Summa Mathematicae: 2025

Introdução à Logica Clássica

Robert Fludd, Tomus secundus, 1619-1621

RECEBA NOSSAS ATUALIZAÇÕES

DIGITE SEU EMAIL:

Verifique sua inscrição no email recebido.

Tempo de leitura: 32 minutos.

Apresentamos o Prefácio e Preliminares do livro Elemento de Filosofia 2: A ordem dos conceitos: Lógica menor, de Jacques Maritain, tradução de Ilza das Neves, revisão por Adriano Kury. 13.ed. Editora Agir, 1994.

PREFÁCIO

Ao compormos estes elementos de Lógica, esforçamo-nos para distinguir com cuidado o que pertence à Lógica propriamente dita, cujo objeto é o ser de razão: as intenções segundas do espírito (intenciones secundae), e o que pertence à Crítica, que é uma parte da Metafísica e tem por objeto o próprio ser real em sua relação com o espírito que conhece. Esta discriminação é um trabalho bastante delicado - pois muitos problemas oscilam entre as duas disciplinas - e entretanto muito necessária - pois é preciso antes de tudo manter as ciências na linha exata do seu objeto formal.

Por esta razão preferimos reservar para a Crítica várias questões geralmente estudadas nos tratados de Lógica, em particular na Logica Major, por exemplo a discussão (metafísica) do nominalismo e do realismo, as controvérsias referentes à natureza da ciência e do conhecimento vulgar, a ordem do nosso conhecimento intelectual, o valor dos primeiros princípios e a maneira pela qual os conhecemos, etc., finalmente a questão da classificação das ciências (pois em primeiro lugar é preciso saber o que é a ciência e o que ela representa antes de classificar as ciências, e compete ao sábio, isto é, ao metafísico, ordenar as ciências); nesse caso mesmo, a questão dos métodos das diversas ciências, que não pode ser estudada convenientemente sem haver determinado antes o objeto e o valor das mesmas, ficaria também reservada para o tratado de Crítica.

Tirando, desse modo, da Lógica Maior (Logica Major) muitos materiais que lhe são estranhos, pudemos restituir-lhe várias questões que na verdade lhe dizem respeito, e que na maior parte dos manuais escolásticos sobrecarregam inutilmente a Lógica Menor (Logica Minor, Lógica formal). Graças a esta redistribuição geral, em que procuramos sempre nos conservar fiéis ao espírito de Aristóteles e dos antigos escolásticos, esperamos, ter conseguido certas vantagens pedagógicas de clareza e precisão, podendo apresentar os problemas da Lógica e da Crítica em uma ordem suficientemente natural de complexidade e de dificuldade crescentes.

Sendo estes problemas bastante áridos em si mesmos, devido ao seu alto grau de abstração, certos professores hão de pensar talvez que para comodidade do ensino seria conveniente quebrar a ordem normal indicada na Introdução (1º Lógica Menor e Maior; 2° Cosmologia e Psicologia; 3° Crítica como primeira parte da Metafísica...) e substituí-la na prática pela ordem seguinte, que permite tratar da Lógica Maior somente quando os alunos se tivessem familiarizado bastante com a abstração filosófica e por outro lado fizessem estudado suficientemente a parte científica do programa, a fim de ter alguma experiência do raciocínio dedutivo e indutivo e alguma compreensão das alusões e exemplos a que o Lógico deve recorrer.

1º Lógica Menor (que se torna mais curta e mais fácil pelo plano que adotamos).

2º Cosmologia e Psicologia.

3º Lógica Maior.

4° Crítica.

Em conseqüência resolvemos dividir em duas partes, que aparecerão separadas, o segundo fascículo (Ordem dos Conceitos ou Lógica) e o quinto fascículo (O Ser enquanto ser ou Metafísica) do nosso manual, de modo a publicar em três seções separadas a Lógica Menor, a Lógica Maior e a Crítica, permitindo assim a cada um agrupar as matérias do curso segundo a ordem que mais praticamente lhe parecer melhor.

Talvez esta Lógica encontre alguns leitores mesmo fora do público das escolas, como aconteceu com a nossa Introdução Geral. "O abandono dos estudos lógicos", escrevia Renouvier em 1875, "atingiu na França um tal grau que a teoria do juízo é tão pouco estudada como a do silogismo, e se o estudo das Matemáticas e até certo ponto o do Direito não tivessem trazido algum remédio a este mal, poucas seriam as pessoas instruídas capazes de manejar a recíproca por exemplo, e que não se habituariam a semear sua conversa de paralogismos grosseiros" [1]. Desde a época em que apareceram essas queixas, aliás muito justas, muito mais numerosos foram os espíritos que compreenderam a necessidade de um retorno ao estudo da Lógica, para a restauração da inteligência. Muito nos alegraremos se o nosso modesto trabalho puder contribuir com sua parte para este retorno benéfico. "Estou convencido" dizia Stuart Mill [2] a respeito da Lógica, "que nada pode contribuir mais do que ela, quando dela se faz uso judicioso, para formar pensadores exatos, fiéis ao sentido das palavras e das proposições, preservando-os dos termos vagos, frouxos e ambíguos. Aconselham muito o estudo das Matemáticas para chegar a este resultado: ele não é nada em comparação ao da Lógica. Com efeito, nas operações matemáticas não se encontra nenhuma das dificuldades que constituem verdadeiros obstáculos para um raciocínio correto (por exemplo, em matemática, as proposições são apenas universais afirmativas; além disso, os dois termos são reunidos pelo sinal $=$, donde a possibilidade imediata da conversão pura. e simples, etc.)... No entanto, muitos homens, aliás capazes, não conseguem elucidar uma idéia confusa e contraditória, por não se terem submetido ao estudo desta disciplina..."

Permitam-nos ainda duas observações. Em primeiro lugar, como já dissemos no prefácio da Introdução Geral, mas convém repetir para evitar qualquer mal-entendido, a presente obra destina-se a principiantes. Continua, pois elementar e não tem pretensões a ser absolutamente completa no que diz respeito especialmente à riqueza de referências documentárias e de textos citados. Entretanto, como deve conservar, na exposição filosófica, seu caráter científico, constituirá um verdadeiro tratado, encerrando portanto mais do que pedem em geral os programas. Mas todas as explanações que comportarem alguma dificuldade ou que servirem apenas para esclarecer melhor certos pontos de detalhe, serão escritas em caracteres menores; além disso marcaremos com um asterisco todos os parágrafos cujo estudo não é de estrita necessidade à preparação do exame.

Em segundo lugar, há um ponto sobre o qual julgamos ter sido bastante claro, mas que talvez não tenhamos explicado suficientemente, pois que um crítico de responsabilidade como o R. P. Ramirez [3] pôde a esse respeito equivocar-se inteiramente quanto à verdadeira significação do nosso modo de proceder. Cremos, com o próprio R. P. Ramirez e com a tradição aristotélica, que o estudo da natureza da Filosofia e de sua divisão, assim como de seu valor, só deve ser feito num tratado que respeite a ordem das disciplinas filosóficas, na Metafisica, pois que só ela, a Metafísica, a título de sabedoria, pode julgar a si mesma e os seus próprios princípios, e julgar as outras ciências. E é exatamente deste modo que pretendemos proceder na presente obra. Se tocamos nessas questões (e em outras mais) em nossa Introdução Geral, é porque esta, segundo o nosso modo de pensar, de forma alguma é uma parte do curso ou do tratado de Filosofia, e por conseguinte nenhuma questão lhe é reservada especialmente. Como seu próprio nome bem o indica, ela precede o curso e o prepara, ficando-lhe inteiramente exterior; desenvolvemo-la exclusivamente por preocupação pedagógica, a fim de auxiliar os principiantes e lhes ministrar uma exposição geral e propedêutica, colocando certos grandes resultados da ciência ao seu alcance do ponto de vista, do senso comum, antes de serem estabelecidos mais tarde de maneira mais aprofundada e mais científica. Eis por que as questões que aqui forem tratadas deverão ser retomadas em seu respectivo lugar nos diversos capítulos do Curso, especialmente na Crítica.

III

A natureza deste trabalho não nos permitiu discutir longamente sobre as diversas teorias modernas de interesse para a Lógica, e com todas as explanações convenientes. Julgamos, no entanto, haver tratado suficientemente das mais importantes, sem prejuízo dos complementos que aparecerão na Lógica Maior e posto suficientemente em relevo os princípios essenciais que dirigem essa discussão. Ficaríamos contente de ter podido mostrar que a melhor maneira de renovar muitos problemas é remontar ao pensamento dos antigos, consultando-os em suas fontes.

Não pretendemos dissimular as imperfeições inevitavelmente inerentes a uma exposição geral e didática como é esta. Se, apesar do cuidado com que foi redigida, escaparam erros, muito reconhecido ficaremos aos nossos leitores que tiverem a gentileza de nos informar.

J. M.

Notas:

[1] CH. RENOUVIER, Essais de Critique générale 2ª édit., 1875, Logique, t. II, pág. 126.

[2] J. STUART MILL, Mémoires, pág. 18.

[3] Ciência tomista, julho-agosto 1922.

LÓGICA (A ORDEM DOS CONCEITOS)

PRELIMINARES

1. PRIMEIRA NOÇÃO DA LÓGICA. - A Lógica [1] estuda a razão como instrumento da ciência ou meio de adquirir e possuir a verdade. Pode-se defini-la: a arte

QUE DIRIGE O PRÓPRIO ATO DA RAZÃO,

isto é, que nos permite chegar com ordem, facilmente e sem erro, ao próprio ato da razão [2]

a) Desse modo, a Lógica não procede somente como qualquer ciência, segundo a razão, mas diz respeito ao próprio ato desta razão; daí seu nome de ciência da razão ou do lógos (λογικὴ ἐπιστήμη) [3]

A Lógica é a arte que nos faz proceder, com ordem, facilmente e sem erro, no ato próprio da razão.

b) A razão não é uma faculdade diferente da inteligência (ou ainda entendimento, intelecto). Mas, do ponto de vista do funcionamento desta faculdade, chamamo-la mais especialmente inteligência quando ela vê, atinge ou "apreende", e mais especialmente razão, quando vai pelo discurso de uma coisa apreendida a uma outra.

2. AS TRÊS OPERAÇÕES DO ESPÍRITO. - Qual é o ato próprio da razão corno tal?

RACIOCINAR.

Raciocinamos quando pensamos por exemplo:

O que é espiritual é incorruptível;
ora. a alma humana é espiritual;
logo, ela é incorruptível.

Raciocinar,

O raciocínio é a operação mais complexa do nosso espírito; é raciocinando que vamos das coisas que já conhecemos às que ainda não conhecemos, que descobrimos, que demonstramos, que fazemos progredir a nossa ciência. A Lógica, que estuda a razão como meio de adquirir a ciência, deve portanto considerar, entre as operações do espírito, antes de tudo o raciocínio. Todavia, há outras operações do espírito que ela precisa considerar. Considera-as, porém, em relação ao raciocínio, em função do raciocínio.

ato indiviso

O ato de raciocinar é um ato um ou indiviso, como o ato de dar três passos até o fim. Um, dois, três, chegamos ao fim: contamos três passos, mas nos movemos sem interrupção, num movimento indiviso. Da mesma maneira, raciocinamos com um movimento indiviso. Isto porque não raciocinamos pelo prazer de correr ou "discorrer" de uma idéia à outra, mas sim para concluir, isto é, para tornar evidente qualquer verdade em que nos detemos.

mas complexo.

O ato de raciocinar é contudo um ato complexo; é um ou indiviso, mas não é simples ou indivisível; pelo contrário, é com posto de vários atos distintos ordenados entre si, cada um deles tendo por objeto uma enunciação semelhante às três enunciações do exemplo dado acima, chamadas proposições. Cada um destes atos considerados em si mesmo chama-se um

JUÍZO.

Eis aqui uma outra operação do espírito que é anterior ao raciocínio e por ele suposta.

Julgar,

Julgar é afirmar ou negar. É por exemplo pensar:

A desconfiança
é a mãe da segurança,

ou ainda:

Uma cabeça empenachada
não é pequeno embaraço.

Pelo primeiro juízo afirmamos deste termo "desconfiança" este outro termo "mãe da segurança", isto é, identificamos esses dois termos, dizendo: existe uma coisa uma e a mesma (um mesmo sujeito) à qual convém ao mesmo tempo o nome "desconfiança" e o nome "mãe da segurança".

Pelo segundo juízo, negamos do termo "uma cabeça empenachada" este outro termo "pequeno embaraço".

Pelo juízo, declaramo-nos de posse da verdade sobre este ou aquele ponto. Um homem sábio é um homem que julga bem.

ato simples mas sobre um objeto complexo

O ato de julgar é um ato um ou indiviso como o ato de dar um passo, ou, mais propriamente falando, um ato simples, isto é, indivisível [4]. Assim, o juízo dado acima como exemplo não é uma justaposição de três atos de pensamentos diferentes, - um ato de pensamento para "a desconfiança'', um outro, para "é" e um terceiro para "a mãe da segurança", - mas representam um só ato de pensamento. Todavia, refere-se a um objeto complexo. (proposição fabricada pelo espírito) e assim como um passo é um movimento entre dois termos, entre um ponto de partida e um ponto de chegada, assim também o ato de julgar é um movimento de pensamentos, - traduzido pela palavra "é" - que une duas noções diferentes, expressas pela palavra-sujeito e pela palavra-atributo ou predicado.

Cada uma destas noções corresponde por si a certo ato do espírito chamado concepção [5], percepção ou

SIMPLES APREENSÃO.

Aqui temos uma outra operação do espírito que é anterior ao juízo e por ele suposta.

Conceber é formar em si uma idéia, na qual se vê, atinge ou "apreende" alguma coisa. É pensar por exemplo:

"homem"

"desconfiança"

"infeliz''.

Conceber ou fazer ato de apreensão sobre um objeto simples,

Este ato está evidentemente na origem de todo o nosso conhecimento intelectual; eis por que sua importância é capital. Por ele um objeto de pensamento é representado a consideração de nossa inteligência e à sua posse por ela.

Entretanto, este ato de percepção ou de apreensão é tão imperfeito que nos dá sem dúvida um objeto de pensamento discernível em uma coisa, mas sem nos dar, ao mesmo tempo, os outros objetos de pensamento que estão unidos a este na coisa tal qual existe (de uma existência atual ou possível); de maneira que nosso espirito, ficando por assim dizer em suspenso, não tem ainda o que afirmar ou negar. É claro, por exemplo, que se pensamos:

"o homem"

"a neve"

"os delicados",

só temos no espírito uma verdade começada, nosso espírito ainda não fez nenhuma declaração de conformidade com o real; esta declaração só se realiza, só há verdade acabada no espírito, quando pensamos por exemplo (num juízo):

"o homem é mortal"

"a neve é branca"

"os delicados são infelizes",

ou qualquer outra coisa semelhante.

