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Prefácio à Primeira Tiragem
Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios, experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca na mente e no caráter.
Um professor de Matemática tem, assim, uma grande oportunidade. Se ele preenche o tempo que lhe é concedido a exercitar seus alunos em operações rotineiras, aniquila o interesse e tolhe o desenvolvimento intelectual dos estudantes, desperdiçando, dessa maneira, a sua oportunidade. Mas se ele desafia a curiosidade dos alunos, apresentando-lhes problemas compatíveis com os conhecimentos destes e auxiliando-os por meio de indagações estimulantes, poderá incutir-lhes o gosto pelo raciocínio independente e proporcionar-lhes certos meios para alcançar este objetivo.
Um estudante cujo curso inclui Matemática tem, também, uma oportunidade única, que ficará evidentemente perdida se ele considerar esta matéria como uma disciplina com que precisa obter tantos créditos e a qual deverá esquecer, o mais rápido possível, assim que passar pelas provas finais. A oportunidade pode ser desperdiçada até mesmo se o estudante tiver algum talento natural para a Matemática, pois ele, como todos os outros, precisa descobrir seus talentos e seus gostos: ninguém poderá saber se gosta de torta de maçã se nunca a houver provado. É possível, porém, que chegue a perceber que um problema de Matemática pode ser tão divertido quanto um jogo de palavras cruzadas, ou que o intenso trabalho mental pode ser um exercício tão agradável quanto uma animada partida de tênis. Tendo experimentado prazer no estudo da Matemática, ele não a esquecerá facilmente e haverá, então, uma boa probabilidade de que ela se torne alguma coisa mais: um hobby, um instrumento profissional, a própria profissão ou uma grande ambição.
O autor recorda-se do seu tempo de estudante, um aluno um pouco ambicioso, ávido por compreender alguma coisa de Matemática e de Física. Ele assistia às aulas, lia livros, tentava assimilar as resoluções e os fatos que lhe eram apresentados, mas havia uma questão que o perturbava repetidamente: "Sim, a resolução parece que funciona, que está certa, mas como seria possível inventar, eu próprio, essas coisas?" Hoje o autor ensina Matemática numa universidade. Pensa, ou espera, que alguns dos seus alunos mais interessados façam perguntas semelhantes e procura satisfazer a curiosidade deles. Na tentativa de compreender, não só como se resolve este ou aquele problema, mas também as motivações e procedimentos da resolução, e procurando explicar a outros essas motivações e esses procedimentos, ele foi afinal levado a escrever o presente livro. O autor tem a esperança de que este venha a ser útil a professores que desejem desenvolver nos seus alunos a capacidade de resolver problemas e a estudantes que realmente queiram desenvolver a sua própria capacidade.
Muito embora este livro dedique atenção especial às necessidades de alunos e professores, ele deverá interessar a qualquer um que se preocupe com os meios e as maneiras da invenção e da descoberta. É possível que este interesse seja mais difundido do que se presume, sem maior reflexão. O espaço dedicado pelos jornais e revistas populares a palavras cruzadas e a outros enigmas parece revelar que as pessoas passam algum tempo resolvendo problemas sem aplicação prática. Por trás do desejo de resolver este ou aquele problema que não resulta em nenhuma vantagem material, pode haver uma curiosidade mais profunda, um desejo de compreender os meios e as maneiras, as motivações e os procedimentos da resolução.
As páginas seguintes foram escritas de forma um pouco concisa, mas tão simples quanto possível, e fundamentam-se num longo e sério estudo dos métodos de resolução. Este tipo de estudo, chamado Heurística por alguns autores, não está em moda nos dias que correm, mas tem um longo passado e, talvez, algum futuro.
Pelo estudo dos métodos de resolução de problemas, percebemos um novo aspecto da Matemática. Sim, porque ela tem dois aspectos: é a rigorosa ciência de Euclides, mas é também uma outra coisa. A Matemática, apresentada da maneira euclidiana, revela-se uma ciência dedutiva, sistemática, mas a Matemática em desenvolvimento apresenta-se como uma ciência indutiva, experimental. Ambos os aspectos são tão antigos quanto a própria ciência. Mas o segundo aspecto é novo sob um certo ponto de vista: a Matemática in statu nascendi, no processo de ser inventada, jamais foi apresentada exatamente desta maneira aos estudantes, aos professores ou ao grande público.
