Uma Metafísica para a Matemática

 

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Apresentamos o Capítulo 6 do livro A crise dos fundamentos da matemática: uma abordagem histórico-filosófica, de Jacintho Del Vecchio Junior, Editora Novas Edições Acadêmicas, 2017.

6 Uma metafísica para a matemática

“Existe uma realidade mais sutil que 

percorre a vida dos entes matemáticos, 

 que é algo distinto da lógica.”

Henri Poincaré

6.1 A retomada de uma questão antiga

Hoje em dia, o termo metafísica soa quase que pejorativo. Pesa sobre ele um ranço de uma filosofia prolixa e ultrapassada, de alcance e validade questionáveis. Contudo, um debate dessa natureza foi travado nas entrelinhas da questão relativa à solução dos paradoxos da teoria dos conjuntos pelos autores que a ela se dedicaram, algo muito importante e interessante, pois não há como olvidar que as posições assumidas quanto a questão da natureza dos entes matemáticos encontram uma ressonância evidente nos critérios definidos para a validade dos argumentos apresentados no debate acerca dos fundamentos da matemática. Quine chega a afirmar que os três pontos de vista acerca dos entes universais (realismo, conceptualismo e nominalismo) ressurgem na filosofia da matemática do século XX, sob os nomes de logicismo, intuicionismo e formalismo.

Quine não se refere a uma semelhança acidental. Trata-se de um ressurgimento de teses que fomentaram grande parte do que houve de melhor na filosofia medieval. Nesse sentido, é muito pertinente fazer uma breve referência ao modo como a chamada questão dos universais foi tratada na Idade Média para que possamos compreender seu inesperado renascimento no século XX, no campo da matemática. De um modo grosseiro, podemos dizer que Russell defende um realismo inspirado na concepção platônica, Hilbert parte de um ponto de vista próximo ao do nominalismo (deixando em segundo plano a significação dos símbolos matemáticos), enquanto Poincaré e Brouwer alinham-se a uma leitura conceitualista, ao definir os objetos matemáticos exclusivamente como produtos mentais.

Essa problemática permeia todos os posicionamentos dos autores envolvidos na solução dos paradoxos, de modo que é possível perceber que um debate mais profundo que simplesmente a descoberta de uma solução para os paradoxos da teoria dos conjuntos estava sendo travado, a saber, a problemática que remete à verdadeira natureza dos entes matemáticos. A abordagem deste tema já se mostra problemática até mesmo no momento de sua formulação; afinal, ao nos referirmos a uma suposta natureza subjacente a entes matemáticos, parece óbvio que estamos adotando uma alguma espécie de perspectiva realista; afinal, o que está em discussão e o que deve ser o cerne do presente capítulo é justamente a abordagem do problema que se apresenta: tomemos como exemplo um número qualquer (o número ‘$9$'), ou ainda uma operação elementar da matemática (como ‘$1+1=2$'). Perante esse conjunto de símbolos gráficos que o leitor “percebe” (‘$9$', ‘$1+1=2$'), existem ao menos três posições que podemos adotar, sem considerar posições intermediárias:

- considerá-los apenas, respectivamente, um símbolo e um conjunto de símbolos aos quais atribuímos ou não determinados significados, destituindo-os de qualquer realidade para além daquilo “que está no papel”;

- atribuir-lhes a tarefa de representar objetivamente ideias concebidas pelo intelecto humano; ou

- constituírem as representações de seres ou essências que existem em si, independentemente de qualquer atividade mental.

 As três respostas acima representam, respectivamente, o cerne das concepções formalista/nominalista, intuicionista/conceptualista e logicista/realista. Dependendo de como respondamos a essa questão, a aceitabilidade de determinadas provas e questões da matemática muda de figura, devido à mudança das exigências implícitas para a justificação das asserções. Nesse contexto é que os autores do período adotam premissas que se contradizem mutuamente, de modo que as disputas relativas aos paradoxos da teoria dos conjuntos e a consideração e avaliação das soluções propostas estão diretamente condicionadas aos princípios por eles adotados. Se tal problema não pode ser propriamente denominado como uma metafísica da matemática (pois isso sugeriria como ponto de partida a aceitação de um realismo), certamente cabe-lhe a forma de uma discussão sobre a possibilidade e a viabilidade dessa metafísica, que reverbera nos problemas abordados nos capítulos anteriores.

O interesse pela questão, aliás, é diretamente proporcional às dificuldades que ela enseja. Afinal, sabemos que a tradição filosófica ocidental deve muito de sua riqueza à tentativa de solução daquilo que podemos denominar o problema da objetividade do conhecimento, trazido à baila como maior ênfase a partir da filosofia moderna. Poderíamos sintetizá-lo da seguinte maneira: há que se apontar de que modo se processa a relação existente entre o sujeito e o objeto do conhecimento (partindo do pressuposto de que essa distinção e a delimitação entre essas duas instâncias é possível). Quanto ao objeto do conhecimento, há uma escolha da qual não podemos nos furtar: ou consideramo-lo como um conjunto de ideias ou com uma realidade exterior. Os problemas relativos a essa escolha e as consequências que dela decorrem constituem a espinha dorsal dos notáveis debates entre racionalistas versus empiristas, idealistas versus realistas, bem como entre as várias ramificações dessas posições filosóficas.

Mas a adoção de uma dessas opções em detrimento de sua concorrente envolve, de modo geral, escolhas difíceis. Com a sustentação da tese da existência de um mundo exterior, apresentam-se duas alternativas quanto à natureza do conhecimento que podemos construir acerca dele: primeiro, arcar com a dificuldade quanto à explicação da possibilidade de estabelecer conhecimento direto e legítimo em relação a algo que nos é exterior; segundo, aceitar de bom grado a precariedade do fenômeno enquanto representação do mundo, que não estabelece nenhuma garantia de identidade em relação a esse mundo exterior. Em contrapartida, defender um idealismo radical que simplesmente nega qualquer possibilidade de contato com uma realidade que está além da consciência parece implicar num solipsismo (isto é, em uma postura que aceita a existência só do ser pensante no mundo) que não parece sustentável. Se tais questões são intrincadas quando ainda existe um mundo exterior (ou um fenômeno) a observar, que dirá ao nos depararmos com uma metafísica dos números, que sequer nos aparecem aos olhos carnais, mas apenas aos do espírito, seja lá o que isso de fato signifique?

Todavia, existem razões que tornam evidente que, mais do que divagações metafísicas ou sutilezas filosóficas, essas concepções acerca da natureza dos entes matemáticos determinaram a forma como os autores envolvidos na polêmica abordaram os problemas acerca dos paradoxos da teoria dos conjuntos, assim como o julgamento que cada um deles estabelecia no que tange à pertinência das soluções sugeridas. Por esse motivo, deve-se atribuir relevância a este problema, e, mais especificamente, aos diferentes nuances que ele assume quando da consideração das diretrizes conceituais das escolas que dominaram a cena do pensamento na matemática e na lógica desde o início do século. Assim, resumiremos o grande leque de posturas possíveis em duas grandes linhas que nos interessam mais diretamente:

▪ O realismo ou platonismo matemático, cuja tese central é a de que números (assim como conjuntos, funções, operações matemáticas) consistem em algo que possui uma existência própria e independente; e

▪ O antirrealismo, que concebe os objetos matemáticos como criações do intelecto humano, sejam eles nomes (conforme sustenta o nominalismo), sejam conceitos (do ponto de vista do conceptualismo).

Apesar do debate acerca dos universais existir já desde a Antiguidade (e dos objetos matemáticos já estarem inseridos, de alguma maneira, no contexto da metafísica clássica), podemos considerar que o renascimento do interesse e da importância do problema é devido, em grande parte, ao clamor do intuicionismo e do semi-intuicionismo.

Do semi-intuicionismo decorre a não aceitação de determinadas construções matemáticas. No que diz respeito à questão dos paradoxos, Poincaré atribui, como veremos, o diagnóstico dos problemas à crença, por parte dos cantorianos, no infinito atual, e na possibilidade de expressá-lo matematicamente. O intuicionismo, por sua vez, coloca em evidência que o compromisso ontológico deve resultar em consequências práticas, uma vez que, por exemplo, a aceitabilidade da validade irrestrita do princípio do terceiro-excluído na matemática decorre de uma determinada concepção metafísica e, sua negação, ao contrário, da recusa dessa concepção. Nesse contexto, as contribuições de Poincaré e Brouwer devolvem a importância do posicionamento metafísico, ao tornar claras as consequências da aceitação ou da negação de uma doutrina referente às existências independentes dos seres matemáticos. Em termos gerais, o problema que se apresenta é o seguinte: a concepção realista em ontologia é interpretada como aquela que preserva a legitimidade da matemática ortodoxa, enquanto a idealista (ou antirrealista), aquela que exige, em princípio, sua reformulação ou restrição em níveis relevantes; a filosofia subjacente à matemática deixa de ser um fator sem consequências para a teoria propriamente dita para protagonizar a polêmica sobre a própria concepção da disciplina.

Destarte, temos um par bem definido: no ambiente teórico que s seguiu aos paradoxos, a defesa da viabilidade (da verdade, da pertinência) da matemática clássica reclama uma postura realista, enquanto a negação de um fundamento ontológico subjacente através da tese de que os objetos matemáticos são criações do espírito (sejam eles conceitos ou nomes), depois de Brouwer, leva naturalmente à não aceitação da totalidade da matemática clássica. Vejamos alguns dos argumentos envolvidos nessa questão mais detidamente.

6.2 O realismo e os entes matemáticos

A perspectiva realista, em sua formulação preliminar, sustenta a tese de que objetos matemáticos existem, e não como simples ideias, não como símbolos representados por sinais gráficos; eles existem como realidades dadas, mas, curiosamente, como entidades que estão para além de nossa possibilidade de apreensão: são intangíveis e atemporais. Fato é que, considerando a filosofia matemática contemporânea, nota-se um afastamento em relação às teses metafísicas concernentes aos objetos matemáticos, em nome de uma tentativa de restringir o problema no âmbito da consideração relativa ao valor objetivo das proposições matemáticas. Nesse momento, ela passa, portanto, a ter uma distância tênue em relação ao antirrealismo – uma vez que, a partir de então, o problema da existência dos entes matemáticos é transformado na questão relativa ao valor de verdade dos postulados que compõem um sistema – e, por isso, sequer podem ser denominados muito propriamente com realistas, no sentido tradicional da palavra. Mas essas tendências são posteriores ao período que temos em foco, motivo pelo qual a abordagem do realismo nesta obra privilegiará a questão propriamente metafísica.

Nossa melhor inspiração para a concepção realista vem dos pitagóricos. Segundo eles, números existem; mais que isso, eles são a realidade última de todas as coisas. Isso fica evidenciado pelas razões e proporções que estão em tudo, em todas as partes, e se o mundo é matemático em sua essência, cabe-nos descobri-lo por intermédio da ciência dos números.

Os pitagóricos procuraram estabelecer uma espécie de dedução do mundo a partir dos números e da dicotomia existente entre unidade e pluralidade, questão esta suscitada pela investigação de Parmênides e da escola eleata [1]. Mais do que uma existência real, a concepção em tela arca, de bom grado, com o peso de procurar identificar na música, na perfeição dos objetos geométricos e, mais, na pluralidade do mundo, manifestações dos números. Com isso, mesclado ao contexto místico-religioso no qual a doutrina pitagórica estava inserida, surge uma das mais inusitadas formulações do período pré-socrático. A unidade de todas as coisas, o grande princípio buscado pela via racional através da filosofia nascente, encontra nos objetos matemáticos um locus privilegiado. A realidade passava a ser uma das possíveis formas de expressão dos números.

No mesmo diapasão, se o pitagorismo é a melhor inspiração, é com base em uma concepção centrada no platonismo que podemos considerar que o realismo matemático encontra uma expressão lapidar, ao aceitar deliberadamente noções que não encontram aporte nem na intuição, nem na experiência. Se comparada às formulações dos pré-socráticos, a obra de Platão traz à tona uma posição madura e ousada no que diz respeito à concepção da realidade e da verdade, o que esbarra na consideração da natureza dos entes matemáticos e da maneira pela qual podemos conhecê-los [2]; por esse motivo, o platonismo torna-se uma referência necessária a ser seguida ou combatida, pois o realismo matemático pode ser considerado, mutatis mutandis, como um desdobramento da doutrina platônica das Formas. Encontramos referências importantes no que diz respeito ao tratamento dispensado ao problema dos universais especificamente nos seus diálogos da maturidade, pois com o passar do tempo, Platão vai paulatinamente distanciando-se da posição, por assim dizer, aporética de Sócrates, muito evidente em seus primeiros diálogos. Em suas obras mais tardias, o filósofo apresenta uma doutrina comprometida com a explicação da realidade, tomando por base uma argumentação que não é de todo dissociada da forma típica da demonstração matemática.

Ao tratar da natureza das Formas, uma questão que se impõe é a de como se torna possível estabelecer essa identidade, essa correspondência pretendida entre uma Forma perene e os seus casos particulares, concretos, observáveis. O trabalho do filósofo é a arte de identificar a realidade não imediata, ao transcender da aparência do concreto à totalidade e perfeição da Forma; o descortinar dessa relação permite a efetiva compreensão da verdade, processo esse onde a Teoria Platônica da Reminiscência tem um papel fundamental [3]. Esses temas são recorrentes em Platão, dada sua importância ontológica e epistemológica.

A alegoria da caverna é certamente a passagem mais conhecida da obra de Platão, que tem dentre suas finalidades a apresentação dessa teoria de modo simples e metafórico. Na concepção de Platão, as verdadeiras Formas, que existem em si e têm realidade própria, mantêm uma estreita relação com a origem dos seres individuais, nos quais essas Formas se reproduzem, ainda que de maneira precária; o argumento relativo à preexistência da alma funciona como forma de intermediação entre o particular (físico) e o transcendente (a verdadeira realidade), porque o ato de contemplar a verdade não é senão um esforço de recordar o previamente conhecido, antes do retorno da alma ao mundo físico e de sua prisão nos grilhões da caverna que constituem o corpo material. O reconhecimento da beleza em várias coisas tão distintas entre si (uma paisagem, uma obra de arte, um corpo feminino, uma música, etc.) decorre de sua natureza comum em relação à Ideia (ou Forma) original da beleza. Essa é a articulação básica que dá sustentação ao realismo platônico, fundada na ideia de naturezas comuns participadas necessárias para explicar ontologicamente a co-especificidade dos indivíduos.

Dessa maneira, em Platão, o conhecimento das Formas caracteriza-se por uma evidência intelectual, com o ato de olhar “com os olhos do espírito”. A metáfora é bem empregada, pois é praticamente como se o testemunho da razão se realizasse por um processo análogo ao da visão sensorial: o intelecto contempla a realidade, pois há uma realidade em si que a razão pode efetivamente apreender (que não se resume a ideias criadas pela mente humana ou a experiências sensoriais), e da qual fazem parte os entes matemáticos. Há, portanto, uma referência direta e real à qual o matemático pode aspirar; em termos da metafísica clássica, há um ser a ser conhecido. Todo o trabalho do sábio é o de traduzir, tão perfeitamente quanto possível, a realidade eterna, perene e perfeita das Formas.

Não obstante as várias possibilidades de interpretação abertas pelos textos platônicos, na República (509-11) encontra-se uma indicação que nos permite considerar que os números e as formas geométricas podem ser compreendidos como as Formas platônicas, ou, no mínimo, constituintes do mundo dos seres que refletem as verdadeiras Formas. São, todavia, uma “classe” diferenciada de Formas que, ao contrário das outras, têm a peculiaridade de existir em quantidade (e não como uma essência única, como é o caso do Belo, por exemplo) [4]. Essa outra concepção de Forma representada pelos números está mais associada ao mundo ideal que ao sensível e, por isso, não estabelece por si só qualquer relação de direito com o mundo da aparência. Esse fato explica como o vínculo que surge entre o realismo matemático e a matematização dos fenômenos físicos encontra maior proximidade na concepção aristotélica que para Platão: por pertencerem ao mundo das Formas, não há motivo de considerar qualquer laço mais forte entre a perfeição dos objetos matemáticos e a realidade observável.

Vários autores contemporâneos também sustentam um realismo de cunho platônico, dentre os quais Russell e Gödel são bons exemplos. Russell apresenta, em um texto de 1911, intitulado O Realismo Analítico, a maneira como ele concebe a articulação entre matemática e a ontologia a ela subjacente. O nome atribuído ao artigo é justamente o de seu posicionamento teórico. Defender uma concepção realista e analítica significa, segundo Russell, sustentar ao mesmo tempo a crença na existência de entidades não mentais (o que o torna realista) e, associado a esse compromisso ontológico, um outro que não deixa também de ser metodológico: o autor denomina sua filosofia como analítica ao postular que tudo que é complexo é derivado do simples. Ao explicitar o que entende por “simples”, Russell atribui ao conceito dois sentidos: “simples” pode ser atribuído tanto a conceitos universais quanto a dados sensoriais. Essa ideia guarda uma relação íntima com o conceito de infinito leibniziano, além de estar em consonância com o chamado axioma da compreensão, importante tanto na teoria dos tipos lógicos quanto na teoria axiomática de Zermelo-Fraenkel. Note-se, porém, que apesar da importância capital dos conceitos e definições na matemática, eles são mais ou menos aceitáveis de acordo com sua suposta adequação, sua provável similaridade em relação às formas perenes. Nesse sentido é que as verdades matemáticas existem per se, são universais e externas em relação a nossa consciência [5].

A justificação dessa posição de Russell é fundamentada, em parte, pela insuficiência dos sistemas que lhe são concorrentes, quando opõe o realismo tanto à tese empirista quanto à idealista. Segundo ele, o idealismo, ao fundamentar toda a existência na consciência, exige uma regressão infinita (pois a própria existência da consciência também é dada na consciência), o que não é, de fato, aceitável. O problema do empirismo, por sua vez, é que seu princípio (“tudo é conhecido pelos sentidos”) não pode ser conhecido pelos sentidos, no que acaba por inviabilizar a tese em suas bases. A conclusão a que se chega é a de que nem idealismo nem empirismo são capazes de fundamentar devidamente a matemática, donde se conclui, portanto, que o realismo é a melhor maneira de realizar essa tarefa [6]. Note-se, entretanto, a forma falaciosa da construção dos argumentos: Russell ataca versões radicais, quase caricatas, do empirismo e do idealismo, posições essas que, sem dúvida, são mais facilmente objetáveis, o que lhe permite mui facilmente tirá-los do contexto para a sustentação do realismo como “a alternativa viável”. A sua estratégia é, portanto, trasladar o problema de uma instância a outra: como as posições sustentadas pelo idealismo e empirismo têm o foco nas condições de conhecimento e, portanto, no sujeito cognoscente, o ato de problematizar suas soluções lança-o, de modo pretensamente legítimo, a uma instância que diz respeito ao objeto, e só a ele. Assim, o autor entende o conhecimento viabilizado pela “nossa” matemática como uma tentativa de aproximação por parte do intelecto que procura apreender as existências matemáticas, que lhe são estranhas e perenes, de modo que todos os paradoxos e problemas da matemática não constituem mais que os momentos imperfeitos das teorias; há uma realidade a descobrir, e uma ciência – de caráter aproximativo, é verdade - a conceber.

Kurt Gödel também comunga de pressupostos semelhantes, ao sustentar um realismo pouco modesto, reivindicando a legitimidade de conhecer os objetos matemáticos de maneira análoga àquela através da qual conhecemos os objetos reais:

Nós temos uma espécie de percepção também em relação aos objetos da teoria dos conjuntos, quando vemos que os axiomas mostram-se para nós como verdadeiros. Não vejo nenhuma razão pela qual deveríamos ter menos confiança nesse tipo de percepção, ou seja, na intuição matemática, que na percepção sensorial, que nos leva a construir teorias físicas e esperar que as futuras percepções sensoriais concordem com elas... (GÖDEL, 1947, p. 484).

Os próprios resultados fomentados pelos teoremas da incompletude, que abordaremos mais adiante, podem ser tomados como uma decorrência natural desse estado de coisas, considerando que o próprio Gödel afirmava que sua concepção realista foi um fator importante tanto na descoberta da completude da lógica de primeira ordem quanto da incompletude da aritmética. A matemática, por se tratar, em sua totalidade, de algo que transcende a razão humana, pode evidentemente incluir questões para as quais nós não tenhamos respostas, o que a prova de Gödel retrata bem. Essa é, por assim dizer, uma decorrência direta da amplitude, riqueza e suposta inesgotabilidade da matemática.

Via de regra, as consequências do teorema da incompletude são interpretadas como resultados nocivos à matemática, tanto por supostamente destruírem as pretensões de Hilbert no que tange ao programa que leva seu nome, quanto por apontar um limite à pretensão ingênua de perfeição da disciplina. Esse aspecto negativo, que acaba por restringir a matemática a um sistema conceitual dentro do qual é necessário escolher entre a completude e a consistência, é visto pelo próprio Gödel de uma maneira bem diferente. Naquilo que assume a forma de uma limitação, o seu articulador ali enxerga também um sintoma: a matemática, em sua totalidade, não é passível de ser expressa em um sistema simbólico pronto e fechado, o que talvez seja, aos seus olhos, uma consequência natural do fato de que os objetos matemáticos existem assim como os objetos concretos. Em ambos os casos, a linguagem deve ser moldada e procurar uma identidade com a realidade exterior. Existe, dessa forma, uma diferença notável entre, de um lado, a realidade dos objetos matemáticos, esse conjunto de formas perfeitas e perenes, e, de outro, a “nossa matemática”, que consiste em um esforço de chegar tão perto quanto possível do seu modelo ideal.

Há uma série de argumentos que minam as posições realistas, sejam eles de ordem metafísica, lógica ou epistemológica. Aqui trataremos apenas de dois deles. O primeiro é o chamado argumento de indispensabilidade de Quine, que, dada sua ampla aceitação mesmo entre nominalistas, é a pedra de salvação do realismo e o problema a ser superado por uma leitura contrária a essa posição. Ele consiste no seguinte argumento: o ato de asseverar entidades teóricas em nossas melhores teorias (e, dentre elas, certamente estão os entes matemáticos) reivindica a aceitação da existência real de tais entidades. Em outros termos, as teses epistêmicas clamam por uma fundamentação ontológica, se é que as teorias remetem a algo de real.

Outro argumento a favor do realismo é quase que um apelo ao senso comum, e não se desvencilha, em sua essência, do argumento de indispensabilidade. É preciso reconhecer que, se a matemática desempenha um papel efetivo nas teorias explicativas da realidade, deve haver uma instância de contato entre esses dois polos; daí a necessidade de postular uma identidade entre a ontologia da matemática e a realidade “em si”, o que se traduz pelo compromisso ontológico decorrente da matemática standard.

A referência externa a uma realidade objetiva comum seria, grosso modo, o motivo da legítima e evidentemente bem-sucedida aplicação da matemática à realidade exterior: se há uma espécie de compatibilidade entre relações matemáticas e grande parte de nossas teorias relativas às ciências naturais (ou, em outros termos, se a matemática é aplicável e, em alguns casos, indissociável das nossas melhores teorias físicas), deve haver uma espécie de origem compartilhada, pois não é possível considerar que essa semelhança, que tende à identidade, seja somente o produto de um feliz acaso.

Apesar da força e da pertinência desses argumentos em favor do realismo, as dificuldades inerentes a essa corrente também são muito evidentes. Dentre elas, dois problemas epistemológicos mais centrais são os seguintes: primeiro, o desafio de compreender como se dá a apreensão desse tipo de entidades pelo intelecto e, em segundo lugar, como essas entidades podem ser consideradas objeto de saber científico. A não ser que, seguindo Gödel, concordemos que a evidência intelectual é base satisfatória e suficiente para essa aproximação (o que, em si, é uma tese controversa), a única alternativa que nos resta é a de um contato precário, de procurar compreender uma essência intangível através do que a ciência nos ensina (que consiste exatamente na contraparte do argumento de indispensabilidade). Para além disso, não há solução plausível nesse horizonte que suporte um ataque mais incisivo do antirrealismo.

6.3 O antirrealismo: nomes e definições

O antirrealismo engloba tanto o conceptualismo quanto o nominalismo, uma vez que, no que diz respeito à questão ontológica, ambas as correntes podem ser identificadas quanto ao seu “espírito”, sua inspiração original: o antirrealista subordina a existência dos objetos matemáticos à nossa capacidade de concebê-los. Se nosso foco estivesse centrado nas questões relativas à lógica matemática, a distinção entre nominalismo e conceptualismo seria mais importante. Todavia, do ponto de vista ontológico-epistemológico, a distinção entre eles não precisa ser considerada em detalhe.

Logo, para o antirrealista, não há que se falar em existências independentes de entes matemáticos: a existência do objeto matemático radica em sua concepção, seja em nível meramente linguístico, seja em um nível conceitual a ele associado; em ambos os casos, o que o caracteriza é o fato de que sua realidade está diretamente associada ao exercício do intelecto. A profusão de caminhos que se desdobram a partir daí é extensa: é possível, através dessa perspectiva, conceber os entes matemáticos como nomes, conceitos, meras ficções, mas sempre denegando a eles qualquer existência fora do âmbito do pensamento, e respondendo apenas às exigências impostas por nosso intelecto e linguagem.

Como em tantos outros temas, o pensamento de Aristóteles no que diz respeito à realidade dos entes matemáticos opõe-se ao de Platão, e também constitui uma referência historicamente importante. Sua posição em relação às essências da matemática é explicitada na Metafísica, quando ele aborda especificamente a natureza do número. Sob certo ponto de vista, podemos dizer que Aristóteles considera a quantidade, expressa através dos números, como uma categoria anterior à própria substância, pois faz uma distinção entre a primazia que os objetos matemáticos apresentam no que diz respeito a sua definição, mas não à sua “substancialidade”. Resumidamente, a posição de Aristóteles articula-se em um quadro onde qualquer referência aos universais depende de suas instâncias particulares, individuais, donde decorre que os universais não existem atualmente, mas apenas enquanto abstrações derivadas dos entes concretos.

Assim, apesar de também tratar-se de uma teoria de cunho realista, a doutrina aristotélica exige a participação dos universais nos seres particulares para que possam subsistir. Note-se, portanto, que há um entrelaçamento que exige um esforço de compreensão maior que a simplicidade testemunhada na teoria platônica das Formas; esse esforço de compreender algumas passagens dúbias do Filósofo em relação à natureza dos universais [7] rende quase dois mil anos de intensos debates. Mas é possível dizer grosseiramente que a solução de Aristóteles quanto ao problema dos universais afasta-se da teoria platônica ao concebê-los como existentes apenas potencialmente, enquanto concede exclusivamente aos seres particulares realidade atual.

Aristóteles condena a ideia de substâncias universais dotadas de existência independente na atualidade [8], e, de maneira análoga, ao considerar a natureza das proposições, nega qualquer realidade aos universais separados de grupos de substâncias particulares [9]. É preciso, todavia, atentar para o fato de que a primeira formulação (que trata das substâncias) é metafísica; a segunda (que remete a proposições), linguística; mas em se tratando de realidades universais, só há que se falar, no máximo, em uma espécie de potencialidade, e não mais que isso. Cabe ainda ressaltar que, em Aristóteles, o devir, a potencialidade, alinha-se ao que ainda não é, e, portanto, ao não-ser, de modo que não podemos propriamente conferir qualquer tipo de realidade factual aos universais.

Como já indicamos brevemente, em parte devido ao laconismo de Aristóteles, o problema concernente à natureza dos universais é objeto recorrente de estudo de um extremo a outro da Idade Média, mas certamente os escritos de Pedro Abelardo, datados do século XII, consistem em referências valiosas para essa questão. O autor, ao adotar uma postura nominalista, atribui aos universais um status quid non est res. Segundo ele:

O significado dos universais (...) é sempre formado por meio da abstração. Quando eu ouço dizer homem, brancura ou branco, eu não me lembro pela força do nome de todas as naturezas ou propriedades que existem nas realidades substanciais, mas pela palavra home tenho apenas a concepção, embora confusa, não distinta, de animal e de racional mortal. (...) Com efeito, os significados das coisas individuais formam-se por meio de abstração quando, por exemplo, se diz: esta substância, este corpo, este animal, este homem, es brancura, este branco. (ABELARDO, 1973, p. 243).

A concepção de Abelardo de atribuir aos universais uma realidade precária, derivada de conceitos, encontra-se inserida em um período que testemunhou a criação de dois termos que identificavam posições distintas acerca do problema dos universais: reales e nominales, que retratam tendências divergentes em relação a como conceber a origem dos universais, mas que apresenta nuances importantes, caso estivesse em nosso escopo a discussão precisa dessas noções. Um problema acessório que exemplifica essa dificuldade, e que consiste em um verdadeiro emaranhado conceitual, é o conjunto de sutilezas que distinguem as teses aventadas pelos nominales dos nominalistae, traço de diferenças que podem existir mesmo entre leituras de inspiração antirrealista.

Os realistas do século XII, por sua vez, têm como pressuposto básico a ideia de que os gêneros são coisas, de maneira que pretensamente existe uma realidade concreta, palpável, a ser atribuída a eles, a exemplo da concepção absoluta dos gêneros que encontramos nas formas perfeitas de Platão. Há, portanto, uma consequência imediata desse posicionamento: o comprometimento com a tese de que há algo que antecede as existências dos seres particulares. Daí a necessidade de reconhecer que o indivíduo está em uma relação direta de predicação com seu respectivo gênero e espécie. Segundo eles, coisas predicam de coisas. As teses nominalistas do mesmo período, por sua vez, podem ser entendidas como uma contraposição direta às teses realistas: gêneros e espécies não têm, em absoluto, qualquer existência concreta; são, ao contrário, simplesmente nomes atribuídos genericamente a coisas particulares. Por esse motivo, não há que se conceber qualquer realidade que não aos seres particulares e, consequentemente, a predicação legítima não é de coisas para coisas; para o nominalista, nomes predicam de nomes, e essa solução deve responder ao estatuto a ser atribuído aos universais.

O conceptualismo [10], por sua vez, ganha força no século XIII, a partir dos averroístas latinos e da consequente recuperação do corpus aristotélico que eles propiciam à Europa, com Siger de Brabant, cujas posições foram retomadas mais tarde de maneira primorosa por Guilherme de Ockham. Essa parece ser uma doutrina mais próxima da formulação contida na Metafísica de Aristóteles quanto aos universais, ao sustentar que “o universal enquanto universal não é substância”. Estes são conceitos delineados pelo espírito, e sua existência resume-se a isso. Enquanto uma criação intelectual talhada para a compreensão do mundo empírico, o universal segundo os conceitualistas adota uma existência própria, separada dos particulares, mas que também está além de um simples nome. A relação de participação e separação que o realista concebe como algo que deve ser atribuído às próprias coisas, o conceptualista coloca entre aspas: é a ação do intelecto que pode encontrar nos particulares gêneros comuns, participações e singularidades.

Ao aplicar um conceito a um conjunto de coisas, parece evidente que o mecanismo através do qual essas operações se processam é, acima de tudo, o da abstração. Desse modo, os universais só existem quando se apresentam como objetos mentais. Segundo Spade (2002, p. 147), o que Ockham e os nominalistas do século XIV em geral fazem, em certo sentido, é adotar a noção dos realistas de uma entidade universal, e alocar sua “realidade” na mente, o que a transforma em um conceito universal, não no sentido metafísico da palavra, mas enquanto termo da linguagem mental; um conceito universal é universal no sentido de “que pode ser predicado de muitos”. Por isso, o único tipo de ‘universais’ que Ockham permitirá são termos universais (conceitos gerais na mente, termos falados ou escritos). Não há, portanto, naturezas comuns, universais, na realidade.

A doutrina kantiana é outra forte referência para o antirrealismo. Em Kant, toda a origem do conhecimento em geral, e da matemática em particular, resume-se a juízos, não havendo qualquer recurso a uma realidade externa propriamente dita, mas à maneira como os objetos externos afetam nossa sensibilidade. A bem conhecida distinção entre a coisa-em-si incognoscível e o fenômeno que é objeto de conhecimento já exclui a possibilidade de qualquer recurso direto à exterioridade, uma vez que nossas experiências sensíveis estão determinadas pelas formas de sensibilidade do sujeito cognoscente. Desse modo, todo o conhecimento constitui-se por uma reunião de conceito e intuição sensível, pois, segundo Kant, “o conceito sem a intuição é vazio; a intuição sem o conceito é cega”, e não tem outro locus senão o intelecto. Portanto, até mesmo no

 

caso em que o “sensível” entra em cena, ele está subordinado, determinado, dirigido pela ação do intelecto, através de suas formas de sensibilidade, que caracterizam sua estrutura peculiar, conforme a bem conhecida teoria elaborada na Estética transcendental da Crítica da razão pura. O conhecimento humano assume assim um caráter ideal, a partir do que os binômios análise[11]/síntese [12], e a priori/a posteriori vêm especificar o conteúdo e a origem desses juízos [13]. No caso específico da matemática, todo o conhecimento é reduzido a juízos sintéticos a priori, mas com um tratamento bastante distinto entre os objetos da aritmética e os da geometria. Aqui, abordaremos apenas as linhas mestras da perspectiva kantiana na matemática.

A argumentação que delineia a matemática como um conhecimento sintético e a priori é descrita com maior propriedade no texto dos Prolegômenos a toda Metafísica Futura que propriamente na Estética transcendental. Ali, a estrutura conceitual empregada por Kant aparece com clareza: o fato de a matemática ser constituída por juízos dessa natureza tem uma relação direta com a origem ideal do conhecimento sintético a priori, e com a subordinação às formas de sensibilidade, espaço e tempo: no tempo, encontramos a base essencial da aritmética; no espaço, a da geometria.

A forma a priori da intuição de espaço é anterior a toda experiência sensível e, assessoriamente, condição necessária da representação dos objetos sensíveis [14]. O espaço deixa de ser o lugar dos objetos concretos para tornar-se uma forma através da qual nossa sensibilidade articula nossas experiências; por isso, a geometria, fundada diretamente na intuição pura de espaço, encerra nossa perspectiva em relação ao mundo sensível. Destarte, a geometria, enquanto ciência que descreve as propriedades desse espaço,  não  pode  ser  derivada  de  simples  conceitos,  mas  requer necessariamente uma intuição que permita a síntese dos conceitos que a ela remetem. Há, portanto, um fundamento mais sólido que o mero acúmulo de experiências individuais, uma base para o estudo das formas geométricas e sua posição no espaço que transcende o meramente empírico. O exemplo em relação a uma geometria diferente da tridimensional é oportuno: segundo Kant, apesar de um conjunto de asserções acerca de um espaço quadridimensional não apresentar necessariamente contradições lógicas, ele contradiz a estrutura estabelecida como forma de experiência a priori, a nossa forma peculiar de representar o espaço [15].

Do mesmo modo que o espaço, o tempo é uma forma pura de sensibilidade, condição prévia e a priori para as representações e fundamento de todas as intuições sensíveis, tendo, portanto, um alcance maior que o da intuição intelectual de espaço. Ao tempo, Kant reserva o status de condição formal e a priori de todos os fenômenos. O próprio conceito de número, por sua vez, é uma decorrência da intuição de adição sucessiva de unidades de tempo; à intuição de “momento”, concebida como unidade de tempo, associa-se o conceito de número. A série dos naturais e as operações fundamentais da aritmética são assim compreendidas como criações conceituais que representam desdobramentos naturais da intuição originária de tempo.

A questão da construtibilidade na concepção matemática kantiana sugere uma temática interessante. Segundo Kant, na matemática nós obtemos conclusões tanto do que é dado pelo conceito quanto do que é dado pela “construção” do conceito. Uma vez que nós os estamos construindo (por exemplo, pontos, linhas, figuras geométricas), somos guiados em nossas provas por intuição e pela síntese da imaginação; assim, nossas inferências são sintéticas. Mas uma vez que a intuição que nos guia não é empírica, a síntese refere-se a uma “imagem” a priori, e nossas inferências ou juízos decorrentes desse processo são sintéticos a priori, motivo pelo qual a análise conceitual por si só é inadequada à matemática como um todo, mas na geometria especialmente.

Todavia, se na geometria temos o desenrolar desse processo, quando nos referimos à aritmética, não se pode falar de uma construção de objetos em sentido estrito. O emprego do termo é metafórico, pois remete a um tipo de imaginação espacial encontrada apenas nas formas da geometria. Assim, não é sem esforço que podemos identificar a semelhança da possibilidade de traçar uma linha com a possibilidade de conceber um objeto matemático com determinadas propriedades e reconhecer que a elaboração da segunda concepção, de algum modo, segue a primeira. Em suma, a natureza do conhecimento matemático está diretamente calcada na construção de conceitos com base em intuições, mas essas construções são individuais, ainda que a elas atribua-se validade geral; a existência dos objetos matemáticos decorre, dessa maneira, de sua efetiva construção.

A construtibilidade dos objetos matemáticos é uma noção levada ao extremo por Brouwer, dentro do contexto da reformulação da matemática pretendida pelo intuicionismo. As bases de um construtivismo estrito levam, como vimos no capítulo anterior, à reelaboração da matemática que se mostra muitíssimo mais ousada que os modelos kantiano e se intuicionista. Sua exigência no que concerne ao princípio do terceiro- excluído traz à tona uma questão que, podemos considerar, impulsiona o debate ontológico: como já exposto, até Brouwer, a adoção de uma perspectiva realista ou o antirrealista não impunha consequências importantes à teoria matemática, pois o posicionamento ontológico soava muito mais como inspiração que como critério para a teoria matemática.

Contudo, o trabalho de Brouwer pareceu indicar que o ato de sustentar a matemática clássica implicava, de alguma maneira, no comprometimento com uma doutrina de cunho realista, pelo tipo de referência permitida para as definições em jogo enquanto que, por outro lado, uma postura antirrealista tinha como consequência natural a restrição dos objetos matemáticos à sua efetiva construção mental, rejeitando, por conseguinte, parte considerável da matemática standard. Note-se que há nesse argumento uma inversão, e que ela não é casual: a matemática clássica tende a levar ao realismo; o antirrealismo, por sua vez, deságua mais naturalmente na matemática construtivista. Nesses dois pares, o realismo pode ser visto como consequência, e o antirrealismo, por sua vez, como causa da aceitabilidade de premissas de construção da teoria. O que se percebe a partir daí é que o antirrealismo, em suas manifestações mais importantes, assume um cunho reformista da matemática clássica, na tentativa de moldá-la de acordo com seus padrões. Assim, a pergunta a ser formulada ao revisionismo característico do antirrealismo pós-brouweriano refere-se à pertinência da reconstrução da matemática clássica - malgrado sua aplicabilidade e poder explicativo quando bem associada às teorias físicas - com o único propósito de objetar teses de cunho realista.

Há autores que, nas discussões contemporâneas, enveredam-se por esse caminho sem maiores melindres, justificando sua atitude em uma necessidade de alinhar o “produto final” à nossa “capacidade produtiva”: partindo da premissa de que a matemática é apenas um conjunto de definições, nomes ou conceitos, a adoção de uma perspectiva de natureza antirrealista, por abrir mão deliberadamente de qualquer conceito que não seja passível de uma construção precisa, compromete-se também com um rol mais restrito em termos do que é aceitável dentro do universo matemático.

Como exemplo dessa tendência revisionista na matemática, podemos citar, claro que com variações importantes, os trabalhos de Michael Dummett, Charles Chihara e Hartry Field, os autores mais destacados dessa linha. Em termos gerais, a argumentação de Dummett baseia-se em uma tentativa de efetuar uma interpretação semântica da matemática enquanto produto do intelecto humano, algo que se distancia do que há de essencial no pensamento de Brouwer, considerando que este dissocia a verdadeira matemática da linguagem que a expressa. Hartry Field, por sua vez, em seu Ciência sem Números lança-se a uma tentativa notável de restringir o alcance do argumento de indispensabilidade de Quine. Contra praticamente toda a tradição científica construída desde o século XVII, ele procura argumentar em favor de uma ciência qualitativa, que prescinda da aplicação de números e grandezas matemáticas, com o intuito de mostrar que essa relação entre a física e a matemática é possível e cômoda, mas não necessária. Chihara, por sua vez, é uma meia-exceção; também procurando dar uma resposta ao argumento de indispensabilidade, o autor aborda o problema partindo das construções lógicas associadas à matemática, quando apresenta uma lógica modal [16] que serve de sustentação à matemática através da qual os enunciados, centrados no conceito de possibilidade, não nos prendam a qualquer tipo de compromisso ontológico. Mas ainda que resolvido o problema relativo ao argumento de indispensabilidade no que tange ao compromisso ontológico que ele envolve, as soluções propostas ainda não foram capazes de responder satisfatoriamente como a matemática encontra uma aplicação tão precisa e direta nas ciências naturais, se ela é apenas um conjunto de conceitos que não guarda qualquer relação com a realidade. Trata-se, ainda, de um problema mal resolvido, de um debate não consumado.

6.4 As consequências do posicionamento metafísico

O período da crise dos fundamentos da matemática pode ser considerado como um momento de releitura das bases da disciplina pela prodigalidade de temas e polêmicas que suscitou. Como um exemplo pontual, podemos citar que a adoção de uma postura realista ou antirrealista esteve no cerne de um debate ocorrido entre matemáticos franceses acerca do estatuto do axioma da escolha, que toma a forma de uma discussão em relação à natureza das definições empregadas na matemática. Pode-se dizer que essa polêmica em relação ao status do axioma da escolha revive o debate ontológico entre nominalistas e realistas do século XIV.

De um lado, Émile Borel, Henri Lebesgue e René-Louis Baire são matemáticos que adotam a postura de impor restrições à aceitação do axioma da escolha. O motivo desse posicionamento decorre do fato de que, como vimos anteriormente, o axioma da escolha, em sua simplicidade gritante, nada esclarece acerca de como efetuar aquilo que eles asseveram quando aplicado às séries transfinitas. Malgrado os enganos cometidos até mesmo no que tange à compreensão de noções fundamentais envolvidas no problema (quando, por exemplo, Borel não observa a incomensurabilidade entre séries infinitamente enumeráveis e séries transfinitas, o que o leva à formulação de exemplos mal colocados em relação à atribuição do axioma da escolha às séries transfinitas [17]), os argumentos desses autores giram ao redor do clamor pela perfeita construtibilidade e da exigência da efetiva possibilidade de veiculação de conteúdo por meio de uma definição. A posição desses matemáticos remete sempre à necessidade de ater-se a um universo discursivo-conceitual, quando Baire e Lebesgue exigem uma definição específica para os objetos tratados, posição tacitamente corroborada por Borel, parecendo evidente a filiação das escolhas na matemática como subordinadas às regras da linguagem que refletem, em última análise, as regras do pensar.

Jacques Hadamard, entretanto, posiciona-se sob um ponto de vista contrário a eles, procurando evidenciar a distinção entre a definição e a descrição de relações matemáticas. Com essa distinção preliminar, ele mostra que há, na busca por uma efetiva descrição, um esforço desnecessário: a descrição está diretamente ligada à determinação efetiva, enquanto o que realmente importa é a possibilidade de postular a existência da série, no caso específico do axioma da escolha. Segundo Hadamard, portanto, não há necessidade de uma correspondência entre, de um lado, os objetos e as provas matemáticas e, de outro, nossa capacidade de efetiva construção de suas teses que extrapole os limites da mera definição. A matemática não se limita àquilo que podemos efetivamente conceber, mas às grandezas e operações de seu tipo peculiar que somos capazes de definir, o que, obviamente, permite ampliar o rol dos objetos com os quais a matemática opera.

Essa perspectiva poderia conduzir-nos à sugestão de que é nos limites da não contradição que Hadamard encontra o critério para a existência dos objetos matemáticos, assim como sugerem Hilbert e Poincaré [18]: Contudo, o autor recusa-se a aceitar até mesmo os princípios da lógica como critérios aptos a determinar a existência de objetos matemáticos. Segundo Hadamard, a definição dos objetos matemáticos, assim como sua consistência, deriva de sua existência, motivo pelo qual, para ele, assim como para Frege, a preocupação de Hilbert quanto à consistência de sistemas matemáticos é secundária.

Hadamard professa um realismo tão convicto que chega a defender a possibilidade de demonstrar a existência de um ente matemático até mesmo sem defini-lo perfeitamente, ou seja, logicamente. A lógica, ou mais especificamente, o princípio de não contradição, é tomado por Hadamard como pertencendo aos domínios da psicologia, que subordina a existência a uma forma peculiar de operação de nossa mente, quando na verdade os objetos matemáticos transcendem esses limites estreitos. O advento dos paradoxos é explicado do ponto de vista da aplicação indevida da linguagem que descreve essas realidades, como, por exemplo, a dificuldade suscitada pela antinomia de Burali-Forti, quando a própria definição de conjunto é imprecisa: utiliza-se uma definição que supõe um conjunto em construção quando licitamente só podemos formar um conjunto com objetos previamente existentes.

Partindo dessa leitura original e instigante de Hadamard, torna-se claro que podemos considerar os debates relativos à concepção de infinito e à delimitação do papel do princípio de indução completa abordados no próximo capítulo como decorrências diretas das posições defendidas acerca da questão metafísica que subjaz às teorias matemáticas. É preciso reconhecer, portanto, que a questão metafísica (leia-se, a sustentação de uma metafísica subjacente à filosofia da matemática ou sua negação, nos termos da construção de objetos matemáticos pelo intelecto e/ou linguagem humanas) determina posicionamentos importantes para os fundamentos da matemática.

Notas:

[1] “O número é a essência própria das coisas. Os eleatas dizem: ‘Não há não ser, logo, tudo é uma unidade'. Os pitagóricos: ‘A própria unidade é o resultado de um ser e de um não ser, portanto há, em todo caso, não ser e, portanto, uma pluralidade'. À primeira vista, é uma especulação totalmente insólita. O ponto de partida me parece ser a apologia da ciência matemática contra o eleatismo. (...) A contribuição original dos pitagóricos é, pois, uma invenção extremamente importante: a significação do número e, portanto, a possibilidade de uma investigação exata em física” (NIETZSCHE, 1996, p. 62-3).

[2] “Há dois sentidos para o platonismo. (...) O mais conhecido e que encerra uma explicação menos plausível é o ‘platonismo ontológico', que é uma doutrina sobre a realidade de objetos matemáticos, que são de alguma forma independentes de nossa atividade matemática, de nossa consciência e acesso a eles. (...) A segunda explicação do platonismo, que é ao menos prima facie distinta da primeira, é a que se refere ao deslocamento do tema ontológico da existência de objetos matemáticos para o campo da objetividade da verdade matemática. Não está claro se esses dois ‘tipos’ de platonismo são ou não realmente independentes” (FOLINA, 1992, p. 146).

[3] No Mênon, Platão traz à cena um escravo que, devidamente conduzido pela argumentação característica da maiêutica socrática, efetua a dedução de um teorema de geometria, apesar de nunca tê-la estudado (PLATÃO, Mênon, 82-5). A preexistência do saber consiste no cerne da maiêutica: trazer à luz o que já conhecemos. Platão argumenta assim que se é possível deduzir um teorema, como o escravo o faz no Mênon, é porque sua alma já tem uma participação comum com as formas puras dos números e dos objetos geométricos; significa, em outros termos, que os objetos que compõem aquilo que denominamos aritmética e geometria possuem uma existência transcendente, que a alma preexistente conhece e procura recordar.

[4] Também no Fédon, as relações de grandeza e de quantidade desempenham função importante: com o intuito de sustentar sua teoria das Formas, Platão emprega, dentre outros aspectos, pares do tipo “maior/menor”, “grande/pequeno”, acabando por se referir a grandezas matemáticas e a relações básicas da geometria e da aritmética com a pretensão de sustentarem uma natureza imutável (PLATÃO, Fédon, 100-2).

[5] “A matemática pura pertence ao mundo da essência. O erro capital do idealismo consiste em querer encontrar para o mundo das essências um lugar dentro do mundo da existência, ou seja, dentro do espírito. Esse erro impossibilitou, até agora, uma filosofia satisfatória da matemática ou de outros conhecimentos a priori” (RUSSELL, 1911, p. 303).

[6] “A maioria das filosofias leva à conclusão de que as proposições matemáticas não podem ser completamente verdadeiras, e elas são mais ou menos contaminadas com a contradição ou a inexatidão. A filosofia que eu denomino como realismo analítico, em contraste, leva à conclusão de que não há nenhuma razão para duvidar da verdade absoluta das proposições matemáticas” (RUSSELL, 1911, p. 297).

[7] Um bom exemplo de como a obra de Aristóteles presta-se a interpretações dúbias é a Isagoge, o comentário de Porfírio ao livro das Categorias. Sua intenção, ao abordar aquilo que concerne aos gêneros e espécies, remete ao “problema de saber se são realidades subsistentes em si mesmas ou apenas simples concepções do espírito e, admitindo serem realidades substanciais, se são corpóreas ou incorpóreas, se, enfim, estão separadas ou se subsistentes apenas nas coisas sensíveis, e junto a elas” (PORFÍRIO, 1965, p. 19-20). Porfírio se coloca então em meio a um problema que esbarra todo o tempo em consequências que por vezes soam como lógicas, e outras vezes como ontológicas. Vide, por exemplo, o tratamento do gênero (PORFÍRIO, 1965, p. 37): trata-se de escolher entre defender a ideia de que existe um conceito aplicável a uma totalidade de coisas ou um atributo essencial, real, quiçá corpóreo, aplicável a essa mesma realidade. Quando Porfírio dirige seu comentário à categoria denominada “espécie” a dificuldade parece então ainda maior: “por sua participação à espécie, a multidão dos homens é apenas um só homem; ao contrário, pelos homens particulares, o homem único e comum torna- se múltiplo; o particular é sempre fator de divisão, e o que é comum, fator de similitude e de unificação” (PORFÍRIO, 1965, p. 65-6). Fato é que encontramos na Isagoge um comentário às Categorias que soa muito mais platônico que aristotélico, e que é um ponto decisivo para o problema dos universais, por funcionar como uma estrutura conceitual presente em todo o período medieval: “As teorias dos Reales do século XII aparecem como expansão doutrinária fixada através das fórmulas de Porfírio: a teoria realista da collectio discutida por Abelardo não é nada além da apresentação argumentativa da fórmula contida na Isagoge. No outro extremo da Idade Média, a teoria do homem comum, contraposta a Ockham por Gauthier Burley, não é nada além de um refinamento da noção porfiriana de ‘homem único e comum'” (LIBERA, 1966, p. 33).

[8] “Obviamente, portanto, a causa que consiste nas Formas (tomada no sentido de que algo mantém a existência das Formas, isto é, como algo separado dos individuais) é inútil, ao menos com vistas a um vir a ser e às substâncias; e as Formas não precisam, ao menos por esse motivo, consistirem em substâncias existentes por si mesmas” (ARISTÓTELES, 1033b). Vide também Aristóteles (991b).

[9] Essa leitura do problema é expressa nos Segundos Analíticos (ARISTÓTELES, 85a). Como vemos, a dificuldade da interpretação guarda uma relação estreita com a doutrina da substância em Aristóteles, exposta sobretudo nas Categorias, como já exposto na nota 7 do capítulo 3.

[10] É importante notar que alguns autores simplesmente veem no conceptualismo uma forma específica de nominalismo, como Spade, que toma Ockham, por exemplo, sob a alcunha de nominalista. Libera e Quine são dois autores que adotam a posição contrária. Vide Libera (1996), Quine (1953) e Spade (2002).

[11] Em termos gerais, o âmbito do analítico remete aos juízos de cunho lógico ou linguístico, algo que não exige uma extrapolação do próprio conceito, ao contrário do juízo sintético, cuja característica é exatamente essa. Um juízo analítico é, em termos gerais, aquele em que o predicado já se encontra descrito no próprio conceito do sujeito (como a definição de triângulo já implica em sua descrição). Nesses termos, há dois constituintes para a consideração dos juízos analíticos que não nos podem escapar: em primeiro lugar, seu determinismo lógico; em segundo lugar, a presença, ainda que incômoda, de constituintes psicológicos para sua determinação, uma vez que o juízo propriamente dito não pode escapar de seus constituintes psicológicos. Como ressalta Folina (1992, p. 3), a teoria da analiticidade, apesar de seu apelo psicológico, pode ser compreendida como uma teoria sobre o conteúdo de nossas expressões, bem como pode ser descoberta apenas pelo emprego da lógica e de definições.

[12] O juízo sintético, por sua vez, remete a uma ampliação do conceito em questão. Como Hume argutamente já tornara claro, nada há no conceito de luz que necessariamente estabeleça uma ligação com o conceito de calor. Essa relação imediata, ou melhor, aparentemente imediata, é produzida a partir de uma síntese entre esses dois conceitos, pois nada há no primeiro que torne necessário o segundo. Desse modo, delineia-se minimamente o que Kant entendia por juízo sintético. Todas as teorias físicas, ao transcenderem a mera explicitação de conceitos, implicam em juízos sintéticos, uma vez que a experiência sensível é a fonte primaz para a consideração da viabilidade dessa relação que se estabelece. Nesse contexto, o caráter apriorístico do juízo analítico nada tem de problemático, por encontrar-se restrito ao campo conceitual, lógico-linguístico. O juízo sintético a posteriori também não encontra maiores dificuldades para seu delineamento, uma vez que a extensão prometida pela síntese encontra na experiência sensível a fonte à qual recorrer.

[13] Segundo Folina (1992, p. 4), enquanto a distinção entre analiticidade e sinteticidade é linguística no que diz respeito ao conteúdo das proposições (ou juízos), a distinção entre a priori/a posteriori é epistemológica, e diz respeito a como chegamos a conhecer uma verdade e como podemos justificar nossas crenças e asserções. O problema se impõe ao considerarmos a natureza e a possibilidade dos juízos sintéticos a priori. A fantástica estrutura conceitual que compõe a Primeira Crítica é sabidamente uma resposta a essa questão formulada em poucas palavras.

[14] “O espaço é uma representação necessária, a priori, que fundamenta todas as intuições externas. Não se pode nunca ter uma representação de que não haja espaço, embora se possa perfeitamente pensar que não haja objeto algum no espaço. Consideramos, por conseguinte, o espaço a condição de possibilidade dos fenômenos, não uma determinação que dependa deles; é uma representação a priori, que funda necessariamente todos os fenômenos externos” (KANT, 1781, p. 64-5).

[15] Parece difícil sustentar a viabilidade da tese de Couturat que diz respeito à possibilidade de compreender a concepção de geometria kantiana como em perfeita harmonia em relação às geometrias não euclidianas, uma questão difícil e que mereceria um delineamento preciso. Apesar de Kant ser específico como no excerto acima, há realmente outras passagens que sugerem a possibilidade de não pensar em uma única estrutura geométrica possível, por exemplo, a partir do momento em que temos um modelo de geometria que denega os princípios de Euclides e que pode ser tomado como uma forma de receptividade dos objetos pelo sujeito (KANT, 1871, p. 69), mas é um tanto fantasioso sugerir que Kant efetivamente pensava em algo dessa natureza. Assim, a estratégia de Couturat traveste-se de uma tentativa de salvar in extremis a compatibilidade do pensamento de Kant com as geometrias não euclidianas, mas pouco tem realmente de sua inspiração original.

[16] A lógica modal é um sistema alternativo da lógica formal, que traz ao sistema o trato de modalidades, dentre as quais as mais comuns (relativas á lógica modal clássica) são a possibilidade e necessidade. Suas derivações mais conhecidas são a lógica temporal (cujo modal envolve o tempo), a lógica deôntica (com os modais deônticos da permissão, proibição, obrigação), a lógica doxástica (que envolve o modal da crença), a lógica epistêmica (com modais verdade e possibilidade), dentre outras.

[17] Émile Borel foi questionado relativamente a esse problema por Jacques Hadamard, em carta deste último que trata da crítica de Borel endereçada a Zermelo, por ocasião da propositura do axioma da escolha. Hadamard se expressa nos seguintes termos: “Eu não admito, por exemplo, a assimilação que o senhor estabelece entre o fato que serve como ponto de partida para Zermelo e o raciocínio que consistiria em enumerar os elementos de um conjunto um após outro, devendo essa enumeração prosseguir transfinitamente. Há, com efeito, uma diferença fundamental entre os dois casos: o raciocínio citado por último comporta uma série de escolhas sucessivas onde cada uma depende das precedentes; por isso sua aplicação transfinita é inadmissível. Eu não vejo qualquer analogia a estabelecer, do ponto de vista que nos ocupa, entre as escolhas em questão e aquelas de que fala Zermelo, que são independentes umas das outras” (HADAMARD apud BOREL, 1904, p. 150). O problema fundamental do desacordo entre Hadamard e Borel se explica devido ao primeiro pensar o infinito em ato, não sendo necessário, em absoluto, remeter a uma origem de “escolhas precedentes” para postular o infinito, o que é necessário para Borel, no sentido de “construir” conjuntos que tendem à infinitude, mas cujo caráter infinito não pode de fato se concretizar.

[18] “Toda definição implica em um axioma, pois ela afirma a existência do objeto definido. A definição não será então justificada, do ponto de vista exclusivamente lógico, a não ser quando restar demonstrado que ela não acarreta uma contradição, nem em relação a seus termos, nem em relação às verdades anteriormente admitidas” (POINCARÉ, 1908, p. 139).

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