Por EUGENE F. WIGNER
Princeton University
“A matemática, apropriadamente vista, é dotada
não somente de verdade, mas de uma beleza suprema, uma beleza fria e austera, como a de
uma escultura, sem suplicar a nenhuma parte
de nossa fraca natureza, sem as deslumbrantes
armadilhas da pintura e da música, por ora sublimemente pura e susceptível a uma severa perfeição tal qual somente a maior das artes pode
revelar. O verdadeiro espírito de deleite, a exaltação, o senso de ser mais que Homem, que é
o crivo da mais alta excelência, é encontrada na
matemática tão seguramente quanto na poesia.”
–BERTRAND RUSSELL, Estudo da Matemática
“e é provável que haja aqui algum segredo
ainda a ser descoberto” (C. S. Peirce)
Existe uma história a respeito de dois amigos, colegas de classe no
colégio, falando sobre suas profissões. Um deles tornou-se um estatístico e estava trabalhando com estudos populacionais. Ele mostrou uma
publicação ao seu antigo colega de classe. A publicação começava,
como de hábito, com a distribuição gaussiana e o estatístico explicou
ao colega o significado dos símbolos para a população real, para a população média e assim por diante. Seu colega se mostrava um pouco
incrédulo e parecia não estar certo de que não estava sendo vítima de
uma brincadeira. “Como você pode saber isso?” foi sua pergunta. “E
o que é este símbolo aqui?” “Ah,” disse o estatístico, “isso é π”. “O
que é isso?” “A razão entre a circunferência do círculo e seu diâmetro.”
“Agora você está levando a brincadeira longe demais,” disse o colega,
“certamente a população não tem nada a ver com a circunferência de
um círculo.”
Nossa inclinação natural é sorrir diante da simplicidade desse ponto
de vista. No entanto, sempre que ouço essa história, sou tomado por
um sentimento sinistro pois na reação do colega do estatístico não há
nada mais que uma manifestação de puro e simples bom senso. Fiquei
ainda mais confuso quando, alguns dias mais tarde, alguém expressou
a mim seu espanto (1) com o fato de que fazemos escolhas muito restritas
quando escolhemos os dados que vamos utilizar para testar nossas teorias. “Como podemos saber que não é possível, levando-se em conta
o que havíamos desprezado e desprezando o que havíamos considerado, construir uma nova teoria, em tudo diferente da que temos mas que, tanto quanto ela, é capaz de explicar um grande número de fatos
significativos”. Temos que admitir que não existe nenhuma evidência
definitiva de que isso não é possível.
As duas histórias precedentes ilustram duas questões principais que
são o assunto do presente discurso. A primeira delas é que os conceitos matemáticos aparecem em situações totalmente inesperadas. Além
disso, eles permitem, com frequência, descrições, surpreendentemente
próximas e precisas, dos fenômenos em questão. A segunda é que,
exatamente por causa das circunstâncias descritas e também por não
entendermos as razões dessa utilidade, não podemos saber se a teoria
formulada em termos desses conceitos matemáticos é a única apropriada. Estamos numa situação parecida com a do homem que recebeu
um molho de chaves e que, tendo de abrir seguidamente diversas portas, sempre encontra, na primeira ou na segunda tentativa, a chave
certa. Esse fato o torna cético em relação à unicidade da correspondência entre chaves e portas.
Muito do que será dito a respeito dessas questões não será novidade; provavelmente já ocorreu, de uma forma ou de outra, para a
maioria dos cientistas. Meu principal objetivo será iluminar a questão
de diversos ângulos. O primeiro aspecto a ser considerado é que a
enorme utilidade da matemática para as ciências naturais é algo que
beira o mistério e que não pode ser racionalmente explicado. Em segundo lugar, é exatamente essa misteriosa utilidade dos conceitos matemáticos que levanta a questão da unicidade de nossas teorias físicas.
Para tratar da primeira questão, que a matemática desempenha uma
função na física cuja importância ultrapassa o razoável, será útil dizer
alguma coisa sobre a questão “O que é a matemática?” e a seguir sobre
“O que é a física?” e, em seguida, sobre como a matemática aparece
nas teorias físicas e, finalmente, sobre a razão do sucesso da matemática ao tratar com a física ser tão desconcertante. Muito menos se dirá
sobre a segunda questão: a unicidade das teorias físicas. Uma resposta
adequada para esta questão exigiria um trabalho teórico e experimental
que até hoje ainda não foi realizado.
O que é a matemática? Alguém disse, certa vez, que filosofia é o
mau uso de uma terminologia inventada exatamente com esse propósito. (2) Nessa mesma linha, eu diria que a matemática é a ciência de
engenhosas operações com regras e conceitos inventados exatamente com esse propósito. A principal ênfase está na invenção dos conceitos.