Assim não andamos quando elevamos simplesmente o pé acima do solo; só andamos quando damos um passo.

Digamos por conseguinte que, quando nosso espírito faz ato de simples apreensão, ele se contenta em apreender uma, coisa sem nada afirmar ou negar.

Temos aqui um ato não somente um ou indiviso, mas além disso simples ou indivisível: o ato de pensar "homem" ou "neve" é evidentemente um ato que não comporta partes. Além disso [6], refere-se a um objeto que é ou indivisível em si mesmo (enquanto objeto de pensamento, "homem" por exemplo), ou então pelo menos apreendido da mesma maneira que os objetos indivisíveis, isto é, sem implicar construção edificada pelo espírito. Eis por que se chama ato de simples apreensão.

ato simples sobre um objeto simples.

O ato de concepção ou de simples apreensão é deste modo uma operação primeira, que não supõe nenhuma outra operação intelectual antes dela: não constitui naturalmente o nosso primeiro ato de conhecimento (pois supõe antes dele as operações dos sentidos), mas constitui a nossa primeira operação INTELECTUAL, é a primeira operação do espírito.

As três operações do espírito humano são a simples apreensão, o juízo e o raciocínio.

*3. AS OPERAÇÕES E AS OBRAS DO ESPÍRITO. - o estudo da natureza das operações do espirito e do seu mecanismo íntimo pertence à Psicologia. Observemos aqui que é necessário distinguir

a própria operação ou o ato do espírito, e a obra que o espírito produz em conseqüência dentro de si mesmo [7].

O ato de julgar, por exemplo, é uma operação mental que implica a produção ou a construção no espírito de um certo conjunto de conceitos que denominamos uma enunciação ou proposição. E existe tanta diferença entre o ato de reunir conceitos e julgar, e a reunião construída, como a que existe entre a ação de construir uma casa e a casa construída.

A proposição pensada (reunião de conceitos) distingue-se por sua vez da proposição falada que a exprime por palavras, e que é o seu sinal oral. Existe tanta diferença entre uma e a outra como entre a própria casa e um sinal qualquer que a represente.

Por proposição falada, entendemos tanto a proposição falada realmente, - reunião de palavras emitidas exteriormente - como a proposição falada mentalmente - reunião de palavras formadas na imaginação.

Quanto pensamos, por exemplo, "o homem é mortal", afirmamos aquilo que nos é apresentado pela idéia de homem e aquilo que nos é apresentado pela idéia de mortal. Mas ao mesmo tempo que formamos em nosso espírito esta proposição pensada, imaginamos a proposição falada que a exprime (e às vezes chegamos mesmo a esboçar realmente os movimentos de fonação pelos quais pronunciaríamos essa proposição).

A proposição pensada (reunião de conceitos), evidentemente difere tanto da proposição falada mentalmente (reunião de imagens auditivas ou musculares de sons articulados) como da proposição falada realmente.

Para precisar o sentido dos termos que empregaremos, podemos estabelecer da seguinte maneira o quadro das operações do espírito:

Na primeira coluna deste quadro escrevemos o que concerne aos atos ou operações do espírito; na segunda o que concerne às obras produzidas dentro do espírito; na terceira o que concerne aos sinais orais e materiais dessas obras espirituais. A linguagem corrente em geral confunde essas três ordens de coisas, porque em muitos casos o que se diz da obra também se pode dizer da operação, e porque é natural ao homem chamar as coisas significadas pelo mesmo nome que o sinal por ser este último mais conhecido. Entretanto um juízo, por exemplo, é um ato vital, uma proposição (pensada) é um organismo imaterial composto de vários conceitos, uma proposição falada é um composto inerte de partes materiais (palavras) justapostas no tempo (proposição oral) ou no espaço (proposição escrita). Estas distinções têm grande importância para a boa compreensão da Lógica.

a) Como veremos mais tarde, Leibniz e certos Lógicos que se inspiram nele tendem a deixar a operação pela obra, e a obra imaterial do espírito pelo seu sinal material.

b) Por outro lado, em sua crítica da inteligência, a escola anti-intelectualista (James, Bergson, Le Roy) confunde não poucas vezes as operações e as obras da inteligência com os sinais materiais que as exprimem.

c) Esta distinção entre o pensamento e os seus sinais materiais, em nenhum lugar é tão bem marcada como em Aristóteles, cuja Lógica tem precisamente por objeto as obras imateriais do espírito, não as palavras faladas ou escritas, e refere-se a estas somente enquanto são sinais daquelas. Cf. Ammonius, in Periherm, f. 19a e 20a: τὰ τε ἐκφωνοὐμενα σὐμβολα εἰναι τίθεται τῶν νοουμένων καὶ τά υραφόμενα τῶν ἐκφωνουμένων.

Para evitar qualquer equívoco, restringiremos aqui o sentido corrente da palavra juízo, empregando-a somente no caso em que se trata da operação do espírito que consiste em dar seu assentimento, e empregando a palavra proposição para designar a obra realizada dentro do espírito, e sobre a qual recai este ato de assentimento. A mesma restrição não se impõe à palavra raciocínio, que empregamos com a linguagem corrente para designar ora só a operação do espírito, ora a obra assim produzida ou argumentação, ora as duas ao mesmo tempo, bastando o contexto para fixar o pensamento.

4. DIVISÃO DA LÓGICA. - Considerando a Lógica antes de tudo o raciocínio, é em relação ao raciocínio que deve ser dividida. Ora, não há duas coisas a considerar num raciocínio, como em qualquer construção e obra de arte? Numa casa, por exemplo, é preciso distinguir os materiais e a disposição que o arquiteto lhes dá: se esta disposição é má, a casa não ficará de pé porque está mal construída; e se os materiais são maus (mesmo quando a disposição seja boa), a casa não ficará de pé, porque foi construída com maus materiais. O mesmo acontece com o raciocínio. É preciso distinguir: 1º, os materiais ideais com os quais se raciocina, é o que se denomina

a MATÉRIA do raciocínio,

e 2.° a disposição segundo a qual estes materiais são reunidos no espírito, de maneira a sustentar a conclusão; é o que se chama

a FORMA do raciocínio.

Em virtude de sua forma o raciocínio é correto ou incorreto; em virtude da sua matéria é verdadeiro ou falso. O seguinte raciocínio

Nenhum homem faz o mal; (I)
ora, este criminoso é homem; (II)
logo, este criminoso não faz o mal, (III)

é correto - a forma é boa, a conclusão é bem deduzida; - mas conclui falsamente, a matéria é má, sendo falsa a proposição I.

Sendo a Lógica a arte que nos permite proceder com ordem, facilmente e sem erro no próprio ato da razão, precisa ocupar-se tanto da forma como da matéria de nossos raciocínios. Daí sua divisão em duas partes: Lógica Menor ou Lógica "formal" (Logica Minor) e Lógica Maior ou Lógica "material" (Logica major).

Lógica Menor.

A Lógica Menor estuda as condições formais da ciência; analisa ou "resolve", como se diz, o raciocínio nas leis de que ele depende do ponto de vista de sua forma, ou de sua disposição [9]; ela ensina as regras a se seguir para que o raciocínio seja correto ou bem construído, e para que a conclusão seja boa relativamente à disposição dos materiais. Um espírito que não se conforma com estas leis formais do pensamento é um espírito inconseqüente. E, como diz a Lógica de Port-Royal, um espírito inconseqüente "não tem garras" para reter a verdade.

Lógica Maior.

A Lógica Maior estuda as condições materiais da ciência; ela analisa ou resolve o raciocínio nos princípios de que ele depende quanto à sua matéria ou ao seu conteúdo [10]; ela mostra a que condições devem corresponder os materiais do raciocínio para que se obtenha uma conclusão firme sob todos os aspectos - não somente quanto à forma, mas também quanto à matéria. - isto é, uma conclusão verdadeira e certa [11].

A Lógica Menor estuda pura e simplesmente o mecanismo do raciocínio, abstração feita do conteúdo mesmo das proposições que ele emprega e do uso (investigação ou demonstração) que o espírito dele faz. É chamada de Lógica Menor (Logica Minor) porque, sendo constituída de regras e de preceitos, é menos longa para se estudar e trata de questões menos árduas. O nome de Lógica formal é mais expressivo, e deveria ser preferido, se não favorecesse um equívoco, pois muitos autores modernos, desde Kant e Hamilton, empregaram a palavra "Lógica formal" em sentido completamente diferente [12]. Os antigos tratavam dessa parte da Lógica no que denominavam as Summulae.

A Lógica Maior, pelo contrário, exige mais desenvolvimento, porque trata das questões mais difíceis, - questões que são também as mais importantes, não só em relação à própria arte de raciocinar, mas em relação aos conjuntos da Filosofia. Este é o motivo pelo qual recebe a denominação de Lógica Maior (Logica Major). Podemos chamá-la também de Lógica material, uma vez que chamamos a Lógica Menor de Lógica formal. Certos tratados modernos preferem o nome de Lógica aplicada, mas este nome pode provocar equívocos e levar a pensar que a parte da Lógica assim designada só trata de "aplicar" as verdades estabelecidas na Lógica Menor, quando na realidade ela é uma disciplina particular que se refere a um aspecto das coisas lógicas que a Lógica Menor não considera [13].

Subdivisões da Lógica. Menor e da Lógica Maior.

A Lógica Menor e a Lógica Maior dividem-se naturalmente segundo as três operações do espírito, o estudo da terceira operação, o objeto primeiro da Lógica, supondo necessariamente o estudo das duas primeiras.

Além disso é do domínio da Lógica Maior tratar especialmente da Definição, da Divisão e da Argumentação como instrumento do saber. Convém também que ela termine pelo estudo do objeto e da natureza da Lógica, questão que aliás pertence ao domínio próprio da Crítica, e que a Lógica apenas toma de empréstimo dessa ciência.

ÍNDICE

Prefácio 11

LÓGICA (A ORDEM DOS CONCEITOS)

Preliminares 17

LÓGICA MENOR

CAPÍTULO I - O CONCEITO E A

PRIMEIRA OPERAÇÃO DO ESPÍRITO

SEÇÃO I. A Simples Apreensão 35

SEÇÃO II. O Conceito 41

A. Noção do Conceito 41

B. Extensão e compreensão dos Conceitos 46

C. As várias espécies de Conceitos 55

§ 1. Conceitos incomplexos e conceitos complexos 55

§ 2. Conceitos concretos e conceitos abstratos 57

§ 3. Conceitos coletivos e conceitos divisivos 59

§ 4. Extensão do Conceito-Sujeito 60

SEÇÃO III. O Termo 69

A. Noção do Termo oral 69

B. As várias espécies de Termos 72

§ 1. Generalidades 72

§ 2. Nome e Verbo 74

§ 3. Sujeito e Predicado 79

§ 4. Extensão do Termo-Sujeito 80

C. Propriedades dos Termos na Proposição 81

SEÇÃO 4. A Definição 100

SEÇÃO 5. A Divisão 104

CAPÍTULO II - A PROPOSIÇÃO E

A SEGUNDA OPERAÇÃO DO ESPÍRITO

SEÇÃO 1. O Juízo 109

SEÇÃO 2. A Proposição 120

A. Noções Gerais 120

§ 1. O Discurso em geral 120

§ 2. A Enunciação ou Proposição 123

B. As várias espécies de Proposições 126

§ 1. Proposições simples e Proposições compostas 126

§ 2. Proposições afirmativas e proposições negativas 120

§ 3. Proposições de inesse e proposições modais 135

§ 4. O Sujeito e o Predicado do ponto de vista da quantidade 139

C. Oposição das Proposições 134

D. Conversão das Proposições 164

CAPÍTULO III - RACIOCÍNIO

SEÇÃO I. O Raciocínio em geral 173

A. Noções gerais 173

B. Divisão do Raciocínio 176

C. As "Inferências imediatas" 187

SEÇÃO 2. O Silogismo 195

A. O Silogismo categórico 195

§ 1. Noções gerais 195

§ 2. Figuras e Modos do Silogismo 210

§ 3. Elucidações e discussões sobre o Silogismo 230

§ 4. O Silogismo Expositório 258

B. O Silogismo condicional 260

§ 1. Os Silogismos hipotéticos em geral 231

§ 2. O Silogismo Condicional 233

C. Divisão do Silogismo 272

§ 1. Silogismos demonstrativos, prováveis, errôneos, sofísticos 272

§ 2. Silogismos incompletos 274

§ 3. Silogismos oblíquos 275

§ 4. Silogismos compostos 277

SEÇÃO III. A Indução 283

A. O Raciocínio indutivo 283

B. Divisão da Indução 303

C. O Raciocínio por semelhança 308

APÊNDICE

INDICAÇÕES PRÁTICAS 313

RESUMO 319

Notas:

[1] Cf. J. MARITAIN, Introdução Geral à Filosofia, págs. 102. AGIR S. A. Editora, 17ª ed. 1994.

[2] "Ars directiva ipsius actus rationis, per quam scilicet homo in ipso actu rationis ORDINATE et FACILITER et SINE ERRORE procedat." (S. TOMÁS, in Anal. Post., lib. I, lect. 1.)

[3] Logica vocatur rationalis non solum "ex eo quod est secundum rationem, sed etiam ex eo quod est circa ipsum actum rationis, sicut circa propriam materiam." (SANTO TOMÁS, ibid.)

[4] Ver mais adiante, nº 37.

[5] A palavra concepção designa geralmente apenas a formação da idéia (é neste sentido que a empregamos aqui), se bem que possa designar também a formação da proposição à qual se aplica o juízo.

[6] Ver mais adiante, nº 7.

[7]. "Sicut in actibus exterioribus est considerare operationem, et operatum. putn aedificationem et aedificatum; ita in operibus rationis est considerare ipsum actum rationis, qui est intelligere et ratiocinari, et aliquid per hujusmodi actum constitutum: quod quidem in speculativa ratione primo quidem est definitio, secundo enuntiatio, tertio vero syllogismus, vel argumentatio". (SÃO TOMÁS, Sum. Teol. I - II, q. 90, a. 1, ad 2.)

[8] Primeira quanto à ordem lógica e não quanto à ordem cronológica. Ver mais adiante nº 29-a. Dizemos que a definição é a primeira obra da razão porque ela é a primeira obra da inteligência reunindo entre si os conceitos.

[9] Esta análise ou "resolução" do raciocínio em seus princípios formais constitui o objeto dos Primeiros Analíticos de ARISTÓTELES. Eis por que os escolásticos a chamavam de resolutio prioristica.

[10] Esta análise ou "resolução" do raciocínio em seus princípios materiais constitui o objeto dos Segundos Analíticos de ARISTÓTELES; eis por que os escolásticos a chamavam de resolutio posterioristica.

[11] Para prevenir qualquer confusão, devemos notar que, quando se diz que a Lógica Menor resolve o raciocínio em seus princípios formais (trata-se então dos princípios ou leis que dirigem a forma ou a disposição dos materiais inteligíveis empregados pelo raciocínio), emprega-se a palavra formal num outro sentido do que quando se diz a Filosofia se resolve formalmente nos primeiros princípios da razão, e materialmente na experiência sensível (Cf. Introd. pág. 99). Dizemos simplesmente que os primeiros princípios conhecidos por si mesmos são os princípios que constituem a Filosofia "formalmente" ou em sua essência e que lhe dão sua luz própria, enquanto que a experiência sensível fornece os materiais de onde provém realmente nosso conhecimento intelectual e nos quais a Filosofia se baseia.

Desse modo, os primeiros princípios da razão podem entrar na consideração da Lógica maior ou material, que se ocupa do conteúdo de nossos raciocínios e não unicamente da sua "forma" ou disposição; não deixam de ser sob outro ponto de vista, os princípios formais do conhecimento intelectual e da Filosofia como a alma é a forma que dá vida ao corpo.

[12] Este ponto será examinado na Lógica Maior.

[13] O nome de Lógica aplicada convém antes àquilo que os Antigos denominavam Logica utens. A distinção entre a Logica docens (Lógica pura) e a Lógica utens (Lógica aplicada) será estudada na Lógica Maior.

***

Curta nossa página no Facebook Summa Mathematicae.

Nossa página no Instagram @summamathematicae e YouTube.

S. Agostinho e os Matemáticos

Santo Agostinho disputando com os hereges, por Vergós Family

RECEBA NOSSAS ATUALIZAÇÕES

DIGITE SEU EMAIL:

Verifique sua inscrição no email recebido.

Tempo de leitura: 27 minutos.

Texto disponível no LINK.

Santo Agostinho e os matemáticos: uma polêmica sobre os astros [1], por Joel Gracioso [2]

Resumo: Durante um período da sua vida, Agostinho envolveu-se com a ciência ou a arte de estudar a influência exercida pelos astros na vida do homem, da sociedade e da própria natureza: a assim denominada astrologia.

No presente artigo pretendemos analisar as razões e os pressupostos que levaram Santo Agostinho a ser um grande crítico dessas práticas.

Palavras-chave: Agostinho, astrologia, matemáticos, providência, destino.

ABSTRACT: During a certain period of his life, St. Augustine get involved with that science, or art, which study the influence of the stars over human life, society, and even nature: i.e., the so-called astrology.

In this paper, we seek to consider the reasons and motives which made the saint bishop of Hippo to become a severe critic of these practices.

KEY-WORDS: Augustine, Astrology, Mathematicians, Providence, Destiny.

Durante um período da sua vida [3], Agostinho envolveu-se com a ciência ou a arte de estudar a influência exercida pelos astros na vida do homem, da sociedade e da própria natureza: a assim denominada astrologia.

Na sua época, os astrólogos ou matemáticos eram vistos como sábios cuja sabedoria estava fundamentada em tratados científicos de origem grega [4]. Transmitiam, assim, com essa imagem de seriedade, certa confiança às pessoas. Eram denominados, também, “homens do horóscopo”, pois explicitavam as influências dos astros sobre o dia do nascimento das pessoas [5].

Segundo Hamman:

[...] é incontestável a influência do zodíaco sobre as antigas gerações. Um epitáfio cristão de uma criança precisa que ela nasceu na quarta hora da noite, no dia de Saturno, sendo, portanto do signo de Capricórnio, o que lhe pressagiava uma morte prematura. Havia calendários, também chamados “listas egípcias”, que eram ao mesmo tempo científicos e religiosos. O homem de negócio ou da terra consultava-os como se fossem um Evangelho, até mesmo para saber se podia se aproximar de sua mulher [6].

Para os astrólogos, a precisão dos ciclos naturais e a sua regularidade indicavam uma presença divina na esfera celeste, enquanto os deuses estavam encarnados em planetas, constelações e astros fixos. Esses, os astros, eram seres pessoais dotados de emoções e atitudes, amando-se ou odiando-se, unindo-se ou em conflito, acarretando conseqüências para a vida humana e todo o cosmos. O sol e a lua tinham uma função predominante, chamando a atenção principalmente pelos eclipses [7].

Em Confissões VII, 6, 8 Agostinho analisa a problemática da astrologia, expondo como resistia obstinadamente aos argumentos de Vindiciano e Nebrídio que procuravam apontar as incongruências dessa técnica de adivinhação. Tentavam mostrar que não há a arte de prever o futuro, mas apenas a obra do acaso, esclarecendo que os astrólogos acertam algumas previsões não devido a uma suposta técnica que conseguiria analisar a posição dos astros e sua influência e determinação sobre os atos humanos, mas apenas por coincidência, por não se calarem. Mas Agostinho ainda não se havia convencido desta tese.

Contudo, a partir de um encontro com um amigo, chamado Firmino [8], que tinha o costume de consultar os astros, o bispo de Hipona conhece um relato que o ajudará a superar as dúvidas sobre a incoerência ou não da astrologia.

Firmino expõe a Agostinho que seu pai e um amigo interessavam-se muito pela técnica dos astrólogos, procurando sempre conhecer mais sobre esse pensamento. A tal ponto chegava o interesse e a aceitação, que observavam o momento do nascimento dos animais domésticos e o relacionavam com a posição dos astros, com o intuito de recolher fatos e argumentos a favor desse pensamento.

Quando a mãe de Firmino ficou grávida dele, uma empregada daquele amigo de seu pai também engravidou. Ora, o pai e o amigo procuraram calcular e registrar tudo, os dias, as horas e tudo o mais, até a ocorrência dos partos, com o objetivo de comprovar a influência dos astros na vida dos homens. Dando a luz as duas ao mesmo tempo, e procurando serem exatos o máximo possível, não perceberam a menor diferença na posição dos astros nem a menor diferença no tempo sendo, portanto, obrigados a compor o mesmo horóscopo para os dois bebês.

Ora, sendo as duas crianças do mesmo horóscopo, deveriam possuir o mesmo futuro. Porém, não foi isso que aconteceu. Firmino, proveniente de família rica, continuou rico e famoso. E o outro, originário de família pobre e escravo, continuou tendo de servir seus patrões.

A partir dessa constatação, Agostinho afasta-se da astrologia, entendendo que, para o horóscopo de alguém ser eficiente, não basta levar em consideração apenas a posição dos astros na hora do nascimento, mas é preciso também relevar fatores familiares, sociais e educacionais, pois, caso contrário, não se acerta o prognóstico. Contudo, a inclusão desses novos elementos não se coaduna com o pensamento dos astrólogos. Logo, a arte de prever o futuro defendida por eles e a racionalidade do mundo apresentada pela sua doutrina, segundo Agostinho, não se sustentam, mas mostram apenas que quando acertam, o fazem por acaso e não por eficiência e coerência de sua técnica e pensamento.

Entretanto, segundo Agostinho, poderiam eles objetar que esse relato baseia-se em fatos imprecisos ou que Firmino teria sido levado ao erro pelo pai. Como inviabilizar tais objeções? O autor das Confissões recorre ao argumento dos gêmeos [9], pois esses ao nascerem, devido ao breve intervalo de tempo entre um e outro, não permitem que se observem alguns detalhes, como os segundos, que seriam importantes para a composição dos horóscopos e previsões. Sendo assim, fica faltando uma certa exatidão aos vaticínios.

Agostinho cita como exemplo o caso bíblico de Esaú e Jacó, que deveriam possuir os mesmos horóscopos, pois apresentavam os mesmos sinais astrais e, por conseguinte, deveriam ter o mesmo futuro. Todavia, não foi isso que ocorreu. Assim, segundo o hiponense, ou o astrólogo efetuava previsões falsas ou, no caso de estar prevendo corretamente, deveria ter prognosticado fins diferentes, apesar dos dados astrológicos serem iguais. Dessa maneira, mais uma vez, Agostinho conclui: é pelo acaso e não pela sua arte que, às vezes, os astrólogos acertam e dizem a verdade. De fato, não são os astros que regem a realidade, mas a providência de Deus, que é imperscrutável ao homem.

Entretanto, qual o lugar e importância, no interior do pensamento agostiniano, da crítica efetiva à astrologia? Se a técnica e o conhecimento dos astrólogos fascinavam tanto Agostinho na sua juventude, por que ele abandonou essa ciência ou arte e transformou-se num crítico feroz?

Na questão 45 do Livro sobre oitenta e três questões diversas (De diversis quaestionibus octoginta tribus), Agostinho inicia o texto apresentando a quem se referiam os antigos quando usavam o termo matemáticos: homens “que investigavam no movimento do céu e dos astros os números dos tempos” [10].

Por essa definição, notamos que os astrólogos eram estudiosos que valorizavam a ciência da terra e do céu, dos números e da temporalidade, procurando obter o conhecimento sobre o cosmos e o seu funcionamento a partir da análise do movimento celeste e da observação sensível. Essa atividade efetuada por eles, capacitava-os a conhecer os segredos da criação, a ordem presente no mundo, a beleza do cosmos e sua regularidade etc.

Ora, a primeira crítica direcionada aos matemáticos por Agostinho refere-se justamente ao conhecimento obtido por eles e sua utilidade. Conhecendo tão bem a criação, não quiseram reconhecer o criador como a felicidade almejada e, além disso, não tiveram humildade suficiente para reconhecer o verdadeiro caminho que é a palavra divina, o verbo de Deus, pelo qual tudo foi criado, pois, movidos pelo orgulho, buscavam no exterior e não no interior, no exame de si mesmo, a ciência necessária para obter a beatitude. Para o hiponense, mais vale uma alma que tem consciência de sua fraqueza e miséria do que aquela que investiga afoita o curso dos astros, pois o conhecimento de si lhe possibilitará a aquisição da humildade e, para, assim descobrir o verdadeiro caminho para o bem supremo [11].

Dessa maneira, o saber obtido por eles torna-se algo estéril e inútil, pois, segundo Agostinho, no processo de retorno a Deus, que vai do visível ao invisível, a alma começa contemplando a beleza das coisas visíveis, reconhece a sua própria superioridade em comparação com essas coisas, mas também admite, devido à sua mutabilidade, que há algo acima dela mesma, a verdade imutável, e fixando-se nela, torna-se feliz [12], porque encontra o criador e senhor de todas as coisas e o verdadeiro caminho da felicidade que é o seu Verbo.

Vemos, assim que, para o bispo de Hipona, o estudo e a análise da criação só são válidos na medida em que a contemplação da beleza das criaturas e o conhecimento delas nos admoestam, nos estimulam para o plano da interioridade e da humildade, pois é aí que o homem encontra o que ele tanto busca. O homem feliz é aquele que possui a Deus e não aquele que possui conhecimentos sobre os astros e o firmamento, mas não está unido ao seu criador.

Num segundo momento, Agostinho apresenta e analisa uma outra figura dos matemáticos, que é mais própria de seu tempo, homens que “querem fazer nossas ações dependerem dos corpos celestes, nos vender às estrelas e receber de nós o preço desta venda” [13].

De acordo com essa concepção, o pensamento e a técnica dos matemáticos parecem anular o livre-arbítrio humano, pois as atitudes e as escolhas do homem estariam submetidas aos astros. Agostinho salienta que o problema está precisamente na valorização excessiva das constelações, do firmamento. Primeiramente, porque os astrólogos, por meio do cálculo e da observação do movimento celeste, distinguem os diversos tipos de constelações, a estrutura do zodíaco (os graus, a divisão das horas em minutos etc.), porém, apesar de toda essa técnica, falham exatamente num ponto fundamental para eles: achar nos astros a mínima divisão do tempo [14], pois somente assim poderiam calcular com exatidão e enunciar a influência das constelações no momento da geração e, por conseguinte, em toda a vida da pessoa.

Através do exemplo dos gêmeos, que já analisamos anteriormente, o hiponense questiona a legitimidade da tese dos matemáticos e a maneira como eles entendem a ordem e a racionalidade do cosmos. Se foram concebidos sob a mesma constelação, qual a causa de tantas diferenças entre eles nas atitudes, inclinações e fatos da vida? Não possuem o mesmo horóscopo e não devem possuir as mesmas previsões e realizações? [15] Contudo, não é isso que se observa.

Para Agostinho, o caso dos gêmeos coloca em dúvida a eficácia da técnica dominada pelos astrólogos, pois exige deles justamente o que não podem oferecer, a divisão dos minutos. Logo, podem possuir uma técnica que possibilita calcular o curso do tempo e prever o retorno regular das constelações, mas não de adivinhar tudo o que acontece com alguém, nem de prever ou determinar as escolhas boas ou más que serão feitas [16].

Todavia, muitas vezes, como lembra Agostinho, as previsões feitas por intermédio dos astrólogos se realizam. Como entender tal fato? O problema é que as pessoas esquecem rapidamente as previsões não realizadas e aquelas que se concretizam, acertam não por causa de um cálculo exato e fatal, mas sim por puro acaso. Dito de outro modo, da mesma forma que um poema contém versos que falam do futuro e por acaso alguns se realizam, assim também uma predição pronuncia algo sobre o futuro de alguém e por acaso se realiza. Em outros termos, parece que para Agostinho, tanto num caso como no outro, descobriu-se antecipadamente os fatos, não graças a um cálculo preciso, mas sim por puro acaso [17].

Entretanto, descobrir algo por acaso seria uma prova de que a realidade, o cosmos, a vida humana é governada por ele? Para responder a essa questão, é necessário, anteriormente, explicitar o que é o acaso. Na Cidade de Deus, Agostinho define o acaso como o que não tem causa ou, se a tem, não procede de alguma ordem racional [18].

Nota-se que, para ele, o acaso nega e impossibilita a existência de uma racionalidade no mundo e na vida, estando mais relacionado ao fortuito e ao caos do que ao cosmos, isto é, com a desordem do que com a ordem.

Isso, assim nos parece, constitui um problema para o autor das Confissões, pois o que ele tanto almejava era exatamente conhecer essa racionalidade ou a lógica do mundo, não sendo sem razão sua atração pela astrologia. Se a abandonou, foi porque viu incongruências na racionalidade do mundo defendida por ela, que não conseguia, por exemplo, dar uma razão para a existência do mal no mundo, assim como o dualismo gnóstico.

Agostinho não concorda que o fim das coisas e a vida do próprio homem sejam uma pura obra do acaso, isto é, que a realidade seja regida por algo irracional ou desordenado, e, por isso, continua a procurar uma explicação racional mais satisfatória sobre o mundo, sua maneira de ser.

Mas então o que governa o mundo e todas as coisas? Segundo Agostinho, a providência divina, que não deixa nada escapar de suas leis, desde as pedras e animais até o homem e os anjos [19].

Ora, em que consiste a providência divina?

De acordo com A. Rascol, Agostinho não formulou uma definição da providência, mas a nomeava constantemente, oferecendo assim, elementos que nos ajudam a compreender o que ele entendia por esse termo. Podemos, dessa maneira, defini-la como “o atributo divino pelo qual a Trindade dirige a ação que exerce sobre toda a criação e que tem por fim a constituição definitiva da Cidade de Deus” [20].

Nessa noção encontramos, primeiramente, a idéia de que a providência é um predicado divino, e como em Deus seus predicados não são distintos de sua substância, pois o ser dele é simples, então a providência é Deus mesmo agindo no mundo e não algo distinto dele do qual ele participasse ou apenas fizesse uso.

Em segundo lugar, vemos que Deus não é apenas transcendente, mas também presente, pois relaciona-se com sua criação e a influencia em todos os sentidos, por exemplo, na hierarquia que há no mundo, nos acontecimentos pessoais e sociais etc., por meio de uma ação direcionada, isto é, ordenada, coordenadora, harmoniosa, e não caótica.

Em terceiro lugar, notamos que a ação de Deus é teleológica e não aleatória e casual, ou seja, possui uma finalidade que é a edificação da Cidade de Deus.

Por fim, percebemos que, para Agostinho, o mundo contém uma racionalidade, cuja origem está numa ação divina livre e direcionada, que é constante. Assim, quando contemplamos o cosmos, principalmente no seu aspecto global, vemos a sua beleza e harmonia; tudo está disposto com medida, forma e ordem, que organizam a estrutura do mundo e das coisas. Algo que não possui medida, forma e ordem, é um puro nada [21].

Entretanto, a providência também não anularia o livre-arbítrio da vontade no homem como o fatalismo dos astrólogos? Para responder a essa questão, voltemos um pouco sobre ao pensamento dos matemáticos e o problema do fatalismo.

Segundo Agostinho, a fatalidade é, na opinião de alguns, aquilo que ocorre por necessidade de uma determinada ordem, prescindindo da vontade de Deus e dos homens [22]. Ora, se essa definição é verdadeira, a anulação da vontade e do seu livre-arbítrio (não só do homem, mas também a de Deus) é apenas conseqüência de um pensamento coerente, pois se há uma instância reguladora, direcionadora e necessária da realidade dentro da própria criação, totalmente independente, então não há como afirmá-la.

Apesar disso, algumas pessoas relacionam ou atribuem a ação providencial à fatalidade, pois entendem que essa nada mais é do que a própria vontade de Deus e seu poder [23]. De acordo com o bispo de Hipona, esse é um procedimento arriscado, pois os homens geralmente entendem por esse termo, em continuidade com o exposto anteriormente, a influência determinante dos astros sobre a geração e o nascimento das pessoas, devendo-se, portanto, efetuar-se uma mudança de vocabulário [24].

Isto posto, vemos que há três maneiras de se considerar a fatalidade. Em primeiro lugar, como aquilo que acontece inevitavelmente, devido a determinada ordem, independentemente da vontade divina ou humana; em segundo lugar, como algo que se confunde com a providência, devendo-se corrigir os termos utilizados; e em terceiro, semelhante ao primeiro, como a influência determinante que a posição das constelações exerce sobre a vida humana, mas com a diferença que, no primeiro caso, tudo ocorre não dependendo em nada da vontade divina ou humana, enquanto no terceiro os astros podem ou não depender da vontade de Deus.

Agostinho entende [25], como já vimos, que a segunda maneira de abordar a questão deve ser corrigida apenas nos seus termos, pois a providência constitui as coisas, mas não de uma maneira fatal e, por isso, detém-se mais em analisar as outras formas, principalmente a terceira.

Segundo ele, dentre os matemáticos, há aqueles que compreendem que os astros interferem nas atitudes e escolhas dos homens, no que acontece de bom e de mal etc., independente da vontade de Deus. Esses não devem nem ser ouvidos, pois a atitude deles leva simplesmente à supressão de qualquer tipo de culto a uma divindade distinta das constelações. Contudo, aqueles que estabelecem e reconhecem uma dependência da posição dos astros para com a vontade de Deus também são condenáveis, e por duas razões.

A primeira delas é o fato de entenderem que é na dimensão das constelações que se estabelecem os crimes que vão ocorrer necessariamente, isto é, a causa dos crimes estaria nos astros pois esses determinam tudo, logo, o homem não pode ser responsabilizado pelos seus crimes. Esse pensamento inviabiliza qualquer tipo de julgamento sobre os atos humanos que poderia ser feito por Deus pois, se os astros determinam tudo, como alguém pode ser recompensado ou punido por um bem ou um mal que não escolheu? [26] Além disso, a culpa cairia sobre Deus, pois ele é o criador dos astros e, por conseguinte, eles só poderiam receber esse poder dele.

A segundo razão está no fato de se dizer que as constelações não fazem sua vontade, mas cumprem aquilo que Deus determinou o que significa afirmar que Deus governa e estabelece tudo por meio dos astros, sendo esses apenas um meio de a vontade e a providência divina se manifestarem. A princípio, isso não parece ser um problema, mas há uma dificuldade, que se encontra na continuação da idéia de fatalidade e negação da vontade e do seu livre-arbítrio. Assim, segundo o bispo de Hipona, se não foi digno pensar e aceitar tal pensamento referente às constelações o será para Deus? [27] Ademais, as conseqüências são as mesmas.

Entretanto, a questão da fatalidade ainda não está encerrada, pois há uma quarta concepção que a relaciona não com os astros, mas com a sucessão de causas que remontam a Deus. Dessa maneira, ela é vista como a conexão e série de todas as causas que determinam o nosso fazer, dependendo da vontade e do poder de Deus [28].

Ora, de acordo com essa definição, quando observamos o mundo, encontramos, aí, uma ordem e um encadeamento de causas que remontam, em última instância, ao criador, o grande ordenador. Dessa maneira, pelo fato de tudo ter uma causa e as causas, num certo sentido, começarem em Deus, a fatalidade, no dizer de alguns, será a própria vontade de Deus, seu domínio universal, pois tudo ocorre conforme o estabelecido por sua vontade. Ora, isso significa colocar Deus como a causa de todo tipo de malefício presente no mundo.

Assim, finalizando essa exposição da análise agostiniana das diferentes concepções filosóficas e cosmológicas que se fundamentavam numa doutrina do fatalismo, percebe-se que o bispo de Hipona não identifica, em nenhuma delas, qualquer relação com a Providência. A Providência, como se disse acima, não nega a vontade e seu livre-arbítrio, mas dispõe tudo de forma ordenada, a fim de que o desígnio de Deus se realize.

Dessa maneira, podemos nos perguntar: será que a vontade humana existe mesmo estando sujeita a alguma necessidade?

A resposta de Agostinho seria sim [29], pois se entendermos por necessidade aquilo que não se encontra em nosso poder, mas que ocorre ainda assim, isso não anula a vontade nem nega a sua existência, porque, quando quero algo, é preciso que haja a vontade e, quando não quero também é preciso, pois, caso contrário, não quereria, ou seja, o próprio ato de não querer seria uma evidência da sua existência.

O que é preciso, conforme o autor das Confissões é distinguir entre a capacidade de querer (vontade) e a capacidade de realizar o que se quer (poder). Nem sempre a vontade “pode” e, assim, fica sujeita à dependência para com algo maior que ela, mas nem por isso deixa de ser o que é [30].

Pode-se concluir, portanto, que, para Agostinho, a Providência Divina não possui nenhuma relação com as concepções de fatalismo apresentadas. Ela nada mais é do que o próprio Deus agindo, para, por meio dessa ação, governar ordenadamente o cosmos, imprimindo uma racionalidade e uma dinâmica à realidade que não exclui a vontade humana nem a presença do mal no mundo. Diferentemente pensavam os matemáticos, que, conforme Agostinho, queriam, com suas práticas, apenas justificar o pecado [31], e inocentar o homem [32].

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

AGOSTINHO, A. A Cidade de Deus (contra os pagãos), Parte I. Trad. br. de Oscar Paes Leme. Petrópolis: Vozes, 1990.

______________. A Cidade de Deus (contra os pagãos), Parte II. Trad. br. de Oscar Paes Leme. Petrópolis: Vozes, 1990.

______________. A Trindade. Trad. Portuguesa de Arnaldo do Espírito Santo, Domingos Lucas Dias, João Beato, e Maria Cristina de Castro-Maia de Souza Pimentel. Coimbra: Paulinas, 2007.

______________. Comentário ao Salmos. Trad. br. Monjas beneditinas. São Paulo: Paulus, 1997.Vols. 1, 2 e 3.

______________. Confissões. Trad. Portuguesa de Arnaldo do Espírito Santo, Domingos Lucas Dias, João Beato, e Maria Cristina de Castro-Maia de Souza Pimentel. Lisboa: Imprensa Nacional-Casa da Moeda, 2004.

______________. De la natureza del bien contra los Maniqueos. In: Obras completas San Agustín. Traducción de Mateo Lanseros. Madrid: BAC, 1951, vol. 3.

_____________. Les Confessions. Trad. de E. Tréhorel e G. Bouissou. Bibliotèque Augustinienne, Paris: Desclée, 1992, vols. 13 e 14.

______________. Les quatre-vingt-trois questions diverses. Trad. de Péronne, Écalle, Vincent, Charpentier e Barreau. Paris: Librairie de Louis Vivès, 1873.

Bruning, B. De l’astrologie à la grâce. In Collectanea Augustiniana, Mélanges T.J. van Bavel. Leuven: Institut Historique Augustinien, Augustiniana 40-41, pp. 575-643.

Hamman, A. Santo Agostinho e seu tempo. São Paulo: Paulinas, 1989.

Rascol, A. La providence selon Saint Augustin. In: Dict. de Théologie Catolique. Paris: Letouzey et Ané, 1936, v. XIII 1, cols. 961- 984.

Notas:

[1] Texto publicado na Revista Omnia Lumina, v. 02, p. 41-54, 2011.

[2] Professor da Faculdade de São Bento de São Paulo.

[3] Cf. Confissões, IV , 3, 4.

[4] Cf. Hamman, A. Santo Agostinho e seu tempo, Paulinas, 1989, p. 148.

[5] Cf. Idem, Ibidem, pp. 148 - 149.

[6] Cf. Idem, Ibidem.

[7[ Cf. Bruning, B. De l’astrologie à la grace, pp. 582 e 583.

[8] Cf. Confissões. VII , 6, 8 e 9.

[9] Ibidem, VII , 6, 10.

[10] De diversis quaestionibus 83, q. 45, 1: qui temporum numeros motu coeli ac siderum pervestigarunt". Texto segundo a edição dos beneditinos da Congregação de S. Mauro, Paris, 1873. Tradução francesa de Péronne, Vincent ,Écalle, Charpentier e Barreau, Librarie de Louis Vivés, T. XXI, p. 22.

[11] Cf. Trindade IV, Prólogo.

[12] Cf De diversis quaestionibus 83 , q. 45, 2

[13] Ibidem, q. 45, 2 : "vendere stellis, volentes actus nostros corporibus coelestibus subdere, et nos ipsumque pretium, quo vendimur, a nobis accipere." p. 23.

[14] Ibidem. Conferir também Conf. VII, 6, 10.

[15] Cf. Ibidem.

[16] Cf. Bruning, ob. cit. p.596.

[17] Cf. De div. Quaest. 83, q. 45, 2.

[18] A Cidade de Deus, V, I. Tradução de Oscar Paes Leme, Vozes, 1990, p. 190

[19] Cf. Ibidem, V, XI.

[20] Rascol, A. La providence selon Saint Augustin. In: Dict. de Théol. Cathol., c. 962.

[21] Cf. De natura boni, III.

[22] Cf. Cid. de Deus V, I.

[23] Cf. Ibidem.

[24] Cf. Ibidem.

[25] Cf. Ibidem.

[26] Cf. Ibidem.

[27] Cf. Ibidem.

[28] Cf. Ibidem, V , 8.

[29] Cf. Ibidem, V, 10, 1.

[30] Cf. Ibidem.

[31] Cf. Comentários aos Salmos, 140, 9. Paulus, pp. 923- 925.

[32] Cf. Conf. IV, 3, 4.

***

Leia mais em Santo Agostinho e a Educação

Curta nossa página no Facebook Summa Mathematicae.

Nossa página no Instagram @summamathematicae e YouTube.

Educação Matemática da criança (de seis a nove anos)

Um monge ensinando leitura. Miniatura do séc. XV

RECEBA NOSSAS ATUALIZAÇÕES

DIGITE SEU EMAIL:

Verifique sua inscrição no email recebido.

Tempo de leitura: 50 minutos.

Apresentamos o capítulo 6 relativo à Educação Matemática da criança do livro A mente bem treinada: um guia para educação clássica em casa. Autoras: Jessie Wise e Susan Wise Bauer. Tradução: Alexei Gonçalves de Oliveira. Editora Liber, 2019.

6. A alegria dos números: Matemática

Não entre aqui quem ignore a Matemática.

- Platão

(inscrição sobre a entrada da Academia)

Disciplina: Matemática elementar

Tempo exigido: 30 a 60 minutos diários

Os quatro anos da Matemática elementar - da primeira à quarta grade - assentam a fundação para o pensamento abstrato de alto nível que será exigido mais tarde durante o estudo da Álgebra, da Trigonometria e do Cálculo. E o espírito do estágio Gramatical é, precisamente, o assentamento de fundações.

A tarefa de assentar uma fundação matemática deve ser levada a sério. A Matemática básica - habilidades de adição e subtração, multiplicação e divisão, o conhecimento das formas e padrões geométricos básicos, a habilidade de pensar problemas através de palavras, uma firme compreensão das relações entre números - é tão vital para o domínio da Matemática de alto nível quanto o entendimento da pontuação e da estrutura de frases para o da linguagem em alto nível. (A palavra da moda para isto é "numeracia": não somente um entendimento da Aritmética básica, mas também um entendimento sobre "como os números funcionam", um "bom senso numérico").

De fato, Matemática é uma linguagem porque usa símbolos e frases para representar realidades abstratas. Para muitas crianças, é uma língua estrangeira, porque não crescem ouvindo-a em toda parte a sua volta. O educador clássico pode mudar essa situação ao desenvolver a "alfabetização" Matemática: ajudando jovens estudantes a dominar as operações matemáticas básicas, a memorizar fatos matemáticos e, também, a entender os conceitos subjacentes tanto às operações quanto aos fatos.

Essa tarefa pode parecer intimidante para muitos pais que não se consideram aptos em Matemática. Não se preocupe; você poderá aprender junto com seu estudante. Comece lendo cuidadosamente as seções a seguir, em que você se familiarizará com os mais importantes aspectos do ensino da Matemática elementar.

Matemática Procedural e Conceitual

Assim que você iniciar o exame de seu currículo de Matemática, você esbarrará na expressão "Matemática conceitua!". O que é Matemática Conceitual (e por que você deveria se importar com isso)?

A Matemática Conceitual é uma espécie de taquigrafia para o ensino de Matemática que explica claramente porque as operações funcionam de determinada maneira. É frequentemente contrastada com a "Matemática procedural", que ensina os estudantes a resolver problemas oferecendo-lhes séries de passos a desempenhar. A Matemática procedural aborda um problema elementar tal como uma subtração simples de dois dígitos:

ensinando os estudantes a "pedir emprestado": uma vez que você não pode subtrair $9$ de $2$, risque o $7$ ao lado do $2$, transformando-o em um $6$ e "empreste" o $1$ ao $2$. Isso transforma $2$ em $12$ e $12 - 9$ é igual $3$, enquanto $6 - 6$ é igual a $0$.

Esta série de passos é conhecida como "algoritmo": um processo estabelecido que você segue para responder a um problema.

A Matemática Conceitual explica porque o algoritmo funciona. Para começar, esses números são apenas maneiras taquigráficas de escrever

$$70 + 2 \ \ \ \ \textrm{e} \ \ \ \ 60 + 9$$

Em vez de ensinar a emprestar $1$ do $7$ para fazer $12$, o estudante, em vez disso, aprende que o número $70$ é composto de unidades que são "combinadas " ou "compostas " em sete conjuntos de $10$:

$$10+10+10+10+10+10+10+2$$

e que um desses conjuntos precisa ser "decomposto" em unidades e combinado às $2$ unidades para formar um $12$. Assim, o problema de subtração pode ser, de fato, escrito da seguinte forma:

Este é o tipo de problema que pode ser demonstrado usando manuseáveis tais como palitos de dentes ou lápis unidos em grupos de $10$ que possam ser separados, veja a seção " Como as crianças pensam", logo a seguir. (As palavras "compostas" e "decompostas" foram sugeridas por Liping Ma em seu clássico trabalho sobre Matemática conceitual, Knowing and Teaching Elementary Mathematics; veja a seção de Recursos no final deste capítulo).

No nível mais elementar, a diferença entre cada método pode não parecer muito grande. Mas o entendimento de que um número maior é um "composto" de grupos menores unidos para formar um maior será crucial para uma adequada compreensão de operações mais complicadas, tais como as divisões longas. Os estudantes que se limitam a aprender os procedimentos ver-se-ão, nos níveis mais altos, aplicando algoritmos sem entender por que os passos funcionam. (Nas palavras de um manual para professores de Matemática: "Muitos estudantes nos Estados Unidos desistiram de descobrir algum dia porque as coisas funcionam em Matemática. Satisfazem-se quando obtêm uma resposta correta apenas seguindo um procedimento, independentemente de qualquer compreensão conceitual") [1].

A Matemática Procedural é importante; jovens estudantes devem aprender os algoritmos. Mas a literacia matemática envolve o aprendizado tanto dos procedimentos quanto das razões pelas quais eles funcionam.

Abordagem em Espiral e Abordagem de Maestria

Os programas de Matemática tendem a adotar uma entre duas abordagens básicas: espiral ou maestria. A abordagem em espiral presume que os estudantes aprendem melhor quando praticam uma habilidade em nível básico e, em seguida, afastam-se dela para aprender outras habilidades, retornando mais tarde à habilidade inicial para praticá-la em nível ligeiramente mais aprofundado. Múltiplas habilidades são ensinadas a cada ano e revisadas no ano seguinte; não se espera que o estudante domine inteiramente conceitos e operações até que ele tenha "espiralado" de volta a ela novamente e ainda outra vez.

A abordagem de maestria ensina um menor número de tópicos por ano mas concentra-se por mais tempo em cada um deles. Os programas de maestria também abrangem conceitos em maior profundidade, alimentando a expectativa de que o estudante desenvolva um entendimento mais profundo antes de avançar para o próximo conceito; esse conhecimento servirá, então, como fundamento para o conceito seguinte, mas não será explicitamente revisto por um período muito maior de tempo.

Como as crianças pensam

Pouco importando qual programa ou abordagem você decida usar (veja mais adiante}, o uso de manuseáveis para ilustrar conceitos é vital.

Quando você ensinou seu estudante a escrever, o primeiro passo foi adotar um modelo concreto - uma palavra ou frase escrita - em frente à criança para que ela a copiasse. Somente quando ela dominava o modelo concreto você retirava o modelo e pedia que ela escrevesse a partir de um ditado. Somente após copiar um modelo escrito ela se tornava capaz de formar um quadro mental da frase falada.

Este primeiro passo é necessário porque as crianças pequenas tendem a pensar em termos concretos. Elas não fazem operações matemáticas de cabeça; se você pedir a um estudante em nível de primeira grade que some 3 e 2, ele olhará em volta procurando por colheres, dedos, maçãs ou moedas para contar de modo a achar a resposta. Do mesmo modo que você pediu ao escritor iniciante que copiasse um modelo visível, você pedirá ao matemático iniciante que faça cálculos aritméticos usando "manuseáveis" - objetos que ele pode ver, tocar e mover.

Empresas especializadas no ensino de Matemática vendem caixas de manuseáveis (veja a seção de Recursos ao final deste capítulo) mas você também pode usar feijões, moedas, blocos ou pastilhas de chocolate. Palitos de dentes funcionam bem quando você precisa deslocar valores - você pode mover uma pilha de dez palitos da coluna das unidades para a das dezenas e, assim, ilustrar a adição de números de 2 dígitos, ou pode dividir as pilhas para ilustrar o conceito de "pedir emprestado". A cada vez que você ensinar uma nova habilidade matemática, faça a criança montar os problemas com a ajuda de objetos reais até que o conceito faça sentido para ela.

VOCÊ: Ponha estes três feijões em uma pilha. Ponha estes dois feijões em outra pilha. Agora junte as duas. Isto é adição. Com quantos feijões você ficou?

CRIANÇA: (Conta cuidadosamente os feijões). Cinco.

Ou...

VOCÊ: Vamos somar trinta e seis e vinte e sete. Para o trinta e seis, nós temos três pilhas de dez palitinhos - trinta - mais seis palitinhos adicionais para as unidades. Para o vinte e sete, temos duas pilhas de dez mais sete unidades. Com quantas pilhas de dez palitos nós estamos agora?

CRIANÇA: (Conta as pilhas) . Cinco.

VOCÊ: Quantos palitos há na soma dessas cinco pilhas?

CRIANÇA: Cinquenta.

VOCÊ: Quantas unidades - isto é, palitinhos soltos - nós temos ?

CRIANÇA: (Agrupa os seis palitos soltos com os outros sete). Treze.

VOCÊ: Nós podemos escrever o número treze na coluna das unidades? Não, porque não vai caber. Onde pomos esses palitinhos que estão sobrando ?

(A criança vê que ela pode reunir dez do treze palitos em mais uma pilha e uni-la às demais cinco pilhas que ela já tem. Agora, ela tem seis grupos de 10 e três palitos soltos - sessenta e três no total. Ela acabou de aprender a fazer contas de emprestar).

Até mesmo crianças mais velhas podem beneficiar-se do uso de manuseáveis quando estiverem aprendendo uma nova habilidade; as frações, por exemplo, podem exigir a divisão de uma torta de maçã antes que comecem a fazer sentido.

Quando o conceito estiver dominado em um nível concreto, será hora de avançar para a Aritmética mental, em que a criança pode imaginar os itens em sua mente em vez de lidar com maçãs, moedas, feijões ou palitos de dentes reais à sua frente [2]. A Aritmética mental requer pensamento abstrato porque os numerais agora representam objetos concretos: 3 mais 2 representam 3 feijões e 2 feijões; o número 27 representa duas pilhas de 10 mais 7 palitos avulsos. Mas não force a criança a dispensar os manuseáveis até que esteja pronta. As mentes de cada criança amadurecem em ritmos diferentes; se você exige de uma criança que faça contas de somar apenas com numerais (sem objetos) antes que esteja pronta, o resultado será a frustração com a Matemática.

Crianças entre 5 e 7 anos de idade normalmente precisam de objetos concretos; crianças entre 8 e 10 anos começam a transição para o modo de "imagem mental" (mas ainda precisam de manuseáveis para a introdução de novos conceitos) . Caso você pergunte a uma criança de cinco anos quantas pessoas há em sua família, ela se voltará e contará todas as pessoas presentes. Faça a mesma pergunta a uma criança de oito anos e ela invocará a imagem de cada pessoa em sua mente para contar as imagens: "Eu, Mamãe, Papai, Jeremias. Somos quatro".

O verdadeiro pensamento abstrato - a habilidade de usar símbolos como $5 + 7$ ou $27 \times 2$ sem usar ou visualizar objetos concretos - é o terceiro estágio do desenvolvimento mental. O pensamento abstrato surge por volta dos nove ou dez anos de idade, coincidindo com o estágio Lógico. O estágio Lógico é a hora de ensinar "habilidades de pensamento crítico de alta ordem".

O objetivo da Matemática elementar inicial é fazer a criança progredir desde a manipulação de objetos reais até à capacidade de visualizar mentalmente esses objetos. Você realizará esse objetivo através de muita prática com objetos reais. Num momento posterior (terceira ou quarta grades) do ensino da Matemática elementar, você começará a conduzir a criança, por meio de muita repetição, na direção do pensamento simbólico, de modo que ela conquiste a capacidade de usar números escritos e entender o que esses números representam.

Você não pode forçar uma criança a desenvolver o pensamento abstrato. Em vez disso, assente a fundação para ela através da prática. Você terá quatro anos para chegar lá. Não se apresse e a criança terá uma forte fundação sobre a qual construirá essas habilidades de alta ordem [3].

Tabuadas: uma defesa

Nós consideramos que a memorização de fatos matemáticos - fatos da adição e subtração, tabuadas de multiplicação e divisão - é essencial para formar uma sólida fundação. Sentimos que muito do protesto relacionado à aprendizagem da tabuada surgiu porque as crianças eram ensinadas a queimar a etapa da imagem mental. Se a criança for conduzida diretamente do modo manipulativo para o simbólico, os símbolos $2 + 4 = 6$ não terão significado algum. Ela jamais os terá praticado com feijões. Caso seja forçada a memorizar uma folha inteira de símbolos sem sentido ($2 + 1 = 3, \ \ 2 + 2 = 4, \ \ 2 + 3 = 5$), ela estará memorizando puro besteirol. Isto é decoreba na sua pior forma e, claro, não é produtivo.

Mas após ter praticado adição com objetos manuseáveis (2 feijões mais 1 feijão é igual a 3 feijões, 2 feijões mais 2 feijões é igual a 4 feijões, 2 feijões mais 3 feijões é igual a 5 feijões) e, então, praticado essas mesmas somas com feijões imaginários, a criança terá entendido o conceito da adição. Neste ponto, a memorização de tabuadas reforça e fortalece um conceito que a criança compreende.

O esforço de memorização também conduz a criança em direção ao pensamento abstrato, simbólico. O conhecimento completo de fatos matemáticos abre o caminho para um entendimento instintivo de relações matemáticas. Veja, por exemplo, a tabuada de multiplicação por $9$:

$9 \times 2 = 18$

$9 \times 3 = 27$

$9 \times 4 = 36$

$9 \times 5 = 45$

$9 \times 6 = 54$

Quando se multiplica um número de $1$ algarismo por $9$, o primeiro algarismo do número resultante é sempre $1$ a menos do que o número com que você começou:

$9 \times 2 = 1$__

$9 \times 3 = 2$__

$9 \times 4 = 3$__

$9 \times 5 = 4$__

$9 \times 6 = 5$__

E a soma do segundo algarismo do número resultante, quando adicionado ao primeiro, sempre somará $9$.

$9 \times 2 = 18 \ \ (1 + 8 = 9)$

$9 \times 3 = 27 \ \ (2 + 7 = 9)$

$9 \times 4 = 36 \ \ (3 + 6 = 9)$

$9 \times 5 = 45 \ \ (4 + 5 = 9)$

$9 \times 6 = 54 \ \ (5 + 4 = 9)$

Este pequeno truque mental para lembrar a tabuada de multiplicação por $9$ também revela uma importante relação matemática: como $9$ é igual a $10$ menos $1$, a multiplicação de um número de um algarismo (como o $6$) por $9$ jamais produzirá aquele mesmo número de $1$ algarismo na coluna das dezenas. $6 \times 9$ tem que ser menor do que $60$, porque a soma de $9$ grupos de $6$ obrigatoriamente será menor do que a de $10$ grupos de $6$.

O domínio de fatos básicos neste momento assenta a fundação para o entendimento posterior. Um dos parentes de Jessie que está na oitava grade frequentou uma bem conceituada escola particular da vizinhança. Em vez de exigir que ele memorizasse os fatos matemáticos, a escola permitia que ele usasse a calculadora em seus estudos de Matemática desde as primeiras grades. Quando ele precisou aprender álgebra, ele conseguia resolver problemas banais - aqueles que seguiam exatamente o modelo do livro-texto - mas faltava-lhe uma verdadeira compreensão das relações matemáticas básicas. Quando se defrontava com problemas mais difíceis ou inovadores, ele ficava perdido. A máquina havia feito as computações em seu lugar por tempo demais.

Isto nos leva a um firme princípio do ensino da Matemática elementar: sem calculadoras. Não se deve permitir o uso de calculadora por nenhuma criança que ainda não tenha ainda memorizado os fatos matemáticos. Nós recomendamos que o início do uso de calculadoras se dê na sétima grade, e jamais antes.

Mantendo a Matemática em perspectiva

No capítulo 4, recomendamos uma ampla variedade de livros de histórias matemáticas e manuseáveis para uso com seu filho em idade pré-escolar. Quando você começa a usar um currículo matemático de verdade, é fácil permitir que as outras atividades caiam para segundo plano. Mas não se esqueça de que a Matemática não é meramente uma disciplina escolar: é uma forma de entender o mundo.

No primeiro capítulo de seu livro How Not to Be Wrong: The Power of Mathematical Thinking, o matemático Jordan Ellenberg observa que tratar a Matemática simplesmente como uma outra parte do currículo estimula os estudantes a pensar nela como se fosse irrelevante e inútil, especialmente quando chegam aos níveis mais elevados. ("O número de adultos que jamais fará uso da... divisão polinomial sintética", observa, "pode ser contado em alguns poucos milhares de almas"). Em vez disso, Ellenberg incentiva os leitores a pensar no conhecimento matemático como " um par de óculos de raios X que revelam estruturas ocultas sob a superfície confusa e caótica do mundo. A Matemática é a ciência de não estar errado sobre as coisas, suas técnicas e hábitos foram lapidados por séculos de trabalho duro e argumentação. Com as ferramentas da Matemática em suas mãos, você poderá entender o mundo de um modo mais profundo, inteligente e significativo") [4].

Assim, enquanto você avança em seu programa de Matemática, faça um esforço para conferir livros de Matemática e para praticar a Matemática do dia a dia. Nós sugerimos recursos para ambos nas listas ao final deste capítulo. Caso você não se sinta à vontade para integrar a Matemática à sua rotina diária (provavelmente porque ninguém fez isso por você durante seus anos escolares), estabeleça uma meta: leia um livro de histórias matemáticas e faça um projeto de Matemática "da vida real" a cada semana.

E leve a sério esta última parte.

Eduque-se

Para ensinar Matemática a seu filho, você precisa desenvolver seu próprio entendimento.

Não se preocupe: quando seu jovem estudante atingir os níveis mais avançados, você certamente poderá escolher o serviço de um tutor, de uma aula online ou de outra forma de instrução externa. Você não precisa necessariamente dominar as complexidades da álgebra ou de pré-cálculo para educar seus filhos em casa.

Mas você realmente precisa entender os aspectos básicos do pensamento matemático. Se o seu estudante em nível de primeira grade é capaz de dominar o valor-posição (realmente dominá-lo, não apenas memorizar passos), você também pode dominá-lo. Afinal, ele tem apenas seis anos. Você é um adulto.

E você tem a responsabilidade de ajudá-lo a aprender. Um estudo de 2015 publicado pela "Association for Psychological Science" [5] sugere que quando os pais ansiosos com Matemática tentam ajudar seus filhos de primeira e segunda grades a fazer seus deveres de casa, sua ajuda, paradoxalmente, reduz o desempenho matemático de seus filhos. Assim, caso o seu nível de "numeracia" seja baixo, decida-se a ler pelo menos um livro de Matemática popular por ano. Não fique estacado tentando dominar cada equação ou problema que eles apresentarem; em vez disso, tente entender o tipo de pensamento exigido pela Matemática. Nós apresentamos uma lista na seção de Recursos que vem logo em seguida.

Como escolher um programa

A escolha do programa de Matemática adequado para seu filho sempre envolverá algum tipo de concessão. A maioria dos currículos se inclina um pouco demais em uma direção ou outra. Programas conceituais de Matemática tendem a ter baixa pontuação no campo da " usabilidade" por pais que não sejam, eles mesmos, matematicamente vocacionados, ou no campo da escala de " acessibilidade" de preço, ou em ambos; eles também, geralmente, dedicam um tempo muito limitado à maestria dos fatos matemáticos ( "Escreva os números que somam seis. Memorize-os!", diz o Math Mammoth, porém, sem oferecer estratégias de memorização ou exercícios práticos de treinamento) . Os currículos que se inclinam na direção procedural são fortes na prática e no treinamento mas, geralmente, pecam por não explicar claramente os conceitos.

Além disso, cada estudante aprende de forma diferente. Quem pensa de forma muito concreta pode sentir-se frustrado com programas conceituais; algumas crianças precisam aprender o procedimento e, em seguida, receber instruções adicionais sobre conceitos. Outras precisam dominar o conceito primeiro e, em seguida, precisam de muito pouco sob a forma de ensino procedural. O ensino em espiral é adequado para alguns estudantes mas frustra outros tantos. O ensino orientado à maestria acende o interesse em algumas crianças, mas parece exagerado para outras.

Nós indicamos a abordagem adotada pelos currículos que apresentamos na lista a seguir e também acrescentamos uma lista de recursos adicionais para ensinar conceitos e procedimentos. Se você tem um programa conceituai, suplemente-o com treino matemático adicional; se você escolheu um programa procedural, certifique-se de adicionar alguma instrução adicional no campo dos conceitos.

Até que você efetivamente comece a ensinar a Matemática, você poderá não saber se a abordagem mais adequada para seu filho é em espiral ou de maestria. Nós recomendamos fortemente que você faça download de lições de amostra no website de cada editora e simule o uso dos programas antes de comprar um deles. Mas pode levar até seis meses ou mais de instrução para identificar o estilo de aprendizagem preferido de seu filho. Não se preocupe: o ensino da Matemática de primeira e segunda grades deve ser uma fase em que você pode experimentar e trocar programas sem preocupar-se em "ficar para trás". Sua prioridade absoluta deve ser encontrar a abordagem certa para seu filho.

Uma vez que você encontre um programa funcional, esforce-se para ficar com ele. Todos os programas de Matemática se desenvolvem a partir do que foi ensinado no ano anterior. Quanto mais você mudar os sistemas, maior a chance de confundir o estudante.

Muitos pais entram em desespero diante da tarefa de escolher o programa correto de Matemática. Mas cada um dos programas de Matemática que listamos aqui é uma boa opção. A decisão por um programa de Matemática não deveria levar ninguém a perder o sono.

Caso seu filho comece a chorar quando você traz o livro de Matemática, troque de programa, pouco importando o quanto "todo mundo " diga que é bom. Caso seu filho esteja progredindo, continue com o programa, mesmo que "todo mundo" em seu grupo de apoio à Educação Domiciliar decida trocá-lo por outro.

Caso você deseje conferir se o seu filho está realmente entendendo os ensinamentos do programa escolhido (em vez de simplesmente fazer os exercícios seguindo uma fórmula, sem nenhuma compreensão real dos princípios envolvidos), pegue uma ou duas lições de outro programa ou suplemento e peça que seu filho as complete. Certifique-se de que essas lições envolvam material estudado alguns meses antes, pois leva tempo para que os conceitos Matemáticos sejam "absorvidos". Caso a criança consiga completar lições de outro programa, ela estará entendendo o que o programa ensina, pois é capaz de transferir conceitos de um programa para outro. Se, por outro lado, ela parece perdida, ela pode estar aprendendo "por fórmula", isto é, descobrindo como "encaixar" as respostas exigidas por um programa específico de Matemática, sem realmente entender porque o faz. Caso isso esteja acontecendo, experimente outro programa.

Sugestões de cronogramas

É melhor estudar Matemática todos o s dias, especialmente durante as grades iniciais. (A maioria dos pais educadores faz da aula de Matemática a primeira da manhã, momento em que as crianças estão mais alertas e dispostas a encarar um desafio). Um típico ano escolar tem 36 semanas, ou 1 80 dias, embora você possa organizar o ano escolar para ajustar-se às particularidades de sua família (veja o capítulo 40 para mais detalhes). Conte o número de lições em qualquer que seja o currículo escolhido. Em seguida, decida se você deseja fazer lições de Matemática cinco ou quatro dias por semana (reservando, no segundo caso, um dia para viagens a campo, visitas à Biblioteca, leituras sobre Matemática ou projetos práticos).

Por exemplo, o kit Saxon para ensino domiciliar na primeira grade tem 130 lições, o que significa que você pode fazer quatro lições por semana e reservar um dia para outra atividade, ou quatro lições por semana com a opção de estender uma lição ou duas por dois dias ou mais (algumas lições são mais longas do que as demais), ou ainda cinco lições por semana, tirando uma semana de folga do currículo de vez em quando. Quando Susan estava na primeira grade, ela adorava as lições de " brincar de loja" e, assim, nós estendíamos essas lições por dois dias. Nós também tirávamos uma semana de folga de tempos em tempos para nos concentrar em algum projeto específico de História ou Ciência: construir um modelo da Grande Muralha da China; montar um caderno de Natureza; plantar um jardim; visitar o museu científico.

Lembre-se: especialmente na primeira e na segunda grades, você não desejará tirar mais do que uma semana de folga das lições de Matemática. Conceitos matemáticos com que a criança não esteja familiarizada são facilmente esquecidos.

Amostras de cronogramas (a penas duas entre muitas possibilidades)

	Primeira Grade
30 a 40 minutos por dia	Segunda-feira	Lição de Matemática.
	Terça-feira	Lição de Matemática, leitura de livros de histórias matemáticas.
	Quarta-feira	Lição de Matemática.
	Quinta-feira	Lição de Matemática, projeto de Matemática da "vida real"
	Sexta-feira	Dia reservado para projeto ou biblioteca.

	Segunda, Terceira e Quarta Grades
40 a 60 minutos por dia	Segunda-feira	Lição de Matemática.
	Terça-feira	Lição de Matemática, leitura de livros de histórias matemáticas.
	Quarta-feira	Lição de Matemática.
	Quinta-feira	Lição de Matemática, projeto de Matemática da "vida real"
	Sexta-feira	Dia reservado para projeto ou biblioteca.

	Primeira Grade
30 a 40 minutos por dia	Segunda / Quarta / Sexta	Lição de Matemática.
	Terça-feira	Lição de Matemática, leitura de livros de histórias matemáticas.
	Quinta-feira	Lição de Matemática, projeto de Matemática da "vida real"

	Segunda, Terceira e Quarta Grades
40 a 60 minutos por dia	Segunda / Quarta / Sexta	Lição de Matemática.
	Terça-feira	Lição de Matemática, leitura de livros de histórias matemáticas.
	Quinta-feira	Lição de Matemática, projeto de Matemática da "vida real"

Recursos

A maior parte dos livros pode ser obtida em qualquer livraria ou biblioteca; a maior parte dos currículos pode ser adquirida diretamente na editora ou em um grande fornecedor de material para Educação Domiciliar, tal como o Rainbow Resource Center. Informações para contato com editoras e fornecedores estão disponíveis em www.welltrainedmind.com. Incluímos uma observação nos casos em que os títulos sugeridos têm disponibilidade limitada. Nos locais indicados, listamos os recursos em ordem cronológica (isto é, a ordem em que você os usará). Os livros que fazem parte de séries foram listados em conjunto. Lembre-se de que opções adicionais de currículos e outras informações estão disponíveis em www.welltrainedmind.com. Os preços variam constantemente, mas incluímos os valores de 2016 para que você tenha uma ideia do investimento necessário.

Educando a si mesmo

Comece com:

Ma, Liping. Knowing and Teaching Elementary Mathematics: Teachers' Understanding of Fundamental Mathematics in China and the United States, anniversary ed. New York: Routledge, 2010.

O estudo feito por Ma sobre as diferenças entre os professores americanos e chineses de Matemática em nível elementar é uma maravilhosa introdução ao pensamento matemático e também oferece uma compreensão de conceitos de ensino para jovens estudantes.

Em seguida, experimente aprofundar-se com alguns dos seguintes títulos (você descobrirá outros à medida que for lendo) :

Benjamin, Arthur. The Magic of Math: Solving for x and Figuring Out Why. New York: Basic Books, 2015.

Eastaway, Rob, and Jeremy Wyndham. Why Do Buses Come in Threes? The Hidden Mathematics of Everyday Life. New York: John Wiley & Sons, 2000.

Ellenberg, Jordan. How Not to Be Wrong: The Power of Mathematical Thinking. New York: Penguin Books, 2015.

Fernandez, Oscar E . Everyday Calculus: Discovering the Hidden Math Ali Around Us. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2014.

Mlodinow, Leonard. The Drunkard's Walk: How Randomness Rufes Our Lives. New York: Vintage, 2009.

Oakley, Barbara. A Mind for Numbers: How to Excel at Math and Science (Even If You Flunked Algebra). New York: Tarcher, 2014.

Strogatz, Steven. The Joy of x: A Guided Tour of Math, from One to Infinity. New York: Mariner Books, 2013.

Currículos de Matemática (lista em ordem alfabética)

Math Mammoth

O Math Mammoth é um programa de Matemática elementar relativamente novo, mas altamente conceituado e fortemente orientado para a maestria que tem uma abordagem conceitua! - de fato, é provavelmente o mais conceitua! dos programas listados aqui. A apresentação é simples (há apenas um livro para cada nível, contendo tanto as explicações quanto os problemas), os conceitos são explicados em pequenos passos, contém muitas ilustrações (embora não inclua manuseáveis) e você pode fazer o download de cada nível por um preço extremamente atraente.

O programa é muito forte em termos de conceitos, de Matemática mental e de solução de problemas. Ele é bastante mais fraco em termos de procedimentos práticos e muito breve na parte de treinamento repetitivo. (Ocasionalmente, o texto traz notas com o título "Memorize these facts!" ["Memorize estes fatos!"] mas não oferece muita ajuda adicional).

Adicionalmente, não há praticamente nenhuma orientação ao professor. O programa é divulgado como sendo "de auto-ensino", mas não é, de forma alguma. Não há nada errado com as explicações do texto mas, caso seu filho não as entenda em uma primeira leitura, você terá de descobrir como reapresentar o material por conta própria. O programa Math Mammoth é definitivamente melhor para pais orientados à Matemática (e eu recomendaria fortemente que você lesse o livro de Liping Ma antes de tentar ensiná-lo).

Você precisará adicionar diversos elementos ao programa: treinamento de fatos matemáticos, conforme a necessidade; revisão frequente de conceitos abordados anteriormente; um conjunto de manuseáveis. A maior parte dos estudantes em nível elementar necessitará de algum esforço com a "mão na massa" em vez de simplesmente observar ilustrações. O autor do programa recomenda o uso de um ábaco, mas você também precisará adicionar outros dos recursos manuseáveis que recomendamos mais adiante nesta seção.

Amostras de lições e muitos recursos adicionais estão disponíveis no website da editora. O currículo está disponível tanto para download como em CD. Cada nível contém dois livros: um livro "A" para o primeiro semestre e um livro "B" para o segundo. Quando você adquire o "Full Set" ["Conjunto completo"] você também recebe chaves de respostas, revisões adicionais e um gerador de planilhas conectado à internet.

O download de cada conjunto custa $37.50; o preço dos CDs é $42.50:

Math Mammoth Light Blue Series
Grade 1 full set.
Grade 2 full set.
Grade 3 full set.
Grade 4 full set.
Grade 5 full set.

Math-U-See

O programa Math-U-See é baseado em uma série de vídeos instrucionais em que se demonstram os conceitos com o uso de manuseáveis; o estudante também se exercitará com esses manuseáveis enquanto estiver completando as tarefas do livro de exercícios. É adequado para pais que se sentem intimidados com a ideia de ensinar Matemática e para crianças que tenham um estilo de aprendizagem que seja muito visual ou tátil. A abordagem multissensorial é especialmente adequada para estudantes que tenham algum nível de dislexia.

O programa tem uma abordagem conceituai; certifique-se de comprar folhas de exercícios para prática adicional da própria MUS ou de suplementar o programa com os recursos sugeridos mais adiante, de modo que os estudantes tenham plena oportunidade de solidificar seu conhecimento dos fatos matemáticos.

O Math-U-See é primariamente um programa orientado à maestria, incluindo revisões frequentes. Em vez de oferecer textos divididos por grade, o Math-U-See Elementary Curriculum é dividido em níveis. O nível Primer (Cartilha), para a pré-escola e jardim de infância, provavelmente poderá ser omitido para a maioria dos estudantes, a menos que você julgue necessária uma introdução suave ao ensino formal da Matemática. Caso contrário, avance pelos seis livros do Currículo Elementar segundo a ordem: Alpha (adição e subtração de números com um algarismo), Beta (adicão e subtração de números com múltiplos algarismos), Gamma (multiplicação), Delta (divisão), Epsilon (frações) e Zeta (números decimais e porcentagens). Esta progressão levará seu filho até à quinta ou sexta grade. (Esta descrição reflete a revisão do programa Math-U-See do ano de 2004; caso você compre material de segunda mão com data de 2003 ou anterior, você encontrará um currículo dividido em Foundations of Mathematics, abrangendo o material da primeira, segunda e terceira grades, e Intermediate Mathematics, que abrange a quarta, quinta e sexta grades).

Cada nível inclui um Student Pack (Pacote do Estudante), que inclui um livro de exercícios e um livrete de testes, e um Instruction Pack (Pacote de Instruções), com manual de instruções e DVD.

Visite o website da editora para acessar os testes de nivelamento, vídeo demonstrativo e outros recursos.

Manipulative Blocks (Blocos manuseáveis). $38. Necessários para todos os níveis. O editor recomenda que você compre dois conjuntos.
Primer (pré-escola e jardim de infância).
Instruction Pack. $31.
Student Pack. $22.
Alpha (adição e subtração de números com um algarismo) .
Instruction Pack. $43.
Student Pack. $30.
Beta (adição e subtração de números com múltiplos algarismos) .
Instruction Pack. $43.
Student Pack. $30.
Gamma (multiplicação).
Instruction Pack. $44.
Student Pack. $30.
Delta (divisão) .
Instruction Pack. $44.
Student Pack. $30.
Epsilon (frações) .
Instruction Pack. $45 .
Student Pack. $30.
Folhas para sobreposição de frações. $40.
Zeta (número decimais e porcentagens) .
Instruction Pack. $45 .
Student Pack. $30.
Encartes para Álgebra e números decimais. $20.

Right Start Mathematics

O programa Right Start Math tem uma abordagem prática, baseada em princípios montessorianos. O programa, que faz uso intensivo de um ábaco e de manuseáveis, reduzindo a ênfase em folhas de exercícios, é bem concebido para estudantes que têm dificuldades com a coordenação motora fina; a aprendizagem não é vinculada à habilidade de Escrita do estudante.

Right Start Math tem uma orientação conceituai mas também oferece um bocado de instrução procedural. Embora seja, provavelmente, o mais abrangente programa de nossa lista, é também, de longe, o mais caro. Embora o editor alegue que o programa tenha uma abordagem tanto de maestria quanto em espiral, ele se inclina fortemente em direção à abordagem em espiral.

O programa elementar é dividido em níveis, em vez de grade; o nível A é uma preparação preliminar para o jardim-de-infância, e a maioria dos estudantes de primeira grade pode avançar diretamente para o nível B. O website da Right Start oferece um teste de nivelamento. Ao completar os níveis de B a E, o estudante estará no nível do quarta grade completa; veja no capítulo 15, [página 387] nossos pensamentos sobre a transição do Right Start para outro programa de Matemática.

Em 2015, o programa estava sob revisão; a segunda edição estava parcialmente completa, com os níveis restantes previstos para lançamento em 2017.

Amostras estão disponíveis no website da editora.

RS2 Math Set (ali manipulatives for all levels). $280.
Level A Book Bundle (2nd ed.) (optional). $85.
Level B Book Bundle (2nd ed.). $85.
Level C Book Bundle (2nd ed.). $85.
Level D Book Bundle (2nd ed.). $85.
Level E Starter Kit. $215.

Saxon Math

Saxon Math é o mais procedural dos programas de nossa lista. Alguns estudantes vão achá-lo seco e nada·inspirador, enquanto outros necessitarão da cuidadosa instrução passo a passo, dos exemplos concretos e da repetição constante para encontrar seu caminho na Matemática. Os Home Study Kits da Saxon contêm livros de exercícios para o estudante e um manual do professor que explica os conceitos para o pai-educador e esclarece a melhor maneira de ensiná-los. As grades 1 a 3 também incluem um Daily Meeting Book, que guia o pai-educador através de habilidades práticas como medições, aprender a ver as horas no relógio, leitura de mapas, entre outras. O programa Saxon Math também tem muitas atividades: jogos de histórias, medição de aposentos, plotagem gráfica das idades de todos os que a criança conhece, e assim por diante.

Os manuais recomendam que a criança pequena estude Matemática por curtos períodos, duas vezes por dia: na primeira sessão, explique o conceito usando manuseáveis e complete um lado da folha de exercícios; mais tarde, no mesmo dia, faça a criança revisar o material completando o outro lado da folha. Muitos pais-educadores (Susan entre eles) consideram que uma sessão por dia (e um lado da folha) são o bastante, e que não é necessário fazer os exercícios do Daily Meeting a menos que você goste muito deles. Certifique-se de usar os manuseáveis recomendados.

O programa Saxon tem uma abordagem fortemente em espiral.

Saxon Math é graduado em níveis K, 1 , 2 e 3 para estudantes desde o jardim de infância até a terceira grade. Após a terceira grade, os livros-textos são divididos por "nível de habilidade" em vez de "nível de grade" . Assim, o volume Math 3 é seguido pelo Math 5/4, dirigido a estudantes em nível de quarta grade que tenham completado o livro Math 3 ou para crianças em nível de quinta grade que tenham levado dois anos para completar o livro Math 3. Ao volume Math 5/4 seguem-se os volumes 615 , 716, 817 (Matemática em geral para aqueles que necessitem de prática adicional) e, então, por Algebra 1/2 (veja o capítulo 5). Idealmente, você deveria passar direto d o Math 7/6 para o Algebra 1/2.

Sugerimos enfaticamente que você combine o programa Saxon com um dos suplementos conceituais listados a seguir. Além disso, os treinos cronometrados de fatos matemáticos não são adequados para estudantes do nível elementar, pois eles frequentemente entram em pânico quando o relógio começa a tiquetaquear; faça os treinos, mas não controle o tempo.

Saxon Homeschool Mathematics. Boston: Houghton Mifflin Harcourt.
Saxon Math 1 Homeschool Complete Kit (l st ed.) . $117.55.
Saxon Math 2 Homeschool Complete Kit (l st ed.). $117.55.
Saxon Math 3 Homeschool Complete Kit (l st ed.). $121.20.
Saxon Math 5/4 Homeschool Complete Kit (3rd ed.). $96.85.

Para estudantes em nível de quarta grade.

Saxon Homeschool Manipulative Kit (l st ed.). $94.40.

Contém todos os manuseáveis exigidos para as grades 1 a 3 .

Singapore Primary Math

Singapore Math é o programa usado nas escolas de Singapura [6]; o método tornou-se popular nos Estados Unidos em grande parte devido à elevada pontuação obtida pelas crianças cingapurenses nos testes internacionais de Matemática. O programa Singapore Math é fortemente conceituai, concentrando-se no ensino do pensamento matemático desde o início, sendo que os exercícios de "Matemática mental" são atribuídos tão logo as crianças aprendam a contar. Devido ao fato de que a meta do programa Singapore Math é produzir um entendimento do modo de funcionamento dos processos matemáticos, as habilidades são introduzidas em momentos diferentes dos adotados pelos métodos americanos. A multiplicação e a divisão entram em cena bem cedo (já no comecinho da segunda grade) de modo que o estudante se conscientiza da relação entre multiplicação e adição, e entre subtração e divisão.

Cada semestre do programa Singapore Primary Math (para as grades 1 a 6) consiste em um livro-texto, um livro de exercícios e um guia para os pais. Os livros-textos são coloridos, com ilustrações semelhantes às de histórias em quadrinhos e figuras que mostram cada novo conceito trabalhado com objetos reais (muito importante para estudantes no estágio Gramatical) . Os livros de exercícios são consumíveis.

O programa Singapore Math não é tão orientado a fatos como o Saxon ou Math-U-See, e não contém toda a instrução procedural que você pode encontrar no programa Right Start. Muitas crianças florescem com ele, enquanto outras simplesmente precisam de uma abordagem menos abstrata nos anos iniciais. O método Singapore conduz as crianças ao pensamento do estágio Lógico muito mais cedo do que outros programas. Caso você experimente o programa Singapore e seu filho fique frustrado, isto pode indicar uma lacuna de maturidade: mantenha-se com outro programa mais uns dois anos. Os "Home Instructor's Guides" ("Guias para o Instrutor Domiciliar", que são indispensáveis) proveem listas de manuseáveis recomendados, mas não são incluídos no programa. A abordagem de Singapura segue o método concreto - pictorial - abstrato - primeiro, você ensina os conceitos com objetos concretos; depois, com figuras; e, finalmente, com símbolos - de modo que é essencial ter à mão os objetos manuseáveis. Além disso, lembre-se de que este programa produz elevada pontuação em Singapura porque é parte de uma cultura orientada para a Matemática que provê amplo reforço adicional. Os livros-textos e de exercícios, sozinhos, não oferecem prática suficiente; invista nos recursos adicionais oferecidos pelo programa, tais como os livros Extra Practice e Challenging Word Problems.

Singapore Math, U.S. edition. $ 12.50 cada livro-texto e livro de exercícios, $ 17.50 cada "Home Instructor Guide". O programa pode ser adquirido na Singapore Math, Inc. (o distribuidor nos EUA, não a editora do programa), ou em um fornecedor de material para Educação Domiciliar. A edição dos EUA usa pesos e dinheiro americano.

Primary Math US 1A Textbook.
Primary Math US 1A Workbook.
Primary Math US 1A Home Instructor's Cuide.
Primary Math US 1 B Textbook.
Primary Math US 1 B Workbook.
Primary Math US 1 B Home Instructor's Cuide.
Primary Math US 2A Textbook.
Primary Math US 2A Workbook.
Primary Math US 2A Home Instructor's Cuide.
Primary Math US 2B Textbook.
Primary Math US 2B Workbook.
Primary Math US 2B Home Instructor's Cuide.
Primary Math US 3A Textbook.
Primary Math US 3A Workbook.
Primary Math US 3A Home Instructor's Cuide.
Primary Math US 3B Textbook.
Primary Math US 3B Workbook.
Primary Math US 3B Home Instructor's Cuide.
Primary Math US 4A Textbook.
Primary Math US 4A Workbook.
Primary Math US 4A Home Instructor's Cuide.
Primary Math US 4 B Textbook.
Primary Math US 4B Workbook.

Primary Math US 4B Home Instructor's Cuide.
Extra Practice for Primary Math US Edition 1. $11.20.
Extra Practice for Primary Math US Edition 2. $11.20.
Extra Practice for Primary Math US Edition 3. $11.20.
Extra Practice for Primary Math US Edition 4. $11.50.
Extra Practice for Primary Math US Edition 5. $11.50.
Challenging Word Problems for Primary Mathematics Common Core Edition 1. $12.80.
Challenging Word Problems for Primary Mathematics Common Core Edition 2. $12.80.
Challenging Word Problems for Primary Mathematics Common Core Edition 3. $12.80.
Challenging Word Problems for Primary Mathematics Common Core Edition 4. $12.80.
Challenging Word Problems for Primary Mathematics Common Core Edition 5. $12.80.

Objetos manuseáveis

Ábaco

Wooden Abacus. $14.99. Armação autossustentável, cem contas coloridas em fileiras 10x10. Faça seu pedido ao Rainbow Resource Center.

Va retas Cuisenaire

As varetas Cuisenaire vêm em comprimentos de 1 a 10 cm, cada uma delas identificada por um código de cor. Use-as junto com um dos livros da lista a seguir para representações visuais e práticas de valor das casas decimais e de operações matemáticas. Todos esses itens podem ser pedidos à Hand2Mind.

Varetas

Cuisenaire Rods lntroductory Set (Conjunto Introdutório de Varetas Cuisenaire), em plástico, conj unto com 74. $9.25 .

Livros

Bradford, John. Everything's Coming Up Fractions with Cuisenaire Rods. New Rochelle, NY: Cuisenaire Company of America, 1981.

Davidson, Patricia. Addition and Subtractions with Cuisenaire Rods. New Rochelle, NY: Cuisenaire Company of America, 1989.

Davidson, Patricia, and Robert E. Willcott. From Here to There with Cuisenaire Rods: Area, Perimeter & Volume. New Rochelle, NY: Cuisenaire Company of America, 1981.

Marolda, Maria R. Cuisenaire Rods Alphabet Book: Problem Solving A to Z. Vernon Hills, IL: Learning Resources, Inc., 2002.

Fraction Stax

$22.99. Faça seu pedido à Carson-Dellosa Publishing Group. 51 peças empilháveis permitem que o estudante forme metades, terços, quartos, quintos, sextos, oitavos, décimos e doze-avos.

Relógio mecânico

Student Geared Clock. $3.99. Faça seu pedido ao Rainbow Resource Center.

Linha numerada

Linhas numeradas para estudantes com giz ou marcador apagável. $2.50. Faça seu pedido ao Rainbow Resource Center.

Blocos para padrões

Em madeira, plástico ou espuma (maiores para mãozinhas menores). Avalie a possibilidade de pedir um dos guias listados a seguir. Faça seu pedido à Didax.

Blocos

Blocos para padrões em plástico. 250 peças, seis formas e cores, 0,5 cm de espessura. $17.95.

Blocos para padrões em espuma. 1.250 peças, 1 cm de espessura. $47.

Blocos para padrões em madeira. 250 peças, seis formas e cores. $22.95.

Guias

Swan, Paul, e White, Geoff. Developing Mathematics with Pattern Blocks. Greenwood, WA: RIC Publications, 2006.

Cubos Unifix

Cubos encaixáveis que permitem que você ensine padrões, contagem, adição, subtração, multiplicação e divisão, tudo em um único conjunto. Avalie a possibilidade de comprar o guia. Faça seu pedido à Didax.

Cubos

100 Cubos Unifix. $ 13.95.

300 Cubos Unifix. $37.95.

Guia

Swan, Paul, White, Geoff. Developing Mathematics with Unifix, Grades K-3. Greenwood, WA: RIC Publications, 2006.

Suplementos de Matemática Conceitual

Khan Academy

Fundada por Salman Khan como uma organização educacional sem fins lucrativos, a Khan Academy oferece "micropalestras" sobre todos os conceitos matemáticos elementares, acompanhadas de exercícios online e problemas práticos. Use para aprender ou revisar tópicos específicos, ou para criar um plano de instrução personalizado. Altamente recomendável como suplemento para qualquer programa de Matemática - www.khanacademy.org.

Mathematics Enhancement Program

Uma versão britânica de um programa de Matemática desenvolvido na Hungria, o MEP oferece gratuitamente online folhas de prática com respostas e dicas para o professor, bem como linhas numeradas e cartões de formas. Quando seguido fielmente, as lições têm uma abordagem espiral. Faça o download no Centre for Innovation in Mathematics Teaching - www.cimt.plymouth.ac.uk

Miquon Math

Miquon Math é um programa de "descoberta Matemática" que usa livros de exercícios ("fichas de laboratório" ) e varetas Cuisenaire para estimular os estudantes a entender princípios matemáticos através de uma combinação de atividades práticas, pensamento crítico e dedução. É especialmente útil como suplemento para o Singapore Math, pois oferece ilustrações práticas para compensar a abordagem mais abstrata do método de Singapura.

O programa exige uma boa dose de preparação por parte dos pais. Algumas crianças vão adorar a abordagem Miquon; outras ficarão frustradas devido à sua necessidade de que os conceitos sejam expostos claramente desde o começo. No entanto, o uso do programa Miquon depois que o conceito tenha sido apresentado e detalhadamente explicado em outro lugar pode levar a um novo patamar de entendimento.

Amostras, abrangência e sequência estão disponíveis no website da editora. Cada livro custa $8.95.

Orange Book (Levei 1)
Red Book (Levei 2)
Blue Book (Levei 3)
Green Book ( Levei 4)
Yellow Book (Levei 5)
Purple Book (Levei 6 )
Varetas Cuisenaire, conjunto introdutório. $9.95.

Suplementos de Matemática Procedural (Incluindo treina mento em fatos)

Audio Memory Songs. Newport Beach, CA: Audio Memory.

$9.95 cada CD, $ 1 2.95 cada conj unto de CD/livro de exercícios. Faça seu pedido à AudioMemory. Estes CDs contêm os fatos da adição, subtração, multiplicação e divisão em forma de Música. Toque-as no carro e aprenda todos os fatos matemáticos.

Addition Songs (Canções de Adição).

Subtraction Songs (Canções de Subtração).

Multiplication Songs (Canções de Multiplicação).

Division Songs (Canções de Divisão) .

Developmental Mathematics: A Self-Teaching Program. Halesite, NY: Mathematics Programs Associares.

Cada nível oferece um livro de exercícios ($10), um guia do professor ($4) e um manual de soluções ($15). Uma descrição completa dos vinte níveis disponíveis e um teste nivelamento estão disponíveis no website da editora. Inclui uma grande quantidade de problemas para prática extra em operações matemáticas elementares; útil para revisar conceitos abordados anteriormente durante o uso de um programa de maestria, ou para desenvolver maestria durante o uso de um programa em espiral. Melhor se adquirido no Rainbow Resource Center.

Levei 1. Ones: Concepts and Symbols. (Nível 1 . Unidades: Conceitos e Símbolos)

Levei 2. Ones: Addition Concepts and Basic Facts. (Nível 2. Unidades: Conceitos e Fatos Básicos)

Levei 3. Ones: Subtraction Concepts and Basic Facts. (Nível 3: Unidades: Conceitos d e Subtração e Fatos Básicos) .

Levei 4. Tens: Concepts, Addition and Subtraction of Tens. (Nível 4: Dezenas: Conceitos, Adição e Subtração de Dezenas) .

Levei 5 . Two-Digit Numbers: Addition and Subtraction without Regrouping. (Nível 5: Números com Dois Algarismos: Adição e Subtração sem Reagrupamento).

Levei 6. Tens & Ones: Adding and Grouping. (Nível 6. Dezenas & Unidades: Adição e Agrupamento)

Levei 7. Tens & Ones: Subtracting with Exchange. (Nível 7. Dezenas & Unidades: Subtração com "Empréstimos")

Levei 8. Multiplication: Concepts and Facts. (Nível 8 . Multiplicação: Conceitos e Fatos) .

Learning Wrap-Ups $8 .99 cada. Faça seu pedido à Learning Wrap-Ups. À medida que você avança pelos fatos impressos em cada cartão, passe um cordão pelos furos das respostas certas para formar um padrão.

Addition (Adição).

Division (Divisão).

Fractions (Frações).

Multiplication (Multiplicação).

Subtraction (Subtração).

Montessori Flash Cards

Estes cartões de memória incluem não apenas os números ($3 + 4 =$) mas pontos de unidades impressos ao lado de cada número para servir de lembrete visual. O verso exibe a resposta da mesma maneira. Uma boa opção para um "primeiro conjunto de cartões de memória". Faça seu pedido à Shiller Math ou ao Rainbow Resource Center. $9.95 cada.

Montessori Flash Cards: Addition

Montessori Flash Cards: Subtraction

Montessori Flash Cards: Multiplication

Montessori Flash Cards: Division

Snow, Kate. Addition Facts That Stick: Mastering the Addition Tables in Six Weeks. Charles City, VA: Well-Trained Mind Press, 2016.

_______, Subtraction Facts That Stick: Mastering the Subtraction Tables in Six Weeks. Charles City, VA: Well-Trained Mind Press, 2016.

$14.95 cada. Faça seu pedido à editora. Cada livro contém um programa simples e eficiente, com seis semanas de duração, contendo jogos e atividades que não apenas explicam, mas cimentam os fatos da adição e da subtração. Adequado para as grades 1 a 4 (e acima).

Timed Math Flash Cards ( Cartões de Memória Cronometrados para Matemática).

Um conjunto de cartões de memória tradicional contendo fatos matemáticos; mas não cronometre o exercício, apenas use os cartões para treinamento. $ 11.99 cada. Faça seu pedido ao Rainbow Resource Center.

Timed Math Flash Cards: Addition

Timed Math Flash Cards: Subtraction

Timed Math Flash Cards: Multiplication

Timed Math Flash Cards: Division

Times Tales

$19.95. Faça seu pedido à Times Tales. Um sistema não-tradicional de memorização para as tabuadas de multiplicação, baseado em figuras e em uma narrativa simples.

Times Tales Print Edition. $26.95.

Times Tales DVD. $26.95.

Math Bundle Deluxe. $69.80.

Histórias Matemáticas

Esta é somente uma lista preliminar; você encontrará outros títulos à medida que começar a procurar.

Adler, David A. Perimeter, Area, and Volume: A Monster Book of Dimensions. New York: Holiday House, 2012.

_______ . Shape Up! Fun With Triangles and Other Polygons. New York: Holiday House, 1998 .

Calvert, Pam. Multiplying Menace: The Revenge of Rumpelstiltskin, illus. Wayne Geehan. Watertown, MA: Charlesbridge, 2006.

_______ . The Multiplying Menace Divides. Watertown, MA: Charlesbridge, 2011.

Clements, Andrew. A Million Dots. New York: Simon & Schuster, 2006.

Dodds, Dayle Ann. Full House: An Invitation to Fractions, illus. Abby Carter. Cambridge, MA: Candlewick, 2009.

_______ . The Great Divide: A Mathematical Marathon, illus. Tracy Mitchell. Cambridge, MA: Candlewick, 1999.

_______ . Minnie's Diner: A Multiplying Menu, illus. John Manders. Cambridge, MA: Candlewick, 2004.

Ellis, Julie. What's Your Angle, Pythagoras? A Math Adventure. Watertown, MA: Charlesbridge, 2004.

Gifford, Scott. Piece = Part = Portion, illus. Shmuel Thaler. Berkeley, CA: Tricycle Press, 2008 .

Giganti, Paul. Each Orange Had 8 Slices: A Counting Book. New York: Greenwillow Books, 1992.

Hulme, Joy N. Wild Fibonacci: Nature's Secret Code Revealed. Berkeley, CA: Tricycle Press, 2005.

Jenkins, Steve. Actual Size. Boston: Houghton Mifflin, 2004.

Juster, Norton. The Dot and the Line: A Romance in Lower Mathematics. San Francisco, CA: Chronicle Books, 2012.

Lasky, Kathryn. The Librarian Who Measured the Earth. Boston: Joy Street Books, 1994.

Neuschwander, Cindy. Mummy Math: An Adventure in Geometry. New York: Henry Holt, 2005 .

_______ . Patterns in Peru: An Adventure in Patterning. New York: Henry Holt, 2007.

Pallotta, Jerry. Apple Fractions, illus. Rob Bolster. New York: Scholastic, 2002.

Pappas, Theoni. The Adventures of Penrose the Mathematical Cat. San Carlos, CA: Tetra, 1997.

_______ . Fractals, Googols, and Other Mathematical Tales. San Carlos, CA: Tetra, 1993.

Pinczes, Elinor J. A Remainder of One. Boston: Houghton Mifflin, 1995.

Reimer, Luetta. Mathematicians Are People Too: Stories from the Lives of Great Mathematicians. Palo Alto, CA: Dale Seymour Publications, 1995.

Schwartz, David M. On Beyond a Million: An Amazing Math Journey, illus. Mike Reed. New York: Simon & Schuster, 2006.

Silveria, Gordon. The Greedy Triangle. New York: Scholastic, 1 994.

Tang, Greg. Math Fables: Lessons That Count. New York: Scholastic, 2004.

_______ . Math Potatoes: Mind-Stretching Brain Food. New York: Scholastic, 2005

Notas:

[1] Margaret M. Pearse and Kate Walton, Teaching Numeracy: 9 Criticai Habits to Ignite Mathematical Thinking (Thousand Oaks, CA: Corwin, 2011), pg. 4.

[2] Os educadores se referem a este fenômeno como a progressão do estágio manipulativo ou pré-operacional para o estágio da imagem mental ou operacional concreto.

[3] O conceito de "habilidades de alta ordem" parece implicar que as "habilidades de baixa ordem" (tais como o conhecimento da adição e dos fatos da divisão) seriam, de alguma forma, menos importantes ou desnecessários. Mas "mais alto", neste caso, significa apenas " que veio depois". O décimo andar de um prédio é "mais alto" do que sua fundação, mas ninguém argumentaria que a fundação é menos importante simplesmente porque é "mais baixa".

[4] Jordan Ellenberg, How Not to Be Wrong: The Power of Mathematical Thinking (New York: Penguin Books, 2015), pp. 2-3. [publicado no Brasil pela editora Zahar em 2015, com título O poder do pensamento matemático: a ciência de como não estar errado].

[5] Nota do tradutor: A "Association for Psychological Science (APS ) " (Associação para a Ciência Psicológica), anteriormente chamada de "American Psychological Society" (Sociedade Americana de Psicologia) é uma organização internacional sem fins lucrativos cuja missão é promover, proteger e desenvolver os interesses da Psicologia científica, especialmente em suas aplicações à Educação, Pesquisa e Bem Estar.

[6] Nota do tradutor: A República de Singapura é um país insular localizado no extremo sul da Península Malaia, no Sudeste Asiático, apresentando o maior Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) dos países asiáticos e o 9º melhor do mundo. No exame Pisa 2015, teste para avaliar a preparação dos estudantes de 72 países pertencentes à OCDE (Organização para a Cooperação e Desenvolvimento Econômico), Singapura obteve o primeiro lugar em todas as disciplinas testadas (Matemática, Leitura e Ciência) . No teste de Matemática, Singapura obteve 564 pontos contra apenas 548 de Hong Kong, o segundo colocado. Para efeito de comparação, no mesmo teste, a média da OCDE foi de 490 pontos. Os estudantes americanos obtiveram 470 pontos, ficando em 40º lugar. Já os brasileiros conquistaram apenas 377 pontos, ficando em 67º lugar, à frente apenas de Macedônia, Tunísia, Kosovo, Argélia e República Dominicana.

***

Curta nossa página no Facebook Summa Mathematicae.

Nossa página no Instagram @summamathematicae e YouTube.

Sobre este blog

Este é um blog sobre Matemática em geral, com ênfase no período clássico-medieval, também sobre as Artes liberais (Trivium e Quadrivium), sobre a Educação Clássica aos moldes de Hugo de São Vitor e outras coisas relacionadas à Filosofia Aristotélico-Tomista. É um projeto pessoal bem despretensioso e simples, fruto de uma especialização em Educação Clássica que fiz. Espero pelo menos colaborar na divulgação desse conhecimento, pois os tópicos me são muito caros e pouco se fala sobre isso na atualidade. Em caso de dúvidas ou sugestões, entre em contrato pelo e-mail: marcos325alves@gmail.com.

Summa Mathematicae

Pesquisar este blog

Postagem em destaque

COMECE POR AQUI: Conheça o Blog Summa Mathematicae

Mais vistadas

Introdução à Logica Clássica

Receba novos posts por e-mail:

S. Agostinho e os Matemáticos

Receba novos posts por e-mail:

Educação Matemática da criança (de seis a nove anos)

Receba novos posts por e-mail:

Total de visualizações de página

Receba novos posts por e-mail:

Translate

Denunciar abuso

Colaboradores

Receba novos posts por e-mail: