacional de Catequética realizado em Roma. Em 1956, foi Monsenhor (camareiro) de S.S. o Papa Pio XII.

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