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Codex Sinaiticus, um manuscrito da Septuaginta do século IV, escrito entre 330 e 350. |
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Omnia in mensura et numero et pondere disposuisti (Sb. 11, 21)
Primeiramente quero agradecer bastante todo o apoio e todos que acessaram ao Summa Mathematicae . Já são mais de 100 textos divulgados por a...
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Codex Sinaiticus, um manuscrito da Septuaginta do século IV, escrito entre 330 e 350. |
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Resumo do trabalho de conclusão de curso da graduação em Matemática de minha esposa Lizandra.
Desde as séries iniciais a ideia de infinito é apresentada na escola formal. É senso comum utilizar a palavra infinito para se referir a simplesmente algo muito grande. O real conceito de infinito foi algo perturbador aos filósofos gregos e durante a história surgiram estudiosos que tentaram compreender o real conceito de infinito, um desses foi o matemático Georg Cantor que desenvolveu a teoria do infinito. Diante disso, o objetivo deste trabalho é conhecer o que seja infinito, mais especificamente o infinito trabalhado na matemática, como alguns matemáticos lidaram com o conceito de infinito ao longo dos séculos, alguns paradoxos que surgiram ao se trabalhar com o infinito e a teoria desenvolvida por Georg Cantor. Foi feita uma pesquisa exploratória de natureza qualitativa se utilizando de um levantamento bibliográfico. Espera-se que esse trabalho possa ser usado como fonte de pesquisa por aqueles que desejem conhecer sobre o tema ou que precisem estudar para alguma disciplina relacionada ao assunto, que professores se utilizem da abordagem histórica aqui contida para executar aulas voltadas ao mesmo tema e que esta pesquisa possa futuramente desencadear outras.
Palavras-chave: Conjuntos infinitos. Infinito. Georg Cantor. Paradoxos.
O trabalho completo pode ser encontrado aqui:
https://drive.google.com/file/d/1mWXdDgBvqlyEEuEQB51GRioqFgBnqKSk/view?usp=sharing
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Busto de Aristóteles. Cópia romana de uma escultura de Lísipo |
Pensar profundamente sobre o conhecimento é algo particular da Filosofia. Em nossos tempos de pragmatismo e de opiniões, a filosofia pode ser vista com maus olhos pela sociedade, mas é importante fazer perguntas sobre as coisas que mais intimamente afetam nossas ações. Com efeito, uma das mais importantes noções filosóficas é a noção do ser e de suas causas: Como saber que determinada coisa é, verdadeiramente, aquela coisa?
Aristóteles, em seu livro Física, declara que sabemos que uma coisa é quando conhecemos suas causas, que são quatro: Causa material, causa formal, causa eficiente e causa final:
Causa material
Neste sentido se diz que é causa aquele constitutivo interno de que algo é feito, como por exemplo o bronze a respeito da estátua ou a prata a respeito da taça, bem como o gênero dessas coisas.
Causa formal
Em outro sentido, é a forma ou o modelo, isto é, a definição da essência e seus gêneros (…) e as partes da definição.
Causa eficiente
Em outro sentido é o princípio primeiro de onde vem a mudança ou o repouso, como o que quer algo é causa, como é também o pai é causa de seu filho, e de modo geral o que faz algo é causa do que é feito, e o que faz mudar é causa do que é mudado.
Causa final
E em outro sentido, causa é o fim, isto é, aquilo para o qual é algo, por exemplo: o caminhar é a causa da saúde. Pois por que caminhamos? Ao que respondemos: para ficar saudáveis, e ao dizer isso cremos ter indicado a causa. E também qualquer coisa que, sendo movida por outra coisa, chega a ser um meio para obter um fim, como os medicamentos e os instrumentos cirúrgicos são meios para obter a saúde. Todas essas coisas são para um fim, e se diferenciam entre si em que umas são atividades e outras, instrumentos.
Aristóteles, Física, Livro II, Cap. III
Um exemplo clássico para as quatro causas é uma escultura de homem: A causa material é a argila, a causa formal é de um homem, a causa eficiente é o escultor, a causa final é a apreciação visual.
Como adeptos da herança clássica, precisamos ver as quatro causas da educação clássica para clarear o seu real significado e incluir todos os aspectos essenciais.
Causa material da Educação Clássica
Examinemos, primeiramente, a causa material, pois assumimos que é a mais evidente. Do que é feita a educação? Livros? Fatos? Conhecimento? Estudantes? Qualquer uma dessas opções terá efeitos a longo alcance. Se escolhermos livros, todo o processo se torna abstrato e impessoal. Se escolhermos fatos, estaremos simplesmente formando robôs informativos? Embora livros e conhecimento sejam cruciais, são senão meios de moldar o material. A causa material da educação clássica é a própria criança – o estudante – e qualquer resposta diferente reduz a educação a fórmulas estereotipadas ou método.
Causa eficiente da Educação Clássica
Quem ou o que está afetando a mudança no aluno? Poderíamos propor que as informações apresentadas ou os exercícios trabalhados estejam educando a criança, mas a resposta, a causa eficiente da educação, é o professor. Afirmar que o professor é a causa eficiente está de acordo com o que Santo Agostinho diz em sua obra De Catechizandis Rudibus (Sobre a instrução dos ignorantes). Todo o trabalho de Santo Agostinho gira em torno de como o professor deve tornar seu discurso interessante, e como o professor deve conhecer intimamente seus alunos para personalizar a lição para eles.
Causa formal da Educação Clássica
Para cada professor, o objetivo de educar poderia ser diferente. Alguns professores podem querer que seus alunos consigam bons empregos, ou sejam imitadores de escolásticos medievais, homens da Renascença ou oradores dos tempos romanos. Qual destas é a melhor opção? Ou existe uma forma diferente que é melhor para moldar uma criança?
Santo Agostinho via a educação clássica, liberal, como a melhor maneira de preparar alguém para abraçar a fé cristã. A causa formal, então, é o ideal que o professor tem em mente sobre o que ele quer que o aluno se torne. Então podemos dizer que a forma que um professor deve moldar o estudante é a de uma pessoa instruída – uma pessoa qualificada nas artes liberais e mergulhada nos Grandes Livros, que é solo fértil para o Evangelho.
Causa final da Educação Clássica
Finalmente, a causa final: para que fim uma educação clássica é orientada? Por que deveríamos tentar moldar uma criança em uma pessoa educada de forma clássica, liberal? Pela mesma razão pela qual fomos criados: Ser à imagem e semelhança de Deus, Aquele que é o Caminho, a Verdade e a Vida. O paralelo à bondade, verdade e beleza é inconfundível. Que melhor maneira de nos colocar em correspondência com a nossa natureza do que poder reconhecer a verdade (sabedoria)? Que melhor maneira do que andar fielmente no Caminho (virtude)?
Para uma vida bela e plena, sabedoria e virtude são os dois componentes essenciais. Ao dizer que a causa final da educação clássica é sabedoria e virtude, o que estamos realmente afirmando é que queremos que a criança viva plenamente de acordo com a forma como foi criada: à imagem e semelhança de Deus. Reconhecemos que Deus é quem produz o objetivo final (Ele é o principal promotor do professor e trabalha diretamente na criança) e fazemos tudo o que podemos para “preparar o solo”.
Com base em tudo isso, conseguimos chegar a uma definição: A Educação Clássica é a formação da criança pelo professor em alguém habilidoso nas artes liberais e mergulhado nos Grandes Livros a fim de cultivar a sabedoria e a virtude. Examinemos, parte a parte, esta definição.
A Educação Clássica é a formação da criança pelo professor
Existe uma relação de orientador-orientado na educação que é essencial. Negar esta ordem, afirmando igualdade ou que as crianças aprendem com seus colegas é quebrar a corrente da tradição da qual o papel do professor é um elo essencial e indispensável – até quando a educação é feita de maneira autodidata, todo o processo de aprendizado é uma grande “conversa” entre o aluno e o professor, entre o leitor e autor, entre aquele que ensina e aquele que aprende.
em alguém habilidoso nas artes liberais
As artes liberais são habilidades específicas de domínio. Não se aprende gramática no vácuo; aprende-se gramática no contexto de uma língua (preferencialmente latina). Não se aprende habilidades de pensamento crítico fora do contexto; aprende-se as regras da lógica no contexto do argumento real. Não se aprende oratória através da abstração; aprende-se os meios de persuasão e como aplicá-los em um discurso ou artigo real. Não se aprende funções matemáticas sem números; aprende-se a teoria e a aplicação de números discretos e contínuos. Gramática, lógica, retórica, aritmética, geometria, música e astronomia, entendidas no sentido medieval, são a condição sine qua non da educação.
mergulhado nos Grandes Livros
A civilização, desde milhares de anos, foi inspirada por grandes ideais. Esses ideais são transmitidos nos melhores livros, histórias, diálogos, peças teatrais, discursos e ensaios da humanidade. Ser ignorante dessas obras é ignorar esses ideais. E como é que a criança vive numa sociedade que estima esses ideais se ele não os conhece? Destes livros, sem dúvida, o maior são os Santos Evangelhos e as Sagradas Escrituras.
a fim de cultivar a sabedoria e a virtude
Deve-se poder olhar para qualquer pessoa com formação clássica e dizer: “Eis uma pessoa cheia de bom caráter que sabe distinguir o certo do errado, o bem do mal e a verdade da falsidade". Ser virtuoso é ser de bom caráter. Ser sábio é ser capaz de fazer distinções (no jargão moderno, “pensar criticamente”). Todas as escolas clássicas devem ter a aquisição de sabedoria e virtude como seu objetivo.
A Educação Clássica é a formação da criança pelo professor em alguém habilidoso nas artes liberais e mergulhado nos Grandes Livros a fim de cultivar a sabedoria e a virtude. Esta é a nossa definição essencial de educação clássica, obtida por meios clássicos.
Tradução do artigo The Four Causes of Classical Education de Paul Schaeffer, por um Congregado Mariano
Retirado do site: Link
Original em inglês: Link
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Johannes Kepler (1620), autor desconhecido |
O texto em latim abaixo reproduzido é parte da introdução do livro "Astronomia Nova", escrito por Johannes Kepler e publicado em Praga em 1609. Segue-se uma tradução feita pelo Professor José Paulo Q. Carneiro, da UFRJ. Esse mesmo trecho serviu de abertura ao livro "Variationsrechung im Grossen", de H. Seifert e W. Threlfall, (Teubner, Berlim, 1938) e provavelmente foi a inspiração para os cuidados que levaram aqueles autores a produzir sua pequenina e maravilhosa obra prima de exposição matemática.
É muito difícil hoje em dia escrever livros de Matemática. Se você não preservar a sutileza original das proposições, das explicações, das demonstrações e das conclusões, o livro não será autenticamente matemático. Se, no entanto, você mantiver tudo isso, a leitura se tornará muito lenta. Por isso muito poucos são hoje os leitores dignos de confiança; os outros só conseguem enfrentar banalidades. Quantos matemáticos agüentam o esforço de ler as Cônicas de Apolônio de Perga? E note-se que o assunto aí tratado é destes que se coloca em figuras e linhas muito mais facilmente que o presente livro. Eu mesmo, com toda a minha reputação de matemático, quando releio este meu trabalho, sinto um apreciável cansaço cerebral, ao tentar passar do texto para a mente aquele significado mais profundo das demonstrações que eu mesmo antes tinha passado da mente para o texto. E quando tento remediar a obscuridade do assunto inserindo explicações, aí me sinto com o vício contrário, o da loquacidade em Matemática. De fato, a prolixidade tem sua dose de obscuridade, não menor do que a concisão. Esta escapa aos olhos da mente, aquela os confunde; esta carece de luz, aquela sofre de excesso de luminosidade; aqui a visão não se move, lá é ofuscada. Por isso tomei a decisão de ajudar o entendimento do leitor com uma introdução a mais clara possível a esta obra.
Texto original em latim
Durissima est hodie condictio scribendi libros mathematicos. -- Nisi enim servaveris genuinam subtilitatem propositionum, instructionum, demonstrationum, conclusionum, liber non erit mathematicus; sin autem servaveris, lectio efficitur morosissima. Adeo que hodie perquam pauci sunt lectores idonei: ceteri in commune respuunt. Quotusquisque mathematicorum est, qui tolerat laborem perlegendi Apollonii Pergaei Conica? Est tamen illa materia ex eo rerum genere, quod longe facilius exprimitur figuris et lineis quam nostra. -- Ipse ego, qui mathematicus audio, hoc meum opus relegens fatisco viribus cerebri, dum ex figuris ad mentem revoco sensus demonstrationum, quos a mente in figuras et textum ipse ego primitus induxeram. Dum igitur medeor obscuritati materiae insertis circumlocutionibus, jam mihi contrario vitio videor in re mathematica loquax. Et habet ipsa etiam prolixitas phrasium suam obscuritatem non minorem quam concisa brevitas. Haec mentis oculos effugit, illa distrahit: eget haec luce, illa splendoris copia laborat: hic non movetur visus, illic plane excoecatur. -- Ex eo consilium cepi, quadam luculenta intoductione in hoc opus juvare captum lectoris, quoad ejus fieri possit.
Texto extraído da Revista Matemática Universitária (RMU n.2, dezembro de 1985) disponível no link.
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Portanto, sendo a filosofia um elemento chave para formação do conhecimento, não seria de se assustar a observação de que a Ciência da Educação e a própria pedagogia bebam diretamente nesta fonte, ou seja, que dependam necessariamente da filosofia para serem aplicadas. É por isso que alguns estudiosos da filosofia da educação assim expressam:
“A pedagogia é a aplicação de princípios da filosofia” Cônego Antônio Siqueira
“Todo sistema de educação é um produto e uma tentativa para perpetuar determinada filosofia de vida” e “A verdadeira filosofia da vida é a essência íntima e a alma da ciência da educação” John Redden e Francis Ryan
Por isso, por exemplo, que podemos observar que a filosofia da educação católica é (ou deve ser) a filosofia escolástica, que teve seu auge durante a Idade Média e cujo estudo foi exortado por alguns papas nos últimos séculos, a exemplo de Leão XIII (1), tamanha é sua importância e o quanto ela pode influenciar nas salas de aula das escolas e na educação dos filhos.
A filosofia católica filia-se a uma verdade absoluta, eterna e imutável, pois para uma verdadeira filosofia há apenas uma única fonte de todo saber: Deus, que é eterno e não muda.
Alguns do princípios básicos que regem a filosofia católica e por consequência a maneira católica de educar são estes:
1. O universo foi criado por Deus Todo Poderoso e é governado por Sua Providência;
2. O homem, criatura com corpo e alma, foi criado por Deus para servi-lO na terra e alcançar, com Ele, a felicidade no Céu;
3. Dotado de consciência e livre arbítrio, o homem é responsável por sua conduta, cujas normas são preestabelecidas pelos princípios eternos da lei moral, que é imutável e independente do homem;
4. O homem recebeu de Deus o dom de aprender certas verdades de ordem natural e sobrenatural, e Deus revelou-lhe verdades de ordem sobrenatural, verdades que, dado o limite da capacidade humana, não poderia aprender de outro modo;
5. Deus doou ao homem certos meios sobrenaturais de conduta, como, por exemplo, a graça que ultrapassa os poderes naturais do homem;
6. Em conseqüência do pecado original o homem tem um intelecto reduzido para perceber a verdade, e uma vontade também limitada para procurar o bem e sua natureza mais inclinada para o mal. O pecado original não afetou a natureza da inteligência e vontade humanas, mas privou-as de especiais e poderosos recursos;
7. Através do batismo, certos dons sobrenaturais são restituídos ao homem, mas permanecem os efeitos do pecado original no que toca à inteligência, à vontade e à natureza.
8. O homem, pela sua verdadeira natureza, é ser social, tendo obrigações para com a sociedade e sendo, em troca, por ela afetado.
9. A educação, que é, ao mesmo tempo, processo individual e social, deve abranger a formação, o desenvolvimento e a orientação sistemáticos de todas as potencialidades legítimas do homem, de acordo com a sua verdadeira natureza e a hierarquia essencial dessas potencialidades.
Veja que uma educação verdadeiramente católica não deve dissociar-se de sua doutrina, já que é por meio dela que formará as bases necessárias do conhecimento natural e também sobrenatural.
Por outro lado, a educação moderna, buscando afastar-se dos princípios orientadores católicos, baseia-se no conceito amplo do naturalismo, pelo qual o homem é um produto da evolução, explicado em termos da pura natureza física e totalmente conhecido pelo estudo das ciências naturais. Para as filosofias modernas, que necessariamente geraram sistemas educacionais próprios, podemos destacar alguns pontos chave de aplicação:
1. a biologia é a única ciência capaz de explicar o homem, sendo afastado todo elemento de filosofia sobrenatural;
2. as filosofias modernas entre si possuem verdades fragmentárias, contestadas umas pelos outras;
3. são negativas porque não conseguem chegar a uma concepção da realidade;
Tais doutrinas padecem de exclusivismo, porque possuem uma concepção unilateral da realidade, de modo que quando uma nova doutrina moderna surge o faz para combater um exagero de uma anterior, a exemplo do socialismo que nasceu de homens desfavoráveis ao individualismo liberalista/naturalista.
Por isso também que a filosofia católica concentra maior perfeição, pois: a) institui a religião como base da vida e da educação; b) é universal e objetiva em sua aplicação, independente de tempo, lugar ou condições sociais; c) é tradicionalmente sã nos princípios.
Sendo assim, a filosofia católica não adapta-se aos tempos ou circunstâncias e por isso não ocasiona injustiças ou desequilíbrio quando aplicada corretamente à educação. A exemplo disto, o catolicismo sempre considerou o homem um ser ético que reúne, dentro de si mesmo, elementos do mundo vegetal e animal, que participa, com os animais, da sensação, mas que, não obstante, é dotado de alma espiritual, feita à imagem e semelhança de Deus. Não é só um proletário como diz Marx, nem um ser social como diz Dewey, nem um puro indivíduo biológico como é para o naturalismo. Para a filosofia católica, o homem reúne os elementos de corpo e alma que por grau de importância e por meio de relações sociais devem ser desenvolvidos.
Por isso, alguns requisitos da verdade sobrenatural devem ser aplicados à ciência da educação, os quais tem opositores na filosofia moderna, quais sejam:
1. Origem e natureza do homem: criado por Deus, o homem é criatura constituída de corpo e alma, feito à imagem e semelhança de Deus. De modo opositor há teoria evolucionista do homem e a concepção materialista de sua natureza;
2. Condição natural do homem: fruto do pecado original, nasceu o homem dotado de intelecto menos apto a atingir a verdade, com vontade menos apta a procurar o bem e, consequentemente, com natureza sujeita à corrupção corpórea e inclinando as afeições desordenadas. Em oposição a isto há a teoria predominante a partir de Rousseau de que o homem é naturalmente perfeito, pela qual se dá superênfase à autodescoberta e auto-expressão do indivíduo na educação;
3. Fim último do homem: criado para louvar, reverenciar e servir a Deus, fazendo-o atingir a felicidade eterna com Ele, no Céu, tem o homem. Diverso da concepção materialista que limita o fim do homem à sua vida na terra e afirma que a função da educação diz respeito, apenas, a essa vida.
A filosofia católica da educação usa a razão natural como guia, mas nunca ignora ou negligencia as verdades básicas da revelação divina que fundamentam uma verdadeira filosofia da vida.
O fim último da educação cristã não diz respeito a este mundo, mas a uma vida além desta, a ser alcançada pela imitação de Cristo. Com a religião cristã, surgiu o elemento capital na vida e na educação. O verdadeiro cristão, com esses elementos, sempre procurou a salvação de sua alma e a regeneração moral da sociedade. Além disso, devem-se buscar os conhecimentos secundários de cultura, vocação, disciplina, eficiência, sempre subordinados ao fim último do homem.
Fontes:
REDDEN, John D.; RYAN, Francys A. FILOSOFIA DA EDUCAÇÃO. 1973 – 5ª Ed. tradução de Nair Fortes. Livraia AGIR Editora, Rio de Janeiro.
SIQUEIRA, Cônego Antônio A. de. FILOSOFIA DA EDUCAÇÃO. 1948 – 2ª Ed. Editora Vozes, Rio de Janeiro.
(*) Site
(1) Encíclica Aeterni Patris
Retirado do site: Link
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Santo Agostinho de Philippe de Champaigne, século XVII |
Artigo I - Definição de educação.
Que quer dizer a palavra educação?
Etimologicamente, a palavra educação significa, mais ou menos, menos que a palavra criação. Educar, do latim educere, <é quase criar, é como tirar do nada, é, pelo menos, despertar do sono e da letargia as faculdades adormecidas, é dar a vida, o movimento e a ação a uma existência ainda imperfeita> (2). Educar é fazer que alguém se desentranhe de si mesmo; é fazer duma criança um homem, dum homem um cristão, dum cristão um santo, um eleito (3).
Não haverá uma palavra ainda mais expressiva do que aquela?
Sim, e uma palavra bem portuguesa: enobrecer. Dizemos: enobrecer a juventude; enobrecer a alma; enobrecer os sentimentos; enobrecer os pensamentos; enobrecer o caráter, etc. Enobrecer é como que divinizar; é tomar um objeto que está na escuridão e colocá-lo numa região mais bela e mais pura, onde ele domina e brilha. Assim, no alto drapeja a bandeira, domina a cruz, a alma é diamante. <Enobrecer uma criança é tomar uma alma de criança tão indecisa e indistinta, quase vizinha do nada e guiá-la, por ascensões sucessivas, às regiões luminosas da verdade, às mais altas regiões da virtude> (4).
Como se poderá definir a educação?
A educação é a arte de cultiva, exercitar, desenvolver, fortificar e polir todas as faculdades físicas, intelectuais, morais e religiosas, que constituem na criança a natureza e a dignidade humanas; dar a estas faculdades uma perfeita integridade; elevá-las à plenitude da sua força e da sua ação. E, deste modo, formar o homem, prepará-lo a bem servir a pátria nos diversos cargos sociais, que um dia seja chamado a desempenhar através da jornada da vida; e assim, num alto pensamento, conquistar a vida eterna, enobrecendo a vida presente. Eis a obra e o fim da educação (5).
Por que se define a educação: <a arte de cultivar?>
Porque, efetivamente, a educação procede como um jardineiro inteligente: colocar numa terra boa a planta que lhe confiam; rega-a com água pura e abundante; arranca as ervas daninhas, que estorvariam a sua vegetação; e como se desenvolve; favorece o desabrochar das flores e dos frutos. Portanto, a educação cultiva (6), e cultiva pelos cuidados físicos, pelos ensinamento intelectual, pela disciplina moral, pelos meios sobrenaturais.
Por que se define a educação: <a arte de exercitar?>
Porque a educação não é somente um meio de agir; é ainda o recurso e a obrigação de fazer agir; não é só obra da autoridade, é também obra do respeito; exige do educando a colaboração duma docilidade respeitosa: --- exercita. Propõe então ao educando certos estudos, determinados atos e certo esforços; anima-o com persuasão; dirige-o com sabedoria; numa palavra, fá-lo concorrer eficazmente para a sua própria educação: --- e assim é necessário, porque <jamais se educará uma criança sem o seu esforço ou contra a sua vontade> (7).
Por que se define a educação: <a arte de desenvolver?>
Porque a educação só cultiva, e exercita, age e faz agir, afim de desenvolver. E, na verdade, a educação é o desenvolvimento da natureza em tudo o que tem de bom. Por isso, sabiamente disse Fénelon: <Basta contentarmo-nos com seguir e ajudar a natureza> (8). A educação deve seguir e ajudar a natureza e todos os terrenos; deve segui-la e ajudá-la sem nunca se deter nem afrouxar; apodera-se do homem e acompanha-o até o limite da sua carreira.
Por que se define a educação: a arte de <fortificar?>
Porque desenvolver, sem fortificar, equivaleria praticamente a destruir. A educação que não fortificasse seria, pelo menos, vã e enganosa, sem consistência e sem virtude. O Evangelho indica, aliás, a necessidade deste duplo progresso, falando de Jesus Menino: Puer crescebat et confortabatur (9). O Menino crescia e fortificava-se.
Por que se define a educação: a arte de <polir?>
Porque a educação não é somente para o homem uma necessidade, uma condição de existência; é também uma prenda adorável. Deve suavizar, adornar, embelezar a natureza. Realmente, a educação bem entendida faceta o espírito, pule o caráter e os costumes; até a virtude se torna mais bela. E a polidez foi sempre um dos mais belos caracteres de educação portuguesa. Não se considera, entre nós, bem educado quem não possui a arte de saber viver.
Por que se fez menção, na definição dada, da faculdades <físicas, intelectuais, morais e religiosas?>
Porque a educação, tomada na sua acepção completa, abrange o homem todo, o seu corpo e a sua alma; esforça-se pela realização do ideal traçado pelos antigos, quando falavam duma alma sã num corpo vigoroso: mens sana in corpore sano (10). Esta alma sã é a inteligência bem formada; é a vida moral despojadas dos seus defeitos e enriquecida de virtudes; é a vida sobrenatural assegurada, salvaguardada, aperfeiçoada, querida e defendida... De maneira que a educação, vista em conjunto, compreende cuidados físicos, ensinamento intelectual, uma disciplina moral e formação sobrenatural.
De que se trata, afinal, quando se fala da educação?
1.º Trata-se de formar o homem; o homem com as suas faculdades gerais e as suas qualidades individuais, tal qual o exigem a sociedade e a religião; o homem de razão, de senso e de gosto; o homem de imaginação regrada; o homem de coração; o homem de vontade firme e reta; o homem como foi criado por Deus e regenerado por Jesus Cristo; o homem de fé e de consciência; o homem do seu século e do seu país, no sentido perfeito destas duas palavras.
2.º Trata-se de formar o eleito e o herdeiro do céu. Joubert, num escrínio de Pensamentos delicados e luminosos, escreveu: <Ao educardes uma criança, pensai na sua velhice>. Mas não é tudo. O pensamento de Joubert deve ser completado, tomando esta forma: < Ao educardes uma criança, pensai na sua eternidade>.
Ó jovens mães, na hora bendita em que vós tendes no regaço o entezinho adorado, e em cuja fronte desenhais sonhos fagueiros, pensai e pensai bem que não é tão somente um preciso objeto que adornais com esmero; fitai os seus olhos; neles lereis deveres mais austeros. Está escrito que a maternidade é um sacerdócio, um apostolado divino de que Deus nos revestiu; que é preciso fazer da criança, primeiro, um homem e, depois, um eleito do céu; que, se assim o não fizerdes, melhor seria nunca terdes um filho.
Este dever é tão imperioso que S. Paulo não hesita em afirmar que a mãe que o esquece é inferior a uma pagã (12).
Referências:
(1) Citado por P. Combes, O livro da educadora, p. 80.
(2) Mgr. Dupanloup, Da Educação, t. I, p. 3-4.
(3) Mgr. Pichenot, Tratado prático da educação maternal, p. 64.
(4) Mgr. Rozier, A arte de ser mãe, p. 29.
(5) Mgr. Dupanloup, Da Educação, t. I, p.2.
(6) S. Paulo chama a alma <o campo de Deus; Dei agricultura estis> (I Cor. III-9).
(7) Mgr. Dupanloup, Da Educação, t. I, p. 177
(8) Da educação das meninas, cap. III
(9) Luc. I, 80, e II 40.
(10) Juvenal.
(11) Jean Aicard, A canção da criança. <O pequeno povo>
(12) Mgr. Rosier, A arte de ser mãe (2.ª ed.) p. 9.
Trecho retirado do Livro Catecismo da Educação - Abade René Bethléem, 1952, Livraria Figuerinhas - Porto.
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Este livro foi escrito por Tao aos 15 anos |
Terence Tao* explica se você tem que ser um gênio para fazer Matemática.
A resposta é um enfático NÃO. A fim de fazer boas contribuições e útil para a matemática, tem que trabalhar duro, aprender um campo bem, aprender outras áreas e ferramentas, fazer perguntas, conversar com outros matemáticos, e pensar sobre a "big picture". Uma quantidade razoável de inteligência, maturidade e paciência também são necessários.
Mas não é preciso algum tipo de "gene gênio" mágico que espontaneamente gera idéias profundas, soluções inesperadas para problemas, ou outras habilidades sobrenaturais.
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Queridos fiéis de Roma!
Pensei dirigir-me a vós com esta carta para vos falar de um problema que vós próprios sentis e sobre o qual as várias componentes da nossa Igreja se estão a comprometer: o problema da educação. Todos temos a preocupação pelo bem das pessoas que amamos, sobretudo das nossas crianças, adolescentes e jovens. De facto, sabemos que depende deles o futuro desta nossa cidade. Portanto, não podemos deixar de ser solícitos pela formação das novas gerações, pela sua capacidade de se orientar na vida e discernir o bem do mal, pela sua saúde não só física mas também moral.
Mas educar nunca foi fácil, e hoje parece tornar-se sempre mais difícil. Sabem-no bem os pais, os professores, os sacerdotes e todos os que desempenham responsabilidades educativas diretas. Fala-se por isso de uma grande "emergência educativa", confirmada pelos insucessos com os quais com muita frequência se confrontam os nossos esforços para formar pessoas sólidas, capazes de colaborar com os outros e dar um sentido à própria vida. É espontâneo, então, dar a culpa às novas gerações, como se as crianças que nascem hoje fossem diversas das que nasciam no passado. Além disso, fala-se de uma "ruptura entre as gerações", que certamente existe e pesa, mas que é o efeito, e não a causa, da malograda transmissão de certezas e valores.
Devemos portanto dar a culpa aos adultos de hoje, que talvez já não sejam capazes de educar? É forte certamente, quer entre os pais quer entre os professores e em geral entre os educadores, a tentação a renunciar, e ainda antes o risco de não compreender nem sequer qual seja o seu papel, ou melhor a missão que lhes foi confiada. Na realidade, estão em questão não só as responsabilidades pessoais dos adultos ou dos jovens, que contudo existem e não devem ser escondidas, mas também uma atmosfera difundida, uma mentalidade e uma forma de cultura que fazem duvidar do valor da pessoa humana, do próprio significado da verdade e do bem, em síntese, da bondade da vida. Então, torna-se difícil transmitir de uma geração a outra algo de válido e de certo, regras de comportamento, objetivos credíveis com base nos quais construir a própria vida.
Queridos irmãos e irmãs de Roma, a este ponto gostaria de vos dizer uma palavra muito simples: não temais! Todas estas dificuldades, de facto, não são insuperáveis. São antes, por assim dizer, a outra face da moeda daquele dom grande e precioso que é a nossa liberdade, com a responsabilidade que justamente a acompanha. Contrariamente a quanto acontece em campo técnico ou económico, onde os progressos de hoje se podem somar aos do passado, no âmbito da formação e do crescimento moral das pessoas não existe uma semelhante possibilidade de acumulação, porque a liberdade do homem é sempre nova e portanto cada pessoa e cada geração deve tomar de novo, e directamente, as suas decisões. Também os maiores valores do passado não podem simplesmente ser herdados, devem ser feitos nossos e renovados através de uma, muitas vezes difícil, escolha pessoal.
Mas quando as bases são abaladas e faltam as certezas fundamentais, a necessidade daqueles valores volta a fazer-se sentir de modo urgente: assim, em concreto, aumenta hoje o pedido de uma educação que o seja verdadeiramente. Pedem-na os pais, preocupados e muitas vezes angustiados com o futuro dos próprios filhos; pedem-na muitos professores, que vivem a triste experiência da degradação das suas escolas; pede-a a sociedade no seu conjunto, que vê postas em dúvida as próprias bases da convivência; pedem-na no seu íntimo os próprios jovens, que não querem ser deixados sozinhos perante os desafios da vida. Quem crê em Jesus Cristo tem depois um ulterior e mais forte motivo para não ter receio: de facto, sabe que Deus não nos abandona, que o seu amor nos alcança onde estamos e como somos, com as nossas misérias e debilidades, para nos oferecer uma nova possibilidade de bem.
Queridos irmãos e irmãs, para tornar mais concretas estas minhas reflexões, pode ser útil determinar algumas exigências comuns de uma autêntica educação. Ela tem necessidade antes de tudo daquela proximidade e confiança que nascem do amor: penso na primeira e fundamental experiência do amor que as crianças fazem, ou pelo menos deveriam fazer, com os seus pais. Mas cada verdadeiro educador sabe que para educar deve doar algo de si mesmo e que só assim pode ajudar os seus alunos a superar egoísmos e a tornar-se por sua vez capazes de amor autêntico.
Há já numa criança um grande desejo de saber e de compreender, que se manifesta nas suas contínuas perguntas e pedidos de explicações. Portanto a educação seria muito pobre se se limitasse a dar noções e informações, e deixasse de lado a grande pergunta em relação à verdade, sobretudo àquela verdade que pode servir de orientação na vida.
Também o sofrimento faz parte da verdade da nossa vida. Por isso, procurando proteger os mais jovens de qualquer dificuldade e experiência do sofrimento, arriscamos de fazer crescer, apesar das nossas boas intenções, pessoas frágeis e pouco generosas: a capacidade de amar corresponde de facto à capacidade de sofrer, e de sofrer juntos.
Chegamos assim, queridos amigos de Roma, talvez ao ponto mais delicado da obra educativa: encontrar um justo equilíbrio entre a liberdade e a disciplina. Sem regras de comportamento e de vida, feitas valer dia após dia também nas pequenas coisas, não se forma o carácter e não se está preparado para enfrentar as provas que não faltarão no futuro. Mas a relação educativa é antes de tudo o encontro de duas liberdades e a educação com sucesso é formação para o reto uso da liberdade. Mas à medida que a criança cresce, torna-se um adolescente e depois um jovem; portanto devemos aceitar o risco da liberdade, permanecendo sempre atentos a ajudá-lo a corrigir ideias e opções erradas. O que nunca devemos fazer é favorecê-lo nos erros, fingir que não os vemos, ou pior partilhá-los, como se fossem as novas fronteiras do progresso humano.
Portanto, a educação nunca pode prescindir daquela respeitabilidade que torna credível a prática da autoridade. De facto, ela é fruto de experiência e competência, mas adquire-se sobretudo com a coerência da própria vida e com o comprometimento pessoal, expressão do amor verdadeiro. Portanto, o educador é uma testemunha da verdade e do bem: sem dúvida, também ele é frágil e pode falhar, mas procurará sempre de novo pôr-se em sintonia com a sua missão.
Caríssimos irmãos de Roma, destas simples considerações sobressai como é decisivo na educação o sentido de responsabilidade: responsabilidade do educador, certamente, mas também, e na medida em que cresce com a idade, responsabilidade do filho, do aluno, do jovem que entra no mundo do trabalho. É responsável quem sabe responder a si mesmo e aos outros. Além disso, quem crê procura responder a Deus que o amou primeiro.
A responsabilidade é em primeiro lugar pessoal, mas existe também uma responsabilidade que partilhamos juntos, como cidadãos de uma mesma cidade e de uma nação, como membros da família humana e, se somos crentes, como filhos de um único Deus e membros da Igreja. De facto as ideias, os estilos de vida, as leis, as orientações gerais da sociedade em que vivemos, e a imagem que ela dá de si mesma através dos meios de comunicação, exercem uma grande influência sobre a formação das novas gerações, para o bem mas muitas vezes também para o mal. Contudo a sociedade não é uma abstracção; no final somos nós próprios, todos juntos, com as orientações, as regras e os representantes que elegemos, mesmo sendo diversos os papéis e as responsabilidades de cada um. Portanto, há necessidade da contribuição de cada um de nós, de cada pessoa, família ou grupo social, para que a sociedade, começando pela nossa cidade de Roma, se torne um ambiente mais favorável à educação.
Por fim, gostaria de vos propor um pensamento que desenvolvi na recente Carta Encíclica Spe salvi sobre a esperança cristã: a alma da educação, como da toda a vida, só pode ser uma esperança certa. Hoje a nossa esperança está insidiada de muitas partes e corremos o risco de nos tornarmos, também nós, como os antigos pagãos, homens "sem esperança e sem Deus neste mundo" como escrevia o apóstolo Paulo aos cristãos de Éfeso (Ef 2, 12). Precisamente daqui nasce a dificuldade talvez mais profunda para uma verdadeira obra educativa: na raiz da crise da educação está de facto uma crise de confiança na vida.
Portanto, não posso terminar esta carta sem um caloroso convite a ter Deus como nossa esperança. Só Ele é a esperança que resiste a todas as desilusões; só o seu amor não pode ser destruído pela morte; só a sua justiça e a sua misericórdia podem sanear as injustiças e recompensar os sofrimentos suportados. A esperança que se dirige a Deus nunca é esperança só para mim, é sempre também esperança para os outros: não nos isola, mas torna-nos solidários no bem, estimula-nos a educar-nos reciprocamente para a verdade e para o amor.
Saúdo-vos com afeto e garanto-vos uma especial recordação na oração, enquanto envio a todos a minha Bênção.
Vaticano, 21 de Janeiro de 2008.
BENEDICTUS PP. XVI
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Resumo do meu trabalho de conclusão de curso da minha graduação em Matemática.
O Cálculo Discreto, também chamado Cálculo de Diferenças Finitas, trabalha diretamente com sequências e somatórios. O primeiro contato com esse assunto aparece nas primeiras séries na educação básica com a sequência dos números naturais. Ao longo do tempo as contagens e as somas vão ficando mais trabalhosas. No entanto, a matemática vem auxiliar e facilitar essas operações. No ensino médio, há as progressões aritmética e geométricas que aprofundam mais o conhecimento do assunto. Na graduação, tem-se o Cálculo Diferencial e Integral (Cálculo Tradicional) que nos fornece a derivada e integral como ferramentas para o estudo de funções. Todavia, esse trabalho pretende fazer algo semelhante, porém os objetos a serem analisados são as sequências e os somatórios. Para isso, são construídas e desenvolvidas as ferramentas: derivada discreta e integral discreta para calcular esses somatórios. Assim, foi feita uma pesquisa bibliográfica em que se investiga os principais resultados do Cálculo Discreto, se verifica uma analogia com o Cálculo Tradicional e se espera aplicar tais técnicas nas resoluções de somatórios.
Palavras-chave: Sequências. Somatórios. Cálculo Discreto. Cálculo de Diferenças Finitas.
O trabalho completo pode ser encontrado aqui:
https://drive.google.com/file/d/1tn__-gKSt6zbDnfblTIhwyurakdG_O0e/view?usp=sharing
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