A matemática veria esgotar rapidamente seus teoremas interessantes se
eles fossem formulados apenas em termos dos conceitos que já apareceram nos postulados. Além disso, apesar de ser inquestionável que
os conceitos da matemática elementar, particularmente os da geometria
elementar, são formulados para descrever entidades que são diretamente sugeridas pelo mundo real, o mesmo não parece ser verdadeiro
para os conceitos mais avançados, em particular para os conceitos que
desempenham um papel fundamental para a física. Assim, as regras
para operar com pares de números são obviamente formuladas para
fornecer os mesmos resultados que os das operações com frações que
inicialmente aprendemos sem fazer referência a “pares de números”.
As regras para operações com sequências, isto é, com números irracionais, ainda pertencem a categoria das regras que foram formuladas
para reproduzir regras de operações de quantidades que já eram por
nós conhecidas. A maior parte dos conceitos matemáticos mais avançados, tais como os números complexos, álgebras, operadores lineares,
conjuntos de Borel – e a lista pode ser prolongada quase indefinidamente – foram concebidas de forma a serem entidades com as quais
o matemático pode demonstrar toda sua engenhosidade e senso de
beleza. De fato, a definição desses conceitos, com a percepção de
que considerações engenhosas e interessantes poderiam ser a eles aplicadas, é a primeira demonstração de engenhosidade do matemático
que os define. A profundidade de pensamento que entra na formulação de conceitos matemáticos é justificada, a posteriori, pela habilidade
(eficácia) com que esses conceitos são utilizados. O grande matemático explora integralmente, quase implacavelmente, os domínios dos
raciocínios permissíveis até o limite dos não permissíveis. Que esse
atrevimento não o leve a um pântano de contradições é, em si mesmo,
um milagre: é difícil de acreditar que nosso poder de raciocínio foi levado, por um processo de seleção natural Darwiniano, à perfeição que
aparenta possuir. Esse não é, no entanto, o assunto de que estamos
tratando. O ponto principal que terá que ser recordado mais tarde é
que se o matemático não quiser que a matemática fique restrita a uns
poucos teoremas interessantes, será necessário definir novos conceitos
além daqueles já contidos nos axiomas, mais ainda do que isso, esses
conceitos precisam ser definidos de forma a permitir hábeis operações
lógicas, com forte apelo estético, tanto no que se refere as operações
como também em termos de resultados de grande generalidade e simplicidade. (3)
Os números complexos fornecem um exemplo notável para o que
vem a seguir. É certo que não há nada em nossa experiência que
possa sugerir a introdução dessas quantidades. De fato, se pedirmos
a um matemático para que justifique seu interesse por esses números
ele apontará, com alguma indignação, para o grande número de belos
teoremas na teoria das equações, para a teoria de séries de potências
e para a teoria geral das funções analíticas cuja origem está ligada a
introdução dos números complexos. O matemático não pretende abrir
mão de seu interesse por essas belas criações de seu gênio. (4)
O que é Física? O físico se interessa em descobrir as leis da natureza
inanimada. Para entendermos essa afirmação é necessário analisarmos
o conceito de “lei natural”.
O mundo ao nosso redor é de desconcertante complexidade e o
fato mais óbvio a seu respeito é que não podemos prever o futuro.
Embora se costume dizer que somente o otimista acha o futuro incerto,
o otimista está, nesse caso, certo: o futuro é imprevisível. É, como Schroedinger observou, um milagre que certas regularidades nos eventos,
apesar da desconcertante complexidade do mundo, possam ser descobertas [1]. Uma dessas regularidades, descoberta por Galileu, é que
duas pedras, soltas no mesmo instante, de uma mesma altura, atingem
o chão simultaneamente. As leis da natureza se referem a essas regularidades. A regularidade de Galileu é um protótipo de uma grande
classe delas. Por três razões, essa regularidade é surpreendente.
A primeira razão pela qual ela é surpreendente é que ela não é
verdadeira apenas em Pisa, no tempo de Galileu mas é verdadeira em
todos os lugares da terra, foi verdadeira no passado e continuará, sempre, sendo verdadeira. Essa propriedade é claramente uma propriedade
de invariância e, como tive a oportunidade de observar algum tempo
atrás [2], sem princípios de invariância semelhantes a esse, obtido pela
generalização das observações de Galileu, a física não é possível. A
segunda razão para essa regularidade que estamos discutindo é surpreendente é o fato dela não depender de muitas condições que poderiam
afetá-la. Chovendo ou não chovendo, sendo realizada numa sala ou
na Torre Inclinada e independentemente de ser homem ou mulher a
pessoa que solta a pedra, ela é válida. Continua válida também no caso
das duas pedras serem soltas, simultaneamente e da mesma altura, por
duas pessoas diferentes. Existem, obviamente, enumeráveis outras condições que não interferem na validade da regularidade de Galileu. A
irrelevância de muitas circunstâncias que poderiam intervir num fenômeno observado também tem sido chamado de invariância [2]. Essa
invariância tem, no entanto, características diferentes da anterior em
virtude do fato dela não poder ser formulada como um princípio geral. A exploração das condições que afetam ou não um determinado
fenômeno faz parte das pesquisas experimentais iniciais que são feitas
ao se estudar de um campo. É a perícia e a argúcia do experimentador
que irão indicar a ele fenômenos que dependem de um número relativamente pequeno de condições que podem ser facilmente percebidas
e reproduzidas. (5) No caso presente, a restrição feita por Galileu de só
trabalhar com corpos relativamente pesados, é a mais importante. Voltamos a insistir que, se não existissem fenômenos dependentes apenas
de um pequeno número de condições que podemos controlar, a física
não seria possível.
Os dois pontos precedentes, embora muito significativos para o
filósofo, não foram os que mais surpreenderam Galileu uma vez que
eles não contém uma lei da natureza. A lei da natureza está contida
na afirmação de que o intervalo de tempo necessário para um objeto
pesado cair de uma determinada altura é independente do tamanho,
da forma e do material de que é feito o corpo que cai. No contexto
da segunda “lei” de Newton isso equivale à afirmação de que a força
gravitacional que age no corpo em queda livre é proporcional a sua
massa mas, independe do tamanho, da forma e do material do qual o
corpo é feito.
A discussão precedente tem a intenção de lembrar, em primeiro
lugar que não é nada natural que “leis da natureza” existam e, muito
menos, que o homem seja capaz de descobri-las. (6) O presente autor teve a ocasião, algum tempo atrás, de chamar a atenção para os sucessivos níveis de “leis da natureza”, cada nível contendo leis mais gerais e
abrangentes do que o anterior e também para o fato de as descobertas
desses níveis constituírem-se num crescente aprofundamento na estrutura do universo em relação aos níveis conhecidos anteriormente [3].
No entanto, o ponto mais importante no presente contexto é que todas
essas leis da natureza, mesmo em suas mais remotas consequências,
contém apenas um pequeno fragmento de nosso conhecimento da natureza inanimada. Todas as leis da natureza são afirmações condicionais
que permitem, a partir do conhecimento do presente, predizer alguns
eventos futuros; na realidade, apenas alguns aspectos do atual estado
do mundo são necessários pois, na prática, a maioria esmagadora das
condições que determinam o estado presente do mundo são, do ponto
de vista da previsão, irrelevantes. A irrelevância é entendida aqui no
sentido do segundo ponto da discussão do teorema de Galileu. (7)
No que se refere ao estado presente do mundo, tal como a existência da Terra em que vivemos e onde os experimentos de Galileu
foram feitos, a existência do Sol e de todos os nossos arredores, as leis
da natureza nada dizem. É em consonância com isso que as leis da
natureza só podem ser utilizadas para predizer eventos futuros sob circunstâncias excepcionais – quando todos os fatores que determinam o
presente estado do mundo são conhecidos. É também em consonância
com isso que a construção de máquinas cujo funcionamento podemos
prever, constitui as mais espetaculares realizações dos físicos. Nessas
máquinas, o físico cria uma situação em que todas as coordenadas relevantes são conhecidas de tal forma que o comportamento da máquina
pode ser predito. Radares e reatores nucleares são exemplos desse tipo
de máquinas.
O principal propósito da presente discussão é salientar o fato de
que as leis da natureza são afirmações condicionais e que se relacionam apenas com uma parte muito pequena de nosso conhecimento do
mundo. Assim, a mecânica clássica, que é o mais conhecido protótipo
de todas as teorias físicas, dá, a partir do conhecimento das posições,
etc. dos corpos, as derivadas segundas das coordenadas de posição
de todos esses corpos. Não dá porém, nenhuma informação sobre a
existência, as posições no momento, nem da velocidade desses corpos. A bem da precisão precisamos mencionar que aprendemos, há mais
ou menos trinta anos, que mesmo as afirmações condicionais não podem ser completamente precisas: as afirmações condicionais são leis de
probabilidade que somente nos capacitam a fazer apostas inteligentes,
fundadas em nosso conhecimento do presente, sobre as propriedades
que o mundo inanimado terá no futuro. Elas não nos permite fazer afirmações categóricas, nem mesmo afirmações condicionais categóricas,
fundadas em nosso conhecimento do presente. A natureza probabilística das “leis da natureza” se manifesta também no caso das máquinas,
pelo menos no caso dos reatores nucleares quando os fazemos funcionar com potências muito baixas isso pode ser verificado. Todavia
essa limitação adicional ao escopo das leis da natureza, (8) imposta pela
sua natureza probabilística, não desempenhará papel algum no resto
de nossa discussão.
O Papel da Matemática nas Teorias Físicas. Após havermos analisado aspectos essenciais da matemática e da física, devemos estar em
melhor posição para discutir o papel da matemática nas teorias físicas.
É, naturalmente, corriqueiro o uso da matemática na física para calcular os resultados das aplicações das leis da natureza, isto é, para
aplicar as afirmações condicionais às particulares condições que prevalecem no momento ou àquelas em que tivermos interesse. Para que isso
seja possível, as leis da natureza precisam já estar formuladas em linguagem matemática. No entanto, a função de calcular as consequências
de teorias já estabelecidas não é o papel mais importante da matemática
na física. à matemática, ou melhor, à matemática aplicada não desempenha o principal papel nessa função: ela é apenas uma ferramente
auxiliar.
