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Sobre o blog Summa Mathematicae

Este é um blog sobre Matemática em geral, com ênfase no período clássico-medieval, também sobre as Artes liberais (Trivium e Quadrivium), so...

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Opúsculo sobre o modo de aprender e de meditar - Hugo de São Vitor (1096 - 1141)

A humildade é necessária ao que deseja aprender.

A humildade é o princípio do aprendizado, e sobre ela, muita coisa tendo sido escrita, as três seguintes, de modo principal, dizem respeito ao estudante.

A primeira é que não tenha como vil nenhuma ciência e nenhuma escritura.

A segunda é que não se envergonhe de aprender de ninguém.

A terceira é que, quando tiver alcançado a ciência, não despreze aos demais.

Muitos se enganaram por quererem parecer sábios antes do tempo, pois com isto envergonharam-se de aprender dos demais o que ignoravam. Tu, porém meu filho, aprende de todos de boa vontade aquilo que desconheces. Serás mais sábio do que todos, se quiseres aprender de todos. Nenhuma ciência, portanto, tenhas como vil, porque toda ciência é boa. Nenhuma Escritura, ou pelo menos, nenhuma Lei desprezes, se estiver à disposição. Se nada lucrares, também nada terás perdido. Diz, de fato, o Apóstolo:

"Omnia legentes, quae bona sunt tenentes". (I Tess. 5, 21)

O bom estudante deve ser humilde e manso, inteiramente alheio aos cuidados do mundo e às tentações dos prazeres, e solícito em aprender de boa vontade de todos. Nunca presuma de sua ciência; não queira parecer douto, mas sê-lo; busque os ditos dos sábios, e procure ardentemente ter sempre os seus vultos diante dos olhos da mente, como um espelho.

Três coisas necessárias ao estudante.

Três coisas são necessárias ao estudante: a natureza, o exercício e a disciplina.

Na natureza, que facilmente perceba o que foi ouvido e firmemente retenha o percebido.

No exercício, que cultive o senso natural pelo trabalho e diligência.

Na disciplina, que vivendo louvavelmente, componha os costumes com a ciência.

Prime pelo engenho e pela memória.

Os que se dedicam ao estudo devem primar simultaneamente pelo engenho e pela memória, ambos os quais em todo estudo estão de tal modo unidos entre si que, faltando um, o outro não poderá conduzir ninguém à perfeição, assim como de nada aproveitam os lucros onde faltam os vigilantes, e em vão se fortificam os tesouros quando não se tem o que neles guardar.

O engenho é um certo vigor naturalmente existente na alma, importante em si mesmo.

A memória é a firmíssima percepção das coisas, das palavras, das sentenças e dos significados por parte da alma ou da mente.

O que o engenho encontra, a memória custodia.

O engenho provém da natureza, é auxiliado pelo uso, é embotado pelo trabalho imoderado e aguçado pelo exercício moderado.

A memória é principalmente ajudada e fortificada pelo exercício de reter e de meditar assiduamente.

A leitura e a meditação.

Duas coisas há que exercitam o engenho: a leitura e a meditação.

Na leitura, mediante regras e preceitos, somos instruídos pelas coisas que estão escritas. A leitura é também uma investigação do sentido por uma alma disciplinada.

Há três gêneros de leitura: a do docente, a do discípulo e a do que examina por si mesmo. Dizemos, de fato: "Leio o livro para o discípulo", "leio o livro pelo mestre", ou simplesmente "leio o livro".

A meditação.

A meditação é uma cogitação frequente com conselho, que investiga prudentemente a causa e a origem, o modo e a utilidade de cada coisa.

A meditação toma o seu princípio da leitura, todavia não se realiza por nenhuma das regras ou dos preceitos da leitura. Na meditação, de fato, nos deleitamos discorrendo como que por um espaço aberto, no qual dirigimos a vista para a verdade a ser contemplada, admirando ora esta, ora aquelas causas das coisas, ora também penetrando no que nelas há de profundo, nada deixando de duvidoso ou de obscuro.

