Como estudar Matemática de Nível Superior

Tempo de leitura: 3 minutos.

Abaixo segue o resumo do vídeo Como ler livros difíceis (e não desistir) do Canal Corre de PhD disponível no LINK. [Conselhos para alunos do Bacharelado Matemática/Física ou Pesquisa Científica].

Conselho principal: NÃO EXISTE FÓRMULA MILAGROSA: Você tem que sentar, estudar e repetir isso várias vezes e por várias horas, se possível.

1. Não queira fazer algum grandioso! Não trace grande objetivos para seus estudos!

QUERER estudar um capítulo inteiro de um livro [de Matemática] e/ou QUERER resolver todos os exercícios desse capítulo em uma tarde ou de uma vez só, não vai dar certo. Seu cérebro precisa absorver as informações de maneira mais suave.

Orientação: Em um papel, escreva tudo que você já sabe sobre o assunto que você estar a estudar (escrever definições, proposições, demonstrações, etc.). No momento em que surgir "buracos" no seu conhecimento, busque o livro. O objetivo é deixar o estudo começar de maneira natural.

2. Não "tente entender" o que o autor do livro escreveu!

Em um capítulo, há geralmente as definições, exemplos, depois algumas proposições e teoremas demonstrados. Se você leu tudo isso e não entendeu nada, foi porque você "tentou entender" o que autor escreveu, ou seja, foi feita uma leitura de maneira passiva. 

Orientação: Leia de maneira ativa. Construa a teoria para você mesmo.

Leia a definição do livro e suas propriedades. Feche o livro. No papel, tente desenvolver tal definição, testando as propriedades, verificando os detalhes e criando seus próprios exemplos. Familiarize-se com a definição. Após isso, volte ao livro, siga adiante lendo os próximos tópicos e repita o mesmo processo:

• Nas definições, crie seus próximos exemplos. 
• Ao chegar nas proposições e lemas, demonstre-os ou pelo menos tente.
• A princípio, faça um esboço da lógica da demonstração. Só depois siga com a demonstração mais técnica.
• Para os teoremas, cheque-os, ou seja, retire alguma hipótese para enfraquecer o teorema, achando seus contraexemplos.

3. Não pare, se um exemplo/exercício não fez sentido.

Se não conseguir fazer um exercício, siga em frente para conseguir confiança e maturidade matemática. Futuramente você pode revisitar tal exercício para resolvê-lo.

DICA EXTRA: Ao bater o cansaço nos temas mais complexos, estude algo mais fácil/simples para recuperar mais confiança ou revisar conteúdos anteriores.

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Como era a educação brasileira há 100 anos atrás

Pátio do Colégio - Benedito Calixto, séc XIX

Tempo de leitura: 10 minutos.

Um pouco de história: como era a educação brasileira há 100 anos - Por Gazeta do Povo 03/01/2021.

Em um cenário, vê-se uma escola bem organizada, com turmas separadas de meninos e de meninas. Dentro de sala de aula, estudantes sentados em fila, uniformizados e disciplinados. Com a palmatória por perto, a professora cobra um ditado de latim preparado especificamente para aquela série. Em outro cenário, os estudantes estão descalços, em um prédio improvisado, em que não há divisão por sexo, nem por idade: na mesma sala de aula, estudantes de quatro séries diferentes dividem a atenção da professora que, sem qualificação adequada, se esforça para repassar um mínimo de conteúdo. Os dois retratos são verdadeiros e refletem faces diferentes da escola pública brasileira de 100 anos atrás. Em comum, o método de ensino: a repetição.

A visão romantizada da escola tradicional, com alunos asseados e professores bem-instruídos, não é totalmente falsa. Mas ela retrata apenas uma parte da realidade daquele tempo: a das zonas urbanas nos estados mais ricos. Há um século, 70% da população brasileira vivia no campo. E, no cômputo geral, uma minoria das crianças ia à escola. No Paraná, aproximadamente 20% das crianças em idade escolar de fato frequentavam uma instituição de ensino no ano de 1914, segundo estimativa das autoridades da época.

Além disso, o sistema era amplamente descentralizado. Cada estado decidia como gerir seu modelo educacional e o currículo em sala de aula. Até 1930, não existia nem mesmo Ministério da Educação. Ali, teve início uma tendência centralizadora que se acentuaria nos anos 1960, com a Lei de Diretrizes e Bases da Educação.

Na década de 1920, a escola, em muitos aspectos, pouco diferia daquela dos jesuítas, os fundadores das primeiras instituições de ensino brasileiras. A Igreja Católica ainda exercia, direta ou indiretamente, uma grande influência sobre o sistema de ensino. Mesmo com a criação de escolas públicas, no período do império, o modelo tradicional se manteve: a leitura e a aritmética eram as bases do ensino, acompanhadas de algum ensino moral ou religioso e, posteriormente, de noções de história e geografia. A educação física era rara.

Em 1921, a revista “A Escola Primária", publicada no Rio de Janeiro para auxiliar o trabalho em sala de aula, instruía os professores: "O ensino deve ser dado em aula, em conjunto, em turmas de oito ou dez alunos, lendo o professor no quadro mural a lição do dia, fazendo os alunos, em conjunto e depois cada um de por si, repetirem-na muitas vezes e em voz alta. Reproduzindo-a depois o docente por escrito e por partes no quadro preto, faça os alunos copiar as letras, as sílabas, as palavras, as sentenças uma e muitas vezes, até que possa passar ao ditado (também no quadro preto) dessas mesmas ou de outras combinações semelhantes.”

Quando eram ensinadas, a geografia e a história tinham como objetivo principal não o desenvolvimento do “senso crítico” em crianças que pouco sabem sobre a origem do próprio país, mas pretendiam situar o aluno no espaço e fornecer bons exemplos de conduta. Em uma lição sobre a Proclamação da República, por exemplo, o material é simpático a Dom Pedro II apesar de celebrar o fim da monarquia: “Diga a mestra que o nosso imperador, Pedro II, era bondoso, justo e sábio, cercava-se mesmo de brasileiros ilustres, muitos dos quais prestaram relevantes serviços à Pátria, mas o mal estava na forma de governo", orienta o material, também publicado em 1921 por “A Escola Primária”.

Como o sistema era descentralizado, alguns estados adotavam currículos diferentes. No Paraná, por exemplo, há pouco mais de um século, o governo estadual introduziu aulas de higiene pessoal, política, agronomia e economia doméstica. Mas a maior autonomia não escondia os problemas do sistema de ensino.

Verônica Branco, doutora em Educação e professora da Universidade Federal do Paraná, destaca que os professores da época não eram preparados adequadamente. “A formação dos professores era muito precária. Ainda nos anos 1960, havia a possibilidade dos professores cursarem apenas uma escola normal ‘regional’, o que significa que eles faziam o ginásio (equivalente do sexto ao nono ano) como se fosse uma Escola Normal”. Ou seja: eram professores que não tinham nem mesmo o equivalente ao Ensino Médio.

Em muitos casos, a situação era ainda mais grave, como mostram os registros históricos. “A politicagem que tudo sofisma e corrompe anulou as instruções da lei, indicando, em regra, para cargos de professores provisórios não pessoas capazes, mas sim dóceis instrumentos do partidarismo local", queixou-se, em 1914, o Diretor-geral da Instrução Pública do Paraná, Francisco Ribeiro de Azevedo Macedo. Ele prosseguiu, lamentando a falta de critérios de avaliação dos professores: "Chegando a ocasião dos exames, ninguém temia ser reprovado, havia aprovações em massa de professores quase analfabetos, salvo poucas e honrosas exceções".

Mas, há 100 anos, a educação brasileira estava perto de um ponto de transição. Foi o auge do embate entre os tradicionalistas e os integrantes do movimento “Escola Nova”, que pretendiam atualizar o currículo, dar mais liberdade ao aluno e reduzir o rigor do ambiente escolar.

O ponto mais marcante da ruptura foi o lançamento do Manifesto dos Pioneiros da Educação Nova, em 1932. O texto, assinado por figuras como Anísio Teixeira e Cecília Meirelles, pedia um projeto educacional unificado, em vez dos modelos descentralizados, e advogava por um ensino universal, laico e gratuito, pelo menos dos 7 aos 15 anos de idade. “Se a educação está intimamente vinculada à filosofia da cada época, que lhe define o caráter, rasgando sempre novas perspectivas ao pensamento pedagógico, a educação nova não pode deixar de ser uma reação categórica, intencional e sistemática contra a velha estrutura do serviço educacional, artificial e verbalista, montada para uma concepção vencida”, dizia o texto. Pela nova doutrina, o aluno passaria a ser moldado de “dentro para fora”, e não de fora para dentro.

Em outra passagem, o manifesto ecoa ideias marxistas. “A escola tradicional, instalada para uma concepção burguesa, vinha mantendo o indivíduo na sua autonomia isolada e estéril, resultante da doutrina do individualismo libertário”. O texto ainda defende o fim da separação dos alunos por sexo e cobra uma ingerência maior do Ministério da Educação. “Esse foi um movimento pela popularização da educação, que era extremamente elitista e não alcançava toda a população brasileira”, diz o professor Gilberto Lacerda, da Faculdade de Educação da Universidade de Brasília (UnB).

Mas, para o professor católico Hermes Nery, um estudioso do assunto, o manifesto de 1932 teve consequências negativas: “Até os anos 20, quando a Igreja Católica exercia uma influência decisiva, havia um alto nível de ensino. A mudança de paradigma veio com a revolução de 1930 e a criação do Ministério da Educação, quando a educação passou a ser influenciada pelos pressupostos ideológicos do Manifesto dos Pioneiros da Educação Nova”, afirma. A mudança foi gradual; pouco a pouco, o modelo tradicional foi substituído por um sistema mais dinâmico, que prevê uma participação ativa do aluno e que deixou para trás parte do conteúdo antigo, como o ensino do latim e do francês.

A escola de 100 anos atrás era, na maior parte das vezes, precária, com professores mal qualificados e em quantidade insuficiente. Ao mesmo tempo, priorizava e incentivava algumas virtudes, como o senso de hierarquia, a capacidade de concentração, a disciplina e o autocontrole. Talvez mais importante do que o método seja o objetivo final da escola: hoje, pais e professores concordam que, se bem-sucedida, a escola vai preparar os alunos para o “mercado de trabalho” ou, com sorte, para passar no vestibular.

O próprio manifesto da Educação Nova propõe uma escola "reconstituída sobre a base da atividade e da produção, em que se considera o trabalho como a melhor maneira de estudar a realidade em geral.” Há 100 anos, ainda havia uma concepção mais humanística e menos utilitarista. "Aquela escola buscava formar o aluno como pessoa em todos os aspectos, e não apenas no técnico. A educação visava formar uma pessoa capaz de ler, refletir pensar, escrever e desenvolver suas habilidades e potenciais por inteiro", afirma Nery.

Fonte: link.

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Livros para aprender bem Matemática

Tempo de leitura: 16 minutos.

Esse texto abaixo é uma continuação do Para aprender bem Matemática do Deividi Pansera [instagram], em que traz a lista de livros recomendado por ele.

5. Tópicos de Matemática

Segue, inicialmente, organizada por tópicos, uma lista de livros para cada tópico de matemática. Não há a necessidade de se estudar todos os livros de um tópico e não há a necessidade de se ler na ordem. O que há entre os diversos livros é uma relação de complementariedade.

Ademais, as listas estão divididas por níveis. São quatro níveis: Elementar, Básico, Intermediário e Avançado. Ressalto, porém, que mesmo um tema de nível básico pode se tornar avançado, como, por exemplo, Teoria dos Conjuntos.

5.1. Nível Elementar

5.1.1 Divulgação Matemática

• A Tour of the Calculus - David Berlinski;

• Tio Petros e a Conjectura de Goldbach - Apostolos Doxiadis;

• How Not to be Wrong: The Power of Mathematical Thinking - Jordan Ellenberg [foi publicado em português com o título O poder do pensamento Matemático];

• A Mathematician’s Apology - G. H. Hardy [foi publicado em português com o título Apologia da Matemática];

• The Music of the Primes - Marcus du Sautoy [foi publicado em português com o título A música dos números primos];

• O Ultimo Teorema de Fermat - Simon Singh;

• Letters to a Young Mathematician - Ian Stewart.

• O Homem que Calculava - Malba Tahan;

5.1.2 Noções Preliminares

• Temas e Problemas Elementares - Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto César Morgado;

• A Matemática do Ensino Médio (todos os volumes) - Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto César Morgado;

• Fundamentos de Matemática Elementar (todos os volumes) - Gelson Iezzi e Carlos Murakami;

• Tópicos de Matemática Elementar (todos os volumes) - Antonio Caminha Muniz Neto;

• Proof in Mathematics: An Introduction - James Franklin.

5.2. Nível Básico

5.2.1 Geometria

• Elementos - Euclides;

• Construções Geométricas - Eduardo Wagner;

• Introduction to Geometry - H. S. Coxeter;

• Elementary Geometry from an Advanced Standpoint - Edwin E. Moise;

• Geometry: Euclid and Beyond - Robin Hartshorne.

5.2.2 Teoria dos Conjuntos

• Introdução à Teoria dos Conjuntos - Gilmar Pires Novaes;

• Teoria Ingênua dos Conjuntos - Paul Halmos;

• Set Theory: A First Course - Daniel W. Cunningham;

• Introduction to Set Theory - K. Hrbaceck e T. Jech.

5.2.3 Teoria dos Números

• Introdução à Teoria dos Números - José Plínio de Oliveira Santos;

• Fundamentos da Aritmética - Hygino H. Domingues;

• Elementary Number Theory - Gareth A. Jones e Josephine M. Jones;

• An Invitation to Modern Number Theory - Steven J. Miller e Ramin Takloo-Bighash;

• An Introduction to the Theory of Numbers - G. H. Hardy e Edward M. Wright;

• Teoria dos Números Transcendentais - Diego Marques;

• Teoria dos Números Algébricos - Otto Endler.

5.2.4 Álgebra Linear

• Geometria Analítica e Álgebra Linear - Elon Lages Lima;

• Álgebra Linear - Elon Lages Lima;

• The Four Pillars of Geometry - John Stillwell;

• Linear Algebra - Kenneth Hoffmann e Ray Kunze [foi publicado em português com o título Álgebra Linear];

• Linear Algebra Done Right - Sheldon Axler.

5.2.5 Álgebra

• Introdução à Álgebra - Adilson Gonçalves;

• Elementos de Álgebra - Arnaldo Garcia e Yves Lequain;

• Contemporary Abstract Algebra - Joseph Gallian;

• Basic Algebra (Vol. 1 e 2) - Nathan Jacobson;

• Abstract Algebra - David S. Dummit e Richard M. Foote;

5.2.6 Cálculo Diferencial e Integral

• Um Curso de Cálculo (Vol. 1-4) - Hamilton Luiz Guidorizzi;

• Calculus - Michael Spivak;

• Calculus (Vol. 1 e 2) - Tom M. Apostol.

5.2.7 Probabilidade e Estatística

• Instroductory Statistics - Neil A. Weiss;

• Statistics - David Freedman, Robert Pisani e Roger Purves;

• Introduction to Probability Models - Sheldon M. Ross;

• An Introduction to Probability Theory and its Applications - William Feller;

• Probability Theory: The Logic of Science - E. T. Jaynes.

5.3. Nível Intermediário

5.3.1 Análise Real e Complexa

• Curso de Análise (Vol. 1 e 2) - Elon Lages Lima;

• The Elements of Real Analysis - R. Bartle;

• Principles of Mathematical Analysis - Walter Rudin [foi publicado em português com o título Princípios de Análise Matemática];

• Elementary Classical Analysis - J. E. Marsden;

• Real and Complex Analysis - Walter Rudin;

• A First Course in Complex Analysis with Applications - Dennis Zill e Patrick Shanahan;

• Visual Complex Analysis - Tristan Needham.

5.3.2 Topologia

• Espaços Métricos - Elon Lages Lima;

• Elementos de Topologia Geral - Elon Lages Lima;

• Introduction to Topology and Modern Analysis - George F. Simmons;

• Introduction to Topology - Bert Mendelson.

5.3.3 Geometria Diferencial

• Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies - Manfredo Perdigão do Carmo;

• Elementary Differencial Geometry - B. O’Neill;

• Differential Geometry - Will Merry;

• Manifolds and Differential Geometry - Jeffrey Lee;

• Introduction to Manifolds - Loring Tu;

• Variedades Diferenciáveis - Elon Lages Lima.

5.3.4 Equações Diferenciais

• Equações Diferenciais Ordinárias - Clauss I. Doering e Artur O. Lopes;

• EDP: Um Curso de Graduação - Valéria Iório;

• Differential Equations With Applications and Historical Notes - George Simmons;

• Equações Diferenciais Aplicadas - Djairo Guedes de Figueiredo e Aloisio Freiria Neves;

• Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems - W. E. Boyce e R. C. DiPrima [foi publicado em português com o título Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno];

• Stability, Instability and Chaos: An Introduction to the Theory of Nonlinear Differential Equations - P. Glendinning.

5.4. Nível Avançado

5.4.1 Análise Funcional

• Fundamentos de Análise Funcional - Geraldo Botelho, Daniel Pellegrino e Eduardo Teixeira;

• Introdução à Análise Funcional - César R. de Oliveira;

• Functional Analysis - Walter Rudin;

• Introduction to Banach Spaces and Algebras - Graham R. Allan;

• Topology and Normed Spaces - G. J. O. Jameson.

5.4.2 Teoria da Medida

• Introdução à Medida e Integração - Carlos Isnard;

• Curso de Teoria da Medida - A. Armando de Castro Jr.;

• Medida e Integração - Pedro J. Fernandez;

• An Introduction to Measure Theory - Terence Tao;

• Measure Theory - D. H. Fremlin.

5.4.3 Sistemas Dinâmicos e Teoria do Caos

• Introdução aos Sistemas Dinâmicos - Jacob Palis Jr. e Weligton de Melo;

• Introduction to Modern Theory of Dynamical Systems - Anatole Katok e A. B. Katok;

• An Introduction to Dynamical Systems - D. K. Arrowsmith e C. M. Place;

• An Introduction to Dynamical Systems and Chaos - G. C. Layek;

• Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos - Morris W. Hirsch, Stephen Smale e Robert L. Devaney;

• Laws of Chaos - Abraham Boyarsky e Pawel G´ora.

5.4.4 Teoria de Categorias

• Categories for the Working Mathematician - Saunders MacLane;

• Category Theory - Steve Awodey;

• Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats - Jirí Adámek, Horst Herrlich e George E. Strecker;

• Categorical Logic and Type Theory - Bart Jacobs;

• Fibred categories à la Bénabou - Thomas Streicher;

• Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory - Saunders MacLane e Ieke Moerdijk;

• Categories and Sheaves - Masaki Kashiwara e Pierre Schapira.

5.4.5 Grupos Quânticos e Álgebras de Hopf

• Quantum Groups and Their Representations - Anatoli Klimyk e Konrad Schmudgen;

• A Guide to Quantum Groups - Vijayanthi Chari e Andrew Pressley;

• Foundations of Quantum Group Theory - Shahn Majid;

• Quantum Groups - Christian Kassel;

• Hopf Algebras - Moss E. Sweedler;

• Hopf Algebras and Their Actions on Rings - Susan Montgomery;

• Hopf Algebras - David Radford.

6. Tópicos de Lógica, Fundamentos e História da Matemática

Aqui, não há mais uma divisão por níveis, apenas uma divisão pelas áreas de Lógica, Fundamentos da Matemática e História da Matemática.

6.1. Lógica

• Órganon - Aristóteles [Categorias, Da Interpretação, Analíticos Anteriores, Analíticos Posteriores, Tópicos e Refutações Sofísticas];

• An Introduction to Traditional Logic - Michael M. Sullivan;

• Socratic Logic - Peter Kreeft [foi publicado em português com título Lógica Socrática];

• Introdução à Lógica - Cezar A. Mortari;

• O Desenvolvimento da Lógica - William Kneale e Martha Kneale;

• Logic: A Very Short Introduction - Graham Priest;

• A Concise Introduction to Logic - Patrick J. Hurley e Lori Watson;

• Logic and Structure - Dick van Dalen;

• Introduction to Metamathematics - Stephen Cole Kleene;

• Introduction to Mathematical Logic - Elliot Mendelson;

• Fundamentals of Mathematical Logic - Peter G. Hinman;

• Mathematical Logic - Joseph R. Shoenfield;

• A Mathematical Introduction to Logic - Herbert B. Enderton;

• Mathematical Logic and Model Theory: A Brief Introduction - Alexander Prestell e Charles N. Delzell;

• Logic, Induction and Sets - Thomas Forster:

• Language, Proof and Logic - John Etchemendy e Jon Barwise

6.2. Fundamentos da Matemática

• The Foundations of Mathematics - Thomas Q. Sibley;

• The Foundations of Mathematics - Kenneth Kunen;

• Classic Set Theory for Guided Independent Study - Derek C. Goldrei;

• Set Theory and Its Philosophy: A Critical Introduction - M. Potter;

• Set Theory and the Continuum Hypothesis - Paul Cohen;

• Set Theory, Logic and their Limitations - Moshe Machover;

• The Higher Infinite - Akihiro Kanamori;

• Computability and Logic - George S. Boolos, John P. Burgess e Richard C. Jeffrey.

6.3. História da Matemática

• Mathematics: From the Birth of Numbers - Jan Gullberg;

• Mathematics and its History - John Stillwell;

• Mathematical Thought from Ancient to Modern Times - Morris Kline;

• A Short Account of the History of Mathematics - W. W. Rouse Ball;

• The History of Mathematics: An Introduction - David Burton;

• An Introduction to the History of Mathematics - Howard Eves [foi publicado em português com o título Introdução à História da Matemática];

• A History of Mathematics: An Introduction - Victor J. Katz;

• A History of Mathematics - Carl B. Boyer [foi publicado em português com o título História da Matemática];

• The History of the Calculus and Its Conceptual Development - Carl B. Boyer;

• A History of Greek Mathematics - Thomas Heath;

• The Science of Conjecture: Evidence and Probability before Pascal - James Franklin.

7. Tópicos de Filosofia da Matemática, Filosofia da Ciência, Filosofia da Natureza e Filosofia da Linguagem

Aqui, continuamos sem a divisão por níveis, apenas uma divisão pelas áreas de Filosofia da Matemática, Filosofia da Ciência, Filosofia da Natureza e Filosofia da Linguagem.

7.1. Filosofia da Matemática

• The Nature of Mathematical Knowledge - Philip Kitcher;

• The Foundations of Arithmetic - G. Frege;

• Thinking about Mathematics: the Philosophy of Mathematics - Stewart Shapiro [foi publicado em português com o título Filosofia da Matemática];

• Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology - Stewart Shapiro;

• Platonism and Anti-Platonism in Mathematics - Mark Balaguer;

• Wittgenstein, Finitism, and the Foundations of Mathematics - Mathieu Marion;

• Naturalism in Mathematics - Penelope Maddy;

• Realism in Mathematics - Penelope Maddy;

• The Philosophy of Mathematics - Edward A. Maziarz;

• Greek Mathematical Philosophy - Edward A. Maziarz e Thomas Greenwood;

• Philosophy of Mathematics: A Contemporary Introduction to the World of Proofs and Pictures - James Robert Brown;

• Uncertainty: The Soul of Modeling, Probability and Statistics - William Briggs;

• From an Ivory Tower: A Discussion of Philosophical Problems Originating in Modern Mathematics - Bernard Hausmann;

• An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics: Mathematics as the Science of Quantity and Structure - James Franklin;

• St. Thomas on the Object of Geometry - Vincent Edward Smith;

• La Filosofía de las Matemáticas en Santo Tomás - Jose Alvarez Laso.

7.2. Filosofia da Ciência e Filosofia da Natureza

• Metafísica - Aristóteles;

• Física - Aristóteles;

• Understanding Philosophy of Science - James Ladyman;

• What Science Knows: And How it Knows it - James Franklin;

• Modern Physics and Ancient Faith - Stephen M. Barr;

• The Mathematization of Physics and the Neo-Thomism of Duhem and Maritain - Stephen M. Barr;

• The Science Before Science - Anthony Rizzi;

• The Modeling of Nature - William A. Wallace [foi publicado em português com o título Natureza e modelo];

• Causality and Scientific Explanation - William A. Wallace;

• Philosophical Physics - Vincent Edward Smith;

• The Philosophy of Physics - Vincent Edward Smith;

• The General Science of Nature - Vincent Edward Smith;

• La Mente del Universo - Mariano Artigas;

• Karl Popper: Búsqueda sin Término - Mariano Artigas;

• Galileo em Roma - Mariano Artigas;

• Filosofia da Natureza - Mariano Artigas;

• The Metaphysical Foundations of Modern Science - Edwin A. Burtt;

• How the Laws of Physics Lies - Nancy Cartwright;

• Philosophy and the New Physics - Jonathan Powers;

• Physics and Phylosophy - Werner Heisenberg;

• Against Method - Paul Feyerabend;

• A Estrutura das Revoluções Científicas - Thomas Kuhn;

• Conjecturas e Refutações - Karl Popper;

• A Crise das Ciências Europeias e a Fenomenologia Transcendental - Edmund Husserl;

• A Imagem Científica - Bas van Fraassen;

• Imposturas Intelectuais - Alan Sokal e Jean Bricmont;

• The Rationality of Induction - David Stove;

• Popper and After: Four Modern Irrationalists - David Stove;

• Darwinian Fairytales - David Stove;

• Structural Realism - Elaine Landry e Dean Rickles;

• A Metaphysics for Scientific Realism: Knowing the Unobservable - Anjan Chakravartty;

• Aristotle on Method and Metaphysics - Edward Feser;

• Aristotle’s Revenge: the Metaphysical Foundations of Physical and Biological Science - Edward Feser;

• The Limits of a Limitless Science: and Other Essays - Stanley L. Jaki;

• The Saviour of Science - Stanley L. Jaki;

• The Hollow Universe - Charles de Koninck;

• Philosophy of Nature - Jacques Maritain e Yves Simon;

• The Degrees of Knowledge - Jacques Maritain;

• Thomism and Mathematical Physics - Bernard I. Mullahy;

• Física e Realidade - Carlos A. Casanova;

• O Enigma Quântico - Wolfgang Smith;

• Ciência e Mito - Wolfgang Smith.

7.3. Filosofia da Linguagem

• De Magistro - Santo Agostinho;

• Philosophy of Language - A. Miller;

• Philosophy of Language: A Contemporary Introduction - W. G. Lycan;

• Sourcebook in the History of Philosophy of Language - M. Cameron, B. Hill e R. J. Stainton;

• La Búsqueda del Significado - L. V. Villanueva;

• Las Palabras, las Ideas y las Cosas - M. G.-Carpintero;

• Filosofía del Lenguaje - F. Conesa e J. Nubiola;

• Quantifiers and Propositional Attitudes - W.V.O. Quine;

• Two Dogmas of Empiricism - W.V.O. Quine;

• Proper Names - John Searle;

• The Structure of Illocutionary Acts - John Searle;

• Thomist Realism and the Linguistic Turn: Toward a More Perfect Form of Existence - John O’Callaghan;

• Aristotle’s Theory of Language and Meaning - Deborah K. W. Modrak.

8. Considerações Finais

Obviamente, muitas e muitas áreas poderiam ser adicionadas nas listas de matemática. Assim como nas áreas de Filosofia. Omiti, aqui, diversas outras áreas do conhecimento propositalmente. Decidi deixar algumas que, além de presentes na minha formação pessoal, também estão interconectadas com a matemática.

Lembre-se, este guia é para você treinar o intelecto, que é um atributo da alma, e, com ele, compreender melhor a realidade que o cerca. Para isso, porém, é necessário complementariedade de estudos. Isto é, estude outras áreas do conhecimento. Estude e estude sempre!

***

Texto disponível no LINK.

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Leia mais em Lista de livros sobre a Educação verdadeira - parte 1

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Sobre as escolas laicas

Aula de Matemática, Seção Masculina do Grupo Escolar Orozimbo Maia, 1939.
FONTE: Arquivo da EEPG Orozimbo Maia, Campinas.

Tempo de leitura: 18 minutos.

Apresentamos trechos do prefácio do livreto Escolas Laicas do Pe. Félix Sardà y Salvany, publicado pelo Instituto Gratia, 2020.

Por Rafael Brodbeck

PREFÁCIO

O mal denunciado pelo Pe. Félix Sardà y Salvany neste seu opúsculo é, infelizmente, ainda mais presente em nossos tempos tão sombrios, do que era nos seus, ainda um pouco mais luminosos. O que talvez mude seja a clareza das intenções do inimigo, que não escondia, naquela época, sua intenção ao instalar escolas ditas laicas como contraponto à fortíssima e qualificada educação católica de então. Chegando ao menos próximo do objetivo de subtrair até a educação de nossas crianças do império de Cristo Rei, os secularistas, minando as escolas católicas, infiltrando-as com a perversidade do Modernismo que nem a elas poupou, com raríssimas e honrosas exceções, a máquina do laicismo não necessita hoje explicitar o que pretende com essa sua engenharia.

Sardà y Salvany foi um profeta. Catalão de Sabadell, cidade e município da província de Barcelona, o sacerdote, nascido em 1841 no seio de uma família econômica e socialmente bem estabelecida, que se constituiu por seus próprios esforços - sem olvidar, é verdade, o auxílio da graça de Deus - o sacerdote, além dos cursos de Filosofia e Teologia, estudou também o Direito, e foi professor das cadeiras teológicas e humanísticas no seminário. Carlista de formação, recusou apoio ao pretendente dessa corrente monárquica porque, segundo ele, afasta- se da integralidade da doutrina dita "tradicionalismo político". Para Sardà y Salvany, o duque de Madrid e conde de Alcarria, Carlos de Borbón, pretendente carlista ao trono da Espanha sob o nome de Carlos VII, era demasiado conciliador com o Liberalismo.

Isso nos diz muito da fibra e da personalidade de nosso autor. Tendo já denunciado o liberalismo filosófico e político em seu afamado El liberalismo es pecado [publicado no Brasil, pela Editora Santa Cruz, 2017], não poupou munição contra a instituição que promovia esse erro nefasto, a Maçonaria. Escreveu dezenas de livros e pequenas obras em defesa dos pontos de doutrina católica mais atacados pelos maçons e pelos liberais. Denunciou a infiltração dos inimigos na Igreja. Demonstrou como na esfera política, separando-se o Estado da verdadeira religião, havia erros graves com prejuízo inestimável ao povo, à verdade e aos direitos de Deus e da Igreja. Campeão incansável de Cristo, defendeu o Magistério da Igreja, sobretudo o Syllabus, do Beato Pio IX, organizou o apostolado da boa imprensa, e tratou de atacar os erros dos espíritas, dos protestantes, dos naturalistas, e dos sociais-comunistas. Por seu labor apostólico, foi elogiado pela Sagrada Congregação do Índice, órgão da Santa Sé dedicado à revisão de publicações impressas para orientar e proteger a grei do Senhor.

-- "No basta quejarse, no; no se remedian con lamentos los grandes males de la patria. Tómese parte en esta lucha gigantesca en que anda hoy dividido el mundo y cuyo palenque principal es la prensa". era a mensagem intrépida de Sardà y Salvany. Esse ensinamento permeava a sua vida e o impulsionava no apostolado. A missão para ele era, claro, ganhar os corações para Cristo, mas isso passava pelo rechaço direto, claro e sem rodeios aos erros de sua época, que teimam em perseverar e aumentar na pós-modernidade.

O que movia o autor era a luta sem quartel contra o secularismo enquanto ideia e contra a secularização enquanto processo, que culminavam na descristianização social. Por isso, ideia que deveria defender a todo instante a ordem tradicional, tal qual desenvolvida a partir dos princípios sociais e políticos ensinados pela Igreja, contra a ordem liberal que se estabelecia - e que hoje parece consolidada, quer sob governos socialistas, quer sob governos com uma visão parcial da economia de mercado e promotores de um capitalismo distorcido, exagerado e fundado em uma bondade inexistente do homem decaído pela mancha original. E o fundamento dessa disposição de Sardà y Salvany para a batalha encontrava-se em sua vida espiritual, da qual extraía das bases de sua intolerância do pecado e do erro, que se transformavam em um valor essencial de sua vida intelectual e de seu apostolado concreto de conquista de almas e de remoção de todos os perigos que ameaçavam o Reinado de Cristo na sociedade e nas nações e, com isso, subjugariam, ainda que em nome da humanidade, o próprio homem, convertendo-o em escravo. A educação verdadeiramente libertadora não estava nas escolas laicas, e sim no encontro de Deus com o homem, na graça doada por misericordiosa soberania do Criador à sua criatura amada, mas corrompida.

[...]

A obra sobre os colégios, ora apresentada, está nessa mesma linha. A escola laica, para o autor, em uma definição acertada, não é uma instituição neutra. Não existe neutralidade em matéria religiosa. A ausência na escola da pregação de Deus equivale a pregar contra Ele. Sem cair em conceituações próprias de uma cultura puritana, que não consegue distinguir os diversos tons de cinza, reduzindo tudo a preto ou branco, o fato é que o indiferentismo religioso já é uma tomada de uma posição. Defender não privilegiar a religião verdadeira já é aceitar uma defesa, tácita que seja, das religiões falsas ou das concepções falsas de religião.

Essa escola laica é abominável porque é uma escola sem Deus, uma escola ímpia e imoral, uma escola que não responde ao fim principal da educação, que não é a simples transmissão de conhecimento, nem socialização de "saberes", à moda de Paulo Freire, e nem treinamento utilitarista para o mercado. Se a educação, como ensinava Hugo de São Vitor, é para o homem santificar-se, e que, no dizer de São Bernardo de Claraval, a instrução sem a intenção de servir a Deus e ao próximo é mera vaidade, então a escola laica serve para destruir não apenas a Igreja, como a sociedade, pois faz ruir seu fundamento.

O favorecimento do anticristianismo na sociedade é a meta das escolas laicas, que pretende a emancipação dos cidadãos frente ao que chamam obscurantismo religioso -- qualquer semelhança com os postulados maçônicos não é coincidência.

Exemplos históricos e concretos não nos faltam, por certo. Em diversas cidades, no Brasil mesmo, sobretudo a partir dos estertores do Império e no alvorecer da república, brotaram iniciativas educacionais laicistas, a maioria delas, quando não todas, financiada, patrocinada ou louvada pela Maçonaria, para se opor às escolas católicas. Os pedagogos, quaisquer que sejam suas linhas, sabem que a educação, além de fornecer os rudimentos de certas ciências às massas, forma as elites que, em seus campos próprios, jurídicos, políticos, empresariais, científicos, tendem a governar ou liderar os povos. Para o bem ou para o mal, alguém liderará; a Igreja e a sociedade sadia almejam que tais líderes inspirem os demais a partir do cultivo das virtudes.

Pretendiam, seus fautores, por isso, ao criar essas escolas laicas, formar uma nova elite que fosse livre daquilo que entendiam por superstições religiosas, amarras eclesiásticas, para que a ação revolucionária se acelerasse. É bem verdade que mesmo quando exclusivamente religiosas eram as escolas, ainda assim secularistas e anticristãos em seus bancos estudaram e a fé nelas pregada não foi óbice aos seus intentos de demolição da tradição e da civilização.

A Revolução, que, conforme ensinado por Plínio Corrêa de Oliveira, Juan Vallet de Goytisolo, Juan Donoso Cortés, José Pedro Galvão de Sousa e Francisco Elías de Tejada, entre outros intelectuais, não é uma simples soma de revoltas contra determinados regimes políticos, mas um processo contínuo contrário à ordem, que almeja subvertê-la e substituí-la por uma doutrina política e social centrada no homem e em sua elevação, expulsando, progressivamente, a Igreja, o Cristo e Deus dos corações e das sociedades.

Sabendo que, com maior ou menor eficácia, na escola católica pode-se ao menos frear certos ímpetos revolucionários, bem como criar, quando assim dispõem as circunstâncias e a Providência, bons quadros contrarrevolucionários, além de fomentar uma nata católica composta de autênticos líderes e intelectuais de escola à serviço da fé e da Cristandade, exsurgem-se os inimigos da Cruz em fundar sua contraparte, a escola laicista. Sem qualquer referência a Deus, ou, quando pronunciam Seu Nome, acomodando seu conceito a uma visão relativista e imanente, as escolas laicistas pretendem ser as rivais das católicas não apenas por uma competição mercadológica. O embate é doutrinário e finalístico! Querem as escolas laicas a formação de uma geração de líderes que pouco caso fazem da fé, que influenciem os governos, as artes, as ciências, as leis, os comportamentos, em direção a uma sociedade em que não mais reine Aquele que é, por Seu direito, o Senhor de todas as coisas.

Tanto é assim que em muitos municípios brasileiros as primeiras escolas laicistas foram erguidas tendo por destinatários exclusivos os filhos das classes mais abastadas. Sabiam os secularistas que os tradicionais colégios católicos poderiam perpetuar futuros líderes com uma visão cristã de sociedade. Para lutar contra isso, miraram no mesmo alvo e buscaram seu recrutamento entre aquelas famílias ricas que já pendiam para o indiferentismo religioso e para o desprezo da fé cristã, mas que continuavam mandando seus filhos aos colégios católicos por falta de opção, e neles poderia haver mais espaço para uma eventual, mas nem sempre provável, conversão.

A escola laica trabalha para que seus alunos sejam exatamente o contrário do ideal de estudante católico: um ímpio, um relativista, um "iluminado", um tecnicista, e que inspire negativamente os demais nesses contravalores. A meta do laicismo é o mundo sem Deus. O meio da escola laica é a elite dirigente que apresse a fundação de tal ordem de coisas.

A conquista de corações e mentes é o fito do laicismo educacional, como instrumento para que os condutores do porvir ponham suas esperanças em outras coisas que não Cristo Jesus. O campo de batalha é a alma dos alunos, muitos ainda sem as luzes necessárias para o correto entendimento das coisas, pelo que tão perverso mecanismo converte-se em causa de profundo escândalo ao fazer perder os pequeninos, conforme a advertência do Salvador (cf. Mt. 18,6).

No fundo, ao denunciar a escola laica e, por isso, laicista, é necessário perceber de que se trata de uma visão equivocada de educação, permeada de ideologia, seja ela qual for, e sempre terrivelmente venenosa, contra a qual devemos lutar. A modernidade e a pós-modernidade insistem, conforme acima vimos, que a educação ou deve ser o relaxamento dos costumes, sem nenhum tipo de conteúdo, em um entendimento exageradamente livre e distorcido da autonomia do homem, aos moldes da falsa pedagogia apregoada pela esquerda política, ou, como contraposição, buscam um ensino eminentemente tecnicista, tecnocrático, a serviço apenas do mercado de trabalho, em uma outra falsa pedagogia, desta vez, louvada por certos ambientes de direita, totalmente utilitarista.

A educação católica, belamente descrita pelos vitorinos, não é uma coisa nem outra. Não queremos formar para o mercado nem para os partidos políticos. Queremos formar para o céu! Não queremos alunos que se transformem em peças de engrenagem na economia e nem alienados sem conteúdo que repetem baboseiras ao sabor do grupo socialista dominante. Queremos transformar homens em santos!

De todo modo, estamos em um tempo em que, ressalvadas as heróicas instituições resistentes e as novas iniciativas nesse campo, a educação católica respira por aparelhos. A educação laica, particular ou estatal, é a regra. Chega a ser regra até mesmo em escolas dirigidas por grupos católicos - e que fingem ser religiosas apenas pela intenção, nos seus inícios, de ser católica e por meia dúzia de classes de ensino religioso diluído em romantismo, falso ecumenismo e pregação de simples valores humanos sem referências teológicas e espirituais claras. Assim que, nos tempos atuais, ainda que o defendido por Sardà y Salvany e sua advertência contra o laicismo devam manter-se presentes como princípio, nem todas as famílias terão reais opções na escolha da matrícula de seus filhos em uma escola ou na adoção da educação domiciliar. Salvos os princípios, firmes os preceitos, e rechaçando aqueles ambientes em que o indiferentismo é militante e o anticristianismo é flagrante, é no caso concreto de uma sociedade anticristã, que devemos travar a luta por Cristo Rei ao mesmo tempo em que educamos nossos filhos, aumentando ainda mais a vigilância sobre o sistema educacional, e fortalecendo os anticorpos de nossas crianças, robustecendo sua educação, acompanhando de perto o que é passado pelos mestres, complementando, desfazendo erros, e prevenindo. Cada família, diante dos casos, terá sua escolha concreta e não serei eu a ditar as regras práticas e a licitude das eleições prudenciais de cada uma.

O fato, contudo, é que a educação é um campo de batalha pela conquista da sociedade. E isso bem percebeu nosso autor catalão, intrépido padre que honrou a sua sotaina [batina] ao pregar, em nome de Cristo, pela defesa da verdade e pela aniquilação do erro. Tenhamos coragem! Sabemos que Cristo venceu o mundo!

Piratini, 2 de dezembro de 2019 

Dr. Rafael Vitola Brodbeck

Delegado de Polícia

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O ensino dos números no Primário antigo

Homero, poeta grego do século IX a.C.
Pintura de Jean-Baptiste Auguste Leloir de 1841

Tempo de leitura: 6 minutos.

Texto retirado de MARROU, Henri-Irénée. História da Educação na Antigüidade. 4ª Impressão, São Paulo, Editora Pedagógica Universitária Ltda. e Editora da Universidade de São Paulo, 1973. (Esta obra foi reeditada pelas Edições Kírion, Campinas em 2017).

O CÔMPUTO

Não havia, no início, ambição muito maior em seu modesto programa matemático: limitava-se a ensinar a contar, no sentido restrito da palavra: aprendia-se a lista dos números inteiros, cardinais [49] e ordinais [50], tanto pelos nomes como pelos símbolos (sabe-se que os gregos notavam os algarismos por meio das letras do alfabeto, que alcançou vinte e sete sinais pelo acréscimo do digama, do koppa e do sampi, de maneira a dispor de três séries de nove sinais, para as unidades, as dezenas e as centenas [51]). Este estudo era simultâneo ao do silabário ou dos dissílabos [52].

Era também na escola elementar, pelo menos suponho-o (9), que se aprendia a contar pelos dedos, técnica bem diferente da que usamos sob esse nome: a Antigüidade conheceu toda uma arte, rigorosamente codificada, permitindo simbolizar, por meio das duas mãos, todos os números inteiros de $1$ a $1.000.000$. Com os três últimos dedos da mão esquerda, segundo estivessem mais ou menos abaixados e dobrados sobre a palma, representavam-se as unidades, de $1$ a $9$; as dezenas, pela posição relativa do polegar e do indicador dessa mesma mão; as centenas e os milhares, de igual maneira, com o polegar e o índex, e com os três últimos dedos, na mão direita; as dezenas e as centenas de milhares, pela posição relativa da mão, seja esquerda, seja direita, com relação ao peito, ao umbigo, ao fêmur; o milhão, enfim, pelas duas mãos entrelaçadas. Essa técnica está de todo esquecida hoje entre nós, mas teve grande aceitação, no Ocidente, até às escolas medievais; persiste ainda hoje no Oriente muçulmano. Atestada como de uso corrente no mundo mediterrâneo a partir do Alto Império romano, apareceu talvez mais cedo, nos últimos séculos anteriores a Cristo.

Depois dos números inteiros, aprendia-se, sempre sob o duplo ponto de vista da nomenclatura e da notação, uma série de frações: as da arure ou da dracma [53]:

o $1/8$ escreve-se $c$ $xx$ (seja, um meio óbolo e dois calcos),
o $1/12$ escreve-se $x$ (um calco), etc. [54].

Como o mostra a escolha destas unidades concretas, saimos aqui da aritmética para entrar no sistema métrico: seu estudo é bem atestado, a partir dos séculos II e III da nossa era, por diversos papiros contendo tabelas metrológicas [55], por exemplo dos múltiplos e submúltiplos do pé [56]. Mas isto era, antes, uma iniciação à vida prática, que estudo matemático propriamente dito.

Assim, no começo da era helenística, a aritmética escolar se limitava a muito poucas coisas: o manual do século III ao qual muitas vezes já me reportei contém apenas, além disso, uma tábua dos quadrados [57], cujo fim aliás é, talvez, completar, até $640.000$, a lista dos símbolos numéricos. Tem-se de esperar até o século I a.C. para ver aparecerem num papiro, em seguida aos cálculos de quadrados ($2 \times 2 = 4;$ $3 \times 3 = 9; 4 \times 4 = 16$), estes exercícios de aplicação sobre as frações da dracma, dos quais encontramos o equivalente na escola latina do tempo de Horácio [58]: o $1/4$ de dracma é $1$ óbolo e $1/2$: o $1/12$ é $1/2$ óbolo; $1/4 + 1/12 = 1/3...$ [59]. Em seguida aparecem cálculos mais complexos, de modo que cabe perguntar-se se este papiro, aparentemente de origem escolar, conduz-nos realmente a uma escola primária. Somente na época copta, nos séculos IV-V d.C. encontram-se, em tabuletas que certamente pertenceram a crianças, tabuadas muito elementares de adição: “$8$ (e) $1:9; 8$ (e) $2:10...; 8$ (e) $8:16; 2$ (vezes) $8:16; 8$ (e) $7:15; 7$ (e) $8:15$ [60]. Mesmo nesta época, sempre que se encontram exercícios aritméticos elevando-se um grau acima destes balbucios, a escrita mostra, por sua destreza e sua perfeição, que são obra de adulto e não mais de criança [61] (10).

Por mais estranho que o fato possa parecer de início, tem-se realmente de reconhecer que “as quatro operações”, esta humilde bagagem matemática de que toda criança, entre nós, se acha desde bem cedo munida, permanecem na Antigüidade muito além do horizonte da escola primária. O uso, bastante comum, de instrumentos para cálculos e do ábaco (11) supõe que o conhecimento da adição não estava muito difundido entre o público e, na verdade, constatamos que poucos o possuem sólido, mesmo nos meios cultos e de época tardia.

Notas Complementares:

(9) O cômputo digital: Cf. D. E. Smith, History of Mathematics, Boston, 1925, t. II, ps. 196-202; E. A. BECHTEL, The Finger-counting among the Romans, ap. Classical Philology, IV (1909), ps. 25 e segs.; FROEHNER, ap. Annuaire de la Societé Française de Numismatique et d'Archéologie, VIII (1884), ps. 232-238; J.-G. LEMOINE, Les Anciens procédés de calcul sur les doigts en Orient et en Occident, ap. Revue des Études islamiques, VI (1932), ps. 1-60; A. CORDOLIANI, Études de comput, I, ap. Bibliothèque de l'École des Chartes, CHI (1942), ps. 62-65.

Apresentam-se dois problemas sobre o assunto:

a) a data do seu aparecimento. As únicas exposições ex professo que possuímos são, para o Ocidente, o tratado de BEDA o Venerável (século VIII; P. L., t. 90, c. 685-693) : os manuscritos são acompanhados de curiosas pranchas ilustradas) e, para o Oriente, algumas páginas de RHABDAS (alias NICOLAS ARTAVASDOS de Esmirna, século XIV), texto e tradução ap. P. TANNERY, Mémoires scientifiques, IV, ps. 90-97. Mas algumas alusões, tecnicamente exatas, atestam-lhe o uso na Roma imperial, desde o século I:

Plínio (N. H., XXXIV, 33) fala numa estátua de Jano, consagrada pelo rei Numa (?), cujos dedos representavam o número 365: sejam quais forem a data real da consagração e as intenções do escultor, esse testemunho atesta que os contemporâneos de Plínio o Antigo interpretavam o gesto desse Jano em função das normas do cômputo. Ver ainda JUVENAL (X, 248: um centenário conta o número dos seus anos na mão direita) e principalmente APULEIO (Apol., 89, 6-7), são JERÔNIMO (Adv. Jovinian., I, 3) santo AGOSTINHO (Serm. 175, 1), MARCIANO CAPELLA (VII, 746).

O sistema não era propriamente exclusivo dos meios latinos: um fato anedótico citado por PLUTARCO (Reg. Imp. Apopht., 174 B); ÉLIO ARISTIDES (XLVI D., 257; cf. Suídas, t. I, p. 339, 3752) indica que era conhecido pelo menos em sua época (século II depois de Jesus Cristo) e, se a anedota tem fundamento histórico, já no século IV antes de Jesus Cristo: Orontes, genro do rei Artaxerxes II (404-358) comparava os amigos dos reis, sucessivamente poderosos ou miseráveis, segundo gozavam de simpatia ou caíam em desagrado, aos dedos da mão que, sucessivamente, representam as dezenas de milhar (mão esquerda apoiada sobre esta ou aquela parte do corpo) ou as simples unidades (mão esquerda estendida à frente do corpo); cf. ainda Anth. Pal., XI, 2.

Plínio (N. H., XXXIV, 88) descreve também uma estátua de homem (que seria talvez Crisipo) contando nos dedos, atribuída ao escultor Eubúlides (II: cf. C. Robert, ap. Pauly-Wissowa, VI, c. 871-875, s. v. Eubulidès n.º 10; poderíamos datá-la de aproximadamente 204 antes de Jesus Cristo). Heródoto já se referia ao assunto (VI, 63; 65) mas não é certo de que se tratasse já, então, do sistema codificado por Beda. Na verdade, os vasos com figuras encarnadas, que parecem representar jogadores de morra, não nos apresentam uma mímica que possa ser interpretada em função dessas regras (G. LAFAYE, ap. DAREMBERG-SAGLIO, III, 2, ps. 1889b-1890b, s. v. Micatio; K. SCHNEIDER, ap. PAULY-WISSOWA, XV, 2, c. 1516-1517, s. v. Micare). Entretanto, cf. talvez uma das pinturas de vasos consagrados à Représentation de la vente de l'huile à Athènes (sob este título: F. J. M. DE WAELE, Revue Archéologique, 5, XXIII (1926), ps. 282-295): trata-se de uma “peliké” com desenhos negros (E. PERNICE, ΣΙΦΩΝ, ap: Jahrbuch d. deutsch, archaelog. Instituts, VIII (1893), p. 181), onde se vê uma comerciante cujos dedos da mão esquerda representariam o número $31$; cf. ainda Ar. Vesp., 656.

Os únicos monumentos com figuras de origem antiga e que provam o uso do sistema Beda-Rhabdas são as singulares tabuinhas do Gabinete das Medalhas da Biblioteca Nacional, assinaladas pela primeira vez por Froehner (art. citado, enquanto se espera o catálogo de J. Babelon, Col. Froehner, t. II, n.º 316-327, e a nossa prancha). Deve tratar-se de fichas de jogo; não se encontrou nenhuma indicando um número superior a $16$. A técnica de sua fabricação permite relacioná-las à indústria de brinquedos alexandrina da época imperial (na verdade, a maioria dos exemplares conhecidos provém do Egito; alguns, de Roma). Lamentavelmente, é difícil determinar a data: há discordância entre os numismatas; consultei J. Babelon e P. Le Gentilhomme sobre o assunto: o primeiro inclina-se pelo Alto Império, o segundo para uma época mais recente, depois de Constantino.

b) Onde e quando se aprendia esse cômputo? Os textos da época romana mostram-nos o seu uso inteiramente habitual (os advogados, por exemplo, servem-se dele no tribunal: QUINT, XI, 3, 117; não vejo por que não teria sido ensinado na escola primária: devido ao seu caráter qualitativo (um símbolo para cada número inteiro), parece conciliar-se naturalmente com o ensino da numeração.

(10) A aritmética na escola primária: a classificação dos papiros matemáticos deve ser feita com uma crítica severa. Importa não catalogar apressadamente como “papiros escolares” (como o faz P. CΟLLART, Mélanges Desrousseaux, ps. 79-80) aqueles cujo caráter, para nós modernos, é elementar. E extremamente instrutivo constatar que, em pleno século IV depois de Jesus Cristo, um adulto instruído, um funcionário como o Hermesion dos PSI, 22, 958, 959, sentia a necessidade de copiar com sua própria mão uma tabela de multiplicação no mesmo caderno em que, ao mesmo tempo que redigia horóscopos, fazia as suas contas administrativas. Cf. também, no século VI, as grandes tabelas metrológicas do P. London, V, 1718, estabelecendo minuciosamente, por exemplo, as “conversões” da artaba e de cada um dos seus submúltiplos, em unidades inferiores: sentir-nos-íamos tentados a interpretá-las como um manual de ensino primário (entre nós, as “conversões” do sistema métrico representam um papel tão importante!): ora, essas tabelas foram feitas pelo próprio Fl. Dioscoro, singular personagem que conhecemos bem, “tipo perfeito do fidalgo camponês bizantino, grande proprietário em Afroditô-Kôm Ishgâw, protocometa, advogado, poeta enfim nas horas vagas” (Assim o descrevo ap. Mélanges d'Archéologie et d'Histoire, LVII (1940), p. 129). Desde que homens instruídos, como esses, sentiam a necessidade de organizar para si tais mementos, isso significa que esses conhecimentos matemáticos elementares não eram realmente adquiridos na escola. Não há razão para se supor que seja isto efeito da “decadência”: que o Sócrates de XENOFONTE (Mem. IV, 4, 7) pergunte a Hípias se $2 \times 2 = 5$ não nos prova nada sobre o ensino da aritmética na escola primária.

Voltando à questão dos papiros, se muitos deles são difíceis de classificar e de testemunho ambíguo (tal como: P. London, III, 737, tabelas de somas; P. Oxy., 9 (t. I, p. 77) verso; 669, tabelas metrológicas), alguns são bastante reveladores: PLAUMANN (ABKK., XXXIV [1913], c. 223) nota, a propósito de PREISIGKE, Sammelbuch, 6220-6222, que, desde que os exercícios aritméticos se elevam de um grau acima do muito elementar (como: tabelas de frações, 1/2 ou 1/3, da série dos números inteiros; multiplicação do tipo $19 \times 55 = 4055$; $78 \times76 = 5928$; somas de números fracionários), a escrita, aqui do século VII, é a de um adulto e não mais de uma criança.

(11) Cálculo pelo ábaco: cf. E. GUILLAUME, ap. DAREMBERG-SAGLIO, I, ps. 1 b-3 b, s. v. Abacus, II; HULTSCH, ap. PAULY-WISSOWA, I, c. 5-10, s. v. Abacus, 9; A. NAGL, ibid., Suppl., III, c. 4-13; 1305.

Referências:

[49] E. Ziebarth, Aus der antiken Schule (ed. cit.), n.º 5l; Journal of Hellenic Studies, 28 (1908), 131, 16.

[50] Journal of Hellenic Studies, 28 (1908), 131, 16.

[51] Papiri greci e latini, Pubblicazione della Società Italiana per la ricerca dei Papiri greci e latini in Egitto, 250; Fr. PREISIGKE continuado por F. BILABEL, etc.), Sammelbuch grechischer Urkunden aus AEgypten, 6215. 

[52] O. Guéraud, P. Jouguet, Un Livre d'Ecolier du IIIe. siècle avant Jésus-Christ (ed. cit.), 21-26; Amtliche Berichte aus den königlischen Kunstsammlungen, montlich erscheinendes Beiblatt zum Jahrbuch der kgl. Preuszischen Kunstsemmlungen (Berlin), 34 (1913), 213; 218.  

[53] Journal of Hellenic Studies, 28 (1908), 132, 17.

[54] O. Guéraud, P. Jouguet, Un Livre d'Écolier du IIIe. siècle avant Jésus-Christ (ed. cit.), 235-242.

[55] B. P. Grenfell, A. S. Hunt, H. I. Bell, etc., The Oxyrhynchus Papyri, 1669 v.

[56] A. S. Hunt, J. de M. Johnson, V. Martin, Catalogue of the Greck Papyri in the John Rylands Library at Manchester, II, 64.

[57] O. Guéraud, P. Jouguet, Un Livre d'Écolier du IIIe. siècle avant Jésus-Christ (ed. cit.), 216-234. 

[58] Horácio, Epístola aos Pisanos (Arte Poética), 325 s.

[59] Papiri greci e latini (ed. cit.), 763. 

[60] Fr. Preisigke (continuado por F. Bilabel, etc.), Sammelbuch griechischer Urkunden aus AEgypten, 6215. 

[61] Idem, 6220-6222.

***

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Os Sólidos Platônicos

Sólidos Platónicos y la figura sagrada Cristiana de la Trinidad
 por César Villacís et al.

Tempo de leitura: 20 min.

Apresentamos o texto Sólidos Platónicos por Rafael Montés Gil, disponível em parte 1 e parte 2.

Dedicado aos meus amigos e principalmente a José Carlos Fernández

INTRODUÇÃO

Platão sempre surpreende. No seu diálogo “Timeu”, escrito por volta de 360 ​​a.C., desenvolve três grandes temas: a origem do universo, a estrutura da matéria e a natureza humana.

Quando fala da formação do Cosmos, desenvolve a doutrina de Empédocles dos Quatro Elementos representados por poliedros regulares e estabelece as relações geométricas entre uns e outros como depois ninguém mais foi capaz de igualar.

De Kepler a Arturo Soria, passando por Leonardo e Matila Ghyka, todos expuseram relações entre uns sólidos e outros, entendidos como “volumes”, ou seja, corpos sólidos, encaixando-se uns nos outros.

Platão fá-lo de maneira muito diferente. Primeiro, decompõe cada corpo nas suas partes elementares. Em seguida, combina-as. E depois expõe como essas partes elementares interagem umas com as outras. Vai sempre à essência.

Neste tema encontramos uma parte geométrica na qual são estudadas formas simples e fundamentais – arquetípicas – e outra parte filosófica na qual se analisam ideias.

A primeira requer uma certa capacidade de “visão espacial” e a segunda uma certa “capacidade de abstração”.

Na tentativa de unificar estes dois aspectos do conhecimento, trataremos de fazer uma exposição simples e clara das diferentes figuras geométricas e das suas possíveis relações.

O tema nunca poderá considerar-se como acabado, pois, tratando-se de figuras primordiais com as quais – disse Platão – Deus formou o corpo do Mundo, entenderemos que pertencem àquelas “altas regiões” do Divino onde a mente concreta tem vedadas as suas entradas.

É necessário, portanto, esforçar-se por despertar uma certa intuição que nos permita uma aproximação mais íntima a essas figuras, lembrando que, na antiguidade, a ciência da Geometria era inspirada pelas Musas e que, juntamente com a Aritmética, fazia parte do alto saber humano.

Na nossa pequena escala, tentaremos substituir esta grande intuição dos nossos antigos por uma visão clara e simples das figuras e das suas correspondências através de uma série de desenhos que acompanham estas notas.

OS CINCO POLIEDROS REGULARES

São apenas cinco e todos atendem às condições de terem, em si mesmos, todas as faces iguais, todas as arestas iguais e todos os seus vértices iguais. Platão diria que eles são iguais a si mesmos em cada uma das suas partes.

Todas as faces devem ser planas e ter lados iguais, sendo o mais simples deles o triângulo – um polígono de três lados – dada a impossibilidade de construir um polígono com menos de três lados.

Da mesma forma, todos os vértices serão iguais e três ou mais faces convergirão para eles, pois é impossível formar um ângulo triedro com duas faces ou menos.

Vejamos que figuras poderemos construir com faces triangulares – triângulos equiláteros regulares.

Seis triângulos colocados em torno de um ponto central ocupam todo o plano e não dão origem a nenhuma figura sólida.

$60º \times 6 = 360º$

Mas, se removermos um dos seis triângulos, deixando apenas cinco ao redor do vértice central, obtemos, depois de fazer coincidir as duas arestas que ficam livres, (dobrando o plano) uma figura em que cinco faces triangulares convergem em cada vértice. Essa figura será o ICOSAEDRO.

Se agora removermos outro triângulo, permanecerão quatro. A figura na qual quatro triângulos se encontram num vértice é o OCTAEDRO.

Mas ainda podemos remover um outro triângulo, deixando apenas três. A figura na qual, em cada vértice, convergem três faces é o TETRAEDRO.

Se removermos um outro, restam apenas dois triângulos e nenhuma figura pode ser construída.

Resumindo: existem apenas três figuras com faces triangulares que são o icosaedro, o tetraedro e o octaedro. Não há mais. Se tomarmos, por exemplo, a bipirâmide pentagonal veremos que não é um poliedro regular porque em alguns vértices convergem cinco faces e em outros apenas quatro, ou seja, os vértices não são todos iguais.

Vejamos agora que figura podemos obter com um quadrado. Repetindo o processo anterior, vemos que quatro quadrados ocupam todo o plano. Com três quadrados para cada vértice obtemos um CUBO, e com apenas dois quadrados não é possível obter nenhuma figura.

$90º \times 4 = 360º$

Resumindo: existe apenas uma figura regular com faces quadradas: o CUBO.

Vejamos agora o que acontece se considerarmos os pentágonos como faces. Não é possível unir quatro pentágonos num plano, em torno de um vértice, pois tendo o ângulo interno de um pentágono $108º$, com os quatro ultrapassaríamos $360º$ de uma circunferência completa.

$108º \times 4 = 432º > 360º$

No entanto, pudemos juntar três pentágonos e repetir o processo anterior.

$108º \times 3= 324º < 360$

Se, como antes, removermos um pentágono, restam apenas dois e não é possível obter um vértice com apenas duas faces.

Resumindo: há apenas uma figura regular com faces pentagonais: o DODECAEDRO.

Se formos para a próxima figura plana, o hexágono, não podemos fazer nenhuma figura sólida porque apenas com três hexágonos – o mínimo para cada vértice como já vimos – já ocupamos todo o plano e não obtemos nenhum volume.

$120º \times 3 = 360º$

Existem, portanto, apenas cinco poliedros regulares possíveis: Cubo, Icosaedro, Octaedro, Tetraedro e Dodecaedro, para os quais são indicadas as características mais gerais na tabela seguinte.

OS CINCO SÓLIDOS

PARTE 2 - Rafael Montes Gil

“Começarei por dizer que, para todos é evidente que o fogo, a terra, o ar e a água são corpos. Tudo o que tem a essência do corpo também tem profundidade. Tudo que tem profundidade contém em si a natureza da superfície. Uma base cuja superfície é perfeitamente plana, é composta por triângulos. Todos os triângulos têm a sua origem em dois triângulos tendo cada um, um ângulo reto e os outros dois agudos " - Platão

OS SÓLIDOS PLATÔNICOS E O TIMEU

Até agora, vimos da forma mais simples possível, como surgem os cinco sólidos e também que estes são os únicos possíveis. Platão, no diálogo “Timeu” ou da Natureza, faz uma exposição diferente, mas muito mais elegante e um pouco mais complexa. É preciso dizer que no referido diálogo apenas se apresentam QUATRO dos cinco sólidos já conhecidos, fazendo menção ao DODECAEDRO, como “uma quinta combinação que Deus usará para traçar o plano do Universo”.

Isto reforça a tradição órfica, segundo a qual “Dionísio-Criança” brinca com sete formas fundamentais simbolizadas em sete artefatos: Bola, Pião, Espelho e Dados (quatro dados).

Platão conhecia a forma do dodecaedro, mas não a menciona no Timeu porque não faz parte do processo pelo qual Deus concede a forma ao “Corpo do Mundo”.

Talvez pertença a um plano ainda mais elevado, pois, a partir dele pode-se obter todas as outras formas.

Vejamos então, como se constrói o “Corpo do Mundo” a partir dos quatro corpos elementares, e como se constroem estes corpos a partir da forma mais simples e mágica: o triângulo.

“Começarei por dizer que, para todos é evidente que o fogo, a terra, o ar e a água são corpos. Tudo o que tem a essência do corpo também tem profundidade. Tudo que tem profundidade contém em si a natureza da superfície. Uma base cuja superfície é perfeitamente plana, é composta por triângulos. Todos os triângulos têm a sua origem em dois triângulos tendo cada um, um ângulo reto e os outros dois agudos”.

Mais adiante veremos que um desses triângulos é o retângulo-isósceles, ou seja, é um triângulo retângulo com dois lados iguais.

TRIÂNGULO ELEMENTAR RETÂNGULO

O outro triângulo, também é um triângulo retângulo, mas com todos os lados irregulares. Das infinitas possibilidades, Platão escolhe aquela que tem os lados de maior beleza e simplicidade, um triângulo cuja hipotenusa é o dobro do cateto menor. Existe apenas um, cujos ângulos são $30°$, $60°$ e $90°$. (Já temos uma esquadra e um esquadro).

$A/B = 0,5$; pero $A/B =$ sen $\alpha = 0,5$; $\alpha = 30º$

TRIÂNGULO ELEMENTAR ESCALENO

E continua, dizendo: “Aproximem dois desses triângulos seguindo a diagonal. Repitam esta operação três vezes, para que todas as diagonais e catetos menores se fixem num ponto que lhes serve como um centro comum, e tereis um triângulo equilátero formado por seis triângulos elementares”. (ver as imagens abaixo)

E assim, obtemos um triângulo equilátero, formado por seis triângulos elementares que darão origem ao tetraedro, ao icosaedro e ao octaedro.

De forma similar, obteremos o quadrado a partir de outro triângulo elementar, unindo quatro deles conforme indicado no texto.

Tanto o quadrado como o triângulo equilátero podem ser divididos infinitamente nos seus respectivos triângulos elementares. Por isso, Platão diz que os quatro elementos podem-se dissolver até penetrar e transformar-se no mais minúsculo, assim como podem justapor-se para dar origem ao Grande Elemento, a síntese final de todas as suas partículas.

1. Agora temos: Cubo: Sólido formado por $24$ triângulos elementares. Elemento Terra.
2. Icosaedro: Sólido formado por $120$ triângulos elementares. Elemento Água.
3. Octaedro: Sólido formado por $48$ triângulos elementares. Elemento de Ar.
4. Tetraedro: Sólido formado por $24$ triângulos elementares. Elemento Fogo.

Platão chama, “ângulo plano” àquele que se forma por duas retas com um ponto comum e, por extensão, àquele que se forma por dois planos com uma reta comum. Essa linha comum é a aresta de um sólido. Por outro lado, “ângulo sólido” é aquele que se forma por três ou mais planos com um único ponto em comum, ou seja, formam um vértice.

É imprescindível agora, compreender que, se dividirmos um cubo em muitos triângulos elementares, depois de muitas divisões, os triângulos menores não mudarão de forma. Ao reuni-los obteremos cubos menores, mas não há possibilidade de obter uma forma diferente. Por outro lado, os triângulos elementares dos outros três elementos são iguais e, decompondo um desses corpos, podemos obter outro.

Fogo, ar e água são transmutáveis entre si e formam um único conjunto que se apresenta de três formas distintas. A terra, por si mesma, forma a sua contraparte.

No primeiro conjunto, o fogo seria a última síntese. No segundo, a terra seria a única existente.

Temos portanto, os dois primeiros elementos, fogo e terra, que Platão coloca na origem, é a primeira dualidade da qual surge tudo o que se manifesta.

Ambos são idênticos no número de triângulos elementares, mas de diferentes classes.

SÓLIDOS PLATÓNICOS DE “O TIMEU”

24 Triângulos Elementares Isósceles.

Terra.

24 Triângulos Elementares Escalenos.

Fogo.

48 Triângulos Elementares Escalenos.

Ar.

120 Triângulos Elementares Escalenos.

Água.

“Faltava uma quinta combinação de que Deus se serviu para traçar o plano do Universo…”

A este novo elemento Platão chama de “meio proporcional” ou “média proporcional”, que só serve para relacionar números “planos” (veja-se o problema pitagórico da duplicação do cubo, magistralmente resolvido por Platão).

Mas, era preciso que o fogo e a terra não fossem planos mas sólidos (senão não seriam corpos). Para se estabelecer uma proporção entre dois sólidos não basta um meio termo, são essenciais dois: “Deus interpôs-se, entre o fogo e a terra, os restantes dois corpos, o ar e a água, formando um todo proporcional e harmónico”.

Vejamos agora, como o ar e a água surgem quando o fogo e a terra entram em contato. “O fogo posto em contato com a terra, corta-a com as suas arestas vivas”, ou seja, o tetraedro e o cubo ao justaporem-se fazem com que cada aresta do tetraedro corte uma face do cubo.

Figura 1

Figura 2

Mas, cada cubo é cortado pelos dois tetraedros inscritos formando posteriormente uma estrela denominada por Kepler “Stella Octângula”

Figura 3. Stella Octângula

Nesta figura, vemos como o cubo foi decomposto em cada um dos seus triângulos elementares. Esses triângulos elementares não podem combinar-se entre si, a não ser para formar outros cubos, pois a Terra não é susceptível de ser transformada em outros elementos. Após sucessivas divisões, a terra seria dissolvida e reduzida a partes irredutíveis.

Mas vamos dar mais um passo. Uma vez que existem dois tetraedros inscritos, cada um parte do outro e são decompostos em triângulos elementares que podem recombinar-se para formar a água e o ar.

Na seguinte imagem podemos ver o resultado da face triangular de um tetraedro após ter sido cortada pelo outro:

Porém, não esqueçamos que o triângulo equilátero é composto por seis triângulos elementares, sendo a seguinte imagem a forma final que se obtém:

Sendo dois tetraedros, temos um total de oito faces, como a anteriormente. A área a tracejado tem seis triângulos que perfazem um total de $48$. Assim, obtivemos a forma correspondente ao elemento ar, o octaedro ($48$ triângulos elementares). Na “Stella Octângula” vemos claramente essas três formas, das quais apenas o cubo é decomposto em seus triângulos elementares.

Vejamos agora como os triângulos, na área não tracejada, nos permitem obter o elemento água. Temos um total de $48$ triângulos (em todas as oito faces). Para obter um icosaedro precisamos de $120$, então teríamos que repetir esse processo $2,5$ vezes (impossível), mas não o podemos fazer porque não é um número inteiro.

Aparentemente, chegamos a um beco sem saída, mas, lembrando o diálogo de Platão, podemos consultar o “plano”:

“Sobrava uma quinta combinação que Deus usou para desenhar o plano do Universo.” Ele referia-se ao dodecaedro.

No figura 4 vemos precisamente um dodecaedro acompanhado por um cubo. Se inscrevermos o cubo no dodecaedro, cada aresta do cubo transforma-se numa diagonal de uma face do dodecaedro – ver figura 4, em baixo. Uma face pentagonal possui 5 diagonais e um dodecaedro admite $5$ cubos inscritos – figura 5. Cada cubo admite um par de tetraedros como já vimos na figura 3, que perfaz um total de $10$ tetraedros formando $5$ pares. 

• Diagonais das faces de um dodecaedro $= 5 \times 12 = 72$.
• Arestas de $5$ cubos $= 5 \times 12 = 72$.

Figura 4

Figura 5

Na Figura 6, vemos esses $10$ tetraedros formando $2$ pentatetraedros.

Figura 6

Na figura 7 vemos o dodecaedro, mas desta vez com os $10$ tetraedros inscritos separados em dois grupos de $5$.

Figura 7

Se depois desta exposição voltarmos a Platão, veremos que o problema que surgiu ao tentar obter o icosaedro, está resolvido.

Explicamos: tínhamos $48$ triângulos para construir um icosaedro quando na verdade são necessários $120$ ($2,5$ vezes mais). Agora, ao introduzir a figura do dodecaedro, o processo inicial é multiplicado por $5$ (isso se possível porque é um número inteiro), portanto, temos $48 \times 5 = 240$ triângulos elementares e, portanto, dois icosaedros de $120$ triângulos além de $5$ octaedro de $48$.

Tudo se encaixa e forma um único todo, que inscrevemos numa esfera dionisíaca antes de fazer o seguinte resumo:

ANEXO:

Existem algumas formas que não foram comentadas até agora. Estas devem servir apenas de exemplo, pois existem muitas relações possíveis entre formas geométricas, além daquelas que foram comentadas por Platão, sendo esta última a mais completa. Isto poderá ajudá-lo a exercitar a visualização.

Figura 8: Podemos obter um dodecaedro unindo os centros de cada face de um icosaedro e vice-versa. São as únicas duas figuras geométricas que evidenciam as proporções áureas. O dodecaedro como a quinta essência e o icosaedro como o elemento água. Lembremos que no reino mineral não existem proporções áureas. As proporções áureas aparecem no mundo vegetal e superiores. São chamadas “duais” porque podem ser obtidas uma a partir da outra unindo os centros das faces.

Figura 8

Figura 9: Mostra uma das possíveis relações entre o cubo e o icosaedro, bem como uma das propriedades áureas do icosaedro.

Figura 9

Figura 10: Aqui vemos um dos $5$ possíveis octaedros inscritos num icosaedro. Cada um dos vértices do octaedro cai numa aresta do icosaedro.

$5$ octaedros $= 30$ vértices $= 30$ arestas do icosaedro.

Figura 10

Figura 11: É uma simplificação da Figura 3.

Figura 11

Figura 12: Esta e a anterior mostram-nos que o octaedro e o cubo são figuras duais.

Figura 12. NOTA: Em ambos os casos, obteve-se a forma unindo os pontos médios de cada face da forma anterior.

Figura 13: O tetraedro é dual em relação a si mesmo.

Figura 13

BIBLIOGRAFIA:

O Timeu, Platão.

***

Leia mais em O papel das matemáticas na educação, segundo Platão

Leia mais em O ensino da Matemática (Quadrivium) no período clássico

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