A matemática, todavia, desempenha um papel bem mais importante
em física. Isso já estava implícito quando afirmamos, ao discutir o papel
da matemática aplicada, que as leis da natureza já deviam estar formuladas em linguagem matemática para poderem ser por ela utilizadas.
A afirmação de que as leis da natureza são escritas em linguagem matemática já foi feita, muito adequadamente, trezentos anos atrás; (9) essa
afirmação é agora ainda mais verdadeira do que jamais foi. Para mostrar
a importância que os conceitos matemáticos têm na formulação das leis
físicas, vamos, como um exemplo, recordar os axiomas da mecânica
quântica formulados, de forma explícita, pelo grande matemático von Neumann, ou, implicitamente, pelo grande físico Dirac [4,5]. Existem
dois conceitos básicos em mecânica quântica: estados e observáveis.
Os estados são vetores num espaço de Hilbert e os observáveis são
operadores auto-adjuntos nesse espaço. Os possíveis valores das observações são os valores característicos dos operadores – é, no entanto,
melhor parar por aqui para não termos que fazer uma lista de conceitos
matemáticos criados pela teoria dos operadores.
É claro que é verdade que a física escolhe certos conceitos matemáticos para formular as leis da natureza e, certamente, apenas uma pequena fração desses conceitos é utilizada na física. Também é verdade
que eles não foram escolhidos, de forma arbitrária, entre os conceitos
que figuram numa lista de termos matemáticos mas, ao contrário, foram, em muitos casos, se não na maioria deles, desenvolvidos, de forma
independente pelo físico e, somente a posteriori, reconhecidos como
tendo sido concebidos previamente pelo matemático. Não é verdade,
porem, como é afirmado com frequência, que isso teria que acontecer
porque a matemática utiliza os conceitos mais simples possíveis e, em
virtude disso, eles teriam que aparecer em qualquer formalismo. Como
já vimos, os conceitos matemáticos não são escolhidos por sua simplicidade conceitual – mesmo sequência de pares de números estão muito
longe de estar entre os conceitos mais simples – e sim por se prestarem
a manipulações astutas e a argumentos brilhantes. Não devemos esquecer que o espaço de Hilbert da mecânica quântica é um espaço sobre
os números complexos com produto escalar Hermitiano. Certamente
para o espírito despreocupado, os números complexos estão longe de
ser naturais e simples e não podem ser sugeridos por observações físicas. Além disso, o uso de números complexos não é, nesse caso, um
truque computacional de matemática aplicada mas se aproxima de uma
necessidade na formulação das leis da mecânica quântica. Finalmente,
começa agora a parecer que as chamadas funções analíticas estão destinadas a desempenhar papel decisivo na formulação da teoria quântica.
Estou me referindo ao rápido desenvolvimento da teoria das relações
de dispersão.
É difícil evitar a impressão de que nos defrontamos aqui com um
milagre, que pela sua surpreendente natureza, se compara com outro
que é a capacidade que a mente humana tem de encadear mil argumentos sem cair em contradição ou ainda a dois outros que são a existência
das leis da natureza e a capacidade da mente humana de adivinhá-las.
Que eu saiba, a observação que mais se aproxima de uma explicação para o fato dos conceitos de matemática aparecerem tanto em física foi
feita por Einstein que afirmou que as únicas teorias físicas que estamos
dispostos a aceitar são as bonitas. Resta argumentar que os conceitos matemáticos, que convidam ao exercício de tanta argúcia, tem a
qualidade de beleza. No entanto, a observação de Einstein pode, na
melhor das hipóteses, explicar propriedades de teorias que queremos
aceitar mas, ela não faz referência à precisão intrínseca dessas teorias.
Retornaremos, mais tarde a essa questão.
O Sucesso das Teorias Físicas é Realmente Surpreendente? Uma possível forma de explicar o uso que o físico faz da matemática para formular suas leis da natureza é que ele é uma pessoa até certo ponto
irresponsável. Por causa disso, quando ele encontra uma conexão entre duas quantidades que se assemelha a uma conexão já conhecida em
matemática ele conclui imediatamente, que a conexão da física é a da
matemática já que ele não conhece nenhuma outra similar. Não pretendemos aqui refutar essa acusação de certa irresponsabilidade por parte
do físico. Pode ser que ele seja assim. É, no entanto, importante observar que a formulação matemática de uma experiência física, às vezes
rudimentar, leva, um número surpreendente de vezes, a uma descrição
extraordinariamente precisa de uma classe muito grande de fenômenos. Isso mostra que a linguagem matemática tem mais a recomendá-la
do que ser a única linguagem que sabemos utilizar; mostra num sentido muito real que é a linguagem correta. Vamos examinar alguns
exemplos.