O princípio da doutrina, portanto, está na leitura; a sua consumação, na meditação.

Quem aprender a amá-la com familiaridade e a ela se dedicar frequentemente tornará a vida imensamente agradável e terá na tribulação a maior das consolações. A meditação é o que mais do que todas as coisas segrega a alma do estrépito dos atos terrenos; pela doçura de sua tranquilidade já nesta vida nos oferece de algum modo um gosto antecipado da eterna; fazendo-nos buscar e inteligir, pelas coisas que foram feitas, àquele que as fez, ensina a alma pela ciência e a aprofunda na alegria, fazendo com que nela encontre o maior dos deleites.

Três gêneros de meditação.

Três são os gêneros de meditação. O primeiro consiste no exame dos costumes, o segundo na indagação dos mandamentos, o terceiro na investigação das obras divinas.

Nos costumes a meditação examina os vícios e as virtudes. Nos mandamentos divinos, os que preceituam, os que prometem, os que ameaçam.

Nas obras de Deus, as em que Ele cria pela potência, as em que modera pela sabedoria, as em que coopera pela graça, as quais todas tanto mais alguém conhecerá o quanto sejam dignas de admiração quanto mais atentamente tiver se habituado em meditar as maravilhas de Deus.

Do confiar à memória aquilo que aprendemos.

A memória custodia, recolhendo-as, as coisas que o engenho investiga e encontra.

Importa que as coisas que dividimos ao aprender as recolhamos confiando-as à memória: recolher é reduzir a uma certa breve e suscinta suma as coisas das quais mais extensamente se escreveu ou se disputou, o que foi chamado pelos antigos de epílogo, isto é, uma breve recapitulação do que foi dito.

A memória do homem se regozija na brevidade, e se se divide em muitas coisas, torna-se menor em cada uma delas.

Devemos, portanto, em todo estudo ou doutrina recolher algo certo e breve, que guardemos na arca da memória, de onde posteriormente, sendo necessário, as possamos retirar. Será também necessário revolvê-las frequentemente chamando-as, para que não envelheçam pela longa interrupção, do ventre da memória ao paladar.

As três visões da alma racional. Diferença entre meditação e contemplação.

Três são as visões da alma racional: o pensamento, a meditação e a contemplação.

O pensamento ocorre quando a mente é tocada transitoriamente pela noção das coisas, quando a própria coisa se apresenta subitamente à alma pela sua imagem, seja entrando pelo sentido, seja surgindo da memória.

A meditação é um assíduo e sagaz reconduzir do pensamento em que nos esforçamos por explicar algo obscuro ou procuramos penetrar no que é oculto.

A contemplação é uma visão livre e perspicaz da alma de coisas amplamente esparsas.

Entre a meditação e a contemplação o que parece ser relevante é que a meditação é sempre das coisas ocultas à nossa inteligência; a contemplação, porém é de coisas que segundo a sua natureza ou segundo a nossa capacidade são manifestas; e que a meditação sempre se ocupa em buscar alguma coisa única, enquanto que a contemplação se estende à compreensão de muitas ou também de todas as coisas.

A meditação é, portanto, um certo vagar curioso da mente, um investigar sagaz do obscuro, um desatar do que é intrincado. A contemplação é aquela vivacidade da inteligência que, possuindo todas as coisas, as abarca em uma visão plenamente manifesta, e isto de tal maneira que aquilo que a meditação busca, a contemplação possui.

Dois gêneros de contemplação.

Há, porém, dois gêneros de contemplação. Um deles, que é o primeiro e que pertence aos principiantes, consiste na consideração das criaturas. O outro, que é o último e que pertence aos perfeitos, consiste na contemplação do Criador.

No livro dos Provérbios, Salomão principiou como que meditando; no Eclesiastes elevou-se ao primeiro grau da contemplação; finalmente, no Cântico dos Cânticos transportou-se ao supremo.

Para que, portanto, possamos distinguir estas três coisas pelos seus próprios nomes, diremos que a primeira é meditação; a segunda, especulação; a terceira, contemplação.

Na meditação a perturbação das paixões carnais, surgindo importunamente, obscurece a mente inflamada por uma piedosa devoção; na especulação a novidade da insólita visão a levanta à admiração; na contemplação o gosto de uma extraordinária doçura a transforma toda em alegria e contentamento.

Portanto, na meditação temos solicitude; na especulação, admiração; na contemplação, doçura.

Três partes da exposição.

A exposição contém três partes: a letra, o sentido e a sentença. A letra é a correta ordenação das palavras, a qual também chamamos de construção. O sentido é um delineamento simples e adequado que a letra tem diante de si como um primeiro semblante. A sentença é uma mais profunda inteligência, a qual não pode ser encontrada senão pela exposição ou interpretação. Para que uma exposição se torne perfeita requerem-se, nesta ordem, primeiro a letra, depois o sentido e posteriormente a sentença.

Os três gêneros de vaidades.

Três são os gêneros de vaidades. O primeiro é a vaidade da mutabilidade, que está em todas as coisas caducas por sua condição. O segundo é a vaidade da curiosidade ou da cobiça, que está na mente dos homens pelo amor desordenado das coisas transitórias e vãs. O terceiro é a vaidade da mortalidade, que está nos corpos humanos pela penalidade.

As obrigações da eloquência.

Disse Agostinho, famoso por sua eloquência, e o disse com verdade, que o homem eloquente deve aprender a falar de tal modo que ensine, que deleite e que submeta. A isto acrescentou que o ensinar pertence à necessidade, o deleitar à suavidade e o submeter à vitória.

Destas três coisas, a que foi colocada em primeiro lugar, isto é, a necessidade de ensinar, é constituída pelas coisas que dizemos, as outras duas pelo modo como as dizemos.

Quem, portanto, se esforça no falar em persuadir o que é bom, não despreze nenhuma destas coisas: ensine, deleite e submeta, orando e agindo para que seja ouvido inteligentemente, de boa vontade e obedientemente. Se assim o fizer, ainda que o assentimento do ouvinte não o siga, se o fizer apropriada e convenientemente, não sem mérito poderá ser dito eloquente.

O mesmo Agostinho parece ter querido que ao ensino, ao deleite e à submissão também pertençam outras três coisas, ao dizer, de modo semelhante:

"Será eloquente aquele que puder dizer o pequeno com humildade, o moderado com moderação, o grande com elevação".

Quem deseja conhecer e ensinar aprenda, portanto, quanto há para se ensinar e adquira a faculdade de dizê-las como convém a um homem de Igreja. Quem, na verdade, querendo ensinar, às vezes não é entendido, não julgue ainda ter dito o que deseja àquele a quem quer ensinar, porque, mesmo que tenha dito o que ele próprio entendeu, ainda não foi considerado como tendo-o dito àquele por quem não foi entendido. Se, porém, foi entendido, de qualquer modo que o tenha dito, o disse.

Deve, portanto, o doutor das divinas Escrituras ser defensor da reta fé, debelador do erro, e ensinar o bem; e neste trabalho de pregação conciliar os adversos, levantar os indolentes, declarar aos ignorantes o que devem agir e o que devem esperar. Onde tiver encontrado, ou ele próprio os tiver feito, homens benévolos, atentos e dóceis, há de completar o restante conforme a causa o exija. Se os que ouvem devem ser ensinados, seja-o feito por meio de narração; se, todavia, necessitar que aquilo de que trata seja claramente conhecido, para que as coisas que são duvidosas se tornem certas, raciocine através dos documentos utilizados.

Fonte: http://www.cristianismo.org.br/pfp-03.htm


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Como ler livros de Matemática, segundo Mortimer J. Adler

Capa do livro
O livro da Matemática
Globo Livros
Muitas pessoas têm medo de matemática e acham que jamais conseguirão ler textos relacionados a ela. Ninguém sabe direito por que isso acontece. Alguns psicólogos supõem que exista uma espécie de "cegueira para símbolos" - a incapacidade de deixar de lado a dependência em relação ao concreto e seguir uma alternância controlada de símbolos. Isso pode até conter alguma verdade, mas é preciso recordar que as palavras também se alternam, e que suas alternâncias, mais ou menos não controladas, são talvez ainda mais difíceis de acompanhar. Outros creem que o problema esteja no ensino da matemática. Se for isso, podemos ficar felizes por saber que atualmente há muitas pesquisas dedicadas à questão de como ensiná-la melhor.

    O problema é parcialmente este: não nos dizem, ou não nos dizem cedo o bastante para que entre em nossa cabeça, que a matemática é uma linguagem e que podemos aprendê-la como qualquer outra, inclusive a nossa própria. Temos de aprender nossa língua duas vezes: primeiro quando aprendemos a falar, depois quando aprendemos a ler. Felizmente, a matemática só tem de ser aprendida uma vez, já que é uma língua quase que totalmente escrita.

    Como já observamos, o aprendizado de uma nova língua sempre nos coloca diante de problemas de leitura elementar. Quando nos ensinaram a ler no ensino básico, o problema com que deparávamos era reconhecer certos símbolos arbitrários quando eles apareciam numa página e memorizar certas relações entre esses símbolos. Mesmo os melhores leitores continuam a ler, ao menos ocasionalmente, no nível elementar: por exemplo, sempre que esbarramos numa palavra que desconhecemos e temos de buscá-la no dicionário. Se ficamos confusos com a sintaxe de um período, também voltamos ao nível elementar. Somente quando esses problemas estão resolvidos é que podemos passar para a leitura em níveis mais elevados.

    Como a matemática é uma linguagem, ela tem seu próprio vocabulário, sua gramática e sua sintaxe, os quais devem ser aprendidos pelo leitor iniciante. Certos símbolos e relações entre símbolos têm de ser memorizados. O problema é diferente, porque a linguagem é diferente, mas não é mais difícil, teoricamente, do que aprender a ler inglês, francês ou alemão. No nível elementar, pode até ser mais fácil.

    Toda linguagem é um meio de comunicação entre os homens, sobre assuntos que os comunicadores conseguem compreender mutuamente. Os assuntos do discurso comum são sobretudo fatos e relações emocionais. Esses assuntos não são inteiramente compreensíveis por quaisquer duas pessoas diferentes, mas duas pessoas diferentes podem compreender uma terceira coisa que está fora e emocionalmente separada de ambas, como um circuito elétrico, um triângulo isósceles ou um silogismo. É sobretudo quando atribuímos conotações emocionais a essas coisas que temos dificuldade em entendê-las . A matemática nos permite evitar isso . Não há conotações emocionais nos termos, proposições e conotações matemáticas quando são devidamente usados.

    Também não nos dizem, ao menos não tão cedo quanto deviam, como a matemática pode ser bela e intelectualmente satisfatória. Talvez não seja tarde demais para perceber isso, desde que haja disposição para certo esforço. Pode-se começar com Elementos de Geometria, de Euclides, uma das obras mais belas e lúcidas já escritas, em qualquer gênero.

    Consideremos, por exemplo, as primeiras cinco proposições do Livro I dos Elementos. (Se houver à mão um exemplar desse livro, vale a pena dar uma olhada.) As proposições da geometria elementar são de dois tipos: (1) a formulação de problemas na construção de figuras; e (2) teoremas a respeito das relações entre as figuras ou entre suas partes . Os problemas de construção exigem que se faça algo, os teoremas exigem que se prove algo. Ao final de um problema euclidiano de construção, você encontrará as letras Q.E.F., que significam quod erat faciendum, "o que se devia fazer" . Ao final de um teorema euclidiano, você encontrará as letras Q.E.D., que significam quod erat demonstrandum, "o que se devia demonstrar " .

    As primeiras três proposições do Livro I dos Elementos são todas problemas de construção . Por quê? Uma resposta é que as construções são necessárias para as provas dos teoremas. Isso não fica claro nas quatro primeiras proposições, mas já pode ser visto a partir da quinta, que é um teorema. Ela diz que, num triângulo isósceles (um triângulo com dois lados iguais), os ângulos da base são iguais. Isso requer o uso da Proposição 3, que diz que uma linha menor é uma parte de uma linha maior. Como a Proposição 3, por sua vez, depende do uso da construção que há na Proposição 2, e a Proposição 2 depende da Proposição 1, vemos que essas três construções são necessárias para a Proposição 5.

    Também podemos interpretar as construções como instrumentos que servem a outro propósito. Elas têm uma semelhança óbvia com os postulados; tanto as construções quanto os postulados afirmam a possibilidade de realizar operações geométricas. No caso dos postulados, a possibilidade é pressuposta; no das proposições, provada. A prova, é claro, envolve o uso de postulados. Assim, podemos perguntar, por exemplo, se existe mesmo o tal do triângulo equilátero definido na Definição 20. Sem nos preocuparmos aqui com a espinhosa questão da existência dos objetos matemáticos, podemos ver que a Proposição 1 mostra que, a partir do pressuposto de que existem linhas retas e círculos, segue-se que existem triângulos equiláteros.

    Retornemos à Proposição 5, o teorema a respeito da igualdade dos ângulos da base de um triângulo isósceles. Quando se chega à conclusão, após uma série de passos que se referem a proposições anteriores e aos postulados, a proposição está provada. Assim, ficou demonstrado que se algo é verdadeiro (no caso, a hipótese de que um triângulo isósceles existe), então algo mais também é verdadeiro, isto é, a conclusão. A proposição afirma uma relação se-então. Ela não afirma a verdade da hipótese nem afirma a verdade da conclusão, exceto quando a hipótese é verdadeira. Essa conexão entre a hipótese e a conclusão também não é considerada verdadeira enquanto a proposição não for provada. É exatamente a veracidade dessa conexão que é provada, e nada mais.

    Será exagerado dizer que isso é belo? Achamos que não. O que temos aqui é uma exposição verdadeiramente lógica de um problema verdadeiramente limitado. Há algo muito atraente tanto na clareza da exposição quanto na natureza limitada do problema. O discurso comum, ou mesmo um discurso filosófico excelente, tem dificuldades para limitar desse modo seus problemas . E o uso da lógica em problemas filosóficos quase nunca é tão claro quanto aqui.

    Considere a diferença entre o argumento da Proposição 5, como exposto aqui, e o mais simples dos silogismos:

Todos os animais são mortais.

Todos os homens são animais.

Logo, todos os homens são mortais.

    Nele também há algo satisfatório. Podemos tratá-lo como se fosse um raciocínio matemático. Pressupondo que animais e homens existam, e que os animais sejam mortais, daí se segue uma conclusão que oferece a mesma certeza que aquela sobre os ângulos de um triângulo; estamos pressupondo algo sobre coisas reais, algo que pode ou não ser verdade. É preciso que examinemos nossos pressupostos, de um modo diferente de como os examinamos na matemática. Isso não prejudica a proposição de Euclides. Não lhe interessa se os triângulos isósceles existem. Se existem, diz, e se são definidos assim e assado, então segue-se absolutamente que seus ângulos de base são iguais. Não pode haver qualquer dúvida a respeito disso, agora e para sempre.

Trecho extraído do livro "Como Ler Livros - O guia clássico para a leitura inteligente" de Mortimer J. Adler & Charles Van Doren. Editora É Realizações 2010. Pág. 268-271.


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Filosofia Tomista da Matemática - por Deividi Pansera

Santo Tomás de Aquino
1476, Carlo Crivelli
 The National Gallery, London

Os escolásticos costumavam diferenciar entre dois tipos de entes. "Entia realia", entes reais, e "entia rationis", entes da razão. Os tomistas, em geral, concordam que os entes da matemática não são puramente entes da razão, puramente mentais, mas abstrações da forma do acidente da quantidade. E, mais ainda, concordam que existe um caráter de realidade e irrealidade neles.

João de São Tomás disse que os entes matemáticos "não são puramente entes da razão nem puramente entes reais, mas compartilham atributos dos dois". 

Afinal, os entes da matemática, possuem um fundamento na realidade ou existe uma "realidade matemática"?

Sto. Tomás, nos comentários às sentenças de Pedro Lombardo, parece resolver essas questões. Lá, ao tecer alguns comentários sobre os atributos divinos, ele faz uma distinção da relação dos conceitos com a realidade.

Primeiro, existem alguns conceitos que possuem uma conexão imediata com a realidade extramental, como o conceito de "homem", "cachorro" etc. Segundo, alguns conceitos podem não possuir uma semelhança com alguma realidade extramental, mas a mente só pode concebê-los como uma consequência da estrutura do modo de conhecer aquilo que é extramental. Ou seja, eles possuem apenas um fundamento remoto na realidade e sua base imediata é uma atividade da própria mente. Por exemplo, o gênero, como animal. Nada extramental corresponde a esse conceito, mas pelo fato de existirem várias espécies de animais, a mente atribui a animal a noção de gênero. E em terceiro, existem os conceitos que não possuem conexão remota e nem imediata com a realidade (Quimera).

Uma filosofia tomista da matemática poderia assumir que os entes da matemática, concebidos por meio da "astractio mathematicorum", são entes que a mente não descobre na realidade extramental, mas os concebe como consequência de conhecer a realidade. Isto é, são os segundos tipos de conceitos. Existe um fundamento na realidade, mas a formação do conceito vem da mente.

Nessa filosofia tomista da matemática, diversas perguntas surgem. Entre elas, existe algum sentido em que os entes da matemática são verdadeiros? Todos os entes da matemática moderna caem nessa categoria?

por Deividi Pansera

Fonte: https://www.instagram.com/p/CIVzmFWpzhq/?img_index=1


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S. Isidoro, Bispo de Sevilha e Doutor da Igreja


"Deus não fez todas as coisas do nada: algumas foram baseadas em alguma coisa e outras do nada. Deus criou o mundo do nada, como também os anjos e as almas". Pode causar estupor que um Bispo, que viveu entre os séculos VI e VII e escreveu obras em latim, seja proposto como o padroeiro da Internet. Foi o que aconteceu durante o pontificado de São João Paulo II. Embora tenha faltado uma sua proclamação oficial, foi um grande reconhecimento atribuído a um dos mais prolíficos Doutores da Igreja de todos os tempos.


Quando a santidade é "de casa"

Isidoro nasceu em uma família proveniente de Cartagena, mas logo se tornou órfão de pai. Cresceu e foi criado por seu irmão mais velho, Leandro - que o precedeu na cátedra de Sevilha - junto com outro irmão e uma irmã, que também se tornaram religiosos e, depois, venerados como Santos pela Igreja. Isto é suficiente para determinar a natureza extraordinária desta família.

Uma lenda conta que, quando o pequeno Isidoro tinha apenas um mês de vida, um enxame de abelhas voou sobre seu berço e depositou, em seus lábios, um pouco de mel: um presságio de um doce e substancial ensinamento, que, um dia, teria jorrado dos seus lábios, além da sua pena.

Não obstante, no início, Isidoro demonstrou ser um estudante preguiçoso e pouco zeloso, que, às vezes, matava aulas. Até que, quase como uma fulguração, entendeu que a constância e a boa vontade podem levar um homem bem longe.


Um episcopado de 36 anos

Ao ler as obras de Santo Agostinho e São Gregório Magno, Isidoro tornou-se o homem mais instruído da sua época e, ao mesmo tempo, também um dos Bispos mais populares e amados.

Quando seu amado irmão, Leandro, faleceu, Isidoro, que já era clérigo em Sevilha, o sucedeu no episcopado.

Ele trabalhou, arduamente, por 36 anos, difundindo a doutrina, contra as heresias do seu tempo - como o Arianismo, convertendo os Visigodos, a ponto de até presidir o Concílio de Toledo, em 633.

Santo Isidoro deu grande importância à liturgia, encorajando o uso de hinos, cantos e orações, que constituíam o rito moçárabe, também chamado "Isidoriano".

Defensor convicto da necessidade de os candidatos ao sacerdócio serem bem preparados e instruídos, fundou o primeiro Colégio, prelúdio dos Seminários modernos. Tudo isso, sem descuidar das práticas de piedade, a oração, a penitência e a meditação, em qualquer momento do dia.


A sabedoria humana

Na linguagem comum, costuma-se usar a hipérbole "toda a sabedoria humana", para indicar um conhecimento exagerado, que ninguém pode entender. Mas, Isidoro consegue: escreveu muito, de tudo e sobre tudo, porque a sua curiosidade era imensa e inesgotável; a sua mente era preparada para analisar e compreender os temas mais diversos.

Com efeito, a sua obra mais famosa é intitulada Etimologias, um verdadeiro compêndio do seu conhecimento contemporâneo, considerada a primeira enciclopédia da história: era dividida em 20 volumes, separada por partes e segundo o assunto, como gramática, retórica, dialética, matemática, música, medicina, agricultura, astronomia, línguas ou teologia.

Outras obras suas foram também os Comentários sobre os livros históricos do Antigo Testamento. 



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DICAS E SUGESTÕES PARA ESTUDAR SOZINHO (Para alunos do ensino fundamental e médio)

Pintura a óleo de Kierkegaard, de Luplau Janssen 1902.
- Crie um cronograma de horários para todas as suas atividades cotidianas;

- Crie e acostume-se com a rotina de estudos e seja constante;

- Procure um local silencioso para estudar;

- Não estude pouco e nem exageradamente;

- Acorde cedo, durma cedo;

- Faça pausas para relaxar e descansar;

- Evite as redes sociais. (Se for realmente necessário usá-las, coloque um horário no cronograma na parte de lazer);

- Evite distrações e informações inúteis;

- Não se limite aos conteúdos estudados em sala de aula, aprofunde-se no conhecimento. Isso eleva o intelecto.

DICAS E SUGESTÕES PARA ESTUDAR MATEMÁTICA SOZINHO

- Releia ou revise o material estudado, refazendo o passo-a-passo dos cálculos;

- Refaça os cálculos tentando entender os detalhes;

- Comece resolvendo os exercícios fáceis, depois os médios e por fim os exercícios difíceis;

- Raciocínio lógico, interpretação de texto e uma boa memória ajudam bastante no aprendizado em Matemática;

- Faz-se bastante necessário o uso e domínio dos símbolos matemáticos;

- Matemática é cumulativa e gradativa. Muitos conteúdos dependem de assuntos de séries anteriores, por isso esteja disposto a estudá-los também, caso seja necessário.

Observação:

⋆ No início pode ser difícil, mas com esforço e determinação você pode adquirir uma rotina de estudos.

⋆⋆ O assunto não precisa ser "legal" ou "divertido" para ser estudado, mas será o amor pelo conhecimento e desejo de descobrir a verdade das coisas que deve motivar aquele que estuda.

Prof. Marcos Alves


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