A Heurística tem múltiplas conexões; matemáticos, lógicos, psicólogos, educadores e até filósofos reivindicam partes deste estudo para os seus domínios particulares. O autor, bem ciente da possibilidade de crítica de certos setores e perfeitamente cônscio de suas limitações, tem uma reivindicação a fazer: ele tem alguma experiência na resolução de problemas e no ensino da Matemática em diversos níveis.
O assunto é tratado pelo autor com maior profundidade num livro mais extenso que está em fase de conclusão.
Universidade Stanford, 1 de agosto de 1944
Prefácio à Sétima Tiragem
Tenho o prazer de comunicar que consegui agora cumprir, pelo menos em parte, uma promessa feita no prefácio à primeira tiragem: os dois volumes que, sob os títulos Induction and Analogy in Mathematics e Patterns of Plausible Inference, constituem a minha recente obra Mathematics and Plausible Reasoning, continuam a linha de raciocínio iniciada neste livro.
Zurich, 30 de agosto de 1954
Prefácio à Segunda Edição
À presente segunda edição é acrescentada, além de pequenas melhorias, uma nova quarta parte, sob o título "Problemas, Indicações, Soluções".
Quando esta edição estava sendo preparada para impressão, apareceu um estudo (Educational Testing Service, Princeton, N. J. cf. Time, 18 de junho de 1956) que parece ter formulado algumas observações muito pertinentes - elas não constituem novidade para as pessoas que sabem das coisas, mas já era tempo de apresentá-las ao grande público: "... a Matemática tem a duvidosa honra de ser a matéria menos apreciada do curso... Os futuros professores passam pelas escolas elementares a aprender a detestar a Matemática... Depois, voltam à escola elementar para ensinar uma nova geração a detestá-la".
Tenho a esperança de que a presente edição, destinada a uma difusão mais ampla, convença alguns de seus leitores de que a Matemática, além de indispensável aos profissionais da Engenharia e ao conhecimento científico, pode ser divertida e também descortinar um panorama de atividade mental no mais alto nível.
Zurich, 30 de junho de 1956
Introdução
As considerações que seguem giram em torno da lista de indagações e sugestões que, sob o título "Como Resolver um Problema", encontram-se nas duas páginas anteriores. Qualquer uma destas questões, quando citada no texto, aparecerá impressa em itálico. A lista por elas constituída será mencionada simplesmente como "a lista" ou "a nossa lista".
As páginas seguintes discutirão o objetivo da lista, ilustrarão o seu emprego prático com o auxílio de exemplos e explicarão os seus fundamentos básicos e as respectivas operações mentais. A título de explicação preliminar, pode-se indagar: se, utilizando-as adequadamente, apresentar tais questões a si próprio ajudará a resolver o seu problema; se, utilizando-as adequadamente, dirigir as mesmas questões a um de seus alunos, ajudá-lo-á a resolver o problema que lhe é proposto.
O livro está dividido em quatro partes.
O título da primeira parte é "Em Aula". Contém vinte seções, cada uma delas designada pelo seu número em negrito, como, por exemplo, "seção 7". As seções 1 a 5 explanam, em termos gerais, o "Objetivo" de nossa lista. As seções 6 a 10 descrevem o que são as "Divisões Principais, Questões Principais" da lista e discutem um primeiro exemplo prático. As seções 18, 19 e 20 acrescentam "Outros Exemplos".
O título da segunda parte, muito curta, é "Como Resolver um Problema". É apresentada em forma de diálogo, no qual um aluno algo idealizado responde as perguntas de um professor, também algo idealizado.
A terceira parte, a mais extensa, constitui um "Pequeno Dicionário de Heurística". Será mencionada simplesmente como o "Dicionário". Compreende sessenta e sete artigos, dispostos em ordem alfabética. Por exemplo, o significado da palavra HEURÍSTICA (assim, em MAIÚSCULAS) está exposto num artigo com este título, encontrado à página 86. Toda referência feita no texto a um dos artigos do Dicionário estará impressa em MAIÚSCULAS. Certos parágrafos de alguns artigos são mais técnicos e, por isto, aparecem entre colchetes. Alguns dos artigos estão intimamente ligados à primeira parte, à qual eles acrescentam alguns exemplos e comentários mais específicos. Outros artigos vão além do objetivo da primeira parte e explicam os seus fundamentos. Há um artigo-chave sobre HEURÍSTICA MODERNA, que descreve a conexão existente entre os principais artigos e o plano em que se baseia o Dicionário, além de conter instruções para a procura de informações relativas a pontos específicos da lista. É preciso frisar que há um plano básico e uma certa unidade no Dicionário, porque os seus artigos aparentam uma grande variedade. Há alguns artigos mais longos dedicados à discussão sistemática, embora condensada, de alguns temas mais gerais. Certos artigos contêm comentários mais específicos e outros tratam de remissões, dados históricos, citações, aforismas ou, até mesmo, anedotas.
O Dicionário não deverá ser lido muito depressa, pois o texto está muitas vezes condensado e é, aqui e ali, um pouco sutil. O leitor poderá recorrer ao Dicionário para obter informação sobre temas gerais. Se o assunto procurado surgir da experiência com seus próprios problemas ou dos de seus alunos, a leitura terá muito maior probabilidade de ser proveitosa.
A quarta parte é intitulada "Problemas, Indicações, Soluções". Nela são propostos alguns problemas ao leitor mais interessado. Cada "problema" é seguido (a uma distância apropriada) por uma "indicação" que pode revelar o caminho para chegar ao resultado, que está explicado na "solução".
Mencionamos, repetidamente, o "aluno" ou o "estudante", e o "professor" e a eles voltamos muitas e muitas vezes. É bom observar que o "estudante" tanto poderá ser um aluno de curso secundário ou superior como qualquer pessoa que esteja estudando Matemática. Da mesma maneira, o "professor" poderá ser secundário ou universitário, ou qualquer pessoa interessada na técnica do ensino da Matemática. O autor encara a situação umas vezes sob o ponto de vista do aluno e outras, do professor (o último caso é preponderante na primeira parte). No entanto, na maior parte das vezes, o ponto de vista é o de alguém que não é nem professor nem aluno, mas deseja resolver o problema que se lhe apresenta.
Como Resolver Um Problema
COMPREENSÃO DO PROBLEMA
Primeiro | Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condicionante? |
|---|---|
| É preciso compreender o problema. | É possível satisfazer a condicionante? A condicionante é suficiente para deter- minar a incógnita? Ou é insuficiente? Ou redundante? Ou contraditória? Trace uma figura. Adote uma notação adequada. Separe as diversas partes da condicionante. É possível anotá-las? |
Segundo | Já o viu antes? Ou já viu o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeira mente diferente? |
|---|---|
Encontre a conexão entre os dados e a incógnita. É possível que seja obrigado a considerar problemas auxiliares se não puder encontrar uma conexão imediata, É preciso chegar afinal a um plano para a resolução. | Conhece um problema correlato? Conhece um problema que lhe poderia ser útil? Considere a incógnita! E procure pensar num problema conhecido que tenha a mesma incógnita ou outra semelhante. Eis um problema correlato e já antes resolvido. É possível utilizá-lo? É possível utilizar o seu resultado? É possível utilizar o seu método? Deve-se introduzir algum elemento auxiliar para tornar possível a sua utilização? É possível reformular o problema? É possível reformulá-lo ainda de outra maneira? Volte às definições. Se não puder resolver o problema proposto, procure antes resolver algum problema correlato. É possível imaginar um problema correlato mais acessível? Um problema mais genérico? Um problema mais específico? Um problema análogo? É possível resolver uma parte do problema? Mantenha apenas uma parte da condicionante, deixe a outra de lado; até que ponto fica assim determinada a incógnita? Como pode ela variar? É possível obter dos dados alguma coisa de útil? É possível pensar em outros dados apropriados para determinar a incógnita? É possível variar a incógnita, ou os dados, ou todos eles, se necessário, de tal maneira que fiquem mais próximos entre si? Utilizou todos os dados? Utilizou toda a condicionante? Levou em conta todas as noções essenciais implicadas no problema? |
EXECUÇÃO DO PLANO
Terceiro | Ao executar o seu plano de resolução, verifique cada passo. |
|---|---|
| Execute o seu plano. | É possível verificar claramente que o passo está correto? É possível demonstrar que ele está correto? |
RETROSPECTO
Quarto | É possível verificar o resultado? É possível verificar o argumento? |
|---|---|
| Examine a solução obtida. | É possível chegar ao resultado por um caminho diferente? É possível perceber isto num relance? É possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro problema? |
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