O primeiro exemplo, frequentemente citado, é o do movimento
planetário. As leis dos corpos em queda livre ficaram muito bem estabelecidas em consequência de experiências efetuadas principalmente
na Itália. Essas experiências, em parte por causa do efeito causado
pela resistência do ar e, em parte, pela impossibilidade que se tinha na
época de medir intervalos de tempo muito pequenos, não poderiam ter
sido muito precisas. Entretanto, não causa grande surpresa que os cientistas naturais italianos tenham adquirido familiaridade com a forma
como os objetos se movimentam através da atmosfera. Foi Newton
quem relacionou a lei que rege os objetos em queda livre com o movimento da Lua, notou que a parábola descrita pela pedra atirada na
Terra e a trajetória circular da Lua no céu são casos particulares de um
mesmo objeto matemático e, apoiado apenas numa única e, na época,
pouco precisa coincidência numérica, formulou e postulou a lei da gravitação universal. Do ponto de vista filosófico, a lei de gravitação, da forma como foi formulada por Newton, era repugnante não apenas a
seu tempo mas também a si próprio. Baseava-se em observações empíricas muito escassas. A linguagem matemática na qual era formulada
continha o conceito de segunda derivada e aqueles de nós que já tentaram desenhar um círculo osculador de uma curva sabem que uma
segunda derivada não é um conceito muito imediato. A lei de gravitação que Newton estabeleceu de forma tão relutante e que foi capaz
de verificar com precisão de aproximadamente 4% provou ser correta
dentro de uma aproximação de um sobre dez mil por cento e tornou-se
tão associada a idéia de exatidão absoluta que apenas recentemente os
físicos adquiriram coragem para questionar os limites dessa exatidão. (10) Sem dúvida, o exemplo da lei de Newton, citado tão frequentemente,
deve ser o primeiro a ser mencionado como um exemplo monumental
de uma lei formulada em termos que parecem simples para um matemático e que mostrou uma precisão além de qualquer expectativa
razoável. Vale a pena recapitular nossa tese nesse exemplo: em primeiro lugar a lei, particularmente por conter uma derivada segunda, é
simples apenas para o matemático e não para o senso comum ou para
uma mente não matemática; em segundo lugar é uma lei condicional
de escopo muito limitado. Ela não explica nada sobre a Terra que
atrai as pedras lançadas por Galileu ou sobre a órbita circular da Lua
ou sobre os planetas do Sol. A explicação dessas condições iniciais é
relegada ao geólogo e ao astrônomo que enfrentam, com isso, grandes
dificuldades.
O segundo exemplo refere-se a mecânica quântica elementar. Originou-se com a observação feita por Max Born de que algumas regras de
cálculo formuladas por Heisenberg eram formalmente idênticas a regras
de cálculo com matrizes, estabelecidas muito antes, pelos matemáticos.
Born, Jordan e Heisenberg propuseram então substituir a posição e o
momento nas equações da mecânica clássica por variáveis matriciais [6].
Eles aplicaram as regras da mecânica matricial a uns poucos problemas,
altamente idealizados, e os resultados foram bem satisfatórios. Entretanto, não havia naquela época nenhuma evidência racional de que
essa mecânica matricial pudesse, em condições mais realistas, vir a ser
correta. Eles, de fato, se perguntaram: “A mecânica, da forma proposta,
em seus traços essenciais, não poderia estar correta?” Na realidade, a
primeira aplicação dessa mecânica a um problema real, o do átomo de
hidrogênio, foi feita, alguns meses mais tarde, por Pauli. Essa aplicação forneceu resultados concordantes com a experiência. Isso era satisfatório mas ainda compreensível porque as regras de cálculo de Heisenberg
foram formuladas a partir de problemas que incluíam a antiga teoria do
átomo de hidrogênio. O verdadeiro milagre ocorreu apenas quando
a mecânica matricial, ou uma teoria matematicamente equivalente, foi
aplicada a problemas para os quais as regras de cálculo de Heisenberg
não faziam sentido. As regras de Heisenberg tinham como pressuposto
que as equações clássicas do movimento tivessem soluções com certas
propriedades de periodicidade. Com dois elétrons, no caso do átomo
de hélio, ou um número ainda maior quando se trata de átomos mais
pesados, as equações do movimento não têm essas propriedades e portanto as regras de Heisenberg não podem ser aplicadas. No entanto, o
cálculo feito no nível mais baixo de energia do hélio, feito alguns meses
atrás por Kinoshita em Cornell e por Bazley no Bureau of Standards,
concorda com os dados experimentais dentro dos limites de precisão
da observação que é de um sobre dez milhões. Desta vez, tiramos das
equações, algo que, certamente, não havíamos posto nelas.
O mesmo é verdadeiro em relação as características qualitativas dos
“espectros complexos”, isto é, dos espectros dos átomos mais pesados.
Desejo relatar uma conversa com Jordan que me contou, na época em
que as propriedades qualitativas dos espectros foram deduzidas, que
uma discordância entre as regras derivadas da teoria da mecânica quântica e as regras estabelecidas por pesquisa empírica, teriam fornecido
uma última oportunidade para fazer uma mudança na mecânica matricial. Em outras palavras, Jordan sentiu que teríamos ficado, pelo menos
temporariamente, perdidos caso houvesse ocorrido um inesperado desacordo na teoria do átomo de hélio. A verificação da concordância foi
feita, na época, por Kellner e Hilleraas. O formalismo matemático era
muito claro e imutável de forma que, não houvesse ocorrido o milagre
descrito anteriormente com o hélio, uma verdadeira crise estaria instalada. Certamente, de uma forma ou de outra a física teria superado
essa crise. Por outro lado é verdade que a física como a conhecemos
hoje não seria possível sem a constante repetição de milagres similares
ao do átomo de hélio que é provavelmente o mais extraordinário que
ocorreu no desenvolvimento da mecânica quântica elementar, mas está
muito longe de ser o único. De fato esse número de milagres só é
limitado por nossa disposição de buscar outros. A mecânica quântica
teve muitos outros sucessos, quase igualmente extraordinários, o que
nos dá a firme convicção de que ela é, o que chamamos, correta.
O último exemplo é o da eletrodinâmica quântica, ou a teoria do
deslocamento de Lamb. Enquanto a teoria da gravitação de Newton
ainda estava obviamente ligada a experiência, esta só participa da formulação da mecânica matricial de uma forma muito refinada ou sublimada através das prescrições de Heisenberg. A teoria quântica do
deslocamento de Lamb da forma concebida por Bethe e estabelecida
por Schwinger é uma teoria puramente matemática e a única contribuição experimental direta foi a demonstração da existência de um efeito
mensurável. A concordância com os cálculos é melhor do que uma
parte em mil.
Os três exemplos precedentes, que poderiam ser aumentados quase
indefinidamente, devem ilustrar a propriedade e a precisão da formulação matemática das leis da natureza em termos dos conceitos escolhidos pela sua manipulabilidade, sendo as “leis da natureza” de uma
precisão quase fantástica mas de escopo estritamente limitado. Proponho chamar de lei empírica da epistemologia as observações que esses
exemplos ilustram. Ela forma, junto com as leis de invariância das leis
físicas, a indispensável fundamentação dessas teorias. Sem as leis de invariância as teorias físicas não poderiam ser fundamentadas com fatos;
se a lei empírica da epistemologia não fosse correta teríamos falta de
estímulo e segurança que são necessidades emocionais sem as quais as
“leis da natureza” não poderiam ter sido exploradas com sucesso. O Dr.
R. G. Sachs com quem discuti a lei empírica da epistemologia chamou-a
de artigo de fé do físico teórico e, sem dúvida nenhuma, é isso mesmo
que ela é. No entanto, o que ele chamou de nosso artigo de fé pode
ser ilustrado por exemplos verdadeiros – muitos outros exemplos além
dos três que mencionamos.
A Unicidade das Teorias Físicas. A natureza empírica da observação
anterior me parece óbvia. Ela certamente não é uma “necessidade do
pensamento” e não deveria ser necessário para provar isso apelar para
o fato de que ela somente se aplica a uma pequena parte do nosso
conhecimento do mundo inanimado. É absurdo acreditar que a existência de expressões matemáticas simples para a derivada segunda da
(função) posição é evidente quando nenhuma expressão similar para
a posição ou para a velocidade existem. É, portanto, muito surpreendente a presteza com que o maravilhoso presente contido na lei empírica da epistemologia foi dado como evidente. A habilidade da mente
humana, já mencionada anteriormente, de encadear mil argumentos de
forma “correta” é um dom similar.
Toda lei empírica tem a inquietante qualidade de não se conhecer suas limitações. Vimos que existem regularidades nos eventos do
mundo que nos cerca que podem ser formuladas em termos de conceitos matemáticos com incrível precisão. Existem, por outro lado,
aspectos do mundo em relação aos quais não acreditamos na existência de regularidades precisas. Esses aspectos recebem o nome de
condições iniciais. A questão que se apresenta é se essas diferentes regularidades, isto é, as diferentes leis da natureza que serão descobertas
irão se fundir numa única unidade consistente ou se, pelo menos, se
aproximarão assintoticamente dessa fusão. Por outro lado é possível
que sempre existam algumas leis da natureza que não tenham nada em
comum umas com as outras. No presente, isso ocorre, por exemplo,
com as leis da hereditariedade e as da física. É até mesmo possível
que algumas leis da natureza, em suas implicações estejam em conflito
umas com as outras mas que sejam tão convincentes em seus próprios
domínios que não se queira abandoná-las. Podemos nos resignar a
esse estado de coisas ou ainda mais, nosso interesse em resolver esse
conflito entre as diversas teorias, pode desaparecer. Podemos perder
nosso interesse pela “verdade última”, isto é, um panorama que seja
a fusão consistente das diversas imagens locais formadas por cada um
dos diversos aspectos da natureza.
Pode ser útil ilustrar as alternativas por um exemplo. Temos agora,
em física duas teorias de grande poder e interesse: a teoria dos fenômenos quânticos e a teoria da relatividade. Essas teorias tem suas
raízes em grupos de fenômenos mutuamente exclusivos. A teoria da
relatividade se aplica a corpos macroscópicos como, por exemplo, estrelas. O evento de coincidência, que é em última análise uma colisão,
é o evento primitivo na teoria da relatividade e define um ponto no
espaço-tempo, ou, pelo menos, definiria um ponto se as partículas em
colisão forem infinitamente pequenas. A teoria quântica tem suas raízes
no mundo microscópico e, de seu ponto de vista, o evento de coincidência, ou de colisão, mesmo que ele ocorra entre partículas sem
extensão espacial, não é primitivo e de forma alguma nitidamente isolado no espaço-tempo. As duas teorias utilizam conceitos matemáticos
diferentes – um espaço Riemanniano de dimensão 4 e um espaço de
Hilbert de dimensão infinita, respectivamente. Até agora, as duas teorias não puderam ser reunidas, isto é, não existe nenhuma formulação
matemática da qual ambas as teorias sejam aproximações. Todos os físicos acreditam que a união das duas teorias é inerentemente possível e que iremos conseguir fazê-la. No entanto, é possível também imaginar
que nenhuma união das duas teorias possa ser encontrada. O exemplo
que demos ilustra as duas possibilidades anteriormente mencionadas,
união e conflito, ambas concebíveis.
Para conseguirmos uma indicação de qual das alternativas devemos esperar que aconteça podemos fingir que somos um pouco mais
ignorantes do que realmente somos e nos colocarmos num nível de
conhecimento abaixo do que realmente possuímos. Se pudermos encontrar uma fusão de nossas teorias nesse nível mais baixo de conhecimento poderemos ficar confiantes de que encontraremos também uma
fusão no nível do nosso conhecimento real. Por outro lado, se chegarmos, nesse nível mais baixo, a teorias mutuamente contraditórias
não poderemos descartar a possibilidade de que as teorias permaneçam conflitantes no nível mais alto. O nível de conhecimento e de
engenhosidade é uma variável contínua e é pouco provável que pequenas variações dessa variável transforme a imagem que podemos ter
do universo de inconsistente para consistente. (11) Considerado desse
ponto de vista, o fato de que algumas das teorias que sabemos serem
falsas fornecerem resultados tão incrivelmente precisos, é um fator adverso. Se tivéssemos um conhecimento um pouco menor, o grupo de
fenômenos que essas teorias “falsas” explicam pareceria para nós suficientemente grande para “prová-las”. No entanto, consideramos essas
teorias falsas pelo fato de que elas são, em última análise, incompatíveis em contextos mais abrangentes e, se um número suficiente dessas
teorias falsas fosse descoberto, elas poderiam também estar em conflito,
umas com as outras. De maneira similar, é possível que as teorias que
consideramos “provadas” por um número de concordâncias numéricas
que aparenta ser suficientemente grande, sejam falsas por estarem em
conflito com teorias mais abrangentes mas que estejam fora do alcance
de nossas descobertas. Se isso for verdade deveremos esperar conflitos entre nossas teorias, sempre que seu número cresça além de um
certo ponto e assim que abranjam um número suficientemente grande
de grupos de fenômenos. Em contraste com o artigo de fé mencionado anteriormente, este é o pesadelo do físico teórico.
Vamos considerar alguns exemplos de teorias “falsas” que, em vista
de sua falsidade, fornecem descrições alarmantemente precisas de alguns grupos de fenômenos. Com alguma boa vontade é possível descartar algumas da evidências que esses exemplos fornecem. As idéias
iniciais e pioneiras de Bohr sobre o átomo nunca tiveram grande sucesso e o mesmo pode ser dito dos epiciclos de Ptolomeu. Nossa
posição privilegiada possibilita uma descrição precisa de todos esses
fenômenos que essas teorias primitivas não tinham condições de oferecer. Isso não é verdade para a, assim chamada, teoria do elétron
livre que fornece uma descrição incrivelmente boa de muitas, senão
de todas, as propriedades dos metais, dos semicondutores e isolantes.
Em particular, ela explica o fato, nunca adequadamente compreendido
pela “teoria real”, de que isolantes exibem uma resistência a corrente
elétrica que pode chegar a ser 10^26 vezes maior do que aquela dos metais. Não existe, de fato, nenhuma evidência experimental para mostrar
que a resistência não é infinita sob as condições em que a teoria do
elétron livre nos leva a crer que ela seria infinita. Apesar disso, estamos
convencidos de que a teoria do elétron livre é uma aproximação muito
crua e que deveria, ao descrevermos todos os fenômenos referentes
aos sólidos, ser substituída por algo mais adequado.
Vista do nosso ponto de vista privilegiado, a situação apresentada
pela teoria do elétron livre é irritante mas é improvável que ela venha
a apresentar alguma inconsistência que não possa ser superada. Essa
teoria coloca em dúvida a importância que se deve atribuir, ao se verificar a correção de uma teoria, a concordância que ela tem com a
experiência. Já nos acostumamos a essas dúvidas.
Ocorreria uma situação muito mais difícil e confusa se pudéssemos,
algum dia, estabelecer uma teoria de fenômenos da consciência ou da
biologia que fosse tão coerente e convincente como nossas atuais teorias do mundo inanimado. As leis de Mendel da hereditariedade e
o trabalho subsequente em genes podem muito bem se tornar o começo dessa teoria no que se refere à biologia. Além disso, é muito
possível que possa ser encontrado um argumento abstrato que mostre
a existência de um conflito entre essa teoria e os princípios aceitos pela
física. O argumento poderia ser de uma natureza tão abstrata que não
permitisse resolver o conflito, através da experiência, em favor de uma
das teorias. Tal situação traria um grande abalo na fé que temos em
nossas teorias e na crença da realidade de nossas concepções. Traria também um profundo senso de frustração em nossa procura pelo que
chamamos de “derradeira verdade”. O que faz com que essa situação
seja concebível é o fato de, na realidade, não sabermos a razão pela
qual nossas teorias funcionam tão bem. O fato de fornecerem resultados precisos não é prova de sua veracidade nem de sua consistência.
Na realidade, o autor acredita que, se compararmos as atuais leis da
hereditariedade e as da física, algo muito próximo da situação descrita
acima ocorrerá.
Permitam-me terminar num tom mais animador. O milagre da eficiência da linguagem matemática para formular as leis físicas é algo que
nem merecemos nem entendemos. Deveríamos ser gratos por ele ocorrer e esperar que continue válido na pesquisa futura e que se estenda,
para o bem ou para o mal, para o nosso prazer ou talvez para o nosso
espanto, à amplas áreas do conhecimento.
O autor deseja manifestar sua gratidão ao Dr. M. Polanyi que, muitos anos atrás, influenciou profundamente seu pensamento em problemas de epistemologia, e a V. Bargmann cuja amigável crítica foi
importante para atingir a clareza que possa ter sido atingida. É também
muito grato a A. Shimony por ter revisto o presente artigo e chamado
sua atenção para os artigos de C. S. Peirce.
Notas:
(1) A observação a ser citada foi feita a mim por F. Werner na época em que era estudante em Princeton.
(2) Essa afirmação foi retirada de W. Dubislav’s Die Philosophie der mathematik in der Gegenwart. Junker und Dunnhaupt Verlag, Berlin, 1932, pág. 1.
(3) M. Polanyi em seu Personal Knowledge, University of Chicago Press, 1958 diz: “Todas essas dificuldades não são nada além de consequências de nossa recusa em ver que a matemática não pode ser definida sem levar em conta sua mais óbvia característica: isto é, que ela é interessante,” (página 188).
(4) O leitor pode estar interessado, com relação a isso, nas observações muito irritadas de Hilbert em relação ao intuicionismo “que procura fracionar e desfigurar a matemática”, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, vol 157, 1922 ou Gesammelte Werke, Springer, Berlin, 1935, página 188.
(5) Veja a esse respeito, o ensaio gráfico de M. Deutsch, Daedalus, Vol. 87, 1958, pág. 86. A Shimony chamou minha atenção para uma passagem semelhante em C. S. Peirce’s Essays in the Philosophy of Science, The Liberal Arts Press, New York, 1957 (pág. 237).
(6) E. Schroedinger, em What is Life, Cambridge University Press, 1945, diz que esse segundo milagre pode, muito bem, estar além da compreensão humana (pág. 31).
(7) O autor está seguro de que é desnecessário mencionar que o teorema de Galileu, como foi abordado no texto, não exaure o conteúdo das observações de Galileu relativas às leis dos corpos em queda livre.
(8) Veja, por exemplo, E. Schroedinger, referência [1].
(9) Essa afirmação é atribuída a Galileu.
(10) Veja, por exemplo, R. H. Dicke, American Scientist, Vol. 25, 1959.
(11) Essa passagem foi escrita após muita hesitação. O autor está convencido de que é útil, em discussões epistemológicas, abandonar a idealização de que o nível da inteligência humana tem uma posição singular numa escala absoluta. E em alguns casos, pode até mesmo ser útil considerar as realizações possíveis no nível de inteligência de outras espécies. No entanto, o autor tem consciência de que suas reflexões seguindo as linhas sugeridas pelo texto são muito breves e foram insuficientemente criticadas para serem confiáveis.
“The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences,” in Communications in Pure and Applied Mathematics, vol. 13, No. I (February 1960). New York: John Wiley & Sons, Inc. Copyright © 1960 by John Wiley & Sons, Inc
Fonte: https://www.ime.usp.br/~pleite/pub/artigos/wigner/eficacia_da_matematica.pdf
Bilíngue: https://www.ime.usp.br/~pleite/pub/artigos/wigner/wigner_bilingue.pdf
Curta nossa página no facebook Summa Mathematicae. Nossa página no Instagram.
Receba novos posts por e-mail:
