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| Retrato de Luca Pacioli - 1495 por Jacopo de Barbari |
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Texto retirado da Introdução da tese de doutorado A "De Divina Proportione" de Luca Pacioli - Tradução anotada e comentada, feita por Fábio Maia Bertato, 2008.
Luca Pacioli e a "Querela da Perspectiva": As Classificações das Matemáticas da Antigüidade Clássica ao fim do Quattrocento [16].
Muitas foram as classificações das ciências ao longo da história. Até hoje, discute-se um critério de demarcação que permita discernir o que deve e o que não deve chamar-se ciência e como distingui-la quanto a sua natureza.
No mundo medieval, os ramos do conhecimento que formavam a base da educação do indivíduo consistiam das chamadas Artes Liberales. Estas serviam para a formação do homem livre (lat. liber), em contraste com as Artes Liberales, cultivadas com fins econômicos.
As artes liberais podem ser divididas em dois grupos: o Trivium (ou Artes Sermocinales ou triviales) e o Quadrivium (ou Artes Reales ou Physicae, ou ainda quadriviales). O Trivium, que significa “cruzamento de três caminhos”, era constituído pela Gramática, Retórica e Dialética (ou Lógica), artes consideradas mais elementares. As disciplinas matemáticas Aritmética, Geometria, Astronomia e Música compunham o Quadrivium, que por sua vez significa “cruzamento de quatro caminhos”. As artes do Quadrivium eram consideradas intermediárias, sendo o objetivo final a aquisição de uma forma de conhecimento superior, através da Filosofia e da Teologia. São bem conhecidos os versos mnemônicos de circulação medieval, que resumem as funções das Artes Liberais:
Gram loquitur, Dia verba docet, Rhet verba colorat,Mus canit, Ar numerat, Geo ponderat, Ast colit astra(LEWIS,1994, p. 186). [17]
Naturalmente, qualquer classificação dos ramos do saber, a despeito de sua grande influência, não poderia ser unanimemente aceita. Frà Luca Pacioli (1445 – 1517?), no epicentro do advento da Perspectiva Linear, defendia a inclusão desta nas artes do Quadrivium:
“Porém, nosso juízo, ainda que baixo e incapaz, reduzem-nas a três ou cinco, isto é, Aritmética, Geometria e Astronomia, excluindo-se destas a Música, por tantas razões quanto as que eles dão para excluírem das cinco a Perspectiva, ou agregando esta às quatro, por tantas razões quanto são as que agregam às nossas três a Música. [...] Estimo que tantos sábios não devam estar errados, porém, apesar de seus dizeres, minha ignorância não cede” (PACIOLI, 1498, f.VIIIIv – Xr) [18].
Em uma curiosa mescla de teimosia intelectual e humildade franciscana, as palavras de Pacioli nos introduzem em uma disputa acerca do status da Perspectiva e da Pintura em fins do Quattrocento, da qual participou também seu amigo Leonardo Da Vinci (1452 - 1519). Dentre várias considerações a serem realizadas no estudo do Renascimento, não é de se desprezar dois marcos, a saber, o retorno à Antigüidade e o desenvolvimento da Perspectiva como interpretação da realidade.
O objetivo deste capítulo é apresentar a discussão de Luca Pacioli sobre a relevância da Perspectiva como disciplina matemática. Iniciamos com uma breve história do Quadrivium, sua origem, seu desenvolvimento e seu estabelecimento.
1 - Antigüidade Clássica
Denominamos por Antigüidade Clássica a civilização grego-romana existente entre os séculos VI a.C. e V d.C. Poderíamos dizer, em linhas gerais, que o mundo grego desenvolveu um modelo de cultura e de reflexão intelectual que foi absorvido pelos romanos e que, consequentemente, muito influiu em caracterizações gerais da civilização ocidental.
O classicista alemão Werner Jaeger chega a afirmar que “por muito elevadas que julguemos as realizações artísticas, religiosas e políticas dos povos anteriores, a história daquilo que podemos com plena consciência chamar de cultura só com os Gregos começa” [19]. (JAEGER, s/d , p.4). Bertrand Russel, afirma “Philosophy and science as we know them are Greek inventions. The rise of Greek civilization which produced this outburst of intellectual activity is one of the most spectacular events in history. Nothing like it has ever occurred before or since” (RUSSELL, 2003, p. 20). Não discutiremos tais asserções, mas elas evidenciam a importância dada aos desenvolvimentos obtidos pelos gregos, por considerável número de autores.
A seguir, faremos um breve estudo sobre alguns termos empregados pelos gregos para designar os tipos de conhecimento relacionados com sua matemática.
1.1 - Τέχνη καὶ ἐριστήμη (Téchne e Epistéme)
Costuma-se traduzir a palavra grega τέχνη (téchne) por “arte”, mas, dentre suas outras acepções, poderíamos destacar “arte manual”, “indústria”, “ofício”, “conhecimento teórico” e “método”. Téchne denotava uma habilidade manual ou uma habilidade do espírito, um ramo do conhecimento, uma ciência prática. Ἐπίστήμη (Epistéme), por sua vez, também poderia ser traduzida por “arte” ou ainda por “habilidade”, “conhecimento”, “saber” ou “ciência”. Se téchne é a ciência prática, epistéme é a ciência teórica, o conhecimento verdadeiro, em oposição à opinião (δόξα) irrefletida (cf. PLATÃO, Republica V, 477b). Como é bem sabido, é difícil dar uma definição precisa desses termos, pois, a semântica depende do período estudado, do autor considerado e da evolução de seu pensamento. Entre epistéme e téchne existe uma relação íntima e também um contraste fundamental, ora são utilizados sem distinção, ora com sentido diverso (cf. PARRY, 2003).
Aristóteles faz uma clara distinção entre as epistémai e as téchnai em sua Ética a Nicômaco, ainda que tal distinção não seja sempre observada na totalidade de sua obra. Juntamente com a φρόνησις (phrónesis, prudência), a σοφία (sophia, sabedoria) e a νοῦς (noûs, razão pura), outras atividades derivadas da racionalidade da alma constituem as chamadas virtudes intelectuais. As téchnai estão mais próximas da experiência, não focalizam o conhecimento em si, são atividades sobre o que é não-necessário. Ocupam-se da reprodução de conhecimentos verificáveis empiricamente, sem a busca por explicações, isto é, as téchnai estão voltadas para a produção (ποίησις, poiésis), não sendo em si e por si um fim. As epistémai voltam-se para o conhecimento do universal, do necessário, do absoluto, buscam a causa para melhor compreender e operam com a demonstração.
Em geral, considera-se que, para os gregos, havia certa identificação entre ciência e filosofia. Portanto, ao tratarmos da divisão das ciências, na cultura helênica, tratamos também da divisão da filosofia.
1.2 - Μαθηματική (Mathematiké) e as origens do Quadrivium
A palavra grega μαθήματα (mathémata), que costuma ser traduzida por “matemática”, é o plural de μάθημα (máthema), que poderia ser traduzida por “estudo”, “ciência” ou “conhecimento”. Essas palavras estão relacionadas com o verbo μανθάνω (mantháno, “aprender”, “estudar”, “instruir-se”) e com μαθηματικός (mathematikós, “que se dá ao estudo”). Em Platão, o termo máthema é empregado em um sentido muito mais amplo, para qualquer objeto de estudo ou instrução. Segundo Sir Thomas Heath, “the words μαθήματα and μαθηματικός do not appear to have been definitely appropriated to the special meaning of mathematics and mathematicians or things mathematical until Aristotle’s time” (HEATH, 1981, p.10).
Em um fragmento atribuído a Arquitas de Tarento (c. 428 - c. 347 a.C.), filósofo-rei amigo de Platão, encontra-se o emprego do termo mathémata no sentido de ciências matemáticas (cf. verbete μάθημα em LIDDELL, 1940):
“Let us now cite the words of Archytas the Pythagorean, whose writings are said to be mainly authentic. In his book On Mathematics right at the beginning of the argument he writes thus:
“The mathematicians seem to me to have arrived at true knowledge, and it is not surprising that they rightly conceive the nature of each individual thing; for, having reached true knowledge about the nature of the universe as a whole, they were bound to see in its true light the nature of the parts as well. Thus they have handed down to us clear knowledge about the speed of the stars, and their risings and settings, and about geometry, arithmetic and sphaeric, and, not least, about music; for these studies [μαθήματα] appear to be sisters” (THOMAS, 1991, p. 5) [20].
Neste trecho do chamado Fragmento 1 (Frag. 1), Arquitas lista quatro ciências (mathémata), a saber, geometria, aritmética, astronomia (esférica) e música, configurando, dessa maneira, o mais antigo testemunho da existência de um quadrivium pitagórico [21]. Como veremos, o programa de formação do filósofo apresentado na República de Platão, reflete a classificação das mathémata apresentada por Arquitas. É de se notar que, nessa obra, Sócrates fale sobre a Astronomia e a Harmonia como irmãs, em explícita referência aos Pitagóricos (PLATÃO, Republica, VII, 530d). Paul Shorey considera que o Frag. 1 é uma cópia desse trecho da República (PLATÃO, 1969).
Santo Anatólio de Alexandria (séc. III d. C.), afirma que os Pitagóricos foram os primeiros a empregar o termo μαθηματική (mathematiké, feminino de mathematikós), exclusivamente para a geometria e a aritmética [22]:
“Why is mathematics [μαθηματική] so named?“The Peripatetics say that rhetoric and poetry and the whole of popular music can be understood without any course of instruction, but no one can acquire knowledge of the subjects called by the name of mathematics unless he has first gone through a course of instruction in them; and for this reason the study of these subjects was called mathematics. The Pythagoreans are said to have given the special name mathematics [μαθηματική] only to geometry and arithmetic; previously each had been called by its separate name, and there was no name common to both” (THOMAS, 1991, p. 3).
Parece razoável que o uso de mathematiké, para designar as ciências matemáticas, seja devido à escola de Pitágoras, já que como nos relatam Porfírio (c. 234 – c. 305 d.C.) e Jâmblico (c. 245 - c. 325 d.C.), seus discípulos eram divididos em dois grupos: os μαθηματικοί (mathematikoí), que aprendiam uma versão mais elaborada da doutrina, e os ἀκουσματικοί (akousmatikoí, derivado de ἀκούω “ouvir”), que eram discípulos exotéricos, que somente podiam ouvir os ensinamentos de Pitágoras, sem vê-lo (cf. PORFÍRIO, 1816, p. 68; JÂMBLICO, 1989, p. 35; MCKIRAHAN, 1994, p. 89 - 91).
Outro testemunho, um pouco mais tardio, desta classificação pitagórica, bem como a existência de outras classificações das matemáticas, podem ser encontrados na obra de Proclus (412 – 485 d.C.). Citemos um trecho de seu Comentário ao Livro 1 dos Elementos de Euclides:
“The Pythagoreans considered all mathematical sciences to be divided into four parts: one half they marked off as concerned with quantity (ποσόν), the other half with magnitude (πηλίκον); and each of these they posited as twofold. A quantity can be considered in regard to its character by itself or in its relation to another quantity, magnitudes as either stationary or in motion. Arithmetic, then, studies quantity as such, music the relations between quantities, geometry magnitude at rest, spherics magnitude inherently moving” (PROCLUS, 1992, p. 29 F 30).“But others, like Geminus, think that mathematics should be divided differently [...]” (PROCLUS, 1992, p. 31).
De acordo com Proclus, o estóico Geminus (c. 10 a.C. – c. 60 d.C.) considera, em sua divisão das matemáticas, por um lado, as ciências concernentes com as coisas inteligíveis, Aritmética e Geometria e, por outro, as concernentes com as coisas sensíveis, Mecânica, Astronomia, Ótica, Geodésia, Canônica e Logística (cf. TANNERY, 1887, p. 38 - 52). Anatólio faz a mesma classificação (cf. THOMAS, 1991, p. 19 e TANNERY, 1887 p. 42 - 43).
1.3 - Platão
Platão, em sua obra Político, divide a ciência (epistéme) em πρακτική (praktiké), que é a prática ou ciência da ação, como a arquitetura, e γνωστική (gnostiké), que é a ciência do conhecer ou teórica, como a aritmética [23]. Poderíamos considerar essa a sua divisão da ciência. Todavia, como observam alguns autores, Platão não apresenta em seus escritos uma divisão da Filosofia de forma explícita e, a partir de testemunhos mais antigos, seu sistema pode ser dividido em três partes: Dialética, a ciência da Idéia em si; Física, o conhecimento da Idéia como incorporada no mundo dos fenômenos, e a Ética, ou ciência da Idéia incorporada na conduta humana e na sociedade humana (TURNER, 1911; PECK, 1898; SCHWGLER, 1856, p.82-83). Para Platão, as matemáticas compunham a propedêutica à Filosofia.
“Ninguém desprovido de geometria pode entrar” [24]. Diz-se que esta célebre sentença estava escrita no pórtico de entrada da Academia de Platão. Tal exigência serve para ilustrar a bem conhecida importância dada por Platão às matemáticas, em particular à Geometria, visto que “Deus sempre geometriza” [25]. Verifica-se no curriculum de formação dos filósofos-governantes (Guardiões), proposto por Platão no Livro VII da República, o papel fundamental das matemáticas. O objetivo de seu programa era o preparo do espírito para o cultivo da Dialética, cujo fim é o conhecimento do Bem (cf. 533b-e). Os futuros governantes deveriam ter um conhecimento exato das matemáticas, que muito acima de sua utilidade, na guerra por exemplo, facilitariam a passagem da alma da mutabilidade à verdade e à essência (cf. 525c), reavivando um órgão, cuja salvação importa mais do que mil órgãos da visão (cf. 527e).
Eis a seqüência de estudos (mathemáta) aos quais os Guardiões, entre vinte e trinta anos de idade, deveriam se dedicar após dois anos de formação em Música e Ginástica (II, 376e): Aritmética (522c) [26], Geometria (526c), Estereometria (528a), Astronomia (528e) e Harmonia [27] (530d). Temos aqui os mesmos componentes (téchnai) do ulteriormente chamado Quadrivium, com um acréscimo, a Estereometria. Se considerarmos que a geometria dos sólidos já havia sido estudada pelos pitagóricos, por Demócrito (c. 460 a.C. – c. 370 a.C.) e outros, a distinção entre a Geometria e a Estereometria torna-se apenas uma formalidade, para evidenciar os poucos avanços realizados, na época, nesta “nova ciência” (cf. HEATH, 1981, p. 12). Com efeito, podemos averiguar a incorporação da Estereometria à Geometria, realizada por Platão em sua obra Leis (VII, 817e):
“Then there are, of course, still three subjects [τρία μαθήματα] for the freeborn to study. Calculations and the theory of numbers form one subject; the measurement of length and surface and depth make a second; and the third is true relation of the movement of the stars one to another” (THOMAS, 1991, p. 21).
Além de corroborar com a veracidade da conclusão sobre a Geometria como ciência do plano e dos sólidos, este trecho é mais um exemplo que pode reforçar o emprego da palavra mathémata no sentido tratado na seção 1.2. Segundo Heath, a preeminência dada às matemáticas, no esquema educacional platônico, pode ter encorajado o hábito de tratá-las por mathémata (HEATH, 1981, p. 10). Nota-se também a particularidade de tais assuntos serem explicitamente classificados como objetos de estudo de homens livres, concordando com a concepção de artes liberais já mencionada.
Segundo Jaeger, foram os sofistas que incluíram as mathémata, identificadas com o Quadrivium, na mais alta cultura grega (JAEGER, s/d, p. 341). É difícil saber de que forma Platão as recebeu, o que sabemos realmente é que, outros já as expuseram como fundamentais na educação [28]. Protágoras, no diálogo de Platão que recebe seu nome, expõe a educação proposta por outros sofistas, contra a sua baseada na arte da política, para formar bons cidadãos:
“For Hippocrates, if he comes to me, will not be treated as he would have been if he had joined the classes of an ordinary sophist. The generality of them maltreat the young; for when they have escaped from the arts [τήχναι] they bring them back against their will and force them into arts [τήχναι], teaching them calculation [λογισμός], astronomy and geometry and music” (PLATÃO, Protagoras, 318d-e).
O classicista escocês James Adam considera este trecho como um registro do uso do termo “arte” (téchne) aplicado por excelência ao Quadrivium, no tempo de Platão. Segundo ele, as artes propedêuticas de Platão, apresentadas na República, são essencialmente as mesmas do Quadrivium medieval (ADAM, 1901, p. 220).
1.4 - Aristóteles
“Todos os homens desejam por natureza o saber” [29]. É com essa sentença que Aristóteles inicia a sua Metafísica. Segundo o Estagirita, pela admiração teve início o filosofar [30] e, por esse desejo natural de saber, juntamente com o ócio de homens livres, os sacerdotes egípcios se admiraram com certos fenômenos celestes e da sua busca por explicações nasceram as artes (téchnai) matemáticas [31]. É sobre sua autoridade (não exclusivamente) que aqueles que o chamam de o Filósofo se baseiam ao iniciar uma obra, durante o Medievo e Renascimento [32].
A divisão do saber ou classificação das atividades intelectuais de Aristóteles é constituída por três grupos [33]:
- Poiéticas ou produtivas (ποιητικαί, poietikai), que estudam as obras da inteligência produzidas com materiais preexistentes (objetos e obras de arte): poética, retórica e lógica;
- Práticas (πρακτικαί, praktikai), que investigam a ação do homem em suas diversas formas: ética, política e economia;
- Ciências teóricas ou especulativas (θεωρετικαί, theoretikai), as mais elevadas, se ocupam dos princípios da existência e à especulação: matemática, física e ciência primeira (metafísica ou teologia) [34].
Aristóteles estabelece uma hierarquia entre as ciências em que as especulativas têm primazia [35] e, como podemos ver, em sua classificação, a matemática é uma ciência especulativa [36].
1.5 Artes Liberais
O grande apreço dos gregos pelas atividades puramente intelectuais, conduziu-os a um certo desprezo pelas atividades manuais. Esse contraste resultou em uma classificação do saber amplamente aceita na Antigüidade, naquelas que os romanos denominaram “artes liberales” e “artes vulgares” [37]. Como observa Władysław Tatarkiewicz, a distinção entre elas apareceu muito cedo, tornando impossível determinar seu autor (TATARKIEWICZ, 1963 – p. 233). Podemos considerar que havia uma equivalência de acepções entre os termos epistéme e téchne dos gregos e a scientia (“ciência”) e ars (“arte”) dos latinos, respectivamente (cf. LEWIS & SHORT, 1879; KRISTELLER, 1951, 498).
Galeno (c. 129 – c. 216), em sua obra Protrepticus, considera a Medicina, a Retórica, a Música, a Geometria, a Aritmética, a Filosofia, a Astronomia, a Literatura e a Jurisprudência como “artes veneráveis”, em contraposição com as “artes desprezíveis”, dependentes de trabalho manual. Galeno afirma, hesitante, que a pintura e a escultura também poderiam ser consideradas como pertencentes a primeiro grupo (GALENO, 1930, Protrepticus, 14).
O registro mais antigo do emprego de “artes liberales” pode ser encontrado na obra de Cícero (106 a.C. – 43 a.C.), particularmente em De Oratore, onde contrasta as artes que são dignas do homem livre (“artes quae sunt libero dignae”) com as artes servis (“artes serviles”) (CÍCERO, 1830, p. 35, De Oratore, III, 16). Como liberais, Cícero enumera a Geometria, a Literatura, a Poesia, a Ciência Natural, a Ética e a Política, todavia, não fornece uma lista completa.
Às artes liberales e vulgares, Sêneca (4 a.C. - 65 d.C), baseado em Posidonius (c. 135 a.C. - 51 a.C.), acrescenta as “artes pueriles”, destinadas a instrução, e as “artes ludicrae”, destinadas à diversão (SÊNECA, 1842, p. 438, Epistolae Morales, XIII, 3). Sêneca ainda inclui entre as Artes Liberais a Medicina e nega o mesmo status à Pintura e à Escultura:
“I will not be induced to admit that painters or sculptors practise a liberal art, or the other ministers of luxury” (SÊNECA, 1842, p. 436, Epistolae Morales, XIII, 3) [38].
É de se notar que os romanos não tinham a mesma admiração pelas matemáticas que os gregos, pois aqueles estavam mais interessados no cultivo da “Humanitas”, em especial, da Gramática e da Retórica. Outro fato a se observar é que no latim tardio, mathematicus era empregado em um sentido vulgar, significava adivinho, astrólogo, mago (cf. STO AGOSTINHO, De Genesi ad Litteram, II, xvii, 37).
A organização definitiva das Artes Liberais nasce da obra do enciclopedista pagão Marciano Capella (séc. V), ainda que classificações semelhantes das artes tenham sido realizadas antes. Nos dois primeiros livros de sua obra De Nuptiis Philologiae et Mercurii et de septem Artibus liberalibus libri novem, Capella apresenta alegoricamente as sete Artes Liberais como virgens à noiva Filologia e, nos sete livros seguintes, trata particularmente de cada uma delas.
2. Idade Média e os "Sete Pilares da Sabedoiria" [39]
Como herdeiros das teorias elaboradas pelos antigos, podemos dizer que, com relação à divisão do saber, os autores medievais seguiam duas grandes tradições: a que denominamos platônica divide a Filosofia em Física, Ética e Lógica, e a que denominamos aristotélica divide a Filosofia em Teórica, Prática e Poiética.
Na De institutione arithmetica de Boécio (c. 480 – c. 524) encontramos o primeiro registro do uso do termo “Quadrivium”, distinguindo a Aritmética, a Geometria, a Música e a Astronomia, como indispensáveis para a aquisição do saber (“sapere”), que é ao mesmo tempo um conhecimento intelectual e prático:
“Se o investigador carece dessas quatro partes, não poderá encontrar o que é verdadeiro, e sem essa especulação da verdade nada pode ser retamente sabido [...] Este, pois é o Quadrivium” (BOÉCIO, 1867, p.9, De institutione arithmetica, I, 1) [40].
Foi Cassiodoro (c. 485 – c. 585), discípulo e amigo de Boécio, quem incorporou as Artes Liberais nos estudos dos monges, nas obras Institutiones divinarum et saecularum litterarum e De artibus ac disciplinis liberalium litterarum. Santo Isidoro de Sevilha (560 - 636) definiu-as, em suas Etymologiae [41], da seguinte maneira:
“Sete disciplinas compõem as Artes Liberais. A primeira é a Gramática, o conhecimento da língua. A segunda é a Retórica, que pelo brilho e abundância de sua eloqüência é considerada necessária sobretudo nas questões civis. A terceira é a Dialética, conhecida também como Lógica, que separa nas disputas mais sutis o verdadeiro do falso. A quarta é a Aritmética, que contém as relações dos números e sua divisão. A quinta é a Música, que consiste na arte do poema e do canto. A sexta é a Geometria, que compreende as medidas e dimensões da terra. A sétima é a Astronomia, que contém as leis dos astros” (ISIDORO, Etymologiae, I, 2) [42].
Isidoro afirma que, segundo alguns autores, pode ser considerado ars aquilo que consiste das regras e dos preceitos de uma arte [43] e disciplina uma ciência completa [44]. Também atribui a Platão e Aristóteles a seguinte distinção: tem-se ars quando se trata de algo verossímil ou opinável e disciplina, quando algo é discutido com argumentações verdadeiras sobre coisas que não podem se comportar de outra maneira. Tais definições são encontradas nas obras de Cassiodoro, com referências a outros autores como Santo Agostinho e Capella (cf. CASSIODORO, Institutiones, II, 2, 17; II, 3, 20).
Hugo de São Vítor (1096 - 1141) também retoma tais definições em sua obra intitulada Didascalicon (cf. HUGO DE SÃO VÍTOR, Didascalicon, II, 1). Sua inovação reside no fato de acrescentar à Filosofia algumas artes vulgares, por ele denominadas Mecânicas (mechanicae). Eis sua divisão da Filosofia e suas subdivisões [45]:
- Teórica (Theorica): Teologia, Matemática e Física;
- Prática (Practica): Solitária (Ética), Privada (Econômica) e Pública (Política);
- Mecânica (Mechanica): Lanificium (Manufatura de lã), Armatura (Fabricação de armas), Navegação, Agricultura, Caça, Medicina e Theatrica (Ciência do Teatro);
- Lógica (Logica): Gramática e Ratione disserendi (Teoria da Argumentação).
O que Hugo denomina Matemática é exatamente o Quadrivium e as artes do Trivium estão nas subdivisões da Lógica. Afirma que as Artes Liberais são como instrumentos ótimos pelos quais ao espírito é preparada a via para o pleno conhecimento da verdade filosófica e que, em tempos antigos, ninguém seria digno de se chamar Mestre se não conseguisse mostrar o conhecimento dessas sete ciências [46].
Não discutiremos aqui, mas merecem atenção o desenvolvimento curricular das escolas medievais, das universidades nascentes e o contributo feito pelos árabes para o estabelecimento ou novas interpretações do Quadrivium.
Influenciados pela interpretação árabe da classificação aristotélica do conhecimento, a partir do século XII, alguns autores europeus, começaram a aceitar as artes mecânicas como aplicações das teóricas (cf. WHITNEY, 1990, p. 131).
3. Perspectivas
Estabeleceu-se uma tradição historiográfica de que a “Perspectiva Linear” foi desenvolvida em Florença no início do Quattrocento por Filippo Brunelleschi (1377 - 1446) [47]. A partir do fim dos anos 50, do século passado, os historiadores da arte propõem novas hipóteses sobre a existência de uma perspectiva antiga assentada sobre princípios redescobertos no Renascimento. Destas, destacamos a chamada “Hipótese de Oxford” (L’Hypothèse d’Oxford) de Dominique Raynaud, que defende que a invenção da perspectiva ocorreu no século XIII, fundamentada pelos filósofos de Oxford, como Roger Bacon (1214 - 1292) e John Peckham (m. 1292) (RAYNAUD, 1998).
É possível distinguir, em textos medievais e renascentistas, diversas concepções da Perspectiva: a perspectiva naturalis, como “Ciência da Visão” (Ótica), a perspectiva artificialis ou prospectiva pingendi, como “Técnica de Representação”, a perspectiva pratica, como “Técnica de medição” e a perspectiva aedificandi, voltada para as aplicações arquitetônicas (CAMEROTA, 2006, p. 8). Da mesma maneira que os demais termos já analisados, podemos encontrar em um mesmo autor acepções distintas para a Perspectiva.
Desenvolveu-se, em Florença, uma transformação da concepção de arte. Os principais envolvidos são Filippo Brunelleschi, Donatello (1386 - 1466) e Masaccio (1401 - 1428) e Leon Battista Alberti (1404 -1472). Alberti escreveu tratados de Pintura, Arquitetura e Escultura e foi o responsável pela teorização da Perspectiva, particularmente através de sua obra De Pictura. Nessas obras enuncia princípios e descreve os processos dos projetos para as obras de arte.
Segundo Giulio Carlo Argan, o pensamento dos Humanistas modificou profundamente as concepções do espaço e do tempo:
“A forma ou a representação segundo a razão do espaço é a Perspectiva; a forma ou a representação segundo a razão da sucessão dos eventos é a História. Uma vez que essa ordem não está nas coisas, mas é imposta às coisas pela razão humana que as pensa, não há diferença entre a construção e a representação do espaço e do tempo. A Perspectiva dá o verdadeiro espaço, isto é, uma realidade da qual é eliminado tudo o que é casual, irrelevante ou contraditório; a História dá o verdadeiro tempo, isto é, uma sucessão de fatos da qual é eliminado o que é ocasional, insignificante, irracional” (ARGAN, 2003, p. 131-132).
O sistema perspéctico do Quattrocento é a redução à unidade de todos os modos de visão possíveis: o ponto de localização ideal é o frontal, isto é, aquele que põe como contrapostos, mas paralelos, o sujeito e o objeto. Considerando que a Perspectiva construía racionalmente a representação da realidade natural, podemos afirmar que inaugurava, além de uma nova fase artística, uma fase em que a realidade tornava-se compreendida em termos matemáticos.
Na classificação humanista das disciplinas, a Perspectiva, como ciência da visão, ainda era uma disciplina filosófica subalterna às artes do Quadrivium. Na universidade européia do século XV, a Perspectiva era geralmente classificada como um caso de Geometria Prática.
A posição subalterna da Perspectiva começou a ser reconsiderada a partir do século XII. Domingo Gundisalvo (c. 1100 - 1181), em sua obra De Divisione Philosophiae (c. 1150), considera a Filosofia dividida em scientiae e a Filosofia Prática além da Ética, Política e Economia, da tradição aristotélica, inclui as disciplinas práticas que estão relacionadas com a Matemática. Nesta, inclui também a Perspectiva (WHITNEY, 1990, p. 133).
Domenico da Chivasso (c. 1350) também propõe sua inclusão entre as artes do Quadrivium [48]. Outros que defendiam esta posição foram Michele Savonarola (c. 1385 - 1468), Marsilio Ficino (1433 - 1499), Girolamo Savonarola (1455 - 1498), Luca Pacioli e Leonardo Da Vinci (1452 - 1519). Denominaremos o debate sobre a inclusão da Perspectiva nas Artes do Quadrivium de “Querela da Perspectiva”.
4. Matemática e Perspectiva segundo Luca Pacioli
Em sua obra De Divina Proportione, publicada em 1509, Pacioli explica que o vocábulo μαθηματικός, deriva do grego e que, em seu idioma, equivale a “disciplinável” (“discipinabile”). Considera que as ciências e disciplinas matemáticas (“scientie e discipline”) são, para seu propósito, Aritmética, Geometria, Astrologia (ou Astronomia), Música, Perspectiva, Arquitetura, Cosmografia e qualquer outra dependente destas (PACIOLI, 1498, De Divina Proportione, III, f. 9r-v). Como podemos ver, esta lista é muito mais ampla que o Quadrivium, considerando também as disciplinas subalternas. Para ele, as ciências matemáticas são o fundamento e escada para se chegar ao conhecimento de qualquer outra ciência, pois, estão no primeiro grau de certeza [49]. Sem seu conhecimento, é impossível entender bem qualquer outra ciência, pois, tudo o que está distribuído no universo inferior e superior, reduz-se necessariamente ao número, peso e medida.
Tanto no Capítulo II da De Divina Proportione quanto na Epístola a Guidobaldo da Montefeltro (Alo Illumo. Principe Gui.Baldo. Duca de Urbino. Epistola), que faz parte da Summa, Pacioli afirma que as disciplinas matemáticas são aplicadas nas seguintes áreas: 1) Astrologia; 2) Arquitetura; 3) Perspectiva; 4) Escultura; 5) Música; 6) Cosmografia; 7) Comércio; 8) Arte Militar; 9) Gramática; 10) Retórica; 11) Poesia; 12) Dialética; 13) Filosofia; 14) Medicina; 15) Direito Civil e Canônico e 16) Teologia (cf. PACIOLI, 1494, f. 2r; PACIOLI, 1498, f. 4r-9r) [50]. Torna-se clara a preocupação com a aplicabilidade da Matemática e a superioridade desta com relação às demais, pois, segundo ele, somente as ciências e disciplinas matemáticas podem ser chamadas certezas (De Divina Proportione, I, f. 3v), sendo as demais apenas opiniões.
Pacioli divide as ciências e disciplinas matemáticas em Prática e Especulativa. A Álgebra, denominada por ele Pratica Speculativa, é um caso de Prática de Aritmética e de Geometria. A Arte Maior é a Álgebra e a Arte Menor é a Pratica Negotiaria (Prática Comercial) [51].
Em sua obra Summa, na Distinctio Octava dedicada a questões de Geometria, Pacioli trata de uma questão pertinente à Perspectiva, onde afirma que esta é uma disciplina subalterna a Geometria e a Aritmética:
“Saiba que esta questão é de Perspectiva, mas como esta ciência é subalterna à Geometria e Aritmética, a resolveremos” (PACIOLI, 1494, Summa, Distinctio octava, Cap. II, f. 65r) [52].
É na De Divina Proportione que Luca Pacioli apresenta explicitamente suas concepções místicas acerca da Razão Áurea ou “Divina Proporção”. Também é nessa obra que introduz sua posição acerca da “Querela da Perspectiva”.
4.1 O Quadrivium e a "Querela da Perspectiva"
Como já dissemos, Pacioli defende a elevação da Perspectiva ao mesmo status das artes do Quadrivium. Dentre os argumentos que apresenta em defesa da Perspectiva, podemos destacar a exaltação da visão:
“E dentre nossos sentidos, os sábios concluem que a visão é a mais nobre. Daí, que vulgarmente se diga, não sem fundamento, que o olho é a primeira porta pela qual o intelecto entende e gosta” (PACIOLI, De Divina Proportione, f. 4r) [53].
Pacioli chama a visão de “primeira porta pela qual o intelecto entende e gosta” [54]. Semelhante argumentação é apresentada por Leonardo Da Vinci, em seu “Paragone” [55], onde afirma que o olho, “que se diz janela da alma”, é a principal via por onde se pode considerar as infinitas obras da natureza [56]. Para Pacioli e Leonardo, a visão é o princípio do conhecimento, pois “nada há no intelecto que não passe primeiro pelos sentidos”, e o primeiro dos sentidos é a visão. Para Leonardo, é o olho que abraça toda a beleza do mundo, o olho é o “Príncipe das matemáticas”. Para ambos, não havia sentido em considerar a Música como disciplina matemática e ignorar a Perspectiva.
O Capítulo I da De Divina Proportione apresenta ao leitor uma descrição do ambiente da corte de Milão, na época de Ludovico Sforza [57]. Neste Capítulo, Pacioli relembra o “scientifico duello”, um debate ocorrido em 9 de fevereiro de 1498, com a participação de ilustres indivíduos do período, dentre os quais, destaca-se Leonardo Da Vinci. Pacioli lhe dedica grandes elogios e afirma que este já havia concluído “o digno livro de Pintura e dos movimentos humanos” [58].
É importante observar que o “scientifico duello” de Pacioli e o “Paragone” de Leonardo parecem se complementar. Nota-se diversas similaridades e podemos supor que a corte de Milão tenha sido palco de uma série de debates sobre qual das ciências ou artes seria a mais importante. Infelizmente, apesar da razoável riqueza de detalhes dos capítulos iniciais de De Divina Proportione, desconhecemos a existência de algum texto onde Pacioli apresente argumentações mais amplas e elaboradas sobre a “Querela da Perspectiva”, como as realizadas por Leonardo acerca da “Disputa das Artes”.
Monica Azzolini, em dois recentes trabalhos (AZZOLINI 2004 e 2005), faz uma interessante análise da dinâmica do patronato científico no Renascimento e das mudanças sociais e econômicas dos envolvidos, a partir do “scientifico duello” e do “Paragone”. Segundo ela, “by participating in the duel, Leonardo and Pacioli challenged the traditional hierarchy of disciplines and, at the same time, the social, economical and intellectual status that indissolubly came with it” (AZZOLINI, 2004, p. 128). Apesar da grande relevância de sua abordagem, tais discussões fogem do escopo deste texto, por isso recomendamos fortemente a leitura de seus artigos para uma maior compreensão da “Querela da Perspectiva”.
“Que não me leia quem não for matemático” [59]. Tal asserção, semelhante a inscrição do pórtico da Academia de Platão, evidencia o papel da Matemática na obra de Leonardo Da Vinci. Para ele, “nenhuma investigação humana pode chamar8se verdadeira ciência se não passa através de demonstrações matemáticas” [60]. Para Leonardo, a Pintura é verdadeira “scientia” e, fundamenta-se sobre bases matemáticas.
Podemos perceber uma mudança no pensamento de Leonardo acerca da Perspectiva. Ora a Perspectiva é “filha da Pintura”, ora é sua “rédea e leme”. Em outro lugar afirma que “a Pintura é baseada na Perspectiva, que nada mais é que um conhecimento minucioso do olho” [61].
Apesar de inúmeros autores, debates e posicionamentos ao longo da História, acerca da classificação das matemáticas e da ciência, o Quadrivium em suas diversas acepções e interpretações, exerce um papel fundamental nesta discussão e no pensamento contemporâneo.
Procuramos evidenciar a origem pitagórica do Quadrivium, sua assimilação no pensamento platônico e neoplatônico, para contextualizar a discussão que se fortalece no Renascimento, especialmente nas obras de Luca Pacioli e Leonardo Da Vinci.
Acreditamos que a teorização da Perspectiva teve amplas repercussões no pensamento científico, permitindo o desenvolvimento da Geometria Projetiva e apresentando uma nova concepção de espaço, necessária para o desenvolvimento da ciência moderna.
A posição de Pacioli, Leonardo da Vinci e outros, acerca da Matemática e da Perspectiva pode ser considerada precursora da concepção sumarizada por Galileu: “La matematica è l'alfabeto nel quale Dio ha scritto l'universo”.
* * *
Notas:
[16] O texto que apresentamos a seguir corresponde, com algumas alterações, a BERTATO & D’OTTAVIANO 2007.
[17] “A Gramática fala, a Dialética ensina as palavras, a Retórica colore as palavras, a Música canta, a Aritmética conta, a Geometria pesa, a Astronomia se ocupa dos astros.”
[18] “Ma el nostro iudicio benche imbecille et basso sia o tre o cinque ne constringe. cioe Arithmetica. Geometria. e astronomia excludendo la musica da dicte per tante ragioni quante loro dale .5. La prospectiua e per tante ragione quella agiognendo ale dicte quatro per quante quelli ale dicte nostre .3. la musica. [...] pur existimo tanti saui non errare. E per lor dicti la mia ignoranza non si suelle.”
[19] “So hoch wir auch die künstlerische, religiöse und politische Bedeutung der früheren Völker schätzen mögen, beginnt doch die Geschichte dessen, was wir als Kultur in unserem bewussten Sinne bezeichnen können, nicht eher als bei den Griechen.” (JAEGER, 1973, p. 3).
[20] Citado por Porfírio em seu comentário sobre a Harmonica de Ptolomeu (MULLACH, 1860, p. 564). Acerca da autenticidade e formas variantes do Frag. 1, v. HUFFMAN, 1985 e para maiores detalhes sobre Arquitas e seus escritos v. HUFFMAN, 2004.
[21] Identifica-se a esférica com a astronomia (cf. HEATH, 1981, p. 11 e HUFFMAN, 2004, p. 243).
[22] Santo Anatólio foi bispo de Laodicéia, na Síria, por volta de 283 d.C. É citado por Eusébio de Cesaréia: “Eusebius, who had come from the city of Alexandria, ruled the parishes of Laodicea after Socrates. [...] Anatolius was appointed his successor; one good man, as they say, following another. He also was an Alexandrian by birth. In learning and skill in Greek philosophy, such as arithmetic and geometry, astronomy, and dialectics in general, as well as in the theory of physics, he stood first among the ablest men of our time, and he was also at the head in rhetorical science. It is reported that for this reason he was requested by the citizens of Alexandria to establish there a school of Aristotelian philosophy” (EUSÉBIO, 1890, p. 318, Hist. Eccl., VII, 32). A citação apresentada encontra-se nas Definitiones de Heron de Alexandria (c. 10 – c. 75 d. C.), que viveu dois séculos antes de Anatólio! Para maiores detalhes v. TANNERY, 1887 p. 177.
[23]“ταύτῃ τοίνυν συμπάσας ἐπιστήμας διαίρει, τὴν μὲν πρακτικὴν προσειπών, τὴν δὲ μόνον γνωστικήν” [“In this way, then, divide all science in two parts, calling the one practical, and the other purely intellectual”] (Politicus, 258e).
[24] Segundo o escritor bizantino Johannes Tzetzes (c. 1110 – c.1180), “Πρὸ τῶν προθύρων τῶν αύτοῦ γράψας ύπῆρχε Πλάτων· ‘Μηδεὶ ἀγεωμέτρητος εὶσίτω μου τὴν στέγην’ ” [“Over his front doors Plato wrote: ‘Let no one unversed in geometry come under my roof’”] (THOMAS, 1991, p. 386 - 387). Frequentemente citada em uma versão mais resumida: “ἀγεωμέτρητος μηδεις εὶσίτω”.
[25] “ἀεὶ Θεὸς γεωμετρεί” (cf. THOMAS, 1991, p. 387; PLUTARCO, Convivalium Disputationem, VIII, 2).
[26] Λογιστική (“arte do cálculo”) καὶ ἀριθμετική (“teoria dos números”). Cf. HEATH, 1981, p. 13.
[27] Platão emprega o termo ἀρμονία (harmonia) em contraste com μουσική (mousiké) como música popular dos mestres de lira (cf. THOMAS, 1991, p. 7).
[28] Cf. Hippias Major, 285b; Theaetetus, 145a-d. Sobre o contato de Platão com os pitagóricos v. CÍCERO,1877, p. 25, Tusculanae Disputationes, I, 17.
[29] “Πάντες ἄνθρωποι τοῦ εἰδέναι ὀρέγονται φύσει” (Metaphysica, I, 1, 980a, 1). Para a tradução do grego dos trechos citados, nos baseamos nas traduções que constam da Bibliografia e utilizamos PERSCHBACHER, 1996 e os excelentes recursos do Word Study Tool do The Perseus Digital Library (http://www.perseus.tufts.edu/).
[30] “διὰ γὰρ τὸ θαυμάζειν οἱ ἄνθρωποι καὶ νῦν καὶ τὸ πρῶτον ἤρξαντο φιλοσοφεῖν” [“Foi pela admiração que os homens, assim hoje como no início, começaram a filosofar”] (Metaphysica I, 2, 982b, 12).
[31] “διὸ περὶ Αἴγυπτον αἱ μαθηματικαὶ πρῶτον τέχναι συνέστησαν, ἐκεῖ γὰρ ἀφείθη σχολάζειν τὸ τῶν ἱερέων ἔθνος” [“Assim, em diversas partes do Egito, se originaram pela primeira vez as artes matemáticas, porque aí se consentiu que a casta sacerdotal vivesse no ócio”] (Metaphysica, I, 1, 981b, 23-24).
[32] O título de “o Filósofo” era atribuído ao Estagirita por autores, como Tomás de Aquino (cf. Summa Theologiae, I q. 1, a. 1, a. 3, a. 4 etc). Com muita freqüência, encontram-se no início das obras de autores medievais e renascentistas citações de Aristóteles (cf. "Il Convivo" de Dante). Tal uso corrente de citações, particularmente em obras fabulosas e profanas, mereceu menção de Miguel de Cervantes, no Prólogo de seu livro Don Quijote de la Mancha: “ (...) tan llenos de sentencias de Aristóteles, de Platón y de toda la caterva de filósofos, que admiran a los leyentes y tienen a sus autores por hombres leídos, eruditos y elocuentes?”. Dos matemáticos renascentistas citamos dois italianos e um português. Assim inicia Luca Pacioli o Capítulo II de sua De Divina Proportione: “Propter admirari ceperunt philosophari. Vole Exº D. la proposta auctorita del Maestro de color che sanno che dal uedere hauesse initio el sapere...” (PACIOLI, 1498, f. IIIIr). Niccolò Tartaglia, em sua tradução dos Elementos, escreve: "Tvtti gli huomini, Magnifici e Preclarissimi Auditori, (come scriue Aristotele nel primo della Methaphisica) naturalmente desiderano di sapere" (TARTAGLIA, 1565, f. 3r, sob o título Lettione de Nicolo Tartalea Brisciano, sopra tvtta la opera di Evclide Megarense, acvtissimo mathematico). O português Gaspar Nicolas escreve em seu Tratado de Pratica Darysmetica: "Todos hos homeēs naturalmente ylustre senhor desejam saber: segūdo aristotiles no prymeyro da metafisyca [e]t como quer que as artes liberaes ha arismetyca seja fundamento de todas..." (NICOLAS, 1519, Prologo). Até o início do século XII, o pensamento de Aristóteles era conhecido basicamente através das obras (traduções, comentários, etc.) de Boécio (480 - 524). Outros de seus tradutores que merecem destaque são Guillermo de Moerberke (1215 - 1286) e Cardeal Giovanni Bessarione (1402 - 1472).
[33] “ὥστε εἰ πᾶσα διάνοια ἢ πρακτικὴ ἢ ποιητικὴ ἢ θεωρητική” [“Portanto se toda atividade intelectual é ou prática ou produtiva ou especulativa...] (Metaphysica VI, 1, 1025b, 26). Curiosamente, Diógenes Laércio (c. 200 – c. 250) atribui essa divisão a Platão (cf. DIÓGENES LAÉRCIO, 1862, p. 87). Talvez esta tenha sido adotada na Academia no tempo de Diógenes.
[34] “ὥστε τρεῖς ἂν εἶεν φιλοσοφίαι θεωρητικαί, μαθηματική, φυσικέ, θεολογικέ” [“Deve haver então três filosofias especulativas, matemática, física e teologia”] (Metaphysica, VI, 1, 1026a, 18-19). Ptolomeu, no início de seu Almagesto, confirma que a autoria desta subdivisão das filosofias teóricas é de Aristóteles.
[35] “θεωρητικαὶ τῶν ἄλλων ἐπιστημῶν αἱρετώταται” [“As especulativas são preferíveis a todas as demais ciências”] (Metaphysica, VI, 1, 1026a, 23). Dentre as ciências especulativas a teologia é a primaz.
[36] “ἀλλ᾿ ἔστι καὶ ἡ μαθηματικὴ θεωρητική” [“mas a matemática também é especulativa”] (Metaphysica, VI, 1, 1026a, 9).
[37] Também chamadas de βαναυσικαὶ, “illiberales” ou “sordidae”. Podemos considerar que ao homem livre, cultivador das artes liberais, atribui-se o “otium” (ócio, em grego, σχολή).
[38] “[...] non enim adducor ut in numerum liberalium artium pictores recipiam, non magis quam statuarios aut marmorarios aut ceteros luxuriae ministros”.
[39] Interessante relação pode ser feita entre as Sete Artes Liberais e os significados dos números 3, 4 e 7, para os cristãos, particularmente com a seguinte sentença de Provérbios X, 1: “Sapientia aedificavit sibi domum excidit columnas septem”.
[40] “Quibus quattuor partibus si careat inquisitor, verum invenire non possit, ac sine hac quidem speculatione veritatis nulli recte sapiendum est [...] Hoc igitur illud quadrivium est”.
[41] Para um estudo sobre a História da Matemática contida nas Etymologiae v. NOBRE, 2005.
[42] “Disciplinae liberalium artium septem sunt. Prima grammatica, id est loquendi peritia. Secunda rhetorica, quae propter nitorem et copiam eloquentiae suae maxime in civibibus quaestionibus necessaria existimatur. Tertia dialectica cognomento logica, quae disputationibus subtilissimis vera secernit a falsis. Quarta arithmetica, quae continet numerorum causas et divisiones. Quinta musica, quae in carminibus cantibusque consistit. Sexta geometrica, quae mensuras terrae dimensionesque conplectitur. Septima astronomia, quae continet legem astrorum”.
[43] “Ars vero dicta est, quod artis praeceptis regulisque consistat” (ISIDORO, Etymologiae I, 1, 2).
[44] “quia discitur plena” (ISIDORO, Etymologiae I, 1, 1).
[45] “Philosophia divitur in theoricam, practicam, mechanicam, logicam”. (Didascalicon, II, 1).
[46] “Suntenim quase optima quaedam instrumenta et rudimenta quibus via paratur animo ad plenam philosophicae veritatis notitiam [...] Nemo tunc temporis nomine magistri dignus videbatur, qui non harum septem scientiam profiteri posset” (Didascalion, III, 3).
[47] Tal tradição tem suas raízes nas biografias de Brunelleschi escrita por Antonio di Tuccio Manetti (1423 F 1497) e por Giorgio Vasari (1511 - 1574) e confirmada por Erwin Panofsky em seu célebre ensaio “Die Perspektive als ‘symbolische Form'” (1924).
[48] “Est sciendum quaod quinque su[n]t scientiae mathematicae, scilicet arismetrica, geometria, musica, astrologia et perspectiva” (Quaestiones super perspectivam, q. I, f. 44r -v).
[49] “Concio sia che ditte mathematici sieno fondamento e scala de peruenire ala notitia de ciascuna altra scientia: per esser loro nel primo grado dela certezza affermandolo el philosopho cosi dicendo mathematice enim scientie sunt in primo gradu certitudinis & naturales sequuntur eas. Sonno como e dicto le scientie e mathematici discipline nel primo grado dela certezza e loro sequitano tutte le naturali: e senza lor notitia fia impossibile alchunaltra bene intendere” (Divina Proportione, II, f. 5r). V. Nota 44 da tradução.
[50] A mesma estrutura de argumentação é encontrada nos discursos de Niccolò Tartaglia (Lettione de Nicolo Tartalea Brisciano, sopra tutta la opera di Evclide Megarense, acvtissimo mathematico) que se encontram no início de sua tradução dos Elementos, além de referências ao frade.
[51] “Non mi pare ormai piu douer diferire la p[ar]te maxime necessaria ala pratica de arithmetica e anche de geometria detta dal vulgo cõmunemente. Arte magiore ouer. La regola de la cosa ouer. Algebra. E almucabala secõdo noi detta pratica speculativa. Per che in lei piu alte cose che in larte minore ouer pratica negotiaria si cõtiene” (PACIOLI, Summa, f. 111v).
[52] “Sapi che questa domanda è de perspectiva, ma perché questa scientia è subaltternata a geometria e aritmetrica si la solveremo”.
[53] “E deli nostri sensi per li sauii el uedere piu nobile se conclude. Onde non immeritamente anchor de uulgari fia detto lochio esser la prima porta per la qual lo intellecto intende e gusta”.
[54] V. Nota 37 da tradução.
[55] Denomina-se Paragone a seqüência de disputas polêmicas entre a Pintura e algumas das demais artes que se encontra nas edições do Trattato della Pittura de Leonardo.
[56] “L'occhio, che si dice finestra del'anima e la principal via donde il comune senso po piú coppiosa e magnificamente considerare le infinite opere de natura e l'orecchio è il secondo il quale si fa nobbile per le cose raconte le quali ha veduto l'occhio. Se uoi istoriograffi, ò poeti ò, altri matematici, non havestiue con l'occhio visto le cose male le potresti uoi rifferire per le scritture (...)” (LEONARDO DA VINCI, Trattato della Pittura, 15, Codex Urbinas Latinus 1270, f. 8r).
[57] Trata-se da carta-dedicatória ao duque intitulada “Excellentissimo Principi Ludovico Mariae Sforciae Anglo Mediolanensium Duci, Pacis et Belli Ornamento, Fratris Lucae Pacioli ex Burgo Sancti Sepulchri Ordinis Minorum, Sacrae Theologiae Professoris, De Divina Proportione Epistola”.
[58] V. Nota 20 da tradução.
[59] “Nõ mi leggha chi non è matematicho nelli mia prîcipi” (LEONARDO DA VINCI, 1883, p. 11, W. 19118v).
[60] “Nissuna humana inuestigatione si po dimandare uera scientia se essa nõ passa per le matematiche dimostrationi” (LEONARDO DA VINCI, Trattato della Pittura, I, Codex Urbinas Latinus 1270, f. 1v).
[61] “La pittura è fondata sulla prospettiva: non è altro che sapere bene figurare lo vfitio dell'ochio” (LEONARDO DA VINCI, 1883, v.I, p. 29, A. 3r).
Bibliografia da Dissertação
1. Obras de Luca Pacioli
PACIOLI, Luca. Su[m]ma de Arithmetica Gemetria Proportioni [e]t Proportionalità. Venezia: Paganinus de Paganini, 1494.
PACIOLI, Luca. De Viribus Quantitatis. Códice no. 250. Biblioteca Universitaria di Bologna. (Escrito possivelmente entre os anos de 1496 e 1508. Visualização disponível em http://www.uriland.it/matematica/DeViribus/Presentazione.html).
PACIOLI, Luca. De Divina Proportione. Venetiis: Paganinus de Paganini, 1509.
PACIOLI, Luca (ed.). Euclidis megarensis philosophi acutissimi mathematicorumque omnium sine controversia principis opera Campano interprete fidissimo tralata... Venetiis: Paganinus de Paganini, 1509b. (Rara tradução latina dos Elementos de Euclides).
PACIOLI, Luca. De Divina Proportione. Milano: Silvana Editoriale, 1986. (Fac-símile do manuscrito de 1498 conservado na Biblioteca Ambrosiana de Milão, com introd. de Augusto Marinoni. Reimpressão da edição de 1982).
2. Fontes
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BALDI, Bernardino. Le Vite de' Matematici. Edizione annotata e commentata della parte medievale e rinascimentale. Milão: FrancoAngeli, 2007.
CIOCCI, Argante. Luca Pacioli e la matematizzazione del sapere nel Rinascimento. Bari: Cacucci Editore, 2003.
MACKINNON, Nick. The portrait of Fra Luca Pacioli. Mathematical Gazette. Vol. 77, no. 479, p. 130-219, 1993.
MORISON, Stanley. Pacioli's Classic Roman Alphabet. New York: Dover Publications, 1994. (Reimpressão de Fra Luca Pacioli of Borgo S. Sepolcro. New York: Grolier Club, 1933. Foram publicadas somente 397 cópias dessa edição original).
PACIOLI, Luca; WINTERBERG, Constantin (Ed.): Fra Luca Pacioli, Divina Proportione: Die Lehre vom Goldenen Schnitt, nach der Venezianischen Ausgabe vom Jahre 1509 herausgegeben und übersetzt. Wien: Carl Graeser, 1889. (Transcrição do original com tradução para o alemão).
PACIOLI, Luca. La Divina Proporción. Trad. Ricardo Resta. Buenos Aires: Editorial Losada, 1942. (Tradução argentina a partir do exemplar de 1509 da Biblioteca do Dr. Teodoro Becu, com Prólogo de Aldo Mieli).
PACIOLI, Luca. La Divina Proporción. Trad. Juan Calatrava. Madrid: AKAL, 1991. (Tradução espanhola a partir do exemplar manuscrito existente na Biblioteca Ambrosiana de Milão).
SÁ, Antônio Lopes de. Luca Pacioli: um Mestre do Renascimento. Brasília: Fundação Brasileira de Contabilidade, 2004.
SÁ, Antônio Lopes de. Luca Pacioli, Ícone na História da Contabilidade. Revista de Controle e Administração, Rio de Janeiro, Vol. 1, n. 1, p. 54 - 68, jun. 2005.
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TONIATO, Silvia. La Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità di Luca Pacioli. 2002. VIIIp., 379p. Tesi di Laurea (Laurea in Lettere). Facoltà di Lettere e Filosofia, Università degli Studi di Torino. Torino, 2002. (Edição e comentário da primeira parte da Summa.)
2.2 Outras Fontes (Outros autores)
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ALBERTI, Leon Battista. Grammatica della lingua toscana. In: ALBERTI, Leon Battista; GRAYSON, Cecil (ed.). Opere Volgari. Bari: Laterza, 1973. v. 3.
ALBERTI, Leon Battista. Da Pintura. Trad. Antonio de Silveira Mendonça. Campinas: Editora da Unicamp, 1999. (Tradução do texto "vulgar" da De Pictura, Bari: Laterza, 1980).
ARISTÓTELES. Aristotelis opera cum Averrois commentariis. Frankfurt am Main: Minerva G.m.b.H., 1962. v. VIII: Metaphysicorum Libri XIIII. (Reprodução da edição de Venitiis: Junctas, 1562).
ARISTÓTELES; YEBRA, Valentín García (ed.). Metafísica. Madrid: Editorial Gredos, 1970. v.1. (Edição Trilingüe: grego, latim, espanhol).
ARISTÓTELES; BARNES; Jonathan (ed.). The Complete works of Aristotle: The revised Oxford translation. New Jersey: Princeton University Press, 1995. 2.v.
BARTOLO DA SASSOFERRATO. La Tiberiade di Bartole da Sassoferrato del modo di dividere l'Alluuioni, l'Isole & gl'Aluei. Roma: per gl'heredi di Giouanni Gigliotto, 1587. (Edição com anotações de Claudio Tebalducci da Montalboddo).
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CÍCERO, Marcus Tullius. Cicero's Tusculan Disputations. Trans. C. D. Yonge. New York: Harper & Brothers Publishers, 1877.
DUHEM, Pierre Maurice Marie. Etudes sur Léonard de Vinci: Ceux qu'il a lus et ceux qui l'ont lu. Paris: Gordon and Breach, 1984. (Reimpressão de Paris: Hermann, 1913).
EUCLIDES DE ALEXANDRIA, Elementa geometriae. Trad. Johannes Campanus. Venetijs. Erhard Ratdolt, 1482. (Primeira edição impressa dos Elementos de Euclides. Tradução para o latim a partir do texto árabe).
EUCLIDES DE ALEXANDRIA. Evclidis Megarensis mathematici clarissimi Elementorum geometricorum libri XV. Basileae: Joanne Hervagium, 1558.
EUCLIDES DE ALEXANDRIA. Euclide megarense acutissimo philosopho, solo introduttore delle scientie mathematice. Diligentemente rassettato, et alla integrita ridotto, per il degno professore di tal scientie Nicolo Tartalea brisciano. Secondo le due tradottioni. Con vna ampla espositione dello istesso tradottore di nuouo aggiunta. Venetia: Appresso Curtio Troiano, 1565. (Tradução comentada de Niccolò Tartaglia)
EUCLIDES DE ALEXANDRIA; The Thirteen Books of Euclid's Elements. Trad., introd. e notas de Sir Thomas L. Heath. New York: Dover Publications, 1953. v.1.
EUCLIDES DE ALEXANDRIA; The Thirteen Books of Euclid's Elements. Trad., introd. e notas de Sir Thomas L. Heath. New York: Dover Publications, 1956. v.2 e v. 3.
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