Postagem em destaque

COMECE POR AQUI: Conheça o Blog Summa Mathematicae

Primeiramente quero agradecer bastante todo o apoio e todos que acessaram ao Summa Mathematicae . Já são mais de 100 textos divulgados por a...

Mais vistadas

Sobre os números transfinitos

 

RECEBA NOSSAS ATUALIZAÇÕES

DIGITE SEU EMAIL:

Verifique sua inscrição no email recebido.


Tempo de leitura: 16 minutos.

Sobre os números transfinitos [título original: Über transfinite Zahlen - Henri Poincaré (1854-1912) traduzido por Oscar João Abdounur, Vecchio Junior & Jacintho Del e publicado na revista scientiæ zudia, São Paulo, v. 11, n. 2, p. 417-26, 2013 e disponível no LINK.

Resumo

Este texto introduz a tradução do discurso de intitulado "Sobre os números transfinitos" ("Über transfinite Zahlen"), proferido por Henri Poincaré em 27 de abril de 1909, na Universidade de Göttingen. Após uma breve apresentação do pensamento do autor acerca dos fundamentos da aritmética, procura-se citar os aspectos mais relevantes da chamada crise dos fundamentos da matemática, para então introduzir a reformulação do conceito de predicatividade aventada no referido discurso sobre números transfinitos, contribuição compreendida como um recurso teórico necessário para a superação dos paradoxos relativos à teoria dos conjuntos. Com isso, pretende-se evidenciar o papel central do texto publicado nesta edição para o desenvolvimento da concepção matemática de Henri Poincaré. 

Abstract

This article provides an introduction to the translation of the lecture entitled "On transfinite numbers" ("Über transfinite Zahlen"), given by Henri Poincaré at the University of Göttingen on April 27, 1909. Following a short presentation of Poincaré's views on the foundations of arithmetic, it identifies the aspects of the so-called crisis of the foundations of mathematics that are most relevant for understanding his reconstruction of the concept of predicativity, which is intended to be a theoretical resource that may overcome the paradoxes of set theory. In doing so, the article highlights the central role of this text in the process of maturation of Poincaré's views on the foundations of mathematics


Sobre os números transfinitos [1]

Meus senhores! Hoje eu quero falar diante dos senhores sobre o conceito de número cardinal transfinito; e, precisamente, quero tratar em um primeiro momento de uma aparente contradição que esse conceito contém. Para isso, eu antecipo o seguinte: a meu entender, um objeto só pode ser pensado se for possível defini-lo em um número finito de palavras. Um objeto que nesse sentido é definível de maneira finita, quero denominar, de forma abreviada, simplesmente “definível”. Dessa maneira, um objeto que não pode ser definido também não pode ser pensado. Do mesmo modo, denomino uma lei como “expressável” se ela puder ser expressa em um número finito de palavras.

O senhor Richard [2] provou que a totalidade de objetos definíveis é contável, isto é, que o número cardinal dessa totalidade é $\aleph_0$. A prova é muito simples: seja α o número de palavras do dicionário; assim, pode-se com n palavras definir um máximo de αn objetos. Faça agora n crescer além de todos os limites; assim, vê-se que ele nunca superará uma totalidade contável. A potência do conjunto dos objetos pensáveis seria, por conseguinte, $\aleph_0$. O senhor Schoenflies levantou a objeção contra essa prova [3], de que com uma única definição pode-se definir vários, até mesmo infinitos objetos. Como exemplo, ele apresenta a definição de funções constantes, que evidentemente existem em número infinito. Essa objeção é, porém, inadmissível, porque através de tais definições não serão definidos absolutamente quaisquer objetos individuais, mas sua totalidade – em nosso exemplo, o conjunto de funções constantes é definido, e ele é um objeto individual. Desse modo, a objeção do senhor Schoenflies não é convincente.

Como se sabe, Cantor [4] provou que o contínuo não é contável, e isso contradiz a prova de Richard. Pergunta-se então qual das duas provas é correta. Eu afirmo que são ambas corretas, e que a contradição é apenas aparente. Como fundamentação dessa afirmação, eu quero dar uma nova prova para o teorema cantoriano: seja dado um segmento $AB$ e uma regra através da qual cada ponto do segmento seja relacionado a um número inteiro. Nós queremos designar para efeitos de simplicidade os pontos através dos números a eles relacionados. Nós dividimos agora nosso segmento através de dois pontos arbitrários $A_1$ e $A_2$, em três partes, que nós designamos como subsegmentos de primeiro grau; dividimos esses subsegmentos novamente em três partes e obtemos o subsegmento de segundo grau; imaginemos a continuação desse processo infinitamente, de modo que o comprimento dos subsegmentos de reta diminua a cada aplicação da regra. O ponto $1$ pertence assim a um ou, no máximo, a dois – se ele coincide com $A_1$ ou $A_2$ – dos subsegmentos de reta do primeiro grau, havendo, portanto, um a que ele não pertence. Nele procuramos o ponto com o menor número, que agora deve ser no mínimo $2$. Nos três subsegmentos do segundo grau, que pertencem ao segmento de primeiro grau na qual nos encontramos, há agora novamente pelo menos um, ao qual o ponto considerado por último não pertence. A partir dele, damos continuidade ao processo e obtemos uma série de segmentos que possui as seguintes propriedades: cada um deles está contido em todos anteriores, e um segmento de $n$-ésimo grau não contém nenhum dos pontos $1$ até $n-1$. Da primeira propriedade segue-se que deve existir pelo menos um ponto, que é comum a todos eles. Da segunda propriedade se segue, contudo, que o número desses pontos deve ser maior que cada número finito, isto é, não pode ser relacionado a ele nenhum número.

O que estabelecemos assim como pressuposto para essa prova? Nós tomamos como pressuposto a lei de que um número inteiro relaciona-se a cada ponto do segmento. Então, conseguimos definir um ponto que não está relacionado a nenhum inteiro. Nesse sentido, as diferentes provas desse teorema não se diferenciam. Mas para isso, essa regra deveria ser confirmada. Segundo Richard, aparentemente tal regra deveria existir, mas Cantor provou o contrário. Como superamos esse dilema? Perguntemo-nos uma vez mais sobre o significado da palavra “definível”. Tomemos o quadro de todas as proposições finitas e risquemos cada uma das que não definem nenhum ponto. O restante nós ligamos aos números inteiros. Quando nós realizamos a verificação do quadro novamente, será de maneira geral mostrado que nós devemos deixar ficar algumas proposições que previamente riscamos. Assim, as proposições em que se fazia referência à própria lei de formação das relações [5] não tinham significado antes, visto que os pontos não estavam ainda relacionados aos números inteiros. Essas proposições agora possuem significado, e devem pertencer ao nosso quadro. Se nós estabelecêssemos uma nova lei de formação das relações, tal dificuldade repetir-se-ia ad infinitum. Aqui reside, entretanto, a solução da aparente contradição entre Cantor e Richard. Seja $M_0$ o conjunto dos números inteiros, $M_1$  o conjunto decorrente do primeiro exame do quadro de todas as proposições finitas de pontos definíveis de nosso segmento, $G_1$ a lei de formação das relações entre ambos os conjuntos. Através dessa regra, agrega-se um novo conjunto $M_2$, de pontos como definíveis. A $M_1 + M_2$ pertence uma nova regra $G_2$, e dessa maneira tem origem um novo conjunto $M_3$, e assim por diante. A prova de Richard ensina que mesmo onde eu não aplico o procedimento, sempre existe uma regra, enquanto Cantor prova que o procedimento pode ser continuado arbitrariamente sem limite. Logo, não existe nenhuma contradição entre ambos.

A impressão que advém daí reside no fato de que falta uma propriedade à regra de ordenação de Richard, que eu, com uma expressão emprestada dos filósofos ingleses, designo como “predicativa”. Em Russell [6], de quem eu tomo emprestada a palavra, a definição entre os conceitos $A$ e $A’$ é não predicativa se $A$ está presente na definição de $A’$ e vice-versa. Entendo, portanto, o seguinte: cada regra de ordenação pressupõe uma determinada classificação. Eu denomino agora uma ordenação como predicativa se sua classificação é predicativa. Eu denomino, entretanto, uma classificação como predicativa se ela não é modificada através da introdução de novos elementos. Esse não é, contudo, o caso sob o ponto de vista de Richard; de fato, a introdução de regras de ordenação modifica a distribuição tanto das sentenças que possuem significado quanto das que não possuem. O que se quer dizer com a palavra “predicativo” deixa-se ilustrar melhor com um exemplo: se eu devo ordenar um conjunto de objetos em certo número de caixas, posso fazê-lo de duas maneiras diferentes: ou os objetos ordenados já estão previamente em seus lugares de modo definitivo, ou eu devo, a cada vez que ordeno um novo elemento, novamente remover os outros, ou ao menos uma parte deles. No primeiro caso, eu chamo a classificação de predicativa, no segundo, não. Um bom exemplo de uma definição não predicativa foi dado por Russell: seja $A$ o menor número inteiro cuja definição exige mais de cem palavras em alemão. $A$ deve existir, uma vez que de qualquer maneira só se pode definir com cem palavras uma quantidade finita de números. A definição que acabamos de dar desse número possui, entretanto, menos de cem palavras. E o número $A$ é, portanto, definido como indefinível.

Zermelo levantou uma objeção contra a rejeição das definições não predicativas, rejeição essa que invalidaria grande parte da matemática, como por exemplo, a prova de existência da raiz de uma equação algébrica.

Essa prova é conhecida como segue:

Dada uma equação $F(x) = 0$, prova-se agora que $|F(x)|$ precisa ter um mínimo; seja $x_0$ um dos valores do argumento para o qual um mínimo ocorre; então

$$|F(x)| ≥ |F(x_0)|.$$

Donde se segue que $F(x_0) = 0$. Aqui a definição de $F(x_0)$ é não predicativa, pois esse valor depende da totalidade dos valores de $F(x)$, para os quais ele mesmo pertence.

Eu não posso admitir como justificável essa objeção. Pode-se então remodelar essa prova, de modo a desaparecer dela a definição não predicativa. Considero para essa finalidade todos os argumentos da forma $\frac{m+ni}{p}$, onde $m$, $n$ e $p$ são números inteiros. Então, eu posso estabelecer as mesmas conclusões como antes, mas o valor do argumento para o qual ocorre o mínimo de $|F(x)|$ não pertence em geral àquilo que foi considerado. Desse modo, a circularidade da prova é evitada. Pode-se exigir de cada prova matemática que as definições que nela aparecem (sua respectiva definição), e tudo que daí se segue, seja predicativo, pois, caso contrário, a prova não seria rigorosa.

E quanto à clássica prova do teorema de Bernstein? Ela é livre de objeção? É sabido que o teorema diz que, se três conjuntos $A$, $B$, e $C$ são dados, onde $A$ está contido em $B$, $B$ em $C$, e $A$ é equivalente a $C$, então $A$ e $B$ também devem ser equivalentes. Trata-se aqui também de uma regra de correspondência. Se a primeira regra de correspondência (entre $A$ e $C$) é predicativa, a prova mostra que também precisa existir uma regra de correspondência predicativa entre $A$ e $B$.

No que concerne ao segundo cardinal transfinito $à_1$, não estou inteiramente convencido de que ele exista. Nós chegamos a ele através da consideração da totalidade dos números ordinais de potência $\aleph_0$; é evidente que esse conjunto deve possuir uma potência superior. Pergunta-se, contudo, se ele é fechado, ou se nós podemos falar de sua potência sem incorrer em contradição. Um infinito atual, de qualquer maneira, não existe.

O que devemos pensar do famoso problema do contínuo? Pode-se “bem” ordenar os pontos do espaço? O que entendemos por isso? Há aqui dois casos possíveis: ou afirma-se que a regra de bem-ordenação pode ser expressa de modo finito, e, então, essa afirmação não é provada; também o senhor Zermelo não tem provavelmente a pretensão de ter provado tal afirmação. Ou admitimos a possibilidade de que a regra não possa ser afirmada de modo finito. Nesse caso, não posso atribuir a essa afirmação qualquer sentido, tratando-se para mim meramente de palavras vazias. Nisso está a dificuldade. E essa é provavelmente a causa da disputa acerca da “quase genial” proposição de Zermelo [7]. Essa disputa é muito curiosa: uns rejeitam o axioma da escolha, aceitando, contudo, a sua prova; outros aceitam o axioma da escolha, mas não reconhecem a sua prova.

Mas eu ainda poderia falar sobre isso por algumas horas, sem resolver a questão.

Tradução do original em alemão de Oscar João Abdounur & Jacintho Del Vecchio Junior.


Notas:

[1] Comunicação proferida em alemão por Henri Poincaré em 27 de abril de 1909, na Universidade de Göttingen, publicada posteriormente com outros cinco artigos sob o título Sechs Vorträge über ausgewälte Gegenstände aus der reinen Mathematik und matematischen Physik (Leipzig: Teubner, 1910).

[2] Jules Richard, matemático francês (1862-1956). A prova a que Poincaré se refere de modo sintético foi apresentada por Richard em seu artigo intitulado “Les principes des mathématiques et le problème des ensembles”, publicado em 1905 na Revue Générale des Sciences Pures et Appliquées, e consiste em um dos argumentos do bem conhecido paradoxo de Richard.

[3] A argumentação de Schoenflies encontra-se em um texto de 1909, denominado “Über eine vermeintliche Antinomie der Mengenlehre” e publicado no número 32 do periódico Acta Mathematica, em fevereiro de 1909. Essa mesma publicação traz um artigo de Poincaré que contesta seu posicionamento, praticamente nos mesmos termos que o verificado no segundo parágrafo de “Über transfinite Zahlen”.

[4] Georg Cantor (1845-1918) foi um matemático russo-alemão que teve atuação destacada no desenvolvimento da teoria dos conjuntos; dentre suas contribuições, o conceito de números transfinitos (e, portanto, a criação de uma “matemática do transfinito”) guarda uma relação direta com as dificuldades tratadas no presente artigo. No artigo, Poincaré cita Cantor por sua prova de que o contínuo não é contável. Na realidade, Cantor apresentou essa prova em duas ocasiões: a primeira, em 1873 (publicada em 1874); a segunda, em 1891, momento em que apresenta o famoso método diagonal de Cantor, que acabou por se tornar uma técnica recorrente de prova em matemática.

[5] No original, “Zuordnungesetz”. Optou-se pela tradução supra (“lei de formação de relações”) em vista do que o autor pretende evidenciar: uma regra que estabelece uma relação entre os pontos e os enunciados que os definem. Trata-se, portanto, de um sentido muito mais plausível que o de regra de atribuição ou de ordenação, que também seriam traduções possíveis.

[6] Russell apresenta os termos “predicativo” e “não predicativo” de modo preciso em seu artigo intitulado “On some difficulties in the theory of transfinite numbers and order types”, submetido à publicação em 1905 e publicado em 1906. A referência a Russell é sugestiva, pois o lógico inglês é o principal interlocutor de Poincaré no que concerne aos problemas relativos à solução dos paradoxos da teoria dos conjuntos.

[7] Poincaré refere-se, como deixará claro logo em seguida, ao problema que envolve o axioma da escolha. Nos termos de Russell, o axioma da escolha pode ser assim postulado: “dado um conjunto w, existe uma função $f‘u$ tal que, se $u$ é um conjunto não vazio contido em $w$, então $f‘u$ é membro de $u$” (Russell, 1906, p. 47). A simplicidade do axioma da escolha não corresponde ao seu caráter problemático: apesar de necessário para a ordenação de séries, o axioma é evidente para conjuntos finitos, mas indemonstrável no caso de conjuntos transfinitos, o que é particularmente incômodo para os autores de orientação logicista.

***

Leia mais em A crise da Matemática moderna

Leia mais em TCC: Uma breve descrição da ideia de infinito



Curta nossa página no Facebook Summa Mathematicae

Nossa página no Instagram @summamathematicae e YouTube.


 

Sobre o papel da Literatura na Educação

Detalhe de São Domingo em A zombaria de Cristo
com a Virgem e São Domingos
, Fra Angelico, 1442.

RECEBA NOSSAS ATUALIZAÇÕES

DIGITE SEU EMAIL:

Verifique sua inscrição no email recebido.

Tempo de leitura: 40 minutos.

Texto retirado do LINK.


CARTA DO SANTO PADRE FRANCISCO
SOBRE O PAPEL DA LITERATURA NA EDUCAÇÃO

1. Inicialmente, tinha escrito um título alusivo à formação sacerdotal, mas depois pensei que o que se segue pode ser dito, de modo semelhante, em relação à formação de todos os agentes pastorais e de qualquer cristão. Refiro-me ao valor da leitura de romances e poemas no caminho do amadurecimento pessoal.

2. Muitas vezes, no tédio das férias, no calor e na solidão dos bairros desertos, encontrar um bom livro para ler torna-se um oásis, afastando-nos de outras escolhas que são nocivas. Na verdade, não faltam momentos de cansaço, irritação, desilusão, fracasso e, quando nem sequer na oração conseguimos encontrar o sossego da alma, pelo menos um bom livro ajuda-nos a enfrentar a tempestade, até que possamos ter um pouco mais de serenidade. Talvez essa leitura abra novos espaços interiores, capazes de evitar o encerramento naquelas poucas ideias obsessivas que nos enredam inexoravelmente. Antes da onipresença dos media, das redes sociais, dos telemóveis e de outros dispositivos, esta era uma experiência frequente, e quem a viveu sabe bem do que estou a falar. Não se trata de algo ultrapassado.

3. Ao contrário dos meios audiovisuais, onde o produto é mais completo, e a margem e o tempo para “enriquecer” a narrativa ou para a interpretar são geralmente reduzidos, o leitor é muito mais ativo quando lê um livro. De certo modo, reescreve-o, amplia-o com a sua imaginação, cria um mundo, usa as suas capacidades, a sua memória, os seus sonhos, a sua própria história cheia de dramatismo e simbolismo; e assim surge uma obra muito diferente daquela que o autor pretendia escrever. Uma obra literária é, portanto, um texto vivo e sempre fértil, capaz de falar de novo e de muitas maneiras, capaz de produzir uma síntese original com cada leitor que encontra. Este, enquanto lê, enriquece-se com o que recebe do autor, mas isso permite-lhe, ao mesmo tempo, fazer desabrochar a riqueza da sua própria pessoa, pois cada nova obra que lê renova e expande o seu universo pessoal.

4. Isto leva-me a avaliar muito positivamente o fato de, pelo menos em alguns Seminários, se ultrapassar a obsessão dos ecrãs – e das venenosas, superficiais e violentas fake news –, dedicando-se tempo à literatura, a momentos de leitura serena e livre, a falar dos livros que, novos ou antigos, continuam a dizer-nos tanto. Mas, em geral, é preciso constatar, com pesar, a falta de um lugar adequado da literatura na formação daqueles que se destinam ao ministério ordenado. Efetivamente, esta é, muitas vezes considerada como uma forma de passatempo, ou seja, como uma expressão menor de cultura que não faria parte do caminho de preparação e, portanto, da experiência pastoral concreta dos futuros sacerdotes. Com poucas exceções, a atenção à literatura é considerada como algo não essencial. A este respeito, gostaria de afirmar que tal perspectiva não é boa. Ela está na origem de uma forma de grave empobrecimento intelectual e espiritual dos futuros sacerdotes, que ficam assim privados de um acesso privilegiado, precisamente através da literatura, ao coração da cultura humana e, mais especificamente, ao coração do ser humano.

5. Com esta carta, desejo propor uma mudança radical de atitude em relação à grande atenção que deve ser dada à literatura no contexto da formação dos candidatos ao sacerdócio. A este respeito, considero muito eficiente o que diz um teólogo:

«A literatura [...] brota da pessoa no que tem de mais irredutível, no seu mistério [...]. É a vida que se torna consciente de si mesma quando, utilizando todos os recursos da linguagem, atinge a plenitude da expressão» [1].

6. De uma forma ou de outra, a literatura tem a ver com o que cada um de nós deseja da vida, uma vez que entra numa relação íntima com a nossa existência concreta, com as suas tensões essenciais, com os seus desejos e os seus significados.

7. Aprendi isto nos tempos da juventude, com os meus alunos. Entre 1964 e 1965, quando tinha 28 anos, fui professor de literatura numa escola jesuíta, em Santa Fé. Ensinava aos dois últimos anos do liceu e tinha de fazer com que os meus alunos estudassem El Cid. Mas eles não gostavam. Pediam para ler García Lorca. Por isso, decidi: em casa, estudariam El Cide, durante as aulas, abordaria os autores de que aqueles jovens mais gostavam. Claro que eles queriam ler obras literárias contemporâneas; porém, à medida que fossem lendo o que os atraía no momento, iriam adquirindo em geral o gosto pela literatura, pela poesia, e depois passariam a outros autores. Afinal, o coração procura mais e, na literatura, cada um encontra o seu próprio caminho [2]. Por exemplo, eu gosto muito dos artistas das tragédias, porque todos podemos sentir as suas obras como nossas, como a expressão dos nossos próprios dramas. No fundo, ao chorar o destino das personagens, estamos a chorar por nós mesmos: o nosso vazio, as nossas falhas, a nossa solidão. Naturalmente, não estou a pedir para fazerdes as mesmas leituras que eu fiz. Cada um encontrará os livros que falarão à sua própria vida e que se tornarão verdadeiros companheiros de viagem. Não há nada mais contraproducente do que ler por obrigação, fazendo um esforço considerável só porque alguém disse que é essencial. Não, devemos selecionar as nossas leituras com abertura, surpresa, flexibilidade, orientação, mas também com sinceridade, tentando encontrar o que precisamos em cada momento da vida.

Fé e cultura

8. Além disso, para um crente que deseja sinceramente entrar em diálogo com a cultura do seu tempo ou, simplesmente, com a vida de pessoas concretas, a literatura torna-se indispensável. Com grande razão, o Concílio Vaticano II afirma que «a literatura e as artes […] procuram dar expressão à natureza do homem» e «dar a conhecer as suas misérias e alegrias, necessidades e energias» [3]. Na verdade, a literatura inspira-se na cotidianidade vivida, suas paixões e acontecimentos reais, como «a ação, o trabalho, o amor, a morte e todas as pobres coisas que enchem a vida» [4].

9. Perguntemo-nos: como será possível alcançar o núcleo das culturas antigas e novas se ignorarmos, descartarmos e/ou silenciarmos os símbolos, mensagens, criações e narrativas com que se captaram e se quiseram mostrar e evocar os seus feitos e ideais mais belos, tal como as suas violências, medos e paixões mais profundas? Como falar ao coração dos homens se ignorarmos, relegarmos ou não valorizarmos “essas palavras” com que quiseram manifestar e, porque não, revelar o drama do seu viver e sentir através de romances e poemas?

10. A missão eclesial soube desenvolver toda a sua beleza, frescura e novidade no encontro com diversas culturas – e muitas vezes graças à literatura – nas quais se enraizou, sem medo de arriscar e de extrair o melhor daquilo que encontrou. É uma atitude que a libertou da tentação do solipsismo ensurdecedor e fundamentalista que consiste em acreditar que uma certa gramática histórico-cultural tem a capacidade de exprimir toda a riqueza e profundidade do Evangelho [5]. Muitas das profecias de desgraça que hoje tentam semear desespero radicam precisamente neste aspecto. O contato com diferentes estilos literários e gramaticais permitirá sempre aprofundar a polifonia da Revelação, sem a empobrecer ou reduzir quer às próprias exigências históricas quer às próprias estruturas mentais.

11. Não é por acaso que o cristianismo primitivo tenha percebido bem a necessidade de uma relação estreita com a cultura clássica da época. Um Padre da Igreja Oriental como, a título de exemplo, Basílio de Cesareia, no Discurso aos Jovens, que escreveu entre 370 e 375, e provavelmente dirigiu aos seus sobrinhos, exaltava a preciosidade da literatura clássica – produzida pelos éxothen (“os de fora”) como ele chamava aos autores pagãos – tanto para a argumentação, ou seja, para os lógoi (“discursos”) a utilizar na teologia e na exegese, como para o próprio testemunho de vida, ou seja, para os práxeis (“atos, comportamentos”) a ter em conta na ascética e na moral. E concluía exortando os jovens cristãos a considerarem os clássicos como um ephódion (“viático”) para a sua instrução e formação, obtendo deles “proveito para a alma” (IV, 8-9). É precisamente deste encontro, do acontecimento cristão com a cultura daquele tempo, que emerge uma original reelaboração do anúncio evangélico.

12. Graças ao discernimento evangélico da cultura, é possível reconhecer a presença do Espírito na variegada realidade humana, ou seja, é possível captar a semente da presença do Espírito já plantada nos acontecimentos, sensibilidades, desejos, tensões profundas dos corações e dos contextos sociais, culturais e espirituais. Podemos reconhecer uma abordagem semelhante, por exemplo, nos Atos dos Apóstolos, onde é mencionada a presença de Paulo no Areópago (cf. At 17, 16-34). Falando de Deus, Paulo diz: «É nele, realmente, que vivemos, nos movemos e existimos, como também o disseram alguns dos vossos poetas: “Pois nós somos também da sua estirpe”» ( At 17, 28). Neste versículo, temos duas citações: uma indireta, na primeira parte, onde se cita o poeta Epiménides (séc. VI a.C.), e uma direta, citando Fenómenos do poeta Arato de Silo (séc. III a.C.), que canta as constelações e os sinais do bom e do mau tempo. Aqui neste ponto, «Paulo revela-se um “leitor” de poesia e deixa intuir o modo como se aproxima ao texto literário, o que não pode deixar de levar a refletir sobre um discernimento evangélico da cultura. Ele é definido pelos atenienses como spermologos, que significa “papagaio, tagarela, charlatão”, mas literalmente quer dizer “colecionador de sementes”. Assim, paradoxalmente, o que era um insulto parece uma verdade profunda. Paulo recolhe as sementes da poesia pagã e, abandonando uma atitude anterior de profunda indignação (cf. At 17, 16), chega a reconhecer os atenienses como “os mais religiosos dos homens” e, naquelas páginas da literatura clássica deles, vê uma verdadeira preparatio evangelica» [6].

13. O que é que Paulo fez? Entendeu que a «literatura descobre os abismos que habitam o homem, enquanto a revelação, e depois a teologia, os retoma para mostrar como Cristo vem atravessá-los e iluminá-los» [7]. Em direção a estes abismos, a literatura é um «caminho de acesso» [8], que ajuda o pastor a entrar num diálogo fecundo com a cultura do seu tempo.

Nunca um Cristo sem carne

14. Antes de entrar nas razões concretas, devido às quais se deve promover a atenção dada à literatura no percurso formativo dos futuros sacerdotes, quero recordar um pensamento sobre o atual contexto religioso: «O regresso ao sagrado e a busca espiritual, que caracterizam a nossa época, são fenômenos ambíguos. Mais do que o ateísmo, o desafio que hoje se nos apresenta é responder adequadamente à sede de Deus de muitas pessoas, para que não tenham de ir apagá-la com propostas alienantes ou com um Jesus Cristo sem carne» [9]. Portanto, a urgente tarefa de anunciar o Evangelho no nosso tempo exige, dos fiéis e dos sacerdotes em particular, o compromisso que permita a cada homem encontrar-se com um Jesus Cristo feito carne, feito homem, feito história. Todos devemos estar atentos para nunca perder de vista a “carne” de Jesus Cristo: aquela carne feita de paixões, emoções, sentimentos, histórias concretas, de mãos que tocam e curam, de olhares que libertam e encorajam, de hospitalidade, perdão, indignação, coragem, intrepidez; numa palavra, de amor.

15. E, precisamente a este nível, o recurso assíduo à literatura pode tornar os futuros sacerdotes e todos os agentes pastorais ainda mais sensíveis à plena humanidade do Senhor Jesus, na qual se derrama toda a sua divindade, e anunciar o Evangelho de tal modo que todos, realmente todos, possam experimentar como é verdadeiro o que diz o Concílio Vaticano II: «na realidade, o mistério do homem só no mistério do Verbo encarnado se esclarece verdadeiramente» [10]. Não se trata do mistério de uma humanidade abstrata, mas do mistério daquele homem concreto com as feridas, os desejos, as recordações e as esperanças da sua vida.

Um grande bem

16. De um ponto de vista pragmático, muitos cientistas afirmam que o hábito de ler produz muitos efeitos positivos na vida de uma pessoa: ajuda-a a adquirir um vocabulário mais vasto e, consequentemente, a desenvolver vários aspectos da sua inteligência; estimula também a imaginação e a criatividade; simultaneamente, permite que as pessoas aprendam a exprimir as suas narrativas de uma forma mais rica; melhora também a capacidade de concentração, reduz os níveis de deficit cognitivo e acalma o stress e a ansiedade.

17. Mais ainda: prepara-nos para compreender e, assim, enfrentar as várias situações que podem surgir na vida. Ao ler, mergulhamos nas personagens, nas preocupações, nos dramas, nos perigos, nos medos de pessoas que acabaram por ultrapassar os desafios da vida, ou talvez, durante a leitura, demos às personagens conselhos que mais tarde nos servirão a nós mesmos.

18. Para tentar ainda encorajar à leitura, cito de bom grado alguns textos de autores conhecidos, que nos ensinam tanto em poucas palavras:

Os romances desencadeiam «em nós, no espaço de uma hora, todas as alegrias e desgraças possíveis que, durante a vida, levaríamos anos inteiros a conhecer minimamente; e, dessas, as mais intensas nunca nos seriam reveladas, porque a lentidão com que ocorrem nos impede de as perceber» [11].

«Ao ler as grandes obras da literatura, transformo-me em milhares de homens sem deixar, ao mesmo tempo, de permanecer eu mesmo. Como o céu noturno da poesia grega: vejo-o com uma miríade de olhos, mas sou sempre eu a ver. Neste ponto, como na religião, no amor, na ação moral e no conhecimento, ultrapasso-me a mim próprio e, no entanto, quando o faço, sou mais eu do que nunca» [12].

19. No entanto, não é minha intenção deter-me exclusivamente neste nível de utilidade pessoal, mas refletir sobre as razões mais decisivas para redespertar o amor pela leitura.

Ouvir a voz de alguém

20. Quando o meu pensamento se volta para a literatura, lembro-me do que o grande escritor argentino Jorge Luis Borges [13] costumava dizer aos seus alunos: o mais importante é ler, entrar em contato direto com a literatura, mergulhar no texto vivo que se tem diante de si, mais do que fixar-se em ideias e comentários críticos. E Borges explicava este pensamento aos seus alunos, dizendo-lhes que, talvez, no início compreendessem pouco do que estavam a ler, mas em todo o caso teriam escutado “a voz de alguém”. Aqui está uma definição de literatura que tanto me agrada: ouvir a voz de alguém. Não esqueçamos o quanto é perigoso deixar de ouvir a voz do outro que nos interpela! Caímos imediatamente no isolamento, entramos numa espécie de surdez “espiritual”, que também afeta negativamente a nossa relação conosco próprios e com Deus, por mais teologia ou psicologia que tenhamos conseguido estudar.

21. Neste caminho, que nos torna sensíveis ao mistério dos outros, a literatura faz-nos aprender a tocar os corações. Como não recordar aqui a palavra corajosa que, a 7 de maio de 1964, São Paulo VI dirigiu aos artistas e, portanto, também aos grandes escritores? Dizia: «Precisamos de vós. O nosso ministério precisa da vossa colaboração. Porque, como sabeis, o Nosso ministério é o de pregar e tornar acessível e compreensível, melhor, comovente, o mundo do espírito, do invisível, do inefável, de Deus. E vós sois mestres nesta operação, que transforma o mundo invisível em fórmulas acessíveis, inteligíveis» [14]. Eis o ponto: a tarefa dos fiéis, e dos sacerdotes em particular, é precisamente a de “tocar” o coração do homem contemporâneo para que se comova e se abra diante do anúncio do Senhor Jesus. Neste esforço, o contributo que a literatura e a poesia podem oferecer é de um valor inigualável.

22. T.S. Eliot, o poeta a quem o espírito cristão deve obras literárias que marcaram a contemporaneidade, descreveu corretamente a crise religiosa moderna como uma generalizada «incapacidade emocional» [15]. À luz desta leitura da realidade, o problema da fé nos dias de hoje não é, em primeiro lugar, o de acreditar mais ou acreditar menos em proposições doutrinais. Liga-se antes à incapacidade de tantos se comoverem perante Deus, a sua criação e os outros seres humanos. Por conseguinte, abre-se aqui a tarefa de curar e enriquecer a nossa sensibilidade. Por isso, no regresso da minha Viagem Apostólica ao Japão, quando me perguntaram o que é que o Ocidente tem a aprender com o Oriente, respondi: «creio que falte ao Ocidente um pouco de poesia» [16].

Uma espécie de ginásio de discernimento

23. O que é que o sacerdote ganha neste contato com a literatura? Porque é necessário tomar em consideração e promover a leitura dos grandes romances como uma parte relevante da paideia sacerdotal? Por que razão, na formação dos candidatos ao sacerdócio, é importante recuperar e implementar a intuição, esboçada pelo teólogo Karl Rahner, de uma profunda afinidade espiritual entre o sacerdote e o poeta? [17]

24. Tentemos responder a estas questões escutando as considerações do teólogo alemão [18]. As palavras do poeta, escreve Rahner, estão «cheias de saudade», são «portas que se abrem para o infinito, portas que se escancaram à imensidão. Evocam o inefável, tendem para o inefável». A palavra poética «olha para o infinito, mas não pode dar-nos este infinito, nem pode trazer ou esconder em si Aquele que é o Infinito». Efetivamente, isto é próprio da Palavra de Deus, e – continua Rahner – «a palavra poética invoca, portanto, a Palavra de Deus» [19]. Para o cristão, a Palavra é Deus, e todas as palavras humanas mostram traços de uma intrínseca saudade de Deus, tendendo para essa Palavra. Pode dizer-se que a palavra verdadeiramente poética participa analogicamente da Palavra de Deus, tal como a Carta aos Hebreus no-la apresenta de forma inovadora (cf. Heb 4, 12-13).

25. E é assim que Karl Rahner pode estabelecer um belo paralelo entre o sacerdote e o poeta: «só a palavra é intimamente capaz de libertar tudo o que mantém encarceradas as realidades não expressas: a mudez da sua orientação para Deus» [20].

26. Na literatura entram em jogo questões de forma de expressão e de sentido. Ela representa, portanto, uma espécie de ginásio de discernimento, que aguça as capacidades sapienciais de escrutínio interior e exterior do futuro sacerdote. O lugar onde se abre esta via de acesso à própria verdade é a interioridade do leitor, diretamente envolvido no processo de leitura. Aqui se descortina o cenário do discernimento espiritual pessoal, onde não faltarão angústias e até crises. Com efeito, são numerosas as páginas literárias que podem responder à definição inaciana de “desolação”.

27: «Chamo desolação a […] obscuridade da alma, perturbação, inclinação a coisas baixas e terrenas, inquietação proveniente de várias agitações e tentações que levam a falta de fé, de esperança e de amor; achando-se [a alma] toda preguiçosa, tíbia, triste, e como que separada de seu Criador e Senhor» [21].

28. A dor ou o tédio que se sentem ao ler certos textos não são necessariamente sensações más ou inúteis. O próprio Inácio de Loyola tinha observado que, «naqueles que vão de mal a pior», o bom espírito age causando inquietação, agitação, insatisfação [22]. Esta seria a aplicação literal da primeira regra inaciana do discernimento dos espíritos, reservada àqueles que «vão de pecado mortal em pecado mortal», ou seja, nessas pessoas a ação do bom espírito «punge-lhes e remorde-lhes a consciência pelo instinto da razão» [23], para as conduzir ao bem e à beleza.

29. Assim se entende que o leitor não seja o destinatário de uma mensagem edificante, mas uma pessoa que é ativamente solicitada a encaminhar-se para um terreno instável, onde as fronteiras entre salvação e perdição não estão a priori definidas e separadas. O ato de ler é, pois, como um ato de “discernimento”, graças ao qual o leitor é implicado na primeira pessoa como “sujeito” da leitura e, ao mesmo tempo, como “objeto” do que lê. Ao ler um romance ou uma obra poética, o leitor experimenta efetivamente “ser lido” pelas palavras que vai lendo [24]. Deste modo, o leitor é semelhante a um jogador em campo: faz acontecer o jogo, ao mesmo tempo que o jogo acontece através dele, na medida em que está totalmente envolvido naquilo que faz [25].

Atenção e digestão

30. No que diz respeito ao conteúdo, há que reconhecer que a literatura – segundo a célebre imagem cunhada por Proust [26] – é como “um telescópio” apontado para os seres e as coisas, indispensável para medir “a enorme distância” que o quotidiano abre entre a nossa percepção e o conjunto da experiência humana. «A literatura é como um laboratório fotográfico, no qual as imagens da vida podem ser processadas de modo a revelarem os seus contornos e nuances. Eis a “utilidade” da literatura: “desenvolver” as imagens da vida» [27], levar-nos a interrogar sobre o seu significado. Serve, em suma, a fazer eficazmente a experiência da vida.

31. Na verdade, a nossa visão ordinária do mundo é como que “reduzida” e limitada pela pressão que os objetivos operacionais e imediatos do nosso agir exercem sobre nós. O próprio serviço – cultual, pastoral, caritativo – pode tornar-se um imperativo que orienta as nossas forças e a nossa atenção apenas para os objetivos a alcançar. Mas, como nos recorda Jesus, na parábola do semeador, a semente precisa de cair em terra profunda para amadurecer frutuosamente ao longo do tempo, sem ser sufocada pela superficialidade ou pelos espinhos (cf. Mt 13, 18-23). Assim, o risco passa a ser o cair na busca duma eficiência que banaliza o discernimento, empobrece a sensibilidade e reduz a complexidade. Por isso, é necessário e urgente contrabalançar esta inevitável aceleração e simplificação da nossa vida cotidiana, aprendendo a distanciarmo-nos do imediato, a reduzir a velocidade, a contemplar e a escutar. Isto pode acontecer quando, de modo desinteressado, uma pessoa se detém para ler um livro.

32. É necessário recuperar formas hospitaleiras e não estratégicas de relacionamento com a realidade, não diretamente orientadas para um resultado; formas nas quais seja possível deixar emergir o infinito excesso do ser. Distância, lentidão, liberdade são características de uma abordagem da realidade que encontra precisamente na literatura uma forma de expressão, não exclusiva, mas privilegiada. A literatura torna-se, então, um ginásio onde se treina o olhar para procurar e explorar a verdade das pessoas e das situações como mistério, carregadas de um excesso de sentido, que só parcialmente se pode manifestar em categorias, esquemas explicativos, dinâmicas lineares de causa-efeito, meio-fim.

33. Uma outra bela imagem para contar o papel da literatura vem da fisiologia do corpo humano e, em particular, do ato da digestão. Neste caso, o modelo é a ruminatio bovina, como afirmavam o monge Guillaume de Saint-Thierry, do século XI, e o jesuíta Jean-Joseph Surin, do século XVII. Este último falava do “estômago da alma” e o jesuíta Michel De Certeau apontava para uma verdadeira «fisiologia da leitura digestiva» [28]. Ou seja, a literatura ajuda-nos a dizer a nossa presença no mundo, a “digeri-la” e a assimilá-la, captando o que vai para além da superfície da experiência; serve, portanto, para interpretar a vida, discernindo os seus significados e tensões fundamentais [29].

Ver através dos olhos dos outros

34. No que diz respeito à forma do discurso, acontece o seguinte: ao lermos um texto literário, colocamo-nos na condição de «ver com os olhos dos outros» [30], adquirindo uma amplitude de perspectiva que alarga a nossa humanidade. Isto ativa em nós o poder empático da imaginação, que é um veículo fundamental para essa capacidade de identificação com o ponto de vista, a condição, o sentimento dos outros, sem a qual não há solidariedade, partilha, compaixão, misericórdia. Ao ler, descobrimos que o que sentimos não é só nosso, é universal, e, por isso, até a pessoa mais abandonada não se sente só.

35. A maravilhosa diversidade do ser humano e a pluralidade diacrônica e sincrônica das culturas e dos saberes configuram-se, na literatura, numa linguagem capaz de respeitar e exprimir a sua variedade, e, ao mesmo tempo, traduzem-se numa gramática simbólica de sentido que as torna inteligíveis para nós, porque partilhadas, não estranhas. A originalidade da palavra literária consiste no fato de exprimir e transmitir a riqueza da experiência, sem a objetivar na representação descritiva do conhecimento analítico ou no exame normativo do juízo crítico, mas enquanto conteúdo de um esforço expressivo e interpretativo para dar sentido à experiência em questão.

36. Quando se lê uma história, graças à visão do autor, cada um imagina, à sua maneira, o choro de uma jovem abandonada, a idosa que cobre o corpo do neto adormecido, a paixão de um pequeno empreendedor que tenta ir para diante apesar das dificuldades, a humilhação de alguém que se sente criticado por todos, o rapaz que encontra no sonho a única saída para a dor de uma vida miserável e violenta. À medida que sentimos vestígios do nosso mundo interior no meio dessas histórias, tornamo-nos mais sensíveis às experiências dos outros, saímos de nós próprios para entrar nas suas profundezas, conseguimos compreender um pouco mais as suas lutas e desejos, vemos a realidade com os seus olhos e acabamos por nos tornar companheiros de viagem. Assim, mergulhamos na existência concreta e interior do vendedor de fruta, da prostituta, da criança que cresce sem pais, da mulher do pedreiro, da idosa que ainda acredita que vai encontrar o seu príncipe. E podemos fazê-lo com empatia e, por vezes, com tolerância e compreensão.

37. Jean Cocteau escreveu a Jacques Maritain: «A literatura é impossível, temos de sair dela, e é inútil tentar sair dela com a própria literatura, porque só o amor e a fé nos permitem sair de nós mesmos». [31] Será que saímos realmente de nós próprios se os sofrimentos e as alegrias dos outros não arderem no nosso coração? Prefiro lembrar-me que, como cristão, nada do que é humano me é indiferente.

38. Além disso, a literatura não é relativista porque não nos despoja de critérios de valor. A representação simbólica do bem e do mal, do verdadeiro e do falso, como dimensões que na literatura tomam a forma de existências individuais e de acontecimentos históricos coletivos, não neutraliza o juízo moral, mas impede-o de se tornar cego ou superficialmente condenatório. Pergunta-nos Jesus: «Porque reparas no argueiro que está na vista do teu irmão, e não vês a trave que está na tua vista?» (Mt 7, 3).

39. Na violência, na limitação ou na fragilidade dos outros, temos a possibilidade de refletir melhor sobre a nossa. Ao dar ao leitor uma visão alargada da riqueza e da miséria da experiência humana, a literatura educa o seu olhar para a lentidão da compreensão, para a humildade da não simplificação, para a mansidão de não pretender controlar a realidade e a condição humana através do julgamento. Este é certamente necessário, mas nunca se deve esquecer o seu alcance limitado: com efeito, jamais deve traduzir-se na sentença de morte, no cancelamento, na supressão da humanidade em prol de uma árida totalização da lei.

40. O olhar da literatura forma o leitor para o descentramento, para o sentido do limite, para a renúncia ao domínio cognitivo e crítico da experiência, ensinando-lhe uma pobreza que é fonte de extraordinária riqueza. Ao reconhecer a inutilidade e, talvez até, a impossibilidade de reduzir o mistério do mundo e do ser humano a uma polaridade antinômica de verdadeiro/falso ou de certo/errado, o leitor aceita o dever de julgar não como instrumento de domínio, mas como impulso para uma escuta incessante e como disponibilidade para se envolver nessa extraordinária riqueza da história que se deve à presença do Espírito, e também se dá como Graça, isto é, como acontecimento imprevisível e incompreensível que não depende da ação humana, mas redefine o humano enquanto esperança de salvação.

O poder espiritual da literatura

41. Com estas breves reflexões, espero ter evidenciado o papel que a literatura pode desempenhar na educação do coração e da mente do pastor ou futuro pastor, no sentido de um exercício livre e humilde da sua racionalidade, de um reconhecimento fecundo do pluralismo das linguagens, de um alargamento da sua sensibilidade humana e, finalmente, de uma grande abertura espiritual para escutar a Voz através de muitas vozes.

42. Neste sentido, a literatura ajuda o leitor a quebrar os ídolos das linguagens autorreferenciais, falsamente autossuficientes, estaticamente convencionais, que por vezes correm o risco de contaminar até o nosso discurso eclesial, aprisionando a liberdade da Palavra. A palavra literária é uma palavra que põe a linguagem em movimento, liberta-a e purifica-a; abre-a, por fim, às suas ulteriores possibilidades expressivas e exploratórias, torna-a hospitaleira à Palavra que vem habitar na palavra humana, não quando se entende a si mesma como conhecimento já pleno, definitivo e completo, mas quando se torna vigília de escuta e de espera d’Aquele que vem renovar todas as coisas (cf. Ap 21, 5).

43. A força espiritual da literatura recorda, por último, a primeira tarefa confiada por Deus ao homem: a tarefa de “dar nome” aos seres e às coisas (cf. Gn 2, 19-20). A missão de guardião da criação, atribuída por Deus a Adão, passa primeiramente pelo reconhecimento da sua própria realidade e do sentido da existência dos outros seres. Também o sacerdote está investido desta tarefa original de “dar nome”, dar sentido, fazer-se instrumento de comunhão entre a criação e a Palavra feita carne e o seu poder de iluminar todos os aspectos da condição humana.

44. A afinidade entre o sacerdote e o poeta manifesta-se assim nesta misteriosa e indissolúvel união sacramental entre a Palavra divina e a palavra humana, dando vida a um ministério que se torna serviço cheio de escuta e compaixão, a um carisma que se traduz em responsabilidade, e a uma visão do verdadeiro e do bem que se abre como beleza. Não podemos renunciar à escuta das palavras que nos deixou o poeta Paul Celan: «Quem realmente aprende a ver, aproxima-se do invisível» [32].

Dado em Roma, em São João de Latrão, no dia 17 de julho do ano 2024, décimo segundo do meu Pontificado.

FRANCISCO 


[1] R. Latourelle, «Letteratura», in R. Latourelle - R. Fisichella, Dizionario di Teologia Fondamentale (Assisi 1990), 631.

[2] Cf. A. Spadaro, «J. M. Bergoglio, il “maestrillo” creativo. Intervista all’alunno Jorge Milia», in La Civiltà Cattolica 2014 I, 523-534.

[3] Conc. Ecum. Vat. II, Const. past. sobre a Igreja no mundo contemporâneo Gaudium et spes, 62.

[4] K. Rahner, «Il futuro del libro religioso», in Nuovi Saggi II (Roma 1968), 647.

[5] Cf. Francisco, Exort. ap. Evangelii gaudium (24 de novembro de 2013), 117.

[6] A. Spadaro, Svolta di respiro. Spiritualità della vita contemporanea (Milano), 101.

[7] R. Latourelle, «Letteratura», 633.

[8] São João Paulo II, Carta aos Artistas (4 de abril de 1999), 6.

[9] Francisco, Exort. ap. Evangelii gaudium (24 de novembro de 2013), 89.

[10] Conc. Ecum. Vat. II, Const. past. sobre a Igreja no mundo contemporâneo Gaudium et spes, 22.

[11] M. Proust, À la recherche du temps perdu – Du côté de chez Swann (Paris 1914), 104-105.

[12] C.S. Lewis, Lettori e letture Un esperimento di critica (Milano 1997), 165.

[13] Cf. J.L. Borges, Oral (Buenos Aires 1979), 22.

[14] São Paulo VI, Homilia durante a Santa Missa com os Artistas (Capela Sistina, 7 de maio de 1964).

[15] T.S. Eliot, The Idea of a Christian Society (London 1946), 30.

[16] Conferência de imprensa durante o voo de regresso da Viagem Apostólica de Sua Santidade Francisco à Tailândia e ao Japão, 26 de novembro de 2019.

[17] Cf. A. Spadaro, La grazia della parola. Karl Rahner e la poesia (Milano 2006).

[18] K. Rahner, «Sacerdote e poeta», in La fede in mezzo al mondo (Alba 1963), 131-173.

[19]  Ibid., 171 s.

[20]  Ibid., 146.

[21] Santo Inácio de Loyola, Exercícios Espirituais, 317.

[22] Cf. Ibid., 335.

[23]  Ibid., 314.

[24] Cf. K. Rahner, «Sacerdote e poeta», op. cit., 141.

[25] Cf. A. Spadaro, La pagina che illumina. Scrittura creativa come esercizio spirituale (Milano 2023), 46-47.

[26] M. Proust, À la recherche du temps perdu. Le temps retrouvé (Paris 1954), Vol. III, 1041.

[27] A. Spadaro, La pagina che illumina, op. cit., 14.

[28] M. De Certeau, Il parlare angelico. Figure per una poetica della lingua (Secoli XVI e XVII) (Firenze 1989), 139 s.

[29] Cf. A. Spadaro, La pagina che illumina, op. cit., 16.

[30] C.S. Lewis, Lettori e letture, op. cit., 165.

[31] J. Cocteau - J. Maritain, Dialogo sulla fede (Firenze 1988), 56. Cf. A. Spadaro, La pagina che illumina, op. cit., 11-12.

[32] P. Celan, Microliti (Milano 2020), 101.

***


Leia mais em Para entender O Trivium, por José Monir Nasser

Leia mais em O que é educação clássica



Curta nossa página no Facebook Summa Mathematicae

Nossa página no Instagram @summamathematicae e YouTube.


A crise da Matemática moderna


RECEBA NOSSAS ATUALIZAÇÕES

DIGITE SEU EMAIL:

Verifique sua inscrição no email recebido.


Tempo de leitura: 14 minutos.

Apresentamos o Resumo, Introdução e Sumário do  livro A crise dos fundamentos da matemática: uma abordagem histórico-filosófica, de Jacintho Del Vecchio Junior, Editora Novas Edições Acadêmicas, 2017.

Resumo

Nessa obra, o autor procura oferecer uma interpretação histórico-filosófica acerca de como o desenvolvimento das ciências formais criou as condições propícias para o surgimento dos paradoxos da teoria cantoriana dos conjuntos (o cerne da crise dos fundamentos da matemática) e de como foram articuladas as tentativas de sua solução no debate que se instalou a partir de então. Todavia, a crise dos fundamentos é relevante para a história da ciência não apenas pela necessidade de superação do problema em si, mas também por outros motivos: primeiro, por ofertar a oportunidade de um embate intenso, apaixonado e esclarecedor entre os representantes das principais correntes do pensamento matemático do início do século XX; segundo, por haver influenciado profundamente o desenvolvimento da matemática contemporânea, ao viabilizar perspectivas ainda não exploradas e um indiscutível amadurecimento da disciplina; finalmente, por fazer reviver uma instigante contenda, de cunho metafísico, relativa à verdadeira natureza dos entes matemáticos e à nossa efetiva capacidade de concebê-los.

Introdução

Este livro tem por finalidade narrar alguns episódios da história da matemática e, acessoriamente, da lógica, do modo menos pretensioso e técnico possível. Ele é um mergulho em um tema pouco conhecido do grande público, mas que tem traços de uma verdadeira aventura do conhecimento humano, que se inicia quando o desenvolvimento da matemática, uma ciência pautada pela certeza e pelo rigor, acaba desaguando inesperadamente em uma série de paradoxos inaceitáveis, e que deveriam ser superados a qualquer custo.

A crise dos fundamentos da matemática ocorreu entre a última década do século XIX e a primeira vintena do século XX. O incômodo decorrente dos problemas advindos da teoria cantoriana dos conjuntos, que consistiram no cerne da crise, fomentou uma revisão dos fundamentos teóricos e filosóficos pressupostos nas bases mais essenciais da matemática, cujos frutos foram, sem dúvida, muito significativos para o seu desenvolvimento posterior.

Os caminhos trilhados para a solução dessas dificuldades, todavia, ao esbarrarem na necessidade de rever os próprios fundamentos da disciplina, impuseram a necessidade de, em alguma medida, reinventá-la. Não é casualmente, portanto, que nessa oportunidade, algumas tendências divergentes acerca de como conceber a matemática – notadamente as perspectivas conhecidas como logicismo, formalismo e intuicionismo - encontraram o momento oportuno para enfrentarem-se em acirrados e fecundos debates, seja no que diz respeito às características que devem determinar a essência da matemática, seja quanto aos pressupostos aceitos explícita ou implicitamente pela teoria.

Mas que “pressupostos” são esses? Tomemos por exemplo a definição de número. De modo geral e impreciso, podemos dizer que a matemática é a ciência dos números (o que engloba suas ordens e relações) e das grandezas. Mas em que consistem efetivamente esses números e grandezas? Essa é uma questão fundamental ao matemático, mas que não pode ser respondida estritamente nos limites de uma teoria matemática. Isso porque qualquer resposta minimamente satisfatória que possamos ensaiar para essa pergunta extrapola a teoria propriamente dita. Tomado como uma noção essencial – que podemos denominar como um axioma, uma definição, uma intuição originária - a ideia de número traz em seu bojo algumas armadilhas bem conhecidas. Euclides, por exemplo, no livro VII dos Elementos, define número como conjunto de unidades, e unidade como aquilo pelo que coisas que existem são chamadas “um”. Define-se, então, a unidade pela noção de unidade. A questão que se impõe a partir daí, é a seguinte: uma definição dessa natureza é aceitável? Note-se quão longe da boa e velha matemática uma questão dessa natureza pode nos levar. Por isso, mesmo que de maneira implícita ou velada, não podemos ignorar a existência de um debate no que tange às crenças que lastreiam o conhecimento matemático, e que são determinantes para o modo como o construímos.

A discussão relativa à natureza dos números pode ser generalizada como o problema da natureza dos objetos matemáticos. De início, ela pode parecer uma questão dispensável ou mesmo tola, uma elucubração sem resultados importantes. Longe disso. Na realidade, ela é muito mais importante do que parece à primeira vista. Sua importância decorre do fato de que as teorias matemáticas não estão dissociadas das crenças dessa natureza que a ela são subjacentes. O chamado platonismo matemático, por exemplo,  é  um  posicionamento  que  defende  a  tese  da  realidade independente dos números. Ele tem um caráter declaradamente metafísico, e consiste na forma mais exacerbada do realismo matemático. Tornemo-nos realistas matemáticos por um minuto; seremos, então, obrigados a reconhecer que, se números existem como entes independentes, a matemática não é inventada, ela é descoberta, ao traduzir uma realidade exterior, que já existe per se, o que obviamente traz consequências em relação ao modo, aos artifícios e métodos a partir dos quais é possível construir nossa ciência.

O problema relativo a adotar ou não uma postura realista no que tange aos entes matemáticos ganha importância principalmente porque determinadas teses e princípios só podem ser defendidos na matemática de modo não problemático se assumirmos uma concepção dessa natureza. Aceitar, ao contrário, que números são simples criações do intelecto humano – a principal vertente das perspectivas antirrealistas - leva-nos a algumas restrições importantes no que diz respeito a como tratar com eles.

Logo, se existe um “universo” dos seres matemáticos (a base original da tese realista), um enunciado matemático, para ser verdadeiro, deve corresponder ao que esses seres matemáticos são. Caso nossa perspectiva seja antirrealista – ou seja, parta da defesa dos objetos matemáticos como produtos de nosso pensamento, sejam eles conceitos, nomes, símbolos ou ficções – as exigências para que um enunciado matemático seja verdadeiro são outras. Daí deriva a relevância da adoção de uma postura em relação a essa metafísica que suporta a matemática. Podemos adiantar que ambas as perspectivas (o realismo e o antirrealismo matemáticos) têm suas virtudes, assim como seus problemas não resolvidos.

O enfrentamento desses pontos de vista encontra um momento privilegiado no período em que surgem os paradoxos da teoria dos conjuntos, como já indicamos, sobretudo porque uma teoria simples como a de Cantor supostamente só poderia levar a paradoxos se envolvesse problemas relativos a seus fundamentos. As respostas elaboradas pelos autores envolvidos nessa polêmica acabam por adotar, portanto, um caráter normativo: alguns conceitos fundamentais para a teoria são colocados em discussão, e as soluções apontadas iriam naturalmente nortear uma espécie de reelaboração da disciplina.

Esse processo de reelaboração toca, por exemplo, a concepção de rigor. É inegável que a matemática sempre se caracterizou pelo rigor de suas proposições, e que isso é um traço marcante de sua natureza. Rigor, em termos grosseiros, pode ser associado à exatidão de seus objetos, de suas operações e, consequentemente, dos resultados que propicia, seja na aritmética, seja na geometria. Essa perfeição ideal dos elementos da matemática e de suas regras de operação é o que inspira, por exemplo, Descartes a eleger a matemática como modelo de exatidão para a ciência em geral, por coincidir “mais perfeitamente”, por assim dizer, com as demandas da própria razão humana para a constituição do saber em geral.

A perfeição traduzida pelo rigor matemático é fomentada, em grande parte, pelo caráter abstrato dos elementos que compõem a disciplina. “1” simboliza, na aritmética, a noção primitiva de unidade que, em si, é isenta de conteúdo. Com base nela são construídas, por meio de definições e demonstrações muito precisas, as outras grandezas numéricas, e as próprias séries numéricas, sempre com um caráter fortemente abstrato. A construções geométricas, por sua vez, constituem o grande exemplo do rigor matemático na Antiguidade, e partem também de noções gerais e axiomas que não remetem a objetos particulares, mas sempre objetos abstratos: propriedades são demonstradas para triângulos em geral – a soma de seus ângulos internos, por exemplo. Logo, seja na aritmética, seja na geometria, apenas o caráter abstrato dos objetos matemáticos possibilita a validade universal de suas proposições.

Mas o que torna a discussão particularmente interessante é o fato de que os próprios conceitos de rigor e de abstração não podem ser entendidos como categorias atemporais, irretocáveis. O rigor, por exemplo, caminha da evidência intuitiva à prova lógica entre os séculos XVII e XIX, o que envolve a derrocada da importância da intuição na matemática. Tudo isso converge para o delineamento de um painel conceitualmente rico e instigante, visto poucas vezes na história das ciências formais.

Na primeira parte do livro, portanto, procuramos apresentar os principais fatores que levaram à crise dos fundamentos da matemática, tomando por base de argumentação o advento das geometrias não euclidianas, a ascensão do rigor matemático enquanto prova lógica e a criação da lógica matemática, circunstâncias que, em maior ou menor grau, cristalizaram o cenário teórico a partir do qual Georg Cantor introduz sua teoria dos conjuntos, e de onde provêm seus paradoxos. A segunda parte apresenta os principais argumentos do logicismo, do formalismo e do intuicionismo, as correntes do pensamento matemático que foram decisivas para a superação dos paradoxos, principalmente com o foco no debate travado entre elas e no modo como esse debate reverbera o problema da metafisica subjacente à teoria.
Um desafio claro para a elaboração de um livro que pode despertar a atenção tanto de técnicos quanto de leigos é a forma de apresentação de seus temas. Optou-se aqui por abordar a crise dos fundamentos da matemática e sua solução da maneira mais simples possível. O emprego da simbologia lógico-matemática será evitado ao máximo, em nome da simplicidade da leitura. Referências mais detalhadas e precisas foram alocadas nas notas explicativas. Assim, o livro não tem a pretensão de oferecer um retrato meticuloso de todos os meandros que envolvem essa história, mas apenas de seus momentos mais relevantes. O desenvolvimento da lógica matemática, do processo de instalação do rigor na análise ou da solução dos paradoxos, por exemplo, não se prestam, a rigor, a uma abordagem direta e linear, como a apresentada no livro; ao contrário, elas são temáticas complexas, ramificadas, cheia de idas e vindas, mas o preço de ser justo e absolutamente preciso para com todos os nomes e momentos que as compõem faria com que a obra perdesse substancialmente o caráter introdutório que a caracteriza. Portanto, é só uma forma peculiar, dentre várias possíveis, de contar essa história tão rica, multifacetada e instigante.

Sumário

Introdução 9

Primeira Parte - O caminho dos paradoxos 15

1 A revolução não euclidiana 17

2 A ascensão do rigor matemático 35
2.1 O cálculo e o problema dos infinitesimais 35
2.2 A análise: entre rigor demonstrativo e intuição 43

3 Uma nova inspiração para a lógica 55
3.1 A lógica aristotélica 55
3.2 O advento de um novo paradigma 63

4 O legado de Cantor 79

Segunda Parte - A polêmica e a solução da crise 97

5 Logicismo, formalismo e intuicionismo 99
5.1 O logicismo 101
5.1.1 Frege e o conceito de número 102
5.1.2 O percurso de Russell 105
5.2 O formalismo 114
5.2.1 O esboço da teoria axiomática 115
5.2.2 A teoria da prova e a metamatemática 123
5.3 A matemática em construção: o intuicionismo 127
 
6 Uma metafísica para a matemática 147
6.1 A retomada de uma questão antiga 147
6.2 O realismo e os entes matemáticos 152
6.3 O antirrealismo: nomes e definições 161
6.4 As consequências do posicionamento metafísico 171

7 Os debates acerca dos paradoxos e as soluções propostas 177
7.1 A primeira fase – 1905 a 1912 180
7.1.1 O papel da intuição 180
7.1.2 O conceito de infinito 184
7.1.3 O princípio de indução completa 190
7.1.4 O círculo vicioso e a “boa” predicação 196
7.1.5 O axioma da escolha e a axiomatização completa 199
7.2 A segunda fase – 1923-1931 204
7.2.1 O programa de Hilbert versus o intuicionismo de Brouwer 204
7.2.2 Os teoremas da incompletude e o programa de Hilbert 209

8 Um desfecho modesto 221

Bibliografia 229

Índice de termos 238

Índice de autores 243

Sobre o autor: Jacintho Del Vecchio Junior é Bacharel, mestre e doutor em filosofia pela Universidade de São Paulo. Realizou estudos pós-doutorais no Laboratoire d'Histoire et de Philosophie des Sciences - Archives Henri Poincaré, entidade junto à qual é pesquisador associado. É também menbro do Conselho Estadual de Educação de São Paulo.

***

Leia mais em Sobre a Realidade das Matemáticas

Leia mais em A Matemática leva a Deus: Euclides, Hilbert e o futuro da Matemática



Curta nossa página no Facebook Summa Mathematicae

Nossa página no Instagram @summamathematicae e YouTube.


 


Total de visualizações de página